Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x 0 + Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. Differentiabilitet i x 0 : f er differentiabel i x 0 lim 0 f() eksisterer. Grænseværdien kaldes differentialkvotienten af f i x 0 og noteres f (x 0 ), alternativt df/dx, vor punktet x 0 er underforstået. Differentialet af f med udgangspunkt i x 0 er en lineær funktion af tilvæksten. Som funktionsnavn benyttes df, og funktionsværdien sættes til df() = f (x 0 ). Betragter vi specielt den identiske afbildning g(x) = x, bliver dg() = 1 =. Vi kan kort skrive dg() = dg = dx. Herved identificeres med dx, og vi får df = f (x 0 )dx eller f (x 0 ) = df dx. Differentialkvotienten er altså en kvotient mellem differentialer, i tælleren differentialet af den aktuelle funktion og i nævneren differentialet af den identiske afbildning. 1
Note til calculus Ækvivalent definition af differentiabilitet: f differentiabel i x 0 a : f() = a+ε(), vor ε er en såkaldt epsilonfunktion, dvs. en funktion for vilken der gælder lim 0 ε() = 0. Bemærk, at for 0 gælder f() = a+ε() f() = a+ε(), voraf ses, at lim 0 f()/ = a, dvs. a = f (x 0 ). 1) Sammenængen mellem funktionstilvækst og differential er derfor f() = df()+ε() 2), voraf ses, at df() kan benyttes som approksimation af f() for passende små værdier af. Differentiabilitet i x 0 medfører kontinuitet i x 0, idet f() 0 for 0, som også skrives f(x 0 +) f(x 0 ) for 0. 2 Funktioner af to reelle variable Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i (x 0,y 0 ) er en reel funktion af tilvæksterne og k: f(,k) = f(x 0 +,y 0 +k) f(x 0,y 0 ). Tangent til z = f(x 0,y) Tangent z Tangent til z = f(x,y 0 ) df(,k) f(,k) z = f(x,y) y 0 x 0 x 0 + x y 0 +k y Figur 2: Tangentplan, tilvækst og differential. 1) Omvendt, når lim 0 f() eksisterer, sæt a = lim 0 f() og ε() = f a, vorefter f() = a+ε() med ε() 0 for 0. 2) ε() kan også noteres som o(), idet o() står for et udtryk, vorom der gælder, at o() 0. 0 for 2
Differentiabilitet i (x 0,y 0 ): vor f er differentiabel i (x 0,y 0 ) a,b : f(,k) = a+bk +ε(,k) 2 +k 2, lim = 0. Bemærk, at 2 +k 0ε(,k) 2 f(,0) = a+ε(,0) f(0,k) = bk +ε(0,k) k f(,0) f(0,k) lim = a lim = b. 0 k 0 k Disse grænseværdier kaldes enoldsvis den partielle afledede af f mt. x i (x 0,y 0 ) og den partielle afledede af f mt. y i (x 0,y 0 ). Notation: a = f x (x 0,y 0 ) = f y b = f y (x 0,y 0 ) = f y. I de korte former f/ x og f/ y er punktet (x 0,y 0 ) underforstået. Det er ikke muligt i disse symboler at give en selvstændig tolkning af tælleren og nævneren, uden at dette fører til modstrid. Symbolet f/ x, enoldsvis f/ y, er altså ét samlet symbol. Differentialet af f med udgangspunkt i (x 0,y 0 ) er en lineær funktion af tilvæksterne og k. Som funktionsbetegnelse benyttes også er df, dvs. df(,k) = f x (x 0,y 0 )+f y (x 0,y 0 )k. Bemærk, at grafen for funktionen df i (, k, z)-koordinatsystemet er tangentplanen til f i (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )). Ser vi specielt på funktionen g(x,y) = x, får vi dg(,k) = 1+0k =. Vi skriver kort dg(,k) = dg = dx, voraf = dx. Ved at betragte g(x,y) = y får vi analogt k = dy. Dermed ar vi skrivemåden eller vor (x 0,y 0 ) er underforstået. df = f x (x 0,y 0 )dx+f y (x 0,y 0 )dy, df = f f dx+ x y dy, Sammenængen mellem funktionstilvækst og differential bliver f(,k) = df(,k)+ε(,k) 2 +k 2 3). For passende små værdier af afstanden 2 +k 2 kan f(,k) approksimeres af df(,k). Ogsåerses,atdifferentiabilitetietpunktmedførerkontinuitetipunktet,idet f(,k) 0 for 2 +k 2 0. Skrevet elt ud ar vi f(x 0 +,y 0 +k) f(x 0,y 0 ) for 2 +k 2 0. 3) ε(,k) 2 +k 2 kan alternativt skrives o( 2 +k 2 ). 3
3 Afledede funktioner Hvis f : D Ê er differentiabel i alle punkter i definitionsmængden eller i en delmængder af denne, definerer vi når f er en funktion af én reel variabel den afledede funktion f (x) eller når f er en funktion af to reelle variable de partielle afledede funktioner f x (x,y) og f y (x,y). 4 En sætning For en forelagt funktion af to reelle variable kan det være besværligt at skulle benytte definitionen til at afgøre, om funktionen er differentiabel. Den følgende sætning kan imidlertid afklare spørgsmålet for stort set alle almindeligt forekommende funktioner. Sætning. Hvis f x og f y eksisterer i en omegn af (x 0,y 0 ), og f x og f y er kontinuerte i (x 0,y 0 ), så er f differentiabel i (x 0,y 0 ). Bemærk, at sætningen kun angiver en tilstrækkelig betingelse for differentiabilitet. Der findes (sære) funktioner, som ikke opfylder forudsætningerne, og som alligevel er differentiable. Bevis. Der gælder, at f(,k) = f(x 0 +,y 0 +k) f(x 0,y 0 ) = f(x 0 +,y 0 ) f(x 0,y 0 )+f(x 0 +,y 0 +k) f(x 0 +,y 0 ). Vi ar lagt f(x 0 +,y 0 ) til og trukket fra igen. På funktionen f(x 0 +,y 0 ), som kun afænger af, kan vi benytte middelværdisætningen. Vi får f(x 0 +,y 0 ) f(x 0,y 0 ) = f x (ξ,y 0 ), vor ξ ligger mellem x 0 og x 0 +. Ligeledes kan vi benytte middelværdisætningen på funktionen f(x 0 +,y 0 +k) med fastoldt, vorved f(x 0 +,y 0 +k) f(x 0 +,y 0 ) = f y (x 0 +,η)k, vor η ligger mellem y 0 og y 0 +k. Vi ar nu Igen lægger vi til og trækker fra: f(,k) = f x (x 0,y 0 )+f y (x 0,y 0 )k f(,k) = f x (ξ,y 0 )+f y (x 0 +,η)k. + ( f x (ξ,y 0 ) f x (x 0,y 0 ) ) + ( f y (x 0 +,η) f y (x 0,y 0 ) ) k. Idet (ξ,y 0 ) (x 0,y 0 ) for (,k) (0,0) og (x 0 +,η) (x 0,y 0 ) for (,k) (0,0), samt at f x og f y er forudsat kontinuerte i (x 0,y 0 ), gælder f x (ξ,y 0 ) f x (x 0,y 0 ) 0 for 0, f y (x 0 +,η) f y (x 0,y 0 ) 0 for 2 +k 2 0. 4
Begge udtryk er altså epsilonfunktioner, dvs. f(,k) = f x (x 0,y 0 )+f y (x 0,y 0 )k +ε 1 ()+ε 2 (,k)k = f x (x 0,y 0 )+f y (x 0,y 0 )k ( ) + ε 1 () 2 +k +ε k 2(,k) 2 +k 2 2 2 +k 2 = f x (x 0,y 0 )+f y (x 0,y 0 )k +ε(,k) 2 +k 2, voraf ses, at f er differentiabel i (x 0,y 0 ). 5 Funktioner af flere reelle variable Både definition af differentiabilitet og ovenstående sætning om differentiabilitet kan umiddelbart generaliseres til at gælde for funktioner af n reelle variable. Med benyttelse af vektornotation kan funktionstilvæksten med udgangspunkt i x 0 og tilvækst skrives f() = f(x 0 +) f(x 0 ). Differentiabilitet i x 0 : f er differentiabel i x 0 a Ê n : f() = a +ε() 4). Det indses, jf. afsnit 2, at a j = f xj (x 0 ) = f x j, j = 1,...,n. De partielle afledede i x 0 udgør komponenterne i en vektor, som betegnes f (udtales nabla f), altså f = ( f, f,..., f ). Differentialet af f med udgangspunkt x 0 er df() = f x 1 (x 0 ) 1 + f x 2 (x 0 ) 2 + + f x n (x 0 ) n = f(x 0 ), og med identifikationen = dx og punktet x 0 underforstået kan differentialet skrives df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx 2 + + f x n dx n = f dx. Sætningeniafsnit4omdifferentiabilitetkanerformuleressåledes:Hvis f x1,f x2,...,f xn eksisterer i en omegn af x 0 og er kontinuerte i x 0, så er f differentiabel i x 0. Det ses umiddelbart, at differentiabilitet i x 0 medfører kontinuitet i x 0. 4) Alternativt o( ) for ε(). 5
6 Vektorfunktioner Betragt en vektorfunktion med m komponentfunktioner, F = (f 1,f 2,...,f m ), vor alle komponentfunktionerne er funktioner af n relle variable. F er differentiabel i x 0 A Ê m n : F() = A+E(). Her er E() en vektorfunktion, for vilken der gælder E() 0 for 0. Det følger, jf. afsnit 5, at a ij = f i x j, i = 1,...,m, j = 1,...,n, dvs. A er Jacobimatricen f 1 f 1 f 1 f 2 f 2 f 2 DF =... f m f m f m ørende til F udregnet i punktet x 0. Bemærk, at vektorerne f i, i = 1,...,n, indgår i Jacobimatricen som rækkevektorer. Vektorfunktionen F er differentiabel, når alle komponentfunktionerne er differentiable. Differentialet af F kan med benyttelse af Jacobimatricen for F udtrykkes df() = DF(x 0 ), vor df() og skal opfattes som søjlevektorer. Med punktet x 0 underforstået, og med tilvæksten identificeret med differentialet dx af den identiske afbildning i Ê n, kan differentialet af F kort skrives df = DF dx. Også for vektorfunktioner ses, at differentiabilitet i x 0 medfører kontinuitet i x 0. 7 Funktionsklasser Det kan ofte være ensigtsmæssigt kort at kunne udtrykke, at en funktion af flere reelle variable er differentiabel med kontinuerte partielle afledede i et område D. Vi indfører derfor klassebetegnelsen C 1 (D) for funktioner med disse egenskaber. Den korte notation bliver f C 1 (D). Betegnelsen C 0 (D) står for klassen af funktioner, der er kontinuerte i området D. Generelt benytter vi betegnelsen C n (D) for klassen af funktioner, der er n gange differentiable med kontinuerte partielle afledede af n te orden i området D. 31.3.2014/BR 6