Studieretningsopgave af en væske Studieretning: Matematik A, Fysik B, Kemi B Fagkombination: Fysik og Matematik Opgaveformulering: Redegør kort for forsøget om opvarmning og afkøling af en væske. Præsenter materialet grafisk og analyser datamaterialet. Argumenter herunder for hvilke matematiske sammenhænge, der ser ud til at være mellem de variable. Gør rede for hvordan en eksponentielt aftagende funktion: f(t) = b a x hvor 0 < a < 1 og hvor b > 0 kan omskrives til formen f(t) = b e -kt, hvor k > 0, og gør rede for hvorfor halveringskonstanten til sidstnævnte funktion kan beregnes således: T 1/2 = ln(1 2 ) = ln(2) k k Diskuter anvendeligheden af den benyttede model (fordele, ulemper, begrænsninger) og forventningerne til forløbet af afkølingen. Formuler konkrete spørgsmål af forskellig art, som kan besvares ud fra modellen, hvoraf nogle også involverer brug af differentialregning, og angiv metoderne til at besvare spørgsmålene. Giv en vurdering af fejlkilder for forsøget. Vurdér hvordan forsøget kan forbedres og hvilke yderligere parametre, der kan have betydning for afkølingskurverne. Skitsér et forsøg, hvor andre parametres betydning undersøges. Eleveksperiment: Opvarmning og afkøling af væske. Red.: Bemærk at dette eksempel på er fra den tidligere reform og derfor længere end den opgave, du skal skrive.
Resumé Denne opgave undersøger den matematiske sammenhæng mellem tid og temperatur på en væske under opvarmning og afkøling. Sammenhængen mellem de to parametre undersøges på basis af resultaterne af et eksperiment, hvor de to væsker, henholdsvis vand og mælk opvarmes og afkøles. Resultaterne illustreres vha. lineær og eksponentiel regressioner samt grafer for at visualisere udviklingen under opvarmning og afkøling. På baggrund heraf vurderes det, hvilken form for matematisk forbindelse der er mest i overensstemmelse med resultaterne. Derudover vurderes eksperimentets anvendelighed ud fra en overvejelse af fejlkilder i eksperimentet og r2-værdierne. En teoretisk analyse af den faldende eksponentielle funktion er lavet for at angive omskrivning af funktionen via den matematiske konstant e. Endvidere forklares formlen for halveringstiden og bagefter bestemmes den for de faldende eksponentielle funktioner. Denne peger på, at mælk har en lavere halveringstid, hvilket forklarer de observationer, hvor mælken køler og opvarmer hurtigere end vandet. Forskellen i hastigheden af afkøling og opvarmning fremgår af a-værdien af den eksponentielle funktion. Slutteligt konkluderes det, at en eksponentiel sammenhæng er fundet i processen med afkøling og opvarmning af en væske. Dette hænger sammen med, at en stigning i temperaturen forårsager en stigning i energien, som yderligere forårsager en stigning i hastigheden af temperaturstigningen. Denne konklusion er baseret på observationen af en procentuel stigning og fald i temperaturen under eksperimentet. 1 af 22
Indholdsfortegnelse Resumé... 1 Indholdsfortegnelse... 2 Indledning... 3 1. Opvarmning og afkøling af en væske... 4 1.1 Forsøget... 4 1.1.1 Fremgangsmåde... 4 1.1.2 Resultater... 4 1.1.2.1 Opvarmning og afkøling af vand... 5... 6 1.1.2.2 Opvarmning og afkøling af mælk... 7 1.2 Fejlkilder... 8 2. En eksponentielt aftagende funktion... 8 2.1 Halveringskonstanten... 9 3. Diskussion... 11 3.1 Skitse af forsøg... 13 3.2 Halveringstiden ved de to væsker... 13 3.3 Anvendeligheden af modellen... 13 4. Konklusion... 14 Kilder... 15 Bilag... 16 2 af 22
Indledning Når man opvarmer eller nedkøler en væske, er der en sammenhæng mellem temperaturen og tiden. I denne opgave vil der blive fortaget en undersøgelse af sammenhængen mellem disse to parametre ved hhv. opvarmning og nedkøling af væsker. Væskerne, der vil blive fokuseret på, er hhv. vand og mælk. Sammenhængen mellem temperaturen og tiden vil blive behandlet på baggrund af et forsøg. Resultaterne herudfra anvendes efterfølgende til at præcisere den matematiske sammenhæng, som kan findes i processen. Dette gøres ved at behandle dataet fra forsøget via LoggerPro, hvorefter der vil blive foretaget regression. Der vil desuden blive redegjort for en eksponentielt aftagende funktion samt formlen for halveringskonstanten. Ved resultaterne fra afkøling af hhv. vand og mælk, vil halveringskonstanten bestemmes, hvorefter der vil blive foretaget en vurdering af hastigheden for nedkølingen. Der vil desuden blive lavet en vurdering af anvendeligheden af de opstillede modeller. Dette vil blive gjort på baggrund overvejelser om eventuelle fejlkilde samt en række spørgsmål, som skal kunne besvares ud fra modellerne. Afslutningsvis vil der blive konkluderet på resultaterne af det analyserede forsøg, de matematiske sammenhænge, som forekommer ud fra forsøget, samt anvendeligheden af modellerne. 3 af 22
1.1 Forsøget 1. Opvarmning og afkøling af en væske Den 23. januar foretog vi et forsøg, hvor vi opvarmede og nedkølede væsker for, igennem fysikken, at undersøge, om der er en matematisk sammenhæng mellem tiden og temperaturen samt at finde halveringskonstanten ved nedkøling af væskerne. Materialelisten findes i Bilag 1. 1.1.1 Fremgangsmåde Opvarmning I første del af forsøget hælder man en mængde væske op i en kop, som man på forhånd har vejet. Volumen er den samme for alle væskerne. Herefter sænker man koppen ned i kogene vand i en elkedel. Koppen bliver holdt med en tang. Under opvarmningen måler man løbende temperaturen af væsken med et termometer, som er tilkoblet en computer. Elkedlen tændes gentagende gange i løbet af forsøget for at bevare en stigende temperatur. Man bruger LoggerPro på computeren til at samle observationerne, samt undersøge den matematiske sammenhæng mellem tiden og temperaturen under opvarmningen af væsken. Figur 1: Forsøgsopstilling Nedkøling Efter opvarmning af væsken stilles koppen på et bord, stadig med termometeret til at måle udviklingen i temperaturen ift. tiden. Efter x minutter stoppes forsøget, og man behandler observationerne via LoggerPro for at finde den matematiske sammenhæng mellem tiden og temperaturen ved afkøling af væsken. 1.1.2 Resultater Ud fra observationerne er der foretaget eksponentiel regression. Netop denne type regression er anvendt, fordi der skal mindre energi til at øge temperaturen for en væske, som på forhånd er opvarmet, hvilket den bliver i takt med forsøget. Den samlede data fra forsøget findes i bilag 10-13. Figur 2: Afmærkningen i koppen sikrer, at man opnår den samme volumen for de forskellige væsker. 4 af 22
1.1.2.1 Opvarmning og afkøling af vand Opvarmning af vand Nedenfor er der foretaget eksponentiel regression for opvarmning af vand. Figur 4: Eksponentiel regression ved opvarmning af vand. Figur 3: Data for eksponentiel regression ved opvarmning af vand. På grafen kan man se, at observationerne ligger forholdsvist pænt inde for den eksponentielle graf. Dog passer den lineære regression bedre til observationerne, som set i bilag 2. Hvis forsøgets forløb havde været længere, kan man antage, at man ville kunne se en tydeligere eksponentiel udvikling, fordi hastigheden for temperaturstigningen øges, i tak med at temperaturen øges. Dette skyldes den øgede mængde energi, der følger med den øgede temperatur. Dette kan også ses ud fra sammenhængen: Q = m c T 1 Hvor Q er den termiske energi/varmeenergien, m er massen, c er den specifikke varmekapacitet og T er temperaturen. Man ser, at en øget temperatur medfører en øget mængde energi. Hvis man sammenligner de to regressioner, kan man se, at de begge har en r 2 -værdi, som ligger forholdsvis tæt på 1, idet begge værdier ligger over 0,95. Jo tættere r 2 -værdien er på 1, desto større overensstemmelse er der mellem regressionslinjen og observationerne. For den eksponentielle regression er r 2 = 0,99599, som set i skemaet ovenfor. For den lineære regression er r 2 = 0,99842 (se bilag 3). Det betyder, at sammenhængen mellem tiden og temperaturen i dette forsøg ser ud til at have en større lineær sammenhæng, ift. den eksponentielle sammenhæng. Men som tidligere nævnt, er tiden for forsøget ikke særligt lang. Hvis man havde fortaget forsøget over længere tid, kunne man antage, at sammenhængen ville fremstå som værende mere eksponentiel end lineær, da 1 Nielsen, Erik Knud og Fogh, Esper: Vejen til Fysik AB1. 1. udg. HAX, 2006. s. 48. 5 af 22
temperaturen ikke stiger med det samme antal grader hele tiden, men i stedet ser ud til at vokse med en procentdel pr. tid. Afkøling af vand Nedenfor er der foretaget eksponentiel regression for forsøget med nedkøling af vand. Der er fratrukket 20 fra y-værdien, fordi grafen skal være asymptote til en x-aksen som svarer til at ligge ude for 20 grader, da temperaturen går imod stuetemperatur og ikke imod 0 grader. Figur 6: Eksponentiel regression ved nedkøling af vand Figur 5: Data for eksponentiel regression ved nedkøling af vand Ud fra r 2 -værdien kan man se, at udviklingen i afkølingen har en meget stor eksponentiel tilnærmelse, idet r 2 = 0,996854. Der er desuden foretaget lineær regression for nedkølingen af vand, (se bilag 6). Her er r 2 = 0,982841, (se bilag 7), hvilket tyder på, at afkølingen af vand også kan siges at have en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng. Hvis man betragter datapunkterne synes udviklingen dog mest eksponentiel. Man kan se, at aftagningen af temperaturen er størst i starten, hvorefter hastigheden aftager, hvilket kan ses ud fra, at datapunkterne langsommere nærmer sig x-aksen. Grafen synes nærmest lineær, hvilket skyldes den høje a-værdi i den eksponentielle funktion. 6 af 22
1.1.2.2 Opvarmning og afkøling af mælk Figur 8: Graf for lineær regression ved opvarmning af mælk. Figur 7: Data for lineær regression ved opvarmning af mælk. På grafen kan man se, at datapunkterne ligger nogenlunde inde for den lineære graf. Dog er der en del udsving, hvor det ser ud til, at temperaturen har haft en uregelmæssig stigning. Dette kan skyldes fejlkilder, som uddybes i afsnittet Fejlkilder. Ved den lineære regression opnår man en r 2 -værdi på 0,99842, hvilket tyder på, at udviklingen i opvarmningen af mælk matematisk synes at have en forholdsvis lineær sammenhæng, hvilket også kan ses ud fra datapunkterne. Hvis man i stedet foretager eksponentiel regression, (se bilag 4), får man en r 2 -værdi på 0,995139, (bilag 5). Det tyder derfor også på, at der kan være tale om en eksponentiel sammenhæng. Nedkøling af mælk Figur 10: Graf for eksponentiel regression ved nedkøling af mælk. Figur 9: Data for eksponentiel regression ved nedkøling af mælk. 7 af 22
Der er foretaget eksponentiel regression for nedkølingen af mælk. Der er også her fratrukket 20 grader på y-aksen. Med regressionen opnås en r 2 -værdi på 0,999054, som set i figur 10. Matematisk set har udviklingen i afkølingen af mælk en forholdsvis eksponentiel sammenhæng. Hvis man i stedet foretager lineær regression, som set i bilag 9, får man en r 2 -værdi på 0,995787, hvilket kun afviger en smule fra r 2 -værdien ved eksponentiel regression. Derfor kan man konstatere, at udviklingen i afkølingen af mælk både ser ud til at kunne have en tilnærmet eksponentiel og en tilnærmet lineær sammenhæng. 1.2 Fejlkilder I forbindelse med forsøget med opvarmning og nedkøling af væsker, kan der opstå fejlkilder. Når man anvender en elkedel til at opvarme vandet med, bør man sikre sig, at vandet forbliver i en kogende tilstand, hvilket det ikke længere vil være, så snart elkedlen slukker. Denne fejlkilde kan medføre udsving i temperaturstigningen, hvilket bl.a. kunne ses ud fra datapunkterne ved opvarmning af mælk, (se figur 8). Desuden kan ydre parametre, som fx temperaturen i lokalet, have en indflydelse på resultaterne. Hvis man ikke tager højde for dette, vil man kunne opnå upræcise resultater. 2. En eksponentielt aftagende funktion En eksponentiel funktion, f(t) = b a t, beskriver en udvikling, som stiger eller aftager med en fast procent. På denne måde opnår man en graf, som set nedenfor. Denne graf viser eksponentiel aftagning, hvor 0 < a < 1 og hvor b > 0. Hvis a > 1, vil grafen være voksende, fordi a-værdien i en eksponentiel funktion er fremskrivningsfaktoren, dvs. det der denne, der er afgørende for, hvor hurtigt eller langsomt en funktion vokser, eller aftager. b-værdien i en eksponentiel funktion er begyndelsesværdien, og hermed bestemmer b-værdien skæringen med y-aksen. Figur 11: Graf ved eksponentiel aftagning. 8 af 22
I figur 12 kan man se, at grafen ved eksponentiel aftagning er asymptote 2 til x-aksen, idet værdimængden ved en eksponentialfunktion kun udgør positive tal, dvs. at grafen ikke kan optræde på den negative del af y-aksen. 3 Sætning 11 4 For en eksponentielt aftagende størrelse: f(t) = b a t hvor 0 < a < 1 og hvor b > 0 kan man omskrive til formen f(t) = b e -kt, hvor k > 0. I sætning 11 ser man, at a = e k. I det følgende vil der blive redegjort for hvorledes det er muligt at omskrive en eksponentiel funktion på denne måde. Redegørelse: e er grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion, og er givet ved e = 2,71828. Idet e > 1, må k- værdien være negativ, for at den samlede værdi er mindre en 1. Til venstre ses en række udregninger for e -k, som viser sammenhængen mellem fortegnet for k-værdien og a-værdien. Man kan se, at hvis k > 0, hvilket det skal være ifølge definitionen, så får man at 0 < a < 1, fordi a, som før nævnt svarer til e -k. Dette ses i udregning 1 og 2. Hvis det gælder, at k < 0, dvs. at k-værdien på forhånd er negativ, vil man opdage, at e ( k) = e k, fordi fortegnet ændres, når man hæver en minusparentes. Dette vil medføre, at den samlede værdi bliver større end 1, hvilket man fx. kan se i udregning 3 ovenfor. Hermed vil e k a, fordi det skal gælde, at 0 < a < 1, som beskrevet i definitionen. Man kan anvende følgende regneregel: e x = 1 e x 5 Regnereglen siger, at når man har en negativ k-værdi, får man et tal som er mindre end 1, hvilket man også så ud fra udregningerne ovenfor. Når a = e kaldes funktionen for den naturlige eksponentialfunktion. 6 k-værdien ved den naturlige eksponentialfunktion er en konstant, som afhænger af a-værdien således, at den er det positive tal, som man skal sættes som potens for e sådan at a = e k. 2.1 Halveringskonstanten Til en eksponentielt aftagende funktion følger en halveringskonstant, T 1/2, som beskriver den tid det tager for en eksponentielt aftagende funktion at blive halveret, (se figur 12). Vi betragter igen sætning 11. 2 Matematik C: Eksponentialfunktioner 3 Matematik center: Definitions- og værdimængde. 4 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B2, 2007: s. 48 5 matlet.dk: Potensregneregler. 6 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B1, 2007: s. 144 9 af 22
Sætning 11 7 For en eksponentielt aftagende størrelse y = b a t, 0 < a < 1, og hvor b > 0, kan man omskrive til formlen y = b e kt, hvor k > 0. Halveringskonstanten er givet ved T 1/2 = eksponentielt aftagende størrelse y = b a t. ln (0,5) = ln(2) k k. Under tiden omskriver man også den I det følgende vil der blive gjort rede for halveringskonstanten i sætning 11. Ved beviset tages der udgangspunkt i beviset for sætning 19 om fordoblingskonstanten på s. 148 i Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1. Her udskifter man a x med e -k, T 2 udskiftes med T 1/2, 2 udskiftes med 1 og log med ln. 2 Bevis: For ethvert x gælder: f (x T1) = 1 2 2 f(x) b e kx+t 1/2 = 1 b e kx 2 b e kx e kt1 2 = 1 b e kx 2 e kt 1/2 = 1 2 Man ved, at f(x) = b e kx. Bruger potensregneregel: a n+m = a n a m 8 Dividerer med b e kx, på begge sidder. ln (e kt1 2) = ln ( 1 2 ) T 1/2 ln(e k ) = ln ( 1 2 ) T 1/2 k = ln ( 1 2 ) Tager den naturlige logaritmen på begge sider. Bruger logaritmeregneregel: ln(e x ) = x 9 T 1/2 = ln (1 2 ) k = ln (2) k QED Isolerer T 1/2. Fra den forrige redegørelse ved man, at a = e -k. Ud fra den naturlige eksponentialfunktion kan man også påvise, at ln(a) = -k: Denne sammenhæng kan også findes i Vejen til Fysik B2, s. 64-65. Ved udregningen får man, at k = -ln(a). Herudfra ved man, at man kan omskrive ln(a) til -k, så man får: 7 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B2, s. 48 8 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Arbejdsbog B1. 1. udg. Gyldendal, 2006. S. 16 9 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B1, 2007. S. 136 10 af 22
T 1/2 = ln(1 2 ) k Denne beregning kan anvendes til at bestemme halveringstiden for den naturlige eksponentialfunktion, og som set i beviset ovenfor kan den yderligere omskrives til: Dette skyldes, følgende: T 1/2 = ln(2) k Man kan se, at den naturlige logaritme til 0,5 giver et negativt tal, mens ln(2) giver det samme tal, men her er det positivt. Når k-værdien, i den førstnævnte brøk er negativ, skyldes det derfor, at tælleren også er negativ, så brøken samlet bliver positiv. Samtidig er nævneren i den anden brøk positiv, mens tælleren er positiv og brøken derfor også her samlet bliver positiv. Man kan finde sammenhængen i følgende regneregel: Herudfra bevises sammenhængen: ln ( 1 ) = ln(1) ln (2) 2 ln ( a 10 ) = ln(a) ln (b) b ln ( 1 ) = 0 ln (2) 2 ln(1) = 0 ln ( 1 ) = ln (2) 2 QED Man har bevist, at der er en sammenhæng mellem ln(2) og ln( 1 ), og at man derfor kan 2 omskrive formlen for T 1/2, som beskrevet i starten af kapitlet. 3. Diskussion Ved brug af regression, opnåede vi en række grafer og forskrifter, som fortalte noget om udviklingen i opvarmningen og afkølingen af hhv. vand og mælk. Ved opvarmning af vand blev der foretaget eksponentiel regression. På grafen (se figur 4, s. 5) kunne man se, at datapunkterne lå forholdsvis pænt inde for grafen, hvilket tyder på, at den eksponentielle model kan give os et rimeligt billede af stigningen af temperaturen ift. tiden. Dog er den begrænsede mængde af observationer en kilde til usikkerhed, hvilket er en ulempe ved dette forsøg. En længerevarende foretagelse af forsøget ville muligvis medvirke til at give et endnu mere klart billede af den matematiske sammenhæng. En anden 10 Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Arbejdsbog B2. s. 9. 11 af 22
begrænsning ved forsøget kunne være, at man ikke havde målt temperaturen i lokalet før forsøget, og at den opnåede model derfor ikke var identisk med virkeligheden. For at forbedre forsøget kunne man fra starten være opmærksom på eventuelle fejlkilder, for at forebygge usikkerhederne som kan opstå. Man kunne fx tage højde for temperaturen i lokalet samt sikre, at elkedlen ikke slog fra undervejs i forsøget. Man kunne eventuelt, i stedet for at bruge en elkedel, anvende en gryde, som stod på en kogeplade, så man bedre kunne kontrollere varmen. Man kunne se, ud fra den lineære regression i bilag 2, at også denne graf passede godt inde for datapunkterne. For begge former for regression gjaldt det, at r 2 > 0,95, hvilket indikerer, at udviklingen både kan siges til dels at have en eksponentiel sammenhæng og en lineær sammenhæng. Man kan dog antage, at hvis forsøget havde varet over længere tid, ville man kunne se en tydeligere eksponentiel sammenhæng, idet en øget temperatur medfører en øget mængde energi, som øger hastigheden for opvarmningen af vandet. Hermed ville man ikke længere kunne anvende den lineære funktion til at beskrive udviklingen. Hvis man sammenligner den eksponentielle og den lineære regression for afkølingen af vand kan man i højere grad se, at datapunkterne ligger en smule ude for grafen, især i de første punkter, (se figur 6, s. 6). På trods af dette gælder det også her, at r 2 > 0,95, og derfor må man konstatere, at udviklingen i afkøling af vand matematisk set delvist kan have en lineær og delvist en eksponentiel sammenhæng. Hvis man ser på datapunkternes forløb, ser udviklingen mest eksponentiel ud, idet datapunkterne samlet set udtrykker en aftagende hastighed for afkølingen ift. tiden, dvs. at temperaturen ikke aftager med det samme tal i hele forløbet, men at den aftager med en procentdel, som er karakteristisk for en eksponentiel funktion. Hvis dette er tilfældet, må man konstatere, at den lineære regression ikke gør sig særligt anvendelig som model for denne udvikling. Hvis man ser på grafen for opvarmning af mælk, (figur 8, s. 6), ser man, at datapunkterne ligger forholdsvis regelmæssigt langs den lineære graf. Dog svinger datapunkterne en smule mere her, end det var tilfældet med opvarmning af vandet. Dette kan, som tidligere nævnt, skyldes fejlkilder. Ud fra den høje r 2 -værdi, som ses i figur 7, forekommer den lineære model pålidelig. Det samme gør sig gældende for den eksponentielle regression for opvarmning af mælk, som ses i bilag 4 og 5. På trods af uregelmæssighederne for datapunkterne viser r 2 -værdien også her, at udviklingen kan siges at have en tilnærmelsesvis eksponentiel sammenhæng. Ved grafen for afkøling af mælk (figur 9), ser man en række regelmæssige datapunkter, der i høj grad følger den eksponentielle grafs forløb. Grundet den høje a-værdi, fremstår grafen nærmest lineær. Af denne grund er det ikke overraskende, at den lineære graf for afkøling af mælk også i høj grad passer til datapunkterne, (se bilag 6), og hvor r 2 -værdien, som set i bilag 7, er på 0,98, hvilket vidner om, at afkølingen af mælk også kan siges at have en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng - i hvert fald, hvis man skal gå ud fra den korte tid man har foretaget forsøget. Ud fra a-værdierne i funktionerne (se figur 5 og 10) kan man se, at mælk aftager hurtigere end vand gør, idet a-værdien ved mælk er en smule mindre end a-værdien ved vandet, hvilket betyder, at temperaturen ved mælken aftager med en større procentdel i takt med tiden. Dette kan fx skyldes, 12 af 22
forskellen på densiteten for de to væsker, men da man ikke kender værdien af denne, vil man ikke ud fra dette forsøg kunne påvise sammenhængen. Den specifikke varmekapacitet for hhv. vand og mælk kan også have en betydning for hastigheden af nedkølingen. Vand har en specifik varmekapacitet på ca. 4180 J kg C 11. Da mælken hurtigere blev opvarmet og afkølet kan man antage, at denne må have en mindre specifik varmekapacitet end vand. 3.1 Skitse af forsøg Man kan undersøge, om densiteten af en væske har indflydelse på hastigheden for stigningen/ aftagningen af temperaturen. Ved at udføre et tilsvarende forsøg, som det der er beskrevet i denne opgave, men hvor man på forhånd kender densiteten af væsken, vil man kunne påvise en eventuel sammenhæng mellem densiteten og hastigheden for stigning og aftagning af temperaturen ift. tiden. 3.2 Halveringstiden ved de to væsker Man bruger a-værdien ved den eksponentielle funktion for afkølingen af de to væsker til at bestemme konstanten k, hvorefter T 1/2 beregnes. Vand: T 1/2 = ln(2) k = log (2) 0,000314 = 2207,48 s Mælk: T 1/2 = ln (2) k = ln (2) 0,000343 = 2020,84 s Man kan se, at mælk har en kortere halveringstid, hvilket hænger sammen med, at a-værdien i funktionen for afkøling af mælk er mindre end a-værdien ved afkøling af vand. Om afkølingen havde man kunne forvente, at aftagningen i temperaturen ville være hurtigst i starten hvorefter den med tiden vil aftage. Dette skyldes, at procentdelen, som temperaturen aftager med, udgør et mindre og mindre antal grader i takt med at temperaturen bliver lavere. Denne hypotese blev, ud fra modellen, bekræftet og ud fra dette kan man konstatere, at de benyttede modeller er gode til at beskrive den matematiske sammenhæng mellem tiden og temperaturen ved aftagning af temperaturen. 3.3 Anvendeligheden af modellen Den opstillede model kan anvendes til at undersøge en række parametre i forbindelse med opvarmning og afkøling af hhv. vand og mælk. Man kan bl.a. besvare spørgsmål som: 11 I-Fysik C: Specifik varmekapacitet. Gyldendal. 13 af 22
På hvilket tidspunkt aftager temperaturen ved nedkøling af vand med 0,009 grader pr. Sekund? For at besvare dette spørgsmål skal man differentiere funktionen, og sætte f (t) = 0,009 grader pr. Sekund, hvorefter man finder t. Hvilken væskes temperatur halveres hurtigst? Man bestemmer halveringskonstanten for begge funktioner, hvorefter de sammenlignes. Hvor hurtigt stiger temperaturen for vandet efter 10 sekunder? Man finder vha. differentialregning den afledte funktion af funktionen, hvorefter man sætter x = 10. 4. Konklusion Ud fra det foretaget forsøg samt efterbehandlingen kan man konstatere, at der er en eksponentiel matematisk sammenhæng mellem tiden og temperaturen ved opvarmning og nedkøling af hhv. vand og mælk. Dette konstateres på baggrund af, at hastigheden for stigningen af temperaturen i starten var langsom, men at den blev øget i takt med temperaturen og den øget mængde energi. Modsat aftog temperaturen hurtigst i starten, mens hastigheden med tiden aftog, fordi procentdelen, som temperaturen aftog med, udgjorde en mindre og mindre mængde grader i takt med tiden. Halveringstiden var kortest for mælk, hvilket kan skyldes forskellige faktorer, som dog ikke kan præciseres ud fra dette forsøg. Samlet kan man konkludere, at forsøget som udgangspunkt er anvendeligt til at undersøge sammenhængen mellem temperaturen og tiden, såfremt man er opmærksom på fejlkilderne i forsøget. 14 af 22
Kilder - Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Arbejdsbog B1. 1. udg. Gyldendal, 2006. (Bog) - Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik Arbejdsbog B2. 1. udg. Gyldendal, 2006. (Bog) - Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B1. 1. udg. Gyldendal, 2007. (Bog) - Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik, Grundbog B2. - Fordoblings og halveringskonstant. Udgivet af Matematik center. Sidst opdateret: u.å., Internetadresse: http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/funktioner/fordoblingsog-halveringskonstant - Besøgt d. 11.02.18 (Internet) - I-Fysik C: Specifik varmekapacitet. Udgivet af Gyldendal. Internetadresse: http://opslagsvaerker.gyldendal.dk/en/opslagsvaerkervirtuelle/i- Fysik%20C/Materialekonstanter/SPECIFIK%20VARMEKAPACITET.aspx - Besøgt d. 13.02.18 (Internet) - Matematik C: Eksponentialfunktioner. Sidst opdateret: 03.05.16. Internetadresse: http://html.smartpub.dk/egaagymnasium/infogeist-eg13-bma/matematikc/topic_1-34.html - Besøgt d. 15.02.18 (Internet) - Matematik center: Definitions- og værdimængde, Internetadresse: http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/funktioner/definitionsog-vardimangde - Besøgt d. 15.02.18 (Internet) - Matlet.dk: Potensregneregler. Udgivet af u.f. Internetadresse: http://matlet.dk/potensregneregler/ - Besøgt d. 14.02.18 (Internet) - Nielsen, Erik Knud og Fogh, Esper: Vejen til Fysik AB1. 1. udg. HAX, 2006. (Bog) - Nielsen, Knud Erik og Esper Fogh: Vejen til Fysik B2. Side 64-65. 1. udg. HAX, 2006. (Bog) - Nielsen, K.E., m.fl. (2006). Vejen til Fysik B2. Silkeborg: Forlag Hax. 15 af 22
Bilag Bilag 1: Materialer Kop Termometer Elkedel Tang Loggerpro Vand Mælk Figur 12: Materialeliste til forsøg med opvarmning og nedkøling af væsker. Bilag 2: Lineær regression ved opvarmning af vand Figur 13: Graf for lineær regression til forsøg med opvarmning af vand. 16 af 22
Bilag 3: Figur 14: Data til lineær regression ved opvarmning af vand. Bilag 4: Figur 15: Graf for eksponentiel regression ved opvarmning af mælk. 17 af 22
Bilag 5: Figur 16: Lineær regression ved opvarmning af mælk. Bilag 6: Figur 17: Lineær regression ved afkøling af vand. Bilag 7: 18 af 22
Figur 18: Data ved lineær regression ved nedkøling af vand. Bilag 8: Figur 19: Graf for lineær regression ved afkøling af mælk. Bilag 9: Figur 20: Data ved lineær regression ved afkøling af mælk. 19 af 22
Bilag 10 Tabel 1: Data ved forsøg med opvarmning af vand. 0 26,6757 140 29,76295 270 33,66588 400 37,04341 10 26,6815 150 30,32396 280 33,63162 410 37,40701 20 26,79892 160 30,5171 290 34,03427 420 38,02521 30 27,16724 170 30,9581 300 34,34973 430 38,09018 40 27,35871 180 31,33241 310 34,80104 440 38,14436 50 27,91605 190 31,32506 320 35,15601 450 38,5338 60 28,09178 200 31,57644 330 35,34443 460 39,06394 70 28,30681 210 31,76335 340 35,39573 470 39,16407 80 28,77212 220 32,24989 350 35,75242 480 38,94361 90 28,94094 230 32,66672 360 35,92359 490 39,40549 100 29,18703 240 32,73037 370 36,31233 500 39,69322 110 29,52953 250 33,10093 380 36,82769 510 39,78777 120 29,54557 260 33,41288 390 36,81241 520 40,21611 130 29,84177 Bilag 11 Tabel 2: Data til forsøg med opvarmning af mælk. 0 17,9089744147 190 22,3799427676 380 28,9191026153 570 34,6659368505 10 18,1102810263 200 22,7410924857 390 29,7833819519 580 35,5920784559 20 18,7762506142 210 23,1614817421 400 30,3137263343 590 35,5633608442 30 18,8103590041 220 23,3649699283 410 30,7147869472 600 36,2226226922 40 18,9881917748 230 24,0968069695 420 30,87745798 610 36,7467168555 50 19,4673385778 240 23,8224871208 430 30,9067806895 620 36,7222843738 60 19,8714681618 250 24,8263471739 440 30,5507677855 630 36,8842537017 70 19,9554220077 260 25,3728048975 450 31,5073197503 640 37,526955778 80 19,9745639091 270 25,0235009992 460 32,0551154252 650 37,9417319178 90 20,0746581022 280 25,3264279438 470 31,8443494929 660 38,1675882248 100 20,4186927143 290 25,8466866141 480 32,3621248885 670 37,774996039 110 20,6257035765 300 26,2263732952 490 32,7659075333 680 38,1706858165 120 20,5258951529 310 26,4539189996 500 32,9837394589 690 38,325693372 130 20,7621278953 320 26,574225629 510 33,2196909642 700 38,9092579741 140 20,8325057678 330 26,9540631298 520 33,4842683114 710 39,275293423 150 21,2294232714 340 27,5763608679 530 33,3444900822 720 39,5044369123 160 21,3040425099 350 28,3867509745 540 33,7016320008 730 39,7798869686 170 21,6826368772 360 28,7823077287 550 33,7418648596 740 39,9850773846 180 22,1131838622 370 29,0108136054 560 34,3587122414 20 af 22
Bilag 12 Tabel 3: Data ved forsøg med afkøling af vand. 0 39,5232971491 460 36,7650448698 920 34,5639489922 1380 32,662280556 10 40,1606705048 470 36,6886987767 930 34,5204782447 1390 32,6460022298 20 40,0625465816 480 36,6185081177 940 34,4635381866 1400 32,6001355157 30 39,9676960381 490 36,5742808488 950 34,4081199566 1410 32,5587183317 40 39,8350822581 500 36,5041640766 960 34,3467373484 1420 32,5217473235 50 39,6837737745 510 36,4645527343 970 34,2868788134 1430 32,4862627623 60 39,586193968 520 36,4158199126 980 34,2434978979 1440 32,4655668596 70 39,8382373447 530 36,3823285902 990 34,2091021632 1450 32,4300940127 80 39,5201534945 540 36,3184187337 1000 34,1702304366 1460 32,3901958389 90 39,403917285 550 36,2697501586 1010 34,1268864779 1470 32,350306905 100 39,2768608849 560 36,2211027815 1020 34,0745929113 1480 32,3000894504 110 39,1828618846 570 36,1739957471 1030 34,0327722348 1490 32,2646505397 120 39,0858330904 580 36,1086863149 1040 34,0282921924 1500 32,2262664624 130 39,0092228866 590 36,0752867542 1050 33,9834996599 1510 32,1908424179 140 38,9092579741 600 36,0267230864 1060 33,9357367092 1520 32,1583765921 150 38,8109618873 610 35,982730109 1070 33,9029090612 1530 32,1259166792 160 38,731465884 620 35,9433024877 1080 33,8492074834 1540 32,1008380495 170 38,6395852011 630 35,903888382 1090 33,8104355966 1550 32,0757629175 180 38,5742339589 640 35,8629725929 1100 33,7567687618 1560 32,0506912692 190 38,5073740994 650 35,8144985111 1110 33,7284526633 1570 32,006455638 200 38,4219250624 660 35,7842124692 1120 33,7001421095 1580 31,9769711808 210 38,3505179984 670 35,737284629 1130 33,6494948919 1590 31,9430699181 220 38,3148346384 680 35,6797858004 1140 33,610776528 1600 31,9018072322 230 38,2714120934 690 35,6177790478 1150 33,5661141904 1610 31,876759371 240 38,1892734656 700 35,5739402103 1160 33,5422998132 1620 31,828146661 250 38,1072051127 710 35,5240742748 1170 33,4872437344 1630 31,7839642219 260 38,0282995273 720 35,4999043439 1180 33,4500552147 1640 31,7442088632 270 37,9571847791 730 35,4304429022 1190 33,3950331613 1650 31,702989863 280 37,8706801858 740 35,3942180421 1200 33,3474627367 1660 31,6706097359 290 37,8104809342 750 35,3323589576 1210 33,3088227703 1670 31,6382350579 300 37,7487762565 760 35,2810850162 1220 33,2657359152 1680 31,6117507166 310 37,7148550675 770 35,2268183672 1230 33,2256314725 1690 31,5852699857 320 37,5839043883 780 35,1846275249 1240 33,1885070529 1700 31,5426141376 330 37,5100313211 790 35,1394390355 1250 33,1528759999 1710 31,5073197503 340 37,4269887045 800 35,1002889887 1260 33,112800837 1720 31,4793828311 350 37,3516939551 810 35,0430918018 1270 33,0682849442 1730 31,4499797923 360 37,2795245787 820 34,999458888 1280 33,0297147176 1740 31,4073530728 370 37,2196778323 830 34,9483223146 1290 32,9867052019 1750 31,3853083196 380 37,169065375 840 34,8987095232 1300 32,9481548601 1760 31,3412260269 390 37,1062176361 850 34,8506186357 1310 32,9110960126 1770 31,297153288 400 37,0388134403 860 34,81155812 1320 32,8651549379 1780 31,2648393068 410 36,995942456 870 34,7860249853 1330 32,8355224862 1790 31,233998869 420 36,9454383796 880 34,7334727094 1340 32,7955272759 1800 31,2090361629 430 36,8888413259 890 34,7019516005 1350 32,7673883927 1810 31,1796721047 440 36,8353313748 900 34,6479332123 1360 32,7333320161 1820 31,156183826 450 36,8169913015 910 34,6044346651 1370 32,6978024598 1830 31,12976265 21 af 22
Bilag 13 Tabel 4: Data ved forsøg med afkøling af mælk. 0 35,7781562049 210 34,5834405363 410 33,6048207652 610 32,7259293921 10 35,7176108091 220 34,532468745 420 33,5363468186 620 32,6756003758 20 35,6586091024 230 34,495002039 430 33,494682552 630 32,6341644491 30 35,605683958 240 34,4515539153 440 33,4470805332 640 32,6164093568 40 35,5301175208 250 34,4036275939 450 33,3905727968 650 32,5646344463 50 35,475739288 260 34,3332668657 460 33,3638133803 660 32,5306196264 60 35,4047825046 270 34,301840964 470 33,3355724684 670 32,4729579645 70 35,3383926038 280 34,2524721247 480 33,285049208 680 32,4360056426 80 35,2645009924 290 34,2120927529 490 33,2464250599 690 32,3990612992 90 35,2072279658 300 34,1433256846 500 33,1885070529 700 32,3650795105 100 35,1424510887 310 34,0686177593 510 33,1424851515 710 32,3399668308 110 35,1002889887 320 34,0282921924 520 33,086089782 720 32,2882756824 120 35,041586966 330 33,958123574 530 33,048998649 730 32,2439811498 130 34,9919375028 340 33,9237985006 540 32,9941198018 740 32,1893665698 140 34,9423076082 350 33,8641225536 550 32,9451898359 750 32,1583765921 150 34,892697169 360 33,8163998178 560 32,9081316756 760 32,1332934146 160 34,8431060719 370 33,7701835918 570 32,8666367032 770 32,0978878527 170 34,7920323251 380 33,7239822078 580 32,8414485418 780 32,0492165745 180 34,7304703684 390 33,6777955753 590 32,7910839714 790 32,0035069782 190 34,6854436012 400 33,6346020005 600 32,7585034374 800 31,9519131229 200 34,6314320597 22 af 22