3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke bruges her, men der kn opstilles nye formler, der gør det muligt også t beregne ukendte sider og vinkler i skævvinklede treknter. Hvis mn kender tre stykker - vinkler eller sider - i en treknt, kn mn beregne de øvrige vinkler og sider. Dog ikke i en treknt, hvor mn kun kender de tre vinkler. 180 v Ved t betrgte denne enhedscirkel kn mn se, t sin (180 v) = sin v v relet f en treknt Vi vil bevise en formel for relet f en vilkårlig treknt: Sætning 3.1: relet f en treknt relet T f en vilkårlig treknt er: T = ½ b sin Her er og b de hosliggende sider til. Tilsvrende gælder: T = ½ bc sin og T = ½ c sin evis for sætning 3.1 Figurerne i mrgenen viser en treknt, hvor vi hr tegnet højden h fr vinkelspidsen. Hvis treknten er spidsvinklet, flder højden inden for treknten. Hvis er stump, flder den udenfor. I begge tilfælde klder vi højdens fodpunkt for D. Vi ved i forvejen, t trekntens rel er givet ved formlen: T = ½ h Vi kn finde højden h ved t regne på D. D treknten er ret vinklet, gælder: h b 296
3. Vilkårlige treknter h = b sin h b c Indsætter vi dette i T = ½ h, får vi: D g T = ½ b sin Hvis vinkel er stump, forløber beviset for sætning 3.1 lidt nderledes. Udfordring: Kig lidt på enhedscirklen overfor og gennemfør så beviset Hermed er beviset ført. De to ndre formler bevises på tilsv rende måde. Eksempel 3.2 Mn kn finde relet f den første f de to treknter i mrgenen ved t bruge formlen T = ½ b sin : T = ½ b sin = ½ 36 27 sin 63 = 433 I den næste treknt kender mn ikke, men og dens to hosliggende sider. I dette tilfælde ser beregningen derfor således ud: T = ½ bc sin = ½ 35,8 41,7 sin 37,1 = 450 Sinusreltionerne Når mn skl beregne sider og vinkler i vilkårlige treknter, bruger mn to sæt formler, nemlig de såkldte sinusreltioner og de såkldte cosinusreltioner. Vi vil først beskæftige os med sinusreltionerne. Sætning 3.3: Sinusreltioner I en vilkårlig treknt gælder: b c sin sin Forholdet mellem længden f en side og sinus til dens modstående vinkel er det smme for lle sider i treknten. 297
3. Vilkårlige treknter evis for sætning 3.3 Vi beregner trekntens rel på to forskellige måder. Tger vi udgngspunkt i, får vi relet T = ½ bc sin. Med udgngspunkt i får vi T = ½ c sin. D en treknt nturligvis kun hr et rel, må der gælde: ½ bc sin = ½ c sin bc sin = c sin b sin = sin bsin sin b sin sin Hermed hr vi bevist den første f de tre ligninger i sinusreltionerne. Den næste får vi tilsvrende ud fr T = ½ c sin og den tredje ved T = ½ b sin. Eksempel 3.4 I den viste treknt kender vi to vinkler og en side. Den tredie vinkel kn vi beregne f vinkelsummen: = 180 57,5 75,1 = 47,4 Siden finder vi ved hjælp f en sinusreltion: b sin sin 12, 5 sin 751, sin 57, 5 12, 5sin 751, 14, 3 sin 57, 5 Siden c finder vi også ved hjælp f en sinusreltion: b c sin 12, 5 sin 57, 5 c sin 474, c = 10,9 298
3. Vilkårlige treknter osinusreltionerne Lige som sinusreltionerne er cosinusreltionerne et sæt formler, der bruges til t finde sider og vinkler i treknter. De to sæt formler sup plerer hinnden. I tilfælde, hvor sinusreltioner ikke er egne de til t løse et problem, kn mn nvende cosinusreltioner og omvendt. Sætning 3.5: osinusreltioner osinusreltionerne: c 2 = 2 + b 2 2b cos b 2 = 2 + c 2 2c cos 2 = b 2 + c 2 2bc cos I en vilkårlig treknt gælder: c 2 = 2 + b 2 2b cos Kommentrer: Sætningen kldes ofte for Den udvidede pythgoræiske Læresætning, fordi den minder om Pythgors sætning. Den hr dog fået et ekstr led, fordi ikke er ret. Læg mærke til, t cosinusreltionen ovenfor hndler om en side c og dens modstående vinkel. Inde i formlen indgår de to ndre sider. Som cosinusreltionen er formuleret ovenfor, er den let t gå til, hvis mn hr brug for t finde siden c. Er det derimod siden, mn skl finde, er det ikke, men der kommer til t indgå i form len: 2 = b 2 + c 2 2bc cos Tilsvrende ser reltionen således ud, hvis vi skl finde siden b: b 2 = 2 + c 2 2c cos evis for sætning 3.5 I tegner vi højden h fr og klder dens fodpunkt for D. For enkelheds skyld klder vi stykket D for x. Stykket D må d være x. Vi bruger Pythgors på D: ( x) 2 + h 2 = c 2 2 + x 2 2x + h 2 = c 2 (*) 299
3. Vilkårlige treknter Størrelsen h 2 indgår ikke i cosinusreltionerne, så vi vil gerne f med den. Pythgors nvendt på D giver: x 2 + h 2 = b 2 c b h som omformes til: h 2 = b 2 x 2 Vi indsætter i (*): + x Hvis vinkel er en stump vinkel, ser treknten lidt nderledes ud, men beviset kn gennemføres lligevel. Udfordring: Gennemfør beviset x D 2 2x + x 2 + b 2 x 2 = c 2 2 + b 2 2x = c 2 (**) Størrelsen x indgår heller ikke i cosinusreltionerne. Vi får den væk ved t bruge cosinus til i den retvinklede treknt D: cos x b Vi isolerer x og får x = b cos, der indsættes i (**): 2 + b 2 2b cos = c 2 Hermed er sætningen bevist, når er en spids vinkel. Eksempel 3.6 Vi tænker os, t vi kender og dens to hosliggende sider. Vi vil finde den modstående side c ved hjælp f en cosinusreltion: c 2 = 2 + b 2 2b cos = 17 2 + 12 2 2 17 12 cos 65 = 260,6 Herefter finder vi c ved t uddrge kvdrtroden: c = 260, 6 = 161, Mn kunne også sætte sig for t finde og, men for øjeblikket lder vi dette problem hvile. 300
Eksempel 3.7 Vi tænker os, t vi kender og dens to hosliggende sider. Vi vil beregne den modstående side b. Vi kn imidlertid ikke bruge sætning 4.5 direkte. D det er, vi kender, skl vi bruge en cosinusreltion på formen: b 2 = 2 + c 2 2c cos 3. Vilkårlige treknter = 4,31 2 + 5,27 2 2 4,31 5,27 cos 47,1 = 15,426 b 15, 426 393, osinusreltionerne er ofte nyttige, når mn skl beregne en vinkel. Sådn som vi hr skrevet formlerne indtil nu, hr de imidlertid været mest velegnede til beregning f en side. Skl mn beregne en vinkel som fx, bliver det nødvendigt t isolere cos i udtrykket c 2 = 2 + b 2 2b cos. Ld os se på et pr eksempler: Eksempel 3.8 Hvis mn kender de tre sider i en treknt, kn mn bestemme dens vinkler. Først : c 2 = 2 + b 2 2b cos 5,3 2 = 3,6 2 + 4,7 2 2 3,6 4,7 cos 28,09 = 12,96 + 22,09 33,84 cos osinusreltioner til beregning f vinkler: cos 2 b 2 + = c 2 2b cos 2 c 2 + = b 2 2c cos b 2 c 2 + = 2 2bc 33,84 cos + 28,09 = 35,05 696, cos 02057, 33, 84 33,84 cos = 6,96 = cos 1 0,2057 = 78,1 og findes på smme måde. Øvelse 3.9 Isolér cos i cosinusreltionen c 2 = 2 + b 2 2b cos, så der fremkommer en formel til beregning f vinkel. Udled også formler til beregning f vinkel og vinkel. 301
4. De fem trekntstilfælde 4. De fem trekntstilfælde Vi hr tidligere omtlt de fem såkldte trekntstilfælde og vist, hvordn treknterne kn konstrueres med psser, linel og vinkelmåler ud fr tre givne stykker. Her vil vi gennem eksempler se, hvordn mn i lle fem tilfælde kn beregne de ukendte sider og vinkler. Først en oversigt: TREKNTSEREGNINGER IDEFEM TREKNTSTILFÆ LDE Figur Givet Tilfælde nr.1: LLE TRE SIDER Metode 1. En vinkel ved cos-reltion 2. En nden vinkel ved cos-reltion 3. Den tredje vinkel ved vinkelsum Tilfælde nr.2: EN VINKEL OG DE HOSLIGGEN- DE SIDER Tilfælde nr.3: TO VINKLER OG DEN MELLELIG- GE SIDE Tilfælde nr.4: TO VINKLER OG EN IKKE MELLEM- LIGGENDE SIDE Tilfælde nr.5: TO SIDER OG EN IKKE MELLEMLIG- GENDE VINKEL 1. Sidste side ved cos-reltion 2. En nden vinkel ved sin-reltion 3. Den tredje vinkel ved vinkelsum 1. Den tredje vinkel ved vinkelsum 2. En nden side ved sin-reltion 3. Sidste side ved sin-reltion 1. Den tredje vinkel ved vinkelsum 2. En nden side ved sin-reltion 3. Sidste side ved sin-reltion 1. En vinkel ved sin-reltion 2. Den tredje vinkel ved vinkelsum 3. Sidste side ved sin-reltion Ps på! Måsketo løsninger Eksempel 4.1: Første trekntstilfælde I en treknt er de tre sider givet. Deres længder er ngivet på figuren. Trekntens vinkler ønskes beregnet. 1. Vinkel beregnes ved en cosinusreltion: cos b c 832, 135, 890, cos 2bc 2832, 13, 5 = 39,9 2 2 2 2 2 2 = 0,7668 8,32 13,5 8,90 2. Vinkel beregnes på tilsvrende måde: c b cos 890, 135, 832, cos 2c 2890, 13, 5 = 36,9 2 2 2 2 2 2 = 0,8000 302
4. De fem trekntstilfælde 3. Vinkel beregnes på tilsvrende måde ved en cosinusreltion til 103,2. Herefter kn mn kontrollere resulttet, idet vinkelsummen bliver: + + = 39,9 + 36,9 + 103,2 = 180 8,56 Eksempel 4.2: ndet trekntstilfælde I treknt er der givet to sider og den mellemliggende vinkel. Størrelserne er ngivet på figuren. 1. Den tredie side beregnes f en cosinusreltion: 85,1 12,1 2 = b 2 + c 2 2bc cos 2 = 8,56 2 + 12,1 2 2 8,56 12,1 cos 85,1 = 202,0 = 14,2 2. Vinkel findes også ved en cosinusreltion: c b cos 14, 2 + 121, 856, cos = 2c 2142121,, = 36,9 2 2 2 2 2 2 = 0,7996 3. Vinkel beregnes ud fr vinkelsummen: = 180 85,1 36,9 = 58,0 Eksempel 4.3: Tredie trekntstilfælde Treknt er givet ved to vinkler og den mellemliggende side. De givne stykker er vist på figuren i mrgenen. 30,3 9,68 124,3 1. Vinkel beregnes ud fr vinkelsummen; = 180 30,3 124,3 = 25,4 2. Siderne beregnes ved hjælp f sinusreltioner: b c b,, sin, = b sin sin 124, 3 = 968 sin, = 968 124 3 = 18, 64 25 4 sin 25, 4 c,, sin, = sin sin, = 968 sin, = 968 303 30 3 25 4 sin 25, 4 = 11, 39 303
4. De fem trekntstilfælde Eksempel 4.4: Fjerde trekntstilfælde Treknt er givet ved to vinkler og en ikke mellemliggende side. De givne stykker er vist på figuren i mrgenen. 1. Vinkel beregnes ud fr vinkelsummen: = 180 23,8 35,9 = 120,3 23,8 6,57 35,9 2. Siderne beregnes ved hjælp f sinusreltioner: b,, sin, = sin sin sin, = 657 sin, = 657 238 23 8 35 9 sin 35, 9 = 452, c b c,, sin, = c sin sin 120, 3 = 657 sin, = 657 120 3 = 967, 35 9 sin 35, 9 Eksempel 4.5: Femte trekntstilfælde Treknt er givet ved to sider og en ikke mellemliggende vinkel. De givne stykker er nført på figuren. 2 1. Vinklen beregnes ved hjælp f en sinusreltion: c 777,,, sin, = sin sin, = 960 = 9 60 50 5 = 0,9534 50 5 777, I trekntstilfælde fem kn der være to løsninger. For t gennemføre en korrekt beregning, er det vigtigt t huske på, t ligningen sin = 0,9534 hr to løsninger. Den ene findes ved f nvende invers sinus og den nden ved t trække den først fundne fr 180. Sådn: 1 50,5 9,60 7,77 180 v 1 = sin 1 (0,9534) = 72,4 2 = 180 72,4 = 107,6 v 2.Vinkel beregnes ud fr vinkelsummen: 1 = 180 50,5 72,4 = 57,1 2 = 180 50,5 107,6 = 21,9 To vinkler kn hve smme sinus 3. Den sidste side beregnes f sinusreltioner: 304 b1 c b1 960, 960, sin 571, = = b1 = sin sin 57, 1 sin 72, 4 sin 72, 4 1 1 b2 c b2 960, 960, sin 219, = = b2 = sin sin 21, 9 sin 107, 6 sin 107, 6 2 2 = 846, = 376,
5. eregning med ligningsløser 5. eregning med ligningsløser Mnge mennesker er ikke interesseret i teori, men hr et behov for t gennemføre mnge beregninger i forbindelse med prktiske nvendelser. Sådnne mennesker vil ofte vælge IT-værktøjer til deres beregninger. Her vil vi vise, hvordn en ligningsløser kn benyttes til trekntsberegninger. Ligningen fr eksempel 5.1 er indtstet i ligningsløseren og løst til 3,941 Eksempel 5.1 Vi tænker os, t = 30,4, = 58,5 og b = 6,64. Vores opgve er t beregne. Vi begynder med t tegne en prøvefigur, og ser strks, t opgven kn løses med en sinus-reltion: sin 30, 4 664, sin 58, 5 Dette kn vi indtste direkte i solveren som vist på skærmbilledet i mrgenen. Fcit bliver 3,941. 6,64 30,4 58,5 Eksempel 5.2 Denne gng tænker vi os, t vi kender trekntens tre sider og skl finde finde (se prøvefiguren). En cosinusreltion kn løse problemet: 4,92 8,26 Ligningen fr eksempel 5.2 løses med ligningsløser c 2 = 2 + b 2 2b cos Vi indsætter tllene og indtster lignignen i ligningsløseren som vist. Fcit er = 66,9. 7,78 Eksempel 5.3 De givne stykker fremgår f prøvefiguren, og opgven er t finde. Ligningsløseren hr løst ligningen i eksempel 5.3 og fået resulttet = 73,32 11, 3 91, sin( 180 56, 2 ) Den ubekendte står gnske vist to steder i ligningen, men det generer ikke ligningsløseren. Fcit er = 73,32. 9,1 11,3 56,2 305