Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen mellem den afstand vi kører og prisen for turen kan tegnes i et koordinatsystem som en ret linje Hvis vi skal aflæse hvad det koster at køre 40 km i taxaen, finder vi 40 på x-aksen (vandrette akse) og tegner en lodret streg op til vi rammer linjen. Derefter tagnes en vandret streg til vi rammer y-aksen (lodrette akse). Her kan prisen så aflæses: 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 y -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 x Side 1 af 13
Vi kan her aflæse at en taxatur på 40 km i dette tilfælde koster 600 kr. Aflæs nu på grafen: Hvad koster det at køre 60 km? Hvor langt kan man køre for 1200 kr.? De fleste taxaselskaber har dog en startpris som man betaler for at benytte taxaen. I vores selskab er startprisen 25 kr. Prisen for at køre en tur på 50 km er nu Startpris Grafisk ser det således ud: 90 80 70 60 50 40 30 20 10 y Grafen skærer y-aksen i 25 1 2 3 4 x Side 2 af 13
Dernæst zoomes der ud på grafen: 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 y -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 Vi kan her aflæse at det koster 400 kr. at køre 25 km med taxaen, Brug nu grafen til af aflæse: Hvor meget koster det at køre 65 km med taxaen? Hvor langt kan man køre for 800 kr. x Matematisk kan vi opskrive sammenhængen mellem de antal km vi kører i taxaen og prisen på følgende måde:, hvor x står for de antal km der køres i taxaen og y prisen for turen Da prisen pr. km og startprisen er forskelligt mellem de forskellige taxaselskaber Kan vi opskrive funktionen således: Et andet taxaselskab har en startpris på 35 kr. (b) og en pris pr. km på 12 kr. (a) Side 3 af 13
Sammenhængen mellem antal kørte km og prisen for turen kan skrives op således:, hvor x står for de antal km der køres i taxaen og y prisen for turen Hvor meget koster det at køre en tur på 65 km med denne taxa? Hvis vi skal udregne hvor langt at vi kan køre for f.eks. 1000 kr. er vi nødt til at lave om vores udtryk. Først trækkes 35 fra på begge sider af lighedstegnet Det giver Dernæst divideres med 12 på begge sider af lighedstegnet: Ved at bytte om på højre og venstre side af lighedstegnet fås Vi kan nu indsætte i den nye formel: Vi kan altså ca. køre 80 km for 1000 kr. Hvor langt kan man så køre for 1175 kr.? Side 4 af 13
Opg. 2 En Euro koster 7,50 kr. og vekselgebyret er 30 kr. Det betyder at 2 Euro Koster: Det kunne man skrive op således:, hvor og Grafisk ser det således ud: 180 y = kroner 160 140 120 100 80 60 40 20 x = euro 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Man kan på grafen aflæse at 4 euro koster 60 kr. Dette kunne også udregnes således Aflæs nu på grafen hvad 12 euro koster i danske kroner: Udregn nu ved hjælp af formlen prisen i kroner Side 5 af 13
Aflæs dernæst på hvor mange euro man kan få for 200 kr. Udregn dernæst det antal euro man kan få for 200 kr. ud fra formlen: Udregn nu: 1. Hvor meget koster 350 Euro? 2. Hvor mange Euro kan man få for 1500 kr.? Opg.3 I USA benyttes fahrenheittemperaturer i stedet for celsius-temperaturer. Man kan beregne en fahrensheit-temperatur (y) ud fra en celsiustemperatur (x) ved brug af formlen: 1. Beregn fahrenheittemperaturerne hørende til 0 grader celsius og 100 grader celsius. 2. Den højeste temperatur målt i Death Valley, Californien, er 134 grader fahrenheit. Hvilken celsiustemperatur svarer det til? Side 6 af 13
Grafen for en lineær funktion Vi ved at der er tale om en lineær funktion, når forskriften er I denne formel er og tal, mens vi kalder og for variable. Det kunne f.eks. se sådan ud I dette eksempel er og. Nu vil vi tegne grafen for denne funktion i et koordinatsystem. Tallet det er der, grafen skærer -aksen. Vi skal altså sætte et punkt ved er begyndelsesværdien, dvs. på -aksen. Tallet er stigningstallet (kaldes også hældningskoefficienten). Det betyder, at hver gang vi går én ud i -aksens retning, så skal vi gå op i -aksens retning. Vi starter altså ved på -aksen, går så hen og op, og så har vi et nyt punkt. På denne måde kan vi fortsætte, som det ses på nedenstående figur. Nu kan vi tegne en ret linje gennem punkterne, og så har vi tegnet grafen for funktionen. Side 7 af 13
På samme måde kan vi tegne grafen for funktionen Her er begyndelsesværdien, så vi skal starte i på -aksen. Stigningstallet er, da det er negativt skal vi gå hen og ned, når vi skal sætte punkterne: Side 8 af 13
Og tegner vi grafen som går gennem disse punkter, ser det således ud. Øvelse Tegn grafen for følgende funktioner. a) b) c) d) Tabeller Vi ser igen på funktionen Vi skal udfylde en tabel med - og -værdier. Vi ved jo at begyndelsesværdien er, så derfor har vi punktet. Vi fandt det næste punkt ved at gå hen og op. Derfor får vi punktet. Og vi kan fortsætte på denne måde og derved udfylde nedenstående tabel. På tilsvarende måde kan vi udfylde tabellen for funktionen. Her er begyndelsesværdien, så det første punkt hedder i dette eksempel. Herefter går vi hen og ned, det giver os følgende tabel. Side 9 af 13
Man kan også udfylde en tabel, ved at bruge formlen. Ser vi på det sidste eksempel, hvor formlen er Og vi skal udfylde de manglende pladser i tabellen: I den første er. Dette indsætter vi i formlen og regner -værdien ud: I den sidste kolonne er, dette indsætter vi i formlen og løser ligningen: Derfor ser tabellen således ud: Øvelse a) Vi ser på funktionen. Udfyld tabellen. b) Vi ser på funktionen. Udfyld tabellen. Side 10 af 13
Bestemmelse af og Vi kan nemt aflæse både og, hvis vi har grafen for en lineær funktion. I nedenstående figur ser vi f.eks. at begyndelsesværdien er, da det er skæringen med -aksen. Vi ser også at stigningstallet er. Da formlen for en lineær funktion er, så er formlen for denne lineære funktion Øvelse a) Bestem ved aflæsning formlen for de tre grafer i nedenstående figur. Side 11 af 13
Hvis man vil være mere præcis, så er det ikke nok at aflæse tallene og. Vi skal i stedet beregne dem. Du kan se en video om beregning af og her: http://www.youtube.com/watch?v=1mb7h3dtsvk Og vi giver også et eksempel: For at kunne beregne og, skal vi kende to punkter på grafen. I nedenstående figur ligger punkterne og på grafen. I det første punkt er -værdien og -værdien er. Vi skriver derfor at og. Tilsvarende ser vi, at i det andet punkt er og. For at kunne beregne og skal vi nu indsætte i følgende formler: Vi beregner først, ved at indsætte de fire tal i formlen: Vi finder også Side 12 af 13
Dvs. regneforskriften er. Dette resultat passer også godt med grafen i ovenstående figur. Øvelse Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne og. a) Hvad er,, og? b) Beregn og. Grafen for en anden lineær funktion går gennem punkterne og. c) Beregn og. Her kan du se en video, hvor de centrale egenskaber ved en lineær funktion gennemgåes: http://www.youtube.com/watch?v=obettat5see#t=188 Side 13 af 13