Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning... 4 Rentesregning... Eksponentiel udvikling... 7 Potenssmmenhæng... 9 Ligefrem proportionlitet... 0 Indekstl... 0 Omvendt proportionlitet... 0 Sttistik...
Et pr eksempler på besvrelse f eksmensopgver Opgve.0 (HF-C vejledende opgver) Antllet f lndbrug i Dnmrk kn for perioden 983-000 med god tilnærmelse beskrives ved modellen = -600x + 98680, hvor er ntllet f lndbrug, og x er ntl år efter 983. ) Hvd fortæller tllene 600 og 98680 om ntllet f lndbrug i perioden 983-000? Ligningen Vrible: = -600x + 98680 er f tpen = x + b, ltså en lineær funktion x = tid målt i år fr 983 = ntllet f lndbrug Konstnter: = hældningskoefficienten =-600 Når x stiger med, ændres med betder i dette tilfælde: Hver gng der går et år flder ntllet f lndbrug med 600 b = begndelsesværdi = 98680 b er -værdien, når x=0, ltså i året 983: I 983 vr der 98680 lndbrug b) Hvor mnge lndbrug vil der være i 00, hvis denne udvikling fortsætter? I 00 er x = 00-983 = 7, og vi kn d beregne = -600x + 98680 = -6007 + 98680 = 8480 Med uændret udvikling vil der være 8480 lndbrug i 00 c) Hvornår kommer ntllet f lndbrug under 40 000, hvis denne udvikling fortsætter? Vi indsætter = 40000 i ligningen = -600x + 98680 40000 = -600x + 98680 og denne ligning løses med solve på lommeregneren: x =,57. (år efter 983). Dvs. 983 +,57 = 005,57 I 006 kommer ntllet f lndbrug ned under 40000
Opgve.00 (HF-C vejledende opgver) En person køber et mleri til en værdi f 60 000 kr. Mleriets værdi vokser herefter med % om året. ) Bestem værdien f mleriet efter 5 år. D mleriets værdi hvert år stiger med smme procent, er der tle om eksponentiel vækst. Vrible: x = tid målt i år = 5 = mleriets værdi (kr.) Konstnter: p = årlig vækstprocent =, herf beregnes p = årlig fremskrivningsfktor,, 00 00 b= begndelsesværdi = 60 000 (kr.) Smmenhæng mellem de vrible: x b, herf beregner vi efter de 5 år: 5 60000, 0574 Mleriets værdi efter 5 år: 574 kr. Et ndet mleri hvde en værdi f 85 000 kr. Efter år vr værdien f dette mleri vokset til 5 000 kr. b) Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise vækst i værdien f dette mleri. Mleriets værdi på de to tidspunkter = 85000 (kr.) = 5000 (kr.) n = (år mellem de to værdier) Beregning f gennemsnitlig fremskrivningsfktor og procentisk vækst: 5000 n gennemsnit 85000 p gennemsnit, 03568 00 (, 03568 ) 00 3, 568 gennemsnit Den gennemsnitlige årlige vækst vr ltså 3,57% 3
Opgve.08 (HF-C vejledende opgver) Indiens befolkningstl i perioden 96-000 kn tilnærmelsesvis beskrives ved modellen = 44,07 x, hvor er Indiens befolkningstl, målt i millioner, og x er ntl år efter 96. ) Hvd fortæller tllene 44 og,07 om befolkningstllet i Indien? Ligningen = 44,07 x Vrible: x = tid målt i år efter 96 = Indiens befolkning (millioner) Konstnter: er f tpen = b x, ltså en eksponentiel udvikling b = begndelsesværdi = 44 (mio.) er Indiens befolkning ved x=0, dvs. i 96 = årlig fremskrivningsfktor =,07 er det tl, som befolkningen årligt gnges med. Herf kn den årlige vækstprocent bestemmes: p = ( )00 = (,07 )00 =,7 Dvs. Indiens befolkning steg årligt med,7% i årene 96-000 4
Opgve.06 (HF-C vejledende opgver) Smmenhængen mellem indtgelse f frugt og grønt gennem længere tid og det årlige ntl kræftdødsfld i Dnmrk kn beskrives ved modellen = 5 000x 0,5 hvor ngiver det årlige ntl kræftdødsfld i Dnmrk, og x ngiver det gennemsnitlige dglige indtg f frugt og grønt i grm. ) Hvor mnge procent ville det årlige ntl kræftdødsfld være mindre, hvis det dglige indtg f frugt og grønt vr 0 % større? Ligningen = 5 000x -0,5 er f tpen = bx, dvs. en potenssmmenhæng Vrible: x = gennemsnitligt dgligt indtg f frugt og grønt (i grm) = ntl årlig kræftdødsfld i Dnmrk Konstnter: = eksponenten = -0,5 b = 5 000 (i princippet værdi f, når x=) Ved 0% større indtg f frugt og grønt beregner vi med formler vedrørende potenssmmenhænge: p x = 0 (procentisk ændring i x) p 0 x F, 0 (fremskrivningsfktor for x, dvs. hvd x gnges med) x 00 00 F (fremskrivningsfktor for ) 0,5 ( F ), 0 0, 987 x P =( F ) 00 = (0,987 ) 00 = -8,79 (procentisk ændring i ) Antllet f årlige kræfttilfælde ville ltså efter modellen være 8,7% mindre, hvis frugt- og grønt-indtget vr 0%større Opgve.06 (HF-C vejledende opgver) Figuren viser en treknt ABC, hvor vinkel C er ret. Nogle f målene fremgår f figuren. ) Bestem AC. Idet C = 90 og AC = b (overfor B) fås ( ) ( ) AC = b =, ltså ( ) ( ) b) Bestem relet f treknten. ( ) ( ) =,79596 Ved hjælp f Pthgors (C = 90) beregnes hp b 5, 0, 79596 4, 45 Arelet f den retvinklede treknt er ½ højde grundlinje = ½b = ½,79596 4,45 = 5,79 b c=5,0 5
0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER Tl, regneopertioner og ligninger Regnerternes hierrki t 4 3 4 3 4 4 6 Beregningsrækkefølge:. potensopløftning. gnge/division 3. plus/minus En prentes udregnes for sig. Vndrette brøkstreger skiller som prenteser. Plus-prenteser kn hæves () 5 + (x 3) = 5 + x 3 = x + Minus-prenteser: fortegnsskift () 8 (3 + x) = 8 3 x = 5 x (3) 7 (x ) = 7 x + = 9 x Gnge-prenteser kn hæves: (4) (3x) = 3x = 6x (5) (3x) = 3x = 3x = 6x Gnge ind i (prenteser med + og ) (6) (x+4) = x + 4 = x + 8 (7.) (3+x) = (3+x)(3+x) = 3 + x + 3 x (7.) (x 5) = (x 5)(x 5) = x + 5 x 5 Smle led Plus-prenteser kn hæves () + (b c) = + b c Minus-prenteser: fortegnsskift () (b + c) = b c (3) (b c) = b + c Gnge-prenteser kn hæves: (4) (bc) = bc (5) (b)c = bc Gnge ind i (prenteser med + og ) (6) c(+b) = c + cb (7) (+b)(c+d) = c + d + bc + bd Smle led (8) + = 3 (8) 5x x = 4x Ligninger En ligning består f to formler med lighedstegn imellem. Ofte er optræder en ubekendt, f. eks x. Et tl der, indst som x, får lighedstegnet til t psse, kldes en løsning. I en ligning må mn ) lægge smme tl til på begge sider ) trække smme tl fr på begge sider 3) gnge med smme tl på begge sider, dog ikke med 0 4) dividere med smme tl på begge sider, dog ikke med 0 6
Ligninger. Mønstre for nvendelse f regler om t lægge smme tl til m.v. Eksempel Tpe Løsning G Gnge P Plus M Minus M Minus M3 Minus MG Minus og Gnge Po Potens Eksempler på ndre potensligninger: Pob Potens Po Potens ( ) ( ) Hvis c og x er positive Hvis og c er positive ( ) ( ) 7
BB Brøk=Brøk BB Brøk=Brøk B Brøk (lterntiv) (lterntiv) B Brøk 8
Løse ligning på lommeregner Csio fx-99es For t løse ligningen x = 8 på lommeregneren Csio fx-99es indtstes følgende: X=8, X Mn bruger disse tster: X =, Mn sætter ligningsløsningen i gng ved først t tste og ser (MYSTISK?) Tllet er ikke løsningen, men en tilfældig gmmel x-værdi (I vil se ndre tl, når I prøver). Mn skl indtste et strt-gæt. Tst f. eks. tllet og trk på det lighedstegn, der er nederst til højre på lommeregneren Her ses løsningen : x=4 (Det nederste L-R betder venstre side minus højre side, som giver 0, når løsningen x=4 er indst i ligningen) 9
Begreber i klssisk geometri + formelsmling I mtemtikundervisningen forudsætter vi følgende begreber og sætninger i plngeometrien (Frit efter Euklid c. 300 f. kr.). Tilføj selv forklringer og kommentrer. Punkt. Linje (også kldet ret linje), hlvlinje, linjestkke 3. Cirkel, centrum, rdius 4. Vinkel 5. Topvinkler er lige store 6. Ret vinkel (90 = rdiner) Vinkel på 80 = rdiner Vinkel på 360 = rdiner 7. Prllelle linjer 80 = 3,4.. rd. 8. Ensliggende vinkler ved linje, der skærer prllelle linjer 9. En treknts vinkelsum er 80 A + B + C = 80 - og beviset C B C A C A B A B 0. Sætningen om ensvinklede treknter c b c b. (Krum) kurve 0
Ensvinklede treknter To treknter, ABC og A B C kldes ensvinklede hvis c vinklerne opflder A=A, B=B og C=C For sidelængderne i to ensliggende treknter gælder: b c k b c b c Eller: Der findes et fælles tl, k, sådn t k = b k = b c k = c b k kldes forstørrelsesfktor, sklfktor, målestoksforhold. Vilkårlig treknt Trekntens rel T: T = 0.5 g h = 0.5 b sin(c) g h C b Vinkelsummen: A + B + C = 80 (hvorf f. eks. A = 80 B C ) Sinusreltion sin( A ) sin( B ) sin( C ) b c b A c side: b sin( A) sin( B) vinkelberegning: sin( B) A sin ( A spids vinkel) b eller C B sin( B) A 80 sin ( A stump vinkel) b sin - (lommeregner) rcsin, sin (eller lign. på PC) cos - (lommeregner) rccos, cos (eller lign. på PC) Cosinusreltion Spids vinkel: mellem 0 og 90 Retvinklet treknt Stump vinkel: mellem 90 og 80 c b b cos( C) Side-beregning: Vinkel-beregning: c b b cos( C) C cos b c b hp b I en retvinklet treknt ( 90 vinkel ) gælder Pthgors: Omformning f + b = hp
Retvinklet treknt (fortst) hp v Hosliggende ktete til v Modstående ktete til v Sinus, cosinus, tngens i retvinklet treknt: I en retvinklet treknt gælder for en spids vinkel, v: sinv cos v tn v modstående ktete til v hpotenuse hosliggende ktete til v hpotenuse modstående ktete til v hosliggende ktete til v En model i geometri er en tegning med nvne og evt. mål på indgående punkter, linjestkker, vinkler o.s.v. Højde, medin og vinkelhlveringslinje i vilkårlig treknt Firknter Kvdrt Rektngel Prllelogrm Trpez Arel = Længde Bredde Cirkel C r C : Centrum r : rdius Andre størrelser: Dimeter = r Arel = Omkreds =
Oversigt/formelsmling om lineære smmenhænge Funktioner og modeller Funktion En funktion er en smmenhæng mellem vrible, hvor et input giver et output. Kn vises med sildeben og grf. Model En model kn bestå f nogle vrible og en funktion der smmenkntter dem. Eks. x : længde f txtur i km (ufhængig vribel) : pris i kroner for txturen (fhængig vribel) Smmenhæng: = 4 x + 30 Lineær funktion, = x + b = x + b xx Omformning f = x + b : b = x Konstnternes nvne ved lineære funktioner: : hældningskoefficienten, stigningstllet b : -kse-skæringen Betdning i lineær model f konstnterne og b: Konstnternes betdning (ved lineære funktioner): Når x=0, er =b Når x stiger med, vil ændres med b Vækstegenskb: Funktionen er voksende, når er positiv Funktionen er ftgende, når er negtiv x _ændring = x_ændring 3
Formler og eksempler med procent. En del f det hele (sttisk) Spm.: Anders disponible indkomst udgør 5% f hele indkomsten på 0 000 kr. Beregn den disponible indkomst. Svr: d p = procenttl = 5 d = delen? h = det hele = 0000 h p d 5 d giver 00 h 00 0000 p = procenttl d = delen h = det hele 50000 hvorf d 3000 00 Anders disponible indkomst er 3000 kr. Spm b: På hele mtemtikholdet er der 5 kursister. 8 f dem er drenge. Hvor mnge procent udgør drengene? Svr: p = procenttl? d = delen = 8 h = det hele = 5 p d p 8 giver 00 h 00 5 800 hvorf p 3 5 Konklusion: Drengene udgør 3% f holdet. Smmenligning eller ændring 0 8 6 4 0 Ændring Før () Efter (). Beregning fremd: p F hvor F 00 p = ændring i procent = strtværdi = slutværdi F = fremskrivningsfktor Spm. : Kiloprisen på sukker vr 8 kroner. Så steg prisen med 0%. Hvd vr den ne pris? Svr: p = ændring i procent = 0 = strtværdi = 8 = slutværdi? F = fremskrivningsfktor p 0 F,0 00 00 F 8,0 8,80 Konklusion: Den ne pris vr 8,80 kr. 4
b. Beregning f ændringsprocent: p ( F ) 00 hvor F Ændring Spm. b.: Benzinprisen steg fr 0,00 kroner til 0,50. Hvor mnge procent steg prisen? Svr: p = ændring i procent? = strtværdi = 0,00 = slutværdi = 0,50 F = fremskrivningsfktor F 0,50,05 0,00 Før () Efter () p ( F) 00 (,05 ) 00 5 Konklusion: Benzinprisen steg 5%. Procentisk Fld (størrelse som ftger) Begrebet ændring dækker både stigning og fld. I eksempel og b ovenfor regnede vi på stigninger. Formlerne er de smme ved fld. Blot regnes ændringsprocenten, p, som et negtivt tl 00 80 60 40 0 0 Ændring Før () Efter () Spm. c: Der vr 80 medlemmer. Så fldt medlemstllet med 5%. Hvor mnge vr der så? Svr: p = ændring i procent = -5 = strtværdi = 80 = slutværdi? F = fremskrivningsfktor p 5 5 F 0,75 00 00 00 F 800,75 60 Konklusion: Det ne medlemstl vr 60. Spm. d.: Pndbestnden i et område fldt fr 00 til 40. Hvor mnge procent fldt ntllet f pnder? Svr: p = ændring i procent? = strtværdi = 00 = slutværdi = 40 F = fremskrivningsfktor F 40 00 0,70 p ( F) 00 (0,70 ) 00 30 Konklusion: Antllet f pnder fldt med 30%. 5
Procentisk ændring lt i én formel: 0 8 6 4 0 Ændring Før () Efter () p 00 Spm. (igen): Kiloprisen på sukker vr 8 kroner. Så steg prisen med 0%. Hvd vr den ne pris? Svr: p = ændring i procent = 0 = strtværdi = 8.00 = slutværdi? p 0 8, 00 8,80 00 00 Konklusion: Den ne pris vr 8,80 kr. ------------------------------------------------------------------------------------------ Spm. d. (igen): Pndbestnden i et område fldt fr 00 til 40. Hvor mnge procent fldt ntllet f pnder? Svr: p = ændring i procent? = strtværdi = 00 = slutværdi = 40 p p isoleres: 00 40 p 00 00 30 00 Konklusion: Antllet f pnder fldt med 30%. 6
Eksponentiel vækst = b x Foruden ved gentgne ændringer bruges formlen for eksponentiel vækst, = b x i situtioner med jævne, kontinuerlige stigninger, hvor der er lige stor procentisk vækst i hver tidsenhed (f. eks. en årlig stigning på 4%). Her ntger x ikke bre hele tl som værdier: 0,,, 3, men også decimltl: 0.7 eller 3.5 o.s.v. Mn kn f. eks. spørge: Hvor stor er vægten f bkteriekolonien efter.7 dge? = b x, og b positive, hvor (ofte) 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 x tid (slut)værdi b begndelsesværdi p procenttilvækst pr. x-enhed Fremskrivningfktor pr. x-enhed: (x,) (x,) ( x x ) x eller x Omformning f = b x : Af beregnes vækstprocent pr tidsenhed: p = (-)00 Betdning i eksponentiel model f og b Når x=0, er =b Når x stiger med, vil gnges med (dvs. ændres p procent, hvor p=(-)00 ) - - - -ændring over flere x-enheder: Fremskrivningsfktor for, når x forøges fr x til x h F hvor h x x Procentændring for hele perioden p =(F ) 00 Vækstegenskb Funktionen er voksende, når > - og så hr den en fordoblingskonstnt Funktionen er ftgende, når 0 < < - og så hr den en hlveringskonstnt ---------------------------------------------- 7
Fordoblingskonstnt fordobles, når x forøges med fordoblingskonstnten (T eller T ) T = x x (Hvis x-værdier kn flæses på grf, se til venstre) x x Omformninger Hlveringskonstnt hlveres, når x forøges med hlveringskonstnten (T eller T ½ ) T x x (Hvis x-værdier kn flæses på grf, se til venstre) ½ Omformninger x x Gennemsnitlig vækstprocent ved uregelmæssig vækst Gennemsnitlig vækstprocent Hvis størrelsen på uregelmæssig måde er vokset fr til fr år x til år x, smmenligner vi med den stbile eksponentielle vækst, der ville strte og slutte i de smme to punkter: p gennemsnit =(- ) 00, hvor ( ) Logritmefunktionen ( ) f.eks. log(000) = 3, d Potensligninger ( ) ( ) 8
Potens-smmenhæng (potensudvikling), = b x. Definition f potens-smmenhæng: = b x, b positiv, x positiv Omformning f = b x :. Bestemmelse f ud fr to punkter (x, ) og (x, ) log loglog x log x log x log x ( eller ) 3 Konstnten b Når x=, er =b (om, se nedenfor, F x og F ) 4. Fremskrivningsfktorer og vækstprocenter Betdning i potensudviklingsmodel f og b Fremskrivningsfktorer. Når x gnges med F x, gnges med F F = (F x ) Hvor x F x = x og F = og log. skl Når x ændres med p x,procent ændres med p procent, hvor: b F F x log. skl x F = (F x ) p = (F ) 00 (Kombintion f disse tre formler): Vækstegenskb Funktionen er voksende, når > 0 Funktionen er ftgende, når < 0 9
Proportionlitet, indextl, omvendt proportionlitet Ligefrem proportionlitet, = x (eller: proportionlitet) ( Ligefrem) proportionlitet = x eller = k x Grfen er en ret linje gennem (0,0) Formlerne for lineær funktion, = x + b kn bruges, idet mn sætter b=0, dvs. Omformning f = x : x x x Desuden gælder for to grf- eller tbelpunkter (x, ) og (x, ) (Idet =) x x ( strikkepind ) Indekstl (Bsisår) Størrelse Index 00 i Indekstl er proportionle med størrelserne Af fås f. eks. 00 i i 00 ( strikkepind ) Indekstl respekterer de procentiske ændringer, der er i de oprindelige tl. Omvendt proportionlitet, b x 3.5 3.5.5 f (x, ) (x, ) Omvendt proportionlitet k x eller b x eller b eller x Grfen er en hperbel. b x Formlerne for potens-smmenhæng b x kn bruges (se side 7), idet mn sætter =-. Mn kn omforme til: 0.5 Omformning f : 0-0.5 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5 Desuden gælder for to grf- eller tbelpunkter (x, ) og (x, ) (Idet b=b) x x 0
STATISTIK, GRUPPERET OBSERVATIONSSÆT Her er observtionerne (tllene) grupperet i intervller Hppigheden fortæller hvor mnge observtioner der er i hvert intervl. Frekvensen udregnes ved t dividere hppigheden med ntl observtioner i lt. hppighed Frekvensen = 00 % ntl observtioner ilt Frekvensen fortæller hvor mnge procent f observtionerne der er i hvert intervl. Middelværdien udregnes ved t tge midtpunktet f hvert intervl og gnge det med frekvensen, og så lægge lle disse resultter smmen. Middelværdien = summen f (intervlmidtpunkt. frekvens) Middelværdien er et bud på et gennemsnit. Histogrmmet tegnes i et koordintsstem hvor intervlendepunkterne fsættes på x-ksen og hppigheden eller frekvensen fsættes på -ksen. Over hvert intervl tegnes et rektngel som hr intervllets bredde og hvor højden er hppigheden eller frekvensen. Tpeintervllet er det intervl der hr den største hppighed og største frekvens. Den kumulerede frekvens udregnes i intervlendepunkterne ved t lægge frekvenserne smmen nedefr. Den kumulerede frekvens fortæller hvor mnge procent f observtionerne der er mindre end eller lig med et bestemt tl. Sumkurven tegnes i et koordintsstem med intervlendepunkterne på x-ksen og de kumulerede frekvenser på -ksen. Punkterne fr tbellen over kumuleret frekvens fsættes i koordintsstemet og de forbindes med rette linjestkker. Til sidst tegnes vndrette hlvlinjer ud fr første og sidste støttepunkt. Kvrtilerne flæses på sumkurven ud fr 5%, 50% og 75% på -ksen. Medinen er den kvrtil der flæses ud fr 50%, og den ngiver det tl der deler observtionerne så hlvdelen er under medinen og hlvdelen er over medinen. Boxplottet Kssetingen med håndtg tegnes ved t lve et vndret linjestkke som strter i det mindste intervlendepunkt og slutter i det største. På linjestkket fsættes de tre kvrtiler, og der tegnes et rektngel med tilfældig højde over hvert pr f kvrtilerne.