Transformation: tætheder pår k

Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k I dette kapitel vil vi angribe følgende version af transformationsproblemet: Lad X 1,, X k være reelle stokastiske variable, defineret på (Ω,F, P), sådan at den simultane fordeling af (X 1,, X k ) pår k har tæthed f med hensyn til Lebesguemålet m k Lad h : R k R m være en pæn, differentiabel funktion Har fordelingen af h(x 1,, X k ) tæthed med hensyn til Lebesguemålet pår m, og hvad er tætheden i påkommende tilfælde? Hvis m>k er svaret på spørgsmålet intuitivt klart, for billedmængden h(r k ) bliver tynd inden ir m Man kan tænke på en flade eller en kurve ir 3 - sådanne mængder har tydeligvis volumen nul Generelt kan man vise at hvis m>k og hvis h er C 1, så vil h(r k ) lokalt ligne noget der ligger inden i en hyperplan Analogt med beviset for lemma 216 kan man derfor indse 1 at h(r k ) må være en Lebesgue nulmængde ir m Eftersom fordelingen af h(x 1,, X k ) lever på denne mængde, er der intet håb om at fordelingen skulle have tæthed med hensyn til Lebesguemålet Vi vil derfor fremover koncentrere os om tilfældet hvor m k Det bedste svar på spørgsmålet kan man give hvis h bevarer dimensionen, altså hvis k = m, så der starter vores diskussion 1 En præcisering af dette argument er ganske vist ikke helt ligetil, men dog mulig Det præcise resultat går under navnet Sards sætning 399

400 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k 191 Om diffeomorfier pår k Lad h :R k R k være differentiabel på den åbne mængde U R k Den afledede i punktet x er da en lineær afbildning Dh(x) :R k R k Vi vil som regel opfatte Dh(x) som en matrix af partielle afledede, Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1 h k (x) x 1 h 1 (x) x 2 h 2 (x) x 2 h k (x) x 2 h 1 (x) x k h 2 (x) x k h k (x) x k Vi siger at h er en C 1 -afbildning på U hvis x Dh(x) er kontinuert, det vil sige hvis matricen af partielle afledede er kontinuert, koordinat for koordinat Vi siger at h er en C 1 -diffeomorfi på den åbne mængde U, hvis 1) h er en C 1 -afbildning på U 2) V= h(u) en en åben delmængde afr k 3) h afbilder U bijektivt på V 4) h 1 er en C 1 -afbildning på V Hvis 2) og 3) er opfyldt, er h 1 veldefineret som en afbildning V U, og det giver mening at diskutere om 4) er opfyldt eller ej Vi skynder os som regel at udvide h 1 til en afbildning defineret på heler k, men hvordan vi konkret foretager udvidelsen, spiller naturligvis ingen rolle for om 4) er opfyldt Det er ofte hensigtsmæssigt at forlange at den åbne mængde U er sammenhængende I så fald bliver V= h(u) automatisk også sammenhængende Men vi indbygger altså ikke disse krav om sammenhæng i selve definitionen af en diffeomorfi I én dimension er det simpelt at undersøge om en glat funktion er en diffeomorfi: man skal blot checke efter at h (x) 0 for alle relevante x Betingelsen sikrer at h lokalt omkring hvert x ligner en bijektiv affin funktion Også i højere dimension er udgangspunktet for teoretiske undersøgelser af diffeomorfiegenskaber om h lokalt ligner en bijektiv affin funktion Det naturlige krav er derfor at Dh(x) skal være invertibel, eller mere konkret, at det Dh(x) 0 (191)

191 Om diffeomorfier pår k 401 Er betingelse (191) opfyldt i et punkt x, siger vi at Dh er regulær i x Er betingelsen derimod ikke opfyldt, taler vi om et singulært punkt Indholdet af lemma 111 er således at en etdimensional C 1 -afbildning, defineret på et åbent interval I, automatisk er en diffeomorfi, hvis alle punkter i I er regulære Sætning 191 (Åben afbildning) Lad afbildningen h :R k R k være C 1 på den åbne mængde U Hvis alle punkter i U er regulære, så er V = h(u) en åben mængde BEVIS: Sætningen er et af de større badutspring inden for differentialregning i flere variable, og bevises i de fleste lærebøger i dette emne Se feks Strichartz (1995), der har det med som en delpåstand i invers funktions sætning Sætningen om åben afbildning viser at betingelse 2) i definitionen af en diffeomorfi følger automatisk fra antagelsen om at alle punkter er regulære Derimod følger betingelse 3) ikke automatisk, i flere dimensioner kan man ikke ud fra indsigt i den lokale opførsel af h - formuleret i udsagn om Dh(x) - se om h globalt er injektiv! Eksempel 192 Betragt afbildningen h :R 2 R 2 givet ved h(x, y)=(x 2 y 2, 2xy) Dette er den komplekse afbildning z z 2 skrevet ud i reelle koordinater Vi ser at ( ) 2x 2y Dh(x, y)= 2y 2x hvoraf det følger at det Dh(x, y)=4(x 2 + y 2 ) Hvis man holder sig til et område U, der ikke indeholder (0, 0), er alle punkter således regulære Men man kan ikke være sikker på at h er injektiv på et sådant område For eksempel er h(1, 0)=h( 1, 0), så hvis U indeholder både (1, 0) og ( 1, 0), så er h ikke injektiv på U Mere generelt er h ikke injektiv på U, hvis U indholder to punkter, der ligger symmetrisk omkring (0, 0) Man kunne måske tro at dette eksempel i virkeligheden handler om en defekt ved formen af det område man undersøger OmrådetR 2 \{(0, 0)} er ganske vist sammenhængende, men det opfylder ingen af de sædvanlige geometriske pænhedskriterier

402 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k Det er således hverken konvekst, stjerneformet eller enkeltsammenhængende Men åbenlyse varianter af eksemplet viser at problemet stikker dybere Den komplekse afbildning z z 12 skrevet ned i reelle koordinater er således ikke injektiv i 1 kvadrant, skønt alle punkter her er regulære Man kommer altså ikke udenom at skulle undersøge om h er injektiv ved håndkraft Men hvis man har påvist at h er bijektiv U V, så kommer differentiabiliteten af den inverse afbildning til gengæld helt af sig selv, ligesom i en dimension Der gælder nemlig: Sætning 193 (Invers funktions sætning) Lad afbildningen h :R k R k være C 1 på den åbne mængde U Hvis x Uer et regulært punkt, så findes en åben omegn U U af x sådan at h er en C 1 -diffeomorfi på U BEVIS: Se Strichartz (1995) eller andre lærebøger i differentialregning i flere variable I invers funktions sætning kommer man uden om problemerne fra eksempel 192 med manglende injektivitet, ved at fokusere på funktionens opførsel helt lokalt omkring hvert punkt Hvis alle punkter i U er regulære, og hvis h er injektiv på U, så kan man således konkludere ud fra sætningen om åben afbildning og invers funktions sætning at h er en diffeomorfi på U Lige så snart man ved at den inverse afbildning er differentiabel, så kan man bruge kædereglen til at indse at Dh 1 (y)=dh ( h 1 (y) ) 1 for alle y V, (192) hvor man udtrykker D h 1 i et vist punkt ved den inverse matrix til Dh i et vist andet punkt I praksis går vi som regel frem på følgende måde når vi skal vise at h er en diffeomorfi: Vi viser at h er injektiv på U, og vi finder h(u)=v Vi finder h 1 eksplicit på V, og gør rede for at alle punkter i V er regulære for h 1 I så fald garanterer invers funktions sætning at h 1 er en diffeomorfi V U Og følgelig er h selv en diffeomorfi U V Arbejdsgangen lyder måske lidt kringlet, men den falder ret naturligt, fordi vi uvægerligt skal bruge såvel h 1 som det Dh 1 i de videre regninger

192 Transformation af Lebesguemålet pår k 403 192 Transformation af Lebesguemålet pår k Sætning 194 Lad h :R k R k være en målelig afbildning Antag at h er en C 1 - diffeomorfi på en åben mængde U, og lad V= h(u) Lad m U = 1 U m k være Lebesguemålets restriktion til U Da er h(m U ) m k Faktisk gælder der at h(m U )=g m k, hvor tætheden g er givet ved g(y)= det D(h 1 )(y) for y V, 0 for y V (193) BEVIS: Sætningen er ikke nem at have med at gøre, og vi vil ikke gøre noget forsøg på at vise den Der er fuldstændige beviser i Billingsley (1995) og Rudin (1987) Sætningen er nøje modelleret over sætning 112, og bruges på samme måde Vi kan undersøge hvad den siger i simple, men vigtige specialtilfælde (disse tilfælde er samtidig vigtige delmål i løbet af beviset): Eksempel 195 Lad h være translationen h(x)= x+a for et fast a R k Det er en global diffeomorfi afr k på sig selv, og h 1 (y)=y a Vi ser at D(h 1 )(y)=i, hvor I betegner enhedsmatricen Og dermed er det D(h 1 )(y)=1 for alle y Vi ser følgelig at h(m k ) har tæthed identisk 1 med hensyn til m k, det vil sige h(m k )=m k Vi siger, som i én dimension, at Lebesguemålet er translationsinvariant Det er ikke overraskende, eftersom Lebesguemålet er defineret ved dets værdi på åbne kasser, og på sådanne kasser er Lebesguemålet åbenlyst translationsinvariant Et vigtigt skridt i beviset for sætning 194 er den modsatte påstand: hvisµer et mål på (R k,b k ) som er endeligt på begrænsede kasser og som er translationsinvariant, så erµ=c m k for en passende konstant c Eksempel 196 Lad h være en lineær afbildning h(x)=ax, hvor A er en invertibel k k matrix Det er er klart at h er en global diffeomorfi, og at h 1 (y)=a 1 y Vi ser at D(h 1 )(y)=a 1 for alle y, og dermed er h(m k )= det A 1 m k

404 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k Som et eksempel på hvordan man bruger sætning 194, vil vi studere substitution i multiple integraler Der findes en substitutionsformel, der minder meget om den klassiske etdimensionale formel: Sætning 197 Lad h :R k R k være en målelig afbildning Antag at h er en C 1 - diffeomorfi på en åben mængde U, og lad V= h(u) For enhver funktion f M + (R k,b k ) gælder at f (h(x)) det Dh(x) dx= U V f (y) dy (194) BEVIS: Antagelsen om at h er en diffeomorfi U V sikrer at vi kan tale om h 1 som en afbildning V U Vi udvider h 1 til en afbildning defineret på heler k Udvidelsen skal blot være målelig, ellers er detaljerne i udvidelsen irrelevante Vi har nu ifølge integraltransformationsformlen at f (y) dy= f (y) d m V (y)= f hh 1 (y) d m V (y) V = f (h(x)) d h 1 (m V )(x) Idet h 1 er en C 1 -diffeomorfi på V, giver sætning 194 at h 1 (m V )= (( det D ) ) h 1 1 (x) m U= det Dh(x) m U Sætter vi det ind, ser vi at f (y) dy= f (h(x)) det Dh(x) d m U (x)= V som ønsket U f (h(x)) det Dh(x) dx Man kan også udvikle varianter af denne substitutionssætning, der gælder for reelle integrable funktioner, sådan at venstre og højre side af (194) giver mening samtidig og i påkommende tilfælde har samme værdi Det overlades til læseren at formulere og bevise sådanne varianter

192 Transformation af Lebesguemålet pår k 405 Eksempel 198 Lad os gøre rede for B-funktionens funktionalligning B(λ 1,λ 2 )= Γ(λ 1)Γ(λ 2 ) Γ(λ 1 +λ 2 ) for λ 1,λ 2 > 0 Vi bemærker at h : (0, ) (0, 1) R 2 givet ved h(x, y)=(xy, x(1 y)) for (x, y) (0, ) (0, 1) er en diffeomorfi af (0, ) (0, 1) på (0, ) 2 med y x det Dh(x, y)=det 1 y x Dermed er Γ(λ 1 )Γ(λ 2 )= = = 0 0 1 0 0 1 0 0 u λ 1 1 e u v λ 2 1 e v dv du = x (xy) λ 1 1 e xy (x(1 y)) λ 2 1 e x(1 y) x dy dx x λ 1+λ 2 1 e x y λ 1 1 (1 y) λ 2 1 dy dx =Γ(λ 1 +λ 2 ) B(λ 1,λ 2 ), hvor vi stiltiende har brugt Tonellis sætning et par gange Eksempel 199 En klassisk integrationsteknik i to dimensioner er polær integration, hvor man skriver integranden op i polære koordinater Formelt baserer teknikken sig på afbildningen h : (0, 2π) (0, ) R 2 givet ved h(θ, r)=(r cosθ, r sinθ) Vi ser at h er injektiv på (0, 2π) (0, ) og at V= h ( (0, 2π) (0, ) ) =R 2 \{(x, y) x 0, y=0} Det vigtigste i denne sammenhæng er at V er hele planen på nær en Lebesgue nulmængde Vi har at r sinθ cosθ det Dh(θ, r)=det r cosθ sinθ = r,

406 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k hvoraf vi ser at alle punkter er regulære Af invers funktions sætning følger det at h er en C 1 -diffeomorfi (0, 2π) (0, ) V, og dermed får vi fra sætning 197 og Tonellis sætning at for enm + (R 2,B 2 )-funktion f er f (x, y) d m 2 (x, y)= f (x, y) d m 2 (x, y) V = f (r cosθ, r sinθ) r d m 2 (θ, r) = (0,2π) (0, ) 2π 0 0 f (r cosθ, r sinθ) r dr dθ Eksempel 1910 Som et eksempel på brug af polær integration, vil vi udlede normeringskonstanten for normalfordelingen Tricket er at indse at ( 2 e dx) x2 /2 = e (x2 +y 2 )/2 d m 2 (x, y) Denne formel følger ved at bruge Tonellis sætning på højre side af lighedstegnet Man kan også bruge polær integration på højre side, og opnå at ( 2 2π e dx) x2 /2 = e r2 /2 r dr dθ=2π e r2 /2 r dr 0 0 Det sidste integral ses ved substitutionen u=r 2 /2 at være 1, så alt i alt har vi vist at e x2 /2 dx= 2π (195) Eksempel 1911 Lad os nu vise at normeringskonstanten i den flerdimensionale normalfordelingstæthed (162) med middelværdi ξ og variansmatrix Σ vitterligt sikrer at tætheden integrerer til 1 DaΣer antaget at være positivt definit, erσ 1 også positivt definit, og der findes derfor en matrix B såσ 1 = B T B Betragtes nu transformationen h(x)=b(x ξ) ser vi at e 1 2 (x ξ)tσ 1(x ξ) dx= 1 R k det B = 1 det B e 1 2 (B(x ξ))t (B(x ξ)) det B dx R k 1 2 y T y dy= detσ( 2π) k R k e 0

193 Bijektive transformationer af tætheder 407 193 Bijektive transformationer af tætheder Sætning 1912 Ladν= f m k være et sandsynlighedsmål på (R k,b k ), der har tæthed med hensyn til m k Lad h : R k R k være en målelig afbildning, der er en C 1 - diffeomorfi på en åben mængde U, og lad V= h(u) Hvisν(U)=1 har h(ν) tæthed med hensyn til m k Tætheden er f f (h (y)) 1 det D(h 1 )(y) for y V, (y)= 0 for y V (196) BEVIS: Vi kalkerer nøje beviset for sætning 113 Sæt f h 1 (y) for y V α(y)= 0 for y V (197) og betragt funktionen (αh) 1 U Vi konstaterer at (αh)(x) 1 U (x)=( f h 1 )h(x)= f (x) for x U og dermed er Men vi ved at {x R k (αh)(x) 1 U (x) f (x)}={x U f (x)>0} R k \U f (x) dx=ν(r k \ U)=0, så (αh) 1 U = f næsten sikkert med hensyn til m k Så vi ser at ν=((αh) 1 U ) m k = (αh) (1 U m k )=(αh) m U, hvor det midterste lighedstegn følger af (76) Sætning 194 og sætning 716 siger derfor tilsammen at h(ν)=α h (m U )=α (g m k )=(α g) m k hvor g er tætheden fra (193) Og dette er faktisk (196) som ønsket

408 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k Tætheden (196) skrives ofte på den lidt mere afslappede form f (y)=1 V (y) f (h 1 (y)) det D(h 1 )(y) for alle y R k Eksempel 1913 Lad X 1 og X 2 være to uafhængige, reelle stokastiske variable Antag at X 1 og X 2 erγ-fordelte med formparameterλ 1 hhvλ 2 og samme skalaparameter β Vi ønsker at finde den simultane fordeling af Y 1 = X 1 + X 2, Y 2 = X 1 X 1 + X 2 Vi starter med at konstatere at den simultane fordeling af (X 1, X 2 ) har tæthed f (x 1, x 2 )= Vi indfører mængderne x λ 1 1 1 x λ 2 1 2 Γ(λ 1 )Γ(λ 2 )β λ 1+λ 2 e (x 1+x 2 )/β, (x 1, x 2 ) (0, ) 2 U= (0, ) 2, V= (0, ) (0, 1) Afbildningen h : U R 2 givet ved h(x 1, x 2 )= ( x 1 + x 2, x 1 x 1 + x 2 ) ses at være injektiv på U, med h(u)=v, og vi finder at h 1 (y 1, y 2 )= ( y 1 y 2, y 1 (1 y 2 ) ), for (y 1, y 2 ) V Vi ser at h 1 er C 1 på V, og at det D(h 1 )(y 1, y 2 )=det ( y 2 y 1 1 y 2 y 1 ) = y 1, for alle (y 1, y 2 ) V Alle punkter i V er således regulære for h 1, og derfor har (Y 1, Y 2 )=h(x 1, X 2 ) tæthed f (y 1, y 2 )= (y 1y 2 ) λ 1 1 ( y 1 (1 y 2 ) ) λ 2 1 Γ(λ 1 )Γ(λ 2 )β λ e y1/β y 1 1+λ 2 y λ 1+λ 2 1 1 = Γ(λ 1 +λ 2 )β λ e y 1/β 1+λ 2 y λ 1 1 2 (1 y 2 ) λ 2 1, B(λ 1,λ 2 )

193 Bijektive transformationer af tætheder 409 for alle (y 1, y 2 ) V, idet vi har forlænget medγ(λ 1 +λ 2 ) Vi ser heraf at Y 1 erγfordelt med formparameterλ 1 +λ 2 og skalaparameterβ (det vidste vi i forvejen fra eksempel 1821), mens Y 2 er B-fordelt med formparametre (λ 1,λ 2 ) Endvidere ser vi fra produktstrukturen af den simultane tæthed at Y 1 og Y 2 er uafhængige Eksempel 1914 Lad X 1,, X n være uafhængige, reelle stokastiske variable Antag at hvert X i erγ-fordelt med formparameterλ i og skalaparameterβ Formparameteren må altså variere fra variabel til variabel, men skalaparameteren skal være den samme Lad Y 1 = X 1 ++X n og Y 2 = X 1 X 1 + X 2, Y 3 = X 1 + X 2 X 1 + X 2 + X 3,,Y n = X 1++ X n 1 X 1 ++X n Vi ønsker at vise, at Y 1,,Y n er uafhængige, at Y 1 erγ-fordelt med formparameter λ 1 ++λ n og skalaparameterβ, og at Y i B(λ 1 ++λ i 1,λ i ), for i=2,,n Det dybsindige i disse påstande har ikke at gøre med de marginale fordelinger Fordelingen af Y 1 kendes fra eksempel 1821, og hvis S i = X 1 ++ X i, så er S i og X i+1 uafhængige Γ-fordelinger med samme skalaparameter Fordelingen af Y i+1 = S i S i + X i+1 kendes derfor fra eksempel 1913 Det virkelige indhold i påstanden er således uafhængigheden af Y i erne, og den vises bedst ved induktion efter n For n=2 følger den ønskede uafhængighed af eksempel 1913, så der starter induktionen Hvis påstanden er korrekt for n 1, er Y 2,,Y n 1, S n 1 uafhængige af hinanden Disse variable er alle konstrueret ud fra X 1,, X n 1, og derfor er de også uafhængige af X n Observer nu at S n og Y n begge dannes ud fra S n 1 og X n, og de må derfor være uafhængige af Y 2,,Y n 1 Men de er også uafhængige af hinanden, ifølge eksempel 1913 Eksempel 1915 Lad X 1,, X k være uafhængige, standard normalfordelte stokastiske variable, ladξ R k, og lad B være en k k matrix af fuld rang Vi vil finde

410 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k fordelingen af Y 1 Y k = B X 1 X k Den simultane fordeling af X i erne har tæthed + ξ 1 ξ k f (x 1,, x k )= k i=1 ( ) k/2 1 1 e x2 i /2 = e xt x/2, 2π 2π og eftersom h(x)= Bx+ξ er en global diffeomorfi med invers funktion h 1 (y)=b 1 (y ξ) og dermed Dh 1 (y)=b 1 for alle y, ser vi at Y i erne har simultan tæthed ( f 1 (y 1,,y k )= 2π = ( 1 2π ) k/2 e (B 1 (y ξ)) T (B 1 (y ξ))/2 det B 1 ) k/2 ( ) 1/2 1 e 1 2 (y ξ)t Σ 1 (y ξ) detσ hvor vi har indførtσ= BB T Vi konkluderer at Y erne er normalfordelt med middelværdivektor ξ og variansmatrix Σ Vi husker fra afsnit 162 at ordene middelværdi og varians blot betegnede parametre i den flerdimensionale normalfordeling, og at de som udgangspunkt ikke havde noget med momenter at gøre Men eftersom EX= 0, VX=I, slutter vi af regnereglerne for middelværdi og varians at Y har 2 moment, og EY= BEX+ξ=ξ, VY= BVXB T = BB T =Σ Eftersom enhver positivt definit matrixσkan skrives på formen BB T, hvor B er en matrix af fuld rang, ser vi at ordene faktisk er anvendt korrekt

194 Flere diffeomorfiområder 411 194 Flere diffeomorfiområder Ikke helt sjældent står man med et sandsynlighedsmålν= f m k på (R k,b k ) og en transformation h :R k R k som måske nok er en C 1 -diffeomorfi på visse mængder, men ikke på et område så stort at det har fuldν-sandsynlighed Som i en dimension findes der varianter af sætning 1912, der ofte kan bruges alligevel Men disse varianter er langt sværere at anvende end deres etdimensionale modparter Lad h :R k R k være en målelig afbildning, og antag at der findes parvist disjunkte åbne mængder U 1,,U n så h er en C 1 -diffeomorfi på hvert U i Sæt V i = h(u i ) for i=1,,n Bemærk at V i erne meget vel kan være overlappende, måske ligefrem ens Lad h i : U i V i være restriktionen af h til de mindre mængder, og lad h 1 i : V i U i være de inverse afbildninger Hvis V i erne overlapper, kan flere af h 1 i erne være defineret i et givet punkt y R k Sætning 1916 Ladν= f m k være et sandsynlighedsmål på (R k,b k ), der har tæthed med hensyn til m k Lad h : R k R k være en målelig afbildning, der er en C 1 - diffeomorfi på hver af de parvist disjunkte, åbne mængder U 1,,U n Lad V i = h(u i ) for hvert i=1,,n, og lad h 1 i være den inverse afbildning til restriktionen h i : U i V i Hvisν( n i=1 U i )=1 har h(ν) tæthed med hensyn til m k Tætheden er f (y)= n i=1 1 Vi (y) f (h 1 i (y)) det D(h 1 i )(y) BEVIS: Præcis som beviset for sætning 116 I én dimension er det som regel trivielt at finde diffeomorfiområder for en C 1 - afbildning, fordi man kun behøver at holde øje med hvornår den afledede er nul I flere dimensioner kan man ikke på samme måde finde diffeomorfiområder ud fra egenskaber ved den afledede funktion, man er nødt til ved håndkraft at holde styr på i hvilke områder afbildningen er injektiv Og sådanne områder kan have mange mærkelige former I visse tilfælde kommer flerdimensionale transformationer dog til verden udstyret med oplagte diffeomorfiområder Vi kan således ud fra sætning 1916

412 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k finde den simultane fordeling af ordnede variable, hvis den simultane fordeling af de oprindelige variable har tæthed Vi vil ikke skrive det generelle resultat op, kun det mest relevante specialtilfælde: Sætning 1917 Lad X 1,, X n være uafhængige, identisk fordelte stokastiske variable, der alle har tæthed f mht m Den simultane fordeling af (X (1),, X (n) ) har da tæthed n g(y 1,,y n )=n! f (y i ) for y 1 < y 2 <<y n i=1 BEVIS: LadS n være mængden af alle n-permutationer Vi kan sammensætte n- permutationer, og på denne måde fårs n en gruppestruktur Vi kalders n for den symmetriske gruppe af orden n Man indser ats n indeholder i alt n! elementer For hvertσ S n indfører vi afbildningen h σ :R n R n, ved h σ (x 1,, x n )=(x σ(1),, x σ(n) ) Vi ser at hvert h σ er lineær og bijektiv Vi ser endvidere at familien af h σ er harmonerer med gruppekompositionen is n, i den forstand at h σ h τ = h τσ for alleσ,τ S n Bemærk kontrapositionen! I særdeleshed kan vi heraf aflæse at h σ 1 = h σ 1 for alleσ S n Vi indfører nu for hvertσ S n en mængde A σ ={(x 1,, x n ) R n x σ(1) < x σ(2) << x σ(n) } A σ erne er åbne og parvis disjunkte De fylder ikke hele rummet op, men restmængden er en forening af hyperplaner hvorpå to eller flere koordinater stemmer overens - og hyperplaner har mål nul med hensyn til m n Vi får specielt brug for at referere til den A σ -mængde, der svarer til identiteten Vi indfører derfor A 1 ={(x 1,, x n ) R n x 1 < x 2 << x n }

195 Transformationer ned i lavere dimension 413 Hvis h er afbildningen fra (182), så konstaterer vi at h(x 1,, x n )=h σ (x 1,, x n ) for alle (x 1,, x n ) A σ Idet hvert h σ er en C 1 -diffeomorfi på A σ, med h σ (A σ )= A 1, er vi i en situation hvor sætning 1916 kan bringes i anvendelse Den simultane fordeling af (X 1,, X n ) har tæthed n φ(x 1,, x n )= f (x i ) Da det Dh σ (x 1,, x n ) = ±1 for alleσ S n følger det at (X (1),, X (n) ) = h(x 1,, X n ) har simultan tæthed g(y 1,,y n )= φ(h 1 σ (y 1,,y n )) 1 for (y 1,,y n ) A 1 σ S n Men regner vi lidt, ser vi at i=1 φ(h σ 1 (y 1,,y n ))=φ(y σ 1 (1),,y σ 1 (n))= n f (y σ 1 (i))= i=1 n f (y i ) i=1 (forskellen på de to sidste udtryk er blot rækkefølgen der multipliceres i), og derfor får vi at n g(y 1,,y n )= S n f (y i ) for (y 1,,y n ) A 1, i=1 præcis som ønsket 195 Transformationer ned i lavere dimension Vi vil nu beskæftige os med transformationer der går ned i dimension Antag at h :R k R m en en pæn differentiabel funktion, der blot adskiller sig fra de tidligere betragtede funktioner ved at m < k Der findes ikke rigtigt gode generelle sætninger om hvordan h transformerer sandsynlighedsmål pår k, men man kan ofte få noget fornuftigt ud af følgende ide: Man prøver at finde en funktion g :R k R k m, sådan at (h(x), g(x)) er en C 1 -diffeomorfi på en eller flere passende store delmængder afr k Vi taler om at supplere h op til en diffeomorfi Hvis X = (X 1,, X k ) er

414 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k en k-dimensional stokastisk variabel med tæthed, kan man ud fra sætning 1912 eller 1916 da finde den simultane tæthed af (h(x), g(x)) Og herudfra kan man ofte finde tætheden af h(x) ved at marginalisere Eksempel 1918 Lad X 1 og X 2 være to uafhængige, reelle stokastiske variable Antag at X 1 har tæthed f 1 og X 2 har tæthed f 2 med hensyn til m Vi ønsker at finde fordelingen af summen X 1 + X 2 Vi kender allerede resultatet fra (1811), men problemet er uhyre velegnet til at forklare mekanikken i suppleringsteknikken, fordi regningerne er så simple Den simultane fordeling af (X 1, X 2 ) har tæthed f (x 1, x 2 )= f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ) for alle x 1, x 2 R Betragt afbildningen h :R 2 R 2 givet ved h(x 1, x 2 )=(x 1, x 1 + x 2 ), (x 1, x 2 ) R 2 Vi ser at h er en global diffeomorfi med h 1 (y 1, y 2 )=(y 1, y 2 y 1 ), (y 1, y 2 ) R 2 Dermed er det D(h 1 )(y 1, y 2 )=det 1 0 1 1 = 1, og den simultane fordeling af (X 1, X 1 + X 2 ) har tæthed f (y 1, y 2 )= f 1 (y 1 ) f 2 (y 2 y 1 ) Marginalisering giver nu at X 1 + X 2 har tæthed h(z)= f (y, z) dy= f 1 (y) f 2 (z y) dy, i fin overensstemmelse med (1811) Eksempel 1919 Lad X 1 og X 2 være to uafhængige, reelle stokastiske variable Antag at X 1 har tæthed f 1 og X 2 har tæthed f 2 med hensyn til m Vi ønsker at finde fordelingen af brøken X 1 /X 2

195 Transformationer ned i lavere dimension 415 Den simultane fordeling af (X 1, X 2 ) har da tæthed f (x 1, x 2 )= f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ) for alle x 1, x 2 R Vi sætter U={(x 1, x 2 ) R 2 x 2 0} Betragt afbildningen ( ) x1 h(x 1, x 2 )=, x 2 for (x 1, x 2 ) U, x 2 med en passende udvidelse til heler 2 Vi ser at h er en injektiv afbildning af U på sig selv, med h 1 (y 1, y 2 )=(y 1 y 2, y 2 ) for (y 1, y 2 ) U Man ser, at det Dh 1 (y 1, y 2 )=det ( y2 y 1 0 1 ) = y 2, (y 1, y 2 ) U Alle punkter i U er således regulære for h 1 og derfor har (X 1 /X 2, X 2 ) tæthed f 1 (y 1 y 2 ) f 2 (y 2 ) y 2, (y 1, y 2 ) U Det følger nu af lemma 162 at X 1 /X 2 har tæthed g(y 1 )= f 1 (y 1 y 2 ) f 2 (y 2 ) y 2 dy 2, y 1 R (198) Eksempel 1920 Lad X 1 og X 2 være uafhængige reelle stokastiske variable Lad X 1 væren(0, 1)-fordelt og lad X 2 væreγ-fordelt med formparameterλ og skalaparameter 1 λ Vi søger fordelingen af X2 X 1 Ifølge sætning 113 har fordelingen af X 2 tæthed Ifølge (198) har fordelingen af f (x)= 2λλ Γ(λ) x2λ 1 e λx2, x>0 X 1 X2 derfor tæthed g(y)= = 0 1 e (xy)2 2 2π 2λ λ Γ(λ) x2λ 1 e λx2 x dx= 2λ λ 2πΓ(λ) 2λ λ t λ e t(λ+ y2 2 ) 1 2πΓ(λ) 0 2 t dt= Γ(λ+ 1 2 ) 1 2πλΓ(λ) for alle y R Altså er X 1 X2 t-fordelt med formparameterλ 0 x 2λ e x2 (λ+ y2 2 ) dx (1+ y2 2λ )λ+ 1 2,

416 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k Eksempel 1921 Lad X 1 og X 2 være uafhængige reelle stokastiske variable Lad X 1 væreγ-fordelt med formparameterλ 1 og skalaparameterβ 1, og lad X 2 væreγ-fordelt med formparameterλ 2 og skalaparameterβ 2 Vi antager at X 1 og X 2 har samme middelværdi, altså at β 1 λ 1 =β 2 λ 2 Ifølge (198) har fordelingen af X 1 /X 2 tæthed g(y)= = = = 0 (yx) λ 1 1 Γ(λ 1 )β λ 1 1 y λ 1 1 e yx/β 1 Γ(λ 1 )Γ(λ 2 )β λ 1 1 βλ 2 2 y λ 1 1 Γ(λ 1 )Γ(λ 2 )β λ 1 1 βλ 2 2 1 (λ 2 β 2 ) λ 1+λ 2 B(λ 1,λ 2 ) β λ 1 1 βλ 2 2 0 x λ 2 1 Γ(λ 2 )β λ 2 2 e x/β 2 x dx x λ 1+λ 2 1 e (y/β 1+ 1/β 2 )x dx Γ(λ 1 +λ 2 ) (y/β 1 + 1/β 2 ) λ 1+λ 2 y λ 1 1 (λ 1 y+λ 2 ) λ 1+λ 2, hvilket genkendes som F-fordelingen med formparametre (λ 1,λ 2 ) 196 Opgaver OPGAVE 191 Lad de uafhængige stokastiske variable X 1 og X 2 være eksponentialfordelte med tæthed (a > 0) f (x)=ae ax, x>0 SPGM 191(a) Find fordelingerne af X 1 + X 2, X 1 X 2 og X 1 X 2 SPGM 191(b) Vis at X 1 + X 2 er uafhængig af X 1 X 2, og at X 1 + X 2 ikke er uafhængig af X 1 X 2 OPGAVE 192 De stokastiske variable X 1 og X 2 er uafhængige identisk fordelte, begge eksponentialfordelte med skalaparameter 1 Definer to nye variable Y 1 og Y 2 ved Y 1 = X 1 + X 2, Y 2 = X 1 X 1 + X 2 Find tætheden af (Y 1, Y 2 ) Vis at Y 1 og Y 2 er uafhængige Find også EY 2 Kan EY 2 udregnes, uden at man finder den simultane fordeling af (Y 1, Y 2 )?

196 Opgaver 417 OPGAVE 193 Lad X 1 og X 2 være uafhængige B-fordelte variable med formparametre hhv (µ 1,µ 2 ) og (λ 1,λ 2 ) Sæt Y 1 = X 1 X 2 Y 2 = 1 X 1 1 X 1 X 2 Vis at hvisµ 1 =λ 1 +λ 2, så er Y 1 og Y 2 uafhængige og begge B-fordelte OPGAVE 194 Lad X 1 være enn(0, 1)-fordelt stokastisk variabel, og lad X 2 være ligefordelt på (0, 1) Antag endvidere, at X 1 og X 2 er uafhængige Find den simultane fordeling af e X 1 og X 1 + X 2 Er disse to variable uafhængige? OPGAVE 195 Lad den simultane fordeling af de reelle stokastiske variable X 1 og X 2 være givet ved tætheden f (x 1, x 2 )=2, (x 1, x 2 ) K, hvor K er det skraverede areal på figur 191 Find de marginale fordelinger af X 1 og X 2 Er X 1 og X 2 uafhængige? 1 1/2 1/2 1 Figur 191: Tætheden i opgave 195 er ligefordelingen på den skraverede mængde OPGAVE 196 Lad X 1 og X 2 være indbyrdes uafhængige identisk fordelte stokastiske variable, som er ligefordelte på intervallet (0, a) for et a>0 Vis at max{x 1, X 2 } er uafhængig af X 1 X 2 OPGAVE 197 Lad X og Y være stokastiske variable med simultan tæthed Find fordelingen af max{x, Y} f (x, y)= 1 2, x + y 1

418 Kapitel 19 Transformation: tætheder pår k OPGAVE 198 Lad X og Y være uafhængige stokastiske variable, der begge er ligefordelte på (0, 1) Find fordelingen af min{x, Y} max{x, Y} OPGAVE 199 Lad R og X være uafhængige stokastiske variable, R ligefordelt på (0, 2π), X eksponentialfordelt med skalaparameter 2 Vis at X cos R og X sin R er uafhængige, og at begge ern(0, 1)-fordelte (Dette resultat danner baggrund for Box-Muller metoden til at generere normalfordelte variable ud fra ligefordelte variable) OPGAVE 1910 Lad X og Y være stokastiske variable med simultan fordeling givet ved tætheden f (x, y)= 1 π, for x2 + y 2 < 1 Find den simultane fordeling af (X 2 + Y 2, X Y ) OPGAVE 1911 Lad X 1 og X 2 være stokastiske variable med simultan fordeling givet ved f (x 1, x 2 )= 1 for x 1 + x 2 <1 2 Er X 1 og X 2 uafhængige? Find fordelingen af X 1 Vis at X 1 + X 2 og X 1 X 2 er uafhængige og identisk fordelte Find fordelingen af X 1 + X 2, X 1 X 2, ( log X 1 + X 2, log X 1 X 2 ) og log X 2 1 X 2 2 OPGAVE 1912 Lad X 1 og X 2 være uafhængige stokastiske variable, der begge er N(0, 1)-fordelte Find fordelingen af Vis at X 1 X 2 X 2 1 +X 2 2 X 1 X 2 X 2 1 + X2 2, X 1 er normalfordelt med middelværdi 0 og skalaparameter 1/2 OPGAVE 1913 Lad X og Y være indbyrdes uafhængige stokastiske variable, der begge er N(ξ, 1)-fordelte De stokastiske variable U og V defineres ved X 2 U= X 2 + Y 2, V= (X+ Y) 2

196 Opgaver 419 SPGM 1913(a) Find den simultane fordeling af U og V (Vink: find først den simultane fordeling af (X+ Y, X Y), dernæst den simultane fordeling af ((X+ Y) 2, (X Y) 2 ) og endelig den simultane fordeling af (U, V)) SPGM 1913(b) Find EU og EV SPGM 1913(c) Hvilken lineær transformation fører U og V over i to ukorrelerede stokastiske variable? OPGAVE 1914 Lad X og Y være indbyrdes uafhængige stokastiske variable, som begge følger en ligefordeling på intervallet (0,1) SPGM 1914(a) Find fordelingen af X Y SPGM 1914(b) Find E X Y Lad U 1,,U n, n 2, være indbyrdes uafhængige stokastiske variable, som alle følger en ligefordeling på intervallet (0, h) SPGM 1914(c) Find E(U (n) U (1) ) SPGM 1914(d) Find n i=1 EU (i) OPGAVE 1915 Lad X 1,, X n være uafhængige reelle stokastiske variable, alle eksponentialfordelte med skalaparameter 1 Lad X (1) X (n) være de ordnede observationer, og sæt Y 1 = X (1), Y 2 = X (2) X (1),,Y n = X (n) X (n 1) SPGM 1915(a) Vis at den simultane fordeling af (Y 1,,Y n ) har tæthed n g(y 1,,y n )=n! exp (n+1 j)y j y 1,,y n (0, ) j=1 SPGM 1915(b) Gør rede for at Y 1,,Y n er uafhængige Hvad er fordelingen af Y i for i=1,,n? SPGM 1915(c) Find EY i, og find herudfra EX (i)

420 Kapitel 19 Transformation: tætheder på Rk