Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), Så er den sammensatte afbildning g f : R k R p differentiabel i x, og D(g f)(x) = Dg ( f(x) ) Df(x) (matrixprodukt) Intuition hvis h er differentiabel i x, så er h approksimativt affin, h(y) h(x) + Dh(x)(y x) Vi siger at h er C 1 hvis alle de partielle afledede er kontinuerte p1/18 p2/18 Pæn transformation Transformation af Lebesguemål Vi ser på en afbildning h : R k R k, og åbne mængder U og V så 2) h er C 1 på U 3) h 1 er C 1 på V Bemærk Kædereglen fortæller at hvis x U og y = h(x), så er ( ) 1 Dh 1 (y) = Dh(x) 2) h er C 1 på U 3) h 1 er C 1 på V Da er h(m U ) = g m k, hvor g er givet ved g(y) = detdh 1 (y) for y V, for y / V p3/18 p4/18
Translationer Isomorfier Eksempel Lad h : R k R k være en translation h(x) = x + w Vi ser at h en bijektion af R k på sig selv, med h 1 (y) = y w Eksempel Lad A være en invertibel k k matrix, og lad h : R k R k være den lineære afbildning h(x) = A x Vi ser at h en bijektion af R k på sig selv, med h 1 (y) = A 1 y Både h og h 1 er C 1, og Dh 1 (y) = I Både h og h 1 er C 1 og Dh 1 (y) = A 1 Påstanden i transformationssætningen er altså at Påstanden i transformationssætningen er altså at h(m k ) = deti m k = m k altså at m k er translationsinvariant Det vidste vi godt p5/18 h(m k ) = deta 1 m k = hvilket igen er en kendt formel 1 deta m k p6/18 Substitutionsformlen Polær integration Betragt afbildningen h : (, 2π) (, ) R 2 givet ved h(θ, r) = (r cosθ, r sinθ) 2) h er C 1 på U Vi ser at h er injektiv på (, 2π) (, ) og at 3) h 1 er C 1 på V ( ) V = h (, 2π) (, ) = R 2 \ {(x, y) x, y = } For enhver funktion φ M + (R k, B k ) og enhver Borelmålelig mængde A U gælder at A φ(h(x)) det Dh(x) dx = φ(y) dy h(a) V er hele planen på nær en Lebesgue nulmængde Vi har at r sinθ det Dh(θ, r) = det cosθ r cos θ sin θ = r Derfor er for en M + (R 2, B 2 )-funktion f p7/18 f(x, y) d m 2 (x, y) = 2π f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ p8/18
Normering af normalfordeling Pæn transformation af tæthed Polær integration giver at ( 2 e dx) x2 /2 = e (x2 +y 2 )/2 d m 2 (x, y) = 2π = 2π = 2π e r2 /2 r dr dθ e r2 /2 r dr 2) h er C 1 på U 3) h 1 er C 1 på V Lad ν = f m k være et mål på (R k, B k ), der har tæthed med hensyn til m k, og antag at ν(u c ) = så derfor er e x2 /2 dx = 2 π Da er h(ν) = f m k, hvor f er givet ved f(h f(y) 1 (y)) detdh 1 (y) for y V, = for y / V p9/18 Bevis p1/18 Eksempel Flere diffeomorfiområder Problem Lad X 1 og X 2 være uafhængige, begge Γ-fordelte med formparameter henholdsvis λ 1 og λ 2 Find den simultane fordeling af Svar Y 1 og Y 2 er uafhængige, X 1 Y 1 = X 1 + X 2, Y 2 = X 1 + X 2 Y 1 Γ(λ 1 + λ 2 ), Y 2 B(λ 1, λ 2 ) Sætning Lad ν = f m k være et mål på (R k, B k ), og lad h : R k R k være en Borel målelig afbildning Lad U 1,,U n være disjunkte åbne mængder, og lad V 1,,V n være åbne mængder Lad h 1,,h n være restriktionen af h til U 1,,U n Antag at 1) h afbilder U i bijektivt på V i for i = 1,,n, 2) h 1 i er C 1 på V i, 3) ν ( ( n i=1 V i) c) = Så gælder det at h(ν) = f m k hvor f(y) = n i=1 1 Vi (y) f ( h 1 i (y) ) detdh 1 i (y) p11/18 Bevis p12/18
Eksempel Diffeomorfi plus marginalisering Problem Lad X 1 og X 2 være uafhængige, begge med tæthed g Find den simultane fordeling af Y 1 = X (1), Y 2 = X (2) Lad (X 1, X 2 ) have simultan tæthed f på R 2 med hensyn til m 2 Lad g : R 2 R være en C 1 -afbildning Problem Find tætheden for Y = g(x 1, X 2 ) Svar Y 1 og Y 2 har simultan tæthed f(y 1, y 2 ) = 2 g(y 1 ) g(y 2 ) for y 1 < y 2 Strategi Suppler med en afbildning g : R 2 R så koblingen h = (g, g ) bliver en pæn bijektion - eller det der ligner Find den simultane tæthed af (Y, Y ) = h(x 1, X 2 ) Find tætheden af Y ved at marginalisere den simultane tæthed p13/18 p14/18 Foldning Brøker af uafhængige variable Lad X 1 og X 2 være uafhængige med tætheder henholdsvis f 1 og f 2 Problem Find tætheden for Y = X 1 + X 2 Lad X 1 og X 2 være uafhængige med tætheder henholdsvis f 1 og f 2 Problem Find tætheden for Y = X1 X 2 Strategi Suppler med en Y = X 1 Den simultane tæthed af (Y, Y ) er (y 1, y 2 ) f 1 (y 1 )f 2 (y 2 y 1 ) Strategi Suppler med en Y = X 2 Den simultane tæthed af (Y, Y ) er (y 1, y 2 ) f 1 (y 1 y 2 ) f 2 (y 2 ) y 2 Marginalisering giver Y s tæthed h(y 2 ) = f 1 (y 1 )f 2 (y 2 y 1 ) dy 1 Marginalisering giver Y s tæthed h(y 1 ) = f 1 (y 1 y 2 ) f 2 (y 2 ) y 2 dy 2 p15/18 p16/18
Eksempler på brøkintegraler Eksempler på brøkintegraler Hvis X 1 og X 2 er uafhængige, Hvis X 1 og X 2 er uafhængige, X 1 N(, 1), X 2 Γ, form = λ, skala = 1 λ X 2 Γ, form = λ 1, skala = β 1, X 2 Γ, form = λ 2, skala = β 2 så har størrelsen tæthed Y = X 1 X2 g(y) = Γ(λ + 1 2 ) 1, 2πλ Γ(λ) (1 + y2 2λ )λ+1 2 og hvis β 1 λ 1 = β 2 λ 2, så har størrelsen tæthed g(y) = Y = X 1 X 2 1 (λ 2 β 2 ) λ1+λ2 B(λ 1, λ 2 ) β λ1 1 βλ2 2 y λ1 1 (λ 1 y + λ 2 ) λ1+λ2, Altså følger Y en t-fordeling med formparameter λ Altså følger Y en F -fordeling med formparametre (λ 1, λ 2 ) p17/18 p18/18