Differentation i vektorrum
|
|
- Signe Danielsen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapitel 2 Differentation i vektorrum LadXogYvære normerede vektorrum. Vi vil gå ud fra at de er endeligdimensionale, skønt meget af hvad vi siger giver god mening også i uendeligdimensionale rum. Lad U X være en åben mængde, og lad f : U Y være en afbildning. For et givet fast udviklingspunkt x Ukan man studere f s opførsel lokalt omkring x. Det vil man typisk gøre ved hjælp af tilvæksterne af formen r(u)= f (x+u) f. Man underforstår i denne notation at tilvæksten r(u) afhænger af såvel den studerede afbildning f som af udviklingspunktet x. Det er svært sige noget meningsfuldt om definitionsområdet for r, men i første omgang er man primært interesseret i tilvæksterne for u er tæt ved 0. Og da x er et indre punkt i U, vil r(u) i det mindste være veldefineret for u er i en lille kugle om 0. Kontinuitet af f formuleres naturligt i termer af disse tilvækster. Der gælder tydeligvis at f er kontinuert i x hvis og kun hvis r(u) 0 for u 0. Men ofte er man interesseret i en præcisere vurdering af restleddet end som så. Ofte viser det sig at r er approksimativt lineær. I så tilfælde taler man om differentiabilitet. For at være helt præcis kan man indføre en ny type tilvækster, r (u)= f (x+u) f A u, (2.1) 33
2 34 Kapitel 2. Differentation i vektorrum der ud over at afhænge af f og x også afhænger af en lineær afbildning A :X Y. Hvis f er kontinuert i x vil også r gå mod nul for u 0, den lineære afbildning er jo selv kontinuert. Men pointen er at man med et hensigtsmæssigt valg af lineær afbildning muligvis kan opnå at r (u) u 0 for u 0. (2.2) Man bruger gerne de såkaldte Landau-symboler, og skriver r (u)=o( u ) hvis (2.2) er opfyldt. Bemærk at de oprindelige restled r(u) næppe er o( u ), ligesom den lineære afbildning A ikke er o( u ). Det er differensen mellem tilvæksten og den lineære afbildning, der muligvis har den ønskede egenskab. I så fald vil tilvæksten u r(u) og den lineære afbildning A ligne hinanden mere og mere, jo mindre kugle omkring 0 man ser på. Når vi siger at tilvækst og lineær afbildning ligner hinanden mere og mere, skal man vær opmærksom på at de begge ligner nul-afbildningen, og derfor ligner de hinanden i en triviel forstand. Men udsagnet i (2.2) er at de ligner hinanden i endnu højere grad hinanden end de ligner nul. Man kombinerer ofte (2.1) og (2.2) i formlen f (x+u)= f +A u+o( u ), (2.3) hvor restleddet blot er en stenografisk notation for en eller anden funktion, der opfylder (2.2). Det er nemt nok at vise at der højst kan være en lineær afbildning A, der passer ind i dette skema. Hvis der en en, siger vi at f er differentiabel i x, og at A er den afledede i x, gerne skrevet D f. Man skriver ofte f (x+u)= f +D f u+o( u ). Her betyder D f u den lineære afbildning D f virkende på u. Det er en variant af den multiplikative skrivemåde, der viser sig hensigtsmæssig i differentiabilitetssammenhæng. Spørgsmålet om hvorvidt en funktion g :X Y er o( u ) afhænger ikke af de konkrete normer, der ligger på de to vektorrum - ækvivalente normer vil være enige. Når man arbejder med differentiabilitet, kan man således uden videre skifte normer på de indgående rum. Det ændrer ikke på i hvilke punkter en funktion er differentiabel, og det ændrer heller ikke på værdien af den afledede i disse punkter.
3 35 Det er en meget vigtig pointe at den afledede D f er en lineær afbildning. Det er i nogen grad i modstrid med gymnasiedifferentialregning, hvor man differentierer en funktion f :R R i et punkt x, og får et tal som resultat. Og for den sags skyld i modstrid med den indledende universitetsundervisning i differentialregning, hvor man ofte lærer at differentiere en funktion f :R k R m i et punkt x, og som resultat får en matrix, bestående af en masse partielle afledede regnet ud i x. Men selvfølgelig er definitionerne på de forskellige trin beslægtede. Og man kan sikkert gætte at forskellen er den samme som forskellen mellem en lineær afbildning og dens matrixrepræsentation. Eksempel 2.1 Lad f :R R være differentiabel i et punkt x R. Den afledede D f er da en lineær afbildningr R. Enhver afbildning af denne type har formen u a u for et passende a R. Om man vil, er 1 1-matricen bestående af a matrixrepræsentationen af den lineære afbildning - men det synspunkt er nok lige formelt nok for de fleste. Men det følger i hvert fald af (2.3) at Heraf følger at f (x+u) f u f (x+u)= f +a u+o( u ). = a+ u u o( u ) u a for u 0. Funktionen f er altså gymnasiedifferentiabel i x med f =a. Man kan naturligvis tilsvarende påvise den modsatte relation. Vores nye differentiabilitetsdefinition svarer altså præcis til gymnasiets. Forskellen består udelukkende i hvad vi opfatter som resultatet af differentationen. I gymnasiet fokuserer man på tallet f, her fokuserer vi på den lineære afbildning u f u. Den smidigste måde at formulere oversættelsen på er måske f =D f 1, (2.4) hvor vi på højre side lader den lineære afbildning D f virke på vektoren 1. Eksempel 2.2 Lad f :X Y være konstant, f =y 0 for alle x X. Vi ser at (2.3) er opfyldt med A = 0 (altså nulelementet i Lin(X, Y), den lineære afbildning, der sender alting over i nul), for restleddet er i så fald ikke blot o( u ) - det er faktisk identisk nul. Derfor er f differentiabel overalt og D f = 0.
4 36 Kapitel 2. Differentation i vektorrum Sætning 2.3 Lad f : X Y være lineær. Så er f differentiabel i ethvert punkt x X, og D f u= f (u) for alle x, u X. BEVIS: Påstanden er en trivialitet, som udelukkende bliver kompliceret af notationsgrunde - samme ting kommer til at hedde to forskellige ting. Hvis vi lader A= f, vil de modificere tilvækster fra (2.1) opfylde at r (u)= f (x+u) f A u= f (x+u) f f (u)=0 for alle u. Og en funktion, der er identisk nul, er selvfølgelig o( u ). Så vi har på denne måde vist at f er differentiabel i x, med afledet A. Sætning 2.4 Lad f :X Y Z være bilineær. Så er f differentiabel i ethvert punkt (x, y) X Y, og D f (x, y) (u, v)= f (x, v)+ f (u, y) for alle x, u X,y, v Y. BEVIS: Bilinearitet giver at Bemærk at for fast (x, y) er f (x+u, y+v)= f (x, y)+ f (x, v)+ f (u, y)+ f (u, v), (u, v) f (x, v)+ f (u, y) en lineær afbildningx Y Z. Dermed skal vi kun eftervise at restleddet f (u, v) er af den rigtige størrelsesorden, altså at f (u, v)=o( (u, v) ). Lad os udstyrex Y med en norm, der er 2-kombinationen af normerne på X og Y. Den bilineære afbildning f opfylder en begrænsethedsbetingelse af formen (1.12), så f (u, v) (u, v) = f (u, v) u 2 + v 2 u 2 + v 2 f (u, v) f, u u 2 + v 2 v u 2 + v 2 og den sidste størrelse går tydeligvis mod nul for (u, v) 0.
5 37 Sætning 2.5 Lad f :X Yog g :X Zvære differentiable i et punkt x X. Da er sammenbundtningen ( f, g) :X Y Z differentiabel i x med D( f, g) (u)= ( D f u, Dg u ) for alle u X. BEVIS: Hvis f (x+u)= f +D f u+ǫ 1 (u), g(x+u)=g+dg u+ǫ 2 (u), hvorǫ 1 (u) er o( u ) ogǫ 2 (u) er o( u ), så er ( f, g ) (x+u)= ( f (x+u), g(x+u) ) = ( f +D f u+ǫ 1 (u), g+dg u+ǫ 2 (u) ) = ( f, g ) + ( D f u, Dg u ) + ( ǫ 1 (u),ǫ 2 (u) ). Idet midterledet er lineært i u, tilbagestår at vise at sidste led er et restled af den rette størresesorden. Men ( ǫ 1 (u),ǫ 2 (u) ) ǫ1 (u) = 2 + ǫ 2 (u) 2 ǫ 1 (u) = 2 u u u 2 + ǫ 2(u) 2 u 2, og den sidste størrelse går tydeligvis mod nul for u 0. Her har vi stiltiende udstyret Y Z med en norm, der er 2-kombinationen af normerne påyogz. Sætning 2.6 (Kædereglen) Lad f : X Y være differentiabel i punktet x X, og lad g :Y Z være differentiabel i punktet y= f. Da er den sammensatte afbildning g f :X Zdifferentiabel i x med D(g f ) u=dg ( f ) (D f u ) for alle u X. BEVIS: Hvis f (x+u)= f +D f u+ǫ 1 (u), g(y+v)=g(y)+dg(y) v+ǫ 2 (v), hvorǫ 1 (u) er o( u ) ogǫ 2 (v) er o( v ), så er g f (x+u)=g ( f +D f u+ǫ 1 (u) ) = g ( f ) + Dg ( f ) (D f u+ǫ 1 (u) ) +ǫ 2 ( D f u+ǫ1 (u) ) = g ( f ) + Dg ( f ) D f u+dg ( f ) ǫ 1 (u) +ǫ 2 ( D f u+ǫ1 (u) ).
6 38 Kapitel 2. Differentation i vektorrum Vi skal således vise at de sidste to led er o( u ). Vi ser at Dg ( f ) ǫ 1 (u) u Dg ( f ) ǫ 1(u) u, hvilket tydeligvis går mod nul for u 0. Hvad angår det sidste led, skal vi være lidt mere omhyggelige. Bemærk at Derfor vil D f u+ǫ 1 (u) D f u + ǫ 1(u) u u 0 for u 0. ǫ 2 ( D f u+ǫ1 (u) ) u = ǫ ( 2 D f u+ǫ1 (u) ) D f u+ǫ 1 (u) ǫ ( 2 D f u+ǫ1 (u) ) D f u+ǫ 1 (u) D f u+ǫ 1 (u) u ( D f + ǫ ) 1(u). u Her går første faktor mod nul mens anden faktor holder sig begrænset for u 0. Eksempel 2.7 Lad f, g :R Rvære differentiable i hhv. x og y= f. Det følger af kædereglen at g f er differentiabel i x, og kombineres kædereglen med (2.4), får vi at (g f ) =D(g f ) 1=D(g) ( f ) (D f 1 ) = D(g) ( f ) f = f D(g) ( f ) 1= f g ( f ), hvor vi i næstsidste lighedstegn har brugt at u Dg( f ) u er lineær, og at vektoren f kan opfattes som skalaren f gange vektoren 1. Kædereglen indeholder altså den fra gymnasiet så velkendte formel for differentation af en sammensat funktion. Eksempel 2.8 Produktet f g af to funktioner f, g :R R er en ny funktionr R. Vi opfatter produktet som en sammensætning af sammenbundtningen ( f, g) :R R 2 med den bilineære afbildning (x, y) x y. Vi skriver f g=b( f, g), hvor B betegner den sædvanlige multiplikation.
7 39 Hvis f og g begge er differentiable i x, følger det af dette syn på produktet (og af kædereglen og sætning 2.5) at f g er differentiabel i x, og at D( f g) u=db( f, g) (D( f, g) u) = B( f, Dg u)+ B(D f u, g) = f Dg u+g D f u. Oversættes til gymnasiedifferentialkvotienter, fås ( f g) =D( f g) 1= f Dg 1+g D f 1= f g +g f, en formel de fleste sikkert vil kunne nikke genkendende til. Eksempel 2.9 For en funktion f :R k R bringer man ofte begrebet partielle afledede på banen. Man definerer traditionelt den partielle afledede i den i te koordinatretning som f x i =( fγ) (0), hvorγ :R R k er afbildningen γ(t)= x+t e i, for t R. Her er e 1,...,e k den kanoniske basis forr k. Vi lægger altså en bestemt kurve gennem x, og regner f ud på denne kurve. Hvis f er differentiabel, så er den sammensatte afbildning f γ differentiabel. Kædereglen giver at f x i =( fγ) (0)=D( fγ)(0) 1= D f ( γ(0)) (Dγ(0) 1 ) = D f e i. (2.5) Her har vi brugt atγer affin, og dermed differentiabel, med sin lineære del som afledet. Moralen der kan uddrages af disse regninger, er at hvis f er differentiabel, eksisterer de partielle afledede, og de kan udtrykkes ved hjælp af D f. Det omvendte spørgsmål er lidt mere indviklet: hvis vi ved at f er differentiabel, så kan vi udtrykke D f ved hjælp af de partielle afledede - en lineær afbildning er jo givet ved sin værdi på elementerne i en basis. Men hvis vi ikke på forhånd ved om f er differentiabel, er det ikke så nemt at undersøge ved hjælp af partielle afledede. Der findes funktioner f :R k R hvor alle
8 40 Kapitel 2. Differentation i vektorrum partielle afledede eksisterer i et givet punkt x, men hvor afbildningen alligevel ikke er differentiabel i x. Man kan dog vise at hvis alle partielle afledede eksisterer i en åben mængde U R k, og hvis disse partielle afledede alle er kontinuerte i U, så er f differentiabel i hvert punkt i U, og den afledede x D f er selv kontinuert. Beviset er lidt besværligt og påstanden er ikke specielt nyttig: som i den elementære matematik beviser man i praksis at afbildninger er differentiable ved at observere at de er bygget op af simplere, differentiable funktioner, hvorefter en henvisning til kædereglen klarer sagen. Eksempel 2.10 For en funktion f :R k R m bruger man også begrebet partielle afledede. Man definerer som regel hvor g :R R er afbildningen f i x j =g (0), g(t)= f (x+t e j ), w i, for t R. Her er e 1,...,e k den kanoniske basis forr k, mens w 1,...,w m er den kanoniske basis forr m. Funktionen g er en sammensætning at tre afbildninger: inderst en affin afbildning, så den afbildning f vi virkelig interesserer os for, og yderst en lineær afbilding. Hvis f er differentiabel giver kædereglen at g er differentiabel, og f i x j =g (0)=Dg(0) 1= w i, D f e j,. (2.6) Eksempel 2.11 Antag at f :R k R m er differentiabel i x. Den afledte D f er en lineær afbildningr k R m, og kan derfor i princippet repræsenteres af en m kmatrix A. Ifølge lemma 1.12 har denne matrix koordinater af formen a i j = w i, D f e j for,...,m, j=1,...k.
9 41 Sammenlignes med (2.6), ses at disse koordinater netop er de partielle afledede. Altså repræsenteres den lineære afbildning D f af matricen A= f 1 x 1 f 2 x 1. f m x 1 f 1 x 2 f 2 f m x 2 f 1 x k f 2 x 2 x k.,.... f m x k i fin overensstemmelse med den elementære definition af den afledte af f som en matrix af partielle afledede. Det nye er for så vidt blot at vi opfatter den afledte som det matricen gør når den den aktiveres, ikke som matricen selv. For en afbildning f :X R er den afledte D f for hvert x en lineær afbildning X R, altså et element i det duale rumx. HvisXhar et indre produkt, er en naturlig måde at identificerex medxselv, se afsnit Oversættes D f til enx-vektor, kaldes resultatet ofte gradienten for f i x, og skrives f. Den definerende relation for gradienten er altså at f, u =D f u, for alle u X. (2.7) Gradienten opfattes typisk som simplere end den afledede D f, fordi man på denne måde kan vige uden om behovet for at snakke om lineære afbildninger. HvisX=R k, og hvis vi udstyrerr k med det sædvanlige indre produkt, er det let at identificere gradienten for f. Dens i te koordinat er f, e i =D f e i = f x i, ifølge (2.5). Så f er simpelthen de partielle afledede, stablet op i en k-søjle. I modsætning til matrixrepræsentationen af D f, der jo består af de partielle afledede, stablet op som en k-række...
10 42 Kapitel 2. Differentation i vektorrum 2.1 Højere ordens afledede Hvis f : X Y er differentiabel i alle punkter, så kan vi betragte afbildningen x D f. Det er en afbildningx Lin(X,Y). Specielt er det en afbildning mellem to normerede endeligdimensionale vektorrum. Vi siger naturligvis at f er C 1, hvis denne afbildning er kontinuert. Principielt foreligger muligheden for at x D f selv er differentiabel i et punkt x X - eller eventuelt i alle punkter. Hvis det er rigtigt, kaldes den afledede naturligt nok den anden afledede af f i punktet x, og skrives D 2 f. Formelt er D 2 f Lin(X, Lin(X,Y)). Konventionelt oversættes sådanne lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger automatisk til bilineære afbildninger. Vi får således at D 2 f Bil(X,X;Y). Hvis f er to gange differentiabel i alle punkter, og hvis afbildningen x D 2 f er kontinuert, siger vi at f er C 2. Sætning 2.12 Hvis f : U Y er en C 2 -afbildning, defineret på en åben mængde U X, så er D 2 f en symmetrisk bilineær afbildning for alle x U. BEVIS: vi taler om en reformulering og udvidelse af det kendte og elskede resultat at det for blandede partielle afledede 2 f x i x j ikke spiller nogen rolle i hvilken rækkefølge differentationerne tages, hvis f er C 2. Beviset har to trin: dels en reduktion af det generelle tilfælde til tilfældet medx=r 2 ogy=r, og dels et bevis i det specielle tilfælde. Begge dele er en anelse besværlige, og vi springer detaljerne over. Eksempel 2.13 Lad f : X Y være lineær. Ifølge sætning 2.3 er f differentiabel overalt, og D f = f for alle x. Det vil sige at D f : X Lin(X,Y) er en konstant afbildning. Ifølge eksempel 2.2 er D f derfor differentiabel med D 2 f =D(D f )=0 for alle x.
11 2.1. Højere ordens afledede 43 Eksempel 2.14 Lad B :X X Y være en bilineær afbildning, og betragt den tilhørende kvadratiske form g : X Y givet ved g=b(x, x) for x X. Det er en sammensætning af den lineære afbildning h=(x, x) og den bilineære afbildning B. Ifølge kædereglen er g differentiabel med Dg u= DB(x, x) (Dh u ) = DB(x, x) (u, u)=b(x, u)+ B(u, x). Man ser let at denne afbildning er lineær i x. Derfor er Dg differentiabel overalt, med sig selv som afledet. Hvis vi ser på D 2 g som en bilineær afbildning, får vi at D 2 g (u, v)=b(u, v)+ B(v, u). Hvis B er symmetrisk, ser vi at D 2 g=2b. Sætning 2.15 (2. ordens kæderegel) Lad f : X Y være to gange differentiabel i punktet x X, og lad g :Y Z være to gange differentiabel i punktet y= f. Da er den sammensatte afbildning g f :X Z to gange differentiabel i punktet x med D 2 (g f ) (u, v)=d 2 g ( f ) (D f u, D f v ) for alle u, v X. + Dg ( f ) (D 2 f (u, v) ), BEVIS: Faktisk er sætningen triviel! Pointen er at den sædvanlige kæderegel giver en formel for den første afledede, der i sig selv er en sammensat funktion: D(g f )=D(g)( f )D f. Her står en identitet mellem to lineære afbildninger, vi har i notationen undertrykt det argument-u, de virker på, og som plejer at indgå i formuleringen af kædereglen. Hvis man nu gør den observation at : Lin(Y,Z) Lin(X,Y) Lin(X,Z) er en bilineær afbildning, følger 2. ordens kædereglen faktisk direkte ved indsættelse i den sædvanlige kæderegel.
12 44 Kapitel 2. Differentation i vektorrum Eksempel 2.16 Lad f :R k R være to gange differentiabel. Da diskuterer man ofte de dobbelte partielle afledede, Idet 2 f = ( ) f. x i x j x j x i f x i =D f e i følger det af kædereglen at denne afbildning er differentiabel (sammensætning af x D f med den lineære afbildning, der prikker på den faste vektor e i ). Det følger ovenikøbet hvad den aflede er: 2 f x i x j =D (D f e i ) e j = D 2 f (e 1, e j ). Hvis f :R k Rer to gange differentiabel, så har D 2 f en matrixfremstilling, D 2 f (u, v)=u T B v. Det følger af det allerede viste at den repræsenterende matrix består af de dobbelte partielle afledede, 2 f x 1 x 1 2 f B= x 2 x 1. 2 f x k x 1 2 f x 1 x 2 2 f 2 f x 1 x k 2 f x 2 x 2 x 2 x k f x k x 2 2 f x k x k. Sætning 2.17 Antag atxer udstyret med et indre produkt. Hvis f :X R er to gange differentiabel i punktet x, så er f : X X differentiabel i x, og den afledede opfylder relationen D f u, v = D 2 f (u, v) for alle u, v X.
13 2.2. Målelighed af den afledte 45 BEVIS: Vælg en ortonormal basis e 1,...,e k forx. Udnyttes relationen (2.7) ser vi at f = k f, e i e i = k D f e i, e i. Bemærk at f er en sammensætning af afbildningen D f med en lineær transformationφ:lin(x,r) Xgivet ved φ(a)= k ( ) Aei ei for A Lin(X,R). Af kædereglen ser vi nu af f er differentiabel i x og at D f y= D ( φ D f ) y=φ ( DD f y ) = k ( ) DD f y (ei ) e i. Vi har fastholdt skrivemåde DD f for at lade det være helt klart at vi ikke skal tænke på objektet som en bilineær afbildning, men som en lineær afbildningx Lin(X, R). Men inddrages identificeringen (1.11) ser vi netop at D f y= k D 2 f (y, e i ) e i. Inddrages endnu en vektor z X får vi at D f y, z = præcis som ønsket. k D 2 f (y, e i ) e i, = D 2 f (y, k z, e j e j = j=1 k D 2 f (y, e i ) z, e i n z, e i e i )=D 2 f (y, z), 2.2 Målelighed af den afledte Lemma 2.18 Lad (X,E) være et målbart rum, og ladzvære et vektorrum med indre produkt. En afbildning f :X Z er målelig hvis og kun hvis afbildningen x f, z er målelig for hvert fast z Z.
14 46 Kapitel 2. Differentation i vektorrum BEVIS: Afbildningen w w, z er kontinuert for hvert fast z, og dermed Borelmålelig. Hvis f er målelig, ser vi derfor at x f, z er en sammensætning af to målelige afbildninger, og således selv målelig. For at vise den modsatte implikation vælger vi en ortonormalbasis e 1,...,e k forz. Den tilhørende koordinatafbildningφ :R k Z φ(t 1,...,t k )= k t i e i, er lineær og dermed kontinuert, og dermed igen Borelmålelig. Vi ser at f = f, e i e i =φ ( f, e 1,..., f, e k ). Hvis f prikket på en fast vektor altid er målelig, ser vi således at f selv er opbygget af målelige afbildninger, og derfor er f målelig. Lemma 2.19 Lad (X, E) være et målbart rum, og lad Y og Z være normerede endeligdimensionale vektorrum. En afbildning f : X Lin(Y, Z) er målelig hvis og kun hvis evalueringen f y :X Zgivet ved f y = f y er målelig for hvert fast y. BEVIS: Evalueringsafbildningen ev y : Lin(Y,Z) Z givet ved ev y (L)=L y er kontinuert for hvert fast y, og dermed Borelmålelig. Vi ser at f y = ev y f, så hvis f er målelig, så vil alle f y -afbildningerne også være målelige. Det omvendte resultat er essentielt et udtryk for separabilitet: ethvert endeligdimensionalt normeret vektorrum har en tællelig tæt delmængde. Man kan f. eks. vælge en basis for vektorrummet, og se på de rationale linearkombinationer af basisvektorerne. Antag at f y -afbildningerne alle er målelige. Betragt L Lin(Y,Z) ogǫ> 0. Da er {x X f L ǫ}={x X sup = y: y 1 y: y 1 ( f L) y ǫ} {x X f y L y ǫ}. Målelighedsantagelsen om f y erne sikrer at de mængder, der her tages fællesmængde over, alle er E-målelige. Det ser ganske vist ud som en overtællelig fællesmængde,
15 2.2. Målelighed af den afledte 47 men man overbeviser sig let om at hvis (y n ) n N er eny-følge, der ligger tæt i enhedskuglen, så vil y: y 1 {x X f y L y ǫ}= Og således konstaterer vi at {x X f y n L y n ǫ}. {x X f L ǫ} E for alle L Lin(Y,Z),ǫ> 0. Eftersom de lukkede kugler udgør et frembringersystem for Borelalgebraen på Lin(Y, Z), følger det at f er målelig. n=1 Lemma 2.20 Lad (X,E) være et målbart rum, og ladyogzvære normerede vektorrum. Lad U Y være en åben mængde, og lad f :X U Z være en afbildning. Antag at afbildningen x f (x, y) er målelig for hvert fast y, og at afbildningen y f (x, y) er differentiabel for hvert fast x, med afledet D f x (y). Da er afbildningen x D f x (y) målelig for hvert fast y. BEVIS: Lad os i første omgang antage aty=z=r. Hvis vi lader (y n ) n N være en følge, der konvergerer mod y, ser vi at f x (y)= lim n f (x, y n ) f (x, y) y n y Differenskvotienterne er alle målelige som funktion af x, og derfor bliver grænsen også målelig som funktion af x. Oversættes til vores abstrakte sprogbrug, ser vi at for fast u er D f x (y) u= f x (y)u en målelig afbildning af x. Det generelle tilfælde klarer vi ved kædereglen. Vælg et indre produkt påz-man kan f.eks. tage en basis forzog udråbe den til at være en ortonormalbasis, denne fremgangsmåde definerer et entydigt bestemt indre produkt. Tag en fast vektor u Y og z Z, og betragt g(x, t)= f (x, y+tu), z..
16 48 Kapitel 2. Differentation i vektorrum Kædereglen og ovenstående specialtilfælde sikrer at g x (0)= D f x(y) u, z, er en målelig afbildning af x. En henvisning til lemma 2.18 sikrer at D f x (u) u er en målelig afbildning af x for fast y og u, hvorefter en henvisning til lemma 2.19 sikrer at D f x (y) er en målelig afbildning af x. Sætning 2.21 Lad (X,E,µ) være et målrum, ladyogzvære endeligdimensionale vektorrum, og lad U Y være en åbent mængde. Lad f :X U Z være en afbildning, hvor alle snitfunktionerne x f (x, y) er E-målelige og µ-integrable. Sæt φ(y)= f (x, y) dµ for y U. Hvis alle snitfunktionerne y f (x, y) er differentiable i hele U, og hvis der findes en integrabel funktion h M + (X) så D y f (x, y) h for alle x X, y U, så erφdifferentiabel i U, og Dφ(y) = D y f (x, y) dµ for alle y U. (2.8) BEVIS: Vi skal vise at φ(y+ν) φ(y) D y f (x, y) dµ ν 0 ν for ν 0. Men ved at bruge sætning 1.26 ser vi at venstresiden kan skrives som f (x, y+ν) f (x, y) D y f (x, y) ν dµ ν f (x, y+ν) f (x, y) Dy f (x, y) ν dµ ν For fast x vil integranden i det sidste integral gå mod nul forν 0, så hvis vi blot kan vise at denne konvergens kan majoriseres integrabelt, så følger det ønskede af majorantsætningen. Vi viser at integranden kan majoriseres af 2h. Det følger hvis f (x, y+ν) f (x, y) ν h.
17 2.2. Målelighed af den afledte 49 Tag et w Z. Ifølge middelværdisætningen findes der et ξ U så f (x, y+ν) f (x, y), w = D y f (ξ) ν, w D y f (ξ) ν w D y f (ξ) ν w hvor vi har brugt Cauchy-Schwarz ulighed og Lipschitz egenskaben af operatornormen. Derfor har vi at f (x, y+ν) f (x, y) = sup f (x, y+ν) f (x, y), w h ν w: w 1 som ønsket.
18 50 Kapitel 2. Differentation i vektorrum
Differentation i vektorrum
Kapitel 3 Differentation i vektorrum LadXogYvære normerede vektorrum. Vi vil gå ud fra at de er endeligdimensionale, skønt meget af hvad vi siger giver god mening også i uendeligdimensionale rum. Lad U
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereTrykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori
9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereAffine og konvekse mængder
Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereLineære og multilineære afbildninger
Kapitel 2 Lineære og multilineære afbildninger 2.1 Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y, Z og så videre endeligdimensionale reelle vektorrum. Meget at det vi siger giver mening for
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 9 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske variable,
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereLineære og multilineære afbildninger
Kapitel 1 Lineære og multilineære afbildninger 1.1 Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y, Z og så videre endeligdimensionale reelle vektorrum. Meget at det vi siger giver mening for
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereLineære og multilineære afbildninger
Kapitel 1 Lineære og multilineære afbildninger 1.1 Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y, Z og så videre endeligdimensionale reelle vektorrum. Meget at det vi siger giver mening for
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereDifferentiation i praksis
Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mere