Differentation i vektorrum

Transkript

1 Kapitel 3 Differentation i vektorrum LadXogYvære normerede vektorrum. Vi vil gå ud fra at de er endeligdimensionale, skønt meget af hvad vi siger giver god mening også i uendeligdimensionale rum. Lad U X være en åben mængde, og lad f : U Y være en afbildning. For et givet fast udviklingspunkt x Ukan man studere f s opførsel lokalt omkring x. Det vil man typisk gøre ved hjælp af tilvæksterne af formen r(u)= f (x+u) f (x). Man underforstår i denne notation at tilvæksten r(u) afhænger af såvel den studerede afbildning f som af udviklingspunktet x. Det er svært sige noget meningsfuldt om definitionsområdet for r, men i første omgang er man primært interesseret i tilvæksterne for u er tæt ved 0. Og da x er et indre punkt i U, vil r(u) i det mindste være veldefineret for u er i en lille kugle om 0. Kontinuitet af f formuleres naturligt i termer af disse tilvækster. Der gælder tydeligvis at f er kontinuert i x hvis og kun hvis r(u) 0 for u 0. Men ofte er man interesseret i en præcisere vurdering af restleddet end som så. Ofte viser det sig at r er approksimativt lineær. I så tilfælde taler man om differentiabilitet. For at være helt præcis kan man indføre en ny type tilvækster, r (u)= f (x+u) f (x) A u, (3.1) 47

2 48 Kapitel 3. Differentation i vektorrum der ud over at afhænge af f og x også afhænger af en lineær afbildning A :X Y. Hvis f er kontinuert i x vil også r gå mod nul for u 0, den lineære afbildning er jo selv kontinuert. Men pointen er at man med et hensigtsmæssigt valg af lineær afbildning muligvis kan opnå at r (u) u 0 for u 0. (3.2) Man bruger gerne de såkaldte Landau-symboler, og skriver r (u)=o( u ) hvis (3.2) er opfyldt. Bemærk at de oprindelige restled r(u) næppe er o( u ), ligesom den lineære afbildning A ikke er o( u ). Det er differensen mellem tilvæksten og den lineære afbildning, der muligvis har den ønskede egenskab. I så fald vil tilvæksten u r(u) og den lineære afbildning A ligne hinanden mere og mere, jo mindre kugle omkring 0 man ser på. Når vi siger at tilvækst og lineær afbildning ligner hinanden mere og mere, skal man vær opmærksom på at de begge ligner nul-afbildningen, og derfor ligner de hinanden i en triviel forstand. Men udsagnet i (3.2) er at de ligner hinanden i endnu højere grad hinanden end de ligner nul. Man kombinerer ofte (3.1) og (3.2) i formlen f (x+u)= f (x)+a u+o( u ), (3.3) hvor restleddet blot er en stenografisk notation for en eller anden funktion, der opfylder (3.2). Det er nemt nok at vise at der højst kan være en lineær afbildning A, der passer ind i dette skema. Hvis der en en, siger vi at f er differentiabel i x, og at A er den afledede i x, gerne skrevet D f (x). Man skriver ofte f (x+u)= f (x)+d f (x) u+o( u ). Her betyder D f (x) u den lineære afbildning D f (x) virkende på u. Det er en variant af den multiplikative skrivemåde, der viser sig hensigtsmæssig i differentiabilitetssammenhæng. Spørgsmålet om hvorvidt en funktion g :X Y er o( u ) afhænger ikke af de konkrete normer, der ligger på de to vektorrum - ækvivalente normer vil være enige. Når man arbejder med differentiabilitet, kan man således uden videre skifte normer på de indgående rum. Det ændrer ikke på i hvilke punkter en funktion er differentiabel, og det ændrer heller ikke på værdien af den afledede i disse punkter.

3 49 Det er en meget vigtig pointe at den afledede D f (x) er en lineær afbildning. Det er i nogen grad i modstrid med gymnasiedifferentialregning, hvor man differentierer en funktion f :R R i et punkt x, og får et tal som resultat. Og for den sags skyld i modstrid med den indledende universitetsundervisning i differentialregning, hvor man ofte lærer at differentiere en funktion f :R k R m i et punkt x, og som resultat får en matrix, bestående af en masse partielle afledede regnet ud i x. Men selvfølgelig er definitionerne på de forskellige trin beslægtede. Og man kan sikkert gætte at forskellen er den samme som forskellen mellem en lineær afbildning og dens matrixrepræsentation. Eksempel 3.1 Lad f :R R være differentiabel i et punkt x R. Den afledede D f (x) er da en lineær afbildningr R. Enhver afbildning af denne type har formen u a u for et passende a R. Om man vil, er 1 1-matricen bestående af a matrixrepræsentationen af den lineære afbildning - men det synspunkt er nok lige formelt nok for de fleste. Men det følger i hvert fald af (3.3) at Heraf følger at f (x+u) f (x) u f (x+u)= f (x)+a u+o( u ). = a+ u u o( u ) u a for u 0. Funktionen f er altså gymnasiedifferentiabel i x med f (x)=a. Man kan naturligvis tilsvarende påvise den modsatte relation. Vores nye differentiabilitetsdefinition svarer altså præcis til gymnasiets. Forskellen består udelukkende i hvad vi opfatter som resultatet af differentationen. I gymnasiet fokuserer man på tallet f (x), her fokuserer vi på den lineære afbildning u f (x) u. Den smidigste måde at formulere oversættelsen på er måske f (x)=d f (x) 1, (3.4) hvor vi på højre side lader den lineære afbildning D f (x) virke på vektoren 1. Eksempel 3.2 Lad f :X Y være konstant, f (x)=y 0 for alle x X. Vi ser at (3.3) er opfyldt med A = 0 (altså nulelementet i Lin(X, Y), den lineære afbildning, der sender alting over i nul), for restleddet er i så fald ikke blot o( u ) - det er faktisk identisk nul. Derfor er f differentiabel overalt og D f (x) = 0.

4 50 Kapitel 3. Differentation i vektorrum Sætning 3.3 Lad f : X Y være lineær. Så er f differentiabel i ethvert punkt x X, og D f (x) u= f (u) for alle x, u X. BEVIS: Påstanden er en trivialitet, som udelukkende bliver kompliceret af notationsgrunde - samme ting kommer til at hedde to forskellige ting. Hvis vi lader A= f, vil de modificere tilvækster fra (3.1) opfylde at r (u)= f (x+u) f (x) A u= f (x+u) f (x) f (u)=0 for alle u. Og en funktion, der er identisk nul, er selvfølgelig o( u ). Så vi har på denne måde vist at f er differentiabel i x, med afledet A. Sætning 3.4 Lad f :X Y Z være bilineær. Så er f differentiabel i ethvert punkt (x, y) X Y, og D f (x, y) (u, v)= f (x, v)+ f (u, y) for alle x, u X,y, v Y. BEVIS: Bilinearitet giver at Bemærk at for fast (x, y) er f (x+u, y+v)= f (x, y)+ f (x, v)+ f (u, y)+ f (u, v), (u, v) f (x, v)+ f (u, y) en lineær afbildningx Y Z. Dermed skal vi kun eftervise at restleddet f (u, v) er af den rigtige størrelsesorden, altså at f (u, v)=o( (u, v) ). Lad os udstyrex Y med en norm, der er 2-kombinationen af normerne på X og Y. Den bilineære afbildning f opfylder en begrænsethedsbetingelse af formen (2.6), så f (u, v) (u, v) = f (u, v) u 2 + v 2 u 2 + v 2 f (u, v) f, u u 2 + v 2 v u 2 + v 2 og den sidste størrelse går tydeligvis mod nul for (u, v) 0.

5 51 Sætning 3.5 Lad f :X Yog g :X Zvære differentiable i et punkt x X. Da er sammenbundtningen ( f, g) :X Y Z differentiabel i x med D( f, g)(x) (u)= ( D f (x) u, Dg(x) u ) for alle u X. BEVIS: Hvis f (x+u)= f (x)+d f (x) u+ǫ 1 (u), g(x+u)=g(x)+dg(x) u+ǫ 2 (u), hvorǫ 1 (u) er o( u ) ogǫ 2 (u) er o( u ), så er ( f, g ) (x+u)= ( f (x+u), g(x+u) ) = ( f (x)+d f (x) u+ǫ 1 (u), g(x)+dg(x) u+ǫ 2 (u) ) = ( f (x), g(x) ) + ( D f (x) u, Dg(x) u ) + ( ǫ 1 (u),ǫ 2 (u) ). Idet midterledet er lineært i u, tilbagestår at vise at sidste led er et restled af den rette størresesorden. Men ( ǫ 1 (u),ǫ 2 (u) ) ǫ1 (u) = 2 + ǫ 2 (u) 2 ǫ 1 (u) = 2 u u u 2 + ǫ 2(u) 2 u 2, og den sidste størrelse går tydeligvis mod nul for u 0. Her har vi stiltiende udstyret Y Z med en norm, der er 2-kombinationen af normerne påyogz. Sætning 3.6 (Kædereglen) Lad f : X Y være differentiabel i punktet x X, og lad g :Y Z være differentiabel i punktet y= f (x). Da er den sammensatte afbildning g f :X Zdifferentiabel i x med D(g f )(x) u=dg ( f (x) ) (D f (x) u ) for alle u X. BEVIS: Hvis f (x+u)= f (x)+d f (x) u+ǫ 1 (u), g(y+v)=g(y)+dg(y) v+ǫ 2 (v), hvorǫ 1 (u) er o( u ) ogǫ 2 (v) er o( v ), så er g f (x+u)=g ( f (x)+d f (x) u+ǫ 1 (u) ) = g ( f (x) ) + Dg ( f (x) ) (D f (x) u+ǫ 1 (u) ) +ǫ 2 ( D f (x) u+ǫ1 (u) ) = g ( f (x) ) + Dg ( f (x) ) D f (x) u+dg ( f (x) ) ǫ 1 (u) +ǫ 2 ( D f (x) u+ǫ1 (u) ).

6 52 Kapitel 3. Differentation i vektorrum Vi skal således vise at de sidste to led er o( u ). Vi ser at Dg ( f (x) ) ǫ 1 (u) u Dg ( f (x) ) ǫ 1(u) u, hvilket tydeligvis går mod nul for u 0. Hvad angår det sidste led, skal vi være lidt mere omhyggelige. Bemærk at D f (x) u+ǫ 1 (u) D f (x) u + ǫ 1(u) u u 0 for u 0. Derfor vil ǫ 2 ( D f (x) u+ǫ1 (u) ) u = ǫ ( 2 D f (x) u+ǫ1 (u) ) D f (x) u+ǫ 1 (u) ǫ ( 2 D f (x) u+ǫ1 (u) ) D f (x) u+ǫ 1 (u) D f (x) u+ǫ 1 (u) u ( D f (x) + ǫ ) 1(u). u Her går første faktor mod nul mens anden faktor holder sig begrænset for u 0. Eksempel 3.7 Lad f, g :R Rvære differentiable i hhv. x og y= f (x). Det følger af kædereglen at g f er differentiabel i x, og kombineres kædereglen med (3.4), får vi at (g f ) (x)=d(g f )(x) 1=D(g) ( f (x) ) (D f (x) 1 ) = D(g) ( f (x) ) f (x) = f (x) D(g) ( f (x) ) 1= f (x) g ( f (x)), hvor vi i næstsidste lighedstegn har brugt at u Dg( f (x)) u er lineær, og at vektoren f (x) kan opfattes som skalaren f (x) gange vektoren 1. Kædereglen indeholder altså den fra gymnasiet så velkendte formel for differentation af en sammensat funktion. Eksempel 3.8 Produktet f g af to funktioner f, g :R R er en ny funktionr R. Vi opfatter produktet som en sammensætning af sammenbundtningen ( f, g) :R R 2 med den bilineære afbildning (x, y) x y. Vi skriver f (x) g(x)=b ( f, g)(x), hvor B betegner den sædvanlige multiplikation.

7 53 Hvis f og g begge er differentiable i x, følger det af dette syn på produktet (og af kædereglen og sætning 3.5) at f g er differentiabel i x, og at D( f g)(x) u=db( f (x), g(x)) (D( f, g)(x) u) = B( f (x), Dg(x) u)+ B(D f (x) u, g(x)) = f (x) Dg(x) u+g(x) D f (x) u. Oversættes til gymnasiedifferentialkvotienter, fås ( f g) (x)=d( f g)(x) 1= f (x) Dg(x) 1+g(x) D f (x) 1= f (x) g (x)+g(x) f (x), en formel de fleste sikkert vil kunne nikke genkendende til. Eksempel 3.9 For en funktion f :R k R bringer man ofte begrebet partielle afledede på banen. Man definerer traditionelt den partielle afledede i den i te koordinatretning som f x i (x)=( f γ) (0), hvorγ :R R k er afbildningen γ(t)= x+t e i, for t R. Her er e 1,...,e k den kanoniske basis forr k. Vi lægger altså en bestemt kurve gennem x, og regner f ud på denne kurve. Hvis f er differentiabel, så er den sammensatte afbildning f γ differentiabel. Kædereglen giver at f x i (x)=( f γ) (0)=D( f γ)(0) 1= D f ( γ(0)) (Dγ(0) 1 ) = D f (x) e i. (3.5) Her har vi brugt atγer affin, og dermed differentiabel, med sin lineære del som afledet. Moralen der kan uddrages af disse regninger, er at hvis f er differentiabel, eksisterer de partielle afledede, og de kan udtrykkes ved hjælp af D f. Det omvendte spørgsmål er lidt mere indviklet: hvis vi ved at f er differentiabel, så kan vi udtrykke D f ved hjælp af de partielle afledede - en lineær afbildning er jo givet ved sin værdi på elementerne i en basis. Men hvis vi ikke på forhånd ved om f er differentiabel, er det ikke så nemt at undersøge ved hjælp af partielle afledede. Der findes funktioner f :R k R hvor alle

8 54 Kapitel 3. Differentation i vektorrum partielle afledede eksisterer i et givet punkt x, men hvor afbildningen alligevel ikke er differentiabel i x. Man kan dog vise at hvis alle partielle afledede eksisterer i en åben mængde U R k, og hvis disse partielle afledede alle er kontinuerte i U, så er f differentiabel i hvert punkt i U, og den afledede x D f (x) er selv kontinuert. Beviset er lidt besværligt og påstanden er ikke specielt nyttig: som i den elementære matematik beviser man i praksis at afbildninger er differentiable ved at observere at de er bygget op af simplere, differentiable funktioner, hvorefter en henvisning til kædereglen klarer sagen. Eksempel 3.10 For en funktion f :R k R m bruger man også begrebet partielle afledede. Man definerer som regel hvor g :R R er afbildningen f i x j (x)=g (0), g(t)= f (x+t e j ), w i, for t R. Her er e 1,...,e k den kanoniske basis forr k, mens w 1,...,w m er den kanoniske basis forr m. Funktionen g er en sammensætning at tre afbildninger: inderst en affin afbildning, så den afbildning f vi virkelig interesserer os for, og yderst en lineær afbilding. Hvis f er differentiabel giver kædereglen at g er differentiabel, og f i x j (x)=g (0)=Dg(0) 1= w i, D f (x) e j,. (3.6) Eksempel 3.11 Antag at f :R k R m er differentiabel i x. Den afledte D f (x) er en lineær afbildningr k R m, og kan derfor i princippet repræsenteres af en m kmatrix A. Ifølge lemma 2.11 har denne matrix koordinater af formen a i j = w i, D f (x) e j for i=1,...,m, j=1,...k.

9 3.1. Højere ordens afledede 55 Sammenlignes med (3.6), ses at disse koordinater netop er de partielle afledede. Altså repræsenteres den lineære afbildning D f (x) af matricen f 1 f x 1 (x) 1 f x 2 (x) 1 x k (x) f 2 f x A= 1 (x) 2 f x 2 (x) 2 x k (x).,..... f m x 1 (x) f m x 2 (x) f m x k (x) i fin overensstemmelse med den elementære definition af den afledte af f som en matrix af partielle afledede. Det nye er for så vidt blot at vi opfatter den afledte som det matricen gør når den den aktiveres, ikke som matricen selv. For en afbildning f :X R er den afledte D f (x) for hvert x en lineær afbildning X R, altså et element i det duale rumx. HvisXhar et indre produkt, er ifølge afsnit en naturlig måde at identificerex med X selv. Oversættes D f (x) til en X-vektor, kaldes resultatet ofte gradienten for f i x, og skrives f (x). Den definerende relation for gradienten, er altså at f (x), u =D f (x) u, for alle u X. (3.7) Gradienten opfattes typisk som simplere end den afledede D f (x), fordi man på denne måde kan vige uden om behovet for at snakke om lineære afbildninger. HvisX=R k, og hvis vi udstyrerr k med det sædvanlige indre produkt, er det let at identificere gradienten for f. Dens i te koordinat er f (x), e i =D f (x) e i = f (x), x i ifølge (3.5). Så f (x) er simpelthen de partielle afledede, stablet op i en k-søjle. I modsætning til matrixrepræsentationen af D f (x), der jo består af de partielle afledede, stablet op som en k-række Højere ordens afledede Hvis f : X Y er differentiabel i alle punkter, så kan vi betragte afbildningen x D f (x). Det er en afbildningx Lin(X,Y). Specielt er det en afbildning

10 56 Kapitel 3. Differentation i vektorrum mellem to normerede endeligdimensionale vektorrum. Vi siger naturligvis at f er C 1, hvis denne afbildning er kontinuert. Principielt foreligger muligheden for at x D f (x) selv er differentiabel i et punkt x X - eller eventuelt i alle punkter. Hvis det er rigtigt, kaldes den afledede naturligt nok den anden afledede af f i punktet x, og skrives D 2 f (x). Formelt er D 2 f (x) Lin(X, Lin(X,Y)). Konventionelt oversættes sådanne lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger automatisk til bilineære afbildninger. Vi får således at D 2 f (x) Bil(X,X;Y). Hvis f er to gange differentiabel i alle punkter, og hvis afbildningen x D 2 f (x) er kontinuert, siger vi at f er C 2. Sætning 3.12 Hvis f : U Y er en C 2 -afbildning, defineret på en åben mængde U X, så er D 2 f (x) en symmetrisk bilineær afbildning for alle x U. BEVIS: vi taler om en reformulering og udvidelse af det kendte og elskede resultat at det for blandede partielle afledede 2 f x i x j ikke spiller nogen rolle i hvilken rækkefølge differentationerne tages, hvis f er C 2. Beviset har to trin: dels en reduktion af det generelle tilfælde til tilfældet medx=r 2 ogy=r, og dels et bevis i det specielle tilfælde. Begge dele er en anelse besværlige, og vi springer detaljerne over. Eksempel 3.13 Lad f : X Y være lineær. Ifølge sætning 3.3 er f differentiabel overalt, og D f (x) = f for alle x. Det vil sige at D f : X Lin(X,Y) er en konstant afbildning. Ifølge eksempel 3.2 er D f derfor differentiabel med D 2 f (x)=d(d f )(x)=0 for alle x. Eksempel 3.14 Lad B :X X Y være en bilineær afbildning, og betragt den tilhørende kvadratiske form g : X Y givet ved g(x)=b(x, x) for x X.

11 3.1. Højere ordens afledede 57 Det er en sammensætning af den lineære afbildning h(x)=(x, x) og den bilineære afbildning B. Ifølge kædereglen er g differentiabel med Dg(x) u= DB(x, x) (Dh(x) u ) = DB(x, x) (u, u)=b(x, u)+ B(u, x). Man ser let at denne afbildning er lineær i x. Derfor er Dg differentiabel overalt, med sig selv som afledet. Hvis vi ser på D 2 g som en bilineær afbildning, får vi at D 2 g(x) (u, v)=b(u, v)+ B(v, u). Hvis B er symmetrisk, ser vi at D 2 g=2b. Sætning 3.15 (2. ordens kæderegel) Lad f : X Y være to gange differentiabel i punktet x X, og lad g :Y Z være to gange differentiabel i punktet y= f (x). Da er den sammensatte afbildning g f :X Z to gange differentiabel i punktet x med D 2 (g f )(x) (u, v)=d 2 g ( f (x) ) (D f (x) u, D f (x) v ) for alle u, v X. + Dg ( f (x) ) (D 2 f (x) (u, v) ), BEVIS: Faktisk er sætningen triviel! Pointen er at den sædvanlige kæderegel giver en formel for den første afledede, der i sig selv er en sammensat funktion: D(g f )(x)=d(g)( f (x)) D f (x). Her står en identitet mellem to lineære afbildninger, vi har i notationen undertrykt det argument-u, de virker på, og som plejer at indgå i formuleringen af kædereglen. Hvis man nu gør den observation at : Lin(Y,Z) Lin(X,Y) Lin(X,Z) er en bilineær afbildning, følger 2. ordens kædereglen faktisk direkte ved indsættelse i den sædvanlige kæderegel. Eksempel 3.16 Lad f :R k R være to gange differentiabel. Da diskuterer man ofte de dobbelte partielle afledede, 2 f (x)= ( ) f. x i x j x j x i

12 58 Kapitel 3. Differentation i vektorrum Idet f x i (x)=d f (x) e i følger det af kædereglen at denne afbildning er differentiabel (sammensætning af x D f (x) med den lineære afbildning, der prikker på den faste vektor e i ). Det følger ovenikøbet hvad den aflede er: 2 f x i x j (x)=d (D f (x) e i ) e j = D 2 f (x) (e 1, e j ). Hvis f :R k Rer to gange differentiabel, så har D 2 f (x) en matrixfremstilling, D 2 f (x) (u, v)=u T B v. Det følger af det allerede viste at den repræsenterende matrix består af de dobbelte partielle afledede, 2 f x 1 x 1 (x) 2 f B= x 2 x 1 (x). 2 f x k x 1 (x) 2 f x 1 x 2 (x) 2 f 2 f x 1 x k (x) 2 f x 2 x 2 (x) x 2 x k (x) f x k x 2 (x) 2 f x k x k (x). Sætning 3.17 Antag atxer udstyret med et indre produkt. Hvis f :X R er to gange differentiabel i punktet x, så er f : X X differentiabel i x, og den afledede opfylder relationen D f (x) u, v = D 2 f (x) (u, v) for alle u, v X. BEVIS: Vælg en ortonormal basis e 1,...,e k forx. Udnyttes relationen (3.7) ser vi at f (x)= k f (x), e i e i = i=1 k D f (x) e i, e i. i=1

13 3.2. Differentation under et integraltegn 59 Vi observerer at f er en sammensætning af D f med en lineær transformationφ: Lin(X,R) Xgivet ved φ(a)= k ( ) Aei ei for A Lin(X,R). i=1 Af kædereglen ser vi nu af f er differentiabel i x og at D f (x) y=d ( φ D f ) (x) y=φ (DD f (x) y ) = k ( ) DD f (x) y (ei ) e i. i=1 Vi har fastholdt skrivemåde DD f (x) for at lade det være helt klart at vi ikke skal tænke på objektet som en bilineær afbildning, men som en lineær afbildningx Lin(X,R). Men inddrages identificeringen (2.5) ser vi netop at D f (x) y= k D 2 f (x) (y, e i ) e i. i=1 Inddrages endnu en vektor z X får vi at k k k D f (x) y, z = D 2 f (x) (y, e i ) e i, z, e j e j = D 2 f (x) (y, e i ) z, e i i=1 = D 2 f (x) (y, j=1 i=1 n z, e i e i )=D 2 f (x) (y, z), i=1 præcis som ønsket. 3.2 Differentation under et integraltegn Lemma 3.18 Lad (X,E) være et målbart rum, og ladyogzvære normerede vektorrum. Lad U Y være en åben mængde, og lad f :X U Z være en afbildning. Antag at afbildningen x f (x, y) er målelig for hvert fast y, og at afbildningen y f (x, y) er differentiabel for hvert fast x, med afledet D f x (y). Da er afbildningen x D f x (y) målelig for hvert fast y.

14 60 Kapitel 3. Differentation i vektorrum BEVIS: Lad os i første omgang antage aty=z=r. Hvis vi lader (y n ) n N være en følge, der konvergerer mod y, ser vi at f x(y)= f (x, y n ) f (x, y) lim. n y n y Differenskvotienterne er alle målelige som funktion af x, og derfor bliver grænsen også målelig som funktion af x. Oversættes til vores abstrakte sprogbrug, ser vi at for fast u er D f x (y) u= f x(y)u en målelig afbildning af x. Det generelle tilfælde klarer vi ved kædereglen. Vælg et indre produkt påz-man kan f.eks. tage en basis forzog udråbe den til at være en ortonormalbasis, denne fremgangsmåde definerer et entydigt bestemt indre produkt. Tag en fast vektor u Y og z Z, og betragt g(x, t)= f (x, y+tu), z. Kædereglen og ovenstående specialtilfælde sikrer at g x(0)= D f x (y) u, z, er en målelig afbildning af x. En henvisning til lemma 2.21 sikrer at D f x (u) u er en målelig afbildning af x for fast y og u, hvorefter en henvisning til lemma 2.22 sikrer at D f x (y) er en målelig afbildning af x. Sætning 3.19 Lad (X,E,µ) være et målrum, ladyogzvære endeligdimensionale vektorrum, og lad U Y være en åbent mængde. Lad f :X U Z være en afbildning, hvor alle snitfunktionerne x f (x, y) er E-målelige og µ-integrable. Sæt φ(y)= f (x, y) dµ(x) for y U. Hvis alle snitfunktionerne y f (x, y) er differentiable i hele U, og hvis der findes en integrabel funktion h M + (X) så D y f (x, y) h(x) for alle x X, y U, så erφdifferentiabel i U, og Dφ(y) = D y f (x, y) dµ(x) for alle y U. (3.8)

15 3.3. Taylors formel i flere variable 61 BEVIS: Vi skal vise at φ(y+ν) φ(y) D y f (x, y) dµ(x) ν 0 ν for ν 0. Men ved at bruge sætning 2.24 ser vi at venstresiden kan skrives som f (x, y+ν) f (x, y) D y f (x, y) ν dµ(x) ν f (x, y+ν) f (x, y) Dy f (x, y) ν dµ(x) ν For fast x vil integranden i det sidste integral gå mod nul forν 0, så hvis vi blot kan vise at denne konvergens kan majoriseres integrabelt, så følger det ønskede af majorantsætningen. Vi viser at integranden kan majoriseres af 2h(x). Det følger hvis f (x, y+ν) f (x, y) ν h(x). Tag et w Z. Ifølge middelværdisætningen findes der et ξ U så f (x, y+ν) f (x, y), w = D y f (ξ) ν, w D y f (ξ) ν w D y f (ξ) ν w hvor vi har brugt Cauchy-Schwarz ulighed og Lipschitz egenskaben af operatornormen. Derfor har vi at som ønsket. f (x, y+ν) f (x, y) = sup f (x, y+ν) f (x, y), w h(x) ν w: w Taylors formel i flere variable Vi erindrer den klassiske Taylors formel i én dimension: Sætning 3.20 (Taylors formel) Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes etξ mellem x 0 og x der opfylder at f (x)= f (x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f (n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0 ) n 1 + f (n) (ξ) n! (x x 0 ) n. (3.9)

16 62 Kapitel 3. Differentation i vektorrum Taylors formel virker helt lokalt omkring udviklingspunktet x 0 - den giver en meget detaljeret beskrivelse af hvordan f opfører sig når man går ind imod x 0. Men dens anvendelser er ofte semi-lokale, forstået på den måde at den giver et bånd på f s opførsel i en fast omegn af x 0. Denne semi-globale kontrol har vi behov for at føre med over i det flerdimensionale tilfælde. Vi vil i denne sammenhæng kun interessere os for udviklinger af orden 1 og 2. Det viser sig at hvis vi ser på en funktion ind ir, så kan vi i det store og hele kalkere den etdimensionale Taylors formel, men hvis hvis funktionen afbilder ind i et flerdimensionalt vektorrum, bliver tingene mere indviklede. Sætning 3.21 (Taylors formel) Lad U X være en åben konveks delmængde af et normeret vektorrum (f.eks. en kugle). Hvis f : U R er to gange differentiabel i alle punkter, så findes for x 1, x 2 U et mellempunktξpå liniestykket mellem x 1 og x 2 så f (x 2 )= f (x 1 )+ D f (x 1 ) (x 2 x 1 )+ 1 2 D2 f (ξ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). (3.10) BEVIS: Betragt funktionen g : R R givet ved g(t)= f (t x 2 + (1 t) x 1 ). Funktionen er næppe defineret for alle t, men eftersom både x 1 og x 2 ligger i U, der er åben og konveks, er g i hvert fald defineret for t ( ǫ, 1 + ǫ) for et passende ǫ > 0. Vi ser at g= f γ hvorγ :R X er den affine funktionγ(y)=t x 2 + (1 t) x 1, og 2. ordens kædereglen fortæller derfor at g er to gange differentiabel i ( ǫ, 1+ǫ). Kædreglens grundversion fortæller at g (t)=dg(t) 1=D f ( γ(t) ) Dγ(t) 1=D f ( γ(t) ) (x 2 x 1 ), og 2. ordens kædereglen fortæller - når vi udnytter at D 2 γ=0 - at g (t)=d 2 g(t) (1, 1)=D 2 f ( γ(t) ) (Dγ(t) 1, Dγ(t) 1 ) = D 2 f ( γ(t) ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). Den reelle version af Taylors formel giver at g(1)=g(0)+g (0)+ 1 2 g (t )

17 3.3. Taylors formel i flere variable 63 for et passende mellempunkt t (0, 1). Altså er f (x 2 )= f (x 1 )+D f (x 1 ) (x 2 x 1 )+ 1 2 D2 f ( γ(t ) ) (x 2 x 1, x 2 x 1 ). Hvilket viser det ønskede resultat, medξ=γ(t ). Man kunne selvfølgelig nøjes med at Taylorudvikle til første orden. Så ville vi under antagelse af at f er differentiabel i alle punkter i U få at der for alle x 1, x 2 U findes et punktξpå liniestykket mellem x 1 og x 2 så f (x 2 )= f (x 1 )+D f (ξ) (x 2 x 1 ). (3.11) Tingene bliver værre hvis afbildningen går ind i et generelt vektorrum Y. Man kan ikke nøjes med et enkelt mellempunkt, men er nødt til at lade det afhænge af hvad Taylorudviklingen skal bruges til. Vi begrænser os til at skrive en første ordens udvikling op: Sætning 3.22 (Middelværdisætningen) Lad U X være en åben konveks delmængde af et normeret vektorrum (f.eks. en kugle), og ladyvære udstyret med et indre produkt. Hvis f : U Y er differentiabel i alle punkter, findes for hvert x 1, x 2 U og y Yet punktξ U så f (x2 ), y = f (x 1 ), y + D f (ξ) (x 2 x 1 ), y. (3.12) BEVIS: Betragt funktionen g : R R givet ved g(t)= f (t x 2 + (1 t) x 1 ), y. Funktionen er næppe defineret for alle t, men vi kan være sikre på at den er defineret for t ( ǫ, 1+ǫ) for et passende lilleǫ> 0. Vi ser at vi kan skrive g=a f γ, hvorγ : R X er den affine afbildning γ(t)=t x 2 + (1 t) x 1 og hvor A :Y R er den lineære afbildning Ay = y, y. Kædereglen sikrer at g er differentiabel i ( ǫ, 1+ǫ), og at g (t)=d(g)(t) 1=A D f ( γ(t) ) Dγ(t) 1= D f ( γ(t) ) (x 2 x 1 ), y.

18 64 Kapitel 3. Differentation i vektorrum Den klassiske reelle middelværdisætning fortæller at g(1)=g(0)+g (t ) for et passende mellempunkt t (0, 1). Altså er f (x2 ), y = f (x 1 ), y + D f ( γ(t ) ) (x 2 x 1 ), y. Hvilket viser at (3.12) er opfyldt medξ=γ(t ). 3.4 Lokalt minimum En symmetrisk bilinearform B : X X R siges at være positivt semidefinit, skrevet B 0, hvis B(x, x) 0 for alle x X, og positivt definit, skrevet B > 0, hvis B(x, x)>0 for alle x X, x 0. For en symmetrisk bilinearform B A pår k, repræsenteret af en matrix A, kan disse begreber formuleres i termer af A s egenværdier: B A er positivt semidefinit hvis alle A s egenværdier er ikke-negative, og B A er positivt definit hvis alle A s egenværdier er strengt positive. Sætning 3.23 Lad U X være en åben konveks delmængde af et normeret vektorrum, og lad f : U R være en C 2 -afbildning, der opfylder at D 2 f (x)>0 for alle x U. Hvis x 0 U er et stationært punkt, altså opfylder at D f (x 0 )=0, så gælder der at f (x)> f (x 0 ) for alle x U\{x 0 }. BEVIS: Taylors formel med udviklingspunkt x 0 giver at for x U\{x 0 } vil f (x)= f (x 0 )+ D f (x 0 ) (x x 0 )+ 1 2 D2 f (ξ) (x x 0, x x 0 ) = f (x 0 )+ 1 2 D2 f (ξ) (x x 0, x x 0 )

19 3.4. Lokalt minimum 65 for et passende mellempunktξ U. Da D 2 f (ξ) er positivt definit, vil D 2 f (ξ) (x x 0, x x 0 )>0 og derfor vil f (x)> f (x 0 ) som ønsket. Lemma 3.24 LadXvære et normeret vektorrum, og lad F :X X R være en symmetrisk og positivt definit bilinearform. Der findes etǫ> 0 sådan at det for alle symmetriske bilinearformer G :X X R gælder at hvis G F <ǫ, så må G være positivt definit. BEVIS: Da F er positivt definit, er F(x, x)>0 for alle x X med x =1. Da{x x =1} er afsluttet og begrænset og derfor kompakt, må den kontinuerte funktion x F(x, x) antage et minimum over denne mængde. Dette minimum er ikke nul, og der findes derfor etλ>0 sådan at F(x, x) λ for alle x Xmed x =1. Men dermed er F(x, x)= x 2 F ( ) x x, x λ x 2 x for alle x 0, og såmænd også for x = 0, i det begge sider af uligheden i så fald er nul. Hvis F G < λ 2, så er G(x, x)=f(x, x)+ G(x, x) F(x, x) λ x 2 F G x 2 λ 2 x 2 for alle x X, hvilket viser at G er positivt definit. Man kan kombinere disse resultater til en betingelse, der sikrer at et stationært punkt for en reel funktion er et lokalt minimum:

20 66 Kapitel 3. Differentation i vektorrum Korollar 3.25 Lad U X være en åben delmængde af et normeret vektorrum, og lad f : U Rvære en C 2 -afbildning. Hvis x 0 U opfylder at D f (x 0 )=0, D 2 f (x 0 )>0, så findes der en omegn V U af x 0, sådan at f (x)> f (x 0 ) for alle x V\{x 0 }. BEVIS: Eftersom D 2 f (x 0 )>0 findes der etǫ> 0 så alle symmetriske bilinearformer, der ligger tættere endǫ på D 2 f (x 0 ) også er positivt definitte. Og eftersom f er C 2, findes der en omegn V af x 0 sådan at D 2 f (x) D 2 f (x 0 ) <ǫ for alle x V. I særdeleshed vil D 2 f (x)>0 for alle x V. Sådan som vi har formuleret os, kan vi ikke være sikre på at V er konveks. Men det kan vi opnå ved at gøre V mindre - vi kan f.eks. gøre V til en lille kugle om x 0. Når vi er sikre på at V er konveks, så vil en henvisning til sætning 3.23 give det ønskede.