Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde?
. Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel itegrtio 8 Itegrtio ved sustitutio. Det estemte itegrl 7 Idskudsregle 8 Prtiel itegrtio 9 Itegrtio ved sustitutio. De geometriske etydig f itegrlet - relestemmelse 5.5 Numerisk itegrtio.6 Omdrejigslegemer 5.7 Olieproduktio 9.8 Kiemtik 5.9 Opgver 5 Fcitliste 56 Kpiteloversigt 59 Avedte symoler Sætiger, defiitioer og formler er mærket med FS: LS: sætige fides i formelsmlige lær selv formle uded - de fides (uderligt ok) ikke i formelsmlige, og du får sikkert rug for de til eksme
. Stmfuktioer og det uestemte itegrl Ld os se det i øjee med det smme: Itegrlregig går i høj grd ud på t rejde med stmfuktioer... Vi strter derfor med et kort resumé f, hvd e stmfuktio egetlig er for oget: Defiitio E stmfuktio til fuktioe f er e fuktio F som opfylder F ( ) = f ( ). M ruger ormlt ottioe f ( ) for e stmfuktio til f. E fuktio, som hr e stmfuktio, kldes itegrel. Det lidt mystiske symol kldes et itegrlteg. Det hr form som et lgstrkt S, og ive sjæle kue fristes til t tro, t S'et kom fr det første ogstv i ordet stmfuktio. Dette er dog ikke tilfældet; S'et kommer fr det ltiske ord Summ, som etyder sum. Symolet lev idført f Leiiz omkrig 675. Fuktioe f kldes i øvrigt itegrde. Bemærk, t 'et også hører med til itegrlteget. Det viser sig t være et gske yttigt symol og ikke re, som m umiddelrt ville tro, f ormetl krkter. Der er desværre et lille prolem omkrig stmfuktioer. Vi illustrerer det i det følgede eksempel: Eksempel Idet (si ) = cos, hr vi, t cos = si. Me der gælder også, t (si + ) = cos, så vi hr cos = si +. Fktisk vil ehver fuktio f forme si + k, hvor k er et reelt tl, være e stmfuktio til cos. Det ser ud til, t itegrlet ikke er særligt veldefieret. Og det er det såd set heller ikke - m tler om det uestemte itegrl. Følgede sætig viser, t det dog er rimeligt let t få styr på dette uestemte itegrlet.
Sætig Ld f være e fuktio, som er defieret på itervllet I, og ld F og F være to stmfuktioer til f på I. Så fides et reelt tl k, således t F ( ) = F ( ) + k for lle I. Bevis: Vi differetierer fuktioe G givet ved G( ) = F ( ) F ( ) G ( ) = F ( ) F ( ) = f ( ) f ( ) = og får G hr ltså differetilkvotiete, og idet G er defieret på et itervl I, så må G være e kostt fuktio, dvs. der fides et reelt tl k, således t G( ) = k. Me dette etyder, t k = G( ) = F ( ) F ( ) F ( ) = F ( ) + k. Sætig etyder, t m ormlt k tillde sig t skrive cos = si + k Det er dog ikke ltid, t m tger k'et med - f.eks. udeldes k'et ormlt i itegrlteller og formelsmliger. I eviset for sætig eyttes det, t fuktioere lle er defieret på et itervl. Sætige gælder ikke, hvis defiitiosmægde ikke er et itervl. Dette skyldes, t sætige G ( ) = G( ) = kostt ikke gælder, år defiitiosmægde for fuktioe G ikke er et itervl. M skl ltså psse meget på, hvis defiitiosmægde ikke er et itervl. Eksempel Vi hr, t = Dette etyder umiddelrt, t = + k
Me her skl m psse på, fordi k fktisk ikke er e kostt! Eksempelvis er egge edeståede fuktioer stmfuktioer til fuktioe : F( ) =, >, < og G( ) = +, > +, < Dette skyldes, t itegrdes defiitiosmægde er R \{ }, som ikke er et itervl, og t vi derfor k ædre 'kostte' k på hver f de to smmehægskompoeter i defiitiosmægde ufhægigt f hide. Vi fslutter dette kpitel med t give et pr eksempler på, hvilke slgs opgver, m k live udst for i foridelse med stmfuktioer og det uestemte itegrl: Regede opgver Opgve: Fid de stmfuktio til fuktioe f e (, ) Løsig: F( ) = e = e + k ( ) =, hvis grf går geem puktet hvor vi ltså lot skl fide k. Opgveformulerige fortæller os, t F( ) =, hvilket ved idsættelse giver = F ( ) = e + k = e + k k = e De søgte stmfuktio er derfor F ( ) = e + e Opgve: Løsig: Fid de stmfuktio til fuktioe g( ) =, hvis grf hr liie med ligige y = + som tget. De søgte stmfuktio eteger vi med G. Vi strter med t fide rørigspuktet til tgete. Idet liie hr hældige, og G ( ) = g( ) etop er tgethældige i, ses, t g( ) = = = M skl u psse lidt på, idet defiitiosmægde for g ikke er et itervl. Vi hr jo, t Dm( g ) = ] ; [ ] ; [ - ltså to disjukte itervller, og de stmfuktio, vi skl fide, hr ku meig i ét itervl. Vi
idskræker os derfor til det itervl, som ideholder =, dvs. til itervllet ] ; [. Her gælder d G ( ) = z = l + k, > og det er u e sml sg t fide k. G( ) = + =, idet tgetes rørigspukt (, + ) = (, ) gere skulle ligge på grfe for G. Vi får d, t = G( ) = l + k = + k = k og de søgte stmfuktio liver G( ) = l +, > Opgve: Bevis, t l = l + k. Løsig: Dette er emt ok; vi differetierer re højreside og ser, om vi får itegrde på vestreside: d ( l + k) = d ( l ) d ( ) + d ( k) = d ( ) l + d (l ) + = l + + = l Bemærk, t der ltid gælder, t d f ( ) = f ( ) Dette følger jo f defiitioe f stmfuktioe. Hvis m skl evise e itegrlformel, så er det ltså e god idé t differetiere! Et spørgsmål, vi skl vede tilge til seere, er: Hvilke fuktioer er itegrle? Det er lidt svært t give et fyldestgørede svr på dette spørgsmål, me llerede u k vi fsløre, t fuktioer, som er kotiuerte, også er itegrle. Fktisk er stykkevis kotiuerte fuktioer, dvs. fuktioer, der er skrevet som e gffelforskrift, og hvor de ekelte delfuktioer er kotiuerte, også itegrle fuktioer. Opgver 5
. I de lå formelsmlig (Mtemtisk formelsmlig, Mtemtisk liie, Højt iveu) fides der på side e hel række formler for forskellige stmfuktioer, f.eks. si = cos + k Bevis (e delmægde f) disse formler.. Bestem de stmfuktio til f ( ) =, hvis grf går geem (,).. Bestem de stmfuktio G til g( ) =, som opfylder t G()=.. Bestem de stmfuktio til h( ) =, som hr liie med ligige y = + som tget..5 Bestem de stmfuktioer til k( ) =, som hr liie med ligige y = + som tget..6 Bestem de stmfuktio L til fuktioe l( ) = Husk t medtge de rigtige defiitiosmægde!, som opfylder t L( ) =..7 Bestem stmfuktioe M til m( ) = opfyldede M ( ) =..8 Bevis, f.eks. ved t differetiere, t fuktioe F estemt ved, < F( ) =, =, > er e stmfuktio til fuktioe f ( ) =. (Du skl ruge tretrisrkette direkte for t kue differetiere F i puktet = ) 6
. Regeregler for det uestemte itegrl I dee sektio vil de forskellige regeregler og tekikker idefor itegrlregige live præseteret. Dels er der ogle simple regler, og dels er der de vigtige metoder prtiel itegrtio og itegrtio ved sustitutio. Sætig (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer, og ld s og t være reelle tl. D gælder følgede regeregler: ) ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g( ) ) ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) c) s f ( ) = s f ( ) d) ( s f ( ) + t g( )) = s f ( ) + t g( ) Bevis: Bevisere for lle fire regler er lle f de smme surdej, så vi øjes med t evise regel ). Strtegie er de, t vi differetierer højreside og ser, om vi får itegrde på vestreside: d ( f ( ) g( ) ) + = d d ( f g ( ) ) + ( ( ) ) = f ( ) + g( ) Dette er jo etop itegrde på vestreside, og dette eviser regle. Vi rugte differetitiosregle ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g ( ) og regel ) k d også etrgtes som e omformulerig f dee regel. Eksempler ) ( + 5 ) = + 5 = + 5 + = 6 k + 5 + k. Her eyttes de lidt uderlige ottio =. ) ( + + 9) = + + 9 + k = 7
+ + 9 + k c) ( ) l + + = + + + k = l + + k Itegrtio f produktfuktioer er ikke helt ekel. Det smme gælder ved differetitio, hvor vi husker, t de oget komplicerede regel gælder: ( f g) ( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g'( ) Regle, vi fider, kldes prtiel itegrtio eller delvis itegrtio, fordi itegrtioe ikke umiddelrt føres til ede, me ordes i dele. Sætig (Prtiel itegrtio) (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer, og tg edvidere, t g er differetiel. D gælder f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) hvor F er e stmfuktio til f. Bevis: Vi differetierer højreside: d ( ) F( ) g( ) F( ) g ( ) = d ( ) ( ) F g d ( ) ( ) F( ) g ( ) = F ( ) g( ) + F( ) g ( ) F( ) g ( ) = F ( ) g( ) = f ( ) g( ) Idet vi opår itegrde på vestreside, er sætige evist. Når m eytter prtiel itegrtio er det e god idé t skrive lle mellemregigere ud; de itre erfrig viser, t fortegsfejl er meget hyppige. Edvidere skl m lve det rigtige vlg f, hvilke f fktorere i itegrde, m vil differetiere. Edelig er det e god idé t gøre prøve - dette sker ved t differetiere fcittet og se, om m får de opridelige itegrd. 8
Advrsel E vigtig tig t emærke, er t m ikke re k itegrere produktvist. Formle f ( ) g( ) = f ( ) g( ) gælder ikke! ( - og det er jo derfor, m er ødt til t ruge de øvlede metode kldet prtiel itegrtio... ) Regede opgver Opgve: Bereg itegrlet e. Løsig: Idet itegrde er et produkt, kue m forestille sig, t m skulle ruge prtiel itegrtio. Vi vælger i første forsøg f ( ) = og g( ) = e Vi får d, t F( ) = og g ( ) = e Prtiel itegrtio giver d e = e e hvilket vi ikke lev meget klogere f - itegrde lev fktisk mere kompliceret ed før. Nå, me vi prøver så med f ( ) = e og g( ) = Dette giver F ( ) = e og g ( ) = og vi får e = e e = e e = e e + k Opgve: Bereg itegrlet e. 9
Løsig: Belært f vore dyrt lærte erfriger differetierer vi u : e = e e = e ( e e ) + k = e e + e + k hvor vi rugte resulttet fr de sidste opgve. Opgve: Bereg itegrlet e. Løsig: Dee gg differetierer vi fktore : e = e e = e ( e e + e ) + k = e e + 6e 6e + k Morle: Hvis de ee fktor er e potes f (eller et polyomium), så er det dee fktor, der skl differetieres. Dette er dog e sdhed med modifiktioer, som æste eksempel viser: Opgve: Bestem itegrlet l. Løsig: Det viser sig her t være smrt t differetiere fktore l : = l l = l k = l + Vi slutter f med e lidt uderlig vedelse f prtiel itegrtio: Opgve: Bestem itegrlet l. Løsig: Vi opftter itegrde som et produkt f l og de kostte fuktio. Vi differetierer l og itegrerer -tllet: l = l = l = l + k
Det er vist på si plds t påpege her, t m ofte fusker lidt med itegrtioskostte k. F.eks. er udregige cos = si + k forkert! De rigtige udregig er fktisk cos = (si + ) = si + k k Me lligevel skriver m oftest k i stedet for k. Dette skyldes, t k jo er e ukedt kostt, og det er derfor ligegyldigt, om de gges med. Oftest estemmes k slet ikke, eller m estemmer k efter itegrtioe ved idsættelse f ogle tlværdier. E de vigtig itegrtiosmetode er itegrtio ved sustitutio, som viser sig t være itegrtiosvrite f regle for differetitio f smmestte fuktioer: ( f g) ( ) = f ( g( )) g ( ) Sætig 5 (Itegrtio ved sustitutio) (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer, og tg edvidere, t g er differetiel. Så f ( g( )) g ( ) = F( g( )) + k hvor F er e stmfuktio til f. Bevis: Beviset er gske simpelt; vi differetierer højreside og skulle gere få itegrde på vestreside: d ( F ( g ( )) + k ) = F ( g ( )) g ( ) + = f ( g ( )) g ( ) I prksis veder m ikke sætig direkte. I stedet (mis-)ruger m dy -ottioe: Lder vi y være y = f ( ) så k vi opftte dy = f ( ) som e kvotiet - hvd det ltså ikke er. Vi k gge igeem med og får dy = f ( )
Aveder vi dee regeregel i foridelse med itegrltegets, k itegrtio ved sustitutio foretges æste utomtisk. Eksempel Vi vil erege cos( ) : Vi sætter y lig de idre fuktio: y = Så er dy = y ( ) = og itegrlet k u omskrives Altertivt kue m skrive cos( ) = cos( ) = cos( y) dy = si( y) + k = si( ) + k cos( ) = cos( ) d( ) = si( ) + k hvor m i det det itegrl opftter itegrtiosvrile som. M ruger trditioelt symolet t i stedet for y i de første metode. Regede opgver Opgve: Bestem itegrlet si( + ). Løsig: Vi sætter t = + og får dt = si( + ) = sit dt = ( cos( t)) + k = cos( + ) + k Opgve: Bestem itegrlet ( + ) 6. Løsig: Vi sætter t = + og får dt = 6 6 7 7 ( + ) = t dt = t + k = ( + ) + k 7 7 Opgve: Bestem itegrlet cos si. Løsig: Vi sætter t = si og får dt = cos
Opgve: Bereg cos si = dt k k = + = + t t si. + Løsig: Her sættes t = +, og dt =. Det er ormlt e god idé t forhidre smmeldig f de to itegrtiosvrile og t idefor smme itegrd, me her k det ikke umiddelrt udgås: = + t dt Me husker vi på, t t = + = t, får vi t = dt = dt = + t ( ) t t lt + k = + l + + k Vi hr u e hel msse metoder til t fide uestemte itegrler. Hvilke metode skl m vede for et givet itegrl? Følgede tommelfigerregler gælder ) Hvis itegrde ideholder e smmest fuktio, så prøv først med sustitutio. Sæt t lig idmde f de smmestte fuktio. ) Hvis itegrde er e kvotiet, så prøv ige sustitutio. Sæt t lig ævere i kvotiete. ) Hvis itegrde er e rtiol fuktio (dvs. e polyomiumsrøk), så k m ete lve polyomiers divisio for t simplificere itegrde, eller m k i ekelte tilfælde eytte de såkldte stmrøksmetode - se opgve.5 og.6 edefor. ) Hvis itegrde er et produkt, og der ikke er smmestte fuktioer på færde, så k m prøve prtiel itegrtio. Som de fktor, som liver differetieret, er det edst t vælge l eller. Opgver. Bestem følgede itegrler: ) ( 8 6) ) ( + + 5) c) ( 5 ) d) ( 5 + + ) e) ( + + ) f) ( + )
g) (si + cos ) h) ( + t + ) i) ( + cos + ) cos j) ( e + e ) k) (cos + si + ) l) ( ) m) ( + ) e ) ( e + ) o) ( + ) p) ( + ) q) / / ( + ) r) ( + ). Bestem følgede itegrler. Brug prtiel itegrtio. ) si ) cos c) si d) cos z e) l l f) g) (l ) (Vik: Omskriv til l l ). Bestem følgede itegrler. Brug itegrtio ved sustitutio. ) ( ) 6 ) ( + 5) c) ( 8 ) d) + e) si( ) f) e g) h) cos si ( + ) cos i) si e j) k) ( + + )( + + + 6) + + +. Bestem følgede uestemte itegrler: ) ) e c) d) si( ) + e) + f) ( + ) e g) ( + ) e h) ( )si( )
i) si( 8 ) j) ( + t ) cos(t ) k) l( ) l) l( ) m) ) e o) 5 (l ) p) si( ) q) / r) ( ) l s) t) 8 6 e.5 Vi vil i dee og de følgede opgve skitsere ogle metoder til itegrtio f rtiole fuktioer (polyomiumsrøker). ) Vis, ved rug f polyomiers divisio, t + = + + + ) Brug resulttet fr ) til t estemme det uestemte itegrl + + Husk t give defiitiosmægdere! c) Beyt e tilsvrede metode til t estemme itegrlere + + + + + og + + De her skitserede metode er turligvis ku vedelig, år tællere i de rtiole fuktio hr højere grd ed ævere..6 ) Bevis, t ) Bestem + + 6 = + + + + 6 Omskrivige i ) f de rtiole fuktio kldes e opsplitig i stmrøker. M k vise, t hvis tællerpolyomiet hr lvere grd ed ævere, og hvis det er muligt t fktorisere æverpolyomiet i førstegrdspolyomier, så k m fide e opsplitig i stmrøker. 5
c) Bestem tllee og, således t + 7 + + = + + + og estem itegrlet + 7 + + d) Bestem røddere i polyomiet (der er e doeltrod!) Bestem derefter tllee, og c, således t c = + + + ( + ) og estem itegrlet 6
. Det estemte itegrl I modsætig til det uestemte itegrl er det estemte itegrl et tl. Defiitioe er som følger: Defiitio 6 (FS) Ld f være e itegrel fuktio i itervllet I, og ld, I. Det estemte itegrl er tllet defieret ved f ( ) = F( ) F( ) hvor F er e vilkårlig stmfuktio til f. Bemærk, t f ( ) ikke fhæger f, hvilke stmfuktio F() m vælger. Ifølge sætig fviger to såde stmfuktioer emlig ku fr hide med e kostt k. Så vælger vi i stedet stmfuktioe F( ) = F( ) + k, fås f ( ) = F ( ) F ( ) = ( F( ) + k) ( F( ) + k) = F( ) F( ) hvilket viser, t k'et k igoreres. Det er også f smme årsg, t f skl være itegrel i et itervl. Veder vi tilge til eksemplet fr sektio, side, så kue m komme til t lve følgede eregiger: = = = = F( ) F( ) ( ) og = = + + = = G( ) G( ) ( ) ( ) Dette viser, t itegrlet ikke er veldefieret, og fktisk er t etrgte som meigsløst. Ige skyldes dette, t itegrde ikke er defieret på hele itervllet [-;]. Eksempel I prksis foregår udregige f estemte itegrler som følger: hvor symolet [ F ] [ ] = = = 9 = 8 ( ) etyder F( ) F( ). Et pr dre estemte itegrler er 7
[ ] 5 5 = l = l l = l = l 5 5 og π [ cos] si = π = π π cos π ( cos( π )) = ( ) ( ( )) = - det k vist godt etle sig t psse på fortegee her! Nedeståede regel ) kldes ofte idskudsregle: Bevis: Sætig 7 (FS) Ld F være e vilkårlig stmfuktio til f på I. Beviset for ) er d c f ( ) = F( c) F( ) = F( c) F( ) + F( ) F( ) = F( c) F( ) + F( ) F( ) = ( F( c) F( )) + ( F( ) F( )) = c og for ) fås Ld f være itegrel i itervllet I, og ld,, c I. Så gælder: ) f ( ) f ( ) f ( ) c f ( ) + f ( ) = + ) f ( ) = f ( ) c f ( ) = F( ) F( ) = ( F( ) F( )) = f ( ) Alle regereglere fr sidste kpitel k ude videre overføres til det estemte itegrl: 8
Sætig 8 (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer i itervllet I, ld, I, og ld s og t være reelle tl. Så gælder ) ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g( ) ) ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) c) s f ( ) = s f ( ) d) ( s f ( ) + t g( )) = s f ( ) + t g( ) Bevis: Bevisere følger direkte f sætig. Vi øjes derfor ku med t skrive eviset for ) ud i detljer: Ifølge sætig, ), gælder, t ( f ( ) + g( )) = F( ) + G( ) hvor F og G er stmfuktioer til heholdsvis f og g. Dette etyder, t [ ] ( f ( ) + g( )) = F( ) + G( ) = ( F( ) + G( )) ( F( ) + G( )) = ( F( ) F( )) + ( G( ) G( )) = f ( ) + g( ) Sætig 9 (Prtiel itegrtio) (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer i itervllet I, g differetiel i I og, I. D gælder [ ] f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) hvor F er e stmfuktio til f. Bevis: Fr sætig vides, t 9
f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) Bruger vi defiitioe f det estemte itegrl, så fås: f ( ) g( ) = [ F( ) g( ) F( ) g ( ) ] [ F( ) g( ) ] [ F( ) g ( ) ] [ ] = = F( ) g( ) F( ) g ( ) Eksempel 5 e = e e = ( ) ( ) 5 e e e e = 9 e 5 L NM 5 e e O 5 QP L NM e O 5 QP = Edvidere gælder følgede sætig: Sætig (Itegrtio ved sustitutio) (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer på itervllet I, g differetiel på I. og, I. Så [ ] [ ] f ( g ( )) g ( ) = F ( g ( )) = F ( t ) g ( ) hvor F er e stmfuktio til f. g( ) Bevis: Fr sætig 5 vides, t Dette etyder, t f ( g( )) g ( ) = F( g( )) + k [ ] f ( g( )) g ( ) = F( g( )) + k = ( F( g( )) + k) ( F( g( )) + k) =
F ( g( )) F( g( )) = F ( g( )) = F ( g( )) F( g( )) = F ( t) g( ) g( ) I prksis udføres itegrtio ved sustitutio dog på følgede måde: Eksempel Itegrlet e skl ereges. Vi sætter t = og oserverer: Derfor fås, t dt = t = 9 for = t = for = [ ] 9 t t 9 e = e dt = e = e e 9 Det er ekstremt vigtigt, t m husker t ædre græsere, år m ædrer itegrtiosvrile! Regede opgver e Opgve: Bereg itegrlet. e + Løsig: Vi ruger itegrtio ved sustitutio: t = e +, så e = t dt = e = t = e + = t = Derfor e e t = dt = e + + t e + e + [ ] ( ) dt = t lt = t. e + l( e + ) + l = e + e l Opgve: Bereg itegrlet e cos(l )
Løsig: Vi sætter t = l og får dt = = e t = = t = Derfor e cos(l( )) = cost dt = t si = si si = si Opgve: Bereg itegrlet e l Løsig: Opgve: Løsig: Her skl m ruge prtiel itegrtio: e l [ l ] e e = = e le e l = e = e Ld f være givet ved R f ( ) = S T < < / Bereg f ( ). e Vi får ved rug f idskudsregle: f ( ) = f f ( ) + ( ) = + = l 8 + L N M O Q P = l l l 9 5 + = + 8 8 8 Opgver. Bestem værdie f følgede itegrler: ) ( + + ) ) 8 / c)
9 d) ( +) e) e f) 5 g) ( + ) h) i). E fuktio f opfylder 5 f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = og f ( ) = 5 Bereg følgede itegrler vh. idskudsregle: 5 7 ) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) 7 d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) 5 7 7. Bereg følgede itegrler. Brug prtiel itegrtio ) l ) ( + ) π π d) cos π e e) si c) e f) e l. Bereg følgede itegrler vh. itegrtio ved sustitutio. ) ( 5) 7 ) 5/ e l c) ( )si( ) d) 5 e) (( ) 7 ( ) ) f) 9 / (si ) g) π e cos si h).5 Bereg edeståede estemte itegrler. ) e ) e π/ 5 5 π/ e c) l(si )cos d) ( + ) 8 π/ e e) (l ) f) si cos π + si(l ).6 Givet: f ( ) = 5 5 Fid: g( ) 5 og ( f ( ) g( )) =
.7 Givet: ( f ( ) g( )) = 6 Fid: f ( ) og g( ) og ( f ( ) + g( )) = 5.8 Givet: ( f ( ) g( )) = Fid: 5 g( ) 5 og ( f ( ) + g( )) = 6.9 Bestem følgede itegrler. (Brug idskudsregle på strtegisk vigtige steder). 6 ) ) c) π π si
. De geometriske etydig f itegrlet - relestemmelse Vi vil her præsetere de vigtigste vedelse f itegrlet, emlig til eregig f reler. Hovedsætige er: Sætig (FS) Ld f være e kotiuert, ikke-egtiv fuktio på itervllet I, og ld, I med. D gælder, t f ( ) = relet f (, y ), y f ( ). { } Sætige siger ltså, t f ( ) er lig relet f det skrverede område edefor: Bevis: Beviset for dee sætig er lidt lgt, så vi deler det op i tre skridt: ) Defiitio f relfuktioe A. ) Bevis for, t A ( ) = f ( ). ) Oversættelse f ) til et estemt itegrl. ) For simpelheds skyld veder vi ottioe { } P(, ) = (, y), y f ( ). Arelfuktioe A defieres u ved: 5
A( ) = relet f puktmægde P(, ), for Bemærk, t A( ) ku er defieret for. Bemærk edvidere, t A( ) =, idet A() er relet f "strege" (, y) y f ( ). ) Vi skl differetiere relfuktioe A( ), og dette gøres ved t erege græseværdie A lim ( + h ) A ( ) h h ud fr geometriske etrgtiger. Der er tilfælde t etrgte: I: h > og f er voksede for II: h < og f er voksede for III: h > og f er ftgede for IV: h < og f er ftgede for Vi øjes med t kigge på tilfælde I - reste f tilfældee ehdles stort set es. Betrgt edeståede figur: Det skrverede område hr relet A( + h) A( ) og dette område k spærres ide mellem de to ksser, som hr relere f ( + h) h og f ( ) h. Vi hr ltså ulighede f ( ) h A( + h) A( ) f ( + h) h som ved divisio med h giver 6
f ( ) A( + h) A( ) h f ( + h) Bemærk, t vi hr tget, t h >, og dette etyder, t ulighedstegee ikke skl vedes. Lder vi u h gå imod fr højre, og husker vi på, t idet f er kotiuert, så er lim f ( + h) = f ( ) h +, så får vi ulighede A h A f ( ) lim ( + ) ( ) f ( ) h + h Smmeholdes dette med det tilsvrede udsg for h <, ses, t A er differetiel i,og t A ( ) = f ( ). ) Fr ) hr vi, t f ( ) = A( ) + k for et eller det reelt tl k. Specielt hr vi, t f ( ) = ( A( ) + k) ( A( ) + k) = A( ) A( ) og idet A( ) = ses, t f ( ) = A( ), hvilket eviser sætige. Eksempel Fuktioe f er givet ved f ( ) =. Arelet A f puktmægde givet ved {(, y ), y } k u fides ved udregig f edeståede itegrl: A = 8 = = = 6 6 7 6 Det følger fktisk f sætig, t ehver kotiuert (ikke-egtiv) fuktio er itegrel. For e såd fuktio k vi jo defiere relfuktioe, og eviset for sætig viser så, 7
t dee relfuktio fktisk er e stmfuktio til de opridelige fuktio. Dette rgumet k let udvides til lle kotiuerte fuktioer, og også til stykkevis kotiuerte fuktioer. Nu er sætig ikke særligt vedelig i des uværede form - dels fides der fuktioer, som tger egtive værdier, dels er m ormlt iteresseret i relet mellem to fuktiosgrfer. Dette råder følgede sætig od på: Sætig (FS) Ld f og g være kotiuerte fuktioer på itervllet I, tg t der gælder, t f ( ) g( ) for I, og ld, I. D er relet f puktmægde (, y ), g ( ) y f ( ) { } lig itegrlet ( f ( ) g( )). Bevis: For t kue ruge sætig skl åde f og g være ikke-egtive overlt i itervllet I. Det ehøver de ikke t være, så vi eytter et trick for t gøre dem det: Idet åde f og g er kotiuerte på det lukkede itervl I=[;], så hr de egge e midsteværdi på dette itervl. Vælg et tl k, således t k er større ed umeriskværdie f egge midsteværdier. D vil fuktioere f ( ) + k og g( ) + k egge være ikke-egtive på itervllet I =,, og relet f puktmægde [ ] {(, ), g ( ) + k y f ( ) + k } vil være lig relet f de opridelige puktmægde. Vi hr kort sgt skuet de opridelige figur k opd: Det søgte rel er u differese mellem relere f puktmægdere A = (, ), y f ( ) + k { } 8
og - se figure: {(, ), ( ) } B = y g + k Ergo, det opridelige rel er lig ( f ( ) + k) ( g( ) + k) = (( f ( ) + k) ( g( ) + k)) = ( f ( ) g( )) hvilket eviser sætige. Regede opgver Opgve: Grfere for fuktioere f ( ) = og g( ) = fgræser e puktmægde, som hr et rel. Bereg dette rel. Løsig: Vi skyder os t skitsere de to grfer. Det ses, f.eks. ved t løse ligige f ( ) = g( ) 9
eller ved flæsig på grfe, t de søgte puktmægde ligger mellem liiere = og =, og m k kotrollere dette ved t se, t f ( ) = = g( ) og f ( ) = = g( ) Edvidere ses, t g( ) f ( ) ; Det søgte rel er ltså lig L N M for [ ] ( g( ) f ( )) = ( ) = O Q P = = Opgve: På figure er vist grfere for fuktioere f ( ) = cos og g( ) = si. Bereg relet f området egræset f kurvere med ligigere y = f ( ), y = g( ), = og = π. 6 Løsig: Det ses f grfe, t f ( ) g( ) for π π og g( ) f ( ) for π Vi k således ikke umiddelrt vede sætig, me må splitte området op i to dele. Arelet k således som π/ π ( f ( ) g( )) + ( g( ) f ( )) = π/ π/ π (cos si ) + (si cos )) = π/ π/ [ si ( cos ) ] [( cos ) si ] π π/ + = π/ π π/ si + cos + cos si = si π + cos π (si + cos ) + ( cosπ si π) ( cos π si π ) =
( ) ( ( )) + ( ( ) ) (( ) ) = + + = Atter e gg k det vist etle sig t holde øje med fortegee! Bemærk, t hvis vi i stedet ude videre eregede itegrlet π ( f ( ) g( )) så ville vi ikke få det rigtige resultt. Værdie f dette itegrl ville emlig være lig det første delrel mius det det delrel. Altertivt kue m erege itegrlet π f ( ) g( ) som ude videre ville give det rigtige rel. Prolemet er re, t m, for t få styr på itegrde, er ødt til t splitte itegrlet op efter forteget for idmde f ( ) g( ) - og gør m dette, så får m etop udregige ovefor! Eksempel Vil m fide relet f puktmægde {(, y ), y }, som er teget ovefor, d skl m opftte puktmægde om området mellem grfere for fuktioere g( ) = og f ( ) =. M skl derfor erege itegrlet z z = = = = A ( ( ) ) Eksempel
Vil m fide relet f det skrverede område mellem siuskurve og -kse ovefor, så skl m erege to itegrler - m skl emlig opsplitte området ved de lodrette liie med ligige = π. Beregigere liver: π A = (si ) + ( si ) = π cosπ + cos + cosπ cosπ = π π [ cos ] [ cos] + = π π Geerelt k det etle sig t glemme sætig og opftte lle releregiger som tilfælde f sætig. Situtioe i sætig skl d opfttes som, t m skl fide relet f området fgræset f grfe for f og -kse, som er grfe for ulfuktioe. Opgver. Skitsér følgede puktmægder og ereg deres rel: (, y), y 6 ) { } ) {(, y), y e } c) {(, y), y 6 } d) {(, y), y } e) {(, y), y } f) {(, y), y e / 9 }. Skitsér og estem relere f områdere egræset f de edeståede kurver: ) y = 5, -kse, y-kse og = ) =, =, y = og y = 8 c) =, =, y = e og y = e
d) y = + og y = e) y = og y =. Bestem tllet c, således t området egræset f kurvere med ligigere y = og y = opdeles i to lige store områder f de vdrette liie med ligige y = c.. Betrgt fuktioe f med forskrifte f ( ) = e. ) Teg grfe for f. Af grfe for f fremgår det, t lim f ( ) =. Dette k ude evis eyttes i det følgede. Arelet f puktmægde (, y ) t, y f ( ) { } eteges A t. Her eteger t er reelt, positivt tl. ) Bereg et udtryk for A t som fuktio f t. M k evise, t puktmægde (, y ), y f ( ) { } hr et rel. Dette rel eteges som A. c) Bestem værdie f A.
.5 Numerisk itegrtio De tidligere udviklede metoder og regeregler for itegrtio er gske udmærkede, me kommer u og d til kort. For eksempel k æves: M kommer u og d ud for t skulle itegrere e fuktio, som det viser sig t være gske vskeligt t edskrive e stmfuktio til. F.eks. skl m idefor sdsylighedsregige erege itegrler f forme π e / me det k m re ikke. Itegrde er gske skikkelig; det er e kotiuert og dermed itegrel fuktio; me m k ikke opskrive e stmfuktio ved rug f de sædvlige fuktioer. M k også komme ud for t skulle itegrere e fuktio, hvor m ku keder ekelte fuktiosværdier, f.eks. fr e tel eller fr eksperimetelle måliger. Hvord k m itegrere e fuktio, år m ikke keder fuktioes forskrift? Edelig k m komme ud for t skulle erege itegrler i mssevis - hver for sig k itegrlere ok være gske simple, me det tger lligevel tid t erege f.eks. e millio f dem. Derfor vil m gere fide metoder, hvormed e lommereger eller e computer k erege itegrler. Det viser sig, t m liver ødt til t rege e tilærmelse (pproimtio) til det øskede itegrl ud. Der fides forskellige metoder til dette, og tilsmme kldes de umerisk itegrtio. Vi vil omtle hele 5 metoder til umerisk itegrtio. De hr lle det tilfælles, t m ersttter de måske ret komplicerede itegrd med e simpel fuktio, som ligger tæt på itegrde. Det er d remd for e.g'er t itegrere de simple fuktio. Det viser sig edvidere, t tolker m itegrlet som et rel, så k pproimtioere emt visuliseres geometrisk. Vi vil pproimere itegrlet f ( ), og vi strter med de såkldte vestresummer. Idee ved åde vestre-, højre- og midtsummer er t ersttte itegrde f med e stykkevis kostt fuktio. I første omgg kue m fide på t ersttte f med de kostte fuktio v givet ved v ( ) = f ( ). Af figure ses, t f ( ) = ( ) f ( ). Dette tl eteges V - de. vestresum. (Bemærk, t f ( ) er et tl!)
E lidt edre pproimtio kue opås, hvis vi delte itervllet [ ; ] op i to lige store stykker, [ ; ] og [ ; ], hvor = + er midtpuktet mellem og. Vi tilærmer d f med de stykkevis kostte fuktio v med forskrifte v ( ) = R S T hvor vi hr skrevet f ( ), < f ( ), og i stedet for og. Itegrlet f dee tilærmede fuktio eteges V og er lig V = v ( ) = v ( ) + v ( ) = f ( ) + f ( ) = ( ) f ( ) + ( ) f ( ) = f ( + f = ) ( ) ( f ( ) + f ( )) og ud fr figure es, t V ligger tættere på f ( ) ed V. 5
Videre k vi dele [; ] op i tre stykker, ;, ; og ; i i, i =,,, (vis selv dette!) og vi tilærmer så f med de stykkevis kostte fuktio v f ( ), < v ( ) = R S T f ( ), < f ( ),, hvor Vi får d, efter e kort udregig, V = v f f f ( ) = ( ( ) + ( ) + ( )) Hele geerelt defierer vi de 'te vestresum V ved Defiitio (FS) V = ( f ( ) + f ( ) +... + f ( )) Geerelt skulle V gere være e pproimtio til itegrlet liver, jo edre skulle pproimtioe være. f ( ), og jo større Ser m på figure edefor, så ser m, t det ekelte led f ( i ) geometrisk set er relet f de i'te strimmel med højde f ( i ) og redde. 6
I stedet for kosekvet t pproimere f i et itervl med fuktiosværdie i vestre edepukt, så kue m ruge fuktiosværdie i højre edepukt. Som figure edefor viser, får vi højresumme Defiitio (FS) H = ( f ( ) + f ( ) +... + f ( )) (Bemærk ædrige - ved højresummer strter m med og eder ved ) Edelig kue m fide på t ruge fuktiosværdie i midtpuktet f itervllet. Dette midtpukt eteges m i og er lig i i mi = i + = + ( i + ), i =,,...,, (vis selv dette!) Vi får d midtsumme Defiitio 5 (FS) M = ( f ( m ) + f ( m ) +... + f ( m )) 7
Eksempel Vi vil erege itegrlet vh. de umeriske metoder; me først ereger vi det ekskt: [ ] 697 = l = l l = l,... Vi strter med t sætte = og får V = ( ) = H = ( ) =, 5 M = ( ), 6666667... 5, hvilket ikke er overvældede præcist. Vi prøver videre: V = ( + 8 5, ),... H = ( + ) 58,... 5, M = ( + ), 6857..., 5, 75 og for sjovs skyld V 5 = ( + + + + 767857 5,, 6, 8, ),... H 5 = ( + + + + ), 667857... 5,,, 6, 8, M 5 = ( + + + + ), 69979... 5,,, 5, 7, 9 8
De procetvise fvigelse f de edste pproimtio, M 5, fr itegrlets ekskte værdi l er, % - ikke e voldsom øjgtighed, år m tæker på det regerejde, der skl gøres. Det ses, t åde, vestre-, højre- og midtsummer ikke er særligt præcise. Vi vil derfor søge t fide metoder, som giver e større øjgtighed med midre regerejde. Ved åde vestre-, højre- og midtsummer pproimerer m itegrde med e stykkevis kostt fuktio. E mere rffieret metode er t vede e stykkevis lieær fuktio. Dette giver ledig til de såkldte trpez-summer. Vi kræver, t grfe for dee stykkevis lieære fuktio t skl estå f liiestykker, som går geem puktere (, f ( )),(, f ( )),...(, f ( )) For t fide e forskrift for t kocetrerer vi os om det i'te itervl i ; i +. t opfylder d, t t ( ) = f ( ) t ( ) = f ( ) i i og i+ i+ Vi k umiddelrt skrive forskrifte for t i dette itervl op: t f ( i ) f ( i ) ( ) = + ( ) + f ( ), ; i+ i i i i i+ Som grfe viser, så giver t e god pproimtio til f. Vi er iteresseret i t fide itegrlet f t, som ltså er pproimtioe til itegrlet for f: i+ t( ) = i 9
L NM ( i ) ( i+ i ) f ( ) f ( i ) + f ( i ) i+ i+ i i+ O = QP f ( i+ ) f ( i ) + f ( i ) i + f ( i ) i = i+ i ( i+ i )( f ( i + ) f ( i )) + f ( i )( i + i ) = ( i+ i )( f ( i+ ) + f ( i )) = ( f ( i ) + f ( i + )) i og ved rug f idskudsregle fås t ( ) = t ( ) = t ( ) + t ( ) +... + t ( ) = ( f ( + f + f + f + + ) ( )) ( ( ) ( ))... ( f ( ) + f ( )) = ( f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( ) + f ( )) Dette itegrl eteges T - de 'te trpezsum: Defiitio 6 (FS) T = ( f ( ) + f ( ) +... + f ( ) + f ( ))
g h g Dee formel er i øvrigt meget lettere t udlede geometrisk: T er emlig summe f relere f de små trpez'er på figure. Hver trpez hr højde h = = i + i og de to grudliier er g = f ( i ) og g = f ( i + ) Bruger vi formle for relet f et trpez, fås, t det i'te trpez hr relet ( f ( + i ) f ( i + )) og dderes disse reler, fås formle i defiitio 6 Der er e simpel smmehæg mellem vestre- og højresummer og trpezsummer: Sætig 7 (FS) T = V + H ( ) Bevis: T = ( f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( ) + f ( )) = ( f ( + f + + f + ) ( )... ( )) ( f ( ) +... + f ( ) + f ( )) = V + H = ( V + H) Eksempel Fortsætter vi regeriere fr det sidste eksempel ses, ved rug f sætig 7, t T =, 75, T, 78... og T, 77857... 5 De procetvise fvigelse f T 5 fr itegrlets ekskte værdi l er, 6%. Geerelt vil trpez-summe give e væsetligt edre pproimtio ed midt-summe. Alligevel er pproimtioe ikke god ok, så vi går et tri videre og omtler de formel, lle veder i prksis, emlig Simpso's formel.
I dee formel pproimerer m itegrde f med et 'stykkevist degrdspolyomium', dvs. med preluer. Vi udelder de guste detljer her, me heviser i stedet til opgve 5.5 edefor. Fktisk er Simpso-summer et udmærket eme t skrive. års opgver om. Defiitio 8 S = ( f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( ) + f ( )) Eksempel Vi fslutter med t erege Simpso-summer for itegrlet fr det sidste eksempel. S 6 = ( + + ) =, 69..., 5 S 5 5 = ( + + + + ) =, 695...,,, 75 Allerede de de Simpso-sum giver e fvigelse fr itegrlets 'sde' værdi på ku, % - dette er væsetligt edre ed de oget mere komplicerede trpezsum T 5. 5. Bevis formle S = ( T + M ) Opgver 5. ) 5 Vis, t 5 =l ) Approimér l5 ved t udrege V, H, M, T og S. c) Bestem de procetvise fgivelser f resulttere i ) fr itegrlets ekskte værdi
5. Fuktioe f er voksede og kotiuert. Nedeståede fuktiosværdier oplyses: 5 f ( ),5,5,5 6 ) Bestem de trpezsum, som eytter lle telles oplysiger. ) Gør rede for, t 5 f ( ) 6 5. Ld f være e voksede fuktio. ) Bevis, t V H. ) Gør rede for, t V f ( ) H og V M H c) Bevis, t f ( ) M H V d) Vis, t H V = f ( ) f ( ) og gør rede for, t M f ( ) for
5.5 Simpso's formel Formålet med dee opgve er t udlede Simpso's formel. Vi hr e fuktio f på itervllet [,], og vi vil erege f ( ). Strtegie er t pproimere f med et stykkevist degrdspolyomium, kldes s. Vi strter med t fide et udtryk for s på itervllet i, +. ) Gør rede for, t s ( ) = α( mi ) + β( mi ) + γ er et degrdspolyomium. Tllee α, β og γ estemmes seere. Vi kræver, t s flder smme med grfe for f i tre pukter, emlig i i, m i og i+. Vi hr ltså tre etigelser, s skl opfylde: s ( ) = f ( ), s ( m ) = f ( m ) og s ( ) = f ( ) i i i i i i+ i+ ) Bevis, t i+ mi = og m i i = c) Tllee α, β og γ i forskrifte for s skl u fides. Brug de tre etigelser ovefor og vis, t α = β = f ( ) f ( m ) + f ( ) i + i i δ f ( i + ) f ( i ) δ γ = f ( m i ) hvor vi hr vedt forkortelse δ = d) Bevis, t i+ s ( ) = ( f ( f m f i + ) + ( i ) + ( i )) i 6 e) Udled formle i defiitio 8 ved rug f idskudsregle.
.6 Omdrejigslegemer Et omdrejigslegeme er et legeme, som er opstået ved t dreje e kurve omkrig -kse. Eksempler på omdrejigslegemer er kugler, cylidre, kegler og proloider. På figure er vist, hvorledes e simpel lieær grf ved rottio om -kse giver et omdrejigslegeme - e såkldt keglestu. y y Vi vil vise e vigtig formel til eregig f rumfget f omdrejigslegemer: Sætig 5 (FS) Ld f være e differetiel fuktio på itervllet [;]. D er volumeet f omdrejigslegemet det ved rottio f puktmægde (, y ), y f ( ) { } lig itegrlet π( f ( )) Bevis: Vi deler itervllet [;] op i stykker og ersttter f med e stykkevis kostt fuktio - i øvrigt de smme fuktio, som vi rugte i midtsumseregigere: y y 5
Lver vi omdrejigslegemet hørede til dee stykkevis kostte fuktio, så fås de smlig cylidre, som figure til højre viser. Bruger vi de smme etegelser som i formle for midtsumme, så er volumeet f cylidree til smme lig ( π f ( m + f m + ) π ( )... π f ( m ) ) idet volumeet f e ekelt cylider med rdius r og højde h er π hr, og de i'te cylider hr rdius f ( m i ) og højde. Vi oserverer, t summe er e midtsum for itegrlet π( f ( )), og lder vi u gå imod uedelig, så ærmer de stykkevis kostte fuktios omdrejigslegee sig det opridelige omdrejigslegeme. Smtidigt hermed ærmer midtsumme ovefor sig til itegrlet. Eksempel E proloide er omdrejigslegemet for grfe givet ved y = (eller rettere legemet, som opstår ved t rotere prle med ligige y = om y-kse). Vi fider volumeet f proloide med højde h (dvs. det legeme, som opstår ved t rotere puktmægde o (, y) h, y t Vi får, t h h h V = = = π( ) π π = π h Eksempel E kugle med rdius r k omfttes som omdrejigslegemet fremkommet ved t rotere puktmægde { (, ), } y r r y r omkrig -kse. Vi k u erege volumiet V f dee kugle: r r V = π ( r = π r = r = r ( ) π r π(( r r ) ( r + r )) = πr r r 6
hvilket jo er det fr folkeskole velkedte udtryk! Eksempel Vi roterer puktmægde o (, ), y + t omkrig -kse og øsker t erege volumeet f det herved fremkome legeme. Dette legeme, som liger et deformeret rør, k opfttes som differese mellem omdrejigslegemere fremrgt ved t rotere grfe for fuktioere f ( ) = + og g( ) = Volumeet er d differese f volumere f de to omdrejigslegemer: V = V V = f g π( f ( )) π( g( )) = π( + ) π = 5 L M O P L N M O Q P = π( + + ) π = π + + π 5 π π(( ) ( 5 5 ) ( 8 87 + + 8 + + )) = 5 Bemærk, t det er e grov fejl t tro, t volumeet t sklle ovefor er lig π( f ( ) g( )) Forskelle på de to udtryk er idmde; idmde i det korrekte udtryk er f ( ) g( ) mes idmde i det forkerte udtryk er ( f ( ) g( )) = f ( ) + g( ) f ( ) g( ) N Q 7
Opgver 6. Bereg volumeere f de omdrejigslegemer, der opstår ved rottio f edeståede puktmægder om -kse: ) (, y), y 6 { } { y y 6 } o y y t ) (, y), y e c) (, ), d) (, ), e) (, y), y { } f) (, y) 9, y e 6. Bereg volumeere f de omdrejigslegemer, der opstår ved rottio f puktmægdere egræset f kurvere edefor, omkrig -kse. ) y = 5, -kse, y-kse og = ) =, =, y = og y = 8 c) =, =, y = e og y = e d) y = + og y = e) y = og y = 6. Betrgt puktmægde M = (, y) 6, y { } Bereg volumeet f følgede tre omdrejigslegemer: ) M roteres om -kse. ) M roteres om y-kse c) M roteres om liie med ligige y =. 6. ) Volumiet f e kegle med højde h og grudflderdius r er πr h. Bevis dette. ) Volumiet f e cylider med højde h og grudflderdius r er πr h. Bevis dette. 8
.7 Olieproduktio Vi giver i dee sektio e vedelse f itegrlregig i det 'virkelige' liv. I året 97, hvor oliekrise strtede, rugte hele verde c. millirder tøder råolie. Side degg er olieforruget vokset med c. 9 % pr. år. Verdes oliereserver vr i 97 estimeret til t være c. 65 millirder tøder olie. ) Hvor meget olie er der forrugt fr 97 til i dg (99)? ) Hvorår ville oliereservere i 97 være sluppet op? (Det forudsættes, t m ikke hr fudet ye reserver.) Vi strter med t opstille et fuktiosudtryk f for verdes årlige olieforrug. Lder vi tide t være i år 97, så hr vi åert smmehæge t f ( t) =, 9 (i millirder tøder olie). Det totle forrug fr 97 (t = ) til 99 (t = 9) er d summe f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( 9) Dette er øvlet t rege ud, så vi oserverer, t summe fktisk er e vestresum for itegrlet f ( t) dt, (emærk, t de øvre græse er, idet vi skl hve hele 99 med), og vi øjes d med t rege itegrlet ud: 9 9 t t,, dt = = l 9, Det totle forrug er d 75, millirder tøder olie. (, 9, 9 ) 75, l, 9 For t esvre det sidste spørgsmål eteger vi med F(s) verdes totle olieforrug fr år (97) til år s. Vi fider F(s): L N s F( s) = f ( t) dt = 9 t, M P = 9 9 9 s (, l, l, ) O Q s og for t fide, hvorår olie ville slippe op, sætter vi F(s) lig oliereservere i 97, emlig 65. Dee ligig løses: s F( s) = 65 ( 9, ) = 65... s =, l 9, Verdes oliereserver skulle ltså være sluppet op år efter 97, dvs. egg i 988! Det vkte ekymrig degg, og fik smme med de hstigt voksede oliepriser lde som f.eks. Norge og Egld til t itesivere deres olieefterforskig. 9
.8 Kiemtik De opridelige vedelse f itegrlregige kom fr kiemtikke, som er studiet f gestdes evægelse. Kiemtikkes grudegreer skulle være velkedte fr fysikudervisige, me vi repeterer dem lligevel kort: E gestds positio til tide t eskrives ved tllet s(t) - de såkldte stedfuktio. Idet s er e fuktio f t, tger vi højde for, t gestde k evæge sig. Gestdes hstighed til tide t eteges med v(t), og vi hr, t v( t) = s ( t) Gestde ccelertio til tide t eteges med (t), og vi hr, t ( t) = v ( t) = s ( t) Itegrlregige kommer id i det øjelik, vi keder e gestds hstighed eller ccelertio, og vi øsker t fide des stedfuktio. Som et eksempel etrgter vi det frie fld: Idet frie fld eteger s(t) gestdes højde over jordoverflde. Det er e eksperimetel kedsgerig, t e gestd i et frit fld udsættes for e kostt eddrettet ccelertio, -g. I Dmrk er g=9,8 m/s. Vi hr ltså, t (t)=-g. Itegrerer vi, fås, t v( t) = ( t) dt = gt + k = gt + v, hvor v = v( ). Itegrerer vi ige, fås s( t) = v( t) dt = ( gt + v ) dt = gt + v t + l = gt + v t + s hvor u s = s( ) er egydelsespositioe. Dee formel skulle gere være velkedt fr fysik! 5
.9 Bldede opgver 9. Fid de stmfuktio til fuktioe f med forskrifte f ( ) = + + 5 hvis grf går geem puktet (,). 9. Bestem følgede uestemte itegrler: ) ( ) ) / / ( ) c) ( ) d) ( + ) 8 e) ( + ) f) ( + ) g) ( 7 ) h) 6 ( 6 8) i) k) 5 (l ) j) cos + si l) t cos si m) cos si ) l( + ) 9. I det følgede eteger f e differetiel fuktio med stmfuktio F. ) Bevis formle: ) Bestem f ( ) = F( ) f ( ) F( ) f ( ) (l ) c) Bevis formle si = si cos + si ved t eytte formle fr ) og 'idiotformle' : si + cos =. d) Udled f c), t si = ( si cos ) + k. e) Hvd er cos? 9. Ld f og g være itegrle fuktioer, ld g være differetiel, og ld F være e stmfuktio til f. Bevis formle 5
f ( ) g F( ) = + ( ) g( ) f ( ) g ( ) g( ) 9.5 Bevis formle t = l cos + k (Vik: Omskriv itegrde til si cos og rug sustitutio). 9.6 Bestem følgede uestemte itegrler: ) cos ) si5 c) cos( ) d) e e) l f) l( + ) g) l( ) h) l( ) i) ( e e ) j) l( + ) 9.7 Bestem følgede uestemte itegrler: ) c) ) + d) + + + 9.8 Bereg ) ) 5π c) si d) ( ) e) ( + 5) f) ( + ) 5 g) ( 7 ) h) ( + ) 9.9 Bereg edeståede itegrler. Beyt idskudsregle et pssede tl gge: π π ) si ) cos π 5
c) d) ( cos + si ) 9. Bereg edeståede itegrler: ) ) c) ( + ) 9 π d) e) f) g) h) si j) ( t e ) 8 π i) si / 9. Betrgt puktmægde fgræset f kurvere med ligigere y = si y = og y = π ) Teg puktmægde. ) Bereg relet f puktmægde. π/ π / k) (si cos ) 9. E guldmie producerede i år 9 årligt tos guld. Dee produktio vokser med % årligt. Hvor meget guld er det i lt produceret i periode fr 9 til 99? 9. E ils hstighed måles hvert 5. sekud. Resulttere er i edeståede tel, hvor tide t er givet i sekuder og hstighede v i m/s. t 5 5 5 5 v, 9,5 6,,,6 8, 6,,,8 Hvor lgt kører ile i løet f de sekuder? 9. Approimér itegrlet π/ cos ved t erege trpezsumme T 5. Smmelig med itegrlets ekskte værdi. 9.5 ) Teg grfe for fuktioe f med forskrifte f ( ) = + si ) Approimér itegrlet 5
π f ( ) ved t erege T. c) Bereg S for det smme itegrl. 9.6 M k evise, t = + π Bereg e tilærmet værdi til π ved t erege T for itegrlet ovefor. 9.7 Stirlig's formel Stirlig's formel ruges til t pproimere! for store værdier f tllet. Formle siger, t! e år er stor. Vi øjes her med t evise e lidt svgere udgve f formle. ) Skitsér grfe for fuktioe f ( ) = l ) Bereg itegrlere + l og l ekskt. c) Vis ulighede l + l+ l + l +... + l ( + )l( + ) ved t eytte, t fuktioe f er voksede, og ved t erege e højresum for det første itegrl i ) og e vestresum for det det itegrl. d) Omskriv ulighede til + ( + )! + e e 9.8 De såkldte Fresel itegrler optræder idefor geometrisk optik: π π C( ) = cos( ) og S( ) = si( t ) dt Bestem e pproimtio for C( ) og S( ) ved t erege e Simpso-sum med = 5 9.9 ) Bevis ved sustitutioe t = si, t 5
= rcsi ) Bevis, t c) Bestem -tl). d rcsi = rcsi (Vik: Prtiel itegrtio - differetiér rcsi og itegrer et usyligt d) Bevis på smme måde, t = + rct. e) Bestem rct 9. Fuktioe f er estemt ved f ( ) = e. Bestem de stmfuktio F til f, som opfylder, t F(l ) = 55
Fcitliste.: +.:.:.6: L( ) = +, > + >, +.5: + og.7: M ( ) = +, < 5 7 7.: ) + k ) + + 5 + k c) e) 5 + k d) 5 + + k 5 + + + k f) + l + k g) cos + si + k h) t + + k i) 5 + si + t + k j) e + e + k k) si( ) cos( ) + + k l) 6 k l + + e+ m) + 6 + k ) e + + k e + o) + + k p) + k q) + + k r) / / + + k.: ) cos + si + k ) si + cos + k c) cos + si + cos + k d) si + cos si + k e) l + k f) l + k g) (l ) l + + k.: ) 8 9 7 ( ) + k ) ( + 5) + k c) ( 8 ) + k d) ( + ) / + k e) cos( ) + k 5 8 f) e + k g) ( + ) + k h) si + k i) e + k j) l( + + ) + k = l( + ) + k k) ( + + + 6) + k.: ) + k ) e e + k / 5/ ( ) ( ) + k d) cos( ) + k c) 5 e) ( + ) / + k f) + e g) ( + ) e ( + ) e + e + k 9 7 h) cos( ) si( ) + k i) 8 cos( 8) + 6 si( 8) + k 9 j) si(t( )) + k k) ( l( ) ) + k 8 + k cos 56
m) 7 ( ) / + k ) e + k 6 o) (l ) + k p) cos( ) + k 6 q) ( ) ( ) + k r) + k 6 l s) l( 8 6) + k t) e + k.5: ) + l( + ) + k, > eller < c) 5 + 6l( + ), < eller > + + k, > eller <.6: ) l( ) + l( + ) c) = = l( + ) + l( + ) + k d),, = = c = l( + ) + + l( ) +.: ) 9 ) - c) d) l 5 e) ( e ) f) g) h) 5 i).: ) ) c) - d) -5 e) - f) - 8 9.: ) e + ) e + c) l 5 9 9 e 6 d) e) π f) π e.: ) e).5: ) ) 5 c) d) 8 8 68 6 f) 9 g) h) 7 ( e ) ) 5 l + e e c) d) e) e f) l 9.6:.7: 6 og.8: /.9: ) 9 ) c) 8.: ) 5 ) c) e 6 d) e) 6 f) ( e ) 6 e.: ) ) c) + e+ d) 9 e) e 7 6 57
t.: ) te e t c) 5.:,789,69,67,69,69868 5.: ),75 6.: ) 8π ) 6.: ) d) 8π e) d) 6.: ) 7 π( e ) c) 5 π π f) 6 π( e ) 8 8 5 π ) e e e π c) π( + ) 5 5 5 π e) 6976 5 π 8 π ) 96 9 π c) 5 π 58
Det uestemte itegrl f ( ) = F( ) F ( ) = f ( ) Kpiteloversigt ( f ( ) ± g( )) = f ( ) ± g( ) s f ( ) = s f ( ) f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) (prtiel itegrtio) f ( g ( )) g ( ) = F ( g ( )) + k (itegrtio ved sustitutio) Det estemte itegrl f ( ) = [ F( ) ] = F( ) F( ) c f ( ) = f ( ) + f ( ) (idskudsregle) c [ ] f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) (prtiel itegrtio) [ ] g f ( g( )) g ( ) = f ( t) dt = F( t) ( ) (sustitutio) g( ) g( ) g( ) Numerisk itegrtio V f H f M = i = i = ( ), ( ), f ( mi ) T i= i= i= = ( f ( i ) + f ( i+ )) = ( V + H ) i = Arelestemmelse (, y), y f ( ) er f ( ) Arelet f puktmægde { } Arelet f mægde { } (, y), g( ) y f ( ) er ( f ( ) g( )) Volumet f omdrejigslegemet fremkommet ved t rotere grfe for f i itervllet [;] om - kse er π( f ( )). 59
Nogle lmidelige itegrler + = + k + forudst = l + k = + k e = e + k e = e + k = + k l l = l + k si = cos + k cos = si + k t = lcos + k ( + t ) = = t + cos k si = ( si cos ) + k cos = ( + si cos ) + k 6