1
Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og P er en n n inverterbar matrix. En lineær operator T : R n R n siges at være diagonaliserbar, hvis T s standardmatrix er diagonaliserbar.
Husk om basisskift 3 Sætning Lad T : R n R n være en lineær operator, og lad B = {b 1, b 2,..., b n } være en basis for R n. Indfør B = [b 1 b 2 b n ] og lad A være T s standardmatrix. Så gælder Bemærk: For x R n gælder [T ] B = B 1 AB. [T (x)] B = [Ax] B = B 1 Ax = (B 1 AB)B 1 x = [T ] B [x] B. Operatoren T s virkning på vektoren x: x A Ax standard koordinater B 1 B B 1 x B 1 AB (B 1 A)x B-koordinater
4 Fortolkning Betragt en n n-matrix A som er diagonaliserbar, dvs. A = PDP 1. Benævn P s søjler v 1, v 2,..., v n. Bemærk, at B = {v 1, v 2,..., v n } udgør en basis for R n (da P er invertibel). Vi ser nu på den lineære operator T induceret af A, dvs. T (x) = Ax, x R n. Hvad er T s matrix repræsentation relativ til B? Jvf. Kapitel 4, er den præcis [T ] B = P 1 AP = P 1 (PDP 1 )P = D.
Diagonalisering II 5 Sætning Lad A være en n n-matrix. A er diagonaliserbar hvis og kun hvis A har n lineært uafhængige egenvektorer. I fald A har n lineært uafhængige egenvektorer v 1, v 2,..., v n med tilhørende egenværdier λ 1, λ 2,..., λ n, kan vi skrive A = PDP 1, hvor P = [v 1 v 2 v n ] og D = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ).
6
7 Sætning (n forskellige egenværdier) Lad A være en n n-matrix. Hvis A har n forskellige egenværdier, da har A netop n lineært uafhængige egenvektorer og A kan derfor diagonaliseres.
Diagonalisering III 8 Mere generelt: Sætning Lad A være en n n-matrix med de forskellige egenværdier λ 1, λ 2,..., λ r (r < n er tilladt). Matricen A er diagonaliserbar hvis og kun hvis summen af dimensionerne of egenrummene hørende til λ 1, λ 2,..., λ r er præcis n. Hvis A er diagonaliserbar, og B k er en basis af egenvektorer for egenrummet hørende til λ k, da udgør {B 1, B 2,..., B r } en basis for R n bestående af egenvektorer for A.
9
10
11
12
13
Norm og prikprodukt - fra første kursusgang - og 14 gymnasierne Definition Lad u = [u 1 u 2 u n ] T og v = [v 1 v 2 v n ] T være vektorer i R n. Så defineres Normen af u: u = u1 2 + u2 2 + + u2 n. Der gælder: u = 0 u = 0 For en skalar c: cu = c u Afstand mellem vektorerne u og v: u v. Prikprodukt: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n R. For en m n-matrix A og u R n, v R m gælder: Au v = u A T v Norm og prikprodukt: u 2 = u u.
Ortogonale vektorer 15 Ortogonalitet To vektorer u = [u 1 u 2 u n ] T og v = [v 1 v 2 v n ] T i R n siges at være ortogonale hvis u v = 0. Det skrives u v. En mængde af vektorer S = {v 1, v 2,..., v k } i R n siges at være en ortogonal mængde hvis v i v j = 0 for alle i j. En mængde S = {v 1, v 2,..., v k } i R n er ortonormal hvis den er en ortogonal mængde med v j = 1 for alle j.
16
17
18 Ortogonale/ortonormale baser: simple koordinatvektorer Lad S = {v 1, v 2,..., v k } være en basis for underrummet V af R n. Hvis S er ortogonal, så gælder for x V : x = x v 1 v 1 2 v 1 + x v 2 v 2 2 v 2 + + x v k v k 2 v k. Hvis S er ortonormal, så gælder for x V : x = (x v 1 )v 1 + (x v 2 )v 2 + + (x v k )v k.
19
20
21
Gram-Schmidt ortogonalisering Gram-Schmidts sætning Ethvert ikke-nul underrum af R n har en ortogonal/ortonormal basis. Procedure Lad {u 1, u 2,..., u k } være en basis for underrummet V af R n. Definer nu induktivt et nyt system O = {v 1, v 2,..., v k } som følger:. 22 v 1 = u 1 v 2 = u 2 u 2 v 1 v 1 2 v 1 v 3 = u 3 u 3 v 1 v 1 2 v 1 u 3 v 2 v 2 2 v 2 v k = u k u k v 1 v 1 2 v 1 u k v 2 v 2 2 v 2 u k v k 1 v k 1 2 v k 1. Det nye system O udgør en ortogonal { basis for V. En tilhørende } ortonormal basis for V er givet ved v1 v 1, v 2 v 2,, v k v k.
23
24
QR-faktorisering 25 Når A er en m n matrix med lineært uafhængige søjler, så findes en m n matrix Q med ortonormale søjler og en n n matrix R, som er øvre triangulær så A = QR (R kan vælges, så den har positive diagonalindgange.) Hvorfor og hvordan? Q findes ved Gram Schmidt på søjlerne i A (og normering.) R findes ved at holde styr på koefficienterne i Gram Schmidt:
26
27 Kald søjlerne i A a 1, a 2,..., a n. Gram Schmidt finder en ortogonal basis v 1,... v n med samme span som a 1, a 2,..., a n : v 1 = a 1, v 2 = a 2 a 2 v 1 v 1 2 v 1 (projektionen af a 2 på v 1 trækkes fra a 2 ), v 3 = a 3 ( a 3 v 2 v 2 2 v 2 + a 3 v 1 v 1 2 v 1 ) (projektionen af a 3 på span(v 1, v 2 ) trækkes fra a 3 ). Generelt v j = a j ( a j v j 1 v j 1 2 v j 1 + a j v j 2 v j 2 2 v j 2 + + a j v 1 v 1 2 v 1 ) Søjlerne i matricen Q er q j = 1 v j v j. Disse er ortonormale, da Gram Schmidt algoritmen finder ortogonale vektorer.
v j = 28a j ( a j v j 1 v v j 1 2 j 1 + a j v j 2 v v j 2 2 j 2 + + a j v 1 v v 1 2 1 ) så a j = v j + ( a j v j 1 v j 1 2 v j 1 + a j v j 2 v j 2 2 v j 2 + + a j v 1 v 1 2 v 1) Specielt er a j en linearkombination af v 1, v 2,..., v j og dermed af q 1, q 2,..., q j. a j = v j q j + ( a j v j 1 v j 1 q j 1 + a j v j 2 v j 2 q j 2 + + a j v 1 q 1 ) v 1 Husk: j te søjle i QR er r 1j q 1 + r 2j q 2 +... + r nj q n Derfor er A = QR, hvor R er øvre triangulær og r ij = a j v i v i. r ii = v i da a i v i = v i v i
29
m n matricer med ortonormale søjler 30 Følgende er ækvivalent for en m n-matrix Q Q s sãÿjler er parvist ortonormale. Q T Q = I n
QR-faktorisering og ligningsløsning 31 Hvis A = QR hvor A og Q er m n og R er n n, Q har parvist ortonormale søjler og R er øvre triangulær. Så gælder : Hvis Ax = b så er Rx = Q T b. Hvis A har rang m er m = n og da gælder det også den anden vej. Strategi: Løs Rx = Q T b og check, om (nogen af) løsningerne også løser Ax = b
32
33