Dynamiske Renemodelle BD & ande én-fako modelle Noa il Invesmens
Ovesig Behove fo dynamiske modelle. Klassiske dynamiske modelle og foskellige specifikaione. De klassiske modelles mangle. Ny indsig og modene modelle. BD modellen. BD modellens løsning. BD eksemple. Efe BD modellen... af6
Moivaion og ko hisoisk baggund En simplificee opdeling af fixed income modelle e følgende. Saiske Modelle Dynamiske Modelle Lige vigige men foskellige fomål. 3af6
Saiske Modelle De saiske modelle modelle e modelle udelukkende fo nuiden, id. age udgangspunk i obseveede obligaionspise og beskæfige sig med a fie dagens Eng.: Nulkuponenesuku zeo-coupon yields zeo-coupon inees aes pue discoun aes spo aes kæ ban, mange navne! 4af6
Saiske Modelle II ypisk anages en funkionel fom fo R(-kuven, dvs. de vælges en model som f.eks. Nelson-Siegel, exended Nelson-Siegel (Svensson Polynomial (cubic spline exponenial splines CIR (mee senee ec. Man esimee de model-paamee, som give bedse fi il makedspise. 5af6
Nulkuponenekuve-esimaion Exended Nelson-Siegel: e y ( a be ce d e e, f Asympoisk ene ( y a > Shoem fasdecay ( y a b Medium em,iniially zeo,fas decay ~, Long em, iniially zeo, slow decay ~, 5 paamee Robus model Mege fleksibel 6af6
Saiske Modelle III Modellen kan heefe anvendes il a pisfassæe ande fixed income akive idag, f.eks. Obligaione udenfo esimaions-sample. Sandad swaps. FRA s (fowad ae ageemens. Ande med kende femidige bealinge. Modellene indeholde ine dynamisk elemen og buges ikke il a modellee (scenaie af femidige pise elle enekuve. Næse mogen gen-esimees hele modellen. 7af6
Indledende ovevejelse om usikkehed... Fem il dee punk ha vi ekapiulee den saiske modelleing... Men idligee i kuse ha vi snakke mege om volailie, og ene e nauligvis også volaile/usike ove iden... Denne ekendelse e føse skid i pogessionen Saiske Modelle Dynamiske Modelle Fo a kunne analysee usikkehed om ene og obligaionspise e de nødvendig a modellee denne usikkehed sam de simple fakum a iden alså gå, og a de e noge de hedde femiden! 8af6
Modelleing af usikkehed Hvofo e de nødvendig a modellee usikkeheden? Fodi de e alige akive, hvis femidige bealinge afhænge af udviklingen af enen/enene i femiden! F.eks. $ Konveebae (callable obligaione. $ Opione på obligaione. $ Opione på ene, caps/floos. $ Realkedi obligaione! $ Viksomhedsobligaione. $ Pensions- og livsfosikingsfopligelse. $ swapione, CMS. Sælig vame emne i DK fo iden! 9af6
Modelleing af usikkehed II De nævne insumene/akive kan IKKE pisfassæes vha. saiske enesukumodelle à la Nelson-Siegel, fodi cash flows ikke e deeminisiske. Nogle analyikee mene a kunne klae sagen ved a lægge e spead il nulkupon enekuven, men den holde ikke. De e inkonsisen og hel uden eoeisk fundamen. De e en udbed paksis i fosiking men ses også ofe anvend i eakedien. In finance we do no value inees-sensiive secuiies by discouning hei cash flows by a easuy yield plus a spead. Rahe we use laices o simulaions o discoun inees-sensiive cash flows. hose ae he only ways ha wok. So all of hese mehods ha jus add speads o a yield ae no going o give you pecision... On Wall See, someimes we alk abou speads - bu ha is only afe we have deemined pice. We say, "his anslaes ino a spead," bu we would neve use he spead o come up wih wha he pice should be. David Babbel af 6
Modelleing af usikkehed III Vi må konsuee dynamiske modelle, som kan geneee femidige nulkuponenesuku scenaie, og som kan illægge sandsynlighede il disse foskellige femidige scenaie. Denne indsig daee sig ilbage il miden af 97ene. De vigigse aikle blev skeve af disse folk Meon (973 Vasicek (977 Cox, Ingesoll & Ross (978, 985 og ande Disse navne epæsenee de klassiske (Makovmodelle, som vi nu skal se lid på... af 6
De klassiske modelles idé in : De ages udgangspunk i nulkuponpisen/diskoneingsfakoen: P( x,, nauilsand, (veko af fakoe, id Udløbsdao De modelleede pise skal have flg. egenskab (eminalbeingelse P( x,, af 6
De klassiske modelles idé II in : Fakoene navngives og sokasiske pocesse fo dees udvikling ove id specificees. id inflaionsniveau id Consume Confidence Index x( id Poduciviy Index id "Renen" ec. De anvende pocesse e Iô-pocesse/diffusione: Wiene poces d x( α ( x, d β ( x, dw Dif Volailie 3 af 6
De klassiske modelles idé III in 3: E en maemaisk agumen (Iô s lemma buges il a vise, a obligaionspisens dynamik må væe (supe ko noaion dp P x dx P d P x ( dx hvo P( e de pisfunkional, som vi lede efe. P e alså selv en Iô-poces. Rimelig absak og som sådan ikke sælig anvendelig infomaion... 4 af 6
De klassiske modelles idé IV in 4: De økonomiske agumen: De må ikke væe mulighede fo dynamisk abiage i modellen-, vi vil have, a modellen skal væe inen konsisen. P(x,, skal løse følgende PDE: P P x ( α βλ ββ P x x P hvo λ e makedspisen på eneisiko... De esee blo a løse denne ligning unde hensynagen il eminalbeingelsen... 5 af 6
Alenaiv epæsenaion af løsningen En ækvivalen/alenaiv epæsenaion af løsningen e den såkalde Feynman-Kac (pobabilisic epesenaion epæsenaion P( x,, Q E e ( u, x u du hvo Q e de isikoneuale sandsynlighedsmål. Kan disse ligninge mon løses fo P(? De afhænge sæk af, hvodan fako-pocesse blev specificee... 6 af 6
Løsninge?? De e en chance fo a finde eksplicie/analyiske løsninge, hvis vi ha E begænse anal fakoe. Valg pæne pocesse fo disse. De indlysende fako-valg i en model fo obligaionsmakede e nauligvis enen,, men hvilken ene? adiionel ha man valg den (ulakoe ene (he insananeous sho ae, selvom de nem kan agumenees fo, a de ikke e de smaese valg. 7 af 6
En kamp mellem specifikaione He følge nogle af (ophavsmændene il de mes beøme specifikaione: Meon (973 Vasicek (977 d d µ d σdw ( κ ( θ d σdw ( Dohan (978 d σw ( Cox, Ingesoll & Ross (985 d κ ( θ d σ dw ( Lukkede løsningsfomle kan udledes fo obligaionspise og enesukuen i alle disse ilfælde 8 af 6
Flee specifikaione og fobindelsen mellem dem Unesiced model d(αβdσ γ dz γ α γ½ γ Vasicek d(αβdσdz Cox, Ingesoll & Ross d(αβdσ / dz Bennan & Schwaz d(αβdσdz CEV dβdσ γ dz β α β Meon dαdσdz GBM dβdσdz X-model dσ γ dz β γ3/ Dohan dσdz CIR dσ 3/ dz 9 af 6
af 6 Eksempel: Vasicek modellen Nulkupon obligaionspis Nulkupon enesuku κ σ κ σ θ κ κ κ 4, ( / (, ( ( exp, (, (, (, ( ( (, ( B B A e B e A P B (, (, ( ln, ( B A R De kan endvidee udledes fomle fo obligaionsopione.
af 6 Eksempel: CIR modellen Nulkupon obligaionspis Nulkupon enesuku / ( / ( ( ( ( (, ( ( (, ( ( ( (, (, (, ( σ κ γ γ κ γ γ γ γ κ σ κθ γ γ κ γ γ B e e A e e B e A P (, (, ( ln, ( B A R Igen kan de udledes fomle fo obligaionsopione.
Obsevaione og kiik Bemæk: Man få fakisk også enesukukuven på idspunk ud! Dvs: Vi få en saisk model som specialilfælde! Dee e på en måde lække, men de e på samme id de søse poblem med disse modelle... De e nemlig sådan, a vesionene af disse modelle sjælden fie de obseveede obligaionspise sælig god. Dee e egenlig ikke oveaskende se i lyse af, a de ofe ovehovede ikke anvendes nogen infomaion fa makedes obligaionspise i esimaion af modellene. Esimaion af modellene age ypisk udgangspunk i en idsseie af ene,. af 6
Eksemple på ene- og disk.-fk.- kuve Vasicek em Sucue Vasicek Discoun Funcion.6. Zeo coupon Inees Rae.5.4.3.. 5 5 Discoun faco.8.6.4. 5 5 ime o Mauiy ime o Mauiy 3 af 6
Vasicek esimaions-eksempel En idsseie-basee esimaion kunne give følgende esula mean eveison ae, κ.5 mean evesion niveau, θ.6 volailie. Makedspis på isiko. Iniial ene,,.3 ids konsisen! Vasicek em Sucue Cuve Men Nelson-Siegel esimaionsesulae som e basee på obligaionspise e ikke den samme kuve! Zeo coupon inees ae.6.4. 3 ime 4 af 6
Alenaiv esimaions-pocedue Esimaion af en klassisk model som Vasicek s kan også basees på fining il makedspise og man få sandsynligvis e god esula! Hel i åd med Nobelpisvinde Richad Feynman s udalelse: Give me hee paamees and I can fi an elephan. Give me five and I can make i wave i s unk! Men...esimaene vil sandsynligvis vaiee emmelig mege fa dag il dag (de sande vædie e konsane. og esimaene kan væe økonomisk meningsløse f.eks. negaive elle mege høj mean evesion niveau og volailie. 5 af 6
Delkonklusion De klassiske modelle ha e poblem med vikeligheden de e som ofes noge de ikke fie Modellene e inen konsisene,...men ikke eksen konsisene (kalibebae. 6 af 6
Fining af CIR modellen il makede Eksempel/Øvelse
Ny indsig Disse svaghede blev fo alvo ekend omking miden af 98ene. Speciel blev de indse af en ække foskee, a hvis vi vil modellee enesuku-dynamikken e de usma a ignoee den infomaion, som e indehold i dagens obseveede enekuve. modellen fo dagens enekuve og den obseveede/fiede makedskuve skal semme oveens modellen skal væe eksen konsisen. Pioneene va Ho & Lee (986, Heah, Jaow & Moon (987,988,99 Black, Deman &oy (99 8 af 6
Ho & Lee modellen Uheldigvis blev Ho & Lee modellen huig beegne som den føse dynamiske abiagefi enesuku model Dee ha medfø so foviing som om de klassiske modelle ikke va abiagefi... De e fakisk paadoksal, - speciel nå man age i beagning, a Ho & Lee modellen beskive pisudviklinge som P n ( i P n ( i ( P n i og efe en næmee opskif, så modellen i en hvis fosand sle ikke abiagefi, ide enene i modellen kan blive negaive! 9 af 6
Ho & Lee egenskabe De e alså mange meninge om, hvad abiagefi egenlig beyde. De e imidleid koek a fasslå, a Ho & Lee s model va den føse som opfylde kave om eksen konsisens ingen saisk abiage. Ho & Lee modellen va ikke videe opeaionel og mege vanskelig a esimee.... men ideen va sluppe løs... 3 af 6
Black, Deman & oy s model BD modellen blev huig kul, isæ i Danmak. Goldman Sachs woking pape va svæ a få fa i. Mange af modellens dealje va udelad i den opindelige aikel. Mege få pesone kende modellen il bunds og va i sand il a buge den. ScanRae/Rio implemeneede modellen i dees syseme man va nød il a kende modellen! 3 af 6
E næmee kig på BD modellen BD modellen e en en-fako model, de anvende den koe ene som fako. I sin opindelige udgave e de en diske ids model. Usikkeheden beskives vha af e binomialgie, dvs. (i,n (ilsand i, id n 3 af 6
Lid noaion Lad os beegne -peiode nulkuponpisen i ilsand i og på id n som P n ( i Favæ af dynamisk abiage (inen konsisens medføe P n i ( P n i ( { n n qp ( ( q P ( } i i hvo q e den isikoneuale sandsynlighed. I den basale udgave af BD modellen, anages denne a væe lig ½! Bemæk: Enhve femidig ilsandsbeinge foding kan pisfassæes, hvis alle binomialgiees koe ene e kend... 33 af 6
34 af 6 Geneel pisfassæelse Pisfassæelseselaionen e og hvis de e mellemliggende bealinge (kupone ( n i n i n i n i n i n i n i V V V V P V ( n i n i n n i n i n i n n i n i V V c V V c P V
Eks: Pisfassæelse af kuponobligaion 3 åig % sående lån Binominalgie fo ene Binomialgie fo obl.pise.5 98. 97.97 98 99. 55 97. 97..5 99.59 99.55 9.3 9..9 Obligaionspisen findes ved a diskonee ilbage peiode fo peiode med sa ved udløbe, hvo vædien e kend. 35 af 6
Implemeneing Den geneelle algoime kan le pogammees baglæns ekusion. De de skal besemmes e den koe ene i hve af giees knudepunke. 36 af 6
Men de e dé, de e de vanskelige... fa sa ha vi ikke disse ene. Ved begyndelsen se giee ud som følge???? Så inden vi kan komme videe, skal modellen løses.? 37 af 6
Løsning af modellen Løsning af BD modellen e en komplicee affæe, hvo vi skal sike os, a giee med koe ene e konsisen med den obsevede/esimeede iniiale enesukukuve (eksen konsisens. den obsevede/esimeede iniiale volailieskuve. abiage piselaionen (inen konsisens. Disse e de nødvendige inpus defo e BD modellen auomaisk eksen konsisen! 38 af 6
Løsning af BD modellen Den iniiale diskoneingsfunkion - elle ækvivalen den iniiale enesukukuve - anages kend/obsevee. Sammenhængen e (diske diskoneing P ( P( ( R( Eksempel P( R(.99 % kend/obsevee/esimee 3 4 5.8.7.64.543 % %.5% 3% 39 af 6
Hvilken volailieskuve? Den volailies-suku, de skal buges som inpu, vedøe nulkuponenene en peiode (ex. e å femme. I mogen e de o mulige enekuve: Zeo coupon inees ae...8.6.4. 3 4 5 ime Zeo coupon inees ae Zeo coupon inees ae...8.6.4....8.6.4. 3 4 5 ime 3 4 5 ime 4 af 6
Volailiee Fo eksempel R (7 Denne vol beegnes σ (8! R (7 Volailieen definees og beegnes som σ ( Disse esimae opnås elaiv le... ~ ( ln R ( σ R ln R ( ( 4 af 6
BD s eksempel 3 4 5 σ ( % 9% 8% 7% 6% (unødvendig/meningsløs Volailieen e ypisk afagende dvs volailieen e ofe lavee fo lange ene. En sidse anagelse: σ ( n sdev(ln ( n konsan fo give n Hemed kan modellen løses! Bemæk: E elaiv so fobeedende abejde ifh. de klassiske modelle. De e pisen fo eksen konsisens. 4 af 6
Løsning af BD eksemple in besemmelse af og Vi ha σ ( og P( ln 9% P( P ( P ( P( o ligninge i o ubekende. Subsiue og educe... 43 af 6
Løsning af BD eksemple II (. c 9.79% 9.79% e (. e.9.38 og føse in e demed komple 4.3% 4.3%? %? 9.79%? 44 af 6
Løsning af BD eksemple III in : Besemmelse af ln σ (3 og P(3 R ( R ( Én ligning i én ubekend..., and 8% P( P ( P ( P( ( R ( ( R ( P(.36 ( R ( e ( R ( 45 af 6
46 af 6 Løsning af BD eksemple IV Vi finde.757 ( 5.459% ( (.85 (.7553% (.36 P e R R P R Vendes ilbage il abiage elaionen.. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( P P P P P P P P P P P P c
47 af 6 Løsning af BD eksemple V o ligninge i e ubekende... men husk den sidse anagelse. Den skal buges nu... ( ( ( ( 4 ( e e e e konsan ln ln σ σ σ σ σ c c
48 af 6 Løsning af BD eksemple VI De idligee ligningssysem e nu ( ( ( ( ( ( ( ( 4 e P P e e P P σ σ σ Dee e o ligninge i o ubekende. Vi løse numeisk... 9.4% 3.77% 7.% 9.76% ( σ
o ås giee 4.3% 9.4% % 3.77% 9.79% 9.76% Kompleksieen øges ikke ved a gå længee ud! Alenaiv meode: Fowad inducion (Jamshidian 99 49 af 6
he BD Model Mean Revesion SOI: 3->5%, SOV: 5->% 4% 35% 3% 5% % 5% % 5% % 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 5 af 6
he BD Model Mean fleeing SOI: 3->5%, SOV: % fla Lowe limi 3,5 % 3, %,5 %, %,5 %, %,5 %, % 3 5 7 9 35793579 35% 3% 5% % 5% % 5% % Uppe limi 5 af 6
he BD Model Evoluion of local volailiy SOI: 3->5% 3% 5% % 5% % 5% % 3 5 7 9 3 5 7 9 3 5 7 9 SOV Local volailiy 5 af 6
he BD Model Log-nomalfodeling fo koe ene efe 5 å SOI: 3->5%; SOV: 5->%;-3Y 5% % 5% % 5% % % 5% % 5% % 5% 3% 35% 53 af 6
Videeudvikling af BD/HL ideene BD modellen kan væe lid æls a implemenee, og mange kan man bede lide koninuee modelle. Defo e de i nyee id ske de, a man ha fosøg a kombinee de bedse egenskabe fa BD/HL modellene med de gode gamle klassiske modelles dyde. De e de komme en ække nye modelle ud af... Ho & Lee: Hull & Whie: BD: Black & Kaasinski: d θ( d σdw ( d ( θ( a d σdw ( σ'( dln [ θ( ln] σ( dw ( σ( ln ( θ( a( ln d σ( dw ( 54 af 6
Øvelse Ideføseene-gieiegneake:Check (deføseeå ud a modellen e kalibee,dvs.beegn P(, P(, P(3 og find volailieeneσ( og σ(3. Check pisfassæelsen af s.lån 5%5 ibegge GIRE. Beegn deføse nulkupon-ene(feks ud ilfem åide o mulige kuveom eå og vis kuvene isam me gaf. De o gie give samme pise ilfixed income secuiies idag,fodi modellene e kalibeeilsam me enekuve, men hvad med enedeivae????? 55 af 6
Eksemple på anvendelse af BD modellen
En opion på en obligaion åig Ameikansk call på 3 åig % s.lån, sike 99 Binominalgie, ene.5 Obligaionspise 98. Opion. 9.5 9. 99.5 9 97.9 7.3 99.55.9.59.8..5.3 *.3.55.9 * Opionen execises med de samme Vha BD modellen findes pisen på den ameikanske call opion il.8. Vædien af konveeba obl. IKONV-CallOpion 99.59.8 98.5 57 af 6
Realkediobligaione Obligaion Foding på pulje af undeliggende lån Konveeba obl Model Pepaymen Risk af Call Opion Debioene e ikke homogene: Foskellige Call opione Ande ing: Konveeingsomkosninge. Ska. Opsigelsesvasel. mm. Siafhængighed?? 58 af 6
Pisfassæelse af danske eale Renesuku Volailie ko ene model, e.g. BD Koe ene Debio Model Pisfass æelse Renabilies beegninge mm Pice/Risk/Reu n 59 af 6
Caps/Floos Ko beskivelse Opione basee på en femidig pengemakedsene (ofe 3M elle 6M LIBOR. Caps sike en maksimal funding ae, floos sike en mindse indskudsene. Libo Compensaion fom puchased cap Libo Sike Sike Libo Libo Compensaion fom puchased floo 3 6 9 5 8 4. ime (monhs 3 6 9 5 8 4. ime (monhs 6 af 6
Pisfassæelse af Cap 3Y Cap på Y ae, sike % 3Y Cap (Y Y Call IRG (Y Y Call IRG (Y Binomialgie Y Call IRG Y Call IRG.5. 9..5.4.6.. 5.. 5. 5. 45. 5 9.. 9. / (. 9 / (.. 45... Vædi 3Y Cap.4.6. 6 af 6