1 Kapitel 5: Forbrugervalg

1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg.

2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling 1. Antag: Præferencer komplette, transitive, monotone. 2. Da maximeres nytte på budgetlinjen. 3. Optimum findes ved at bevæge sig langs budgetlinje indtil den højest opnåelige indifferenskurve tangerer budgetlinje. 4. I optimum: 5. Hældning på indifferenskurve = MRS = hældning på budgetlinje = -p 1 /p 2. (a) Undtagelse I: Knækket indifferenskurve - kinky tastes. (b) Undtagelse II: Maximum ligger på randen.

6. Konvekse præferencer: Hvis MRS = -p 1 /p 2 da maximum. 7. Advarsel: Hvis præferencer ikke er konvekse da kan MRS = -p 1 /p 2 være i lokalt minimum. 8. Efterspørgslen er det optimale forbrug ved givne priser og indkomst 9. Når vi varierer priser og indkomst får vi efterspørgselsfunktionen.

Figure 1:

Figure 2:

Figure 3:

Figure 4:

3 Perfekte substitutter / komplementer 1. To nemme specialtilfælde: 2. Perfekte substitutter 1:1. x 1 = m/p 1 hvis p 1 p 2 ;0ellers.(x 2 =?) 3. Perfekte komplementer 1:1. x 1 = m/(p 1 + p 2 ). (x 2 =?) 4. Hvordan findes efterspørgslen i mere generelle tilfælde?

Figure 5:

Figure 6:

4 Formulering af forbrugerens problem 1. Lad priser og indkomst være givne. Forbrugen vælger forbrug der maksimerer nytte givet budgetbegrænsning: 2. Maximér under bibetingelsen u(x 1,x 2 ). p 1 x 1 + p 2 x 2 m 3. Hvis præferencer er monotone kan vi skrive: 4. Maximer under bibetingelsen u(x 1,x 2 ) p 1 x 1 + p 2 x 2 = m.

5 Løsning af forbrugerens problem 1. Tre løsningsmetoder: (a) Løs to ligninger med to ubekendte: i. MRS(x 1,x 2 ) = ii. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. u(x 1,x 2 ) x 1 u(x 1,x 2 ) x 2 = p 1 p 2. (b) Substitution af budgetbetingelse ind i nyttefunktion: i. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m x 2 = 1 p 2 (m p 1 x 1 ). ii. u(x 1,x 2 )=u(x 1, 1 p 2 (m p 1 x 1 )) = bu(x 1 ). iii. Maximér bu(x 1 ) mht. x 1.

(c) Lagrange metoden: i. Den generelle metode til maximering af funktion af flere variable under en eller flere bibetingelser: ii. max u(x 1,...,x n ),hvor iii. f 1 (x 1,...,x n )=b 1, iv...., v. f n (x 1,...,x n )=b m.

6 Maximering under bibetingelser: 2 variable, 1 bibetingelse 1. Problem: Maximér f(x, y) s.t. g(x, y) =c. 2. I optimum: Hældingen på tangenten til kurven g(x, y) = c lig med hældningen på tangenten til niveaukurven for f. 3. Hvorfor: Se figur! 4. Husk fra Kap. 4: For nyttefunktion u(x 1,x 2 ) da hældningen på indifferenskurve = MRS = u(x 1,x 2 ) x 1 u(x 1,x 2 ). x 2 5. Tilsvarende:

(a) Hældingen på tangenten til kurven g(x, y) =c er lig g(x,y) x g(x,y) y. (b) Hældingen på tangenten til niveaukurven for f er lig f(x,y) x f(x,y) y. g(x,y) 6. I optimum: x g(x,y) y f(x,y) = x f(x,y) y. 7. Fortegn ryger ud: g(x,y) x g(x,y) y = f(x,y) x f(x,y) y. 8. Dvs: Der findes λ så: g(x,y) x g(x,y) y = f(x,y) x f(x,y) y = λ.

7 Lagrange-funktionen 1. Metode: 2. Opskriv funktionen: L(x, y) =f(x, y) λ(g(x, y) c), hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x og y og sæt afledede lig nul: (a) L(x,y) x (b) L(x,y) y = f(x,y) x = f(x,y) y λ g(x,y) x =0 λ g(x,y) y =0 4. Med disse to betingelser har vi nu: (a) f(x,y) x (b) f(x,y) y = λ g(x,y) x = λ g(x,y) y

(c) g(x, y) =0 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x, y, λ. 6. Tekniske antagelser: (a) Hvis (x 0,y 0 ) er lokalt extremum da gælder Lagrangebetingelser, hvis: (b) f og g har kontinuerte partielle afledede i omegn af (x 0,y 0 ). (c) g(x,y) x og g(x,y) y ikke begge er nul. 7. NB: Betingelserne er nødvendige med ikke tilstrækkelig for maximum (kunne også være et minimum!). 8. Vigtigt i forbrugerteori: Hvis præferencer er strengt convekse (og budgetlinje naturligvis lineær), da betingelser tilstrækkelige.

8 Eksempel 1 1. Maximer u(x 1,x 2 )=x 1 x 2 s.t. 2x 1 + x 2 =1. 2. Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 1 ) = f(x 1,x 2 ) λ(g(x 1,x 2 ) c), = x 1 x 2 λ(2x 1 + x 2 1) hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul: (a) og L(x 1,x 2 ) x 1 = x 2 2λ =0 (b) L(x 1,x 2 ) x 2 = x 1 λ =0.

4. Med disse to betingelser har vi nu: (a) x 2 =2λ (b) x 1 = λ (c) 2x 1 + x 2 =1 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x 1,x 2, λ: 6. x 2 =2λ og x 1 = λ x 2 =2x 1. 7. Indsæt i betingelse: 2x 1 +2x 1 =1 x 1 = 1 4. 8. x 2 = 1 2. 9. λ = 1 4.

9 Eksempel 2 1. Maximer u(x 1,x 2 )= x 1 +2 x 2 s.t. x 1 + x 2 = 1. 2. Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 2 )= x 1 +2 x 2 λ(x 1 + x 2 1), hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul: (a) L(x 1,x 2 ) 1 = x 1 2 λ =0 x 1 L(x 1,x 2 ) = 1 λ =0. x 2 x2 4. Med disse to betingelser har vi nu:

(a) 1 2 x 1 = λ (b) 1 x2 = λ (c) x 1 + x 2 =1 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x, y, λ: 6. 1 2 x 1 = 1 x2 2 x 1 = x 2 (2 x 1 ) 2 = ( x 2 ) 2 4x 1 = x 2. 7. Indsæt i betingelse: x 1 +4x 1 =1 5x 1 =1 8. x 1 = 1 5. 9. x 2 = 4 5. 10. λ = q 1 = 1 15 2 5. 2

10 Økonomisk tolkning af Lagrange-multiplikatoren λ 1. Antag at x og y løser: max f(x, y) s.t. g(x, y) =c. 2. Lad f = f(x,y ) være maximum. 3. Betragt x = x (c) og y = y (c) some funktioner af c. 4. Betragt da også f som funktion af c: f (c) =f(x (c),y (c)). 5. f (c) kaldes værdifunktionen for problemet.

6. Man kan vise at: df (c) dc = λ(c). 7. Med ord: λ(c) = λ viser væksthastigheden for værdifunktionen med hensyn til begrænsningen c. 8. I Økonomi: (a) f er nyttefunktion eller profit. (b) c er ressourcebegrænsning, f.eks. budgetbegrænsning. (c) Da er λ(c)dc en tilnærmelse til stigning i nytte/profit som opnås ved at få dc > 0 mere af ressource. (d) Specielt: Hvis f er profit, da angiver λ(c) den marginale betalingsvillighed for en ekstra enhed af begrænset resource c.

11 Cobb-Douglas præferencer: Generelle tilfælde 1. Vi ønsker at finde efterspørgsel ved Cobb-Douglas nytter. 2. Forbrugers problem: max u(x 1,x 2 ) = x c 1 xd 2, s.t. x 1 p 1 + x 2 p 2 = m. Logaritmisk transformation: log x c 1 xd 2 = c log x 1 + d log x 2. 3. Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 2 )=c log x 1 +d log x 2 λ(x 1 p 1 +x 2 p 2 m) hvor λ er en (ukendt) konstant. 4. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul:

(a) c 1 x 1 λp 1 = 0 d 1 x 2 λp 2 = 0 5. Med disse to betingelser har vi nu: (a) c = λp 1 x 1 (b) d = λp 2 x 2 (c) p 1 x 1 + p 2 x 2 = m 6. Løs tre lineære ligninger med tre ubekendte x 1,x 2, λ: 7. c = λp 1 x 1 og d = λp 2 x 2 c + d = λp 1 x 1 + λp 2 x 2 = λm.

8. Hvilket giver: λ = c + d m. 9. Indsæt : c = ³ c+d m p1 x 1 x 1 = c+d c p m. 1 10. Indsæt : d = ³ c+d m p2 x 2 x 2 = c+d d p m. 2 11. NB: Hvis Cobb-Douglas præferencer, da er budgetandele konstante ved budgetændringer.

12 Økonomisk tolkning af Lagrange-multiplikator: Cobb-Douglas eksemplet. 1. vi har: (a) x 1 (m) = (b) x 2 (m) = c c+d m p 1 d c+d m p 2 (c) λ(m) =λ = c+d m. (d) f (m) =c log( c c+d m p 1 )+d log( d c+d m p 2 ) (e) Tjek: df (m) dm = c m + d m = λ??? (f) Ja! Da λ = c+d m.

13 Anvendelse: Hvilken form for beskatning er mest hensigtsmæssig? 1. Vi sammenligner to former for beskatning: (a) Indkomstskat (b) Volumenafgift på en vare. 2. Initial budgetbegrænsning: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m Budgetbegræsning med volumenafgift (vare 1): (p 1 + t)x 1 + p 2 x 2 = m, 3. Optimalt forbrug med volumenafgift: (p 1 + t)x 1 + p 2x 2 = m.

Figure 7:

4. Skatterevenue: tx 1. 5. Indkomstskat der giver samme revenue er derfor på tx 1. 6. Giver budgetbegrænsning: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m tx 1. 7. Ny budgetlinje har samme hældning som initial budgetlinje. 8. Passerer igennem (x 1,x 2 ) da (p 1 + t)x 1 + p 2x 2 = m medfører p 1 x 1 + p 2x 2 = m tx 1.

9. ALTSÅ: (x 1,x 2 ) også opnåelig under budgetlinje ved indkomstskat. Forbrug ved indkomstskat er derfor mindst lige så godt som (x 1,x 2 ). 10. POINTE:Deteraltidbedstforforbrugerenatopkræve et givet beløb via indkomstskat. 11. Antagelser: (a) Argumentet ser på 1 forbruger i isolation. (b) Indkomst eksogen. Mere kompliceret hvis indkomstskatteniveau påvirker arbejdsudbud? (c) Ser ikke på udbudssiden af marked.