Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise hvorda ma ka modellere udfaldet af et berømt slag. Hertil bruges Lachesters modeller for at aalysere udfaldet af krige, i dette tilfælde Lachesters kvadratiske model. Som ved alle matematiske modeller er der tale om e foreklig af de virkelige verde, så modelles styrke er ikke at de giver et præcist etydigt billede af hvad der foregår i virkelighede, me forhåbetligt ka modelle give idsigt i ogle vigtige mekaismer bag de virkelige krig. Der fides mage slags modeller i matematik, me typisk er de kvatitative, dvs. de beskriver sammehæge mellem ogle umeriske variable. Matematiske modeller er oget ma reger på J Der er to hovedtyper af kvatitative modeller: Stokastiske og determiistiske. I de stokastiske modeller iddrager ma et elemet af tilfældighed og simulerer udfaldet af modelle mage gage, for at se om der er typiske træk, som ma ka forvete dukker op i de virkelige verde med stor sadsylighed. Vejrforudsigelser er typisk stokastiske ( der er 40% chace for reg i morge ). Determiistiske modeller kører ma derimod ku é gag, da modelle fører til et etydigt resultat. Determiistiske modeller vil ofte være kyttet til middelopførsle eller de forvetede opførsel af e stokastisk model. Da tilfældigheder klart spiller e vigtig rolle i de virkelige verdes krige, er e stokastisk model mere realistisk ed e determiistisk, me for at forekle modelle vil vi holde os til de determiistiske modeller. Determiistiske modeller deles ige op i to hovedtyper: Diskrete modeller og kotiuerte modeller. I de diskrete modeller følger ma udviklige af et system i små skridt. De er emme at rege på og kræver ku kedskab til de vigtigste væksttyper, såsom lieær vækst og ekspoetiel vækst. Dertil kommer almideligt kedskab til fx procetregig. De kotiuerte modeller forudsætter kedskab til differetial- og itegralregig og modellerer typisk systemet udviklig med e differetialligig. For at forekle diskussioe vil vi holde os til diskrete modeller, me i idsatte bokse, som ka overspriges ude at de væsetligste poiter går tabt, viser vi hvorda modellerige foregår i e kotiuert model. I det følgede forudsættes altså ku et almet kedskab til procetregig, lieær, kvadratisk og ekspoetiel vækst, dvs. vi er på et typisk B-iveau (og meget af modelle bruger i virkelighede ku C- iveau). Me i de idsatte bokse, forudsættes at elevere har valgt A-iveau og er fortrolige med differetialregige. For at kue rege på modelle er det ødvedigt med et matematisk værktøjsprogram. Det er da afgørede at have adgag til et godt regeark. Hvis klasse bruger fx TI-Nspire CAS aveder de blot det idbyggede regeark. Me her vil vi illustrere Lachesters model med regiger i Excel, da dette er det mest udbredte regeark i historie-samfudsfag. Du ka fide Excel-arket her Slaget ved Trafalgar foregik i 1805 uder Napoleoskrigee. Slaget fik afgørede betydig for Eglads rolle som verdes førede sømagt. Ved slaget edkæmpede eglædere uder ledelse af Lord Nelso e kombieret frask-spask flåde uder ledelse af Villeeuve. Før slaget havde Nelso udtækt e såvel sedig som dristig krigspla, hvor ha ville sede e midre gruppe af hurtigt gåede skibe direkte mod de frask-spaske flåde og splitte dee i to grupper: De ee gruppe ville ha deræst edkæmpe med si hovedflåde, mes de ade del blev holdt i skak. Derefter ville ha vede sig mode de ade del og edkæmpe dee. Lord Nelsos pla er bevaret i detaljer, iklusive has skitser.
The famous icidet whe Nelso, visitig Lord Sidmouth five weeks before Trafalgar, dipped a figer i the port ad sketched his pla for the expected battle. This is reproduced from the colour paitig by A. D. McCormick. Figure 2: 'It was like a electric shock. Lord Nelso explaiig to the Officers previous to the Battle of Trafalgar the Pla of Attack, ad Positio of the Combied Forces of Frace & Spai. I the great cabi of HMS Victory o 29 September 1805. Watercolour by Daiel Orme.
. '... Nelso's Trafalgar Memoradum Victory, off Cadiz, 9th October, 1805. Memoradum. Thikig it almost impossible to brig a Fleet of forty Sail of the Lie ito a Lie of Battle i variable wids, thick weather, ad other circumstaces which must occur, without such a loss of time that the opportuity would probably be lost of brigig the Eemy to Battle i such a maer as to make the busiess decisive, I have therefore made up my mid to keep the Fleet i that positio of sailig (with the exceptio of the First ad Secod i Commad) that the Order of Sailig is to be the Order of Battle, placig the Fleet i two Lies of sixtee Ships each, with a Advaced Squadro of eight of the fastest sailig Two-decked Ships, which will always make, if wated, a Lie of twety-four Sail, o whichever Lie the Commader-i-Chief may direct. The Secod i Commad will, after my itetios are made kow to him, have the etire directio of his Lie to make the attack upo the Eemy, ad to follow up the blow util they are captured or destroyed. If the Eemy's Fleet should be see to widward i Lie of Battle, ad that the two Lies ad the Advaced Squadro ca fetch them, they will probably be so exteded that their Va could ot succour their frieds. I should therefore probably make the Secod i Commad's sigal to lead through, about their twelfth Ship from their Rear, (or wherever he could fetch, if ot able to get so far advaced); my Lie would lead through about their Cetre, ad the Advaced Squadro to cut two or three or four Ships a-head of their Cetre, so as to esure gettig at their Commader-i-Chief, o whom every effort must be made to capture. The whole impressio of the British Fleet must be to overpower from two or three Ships a-head of their Commader-i- Chief, supposed to be i the Cetre, to the Rear of their Fleet. I will suppose twety Sail of the Eemy's Lie to be utouched, it must be some time before they could perform a maœuvre to brig their force compact to attack ay part of the British Fleet egaged, or to succour their ow Ships, which ideed would be impossible without mixig with the Ships egaged. Somethig must be left to chace; othig is sure i a Sea Fight beyod all others. Shot will carry away the masts ad yards of frieds as well as foes; but I look with cofidece to a Victory before the Va of the Eemy could succour their Rear, ad the that the British Fleet would most of them be ready to receive their twety Sail of the Lie, or to pursue them, should they edeavour to make off. If the Va of the Eemy tacks, the Captured Ships must ru to leeward of the British Fleet; if the Eemy wears, the British must place themselves betwee the Eemy ad the Captured, ad disabled British Ships; ad should the Eemy close, I have o fears as to the result. The Secod i Commad will i all possible thigs direct the movemets of his Lie, by keepig them as compact as the ature of the circumstaces will admit. Captais are to look to their particular Lie as their rallyig poit. But, i case Sigals ca either be see or perfectly uderstood, o Captai ca do very wrog if he places his Ship alogside that of a Eemy. Of the iteded attack from to widward, the Eemy i Lie of Battle ready to receive a attack, The divisios of the British Fleet will be brought early withi gu shot of the Eemy's Cetre. The sigal will most probably the be made for the Lee Lie to bear up together, to set all their sails, eve steerig sails, i order to get as quickly as possible to the Eemy's Lie, ad to cut through, begiig from the 12 Ship from the Eemy's Rear. Some Ships may ot get through their exact place, but they will always be at had to assist their frieds; ad if ay are throw roud the Rear of the Eemy, they will effectually complete the busiess of twelve Sail of the Eemy. Should the Eemy wear together, or bear up ad sail large, still the twelve Ships composig, i the first positio, the Eemy's Rear, are to be the object of attack of the Lee Lie, uless otherwise directed from the Commader-i-Chief which is scarcely to be expected as the etire maagemet of the Lee Lie, after the itetios of the Commader-i- Chief, is [are] sigified, is iteded to be left to the judgmet of the Admiral commadig that Lie. The remaider of the Eemy's Fleet, 34 Sail, are to be left to the maagemet of the Commader-i-Chief, who will edeavour to take care that the movemets of the Secod i Commad are as little iterrupted as is possible. NELSON AND BRONTE. Plae er et eksempel på e kvalitativ aalyse af slagets forvetede gag og det er bestemt værd at geemgå de i detaljer. Me her vil vi i stedet prøve at byge e simpel matematisk model op for slagets gag. Læg mærke til at vi bygger e model op for hvorda slaget formodes at gå, ikke for hvorda det i virkelighede gik. Der er altså tale om e simulerig af et virtuelt slag, et krigsspil, i stedet for e aalyse af det faktiske slag! Vi starter med at forekle de to flåder til et ekelt tal: Atallet af skibe i de to flåder. Nelso regede med at kue møstre 40 skibe, mod Villeeuves formodede 46 skibe. De samlede frask-spaske flåde var altså større ed de egelske. Atallet af skibe er de to fudametale variable i modelle.
Læg mærke til at vi allerede her har foreklet problemstillige betydeligt: I virkelighede er der stor forskel på de ekelte skibe, me vi har udjævet forskellee ved ku at se på atallet af skibe. Ma må så sidehe diskutere betydige af e såda foreklig - om de i virkelighede ødelægger modelles prediktive kraft! Vi gør u edu e foreklig: Vi atager at fjedes skibe er lige så slagkraftige som vores ege. I de virkelige verde regede Nelso med at has skibe havde større erfarig med søkrige og derfor ville være fjedes overlege. Me for at få oget erfarig med modelle vil vi i første omgag igorere dee forskel i slagkraft og atage symmetri: De to flåders krigsskibe er lige stærke i kamp. Vi vil seere udbygge modelle, så de også ka tage højde for asymmetri mellem de to stridede parter. Ma kue u forestille sig e meget ekel model, hvor skibee sækes lieært, hvorfor forskelle mellem atallet af skibe bevares og at de fraske flåde derfor med et overskud på 6 skibe vil ede med 6 skibe i overskud. Fx kue ma forestille sig at vi sedte skibee i krig mod hiade ét ad gage. Da de er lige stærke vil udfaldet af tvekampee halvdele af gagee være i Nelsos favør, halvdele af gagee i Villeeuves favør. De to flåder vil derfor miste skibe i samme takt, hvilket etop fører til de lieære model, hvor forskelle i atal skibe er kostat. Me det er forkert ifølge Lachester: E mere detaljeret aalyse af hvorda slaget udkæmpes vil afsløre at fraskmædees talmæssige fordel er lagt større ed blot de lieære forskel på 6 skibe. Skibee udkæmper ikke tvekampe, me kæmper alle mod alle på é gag og e talmæssig overlegehed i atal skibe vil derfor føre til e hurtigere edkæmpig af fjedes skibe. For at idse det må vi kigge ærmere på dyamikke i slagets gag! Hvis vi på et givet tidspukt har N skibe, der kæmper for Nelso og V skibe, der kæmper for Villeeuve, så vil vi i løbet af e skudrude, som vi for simpelheds skyld vil atage tager et kvarter miste skibe på begge sider. De simpleste atagelse er da at Nelso vil miste et atal skibe, der er proportioalt med atallet af Villeeuves skibe, dvs. Villeeuves ildkraft. Tilsvarede vil Villeeuve vil miste et atal skibe, der er proportioalt med atallet af Nelsos skibe, dvs. Nelsos ildkraft. Det udmøtes i ligigere N = N - 0.03 V + 1 V = V - 0.03 N + 1 Her har vi sat proportioalitetskostate til 0.03. Dee model ka vi u køre i regearket. Vi idfører da tre søjler: E for atallet af ruder, e for atallet af skibe i Nelsos flåde og e for atallet af skibe i Villeeuves flåde: Først idskriver vi startværdiere som vist. Derefter idtaster vi formlere for hvorda tallee udvikler sig, dvs. i celle A3 skriver i =A2+1, i celle B3 skriver vi =B2-0.03*C2, og i celle C3 skriver vi =C2-0.03*B2: Efter é rude ser det derfor således ud: `
Nu er dyamikke på plads og vi sværter de tre celler A3:C3 til og trækker dem ed geem regearket ved at trække i akeret i ederste højre hjøre, idtil vi har ået 90 ruder: Her ser vi resultatet af de første ti ruder! Læg mærke til at forskelle mellem Villeueves atal og Nelsos atal u er oppe på ca. 8 skibe, dvs. forspriget øges! Vi ka se på udviklige i atallet af skibe for de to kombattater grafisk ved at markere søjlere og afbilde dem som et puktdiagram: Vi lægger da mærke til at modelle rummer et helt urealistisk træk: Atallet af skibe er ikke begræset til at være positivt! Efter godt fyrre ruder er Nelsos skibe helt udkæmpet, og slaget er såda set overstået. Me i modelle ka ma rege videre og fider et egativt atal skibe for Nelso og et voksede atal skibe for Villeeuve. Begge dele er selvfølgelig helt uacceptable i virkelighede, me det uderstreger blot
at modelle ku er meigsfyldt, så læge atallet af skibe på begge sider ikke bliver egativt. I dette tilfælde er modelle derfor ku gyldig i 44 ruder: Vi ser også at Villeeuve stort set ikke mister flere skibe i de sidste fjerdel af det virtuelle slag: Fra rude 34 til 44 falder atallet af skibe på Villeeuves side ku fra 23.5 skib til 22.3 skibe altså lidt over et ekelt skib, mes Nelsos side mister 7 skibe. På grud af de voksede overvægt slutter slaget altså grumt med at de tabede side hurtigt går helt til grude. Læge før vil de tabede side derfor være stærkt motiveret til at overgive sig! Vi ka opå mere idsigt i modelle ved at tilføje yderligere to søjler: È for det samlede atal skibe, dvs. summe, og é for forspriget, dvs. differese. VI trækker derfor celleformlere D2=B2+C2 og E2=C2-B2 ed geem regearket. Ved at markere søjlere for atal ruder, totale og forspriget (hold CTRL ed for at markere søjler, der ikke ligger lige op ad hiade) ka vi u afbilde Totale og Forspriget som fuktio af atallet af ruder i et puktdiagram:
Ige er modelle ku gyldig idtil vi år 45 ruder, for forskelle ka selvfølgelig ikke overstige totale, me matematisk set ka vi godt fortsætte modelberegigere som vist. Disse vækst kurver er u meget simplere ed vækstkurvere for Villeeuves og Nelsos skibe som fuktio af tide. Vi gætter derfor på at de simpelthe udvikler sig ekspoetielt. Markeres grafe, ka vi højreklikke og vælge Tedeslije, der sættes til ekspoetiel. Samtidigt slår vi ligige og forklarigsgrade til: Der er altså tale om e ekspoetiel vækst i såvel totale, der aftager ekspoetielt efter ligige 0.03 y= 86 e - x 0.0286 x, som forspriget, der vokser ekspoetielt efter ligige y= 6 e. Det er især de ekspoetielle vækst af forspriget, der er iteressat. Det er jo oget helt adet ed det kostate forsprig i de aive lieære model. Hvorda ka vi forstå dee ekspoetielle vækst? Veder vi tilbage til vækstligigere N = N - 0.03 V + 1 V = V - 0.03 N + 1 ka vi fide vækstligige for totale S ved at lægge de to ligiger samme. Vi fider da S + 1 = N + 1+ V + 1 = ( N + V )- 0.03 ( V + N ) = S - 0.03 S = 0.97 S Me det viser jo etop at summe følger e gage-vækst, idet vi i hver rude gager med kostate 0.97. I hver rude aftager totale altså med 3%, hvilket etop viser at totale følger e ekspoetiel vækst givet ved kapitalfremskrivigsformle S = S 0.97 = 86 0.97 0 Hvis vi bemærker at l(0.97)»- 0.030459 fås etop Excelformle passede! S e - 0.030459 = 86 der af Excel afrudes Trækker vi tilsvarede vækstligigere fra hiade fås vækstligige for forspriget D
D + 1 = V + 1- N + 1 = ( V - N ) + 0.03 ( V - N ) = D + 0.03 D = 1.03 D Me det viser jo etop at differese også følger e gage-vækst, idet vi i hver rude gager med kostate 1.03. I hver rude vokser forspriget altså med 3%, hvilket etop viser at forspriget følger e ekspoetiel vækst givet ved kapitalfremskrivigsformle D = D 1.03 = 6 1.03 0 Hvis vi bemærker at l(1.03)» 0.029559 fås etop Excelformle passede! S 0.029559 = 6 e der ige af Excel afrudes De ekspoetielle vækst for totale og forspriget er altså idbygget i Lachesters model. Udyttes det at vi ka fide atal skibe for de to kombattater ved at lægge taotale og forspriget samme, heholdsvis trække dem fra hiade har vi u også fudet formlere for hvorda atal skibe ædres med tide: ( ( ) ( )) ( ) ( 86 0.97 6 1.03 ) (( ) ( )) ( ) ( 86 0.97 6 1.03 ) N = N + V - V - N = S - D = - 1 1 1 2 2 2 V = N + V + V - N = S + D = + 1 1 1 2 2 2 Me ok så iteressat er det at bemærke, at summe aftager med 3% i hver rude, mes differese vokser med 3%. Det betyder æste at deres produkt er kostat, fordi de 3% summe formidskes med i hver rude æste ophæves af de 3% som differese forøges med i hver rude. Når det ku er æste er det på grud af retes-rete: Starter vi med 100% vil det formidskes til 97%, som derefter vil forøges med 3%, me ikke af 100%! I stedet forøges det med 3% af 97%. Alt i alt vokser produktet derfor med faktore 2 0.97 1.03 = (1-0.03) (1 + 0.03) = 1-0.03 = 1-0.0009 = 0.9991 Produktet aftager altså gaske svagt med 0.9 promille i hver rude. Tilføjer vi e søjle med produktet ser vi da også at det ku falder fra 516 til 496 i løbet af de 44 ruder, som det samlede søslag varer, dvs. det samlede fald er 4%, som vi vil tillade os at igorere. Lachester bemærkede altså at ( V+ N) ( V- N) = V -N med god tilærmelse er kostat. Dette er Lachesters berømte kvadratlov: Lachesters kvadratlov: De to flåders kampstyrke er proportioal med kvadratet på atal skibe.
Forskelle på kampstyrke mellem de to flåder er med god tilærmelse kostat uder slaget, dvs. V - N» V -N 0 0 Da Villeeuve dispoerer over 46 skibe og Nelso over 40 skibe er forskelle i kampstyrke givet ved 46-40 = 86 6 = 516 Når Nelsos flåde er edkæmpet har Villeeuve derfor stadigvæk et atal skibe tilbage givet ved 516» 22.7 I de mere præcise geemregig i regearket fadt vi 22.3 skibe tilovers, så kvadratlove er god ok i praksis. Villeeuve beholder altså ca. halvdele af sie skibe i de virtuelle model. Bemærkig: Kvadratlove ka også illustreres geometrisk, hvis vi afbilder søslaget i et såkaldt faseplot, hvor vi afsætter Nelsos skibe ud af førsteakse og Villeeuves skibe op ad adeakse. Vi markerer altså de to søjler og opretter et puktdiagram: Slaget starter i øverste højre hjøre i pukt (40,46) og bevæger sig ed mod y-akse. Det er ku de ee halvdel af hyperble, V - N = 516, der er meigsfyldt. Når vi rammer y-akse, dvs. Nelso ikke flere skibe har tilbage, er slaget slut. Dermed slutter vores diskussio af de diskrete model for det virtuelle slag mellem Nelso og Villeeuve, hvor Nelso altså tabte, fordi vi ikke har fulgt has brillate strategi! Ide vi kommer tilbage til de er der et kort idspark om de kotiuerte model, som roligt ka spriges over i første geemlæsig!
Fra de diskrete model til de kotiuerte model: Bevægelsesligigere i Lachesters model ka omskrives til differesligiger DN N+ 1 = N - 0.03 V Û N+ 1- N =- 0.03 V Û D N=- 0.03 V Û =- 0.03 V D med D = 1 DV V+ 1 = V - 0.03 N Û V+ 1- V =- 0.03 N Û D N=- 0.03 N Û =- 0.03 N D med D = 1 I de kotiueret model erstattes differesligige med e differetialligig. VI opfatter da atallet af skibe som e fuktio af tide t, der u varierer kotiuert : dn =- 0.03 V dt dv =- 0.03 N dt De løses på samme måde som i de diskrete model. Lægges ligigere samme fås differetialligige for summe S: ds dn dv = + =- 0.03 ( N+ V) =- 0.03 S dt dt dt Me det er etop differetialligige for e aftagede ekspoetiel vækst med vækstrate -0.03. De har som bekedt løsige S= S0 e = 86 e - 0.03 t - 0.03 t Trækker vi tilsvarede de to differetialligiger fra hiade fås differetialligige for differese D: dd dv dn = - = 0.03 ( V- N) = 0.03 D dt dt dt Me det er etop differetialligige for e voksede ekspoetiel vækst med vækstrate 0.03. De har som bekedt løsige D= D e = e 0.03 t 0.03 t 0 6 Da summe og differese har modsatte vækstrater, ophæver de hiade år vi gager dem samme! S D= S e D e = S D - 0.03 t 0.03 t 0 0 0 0 I de kotiueret model er Lachesters kvadratlov altså eksakt: V - N = V0 - N0 = 516 Edelig ka vi føre løsigere for summe og differese tilbage til løsigere for de opridelige koblede differetialligiger:
- 0.03 t 0.03 t - 0.03 t 0.03 t ( ) ( ) N= ( S- D) = 86 e - 6 e, V = ( S+ D) = 86 e + 6 e Nelsos strategi: 1 1 1 1 Me i virkelighede vadt Nelso som bekedt slaget! Vi vil u forsøge at belyse has strategi i lyset af Lachesters kvadratlov. Nelso øskede ikke at idgå i et direkte stort søslag lije for lije med Villeeuves skibe. Det ka ha have mage grude til. Selv skriver ha: Thikig it almost impossible to brig a Fleet of forty Sail of the Lie ito a Lie of Battle i variable wids, thick weather, ad other circumstaces which must occur, without such a loss of time that the opportuity would probably be lost of brigig the Eemy to Battle i such a maer as to make the busiess decisive I stedet besluttede ha at dele si styrke i 2 gage 16 skibe samt 8 hurtigt sejlede skibe, der skulle sedes direkte mod fjedes flåde: I have therefore made up my mid to keep the Fleet i that positio of sailig (with the exceptio of the First ad Secod i Commad) that the Order of Sailig is to be the Order of Battle, placig the Fleet i two Lies of sixtee Ships each, with a Advaced Squadro of eight of the fastest sailig Two-decked Ships, which will always make, if wated, a Lie of twety-four Sail, o whichever Lie the Commader-i-Chief may direct. Skematisk ser Nelsos pla således ud:
De 8 hurtigt sejlede skibe skal splitte Villeeuves flåde i to dele her agivet som 23 skibe, der holdes he og 23 skibe, der idgår i et direkte søslag med Nelsos resterede 32 skibe. De 8 skibe sejler direkte mod fjedes flåde og ka derfor til at begyde med ikke skyde på fjedes skibe (kaoere på krigsskibee peger vikelret på skibet). Til gegæld fremstår de også med lille tværsitsareal og er derfor svære at ramme. Og år de geembryder fjedes rækker er det dem, der har fordele af at kue beskyde fjedes skibe mes disse ete må vede eller forsøge at sejle væk. Ifølge Lachesters kvadratlov vider Nelso u første rude og har efter dee rude 22 skibe tilbage eftersom 32-23» 22.2 Skulle de 8 skibe være gået tabt i kampe om at holde de 23 skibe ude af hovedslaget, så ville Villeeuve u ifølge kvadratlove også have 21 skibe tilbage 23-8» 21.6 Nelso har altså udliget Villeeuves talmæssige overlegehed. Vi ka edda også se matematisk på hvorda Nelso bør splitte de fraske flåde. Hvis Nelso splitter x skibe fra, så Villeeuve i stedet har to flåder med heholdsvis x skibe og 46 - x skibe er de samlede kampstyrke reduceret til 2 x x x x + (46 - ) = 2-92 + 2116 Teger vi grafe for dette adegradspolyomium ser vi at det har et miimum for x = 23 hvor kampstyrke er halveret til 1058. Ideelt set bør Nelso derfor splitte Villeeuves flåde i to lige store dele. Selv bruger ha 8 skibe til at splitte flåde med, dvs. has kampstyrke reduceres til
8 + 32 = 1088 Det ligger over Villeeuves kampstyrke og Nelso vider derfor alt adet lige det samlede søslag.
Bemærkig: I det foregåede er vi gået ud fra e symmetrisk model. Me modelle ka sagtes udvides til e asymmetrisk model af forme: x = x - k y + 1 1 y = y - k x + 1 2 Tricket består i at omdae dee til e symmetrisk model ved e simpel skalatrasformatio, idet vi gager de øverste ligig med k 2 og de ederste ligig med k 1 : k x = k x - k k y = k x - k k k y 2 + 1 2 1 2 2 1 2 1 k y = k y - k k x = k y - k k k x 1 + 1 1 1 2 1 1 Sætter vi k= k1 k2, X = k2 x og Y = k1 y fås altså de symmetriske model X = X - ky + 1 Y = Y - k X + 1 Me så ka vi jo overføre resultatere fra de symmetriske model og ser at kampstyrke for de to flåder dee gag er givet ved: X = k x 2 Y = k y 1 Kvadratlove siger da at forskelle mellem kampstyrkere med god tilærmelse er kostat: X - Y = k x - k y = k x - k y 2 1 2 0 1 0