Funktioner Ib Michelsen Ikast 2007
Forsidebilledet Tegning af Niels Bo Bojesen, Jyllands-Posten, 13-9 2006. Version 1.01 (18-11-07 23:41) D:\AppServ\www\c\bog2_s.odt
Indholdsfortegnelse Sammenhænge mellem variable...91 Eksempler på variable...93 Grafer i koordinatsystemet...97 Koordinatsystemet...98 Det almindelige retvinklede koordinatsystem...98 Regneforskrift...100 Om funktioner...102 Definition af funktionsbegreber...103 Funktioner: Grundbegreber...105 Eksempel: Udvikling i antal beskæftigede...106 Oversigt: Vigtige funktionstyper...109 Lineære funktioner...109 Eksponentielle funktioner...110 Potensfunktioner...113 Råd om tegning af grafer...115 Sætning om cosinus og sinus...117 Funktioner, ligninger mv...118 Regneark...121 Lav et regneark...123 Åbn (kør) Excel...123 Diagram...127 Grafer i regneark...129 Millimeterpapir...129 Enkeltlogaritmisk papir...130 Dobbeltlogaritmisk papir...131 Lineære funktioner...135 Introduktion...137 Definitioner...140 Flaske-Peter...141 Taxaturen igen...141 Ligning...142 Sætning: Forskriften for en lineær funktion...142 Den omvendte sætning...145 Sætning: Beregning af a...146 Hældningskoefficienten...147 Eksempel: Beregning af a og b...147 Beregning af a og b...148 Eksempel: Fra observation til model...148 Regel om tendenslinjer...149 Den lineære funktion (Oversigt)...153 Eksponentielle funktioner...155 Eksempler på eksponentielle funktioner...157
Øvelse Regneark...160 Definition: En eksponentiel funktion...161 Eksponentielle funktioners parametre...162 Den eksponentielle funktion (Oversigt)...164 Rentesregning...165 Navngivning ved rentesregning...167 Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen...169 Eksempel: Beregning af Kn...170 Formler og ligninger...171 Opsparingsannuitet...172 Gældsannuitet...173 Potensfunktioner...175 Eksempler på potensfunktioner...177 Det matematiske pendul...180 Definition: En potensfunktion...182 Sætning: En potensfunktions parametre...183 Potensfunktionen (Oversigt)...185 Oversigt over alle 3 funktionstyper...185 Litteratur...187 Stikordsregister...189
Sammenhænge mellem variable
Eksempler på variable Her er en tabel med to variable: den ene variabel er "År" og den anden "Kvinder i Ikast". Variable kan (tit) antage forskellige værdier. Her antager variablen År værdierne 1996, 1997,... 2006. I tabeller står variables navne ofte ovenover værdien (eller i en særlig kolonne: en forspalte.) Der er ikke nogen bestemt regel for, om værdierne skal vi ses i kolonner som her eller i rækker - eller på en tredje måde. Det er blot et praktik spørgsmål. Der er heller ikke nogen, der siger, at variables værdier skal være tal: det kunne også være farver eller navne, men det vil ofte være tal. Derimod er det ikke tilfældigt, at kolonnen med år kom mer først (vi læser fra venstre): vi kan bruge året som ud gangspunkt og fx spørge: Hvor mange kvinder boede der i Ikast i år 2000? og du kender selvfølgelig til tabellæsning og dermed svaret: Der boede 11.248 kvinder i år 2000. Folketal pr. 1. januar efter område, tid og køn År Kvinder i Ikast 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 11205 11269 11255 11224 11248 11282 11359 11414 11459 11503 11578 Kilde: Danmarks Statistik Derimod giver det omvendte spørgsmål ikke altid me ning. Hvis du spørger: hvornår boede der 11.248 kvinder i Ikast, kan du nok finde et svar, men ikke et entydigt svar. Se fx på tabellens øverste rækker: Fra 1996 til 1997 vokser antallet af kvinder fra 11.205 til 11.269 og må have passeret 11.248 på et eller andet tidspunkt. Den variabel, hvor der kun er ét svar hvad angår den an den, placeres i tabeller som denne længst til venstre; er ta bellen lagt ned, placeres den øverst. Den slags variable kaldes uafhængige variable. Den anden variabel kaldes en afhængig variabel. Forestil dig, at en slagter har hundredevis af færdigpakkede portioner med hakket kød. Hvilke variable kunne du foreslå til at beskrive kødet med? Vælg en pakke med en værdi for hver variabel (som et eksempel). Er alle værdierne tal? Du har en stor samling af bageopskrifter i bøger og diverse udklip. Hvilke variable kan de beskrives med? Åbn diasshowet http://mimimi.dk/c/variabellistetv2.pps Lav en liste over variable, der kan knyttes til de billederne. 93
Et nyt eksempel kunne være variable knyttet til damesko: der kunne vi bruge variable som pris, farve, materiale størrelse, vægt, hælhøjde og meget andet. Størrelsen på skoene kan så være opgivet som danske skonumre (36, 37, 38 og lignende) eller som engelske skonumre; dvs. størrelsen kan opgives med 2 forskellige variable. Hvis den opgives som et engelsk nummer, ville det være smart, hvis forretningen havde en tabel hængende som nedenstå ende. Dansk str. 36 Engelsk 4 str. 37 38 39 40 4½ 5½ 6 7 Som skokøber læser du ovenstående tabel: Prøv at beskrive med et par almindelige danske sætninger, hvilken information du kan bruge ved skokøbet - i logisk rækkefølge. Hvor godt er sammenhængen beskrevet i tabellen? Eksempel: Henne om hjørnet Antal øl Pris i alt 1 18 2 36 3 54 4 72 5 90 6 108 Overalt i aviser, i fjernsynet, på opslag, i brochurer og mange andre steder ses sådanne oplysninger, hvor to tal knyttes sammen: I året 2006 var antallet af kvinder i Ikast 11.578. Eller fra et af de andre eksempler: Hvis du vil købe 4 øl på værtshuset Henne om hjørnet, koster det 72 kro ner. Antallet du vælger at købe kaldes som tidligere nævnt den uafhængige variabel ; givet antallet kan prisen i alt bestemmes ved opslag i tabellen: prisen kaldes den af hængige variabel den afhænger af antallet. Sådan er ta bellen tænkt: den uafhængige variabel skrives ofte i 1. række eller 1. kolonne. I dette eksempel kunne man dog også sige: Giv mig øl for 72. kr.! Så sommetider kan flere variable vælges som "uafhængig variabel". 94
Arbejderne i Vingården Du kender sikkert lignelsen, hvor alle arbejderne fik den samme dagløn - lige meget om de havde arbejdet 1 time eller 12 timer. Det kan vises i en tabel som denne: Antal arbejdstimer Løn i denar 1 1 2 1 3 1 4 1... 1 Den øverste række i tabellen viser den uafhængige variable; for ethvert antal arbejdstimer kan vi finde den tilsvarende løn. Og det er ligeledes klart, at rækkerne i dette tilfælde ikke kan byttes om - og dermed kan lønnen ikke vælges som uafhængig variabel. Begrundelsen er, at selvom du ved, hvad lønnen er, kan du ikke fortælle, hvor mange timer der er arbejdet for den. Oles vækst... Et yderligere eksempel kunne være en tabel som nedenstående, hvor du følger Oles vækst, for at se om han vokser "normalt". Oles alder (måneder) Oles vægt (g) Oles alder (måneder) Oles vægt (g) 0 1 2 3 3650 4300 5300 6350 4 5 7250 7900 6 7 8 9 10 8400 8900 9300 9850 10300 95
Tabellæsning Hvor mange kvinder var der i Ikast kommune (primo) år 2000? Hvad var forbrugerprisindekset i januar 2006? Hvor mange g vejede Ole, da han var 8 måneder? Hvad koster 5 øl hos Henne om hjørnet? Variabeltyper Kan man i eksemplet med skostørrelser bytte om på den uafhængige og den afhængige variabel? Hvad kunne man spørge om i stedet for Hvad koster 6 øl?, hvis der byttes om på variablene? Geometriens standardtrekanter Hvilke variable kender du i forbindelse med standardtrekanter? Kan du finde eksempler på en uafhængig og en afhængig variabel? Kan du for nogle af eksemplerne bytte om på den uafhængige og den afhængige variabel? 96
Grafer i koordinatsystemet Du har formodentligt set grafer i din avis: grafer, der fortæller om priser på parcelhuse eller aktiekurser, om dollarkurser eller renter på obligationer. Det kunne også være beretningen om, hvorledes omsætningen er vokset i et firma. Koordinatsystemet er uhyre populært, fordi det er så velegnet til at fortælle om talsammenhænge. Og koordinatsystemer er både lette at læse og hurtige at læse. 1 Carl Larsen A/S Omsætning i millioner kroner 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 år Øvelse: Aflæsning på graf Hvad var omsætningen i firmaet Carl Larsen A/S i 1990? og i 1998? Og i 2004? Kunne grafens oplysninger vises i en tabel? Hvis ja: lav den. Hvilke fordele er der ved at vise data i en graf? Og hvilke fordele har tabellen? 1 Se også Niels Bo Bojesens tegning på kapitlets forside. Prøv at beskrive, hvad den fortæller. 97
Koordinatsystemet Det forudsættes, at du kender det almindelige retvinklede koordinatsystem og navne som x-akse, y-akse, 1. akse, 2. akse og navne som enhed på aksen, koordinater, et punkt i koordinatsystemet og punktets koordinater, 1., 2., 3. og 4. kvadrant, begyndelsespunkt (origo) Tegn et retvinklet koordinatsystem. Skriv (flest mulige af) ovennævnte betegnelser på figuren. Tegn punkterne A(-3 ; -1), B(-3; 5), C(-1 ; 3), D(1 ; 5) og E(1 ; -1). Forbind punkterne fra A til B til... til E med rette linjestykker. Hvad har du skrevet? Det almindelige retvinklede koordinatsystem Navnet antyder, at der findes andre koordinatsystemer: Du skal senere se både et enkeltlogaritmisk koordinatsystem og et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Hver type er velegnet til at vise en bestemt sammenhæng mellem x- og y-værdier for en række talpar. Hvert koordinatsystem har sit særlige papir, hvorpå det kan tegnes: til det almindelige retvinklede koordinatsystem anvendes millimeterpapiret (eller alm. ternet papir). Karakteristisk er: længdeenheden på akserne er overalt den samme (på den samme akse): længden af linjestykket på aksen fra 0 til 1 er den samme som længden af linjestykket fra 100 til 101. Aksen omtales som en almindelig tallinje. (Se figuren næste side. Trykt fra: http://mimimi.dk/c/papirer/) 98
99
Tegning af grafer Tegn et koordinatsystem på mm-papiret overfor. Lad det fylde (næsten) hele siden. x-aksen går fra 0 til 10 (Oles alder (måneder)), y-aksen fra 0 til 12000 (Oles vægt (g)). Indret akserne. Tegn støttepunkter for grafen. Benyt data fra tabellen med Oles vægt. Forbind støttepunkterne med rette linjestykker. Hvad forudsætter det strengt taget? Hvor meget voksede Ole pr. dag i den 1. måned? Hvor meget voksede Ole pr. dag i den 9. måned? Hvorledes ser man forskellen på grafen? Hvad vejede Ole, da han var 1½ måned gammel? Beskriv hvorledes du finder svaret og hvorvidt du kan være sikker på, at det er rigtigt. Bemærk, at i princippet fortæller tabellen og grafen præcis den samme historie om Ole. Det er blot to forskellige måder at præsentere Oles vækst på. Regneforskrift Pris uden moms Moms (10 %) 1,00 0,10 2,00 0,20 3,00 0,30 4,00 0,40 5,00 0,50 6,00 0,60 7,00 0,70 8,00 0,80 9,00 0,90 10,00 1,00 Pris uden moms Pris med moms 1,00 1,10 2,00 2,20 3,00 3,30 4,00 4,40 5,00 5,50 6,00 6,60 7,00 7,70 8,00 8,80 9,00 9,90 10,00 11,00 Da momsen blev introduceret i 1967 regnede toldvæsnet 100
ikke med, at alle kunne beregne moms og salgspris inklusive moms uden hjælp. Derfor blev der fremstillet tabeller som den ovenstående. Dengang var procenten 10 % - i dag er den 25 %. I dag vil man nok beskrive metoden til at finde momsen med (med dagens procentsats) således: Momsen af et salg = salgsprisen uden moms * 25 /100 eller lidt nemmere at beregne: Momsen af et salg = salgsprisen uden moms * 0,25 Med en regneforskrift vil vi beskrive sammenhængen således: Momsfunktionen x = salgsprisen for en vare uden moms (i kr.) f(x) = moms for en vare der koster x kr. (i kr.) f(x) = 0,25*x Bemærk: f(x) er en standardskrivemåde for at vise, at vi be regner noget ved hjælp af værdien x som er en slags joker, der står for en hvilken som helst værdi. Vi kunne lige så godt have skrevet moms(x) eller moms(salgspris_uden_moms). I stedet for f(x) be nytter nogle andre matematikere betegnelsen y. At momsfunktionen her beskriver noget ude fra den virkelige verden: nemlig hvad staten opkræver i forbindelse med et momspligtigt salg. Sådanne beskrivelser kaldes matematiske modeller og derfor indgår der også en præcis beskrivelse af, hvad de to variable betyder (og enheden, de måles med.) Selv om de to første forklaringer ikke medtages, er der stadig tale om en funktion, men ikke længere en model. Det er muligt, at beregne funktionsværdier (som f(40) = 10), lave tabeller med sådanne talpar, tegne funktionens graf.) 2 2 Og en af de store fordele ved matematik er, at den både kan studeres løsrevet fra den omgivende verden og anvendes i modeller. Og endvidere, at den samme matematik kan bruges til at beskrive vidt forskellige modeller. 101
Moms og funktionsforskrifter Tegn et koordinatsystem på mm-papir. Lad det fylde (næsten) hele siden. Lav en matematisk beskrivelse med en regneforskrift, der ved hjælp af prisen uden moms beregner prisen med moms. Lav også en matematisk beskrivelse med en regneforskrift, der ved hjælp af prisen med moms beregner prisen uden moms. at det er rigtigt. Kontroller modellerne på et eksempel, hvor du har en pris på 200 kr. uden moms, beregner prisen med moms og bruger resultatet i den anden funktion for at beregne prisen uden moms. Om funktioner Du har set 3 forskellige metoder til at én værdi af en variabel (fx "3" - altså 3 øl) benyttes til at finde den tilsvarende værdi af en anden variabel ("54" - prisen for de 3 øl.) Metoderne benytter hhv. tabel (som øleksemplet) graf (som i eksemplet om Carl Larsen A/S) regneforskrift (som i momseksemplet) I alle tilfælde siger vi, at vi har defineret en funktion, fordi vi har beskrevet en metode til at finde en værdi af den afhængige varible ved hjælp af en værdi af den uafhængige variabel. 102
Definition af funktionsbegreber Funktion En funktion f er en sammenhæng mellem variable, hvor der: for hver værdi af den ene (uafhængige) variable findes præcist én tilsvarende værdi af den anden (afhængige) variable kaldet funktionsværdien Kommentar Det er vist symbolsk på tegningen: fra værdien x (der står for en vilkårlig værdi for den uafhængige variabel) er der tegnet en pil over til den tilsvarende værdi for den afhængige variabel: f(x). Definitionsmængde og Værdimængde DM (definitionsmængden) er mængden af alle værdier, den uafhængige variabel kan antage og hvortil der svarer en funktionsværdi VM (værdimængden) er mængden af alle mulige funktionsværdier Kommentar f er sammenhængen mellem variable. Denne sammen hæng kan være beskrevet på forskellige måder: med ord i almindeligt sprog (verbalt), med pile som ovenover, men oftere med en tabel, en graf eller en regneforskrift. f(x) kaldes funktionsværdien for x, men x er en ikke speci ficeret værdi fra DM x er en slags joker, der skal erstattes 103
af en værdi fra DM. Når x erstattes med en bestemt værdi som for eksempel 8, kan man finde f(8) ved at benytte funktionsbeskrivelsen: gå det rigtige sted ind i den rigtige tabel, aflæse den til 8 svarende værdi på grafen, erstatte x med 8 i regneforskriften osv. afhængig af den måde, funk tionen er beskrevet på. DM og VM er symbolsk tegnet som dele af en større mængde: I eksemplet med spædbarnet Ole kan DM = [0 ; 15] dvs. at vægten følges i perioden fra fødslen (Ole er 0 måneder) til og med at han er 15 måneder, og tilsvarende er VM alle mulige vægte han har haft i den periode: VM=[3585 ; 10895].3 Det vil sige, at han har vejet mellem 3,585 kg og 10,895 kg. Punkterne i den ene mængdebolle vil i eksemplet være Oles aldre, punkterne i den anden mængdebolle er Oles vægte (i spædbarnsperioden.) Pilen fra x til f(x) med betegnelsen f er symbol på funktionen: hvorledes skal vi finde funktionsværdierne. Det vil kun sjældent i praksis være med pile; i eksemplet med Ole aflæses funktionsværdien i tabellen under xværdien. Elementerne i DM er (symbolske) eksempler på den uafhængige variable; elementerne i VM er eksempler på den afhængige variable. I værtshuseksemplet Henne om hjørnet kan vi vælge at købe et eller andet antal øl: 1, 2, 3, 4, 5, 6 eller måske endnu flere. Disse tal udgør definitionsmængden. Alle mulige priser i alt: 18, 36, 54, 72,... udgør værdimængden. Vi kunne beskrive et eksempel på sammenhængen således: Prisen for 4 øl er kroner 72. Men i matematik bruges som sagt sproget: pris(4) = 72 eller mere generelt: f(4) = 72 Hvis vi ser på funktioner helt generelt uden at tænke på et bestemt eksempel kaldes den uafhængige variabel ofte x og den afhængige variabel f(x) eller y. Den første 3 Bemærk, at tabellen med Oles vægte kun er nogle få af de uendeligt mange, han har haft i perioden. Bemærk også, at spædbørn også kan tabe sig! 104
skrivemåde minder om, at den afhængige variabel findes ved hjælp af en værdi for x; den sidste, at vises talparret som et punkt i et koordinatsystem, benyttes den afhængige variabel som y-værdi. f er navnet på funktionen. Ofte bruges også g og h eller moms eller skat, såvel som sin, cos og tan. Funktionen er kendt, når vi på en eller anden måde kan forbinde ethvert element i DM med et bestemt element i VM. Funktionen er sammenhængen - og tabeller, grafer og regneforskrifter er forskellige måder at beskrive denne sammenhæng. Det betyder i øleksemplet: Hvilken sammenhæng er der mellem antal øl og det, du skal betale for dem? Den kan beskrives ved at lave en tabel eller måske bare et prisskilt: 1 øl koster 18 kr. Så ved kunderne, at forskriften for prisfunktionen er: pris_ialt(x) = 18*x Funktioner: Grundbegreber Et diasshow, se http://pc-p4.mimimi.dk/c/funktionsbegreber_v2.pps Nykøbing Teaterforening Lav en matematisk model med regneforskrift, der kan beregne prisen på et abonnement, idet du bruger oplysningerne herunder: Årets kontingent er 150,00 kr. Derudover betaler medlemmerne 175,00 kr. for hver forudbestilt billet i gruppe B; dog betales mindst for 3 billetter. Antal billetter 3 4 Samlet betaling 675 850 5 6 7 1025 1200 1375 Teaterabonnement 105
Eksempel: Udvikling i antal beskæftigede Vi vil gerne vise, hvordan det er gået med tekstilbranchen i Herning. Antal beskæftigede 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Udvikling i antal beskæftigede i tekstilindustrien i Herning fra 1993 til 2003. Udviklingen kunne beskrives med ord. Måske ville det blive lidt uoverskueligt. Måske er tegningen nemmere og hurtigere at opfatte? Hvert punkt svarer til et talpar med x-værdi og y-værdi. x-værdien angiver et årstal og yværdien i samme punkt angiver antallet af beskæftigede dette år. Vi kan altså for ethvert årstal (mellem 1993 og 2003) finde et punkt og dermed den tilsvarende y-værdi: antallet af beskæftigede. Tekstilindustrien i Herning Viser tegningen i det foregående et eksempel på en funktion? Begrund svaret. Hvad er f(1993)? f(1996)? f(1999)? f(2004)? Vis med pile et eksempel på aflæsningen! Hvad er DM(f)? og VM(f)? Marker intervaller ne på tegningen og skriv navnene på dem. Kan du finde en regneforskrift for funktionen? Kan du finde f(1992)? 106
Ugens menu For 200 år siden bestod morgenmaden i flåden af brød og brændevin. Brændevinsrationen var for eksempel på 2 pægl om ugen. Når 1 liter er 4,14 pægl, hvor mange liter har hver mand så fået om ugen? Udfyld tabellen herunder Beskriv sammenhængen mellem pægl og liter som en funktion med en regneforskrift. Tegn nederst på siden grafen for funktionen Bemærk: grafen går gennem (0,0); det er et kendetegn for ligefrem proportionalitet Antal pægl 1 2 3 4 1/16 Antal liter Brændevin i flåden. Det ses let, at dobbelt så mange pægl svarer til dobbelt så mange liter. 3 gange så mange pægl svarer til 3 gange så mange liter. Og så videre. Når dette forhold gælder, siges de variable at være ligefrem proportionale. 107
Beskriv funktioner I de følgende eksempler skal du for hvert eksempel finde nogle variable og en funktion, der nogenlunde beskriver sammenhængen mellem dem. Benyt eventuelt flere forskellige metoder til at beskrive funktionen. Det betyder, at du skal gætte evt. meget upræcist på de tal, du skal bruge, og du behøver ikke at tage hensyn til alt: mindre væsentlige detaljer og undtagelser ses der bort fra. Prøv at medtage, hvilken måleenhed du bruger til at måle variable med (kr., meter, kg osv.) Model for en tur med taxa med variable: afstand og pris Vægten af træstolper med tværsnit på 10 cm x 10 cm Vægten af træklodser med kendte sider Vurder forbrug af maling udendørs for 1plans træhuse af forskellig størrelse Model for varmeregning hvor de variable er udgift og forbrug (målt i liter olie eller kwh (fjernvarme) eller tons tørt træ) Model for varmeregning hvor udgiften sammenholdes med gennemsnitlig indetemperatur Renskrift af et af eksemplerne 108
Oversigt: Vigtige funktionstyper V har allerede beskæftiget os noget med de trigonometriske funktioner: sin og sin-1, cos og cos-1samt tan og tan-1. I årets løb skal vi også beskæftige os meget med 3 andre funktionstyper: Lineære funktioner Lineære funktioner har regneforskriften: f(x) = a*x + b, hvor a og b kan være alle mulige reelle tal. For hver kombination af a og b fås en ny lineær funktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = ½ og b = 1: x f(x) -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5-1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 En lineær funktion (tabel) f(x) = ½*x + 1 Den type har fået navnet lineær funktion, fordi grafen tegnet på mm-papir i et sædvanligt retvinklet koordinatsystem er en ret linje. f(x) = 0,5 x + 1 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0-6 -4-2 0 2 4 6-1,0-2,0 En lineær funktion (graf) 109
Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner har regneforskriften: f(x) = b*ax, hvor a og b kan være alle mulige positive reelle tal. For hver kombination af a og b fås en ny eksponentiel funktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = 2 og b = 3: f(x) = 3*2X x f(x) -2-1 0 1 2 3 4 5 0,09 0,19 0,38 0,75-5 -4-3 1,5 3 6 12 24 48 96 En eksponentiel funktion (tabel) Denne type funktioner tegnes ofte på et specielt papir kaldet enkeltlogaritmisk papir, fordi grafen for en eksponentiel funktion tegnet på dette papir er en ret linje og omvendt: er det en ret linje på dette papir, er funktionen eksponentiel. Det omtales nærmere i et senere kapitel. Bemærk: tallene på y-aksen følger ikke den almindelige skala. Givet en række talpar kan man altså let afgøre, om de kunne være samhørende talpar fra en eksponentiel funktion. x f(x) = 3*2 100,0 10,0 1,0-6 -4-2 0 0,1 0,0 En eksponentiel funktion (graf) 110 2 4 6
Koordinatsystem på enkeltlogaritmisk papir 4 Benyt det enkeltlogaritmiske papir på næste side. Skriv værdierne fra 0 til 16 på x-aksen, idet hele bredden benyttes. På y-aksen erstattes det midterste 1 af 10 og det øverste 1 af 100. Skriv y-værdier ud for alle delestreger, hvor der i forvejen står et tal. Det er en god vane også selvom du er 100 % sikker på, hvad hver enkelt delestreg står for. Vis - med meget præcise pile - y-værdierne: 11, 14, 17 38, 43 52, 53, 54 75, 84, 98 Tegn en ret linje mellem punkterne (2 ; 0) og (16 ; 100) Aflæs koordinater for alle punkter på linjen med x-værdierne 1,2,3... 16. Skriv resultaterne i en tabel, hvor første række er 0, 1, 2... 16 og anden række er de hertil svarende aflæste yværdier. Aflæs y-værdier som helt tal. Beregn for de samme x-værdier funktionsværdier for f(x) = 2 1,2770x. Skriv dem i en 3. række i samme tabel afrundet til helt tal. Sammenlign de beregnede y-værdier med de aflæste y-værdier. 4 En dekade er et interval, hvor det største tal er 10 gange større end det mindste. På det viste enkeltlogaritmiske papir kan hele intervallet på y-aksen opdeles i 3 dekader (fx fra 1 til 10, fra 10 til 100 og fra 100 til 1000.) Derforfor kaldes dette papir også "enkeltlogaritmisk med 3 dekader". På http://pc-p4.mimimi.dk kan du også finde tilsvarende papirer med 1 til 6 dekader. Også intervaller som et fra 7 til 70 er en dekade! Bemærk, at det har den samme længde som fra 1 til 10. Bemærk også, at når du ændrer tallene på y-aksen må det kun ske ved at gange eller dele med 10 - evt. flere gange. Fx 4 kan ændres til 40 og 8 kan ændres til 0,008. 111
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 112
Potensfunktioner Potensfunktioner har regneforskriften: f(x) = b*xa, DM(f) = R+ R+ er de positive reelle tal; a kan være et vilkårligt reelt tal; b> 0.. For hver kombination af a og b fås en ny potensfunktion. a og b kaldes funktionens parametre. Eksempelvis kan a = 2 og b = 3: f(x) = 3*x2 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 12 27 48 75 108 147 192 243 300 363 En potensfunktion (tabel) Denne type funktioner tegnes ofte på et specielt papir kaldet dobbeltlogaritmisk papir, fordi grafen for en potensfunktionfunktion tegnet på dette papir altid vil være en ret linje og omvendt: er det en ret linje på dette papir, er funktionen en potensfunktion. Det omtales nærmere i et senere kapitel. Bemærk: hverken tallene på xaksen eller y-aksen følger ikke den almindelige skala. Givet en række talpar kan man altså let afgøre, om de kunne være samhørende talpar fra en potensfunktion. Koordinatsystem på dobbeltlogaritmisk papir. Benyt det dobbeltlogaritmiske papir på næste side. Skriv værdierne fra 0,1 til 10 på x-aksen. Lav en tabel med støttepunkter for funktionen f(x) = 5*x2 På y-aksen indrettes aksen, så mest muligt af grafen kan være på papiret. Erstat de fortrykte tal med dem, du vælger. Indtegn støttepunkter for funktionens graf. Kontroller, at der kan tegnes en ret linje gennem alle støttepunkterne. 113
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 114 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
Råd om tegning af grafer Grafen skal kunne være på dit papir! Men den skal heller ikke gemme sig nede i et hjørne. Det skal du tage hensyn til, når du indretter skalaer på dine akser. Derfor starter du med at få overblik over, hvad der er den mindste og største x-værdi, henholdsvis mindste og største y-værdi. Almindelige tallinjer kan indrettes ret frit: enheden kan være større eller mindre afhængig af vor opgave. Hvis du har brug for tallene fra 10 til 20, behøver du ikke medtage tallene fra 0 til 10. Det eneste vigtige er: at målestokken er den samme overalt på samme akse, at enheden er valgt, så læsning af tal er nogenlunde nemt samtidigt med, at tegningen fylder så meget som muligt. På enkelt- og dobbeltlogaritmisk papir er der fortrykte tal på akserne. De bør konsekvent erstattes med dine egne klare og tydelige og store tal. På en logaritmisk skala, kan tallene ikke stå hvor som helst: der, hvor der er fortrykt 1 (10) skal der stå en hel potens af 10. Det vil sige tal som 0,01; 0,1; 1; 10; 100; 1000; 10000 osv. Hvis din mindste værdi på skalaen er 17, vælger du den potens af 10, som ligger nærmest under 17. Her vil potensen være 101 = 10. Dette tal skriver du længst til venstre på x-aksen eller længst nede på y-aksen i stedet for det 1-tal, der stod der i forvejen. Nu skal resten af tallene rettes: det næste 1-tal (til højre eller op) rettes, så det er den næste 10-potens: her 100, den næste bliver 1000, så 10.000 osv. Logaritmiske skalaer kan være forskelligt indrettede med forskelligt antal dekader (dvs. interval hvor største endepunkt er 10 gange større end mindste endepunkt.) Imellem 10 og 100 betyder 2 ikke 2, men 20. Det rettes. Ligeledes rettes alle andre tal på aksen. Bemærk i øvrigt, at der ikke er lige mange delestreger mellem tallene på en logaritmisk skala: jo større tallene bliver, jo større spring bliver der mellem delestreger. 115
Lommeregnerøvelse Kontroller beregningerne i tabellerne for de tre funktionstyper. Grafer og det rigtige papir Hjælp: Før du tegner: se på forskriften. Hvilken type ligner det? Prøv at indtegne den på det tilsvarende papir. Hvis linjen ikke er ret, kan der være tre forklaringer: Du har regnet forkert Du har afsat støttepunktet forkert Du har valgt en forkert type papir Følgende funktioner tegnes ind på et papir, så grafen bliver en ret linje. For hver funktion laves 5 støttepunkter i et sildeben, hvor x-værdier vælges jævnt spredt ud over aksen fra mindst til størst. Alle x-akser skal i hvert fald indeholde intervallet fra 1 til 10. 116 f(x) = 3x-10 p(x) = -2x g(x) = 10/x r(x) = 10 h(x) = 1,5x 10 s(x) = 10*0,8 x k(x) = 10*1,2x t(x) = 10*3x m(x) = 10*x 2 *1,5*x u(x) = -1,5x +10 n(x) = 3x 2 v(x) = 22x7/(4x)
Grafer for sin og cos Tegn et koordinatsystem på millimeterpapir; x-aksen har en skala fra 0 til 90 (der fylder 18 cm), y-aksen har en skala fra 0 til 1 (der fylder 10 cm.) Indtegn støttepunkter for sinusfunktionen: (0 ; sin(0)), (10 ; sin(10)),, (90 ; sin(90)). Forbind dem med en udglattet graf. Tilsvarende tegnes grafen for cosinusfunktionen i samme koordinatsystem. Kan du se et mønster? Kan du finde en forklaring på mønstret? Skriv så sætningen i rammen: Sætning om cosinus og sinus 117
Funktioner, ligninger mv. Vi benytter det almindelige retvinklede koordinatsystem til at tegne mange slags linjer og kurver, og det er ikke altid muligt umiddelbart at se, om der er tale om en graf, eller hvad der er tale om. Her er en oversigt, der skal gøre det lidt nemmere: Funktion og graf En graf er det grafiske billede af funktionen Grafen består af alle punkter i koordinatsystemet af typen (x ; f(x)), hvor x er en værdi i DM ( = definitionsmængden) og f(x) er den tilsvarende y-værdi i VM ( = værdimængden) For én bestemt x-værdi findes der kun én y-værdi, som her skrives f(x); dvs. en graf har aldrig to punkter lodret over hinanden En graf er ikke nødvendigvis sammenhængende ( = kontinuert) Linjers, cirklers med fleres ligninger En ligning er som bekendt et åbent udsagn med et lighedstegn: y = 3x - 4 x=3 y2 = x x2 + y2 = 32 Der indgår oftest både x og y i ligningerne, men ikke nødvendigvis For hvert punkt i planen undersøger man om ligningen bliver sand, når punktets koordinater indsættes i ligningen: hvis sand, markeres punktet. Mængden af alle markerede punkter udgør sommetider en genkendelig figur: er figuren en ret linje, har vi benyttet ligningen for den rette linje, er figuren en cirkel, taler vi om cirklens ligning. Omvendt kan man også starte med at tegne en figur og derefter forsøge at finde en ligning, der er sand, hvis man indsætter x- og y-værdier fra punkter på figuren. Den fundne ligning er figurens ligning. Nogle figurer kunne evt. opfattes som grafer men ikke alle. Tendenslinjer Når vi indsamler data ( = talpar) fra den fysiske verden, vil vi ofte opleve, at sammenhængen kan beskrives med en enkel funktionssammenhæng. Men: 118 fejl, usikkerhed, unøjagtighed og tilfældigheder kan medføre, at der til samme x-værdi svarer forskellige y-værdier og / eller de nøjagtige y-værdier afviger lidt fra den enkle fremstilling.
Hvis sammenhængen trods alt er tydelig, vil vi sige, at dataene er korrelerede. Sådanne data kan beskrives med tendenslinjer, som er grafer for den funktion, sammenhængen tilnærmet kan beskrives med. Parameterfremstilling af kurver Hvis vi - som et typisk eksempel vil beskrive en rejserute på et kort, kan vi arbejde med en model som: t = tid (målt i sekunder eller år eller? fra et eller andet begyndelsestidspunkt som for eksempel rejsens starttidspunkt.) x(t) = en værdi for, hvor langt man er kommet mod øst (eller vest) til tiden t (for eksempel målt i m eller km) og tilsvarende y(t) = en værdi for, hvor langt man er kommet mod nord (eller syd) til tiden t. Hvis der afsættes punkter for enhver t-værdi fås en kurve. Kurven er en figur, der viser (noget) om funktionen, hvor DM er tiden og VM er positionerne på rejsen. DM er en delinterval af de reelle tal og VM er en delmængde af planen Funktioner 119
120
Regneark 121
122
Lav et regneark Et regneark kan sammenlignes med et stort stykke ternet papir. Kolonnerne nummereres A, B, C og rækkerne 1,2,3 Cellen B2 er det sted, hvor kolonne B og række 2 skærer hinanden. På figuren herunder står markøren i denne celle. Man kan se, at der er en sort ramme om cellen og at både B og 2 er skrevet med fed skrift. Ideen bag programmet er: 1. At man kan lave en fornuftig og klar opstilling af små og store regneopgaver 2. At man kan blande tekst og tal 3. At man kan anbringe formler i nogle af cellerne; disse regnes så automatisk ud, når man ønsker det. Det betyder, at man kan lave en mindre rettelse, og så kan programmet let gennemregne alt igen, uden at man selv får noget væsentligt arbejde. Åbn (kør) Excel 5 Tast teksten, du ser i regnearket på næste side, ind i dit eget regneark: 5 Hvis du ikke er meget dygtig til at arbejde med regneark, skal du selv prøve at lave et regneark som beskrevet. Ellers: hjælp din sidemand. 123
Marker cellerne A1:D1 og vælg en fyldfarve (fra malerbøtten ): Fortsæt med at skrive tekst og prøv at lave rammerne. Går det helt galt, kan du starte forfra ved at benytte rammen uden kanter! 124
Tallene skrives uden videre; du kan forøge decimalerne ved at markere cellen og klikke på ikonet med,00. For at programmet kan vide, hvor der skal regnes noget ud, startes der med et = i de celler. A2*C2 betyder, at de to tilsvarende tal skal multipliceres (ganges); produktet (gangeresultatet) beregnes automatisk af programmet og skrives i cellen, hvor formlen står; det vil her sige i D2. Formlen i D3 skal svare til den i D2 ("2" erstat tes blot med "3"). Kopier den: Højreklik på ori ginalcellen, vælg kopier. Højreklik så på cel len, der skal indeholde kopien: vælg indsæt. 125
Så skal de to beløb adderes (lægges sammen) og resultatet skrives i D4. Derfor skrives formlen i D4. D2:D3 betyder alle celler mellem disse to. De behøver ikke at være fra samme kolonne eller samme række. 126
For at fremhæve resultatet, er det så formateret med fyldfarve. Diagram Nu kan der konstrueres et diagram ved at markere de celler, der skal benyttes. Marker for eksempel først teksten (Æbler og Pærer), hold CTRL nede og marker de to tal: Så vælges guiden diagram og diagramtypen med videre: hvorefter man kan se et diagram: enten som objekt i regnearket eller som selvstændigt diagramark som her. 127
Resultatet ses herunder: Det er muligt at formatere enkelte dele, ofte ved at man klikker på den pågældende detalje og derefter udfylder en dialogboks. På cirkeldiagrammet kan man se en lille gul seddel med 128
oplysninger om et cirkeludsnit; den fremkommer, når man holder musen over udsnittet. Lagkagediagrammet Mål det røde cirkeludsnit med vinkelmåler. Beregn gradtallet med de oplyste tal. Får du det samme? Grafer i regneark Millimeterpapir Fra sildeben til punkter i det almindelige koordinatsystem Marker de data, der skal anvendes, vælg diagram og vælg derefter XY-punkt.6 Efter øvrige valg kan diagrammet se ud som på næste side: 6 I næsten alle opgaver er dette det naturlige valg (i matematik.) 129
Enkeltlogaritmisk papir I et nyt eksempel ses det ret tydeligt på figuren, at punkterne ikke ligger på en ret linje. Da det er svært - eller næsten umuligt - at genkende alt andet end rette linjer, kan man kontrollere, om der er tale om en eksponentiel funktion7, ved at indtegne punkterne på enkeltlogaritmisk papir. I Excel ændres det almindelige millimeterpapir til enkeltlogaritmisk papir ved at formatere y-aksen som herunder. 7 Se forrige kapitel: Oversigt: Vigtige funktionstyper 130
Klik på y-aksen: Sæt flueben ved Logaritmisk skala. Klik OK. Herunder ses det, at nu ligger punkternepå en ret linje. Dobbeltlogaritmisk papir Eksemplet her minder om det forrige, men der er ikke tale om en eksponentiel funktion, men derimod en potensfunktion8. For denne type - og kun denne type - vil punkterne ligge på en ret linje, hvis begge akser er logaritmiske. Derfor formateres begge 8 Se forrige kapitel: Oversigt: Vigtige funktionstyper 131
akser: Først den ene, så den anden, 132
og efter begge ændringer ligger punkterne ganske rigtigt på en ret linje: For at se, hvor godt en model passer til de oplyste data, kan man i alle tilfælde tegne en tendenslinje. Det er en linje, som man selv eller regnearket prøver at lægge tættest muligt på alle punkterne i koordinatsystemet. I regnearket gøres det sådan: højreklik på et af punkterne og vælg: Tilføj tendenslinje (som på næste side.) 133
Hvor godt det passer, kan afgøres på øjemål, men anvender du Excel, kan regnearket når du har valgt funktionstypen - finde en tendenslinje med de parametre, der passer bedst (dvs. at programmet finder talværdier for a og b) og 2 R, der et mål for, hvor klar sammenhængen er mellem to variable er. Værdien 0 betyder, at der ingen sammenhæng er værdien 1, at der er en klar sammenhæng. 134
Lineære funktioner
Introduktion Øvelse: En bageopskrift I La Cuisine Gourmande 9 findes en opskrift på en gærkage: En savarin. Forfatteren opremser omhyggeligt, hvad der er brug for af råvarer, tilbehør, køkkenredskaber med videre. Her ses et uddrag af informationerne: Opskrift for 4 kager hver beregnet til 5 personer 10 g gær 2 spiseskefulde lunkent vand 250 g hvedemel blandet med 6 g salt 3 æg 10 cl mælk 10 g stødt melis 125 g smør 1 træske 4 savarinforme, diameter 14 cm Hævetid 30 minutter Bagetid 20 minutter Bagetemperatur 200 C Hvilke tal vil du ændre i opskriften, hvis der skulle bages 8 kager? til hvad? Ret opskriften, så den passer til 5 personer Hvorledes vil opskriften se ud, hvis den skal passe til ca. 20 personer, men du kun har forme med diameter 20 cm? Matematik skal smage godt! Til lærere: se Eksperimentel Matematik, Matematiklærerforeningen, 2007, side 62 (http://www.mat.dk/xm/xmm-bog.pdf) Se: http://mimimi.dk/c/vingummibamser.pdf Eksempel: En taxatur En tur med taxa koster 30 kr. i startgebyr; derudover 9 Michel Guérard, La Cuisine Gourmande (Robert Laffont Paris, 1978) 137
betales 10 kr. pr. km. Det er nemt at lave en tabel med afstand og pris for forskellige ture: Afstand i km Pris i kr. 0 5 10 15 20 30 80 130 180 230 Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet koordinatsystem, fås: Pris for en taxatur 250 Pris i kroner 200 150 100 50 0 0 5 10 15 20 25 Afstand i km Hvis alle punkter, vi kunne tegne, lå på en ret linje, er der tale om en lineær funktion. (Jævnfør definitionen senere i bogen.) Fra funktionsoversigten tidligere blev det påstået, at funktioner med funktionsforskrifter af typen f(x) = ax + b er lineære funktioner. Da der kan tegnes en ret linje gennem alle de tegnede punkter, kan funktionen (måske?) være lineær. Om taxaturen Hvordan kan man sikre sig, at funktionen er lineær? Hvis vi går ud fra, at alle punkter på den tegnede linje svarer til sammenhørende værdier af en taxaturs længde og dennes pris: Hvad koster så en tur på 4 km? Ved svaret benyttes kun tegningen. Hvor langt kan vi køre for 200 kr.? Kontroller ved beregning, at dine svar på ovenstående 2 spørgsmål er rigtige 138
Eksperimenter med grafen Følg linket: http://pc-p4.mimimi.dk/xm/parametre/links/retlinje.html Flyt med punkterne A og B (med musen) Hvilken sammenhæng er der mellem linjen gennem A og B og: tallet a i vinduet til venstre? Beskriv det: Hvilken sammenhæng er der mellem linjen gennem A og B og: tallet b i vinduet til venstre? Beskriv det: Hvilken sammenhæng er der mellem a og b og: ligningen Linje? Beskriv det: 139
Definitioner Graf Vi har en funktion. Er både funktionens DM og VM de reelle tal (eler en delmængde af de reelle tal), har den en graf. Grafen for en funktion er mængden af alle punkter i koordinatsystemet som (x ; f(x)), hvor alle x-værdier i DM(f) anvendes. En lineær funktion En funktion er lineær, hvis grafen er en ret linje eller en del af en ret linje. En funktions regneforskrift En funktion f kan defineres ved, at vi får oplyst DM(f) og hvorledes man for ethvert x kan regne f(x) ud. Definition af en konkret (ganske bestemt) funktion som model x= Afstanden i km f(x) = Prisen for en taxatur på x km f(x) = 10x + 30 DM(f) = [ 0 ; [ ; det betyder, at taxaturen kan være fra nul kilometer og op; indrømmet: det er lidt skørt at køre 0 km. VM(f) = [ 30 ; [ ; det betyder at taxature koster fra 30 kr. og op. De to første punkter (x =... og f(x) =...) knytter funktionen med regneforskriften f(x) = 10x +30 sammen med virkeligheden. En primitiv model for samspillet kunne være: Virkelighed 140 Matematisk model Hvad koster en taxatur på 3 km? x=3 f(x) = 10x*3 Den koster 60 kr.! f(3) = 10*3 + 30 = 60
Flaske-Peter Peter tager imod tomme vinflasker for købmand Olson. Han skal give kunden en seddel, hvor der står, hvor meget kunden skal have for flaskerne. Olson har udstyret ham med en tabel som den nedenstående: Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. Antal flasker Returbeløb i kr. 1 0,25 2 0,50 3 0,75 4 1,00 5 1,25 6 1,50 7 1,75 8 2,00 9 2,25 10 2,50 11 2,75 12 3,00 13 3,25 14 3,50 15 3,75 16 4,00 17 4,25 18 4,50 19 4,75 20 5,00 21 5,25 22 5,50 23 5,75 24 6,00 25 6,25 26 6,50 27 6,75 28 7,00 29 7,25 30 7,50 31 7,75 32 8,00 Beskriv funktionen på tilsvarende måde som taxatursfunktionen. Tegn funktionens graf. Er den lineær? Hvorfor? Går den igennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (0;0)? Hvis funktioner er lineær, hvad kaldes så denne type? Taxaturen igen Vi har tegnet lidt af grafen nemlig 5 støttepunkter og de ligger på en ret linje. Derfor tror vi, at alle punkter af typen (x;f(x) vil gøre det, men det kan vi faktisk ikke vide (endnu.) Hvis det er rigtigt, hvad vi tror, er taxafunktionen en lineær funktion. Vi benytter, at følgende regneforskrift kan bruges til beregning af prisen: f(x) = 10*x + 30; DM(f) = [0 ; [ Hvis vi vil finde (som ovenfor), hvor langt man kan komme for 200 kr., kan vi løse opgaven som en ligning ved at indsætte det (i andre tilfælde: de) kendte tal i forskriften (formlen.) 141
Ligning f(x) = 200 indsæt hvad f(x) betyder 10*x + 30 = 200 træk 30 fra på hver side 10*x + 30 30 = 200 30 regn ud (reducer) 10*x = 170 divider med 10 på hver side 10*x/10 = 170/10 regn ud (reducer) x = 17 Det vil sige, at for 200 kr. kan man køre 17 km 10 Øvelse Følg linket til øvelserne på internettet: http://pc-p4.mimimi.dk/c/retlinje.html Sætning: Forskriften for en lineær funktion Er funktionen f lineær, kan funktionsforskriften for f skrives: f(x) = ax + b. Bevis I Først bevises, at hvis f er en lineær funktion og dens graf går gennem begyndelsespunktet (0;0), kan funktionsforskriften for f skrives: f(x) = ax Vi tegner et almindeligt retvinklet koordinatsystem og tegner grafen for en helt tilfældigt valgt lineær funktion gennem begyndelsespunktet O (origo). I første omgang 10 Den teknik, der her benyttes for at løse ligningen, er typisk. I den oprindelige ligning, er vi på jagt efter et tal, der gør ligningen sand (dvs. skaber balance mellem højre og venstre side.) Ved hele tiden at gøre det samme på begge sider af lighedstegnet fås nok nye ligninger, men ligninger, der har den samme løsning som den oprindelige ligning. Ideen er at komme frem til en så enkel ligning, at svaret ligger lige for. 142
forudsættes, at grafen går gennem 1. kvadrant. Herefter vælges en tilfældig, men positiv x-værdi i første omgang; senere kan vi vise (som en øvelse), at selv om xværdien er negativ, eller grafen går gennem 2. kvadrant, kan beviset a gennemføres på næsten samme måde. Der tegnes to hjælpelinjer vinkelret på xo 1 aksen gennem 1 og x på x-aksen, så der O opstår to ensvinklede trekanter, idet beg ge er retvinklede og de har en fælles vinkel O. I den skraverede trekant kaldes længden af den lodrette katete for a. Da skalafaktoren mellem trekanterne nemt ses at være k = x/1 = x, bliver længden af den anden lodrette katete a*x. Men længden er jo også funktionsværdien i x; dvs. x f(x) = a*x Hermed er første del af sætningen bevist, men kun hvor a og x er positive tal. Udvid beviset Vis, at funktionsforskriften også er rigtig for x=0 og for x<0. Vis, at funktionsforskriften også er rigtig, når grafen går gennem 2. og 4. kvadrant. 143
Bevis II f g (0 ; b) x Vi tegner igen et almindeligt retvinklet koordinatsystem og tegner grafen for en helt tilfældigt valgt lineær funktion: f ; denne gang går grafen ikke gennem origo. Samtidig tegnes en linje parallel hermed gennem origo: Vi lader den være grafen for funktionen g. g har forskriften g(x) = a*x; jævnfør første del af beviset. Der tegnes en linje vinkelret på x-aksen gennem et tilfældigt punkt (x ; 0). Det punkt på y-aksen, hvor grafen for f skærer denne kaldes (0;b). Det medfører at linjestykket fra origo til (0;b) får længden b (hvis b som på tegningen er positiv); den samme længde får den anden lodrette side i det skraverede parallellogram. Derfor gælder: f(x) = g(x) + b og da g(x) = ax, fås, at for enhver lineær funktion gælder: f(x) = ax + b. Også her kunne beviset nemt ændres, så det også gælder for negative værdier af b. QED 144
Den omvendte sætning Har en funktion forskriften f(x) = ax + b er funktionen f lineær. Bevis for sætningen Tegn i et alm. retvinklet koordinatsystem de to støttepunkter (0 ; b) og (1 ; b+a) Tegn en ret linje gennem punkterne Lad linjen være grafen for funktionen g Find forskriften for g Begrund, at den rette linje også er graf for f hvormed sætningen er bevist. 145
Sætning: Beregning af a En lineær funktion har en graf, der går gennem de to kendte punkter P(x1;y1) og Q(x2;y2). a i forskriften for f kan beregnes som: a = (y2 y1) / (x2 x1) Bevis 11 Q P R O O a 1 Trekant PQR er tegnet med de to sider (kateterne) parallelle med akserne i koordinatsystemet. Længden af kateterne er hhv. x2 x1 for den vandrette og y2 y1 for den lodrette. Den grønne linje er tegnet parallel med den blå graf gennem P og Q og a kan som før findes som længden af den skraverede trekants lodrette katete. Ved benyttelses af sætningen om ensliggende vinkler ved parallelle linjer, ses at den skraverede og den ternede trekant er ensvinklede og derfor også ligedannede. Da den skraverede trekant har en vandret katete med længden 1 fås skalafaktoren k som: k = (x2 x1)/1 = (x2 x1) og a beregnes som: a = (y2 y1)/k = (y2 y1)/(x2 x1) QED Note: Er a negativ, skal beviset ændres en smule, men giver samme resultat. 11 Jævnfør øvelserne om vingummibamser (side 139.) 146
Hældningskoefficienten 12 a (i funktionsforskriften f(x) = ax + b) kaldes grafens hældningskoefficient. a er tilvæksten i funktionsværdien når x-værdien vokser med 1. Det ses af: f(x+1) f(x) = (a(x+1) + b) - (ax + b) = ax +a + b ax b = a, Eksempel: Beregning af a og b 13 Lige ovenover har vi fundet en formel for a med geometriske argumenter. Her vises, at man med kendskab til punkternes koordinater kan beregne a og b ved at løse ligninger. Vi kender fx de to punkter P(x1 ; y1) = (3 ; 7) og Q(x2 ; y2) = (13 ; 2) på en graf for en lineær funktion og vil finde forskriften for funktionen: Regneforskriften er f(x) = ax + b da f er lineær Da P er et punkt på grafen, gælder: a*3 + b = 7 [1] b = 7 a*3 Tilsvarende fås: a*13 + b = 2 [2] b = 2 a*13 Da de to venstresider er lige store, må højresiderne også være ens: 7 a*3 = 2 a* 13 7 a*3 + a*13 = 2 a* 13 + a*13 7 + (13-3)a = 2 7 + (13-3)a 7 = 2 7 (13-3)a = (2-7) (13-3)a / (13-3) = (2-7) / (13-3) a = (2-7) / (13-3) a = - ½ (eller a= - 0,5) 14 12 Nogle bruger betegnelsen "stigningstallet". 13 Sammenlign igen med øvelsen: Vingummibamser (http://mimimi.dk/c/vingummibamser.pdf) 14 Var ligningen løst ikke med bestemte tal, men med koordinaterne (x1;y1) og (x2;y2), ville løsningen af ligningerne have givet den allerede fundne formel. 147
Ved at indsætte resultatet i [1] eller [2], fås: b = 7 (-½) * 3 = 7 + 1½ b = 8½ Beregning af a og b Gennemfør beregningerne fra eksemplet ovenover, idet du ikke benytter de konkrete tal, men alene anvender de generelle beteg nelser for koordinaterne: (x1 ; y1) og (x2 ; y2). 15 Eksempel: Fra observation til model Aalborg Brutal Marathon Navn \ Helle Møland Mortensen Birgitte Munch Nielsen Marathon 250 minutter 200 meter 7598 14517 21437 28356 35276 42195 35 70 105 142 180 218 40 79 118 156 193 231 Langfredag d. 9. april 2004 afholdtes Aalborg Brutal Ma rathon. Herover er mellemtider og sluttid for de to bedste kvinder. Vi vil undersøge, hvorledes de har løbet; ved hjælp af tabellen laves et x-y diagram (med regneark, an det programmel eller håndkraft). Vi tilføjer tendenslinjer og finder forskrift for funktionen og kvalitet af tilpasningen. Bruges håndkraft er det vigtigt, at man ikke tegner tendenslinjen gennem noget specielt punkt, men forsøger at lade alle punkter være tæt på linjen, så den samlede afstand minimeres. I det tilfælde er kvaliteten af tilpasningen et rent skøn. Både af diagrammet og beregningen16 ses, at punkterne ligger (næsten) på en Helle Møland Mortensen 150 Birgitte Munch Nielsen Lineær (Birgitte Munch Nielsen) 100 Lineær (Helle Møland Mortensen) 50 0 0 20000 m e te r 40000 60000 HM BMN y = 0,0051x y = 0,0055x 2 2 R = 0,9974 R = 0,9999 15 Det er et mål for matematikere at generalisere beregninger, regler, formler mv.; i tilfældet her går vi fra at have fundet a og b for én bestemt funktion til at se, at alle lineære funktioners parametre kan findes på fuldstændig tilsvarende måde. 16 For begge løbere ses, at R2 er meget tæt på 1,000; det betyder, at begge løberes tider næsten er en perfekt lineær funktion af afstanden. Da b=0, er samenhængen ligefrem proportional. 148
ret linje både for nr. 1 og 2. Når vi benytter en funktion til at beskrive virkeligheden, det vil sige laver en model, fortæller vi både hvad der måles og hvilke måleenheder, der benyttes: Model for Helles løb x = afstanden, der er løbet (målt i m) f(x) = tiden Helle har brugt til at løbe x meter (målt i minutter) Regneforskriften: f(x) = 0,0051*x, idet 0,0051 er den tid (i minutter) Helle bruger på at løbe 1 m (mere) Eksempel på beregning med f: f(35276) = 0,0051*35276 = 179,9 = 180 Det vil sige, at Helles beregnede mellemtid for 35276 m er 180 minutter. Dette resultat stemmer fint med den målte mellemtid; det gælder dog ikke helt præcist for alle mellemtiderne. En tilnærmet model Nævn to grunde til at ikke alle målte mellemtider passer med de beregnede. Hvordan kan det ses på regneforskriften for Helles løb, at hun har løbet med konstant hastighed? Regel om tendenslinjer Hvis du laver tegningen i hånden og skal lave en tendenslinje, må du ikke udvælge to af punkterne og tegne grafen gennem dem. Så er der jo ikke taget hensyn til alle de andre punkter (observationer). Du skal prøve at tage lige meget hensyn til alle punkter. Hvis de fuldstændigt ligger på en ret linje ja så tegnes tendenslinjen gennem alle. Du kan øve dig i at placere linjen rigtigt her: http://pc-p4.mimimi.dk/rm3/regression.html 149
Hastighed og hastighed Bilspeedometre viser ofte forkert; for en bestemt bil er der målt den tid (i sekunder), det tager, at køre 1 km. De målte data er anført i tabellen herunder. Speedometeret viste Tid i sekunder Virkelig hastighed 40 70 90 110 93,0 54,7 43,3 35,4 Hvad er den virkelige hastighed ved speedometervisningen 40, hvis den måles i km/sekund? Hvad er den virkelige hastighed ved speedometervisningen 40, hvis den måles i km/time? Udfyld skemaet med de virkelige hastigheder. Gør rede for, at den virkelige hastighed er en tilnærmet lineær funktion af hastigheden, som speedometeret viste. (Med tilnærmet menes, at der må være små og usystematiske afvigelser fra en ret linje. Men f. eks. Må grafen ikke have bueform.) Beskriv sammenhængen. Hvis parameteren b er= 0, er de to variable ligefrem proportionale. Er det tilfældet her? Hvad vil speedometeret vise ved hastighederne 50, 80 og 130 km i timen? Hjælpeskema Afstand 1 km Køretid 93 sekunder 1 sekund 1 minut 1 time 150
En lineær model for væksten i antallet af biler Vækst i antal biler (Hele Landet) y = 24406x - 12905 R2 = 0,8955 140000,00 120000,00 100000,00 Antal 80000,00 60000,00 40000,00 20000,00 0,00-20000,00 0 1 2 3 4 5 6-40000,00 År (efter 1996) Kilde: Danmarks Statistik, november 2007. (Antal biler i 1996 var: 1.423.445.) (http://www.statistikbanken.dk/stat bank5a/default.asp?w=1280) Hvorledes kan man se på diagrammet, at der er tale om en lineær model? Kan man se det samme på en anden måde? Hvad betyder tallet: "24406"? Hvad betyder tallet "-12905"? Hvad betyder tallet "0,8955" Lineære modeller for prisudviklingen Benyt diagrammet herunder: Opstil en model, der beregner indekstallet som en funktion af antal år efter 1978. Skriv løsningen her: 151
Forbrugerprisindeks 1978-2000 250 Indeks 200 150 100 50 0 0 5 10 15 20 25 År efter Primo 1978 Forbrugerprisindeks (1980 = 100; alle varer). Kilde: Danmarks Statistik, 2007 En typisk vare NN (der nogenlunde har fulgt det generelle prisindeks) kostede den 1.1 1978 14,39 kr. Aflæs det tilsvarende prisindeks i modellen. Aflæs et prisindeks i slutningen af perioden. Beregn hermed prisen på varen NN på dette tidspunkt. Lav en model med en prisfunktion for varen. Skriv modellen herunder: Er der nogen grund til ikke at bruge en lineær model? 152
Den lineære funktion (Oversigt) Funktion Lineær funktion Forskrift f(x) = ax + b DM R VM R Koordinatsystem Millimeterpapir Aflæs b f(0) "Aflæs a" f(1) - f(0) Beregn a (eller {k}) y 2 y1 x 2 x1 Indtastning i TI 30 (y2-y1) / (x2-x1) = Beregn b y1 ax1 Indtastning TI 30 (forudsat: a er lige regnet ud og kan findes via "ANS") y1 - [gul] [(-)] * x1= 153
Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia
Eksempler på eksponentielle funktioner Eksempel: Et beløb indsættes i en bank Niels Ole sætter 10 kr. i Sparekassen; en gang årligt beregner Sparekassen renter og lægger beløbet til saldoen. Niels Ole glemmer alt om indskuddet, men finder bogen 16 år senere og kan så se, at hans formue i årene har ændret sig som tabellen viser: År Saldo 1952 10,00 1956 12,62 1960 15,94 1964 20,12 1968 25,40 Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet koordinatsystem, får vi: Saldoens vækst 28,00 26,00 24,00 Kroner 22,00 20,00 18,00 16,00 14,00 12,00 10,00 1950 1955 1960 1965 1970 År Vi tegner en ret linje tæt ved alle punkterne og ser, at der er et mønster i afvigelserne fra den rette linje: en graf gennem alle punkterne ville være bueformet. Forbinder vi alle nabopunkter med rette linjestykker, ville disse blive stejlere og stejlere. Hvis væksten var lineær, blev der tilskrevet det samme beløb i renter hvert år. Men Niels Ole har også fået renter af renterne (dvs. renters rente ); hans saldo vokser med den samme procent hvert år (svarende til større og større 157
kronebeløb). Tegnes de samme punkter ind i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, fås: Saldoens vækst Kroner 100,00 10,00 1950 1955 1960 1965 1970 År Nu ses det, at punkterne ligger på en ret linje. Om "at lægge renter til..." I tabellen herunder ses, hvorledes der er beregnet rente af kapitalen på 10 kr., og at denne rente herefter er lagt til kapitalen. Hvis man kun er interesseret i at vide, hvad kapitalen er i 1953, er det dog nemmere straks at beregne 106 % af de 10 kr. med fremskrivningsfaktoren (svarende til skalafaktor.) Denne kapital kan beregnes sådan: Ny kapital =gammel kapital * 1,06 eller med tallene fra tabellen: Ny kapital = 10 * 1,06 = 10,60 Den næste nye kapital (i 1954) fås fuldstændigt tilsvarende. År 1952 + rente 1953 158 Kapital Procent Kr. 10,00 100 % Kr. 0,60 6% Kr. 10,60 106%
Radioaktivitet Du eller bedre: en gruppe starter med at have 100 ter ninger. De simulerer (ligner / efterligner) det radioaktive materiale. Radiaktivt materiale henfalder dvs. den radio aktive stråling bliver mindre og mindre. For nogle materi aler går det meget hurtigt og for andre meget meget langsomt. Men for alle typer er der tale om, at i løbet af en bestemt periode for hver materialetype henfalder en be stemt brøkdel af stoffet. Denne brøk er et gennemsnit; det faktiske henfald varierer tilfældigt. Ved denne simulation leger vi, at i tiden mellem 2 runder fjernes i gennemsnit 1/6 af radioaktiviteten. Noter, at du / I har 100 terninger (eller hvor mange I nu har.) Slå med alle terningerne fjern 6-erne og tæl de resterende. Noter resultatet. Slå med de resterende terninger fjern 6-erne og tæl dem, der nu er tilbage. Noter resultatet. Gentag sidste punkt, indtil alt materiale er henfaldet det vil sige, at alle terninger er fjernede. Indtegn talparrene (x-værdier: tidspunkterne 0, 1, 2, 3... og y-værdierne det tilsvarende antal terninger) på enkeltlogaritmisk papir find tendenslinjen. Hvis du benytter et program, der kan vise for skriften for tendenslinjen: kunne du så have gættet, at den ville se sådan ud (omtrent)? 17 17 I Excel skrives: y = b*ekx =b*(ek)x = b*ax (Dvs., at: a = ek = 2,718282k) 159
Øvelse Regneark De nedenstående opgaver løses med et regneark Find graf og forskrift for funktionen, der beregner værdien af en formue x år efter det tidspunkt startformuen (3.000.000 mio kr.) blev sat i banken. Hvert år tilskrives 7 % i rente. Hvor mange år går der før formuen er fordoblet? og hvor mange år går der, før formuen vokser fra 4.502.191 kr. til det dobbelte? En vognmand køber en brugt lastbil for kr. 400.000 kr. Hvert år mister den 30 % af værdien. Find en tabel, en graf og en regneforskrift, der viser sammenhængen. Øvelse med Regneark I den forrige opgave om formuen på 3.000.000 kr. blev der ikke taget hensyn til hverken skat eller inflation. Find igen værdien af formuen x år efter starttidspunktet, men tag nu hensyn til: at der hvert år betales 60 % i skat af rentetilskrivningen og at formuen er mindre værd, fordi priserne i gennemsnit stiger med 2 % om året (kaldet inflation.) Hvor lang tid går der nu, før formuen er fordoblet? Kontroller dine beregninger med et taleksempel. 160
Definition: En eksponentiel funktion En eksponentiel funktion er en funktion med forskriften: f(x) = b ax; DM(f) = R ; a>0; b>0. Tegn grafer for eksponentielle funktioner Følg linket og lav øvelsen http://pcp4.mimimi.dk/c/eksponentielfunktion.html Kan du ved at tegne en række grafer (på enkeltlogaritmisk papir) med forskellige valg af a og b sige noget om a s og b s betydning? Lav enten a eller b om ikke begge på en gang. Tegn grafen gennem y-aksen (x=0). Skriv reglerne her: Grafen skærer y-aksen i (, ) a > 1 => a=1 => 0<a<1 => Fordoblingskonstant Tag en af dine grafer, hvor a>1. Vælg et tal på y-aksen (y1) blandt de mindste fra VM(f), som er nemt at finde præcist. Marker det. Beregn et nyt tal (y2), som er dobbelt så stort. Marker det. Find de tilsvarende x-værdier (x1) og (x2). Beregn T2 = x2 - x1 T2 kaldes fordoblingskonstanten. Kontroller, at vælger du to andre y-værdier (hvor den anden stadig er dobblet så stor som den første), vil du få (næsten) samme værdi af T 2. Undersøg også fordoblingskonstanten på http://pc-p4.mimimi.dk/c/t_2.html 161
Find a og b? Lad f(x) = 3*1,5x. Beregn f(0) og f(1) og f(2). Tegn grafen med god afstand mellem de tre tal på x-aksen. Hvis du ikke kendte formlen, men kun støttepunkter og tegning ville du så kunne finde regneforskriften for f? Eksponentielle funktioners parametre Hvis f er en eksponentiel funktion, hvor f(x) = b ax, er: f(0) = b f(1) = b*a Hvis grafen går gennem punkterne P(x1;y1) og Q(x2;y2), kan parametrene beregnes med formlerne: a= ( x 2 x1 ) b= y2 y1 y1 a x1 Bevis De to første påstande fås umiddelbart ved indsætning i regneforskriften for funktionen. Da grafen går gennem P, må y1 = b ax 1 b = y1/ax 1 hvilket viser den sidste påstand. Tilsvarende fås på samme måde da grafen går gennem Q - at b = y2/ax 2 Heraf ses, at: y1/ax = y2/ax 1 2 ax /ax = y2/ y1 2 ax 162 2 1 - x1 = y2/ y1 Benyt potensregneregler på venstre side a= ( x 2 x1 ) y2 y1
Bemærkning: Kendes grafen kan man med de to første dele af sætningen nemt finde parametrene ved aflæsning og en simpel beregning. Unøjagtigheden ved af beregningen af a kan dog være ret stor. Tegn grafer for eksponentielle funktion Tegn grafer på enkeltlogaritmisk papir for de eksponentielle funktioner med nedenstående parametre. Benyt støttepunkter med xværdierne 0 og 1. a = 1,3; b = 20; a = 0,8; b = 15; a = 1,04; b = 3; a = 0,98; b = 300; a = 1,01; b = 137; Kontroller efter at have tegnet grafen, om støttepunktet med x-værdien 10 ligger på grafen. Find forskriften Find forskriften for en række eksponentielle funktioner, hvor du kender 2 støttepunkter: f(x): (3; 2) og (8; 6) g(x): (-4; 2) og (8; 6) h(x): (3; 6) og (8; 2) k(x): (3; 2) og (8; 2) m(x): (-5; 2) og (-10; 6) n(x): n(9) = 2 og n(6) = 4 Bemærkning om eksponentiel vækst Lad os sammenligne to tilfældige nabo-y-værdier svarende til en tilfældigt valgt x-værdi x og nabo-xværdien: x+1. f(x+1) = b*ax+1 = b*ax *a = f(x)*a og tilsvarende: f(x+7) = f(x)* a7 163
Den eksponentielle funktion (Oversigt) Funktion Eksponentiel funktion Forskrift f(x) = b*ax DM R VM R+ Koordinatsystem Enkeltlogaritmisk p. Aflæs b > 0 f(0) "Aflæs a" > 0 f(1) / f(0) Beregn a y2 y1 x 2 x1 Indtastning i TI 30 Beregn b (x2-x1)[gul]^(y2/y1)= y1 ax 1 Indtastning TI 30 (forudsat: a er lige regnet ud og kan findes via "ANS") 164 y1/[gul] [(-)] ^x1=
Rentesregning
Kapital- og rentesregning I eksemplet med Niels Ole (side 159) har vi en funktion; hvilken tekst vil du bruge til at beskrive den? x=?? f(x) =?? DM(f) =??. VM(f) =?? Hvis man som første punkt havde valgt (0 ; 10) og som 2. punkt (4 ; 12,62), hvilken tekst ville du så bruge for x og f(x)? Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken derefter tilskriver rente et antal gange med en termins mellemrum, taler vi om kapitalfremskrivning. En termin kan være et år eller 3 måneder eller en hvilken som helst periode mellem to rentetilskrivninger. Opgaven er at finde værdien af kapitalen efter den sidste rentetilskrivning. I opgaver, hvor en kapital tilskrives rente benyttes traditionelt sprogbrugen: Startkapital = K0 Slutkapital = Kn Rentesatsen pr. termin = r (angivet som brøk eller procent) Antallet af terminer = n Eksempel: Rentetilskrivning I Når der tilskrives rente til en kapital eller en gæld på for eksempel 20.000 kr med renten 5 % pr. termin, ser regnestykket således ud: Oprindelig kapital 20.000,00 kr. Rente = 20.000*5/100 kr. = 20.000*0,05 kr. = 1.000,00 kr. Ny kapital = 21.000,00 kr. 167
Dette kan indsættes i en tabel som følgende: Beløb i kr. 20.000 Procent 100 % Oprindelig kapital Rente 1.000 5% Ny Kapital 21.000 105 % Ofte er man ikke interesseret i rentebeløbet, men alene i at beregne den nye kapital. Det kan naturligvis gøres direkte som 105 % af den oprindelige kapital: Ny kapital = 20.000*105/100 kr. = 20.000*1,05 kr. = 21.000 kr. Den nye kapital kan altså findes ved at gange den oprindelige med tallet (faktoren) 1,05. Denne faktor kaldes fremskrivningsfaktoren. Med traditionel sprogbrug (se ovenover) fås generelt: K1 = K0*(1+r) Kapitalfremskrivning I Forklar, hvad forkortelserne = K0, K1 og r står for. Kontroller ved beregning, at ligningen K1 = K0*(1+r) er sand med anvendelse af tallene fra tabellen. Eksempel: Rentetilskrivning II Hvis der skal tilskrives rente flere gange, kan tabellen fra før anvendes igen med udskiftning af de angivne kapitaler: Beløb i kr. Procent Oprindelig 21.000 100 % kapital Rente 1.050 5% Ny Kapital 22.050 105 % Som ovenfor kan den nye kapital beregnes direkte: Ny kapital (efter 2. rentetilskrivning) 168
= 21.000*105/100 kr. = 21.000*1,05 kr. = 22.050 kr. Huskes beregningen af den nye kapital efter 1. rentetilskrivning, fås: Ny kapital (efter 2. rentetilskrivning) = ( 20.000*1,05 ) * 1,05 kr. = 20.000*1,052 kr. = 22.050 kr. Generelt fås: K2 = K0*(1+r)2 og argumentet kan naturligvis gentages uendeligt mange gange, så man får: K3= K0*(1+r)3 K4 = K0*(1+r)4... Kn = K0*(1+r)n 18 Kapitalfremskrivning II Forklar, hvad forkortelsen: K2 står for. Beregn - både som ovenfor i tabellen og ved multiplikation med potenser - kapitalerne efter 3, 4, og 5 rentetilskrivninger. Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen Hvis: Startkapital = K0 Slutkapital = Kn Rentesatsen pr. termin = r Antallet af terminer = n gælder: Kn = K0*(1+r) n, (1+r) kaldes fremskrivningsfaktoren. Du har forhåbentligt noteret dig, at Kn = K0*(1+r) n, blot er 18 Denne måde at bevise en sætning på kaldes et induktionsbevis. Formelt rigtigt bevises den ved først at vise, at sætningen er rigtig for n=1; dernæst at vise, at er sætningen rigtig for n=m, vil den også være rigtig for n=m+1. (Det er ovenover kun vist med n=2, men metoden kunne anvendes generelt.) 169
en anderledes skrivemåde for den almindelige eksponentielle funktion: f(x) = b ax. Kapitalfremskrivning III Kan du oversætte de betegnelser, vi normalt bruger i forbindelse med eksponentielle funktioner, til navnene herover? Skriv svaret herunder: a=?? b=?? x=?? f(x) =?? DM(f) =??. VM(f) =?? Eksempel: Beregning af Kn En eksamensopgave i 1993 lød: 3000 kr. indsættes på en konto til 5 % p.a. Bestem hvor meget der står på kontoen efter 14 år. Jeg noterer mig, at der er tale om indbetaling af et beløb een gang, som i flere terminer forrentes med samme rente. p.a. betyder pro anno, det vil sige (når der ikke skrives andet) at terminen er et år og at der en gang om året tilskrives rente her 5 %. Derfor kan jeg benytte kapitalfremskrivningsformlen. I opgaveteksten vil jeg markere tallene (som gjort) og skrive besvarelsen som herunder: Løsning Da der er tale om kapitalfremskrivning, noteres: Startkapital = K0 = 3000 Slutkapital = Kn =??? Rentesatsen pr. termin = r = 0,05 Antallet af terminer = n =14 Disse tal indsættes i : Kn = K0*(1+r) n Kn = 3000*1,0514 Kn = 5939,794 = 5939,79 170
Efter 14 år står der 5.939,79 kr. på kontoen19 Eksempel: Beregning af andet end Kn Find K0 Kn = K0*(1+r) n Kn = K0 (1 + r ) n Kn = (1 + r ) n K0 Find r Kn = K0*(1+r) n Kn n = (1 + r ) K0 Kn 1 K0 Kn = (1 + r ) n K0 r= n Find n Kn = K0*(1+r) n log( Kn ) = log[(1 + r ) n ] = n * log(1 + r ) K0 Kn ) K0 = n log(1 + r ) log( 20 Udregning med tal fra eksempel: Beregning af Kn 5939,79 log( ) 3000 = 13,99 = 14,0 log(1,05) n= hvilket stemmer med det forventede. Formler og ligninger Lige meget hvilke betegnelser der anvendes, kan vi beregne funktionsværdien med kendte parametre og kendt x-værdi ( = n). Kendes omvendt f(x) (= Kn), kan xværdien beregnes. Mangler du kun oplysning om en af parametrene, kan den beregnes med kendskab til de andre 3 oplysninger. 19 Bemærk, at i en "tekstopgave" beregnes svaret og derefter formuleres svaret klart og tydeligt på almindeligt dansk. Svaret fremhæves, så det er klart, at det er svar på opgavens spørgsmål. 20 log(x) er en funktion som mange andre; på din lommeregner kan du direkte finde funktionsværdier. Funktionen omtales yderligere i appendiks log. 171
Dette er typisk for alle formler. Har vi en formel, hvor der optræder variable, og kendes værdierne af de variable (eller parametrene) på nær en, kan dennes værdi beregnes ved at indsætte de kendte tal og derefter løse ligningen. I nogle tilfælde kan der være flere løsninger. Det er normalt ikke tilfældet her. På de følgende sider vises gennemregning af typiske opgaver. Opsparingsannuitet Hvis man sætter et beløb på b kr, i banken, venter en termin, igen sætter b kr. i banken, venter en termin, igen sætter b kr. i banken... Hvis man i alt sætter n gange b kr. i banken på denne måde med en termins mellemrum mellem hver indbetaling kan saldoen lige efter sidste indbetaling udregnes med formlen herunder: Hvis: Hver af indbetalingerne = b Rentesatsen pr. termin = r Antallet af betalinger = n gælder: An = b (1 + r ) n 1 r hvor An er værdien af alle indbetalingerne inkl. rente lige efter den sidste indbetaling. Ved udregning på lommeregner: 1+r kan klarer du som hovedregning!? Men: Husk at sætte parentes om hele tælleren. Hvorfor? Bemærk i øvrigt, at selvom der er n betalinger, er der kun (n-1) terminer melem første og sidste indbetaling. Det har formlen taget højde for! På tegningen herunder vises med de tynde streger mærket 1, 2,..., n, hvornår indbetalingerne finder sted. Med den kraftige blå pil markeres tidspunktet for opgørelsen af annuitetens værdi 1 172 2 3... n
Gældsannuitet Hvis man låner penge i banken og får en gæld på G kr. og tilbagebetaler gælden med n lige store ydelser hver på y kr., hvor den første ydelse betales en termin efter lånets udbetaling, den næste ydelse en termin senere og så fremdeles gælder formlen herunder: Hvis: Hver af ydelserne = y Rentesatsen pr. termin = r Antallet af ydelserer = n gælder: G= y 1 (1 + r ) n r hvor G er gælden 1 termin før første ydelse. På tegningen er vist tidspunkterne for gældens optagelse (med kraftig rød pil) og med tynde streger er vist tidspunkterne for ydelsernes betaling. Bemærk: første ydelse betales en termin efter lånets udbetaling. Eksempel: Annuitetsopgaver Find A, G, b og y. Findes ved indsætning i den relevante formel. Find r og n. Findes ofte med tabel. n kan findes ved at løse ligningen. Både n og r kan findes ved lineær interpolation. Regneark og nogle lommeregnere kan også finde løsningen. Lineær Interpolation G = 600.000 n = 30 y = 30.000 r =?? Vi gætter på meget groft at rentesatsen er mellem 2 og 173
6 procent, beregner hvad gælden ville være i begge tilfælde og tegner dette diagram: Gælden ved forskellige rentesatser 800000 700000 600000 G Lineær (G) 500000 400000 300000 200000 0 1 2 3 4 5 6 7 Hvis den rette linje var grafen for funktionen Gæld, kunne vi aflæse, at rentesatsen er ca. 3,1 %. Det er kun omtrent rigtigt. Funktionen er ikke lineær og derfor fås et unøjagtigt resultat. Ved kontrolberegning fås at rentesatsen ligger mellem 2,8 % og 2,9 %. For at få et nøjagtigere resultat, kan proceduren gentages med gæt på, at det rigtige resultat ligger i intervallet 2,5% til 3,5%. Lineær interpolation Beregn G for r = 0,028 og 0,029 Find derefter på en tegning et nøjagtigere skøn over r Kontroller nøjagtigheden Opsparing og gæld Vælg et beløb du kan spare op hvert år til bil, udbetaling på ejerlejlighed o.l. Vælg også et antal år og en realistisk rentefod. Find den opsparede kapital for forskellige antal år. Prøv derefter at regne baglæns: Find med de 3 af tallene det 4. - som du kender:-) Prøv noget tilsvarende for et lån (gældsform len.) Forestil dig for eksempel at du har sparet 50.000 kr. op som udbetaling til en lejlighed; nu skal du bare låne resten. 174
Potensfunktioner Herakles og Hydra