INTRO I kpitlet skl eleverne lære om plne og rumlige igurers egensker og om eres nvenelse som geometriske moeller. I en orinelse kommer e l.. til t eskætige sig me eregninger omkres, rel og rumng, me grunplnstegninger og projektionstegninger og me nvnene på plne og rumlige igurer. Kpitlet giver goe muligheer or unersøgene, ræsonnerene og rgumenterene reje me geometri, og et er kenetegnene or en stor el opgverne, t eleverne ikke på orhån år givet metoer til t løse em, men t en entrl el rejet netop går u på, t eleverne selv uvikler hensigtsmæssige løsningsmetoer på ggrun en vien og e ærigheer, e hr. På en måe giver kpitlet også goe muligheer or prolemløsene reje. I orinelse me en el opgverne henvises til rug et geometriprogrm. Eleverne kn i prinippet got reje me isse opgver uen et geometriprogrm, men progrmmet hr en orel, t eleverne kn prøve sig rem uen t skulle tegne orr hele tien. På en måe vil et geometriprogrm ote kunne give eleverne mulighe or t okusere på et unersøgene reje rem or et mere ærighesorienteret tegnereje. Det er også oplgt, t inrgelsen et geometriprogrm giver eleverne mulighe or t uvikle eres hjælpemielkompetene. I kpitlet rejes me ølgene entrle mtemtiske ojekter og egreer: Plne og rumlige igurer Polygoner, heruner kvrt, rektngel, rome, prllelogrm, trpez, ligeenet trpez Ksse, pyrmie, prisme, kegle, yliner, kugle Konstruktion Kongruens Omkres, (overle)rel, rumng Digonler, rumigonler Forhol Moel, heruner perspektivtegning, isometrisk tegning og projektionstegning Loret tværsnit Målestoksorhol (længeorhol) Huskeliste: Formelsmling (til sie 4, 5, 8, 30 og 31) Geometriprogrm (til sie 6 og 38) Regnerk (til sie 7) Isometrisk ppir (til sie 33 og 34) Internet (til sie 33) CAS-progrm (til sie 36) FÆLLES MÅL På Kolorits hjemmesie er er en oversigt over, hvilke Fælles Mål er er st op or rejet me kpitlet. 3 33
PLANE OG RUMLIGE FIGURER SIDE 4 SIDE 5 PLANE OG RUMLIGE FIGURER I kn ruge: En ormelsmling I kn ruge: En ormelsmling Plne igurer 4 1 Rektngel, kvrt, rome, prllelogrm, (konkv) irknt, trpez. Firknt Et sæt prllelle linjer To sæt prllelle linjer Fire rette vinkler Kvrt X X Rektngel X X Rome X Prllelogrm X Trpez X Ligeenet trpez X Øverst kn I se eksempler på nogle plne igurer. Figurerne kn ineles på orskellige måer eter eres egensker. De leste igurerne hr x en egensk, t e er grænset rette linjestykker. Disse igurer kles polygoner. Polygonerne kn igen unerineles eter ntllet linjestykker. Dvs. i treknter, irknter, emknter osv. Hver isse unergrupper kn igen unerineles i orskellige typer. Firknterne ineles x ote eter eres vinkelstørrelser, inyres sielænger og i ntllet prllelle linjer. 1 Hvilke typer irknter kn I se øverst? Uyl en tel som vist neenor me kryser. Brug en ormelsmling til t ine e einitioner, I ikke kn huske. Et sæt To sæt Fire Firknt prllelle linjer le linjer vinkler prllel- rette Kvrt Rektngel Rome Prllelogrm Trpez Ligeenet trpez 3 Tegn et eksempel på hver type igur i tellen og iskuter, hvilke oplysninger I skl ruge or t eregne igurens omkres. rel. 3 Kvrt: Mn skl kene én sielænge. Rektngel: Mn skl kene to sielænger, som ikke er prllelle. Rome: Mn skl kene én sielænge. Prllelogrm: Mn skl kene to sielænger, som ikke er prllelle. Trpez: Mn skl kene ire sielænger. Arejet me sien skl give eleverne overlik over nogle egenskerne ve orskellige typer plne igurer og mulighe or t genopriske einitionerne på orskellige typer irknter (kvrter, rektngler, romer, prllelogrmmer, trpezer, heruner ligeenee trpezer). På sien er er særligt okus på orskellige typer irknter. Vi oreslår, t eleverne rejer me opgve og 3 i minre grupper, og t klssen eterølgene smmenligner og iskuterer eres resultter. Bemærk, t trpezer eineres orskelligt i orskellige lne. I Dnmrk er er trition or, t trpezer eineres som irknter me netop to prllelle sier, mens er i engelsksprogee lne er trition or, t trpezer eineres som irknter, er hr minst to prllelle sier. Vi oreslår også, t eleverne smmenholer eres resultter r rejet me sien me einitionerne på e orskellige typer irknter i ormelsmlingen. I kn reje viere me kopirk 16: Nvne på igurer kopirk 17: Firknter me estemte omkrese og reler kopirk 18: Figuren er også Ligeenet trpez: Mn skl kene tre sielænger, hvor trpezens lige en kun må gå igen en gng. Kvrt: Mn skl kene én sielænge. Rektngel: Mn skl kene to sielænger, som ikke er prllelle. Rome: Mn kn x eregne relet ve hjælp igonlernes længer. Prllelogrm: Mn kn x eregne relet ve hjælp en sielænge og en høje. Trpez: Mn kn x eregne relet ve hjælp to sielænger og en høje. Ligeenet trpez: Mn kn x eregne relet ve hjælp to sielænger og en høje. Denne sie hr okus på egensker ve og ktegoriseringer rumlige igurer. Sien giver også eleverne mulighe or t lære eller genopriske nvnene på ire kente typer rumlige igurer: Cylinere, kegler, prismer og pyrmier. Set i orhol til orrige sie rejer eleverne her mere rit me t eskrive ligheer og orskelle mellem ktegorier rumlige igurer. Arejet kn inlees ælles i klssen me en smtle om, hvilke gor er knytter sig til rumlige igurer (hjørner, knter, sieler, krumme overler, grunler og højer) og ligheer og orskelle mellem e gor, er knytter sig til plne igurer og e gor, er knytter sig til rumlige igurer. Tl også om reltioner mellem plne igurer og rumlige igurer - nogle rumlige er opygget polygoner, x er en kue (en terning) opygget kvrter og en ksse opygget rektngler. Vi oreslår, t eleverne rejer i minre grupper me opgve 4, 5 og 6, og t klssen eterølgene smmenligner og iskuterer eres resultter. Tl også ælles om kpitlets inhol og mål - eleverne er lleree i gng me t reje me et ørstnævnte mål. I orinelse me opgve 4 kn et evt. være en støtte or eleverne, hvis e knytter eres smmenligninger igurernes egensker til e gor, e tiligere hr tlt om (hjørner, knter, sieler, krumme overler, grunler og højer). Figurerne i en øverste række hr x et til ælles, t e ikke hr nogle hjørner og knter, t e hr irkler som grunler, og t e hr krumme overler. Til gengæl hr igurerne øverst til venstre to prllelle sieler. Det hr igurerne øverst til højre ikke. Rumlige igurer Øverst kn I se eksempler på nogle rumlige igurer. På tegningen er igurerne unerinelt i ire grupper. 4 Diskuter, hvilke egensker hver gruppe igurer hr til ælles og hvilke egensker, er skiller em r e øvrige grupper. 5 Unersøg einitionerne på hver gruppe rumlige igurer ve hjælp en ormelsmling, og orklr me jeres egne or, hv hver einition etyer. 6 Tegn en skitse en pyrmie, et prisme og en kegle, er er nerlees en em, er er vist på tegningen øverst. Inhol og mål I ette kpitel skl I reje me plne og rumlige igurer. målet er, t I lærer nvnene på e mest kente plne og rumlige igurer. år lere erringer me eregninger omkres, rel og rumng. år inlik i egreerne: moel, loret tværsnit, projektionstegning og rumigonl. liver ere til t unersøge, ræsonnere og rgumentere i orinelse me geometri. liver ere til t løse prolemer på ggrun jeres vien om geometri. 4 Cylinre og kegler hr grunler, er er irkulære - til orskel r prismerne og pyrmierne, hvis grunler er polygoner. Cylinre og kegler hr krumme overler til orskel r prismerne og pyrmierne, hvis overler estår hhv. prllelogrmmer og treknter. Cylinrene og prismerne hr to prllelle grunler. Keglerne og pyrmierne hr én grunle og en spis. 5-6 Fx 5 34 35
KONSTRUKTION AF KONGRUENTE TREKANTER SIDE 6 AREAL OG OMKREDS AF REKTANGLER SIDE 7 KONSTRUKTION AF KONGRUENTE TREKANTER I kn ruge: Et geometriprogrm I kn ruge: Regnerk AREAL OG OMKREDS AF REKTANGLER 9,8 m 9 6 30 8,3 m 4,9 m 58 Brug evt. et geometriprogrm til opgverne på enne sie. Du skl unersøge, hvor mnge målene på treknten heruner, et er nøvenigt t kene, or t u me sikkerhe kn konstruere en treknt, er er kongruent me en. Et mål kn enten være en sielænge eller en vinkelstørrelse. 30 8,3 m 9 9,8 m 1 Forklr, hvoror u ikke kn konstruere en kongruent treknt, hvis u kun kener en sielænge. en vinkelstørrelse. to sielænger. to vinkelstørrelser. e en sielænge og en vinkelstørrelse. Unersøg, om u kn konstruere en kongruent treknt, hvis u kener tre vinkelstørrelser. to vinkelstørrelser og en sielænge. en vinkelstørrelse og to sielænger. tre sielænger. 3 Unersøg, om et hr nogen etyning, hvilke sielænger u kener, hvis u kener en vinkelstørrelse og to sielænger. 1 De øvrige sielænger kn hve orskellige mål. De øvrige vinkler kn hve orskellige mål. Vinklerne mellem sielængerne kn være orskellige. Sielængerne kn være orskellige. e De øvrige sielænger og vinkelstørrelser kn være orskellige. 4,9 m Nej, sielængerne kn være orskellige (men mn kn konstruere ligennee treknter u r enne oplysning). J J (se og untgelsen uner it på opgve 3). J 3 Hvis en kente vinkelstørrelse er mellem e to kente sielænger, er er ikke noget prolem. Hvis en kente vinkelstørrelse ikke ligger mellem e to kente sielænger, kn er konstrueres 58 Inholet på enne sie knytter sig til tegning kongruente treknter. Eleverne skl unersøge, hvilke mål (sielænger eller vinkelstørrelser) et er nøvenigt t kene, or t e kn tegne to kongruente treknter. De opgelser, eleverne kn gøre i orinelse me rejet på sien, kn smmenttes i ire såklte kongruenssætninger om treknter: 1) To treknter, er hr e tre sier prvis lige store, er kongruente (SSS). ) To treknter, er hr en vinkel og e hosliggene sier prvis lige store, er kongruente (SVS). 3) To treknter, er hr en sie og e hosliggene vinkler prvis lige store, er kongruente (VSV). 4) To treknter, er hr en sie, en hosliggene og en moståene vinkel prvis lige store, er kongruente SVV). I nogle smmenhænge skelnes ikke mellem sætning 3 og 4, ori e egge verører en sie og to vinkler. I nre smmenhænge omtles et emte tilæle: To treknter, er hr en vinkel, en hosliggene sie og en moståene sie prvis lige store, er kongruente (VSS). Dette tilæle kn og være oelttyigt, or hvis en kente vinkel er spis, vil er kunne tegnes to orskellige treknter u r e givne oplysninger. Opgve 3 giver eleverne mulighe or t opge enne pointe. Bemærk, t isse kongruenssætninger (versionen me tre sætninger) ines i Formler, gor og egreer uner Geometrisk tegning. Det er ikke hensigten, t eleverne skl lære kongruenssætningerne uen - okus ligger på e muligheer or uvikling elevernes kompetene i prolemløsning og ræsonnement, som opgverne giver. Hvis eleverne ruger et geometriprogrm (x GeoGer) i rejet, er et oplgt, t e esuen år mulighe or t uvikle eres hjælpemielkompetene. I kn reje viere me kopirk 19: Konstruktion treknter to orskellige treknter u r e smme oplysninger, hvis en kente vinkel er spis. Opgverne på sien sætter okus på smmenhængen mellem sielænger i et rektngel og rektnglets rel. Eleverne år mulighe or t opge, t et rektngel me en given omkres vil hve et størst mulige rel, når rektnglet hr lige lnge sier - ltså når rektnglet er et kvrt. Vi oreslår, t eleverne rejer i små grupper me opgverne på sien, og t klssen eterølgene smmenligner og iskuterer resultterne. I enne klssesmtle vil et være hensigtsmæssigt, t læreren - smmen me eleverne - smmentter pointen om reltionen mellem sielænger og rel i rektngler. I opgve 4 ingår et regnerk, er x kn opygges me ølgene ormler: I elle B4: =36-A4 I elle C4: =A4*B4 Formlerne kn kopieres til e ølgene rækker, sån t regnerket (i kolonne C) ngiver relet et rektngel me sielænger r 1 til 35 (ngives i kolonne A). Nogle elever kn på egen hån opygge et sånt regnerk, mens nre elever hr rug or støtte til især ormlerne i elle B4 og C4. Generelt optimeres relet en n-knt me en given omkres, O, når hver sielænge er o n. I kn reje viere me kopirk 0: De største kninure kopirk 1: Arel og omkres ligeenee treknter 1 Giv minst tre orskellige eksempler på sielængerne i et rektngel, hvis omkres er 7 m. Beregn relet hvert ine rektngler r opgve 1. 3 Er et snt eller lsk, t rektngler kn hve orskellige reler, selv om e hr smme omkres? 4 Unersøg, hvilke sielænger er giver et største rel i et rektngel, når omkresen er 7 m. Brug et regnerk som et, er er vist heruner. 5 Hvilke sielænger giver et største rel, hvis rektnglets omkres er 7? 80 m? 40 m? 50 m? e n m? 1 Fx 1 m, 35 m, 1 m, 35 m m, 34 m, m, 34 m 3 m, 33 m, 3 m, 33 m Me ovenståene mål er relet hhv. 35 m, 68 m og 99 m. 3 Det er snt. 4 Sielængerne 18 m, 18 m, 18 m og 18 m giver et største rel i et rektngel (34 m ). 5 19 m 0 m 10 m 1,5 m n e 4 m 7 36 37
FÆRDIGHED SIDE 8 SIDE 9 FÆRDIGHED FÆRDIGHED 1 Skriv nvnet på hver igur. e Konstruer hver treknt u r oplysningerne på skitserne. Brug evt. et geometriprogrm. 5 m 8 m 4 m 103 11 34 5 m 7 m I kn ruge: En ormelsmling Et geometriprogrm 1 Trpez Heksgon Rome Terning eller kue e Prisme Pyrmie 3 Omkres: π m 6,3 m Arel: π m 3,1 m Omkres: 9,0 m Arel:. 3, Omkres: 7,0 m Arel:. 3,1 m Omkres:. 10,4 m Arel:. 6, e Omkres: C. 19,7 m Arel:. 15,5 m 3 Beregn omkresen og relet hver igur u r oplysningerne på skitserne. m e 3,0 m g 1, m 1,5 m 0,8 m 1,8 m h 1,9 m,5 m,0 m i,0 m 3,0 m j 4,0 m 4,0 m 8 84 37 Omkres: π Arel: 1 4 π 4,0 m,0 m,5 m e 9 g Omkres: ( + ) Arel: h Omkres: + + + Arel: 1 ( + ) i Omkres: + + p + Arel: + ( ) + π j Omkres: + + + + e + Arel: + ( ) + e ( ) 38 39
ANTAL DIAGONALER I REGULÆRE POLYGONER SIDE 30 UNDERSØGELSE AF DIAGONALER I FIRKANTER SIDE 31 30 ANTAL DIAGONALER I REGULÆRE POLYGONER Det kn være en orel t ruge et geometriprogrm til opgverne på enne sie. 1 Unersøg, hvor mnge igonler er kn tegnes i en regulær 10-knt. Forklr, hvorn u kn være sikker på, t u hr unet em lle. Unersøg, hvor mnge igonler er kn tegnes i nre regulære polygoner, og uyl en tel som vist heruner. ntl sier i regulær polygon ntl igonler 3 4 5 6 7 8 9 10 3 Forestil ig, t u skl orklre en ven i teleonen, hvorn mn iner ntllet igonler i en tilælig regulær polygon. Skriv in orklring. 4 Unersøg, hvor mnge igonler er kn tegnes i en regulær n-knt. 1 Der kn tegnes 35 igonler i en regulær 10-knt. Antl sier i regulær polygon 3 0 4 5 5 6 9 7 14 8 0 9 7 10 35 Antl igonler Sien lægger op til en klssisk unersøgelse: Hvor mnge igonler er er i en (regulær) n-knt? Denne unersøgelse giver eleverne goe muligheer or t uvikle og nvene ræsonnementer og prolemløsningsstrtegier (x: prøv me et simplere eksempel, rug systemtik og le eter et mønster ). Inle evt. opgven me ælles i klssen t genopriske, hv er egentlig orstås ve en igonl. En el elever uvikler en misopttelse, t en igonl er en skrå streg/et skrå linjestykke, men mtemtisk set er en igonl et linjestykke mellem to vinkelspiser i en polygon. Vi oreslår, t eleverne rejer me sien i små grupper, og t hver gruppe eterølgene præsenterer eres prolemløsningsproes og resultter. I opsmlingen vil et være hensigtsmæssigt, t læreren åe smmentter e prolemløsningsstrtegier, som er opstået i gruppernes reje me prolemstillingen, og et glige resultt: I en regulær n-knt er er n(n- 3) igonler. Vær opmærksom på, t er er lere orskellige tilgnge til hver elopgve. Nogle elever tænker x sån i orinelse me opgve 4: Fr hver vinkelspis kn er tegnes n 3 igonler, (er kn tegnes igonler r hver vinkelspis i polygonen - ortset r en vinkelspis jeg står på og e to noer ). Hvis jeg går r vinkelspis til vinkelspis hele vejen runet i polygonen, år jeg på en måe tegnet i lt n(n 3) igonler. Me enne remgngsmåe år jeg tegnet hver igonl præis to gnge (en gng or hvert enepunkt i igonlen). Det kompenserer jeg or ve t iviere me (ltså i lt n(n- 3) igonler). Anre elever tænker som ngivet i itlisten. I kn ruge: En ormelsmling Et geometriprogrm Opgverne på sien giver eleverne mulighe or t opge nogle egensker ve igonler i rektngler og prllelogrmmer. For rektngler gæler, t eres to igonler er lige lnge, og e skærer hinnen på miten. Desuen nner e to igonler (top-)vinkler, som er lige store to og to. I prllelogrmmer er igonlerne ikke nøvenigvis lige lnge, men e skærer hinnen på miten og nner (top-)vinkler, som er lige store to og to. Sien lægger op til, t eleverne gør opgelser og nner hypoteser igennem unersøgene reje, mens er er lngt minre vægt på ræsonnementer i rejet. Unersøgelserne kn me orel gennemøres i et geometriprogrm (x GeoGer), er giver mulighe or t remstille ynmiske tegninger, sån t eleverne ve t trække i punkter hurtigt kn unersøge mnge orskellige rektngler og prllelogrmmer. Vi oreslår, t rejet inlees ælles me en smtle om kernen i unersøgelsen og om etyningen gorene skæringspunkt og orhol. For nogle elever kn rejet me sien uvies me spørgsmål, som i højere gr lægger op til (uorrene) ræsonnementer, x: Gæler et lti, t igonlerne i rektngler er lige store? Hvoror? Hvoror ikke? I rejet me ette spørgsmål kn eleverne x støttes til t inrge eres erringer r sie 6 (verørene kongruenssætninger). Hvis e går u r, t e ire treknter, som nnes, når e tegner igonler i et rektngel, to og to hr en sie og e hosliggene vinkler tilælles, må isse treknter være kongruente og erme hve lige lnge sier. UNDERSØGELSE AF DIAGONALER I FIRKANTER Heruner er tegnet et rektngel og ets to igonler. 1 mål og smmenlign igonlernes længer. e ire vinkler ve igonlernes skæringspunkt. orholet mellem S og SC me orholet mellem DS og SB. D C A Gennemør ine unersøgelser r opgve 1 på lere rektngler, u selv tegner. Brug evt. et geometriprogrm. Gæler ine opgelser r opgve 1 or em lle? 3 Gennemør ine unersøgelser r opgve 1 på lere prllelogrmmer, u selv tegner. Brug evt. et geometriprogrm. Hv ser u til t gæle om igonlerne i prllelogrmmer? 4 Unersøg, om u kn konstruere en irknt, hvis igonler ikke er lige lnge. nner ire rette vinkler. hr et skæringspunkt, er eler em i to lige store ele. S B 1 Digonlerne er lige lnge. De ire vinkler er lige store to og to. De to orhol er egge 1:1. J, et gæler generelt or rektngler. 3 I et prllelogrm er igonlerne ikke lige lnge, men e ire vinkler ve igonlernes skæringspunkt er lige store to og to. D igonlerne i et prllelogrm skærer hinnen på miten, vil orholene r opgve 1 svre til orholene i et rektngel. 31 3 F x Begyn ve et hjørne. Tegn lle e igonler, er hr enepunkt i hjørnet er er tre ærre, en er er sier i polygonen. Gå viere til hjørnet ve sien. Tegn så lle e igonler, er hr enepunkt i ette hjørne er er også tre ærre, en er er sier i polygonen. Gå viere til næste hjørne. Tiløj så lle e nye igonler, er hr enepunkt i ette hjørne er er ire ærre, en er er sier i polygonen. Fortsæt på smme måe hele vejen runt. Antllet igonler ler r hjørne til hjørne. Fr e to siste hjørner kn er ikke tiløjes lere igonler. Læg ntllet igonler smmen. 4 n(n- 3) I kn reje viere me kopirk : Figurer og igonler kopirk 3: Digonler i en rgeirknt 4 Fx 40 41
MODELLER AF RUMLIGE FIGURER SIDE 3 SIDE 33 Nyt hus? perspektivtegning huset Grunpln huset 8,3 m på enne og på næste sie skl i reje me t læse og orstå tegninger rumlige igurer. et hus kn etrgtes som en rumlig igur. tegningerne øverst orestiller et hus, som ennu ikke er ygget. Hver tegning giver en evt. køer orskellige oplysninger om huset. Sånne tegninger kles moeller huset. Brug moellerne til t svre på spørgsmålene. 1 Diskuter, hv er kenetegner en grunpln, et loret tværsnit og en perspektivtegning. Beregn husets høje. 3 Geometri i pln og rum MODELLER AF RUMLIGE FIGURER 18, m loret tværsnit huset 3 Hvor mnge vinuer og øre er er i huset? 4 Diskuter e orskellige moellers styrker og svgheer. 4, m 83748_kolorit9_03-040_.in 3 7/14/10 9:3:7 AM 1 Fx: En grunpln viser huset vinkelret opper. Et loret tværsnit viser, hvorn huset vil se u, hvis et skæres loret igennem. En perspektivtegning gengiver husets tre imensioner på en toimensionel le (ppiret). Huset er 4, m højt. (Se teksten til venstre). 3 Der er 1 vinuer og 11 øre. 4 Fx: En grunpln er go til t give overlik over husets inretning, men giver ikke inormtion om x husets høje. Der kn måles på en grunpln, og eror kn en ruges til t eregne rel og erme til t vise husets størrelse. Et loret tværsnit er got til t give intryk husets høje, men viser ikke noget om x inretning. Perspektivtegningen giver et mest virkelighestro intryk huset, men kn ikke ruges til t måle på. Sien præsenterer (øverst) tre orskellige moeller et smme hus; en perspektivtegning, et loret tværsnit og en grunpln. Gennem rejet me sien skl eleverne lære, hv er kenetegner e tre orskellige moeller, og hvilke styrker og svgheer hver moel hr. En perspektivtegning er en tegneorm, hvor mn orsøger t ske ye og rumvirkning i illeet - mn orsøger t tegne tingene, som vi ser em r en estemt synsvinkel. Perspektivtegningen huset på sien giver eror et virkelighesnært lik på huset - en gør et let t se, hvorn huset kommer til t se u r en estemt synsvinkel. Til gengæl giver perspektivtegningen ikke så goe muligheer or t vurere husets mål. Grunplnstegningen viser huset set vinkelret r oven - uen tg og me ngivelser mål. På en måe er grunplnstegningen go til t vise husets inretning, og en gør et muligt t eregne mål på e orskellige rum i huset ve t ruge orholsregning. Til gengæl giver grunplnstegningen minre goe muligheer or t ornemme, hvorn huset ser u r en persons synsvinkel. Det lorette tværsnit viser huset gennemskåret vinkelret på yervæggene og me ngivelse mål. På en måe er tværsnittet go til t vise huset høje, og en gør et muligt t eregne mål på stnen r gulv til lot orskellige steer i huset ve t ruge orholsregning. Vi oreslår, t klssen rejer i ællessk me teksten og opgverne på sien. Bemærk, t opgve i 1.-4. oplg i eterølgene oplg erstttes me: ) Beregn stnen r gulv til lot på et lveste ste i huset. ) Beregn relet e orskellige rum i huset. De to opgver kn løses ve t måle på hhv. et lorette tværsnit og på grunplnen huset. På et lorette tværsnit svrer,1 m til 4, m. Længeorholet mellem tegningen og e virkelige mål er eror 1:00. På tegningen kn et lveste ste i huset måles til 1,3 m. Det svrer til, i virkeligheen. På tilsvrene måe kn målene på grunplnen huset eregnes. I kn reje viere me: kopirk 4: En moel et legehus I kn ruge: Isometrisk ppir Internettet På enne sie vises (øverst) yerligere to typer tegninger, som kn ruges til t gengive rumlige igurer; isometrisk tegning og projektionstegning. I en (oelt retvinklet) projektionstegning tegnes tre et ojekts sieler set vinkelret på (set lige på, r sien og r oven). I nogle smmenhænge kles projektionstegning også rejstegning (selv om x isometriske tegninger i lige så høj gr kn ungere som tegninger knyttet til reje ). De vinkelrette snit r projektionstegningen år en til t mine om grunplnstegningen og et lorette tværsnit r orrige sie. Projektionstegninger er målste på smme måe som isse Den isometriske tegning miner mest om perspektivtegningen r orrige sie ve - på næsten tilsvrene vis - t give rumornemmelse. Den isometriske tegning er imilerti målst i e retninger, som et isometrisk ppir ngiver. Det giver en styrke, t visse stne kn måles på en isometrisk tegning, men et giver smtiig en svghe, t en isometriske tegning ikke ser lige så virkelighesnær u som perspektivtegningen. Vi oreslår, t eleverne rejer i små grupper me opgverne på sien, og t gruppernes reje eterølgene smmenlignes og iskuteres i klssen. 5 Fx Isometrisk tegning giver rumornemmelse og kn ruges til længemålinger. Fx Projektionstegning viser tre lorette tværsnit huset r hver sin imension. Projektionstegningerne er (også) målste. 6 7 Isometrisk tegning og projektionstegning Øverst kn I se to nre teknikker, er ruges til t tegne moeller rumlige igurer. moellen til venstre kles en isometrisk tegning, og moellen til højre kles en projektionstegning. Tegningen i miten viser smmenhængen mellem isometrisk tegning og projektionstegning. 5 Diskuter, hvilke oplysninger I år r isometrisk tegning. projektionstegning. 6 Tegn hver igurerne til højre på isometrisk ppir. 7 Tegn lå, røe og gule projektionstegninger hver e to igurer til højre. 8 Smmenlign jeres 9 Unersøg på internettet, hv isometriske tegninger og projektionstegninger ruges til. 83748_kolorit9_03-040_.in 33 7/14/10 7:47:13 AM 8 9 Isometrisk tegning ruges l.. som rejstegning i orinelse me rørkonstruktioner, vrmenlæg og vninstlltioner. Projektionstegning ruges l.. i orinelse me tømrer- og snekerreje. 33 4 43
ISOMETRISK TEGNING OG PROJEKTIONSTEGNING 1 Fremstil projektionstegninger e isometriske GEOmETRI I PL N OG RUm ISOMETRISK ISOMETRISKTEGNING TEGNINGOG OGPROJEKTIONSTEGNING PROJEKTIONSTEGNING I kn reje viere me: kopirk 5: Isometrisk tegning kopirk 6: Fr projektionstegning til isometrisk tegning 7:47:19 7:47:19AMAM ISOMETRISK ISOMETRISK TEGNING TEGNING OG OG PROJEKTIONSTEGNING PROJEKTIONSTEGNING 11 Fremstil Fremstilprojektionstegninger projektionstegninger e eisometriske isometriske 7/14/10 7/14/10 Fremstilisometriske isometrisketegninger tegninger projektionsprojektions Fremstil tegningerne. tegningerne. I opgve må elever, er tegner i hånen, hve isometrisk ppir til råighe. På tilsvrene vis må elever, er ruger et geometriprogrm til opgven, vælge isometrisk gitternet som ggrun. 11 Fremstil Fremstilprojektionstegninger projektionstegningere eisometriske isometriske 7:47:19 AM 7/14/10 1 34 I opgve 1 kn elever, er tegner i hånen, hve glæe t ruge ppir me lyst kvrtnet til eres projektions På tilsvrene vis kn elever, er ruger et geometriprogrm til opgven, hve glæe t ruge et kvrtisk gitternet som ggrun or eres Fremstil Fremstilisometriske isometrisketegninger tegningerprojektionsprojektionstegningerne. tegningerne. 83748_kolorit9_03-040_.in GEOmETRI GEOmETRII IPLPLN NOG OGRUm RUm 3434 34 34 34 Vi oreslår, t eleverne rejer iniviuelt me e to opgver - evt. me orskellige hjælpemiler. De kn vælge mellem t ruge et geometriprogrm (x GeoGer) eller t tegne i hånen. 83748_kolorit9_03-040_.in 83748_kolorit9_03-040_.in DIN EGEN MODEL 1 Tegn en grunpln og et loret tværsnit en ygning på in skole eller in egen olig i et pssene målestoksorhol. Vi oreslår, t klssen inleer rejet i ællessk me en smtle om opgven og e entrle egreer i en (grunpln, loret tværsnit, målestoksorhol - også klet længeorhol). L em overveje, hv er er et pssene målestoksorhol (længeorhol), hvis tegningerne skl præsenteres på en plnhe. I en it-præsenttion? Lv evt. en ælles rinstorm over ygninger på skolen, som åe kn tegnes i grunpln og i loret tværsnit. Husk, t eleverne skl hve mulighe or t måle eller eregne åe længer og højer i ygningen. Hvilke ygninger vil gøre opgven let, og hvilke ygninger vil gøre opgven uorrene? GEOmETRI I PL N OG RUm 83748_kolorit9_03-040_.in 35 35 7/14/10 1 L eleverne reje me opgven iniviuelt eller i mkkerdin EGEN MODEL pr - og l em evt. selv vælge hjælpemiler til opgven. For nogle kn et være en orel t ruge kmerer til t sthol1 Tegn en grunpln og et loret tværsnit en in skole eller in egen olig i et e e entrle ele ygning enpåmålestoksorhol. ygning, eleverne vil tegne. Nogle pssene vil hve glæe t ruge et geometriprogrm (x GeoGer), mens nre oretrækker t tegne i hånen. Aslut rejet me sien ve t le eleverne præsentere og iskutere eres reje or og me hinnen. Hv hr været EGEN MODEL let/sværtdini proessen? Hvilke oplysninger giver e orskellige tegninger? Hv er en go grunplnstegning/et got loret 1 Tegn en grunpln og et loret tværsnit en ygning på intværsnit skole eller in egen olig eni etygning? pssene målestoksorhol. GEOMETRI I PL AN OG RUM 44 Sien rummer en enkelt åen opgve. Eleverne skl - i et pssene målestoksorhol (længeorhol) - tegne en grunpln og et loret tværsnit en ygning på skolen eller hjemme. Opgven giver på en måe goe ierentieringsmuligheer og goe muligheer or t uvikle åe repræsenttionskompetene, hjælpemielkompetene og ærigheer i geometrisk tegning. De to opgver på sien okuserer på oversættelser rem og tilge mellem isometriske tegninger og projektions Arejet giver på en måe eleverne mulighe or t uvikle åe eres repræsenttionskompetene og ærigheer i geometrisk tegning. Fremstil isometriske tegninger projektionstegningerne. I kn ruge: Et geometriprogrm Et kmer I kn ruge: Isometrisk ppir Et geometriprogrm ISOMETRISK TEGNING OG PROJEKTIONSTEGNING DIN EGEN MODEL SIDE 35 SIDE 34 35 45 7:47:3 AM
RUMFANG OG OVERFLADEAREAL SIDE 36 SIDE 37 MMMMMMMMMMMMMM RUMFANG OG OVERFLADEAREAL I kn ruge: Et CAS-progrm I kn ruge: Et CAS-progrm MMMMMMMMMMMMMM MUNTLIG Ksse Prisme Cyliner 7 m 5 m 3 m Øverst ses skitser seks orskellige rumlige igurer. til hver igur ines er en ormel til eregning rumng. De seks rumngsormler står til højre. 1 Diskuter, hvilke rumngsormler er hører til hvilke rumlige igurer. Hvorn kn i se et? u nersøg, om i hr ret ve hjælp internettet eller en ormelsmling. 3 Beregn rumnget hver e seks igurer øverst. Forestil jer, t en hokoleprouent vil remstille æsker me e seks orskellige ormer, som er vist øverst. Hver æske skl rumme 500 m 3. 4 u nersøg, hvilke mål hver e seks orskellige æsker kn hve. tegn skitser e seks æsker. 36 Geometri i pln og rum 9 m 4 m 1 Ksse: (og ) Prisme: Cyliner: (og ) Kegle: (og ) Pyrmie: Kugle: e 4 m 4 m h: høje G: rel grunlen V: rumng V = h G h: høje r: rius V: rumng V = π r h h: høje l: længe : ree V: rumng V = l h e h: høje G: rel grunlen V: rumng V = 1 3 h G r: rius V: rumng V = 4 3 π r3 h: høje r: rius V: rumng V = 1 3 h π r 3 Ksse: 105 m 3 Prisme: C. 6 m 3 (36 3) Cyliner: C. 75 m 3 (4 ) Kegle: C. 57 m 3 (18 ) Pyrmie: 48 m 3 Kugle: C. 34 m 3 ( 3 3 π ) 4 Fx. 6,9 m 5 m 10 m 10 m. 4,9 m 10 m 10 m 0 m 10 m. 4 m 5 m m 5 m 10 m På enne sie skl eleverne reje me ormler til eregning orskellige rumlige igurers rumng. De skl live i stn til t kunne nvene sånne ormler. Sien hænger smmen me en ølgene sie - emærk, t er reereres til lle seks igurer øverst (også em på sie 37). Inle evt. rejet ælles i klssen me en smtle om e seks igurer øverst og om e gor, er ingår i rumngsormlerne. Hv kenetegner hver e seks igurer øverst? Hvilke igurerne hr en høje, og hvor ines højen i e orskellige igurer? Hvilke igurerne hr en grunle? Hvor ines isse grunler, og hvorn ser e u? Bortset r kuglen hr lle e viste rumlige igurer en høje og en grunle, som kunne hve ingået i e tilhørene rumngsormler (x kunne rumngsormlen or keglen være ngivet som V = 1 3 h G, hvor G er relet grunlen), men vi hr vlgt t gengive ormlerne i e ormer, som ruges hyppigst. L eleverne reje i små grupper me opgve 1-3 og gennemgå i ællessk gruppernes resultter. Følgene spørgsmål kn evt. være i støtte i gruppernes reje me opgve 1: Er er ormler, I kener i orvejen? Kn I se på ormlerne, om er ingår relet en irkel? Hvilke rumlige igurer kunne e høre til? Er er nogen ormlerne, er ligner hinnen? Er er nogen igurerne, er ligner hinnen? Opgve 4 hr mere prolemløsene krkter - et er en el opgven, t eleverne selv iner en vej til løsningen. Bemærk, t er er mnge orskellige mulige løsninger. Nogle elever prøver sig (mere eller minre systemtisk) rem til løsninger. Anre elever opstiller ligninger og vælger en væri or en e uekente i isse ligninger. Ligningerne kn evt. løses vh. et CAS-progrm (x WorMt). Sien er helt prllel til orrige sie. Her skl eleverne re reje me ormler or e rumlige igurers overlereler i steet or eres rumngsormler. Inle evt. rejet ælles i klssen me en smtle om e gor, som ingår i e tre ormler til højre på sien (en skrå sielænge, en krumme overle, en smlee overle). Smmenhol gorene me e seks igurer øverst. Hvilke igurerne hr en krum overle? En skrå sielænge? Tl også om, hvorn eregninger me ormlerne kn oretges. Hvorn oregår eregningerne me rug et CASprogrm (x WorMt)? Hvorn kn eregningerne oregå me rug en lommeregner? Hvorn kn ormlerne ruges til overslgseregninger oretget i hoveet? Bemærk, t opgve 8 kn give goe ierentieringsmuligheer. Opgvens sværhesgr hænger i høj gr, hvilken igur eleverne vælger. Generelt liver igurerne overlerel minst, når e i så høj gr som muligt år kugle- eller kueorm eller orm, så e i så høj gr som muligt kn uyle en kue eller en kugle. Fx liver overlerelet en yliner eller en kegle me et givent rumng eror minst, når grunlens imeter svrer til igurens høje. Ksse Prisme Cyliner 9 m 7 m 5 m 3 m 4 m 4 m Kegle Pyrmie Kugle 3 m 4 m I kn reje viere me: kopirk 7: En ksse olet ppir kopirk 8: Rumnget en pyrmie kopirk 9: En uolning en pyrmie 4 m m m Kegle Pyrmie Kugle 3 m Hver e rumlige igurer øverst hr et overlerel. Til højre ses ormler or overlerelet tre igurerne øverst. 5 Diskuter, hvilke ormler or overlerel er hører til hvilke rumlige igurer. Hvorn kn I se et? 6 Unersøg, om I hr ret ve hjælp internettet eller en ormelsmling. 7 Beregn overlerelet hver e seks igurer øverst. Forestil jer, t hokoleprouenten r sie 36 gerne vil ruge minst mulig emllge til sine hokoleæsker. 8 Vælg minst en e seks orskellige typer rumlige igurer og unersøg, hvilke mål iguren skl hve or t å et minst mulige overlerel, når rumnget skl være 500 m 3. 9 Præsenter jeres resultter or hinnen. 4 m r: rius s: en skrå sielænge : rel Den krumme overle: = π r s Den totle overle: = π r(r + s) r: rius : rel Den totle overle: = 4 π r h: høje r: rius : rel m Den krumme overle: = π r h Den totle overle: = π r(r + h) 5 Den øverste ormel gæler or en kegle. Den miterste ormel gæler or en kugle. Den neerste ormel gæler or en yliner. 6 7 Ksse: 14 m Prisme: C.1 m Cyliner: C. 101 m Kegle: C. 85 m Pyrmie: 9 Kugle: C. 50 m 8 Fx Kssen skl hve orm som en terning me sielænger på 9 3 500 m ; 7,94 m. Me isse mål liver overlerelet. 378 m. 37 10 m 46 47
FÆRDIGHEDER SIDE 38 RUMDIAGONALER SIDE 39 1 Beregn rumnget og overlerelet hver igur. Brug evt. lommeregner og/eller et geometriprogrm. 1 m 1 m 0,5 m FÆRDIGHED 1 m e g 0,5 m m 1 m 15, 9,0 m 9,0 m 9,0 m I kn ruge: Et geometriprogrm 1 Rumng: 43 m 3 Overlerel: 360 m Rumng: 648 m 3 Overlerel: 504 m Sien lægger ørst og remmest op til nvenelse Pythgors sætning i orinelse me eregninger igonlers og rumigonlers længer. Vi oreslår, t rejet inlees me en ælles smtle om et nye gor, rumigonl (en rumigonl er et linjestykke mellem to hjørner i en rumlig igur) og om, hvorn længen en igonl i et rektngel kn eregnes ve hjælp Pythgors sætning, hvis rektnglets sielænger er kente. L eleverne reje iniviuelt eller i små grupper me opgve 1-4, og smmenlign eterølgene eregningsmetoer og resultter i klssen. RUMDIAGONALER I en ksse ines er lminelige igonler og rumigonler. I kssen heruner er linjestykket r til C en lminelig igonl, og linjestykket r E til C er en rumigonl. G F H C B E D A 38 1 m 0,5 m 3 m 15 m Geometri i pln og rum h,0 m,0 m,0 m Rumng: 0,15 m 3 Overlerel:,5 m Rumng: C. 44 m 3 Overlerel: C. 339 m e Rumng: C. 0,5 m 3 Overlerel: C. 3,1 m Opgve 4 kn være en uorring or mnge elever, ori Pythgors sætning ikke kn ruges irekte i orinelse me opgven. Disse elever kn evt. støttes ve t tegne et tværsnit kssen, vinkelret på kssen sieler lngs me en kssens rumigonler: rumigonl 4 1 Hvor mnge lminelige igonler me orskellige længer ines er i kssen på tegningen? Beregn længerne e orskellige lminelige igonler i kssen. 3 Hvor mnge rumigonler me orskellige længer ines er i kssen på tegningen? 4 Beregn længen rumigonlen EC i kssen. 1 Tre orskellige. 41, 80 89 3 Alle rumigonlerne i kssen hr smme længe. 4 105 og 39 Rumng: C. 4, m 3 Overlerel: C. g Rumng: 11,5 m 3 Overlerel: C. 165 m Dette tværsnit er en retvinklet treknt. Den ene ktete hr længen 4, og en nen ktetes længe kn eregnes ve hjælp Pythgors sætning, ori en ugør en lminelig igonl i kssen (en er 89 ). På en måe kn Pythgors sætning nu nvenes til eregning rumigonlens længe. h Rumng: C. 6,3 m 3 Overlerel: C. 1 m 48 49