Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig løsning Calculus 1-2003 Uge 38.1-1
Nemme determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix Calculus 1-2003 Uge 38.1-2
Nemme determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 Calculus 1-2003 Uge 38.1-2
Nemme determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 2-matrix a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Calculus 1-2003 Uge 38.1-2
Nemme determinanter Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 2-matrix a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 3-matrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Calculus 1-2003 Uge 38.1-2
Udregn determinanter Eksempler 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 Calculus 1-2003 Uge 38.1-3
Udregn determinanter Eksempler 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 1 2 3 4 5 6 2 3 0 = 1 5 6 3 0 2 4 6 2 0 + 3 4 5 2 3 = (5 0 6 3) 2(4 0 6 2) +3(4 3 5 2) = 18 + 24 + 6 = 12 Calculus 1-2003 Uge 38.1-3
Nem vej til areal Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Calculus 1-2003 Uge 38.1-4
Nem vej til areal Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Calculus 1-2003 Uge 38.1-4
Determinant ved rækkeudvikling Definition Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Calculus 1-2003 Uge 38.1-5
Determinant ved rækkeudvikling Definition Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter i-te række A = n ( 1) i+j a ij A ij j=1 Calculus 1-2003 Uge 38.1-5
Determinant ved rækkeudvikling Definition Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter i-te række A = n ( 1) i+j a ij A ij j=1 Kan skrives A = ( 1) i+1 a i1 A i1 + ( 1) i+2 a i2 A i2 + Calculus 1-2003 Uge 38.1-5
Determinant mange veje Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling A = n ( 1) i+j a ij A ij i=1 Calculus 1-2003 Uge 38.1-6
Determinant mange veje Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling A = n ( 1) i+j a ij A ij i=1 Determinanten er uafhængig af valgt række/søjle. Calculus 1-2003 Uge 38.1-6
Determinant mange veje Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling A = n ( 1) i+j a ij A ij i=1 Determinanten er uafhængig af valgt række/søjle. Eksempel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 = 4 6 = 7 9 4 6 7 9 Calculus 1-2003 Uge 38.1-6
Udregn determinant af orden 4 Eksempel 1 1 0 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 7 = ( 1) 4+4 0 1 0 0 0 1 = ( 1) 3+3 1 0 0 1 = 1 Calculus 1-2003 Uge 38.1-7
Trekantsmatrix 0-række/søjle 0 a 12 0 a 22.... = 0 0 a 21 a 22.... = 0 Calculus 1-2003 Uge 38.1-8
Trekantsmatrix 0-række/søjle 0 a 12 0 a 22.... = 0 0 a 21 a 22.... = 0 Øvre trekantsmatrix a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n...... 0 0 a nn = a 11 a 22 a nn Calculus 1-2003 Uge 38.1-8
Rækkeoperationsmatricer Ombytning af to rækker: 0 1 1 0 = 1 Calculus 1-2003 Uge 38.1-9
Rækkeoperationsmatricer Ombytning af to rækker: 0 1 1 0 = 1 Multiplikation af række med tal 0: 1 0 0 r = r Calculus 1-2003 Uge 38.1-9
Rækkeoperationsmatricer Ombytning af to rækker: 0 1 1 0 = 1 Multiplikation af række med tal 0: 1 0 0 r = r Addition af et multiplum af en række til en anden: 1 r 0 1 = 1 Calculus 1-2003 Uge 38.1-9
Rækkeregneregler Beregning af determinant Calculus 1-2003 Uge 38.1-10
Rækkeregneregler Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Calculus 1-2003 Uge 38.1-10
Rækkeregneregler Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus 1-2003 Uge 38.1-10
Rækkeregneregler Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en række til en anden: Determinanten er uændret Calculus 1-2003 Uge 38.1-10
Søjleregneregler Beregning af determinant Calculus 1-2003 Uge 38.1-11
Søjleregneregler Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Calculus 1-2003 Uge 38.1-11
Søjleregneregler Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus 1-2003 Uge 38.1-11
Søjleregneregler Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en søjle til en anden: Determinanten er uændret Calculus 1-2003 Uge 38.1-11
Determinanten er nul Observationer om determinant Calculus 1-2003 Uge 38.1-12
Determinanten er nul Observationer om determinant En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 Calculus 1-2003 Uge 38.1-12
Determinanten er nul Observationer om determinant En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Calculus 1-2003 Uge 38.1-12
Determinanten er nul Observationer om determinant En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 1 3 1 0 2 5 2 8 2 7 2 1 1 9 1 2 = 0 Calculus 1-2003 Uge 38.1-12
Udregn determinanter Eksempler Reducer til øvre trekantsmatrix 1 2 3 4 = 1 2 = ( 1) 10 = 10 0 10 Calculus 1-2003 Uge 38.1-13
Udregn determinanter Eksempler Reducer til øvre trekantsmatrix 1 2 3 4 = 1 2 = ( 1) 10 = 10 0 10 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 = 0 3 6 = 0 3 6 2 3 0 0 1 6 0 0 4 = 1 ( 3) ( 4) = 12 Calculus 1-2003 Uge 38.1-13
Determinant af matrixprodukt Sætning 11 (Produktreglen) For to kvadratiske n-matricer A,B gœlder AB = A B Calculus 1-2003 Uge 38.1-14
Determinant af matrixprodukt Sætning 11 (Produktreglen) For to kvadratiske n-matricer A,B gœlder AB = A B Bevis For B fast og A en rækkeoperationsmatrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kan A skrives som produkt af rækkeoperations-matricer samt enten identitetsmatricen eller en matrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger heraf. Calculus 1-2003 Uge 38.1-14
Brug produktreglen Eksempel A = 1 2 3 4 5 6 2 3 0 = 12 Calculus 1-2003 Uge 38.1-15
Brug produktreglen Eksempel AA = 1 2 3 A = 4 5 6 = 12 2 3 0 15 21 15 36 51 42 = AA = A A = 12 12 = 144 14 19 24 Calculus 1-2003 Uge 38.1-15
Determinant af potens Potenser 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 Calculus 1-2003 Uge 38.1-16
Determinant af potens Potenser 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 ( ) k 1 2 3 4 = 1 2 3 4 k = ( 10) k Calculus 1-2003 Uge 38.1-16
Determinant af invers matrix Sætning 12 (Inversreglen) En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gœlder hvis A 0. A 1 = 1 A Calculus 1-2003 Uge 38.1-17
Determinant af invers matrix Sætning 12 (Inversreglen) En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gœlder hvis A 0. Bevis A 1 = 1 A Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A 0 så kan A skrives som produkt af rækkeoperationsmatricer, som hver er invertible. A er da invertibel. Calculus 1-2003 Uge 38.1-17
Brug inversreglen Eksempel Matricen har determinant 1 2 3 A = 4 5 6 2 3 0 A = 12 Calculus 1-2003 Uge 38.1-18
Brug inversreglen Eksempel Matricen har determinant A = 1 2 3 4 5 6 2 3 0 A = 12 A er invertibel og den inverse har determinant A 1 = A 1 = 1 12 Calculus 1-2003 Uge 38.1-18
Determinant af negative potenser Negative potenser 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 Calculus 1-2003 Uge 38.1-19
Determinant af negative potenser Negative potenser 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 ( ) 1 1 2 3 4 = 1 10 Calculus 1-2003 Uge 38.1-19
Determinant af negative potenser Negative potenser 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 ( ) 1 1 2 3 4 = 1 10 ( ) k 1 2 3 4 = 1 ( 10) k Calculus 1-2003 Uge 38.1-19
Determinant af alle potenser Potensreglen for determinant Calculus 1-2003 Uge 38.1-20
Determinant af alle potenser Potensreglen for determinant Hvis A 0 så A k = A k for alle hele tal k. Calculus 1-2003 Uge 38.1-20
Determinant af alle potenser Potensreglen for determinant Hvis A 0 så A k = A k for alle hele tal k. Hvis A = 0 så A k = 0 for alle hele tal k > 0. Calculus 1-2003 Uge 38.1-20
Jacobimatricen [LA] 2.2 Kædereglen i matrix-formulering Definition For en differentiabel afbildning g : R n R n (u 1,...,u n ) (g 1 (u 1,...,u n ),...,g n (u 1,...,u n )) er Jacobideterminanten determinanten af Jacobimatricen g 1 g u 1... 1 u n d u (g) =..... g n u 1... g n u n Calculus 1-2003 Uge 38.1-21
Jacobimatricen [LA] 2.2 Kædereglen i matrix-formulering Eksempel For afbildning g : R 2 R 2 er Jacobideterminanten (u 1,u 2 ) (u 2 1 + u 2 2,u 1 u 2 ) d u (g) = d u (g) = g g 1 u 1 g 2 1 u 2 g 2 u 1 u 2 2u 1 2u 2 u 2 u 1 = 2u2 1 2u 2 2 Calculus 1-2003 Uge 38.1-22
Ligningssystem og determinant Sætning 13 (Entydig løsning) 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning (uendelig mange), hvis og kun hvis A = 0. Calculus 1-2003 Uge 38.1-23
Ligningssystem og determinant Sætning 13 (Entydig løsning) 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning (uendelig mange), hvis og kun hvis A = 0. 2. Det inhomogen ligningssystem Ax = b har en og kun en løsning, hvis og kun hvis A 0. Calculus 1-2003 Uge 38.1-23
Bestem entydig løsning Opgave For hvilke tal t har det homogene ligningssystem med koefficientmatrix 1 1 1 A = 1 t 1 1 1 t en entydig løsning. Find løsningsrummet for alle t. Calculus 1-2003 Uge 38.1-24
Bestem entydig løsning Opgave - løsning Beregn determinanten 1 1 1 A = 1 t 1 = 1 1 t 1 1 1 0 t 1 0 0 0 t 1 = (t 1) 2 Calculus 1-2003 Uge 38.1-25
Bestem entydig løsning Opgave - løsning Beregn determinanten 1 1 1 A = 1 t 1 = 1 1 t 1 1 1 0 t 1 0 0 0 t 1 = (t 1) 2 For t 1 har det homogene ligningssystem entydig løsning x = 0. Ax = 0 Calculus 1-2003 Uge 38.1-25
Bestem alle løsninger Opgave - løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet x 1 + x 2 + x 3 = 0 Calculus 1-2003 Uge 38.1-26
Bestem alle løsninger Opgave - løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet Dette giver løsninger x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 = x 2 1 1 0 + x 3 1 0 1 Calculus 1-2003 Uge 38.1-26