Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge
Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke retvinklede treknter...9 Komplekse trigonometrisk opgver...10 Plngeometri Linje og irkel...13 Linjens ligningen...13 Linjens ligning ud fr to punkter...13 Skæring f to linjer...13 Cirklens ligning...14 Afstnd mellem to punkter...14 Vektorer...15 V
Indledning Denne note indeholder supplerende mterile til gennemgng f trigonometri / Geometri Trigonometri. Det første vi vil se på er de to hoved personer i trigonometrien nemlig Sinus Cosinus Sgt med ord er Sinus den projierede på y ksen og Cosinus på X-ksen i en enhedsirkel som det er vist på tegningen her under. Sin Cos Tænk lige på ordet enhedsirkel, en irkel med en med rdius 1. Trigonometri Cosinus og Sinus er ltså rene definitioner, men mn kn fktisk godt finde funktioner der beskriver Sinus og Cosinus Altså : (læg mærke til t funktionerne ltså også skrives på smme måde som vi er vndt til t se funktioner som f.eks. f(x)) sin(v) = os(v) =
Hvordn ser funktionerne egentligt ud???? sin( x)=x x3 3! + x5 5! + x7 7! + x9 9!... os( x)=1 x2 2! + x 4 4! + x6 6! + x8 8!... men det er så nok også eneste gng i ser dem, men husk t det er funktioner der står bg det gør mnge ting nemmere t forstå. Vi mngler lige t indføre den sidste definition nemlig Tngens som få det komplette billede til t se sådn ud Ld os lige se på den indlgte treknt. Hvd er det for en treknt Hvd kn i fortælle om længden f siderne (der er 4 ting) Sinus 1 V Cosinus Tngens Det næste grundlæggende spørgsmål er, hvd sker der med vinklerne i denne treknt hvis mn forstørre den 3 gnge? Eller 5 eller 6 eller 5,5 b V b os ( V ) = b sin (V) =
Vi tger lige et pr f de grundlæggende smmenhænge først ved brug f eksempler: 10 her bruger vi direkte = 10 os(20) og får med det smme resulttet 4 20 o 20 o lidt mere vnskeligt i den næste smmenhængen er som før 4 = sin(20) nu skl vi blot isolere til = 4 sin(20) og vi hr nu resulttet den sidste simple type er der hvor vi skl finde vinklen ud fr længder 10 grundformlen er igen 0,5 V 0,5=10 os(v) såskl vi isolere V 0,5 10 =os(v) og nu til det speielle nemlig t bruge den modstte funktion også kldt den omvendte funktion os 1 ( 0,5 10 )=V og vi knfinde svret på lommeregneren Ld os lve et pr opgver i dette ( se opgver i opgve smlingen) Og denne Find længden ud fr de viste vinkler og længden 20 h 20 50 o 30 o Hint: del op i 2, prøv t finde h først som før derefter skift til den nden retvinklede treknt, find så de to dele f.
Sinusreltionen: Øvelse B h A b C Skriv formlen op for h udtrykt ved C og Skriv formlen op for h udtrykt ved A og sæt nu h=h og omskriv således t og A står på den ene side f = og og C på den nden. Hvd får i nu?? og hvordn ville denne smmenhæng se ud hvis mn indførte b og B Ld os lige gennemgå (et ndet) bevis for Sinusreltionen. h b B Der er ltså flere måder t komme frem til Sinusreltionen på og den viste metode er bseret på h og relet. Arelet = 1/2 h = 1/2 sin(b) Dette kn gøres for hver vinkel eller hver højde om mn vil. Arel = 1/2 b sin ( A) Arel = 1/2 b sin ( C ) eller Arelet = 1/2 h = 1/2 sin(b) = 1/2 b sin ( A) = 1/2 b sin ( C ) Som kn omskrives til sin A =sin B b =sin C
Cosinusreltionen. A h b B x -x C Hvis mn bruger Pythgors på de to retvinklede treknter får mn grundlg for t bevise osinusreltionen, men der findes flere metoder. 2 =h 2 + x 2 b 2 =( x) 2 +h 2 vi lver et lille trik som mntit kn brug når mn vil hve udtryk smmenskrevet, nemlig t trække de 2ligninger fr hinnden. Dobbeltydighed. 2 b 2 =h 2 +x 2 (( x) 2 +h 2 ) 2 b 2 =h 2 + x 2 2 x 2 +2x h 2 2 b 2 = 2 +2 x 2 + 2 b 2 =2 x x kn jo også skrives som x= os(b) 2 + 2 b 2 =2 os(b)eller 2 + 2 b 2 =os( B) 2 Det giver i øvrigt en mulighed for t mn skl løse en ndengrdsligning og hvis denne giver to løsningsmuligheder j så er der to løsninger, det er det mn klder et dobbeltydigt tilfælde Prøv t kigge på A = 30 b = 14 = 9
Smmendrg Retvinklede treknter Ld os lige kigge på sinus og osinus reltionerne smt osinus og sinus som sådn, her er uddrg f formelsmlingen. tn(v) sin(v) V os(v) = os(v) b = sin(v) b = tn(v) Yderligere kn mn udlede f disse. = os(v ) = b sin(v ) = b tn(v ) V b Phytgors sætning kun for retvinklede treknter 2 =b 2 + 2
Ikke retvinklede treknter Sinusreltionen : sin A = b sin B = sin C B Cosinus reltionen: A b C os A = 2 b 2 2 2b os B = 2 2 b 2 2 os C = 2 b 2 2 2b A=os 1 2 b 2 2 2b B=os 1 2 2 b 2 2 C=os 1 2 b 2 2 2b
Komplekse trigonometrisk opgver Vi skl også snkke lidt om komplierede trigonometri opgver Dette er et spær til et A hus, det er dnnet f en ligesidet treknt Der skl være en stå højde i huset på 2,2 m De små vægge skl være 0,8 m Jeg vil hve t overlæggeren skl være 4 meter for t der bliver et rimeligt rum Find resten f målene så Jeg kn lve spærret. Spærret er lvet f 200 mm brede spærtræ, der lægges klink på tget f 250 mm fjellbrædder der hr en effektiv dækning på 230 mm. Der skl være mindst 0,2 m ud hæng over væggene. Hvor mnge fjellbrædder skl jeg bruge i fuld længde?
Vi hr ikke snkket så meget rel men dem der kn nå det kigger på spørgsmål b også (hint find højden)
Drille opgve
Plngeometri Linje og irkel Linjens ligningen Linjens ligning kn bseres på hældnings kvotienten til en linie som vi kender det fr Differentil regningen og kommer på denne måde til t se såden ud : y=x+b Linjens ligning ud fr to punkter Hvis mn vil lve en linjens ligning ud fr to punkter mn ved linjen går igennem, j så ved vi jo fr før t hældningen f en linje kn bestemmes ud fr y x =y 2 y 1 x 2 x 1 og mn kn finde b ud fr t f de punkter mn kender ved simpel indsættelse. f.eks 2punkterergivet (2,3) og(1,10) Hældningen er 10 3 1 2 = 7 1 = 7 indsæt (2,3) 7 2+b=3 14+b=3 b=17 Linjens ligning er 7x+17=y Skæring f to linjer Nturen i t finde skæringspunkter er jo t finde smmenfldende punkter, ltså finde et punkt der er på begge linjer eller for den sgs skyld begge figurer. Hvis mn kender ligningerne for begge figurer så er det klrt t det mn søger er et (x,y) der er løsninger til begge ligninger. Det betyder t når mn skl finde skæringspunktet for to linjer skl mn sætte x og y lig med hinnden og ltså løse to ligninger med to ubekendte og det er fktisk den smme
metode mn skl bruge for skæring for lle figurer. Cirkel linje, irkel irkel et. f.eks Ligninger for linjer 2x 2=y 10x+3=y skæring mellem linjerne de 2 yer sættes lig hinnden 2x 2=10x+3 5=8x x= 5 8 2( 5 8 ) 2=y= 26 8 = 13 4 Cirklens ligning Cirklen ligning er som grundreltionen bseret på Pythgors, for ifølge Pythgors kn der om et hvert punkt på en irkel, med entrum i (0,0) r 2 = x 2 + y 2 Hvis mn igen forskyder irklen væk fr t hve entrum i (0,0) til t hve entrum i f.eks (x 0,y 0 ) så bliver irklens ligning. r 2 = (x-x 0 ) 2 + (y-y 0 ) 2 r V x y Afstnd mellem to punkter Med bggrund i den viste figur kn vi se t koordinter og fstnden mellem to punkter kn tegnes som en retvinklet treknt og det betyder t mn kn finde fstnden mellem de to punkter ud fr forskellen i x og y koordinter. B A
Ved brug f phytgors får mn ltså AB = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 eller AB = x 2 + y 2 Vektorer