Kratere fra dråbenedslag i vand

Kratere fra dråbenedslag i vand Isabella Sheldon og Niels Erik Wegge, Birkerød Gynasiu og IB Abstract Vi har brugt højhastighedsoptagelser til at undersøge de tilnærelsesvist halvkugleforede kratere, der kortvarigt dannes i en vand ved lodret nedslag af vanddråber ed energier elle ca. 5 og 00. Mens det uiddelbart ser ud, so o der er en proportionalitet elle nedslagsenergien og tredje ens af kraterstørrelsen ( E R ), viser en nærere analyse, at data er konsistente ed en odel af foren E = ar + br, hvori kraterdannelsen forklares ud fra en energibetragtning, der også inkluderer spænding. I denne odel oveksles nedslagsenergien (ed en vis nyttevirkning) dels til entiel energi, når vandet løftes op fra krateret; dels til at danne ny vand. Løftearbejdet i forbindelse ed udgravning af et krater ed radius R vises at være proportionalt ed R, ens tilvæksten i energi er proportional ed R. Med denne odel kan vi redegøre for 75 % af nedslagsenergien i det undersøgte energiinterval. 1. Kratere i sand Det er efterhånden blevet et standardforsøg i den danske gynasieverden at undersøge størrelsen af det krater der fores, når en lille stålkugle falder ned i tørt sand fra forskellige højder (Fig. 1). En sipel odel for kraterdannelsen bruger energibevarelse: det este af nedslagsenergien osættes til vare, og resten bruges på det arbejde, det er at slynge sandkornene fra krateret op i en kraterrand. Tilvæksten i entiel energi for sandkornene fra et halvkugleforet krater ed radius R (og altså voluen pr ) beregnes so assen af sandet ( πρr, hvor r er sandets densitet) gange tyngdeaccelerationen g gange den gennesnitlige løftehøjde. Hvis vi antager at sandkornene i gennesnit løftes stykket α R (altså proportionalt ed kraterets størrelse), så fås παρ g Ekrater = sand g α R = R Hvis nedslagsenergien E odannes til E krater ed nyttevirkningen h, Ekrater = η E, så forventes altså følgende proportionalitet elle nedslagsenergi og fjerde ens af kraterradius: παρ g E = R η Med 16 gange større nedslagsenergi fordobler an kraterets lineære størrelse. Saenhængen er ne at eftervise eksperientelt, og nyttevirkningen h viser sig at være ganske lille: nogle få procent. Hvis an frejdigt ekstrapolerer ensfunktionen fra sandkasseforsøgets centieterstore kratere til virkelighedens kiloeterstore nedslagskratere, kan an forsøge at vurdere størrelsen af de eteorer, der dannede de.. Kratere i vand epiri Ideen til at udvide studiet af kratere fra sand til vand fik den ene af forfatterne, da hun skulle lave sit Extended Essay i forbindelse ed sin IB eksaen 1) på Birkerød Gynasiu. Nærværende artikel er baseret på en videreførelse af de tanker og etoder, hun udviklede dengang, sat nye, ohyggelige ålinger. I dette eksperientelle afsnit beskriver vi først forløbet af et dråbenedslag i vand rent kvalitativt og præsenterer derefter vores ålinger..1 Højhastighedsfiloptagelser og opåling Udviklingen af et transient krater i vandn kan følges i billedserien i Fig., so viser et nedslag på lidt over 00. Forløbet kan deles i to faser: før og efter krateret har opnået sin aksiale størrelse. Fase 1: fra dråbenedslag til aksial kraterstørrelse (varighed: ca. 15 s) Mateatik Fysik Figur 1 Kuglenedslag i tørt sand. Kun få procent af nedslagsenergien bruges til opslyngning af sandkorn. Foto: Sukhleen Kaur. Et stort antal eget så dråber slynges op og væk fra nedslaget, når dråben raer vandn. 1) IB er International Baccalaureate, og Extended Essay er for IB, hvad SRP er for STX. LMFK-bladet 5/016

Krateret bliver hurtigt halvkugleforet ed lodrette sidevægge, og det vokser både i dybde og diaeter. a En kraterrand vokser op straks efter nedslaget. Den er først høj og tynd, en synker efterhånden saen og bliver tykkere. Kraterrandens overkant er uregelæssig, so en krone ed takker. Fase : fra aksial kraterstørrelse til start af Rayleigh jet (varighed: ca. 5 s) Når krateret har nået sin aksiale størrelse, er det halvkugleforet ed lodrette sidevægge. Højden af kraterranden er på dette tidspunkt ca. halvdelen af kraterets radius. Fig. d. b Krateret kollapser opad og udad: dybden indskes, ens diaeteren fortsat vokser langsot. Kratersiderne ophører ed at være lodrette. Satidig kollapser kraterranden ens den bevæger sig radielt udad so en bølge. c Når kraterbunden er koet op til niveau, dannes en vandsøjle idt i krateret, den såkaldte Rayleigh jet. Efter disse to faser skyder Rayleigh jetten op til en aksial højde (ca. 100 s efter nedslaget), hvor en eller flere dråber spektakulært afsnøres. Disse dråber falder til sidst ned og danner saen ed den kollapsende Rayleigh jet et nyt andengenerationskrater. d Figur a En 0 g vanddråbe (diaeter ) lige før den raer vandn i et bægerglas. Faldhøjde: 60 c. Fotos: Isabella Sheldon. Figur b Dråben har lige rat. En tynd krans af såbitte dråber sprøjter væk fra nedslagsstedet. Figur c Det halvkugleforede krater vokser, og en egentlig kraterrand dannes. Brydning i vandet og det runde bægerglas gør, at undervandsdelen af krateret ser større ud end den er: i virkeligheden ligger kraterranden uden for krateret. Optagelserne til den egentlige undersøgelse foregik i et rektangulært kar. e Figur d Krateret har efter 15 s opnået aksial dybde. Siderne er stadig lodrette. Figur e Krateret kollapser opad og udad. Randen bevæger sig udad so en bølge. Figur f 100 s efter nedslaget er der dannet en Rayleigh jet, so skyder op fra idten af det kollapsede krater. f LMFK-bladet 5/016 Mateatik Fysik

Der er adskillige åletekniske udfordringer forbundet ed undersøgelsen af vandkratere: For det første eksisterer krateret kun i eget kort tid. Vi har derfor filet kraterdannelsen ed 000 billeder i sekundet ) og efterfølgende opålt krateret ved videoanalyse i LoggerPro. For det andet forvrænges billederne pga. brydning, hvis dråbenedslagene foregår i en cylindrisk beholder. Vi benyttede derfor et lille rektangulært kar. For det tredje er krateret dynaisk og ændrer hele tiden størrelse og for, så hvornår skal an åle? Vi har valgt at opåle krateret på det relativt veldefinerede tidspunkt, hvor krateret har opnået aksial dybde. På dette tidspunkt er der ikke egen bevægelse i selve krateret, og en energianalyse er derfor siplere. For det fjerde afhænger nedslagsenergien såvel af dråbens faldhøjde so dens asse. I forsøg ed stålkugler er denne asse konstant fra nedslag til nedslag, en ikke ed vanddråber. Vi har derfor placeret opstillingen på en illigravægt og bestet dråbeassen for hvert nedslag so differensen af assen efter og før dråbenedslaget. For det fete har det krævet eget stor ålenøjagtighed og ohyggelighed at afgøre præcis hvilken ensvækst, der gælder elle nedslagsenergi og kraterradius. På trods af konstant fordapning fra forsøgsopstillingen er det lykkedes os at åle dråbeassen ed en præcision på 0,5 illigra, og på gode filoptagelser kunne vi vurdere kraterdiaeteren indenfor ± 0,.. Nedslagsenergi og kraterstørrelse Dråben opløses fuldstændigt, når den raer vandn, så vi har beregnet nedslagsenergien so suen af dråbens kinetiske energi i nedslagsøjeblikket og dens energi, E = gh +γπ r (1) Her er dråbens asse, h faldhøjden, og γ =0, 07 spændingen. Dråbens radius r kunne åles på filen, en bestees ere præcist fra den ålte asse vha. forlen = ρ πr, hvor r er vands densitet. Alle dråberne i vores forsøg havde diaetre okring, og de vejede elle 5 g og g. Med faldhøjder fra 7 c til 56 c opnåede vi nedslagsenergier elle 7 og 0 (altså en faktor ca. 8). Overfladeenergien er vigtig at edregne: den er ca. for alle dråber, og udgør dered elle % og 15 % af nedslagsenergien. Vi var nødt til at kassere en del af ålingerne, idet det viste sig, at den fine illigravægt, so vi lånte af keikerne, ikke altid var stabil. De ukorrekte asseålinger var heldigvis lette at identificere og bortsortere, fordi de slet ikke stete ed en grov kontrolopåling af de faldende dråbers diaeter på videooptagelserne. Tilbage blev 8 gode og tydelige videoer ed pålidelige assebesteelser, og de tilhørende kratere blev opålt til elle 8,8 og 18,6 i diaeter (en faktor ca. ). Allerede her ser vi, at vandkratere opfører sig anderledes end sandkratere, hvor det jo ville kræve en 16 dobling af energien at fordoble kraterstørrelsen, og ikke kun en 8 dobling. Overraskende! Hvad er on forskellen på sand og vand so giver anledning til denne store forskel? So det vil fregå af vores analyse, ener vi, at det skyldes energiokostningen til dannelse af ny vand i kraterne. Mateatik Fysik Figur Den ene forfatter højhastighedsfiler dannelsen af et dråbekrater. Opstillingen står på en illigravægt skæret od trækvind. ) Mindre kan forentlig gøre det og det er svært at få lys nok ved de eget korte lukkertider. Faldhøjde Dråbeasse Nedslagsenergi Kraterdiaeter h E D c g 7,1 5,0 7 8,8 9,5 9,5 9 10,5 9,5 9,7 0 10,7 9,5 1, 1 10,5 11,8 0,1 9 11, 1,5 9,0 5 11,9 1,5 9, 55 1,0 1, 0,5 55 11,7 15,5 7,5 59 11,9 15,6 8,7 6 1,5 Tabel ed data for de første 10 af 8 opålte kratere. LMFK-bladet 5/016

. Usikkerhedsberegninger og resultat Før vi rapporterer vores resultat, å vi vurdere usikkerhederne. De tre grundlæggende ålestørrelser for hvert krater (faldhøjde, dråbeasse, kraterradius) har i vores undersøgelse følgende absolutte åleusikkerheder: h = 0, c = 05, g R = 01, c (enkelte optagelser var utydelige, her skønnes det at R 0, c) De afledte variable for de faldende dråber (radius, energi, entiel energi, salet nedslagsenergi) får dered følgende usikkerheder: r Radius: r = πρ r = 1 1 Overfladeenergi: E = πγ r E r = = E r Da = 05, g og» 0 g for alle dråberne, fås E E 08, % E h Potentiel energi: E = gh = + E h Med en repræsentativ faldhøjde ( h = 0 c ) fås fx E E 05, g 0, c = + = 19, % 0 g 0 c Figur Kraterradius R so funktion af nedslagsenergi E. Det ses, at R (inden for de anførte usikkerheder og i det undersøgte energiinterval) er proportional ed E opløftet til en ens eget tæt på Derfor er E tæt på at være proportional ed tredje ens af R.. Kratere i vand teori Når dråben raer vandn og danner et krater, går en del af nedslagsenergien til at løfte vand fra krateret op i kraterranden og til at danne ny : Ekrater = Eløft + E. Vi beregner nu de to bidrag hver for sig, idet der først opstilles en siplificeret geoetrisk odel af krateret og dets rand..1 Sipel odel for kraterranden Vi vil odellere kraterranden so en ring ed kvadratisk tværsnit (Fig. 5). Højden af randen antages at være proportional ed kraterets radius og skrives derfor på foren kr. 1. Salet nedslagsenergi: E = E + E, så E E E = E + E = E + E E 0, 019 118 µ + 0, 008 µ =, µ E I dette regneeksepel er brugt de typiske værdier svarende til faldhøjden 0 c: E µ og E 118 µ. Med disse bliver den relative usikkerhed på nedslagsenergien altså E E =, µ = 19, % µ + 118 µ Figur 5 Siplificeret odel af krater ed rand, hvor kraterranden har kvadratisk tværsnit og højde kr so er proportional ed kraterets indre radius R = indre R. Kraterets ydre radius bliver dered R = ydre R + kr. På Fig. er alle usikkerhedsintervaller udregnet so ovenfor, en naturligvis ed de rigtige værdier for h og. Talværdien af k bestees ved løsning af ligningen V R kraterrand = π, so udtrykker, at vandet fra det halvkugleforede krater netop rues i kraterranden. Beregningerne er nee, fordi randen kan opfattes so differensen elle LMFK-bladet 5/016 5 Mateatik Fysik

en ydre og en indre cylinder, hvis rufang hver især er højde gange cirkelareal: Vkraterrand = Vydercylinder Vindercylinder ( ) = kr R R π ydre indre ([ ] ) = π kr R+ kr R ( ) = π kr kr + kr ( ) = π k k+ R (5) Selvo en del af vandet fra krateret ifølge vores videooptagelser går til sprøjt og en del til en generel vandstandsforøgelse i karret, antager vi nu for at kunne regne på det at det alt saen ender i kraterranden. Dette giver os ligningen πk ( k+ ) R = πr Her går R afhængigheden straks ud, og ved nuerisk løsning af den resulterende tredjegradsligning fås k = 0, 515. Denne værdi giver en kraterrandshøjde på lige over halvdelen af kraterets radius, hvilket ikke er i uoverenssteelse ed vores videooptagelser.. Energi til at løfte vand fra krateret op i kraterranden: E løft Vi betragter en tynd skive af vand, der befinder sig ved z koordinaten z nede i det, der ender ed at blive et halvkugleforet krater af radius R (Fig. 6). Skivens radius er x = R z, og hvis tykkelsen er det infitesiale stykke dz, så vejer skiven d = ρ πx dz = ρπ ( R z ) dz. Højdeforskellen op til n er z, så at løfte skiven vil koste det infinitesiale arbejde da = zg R z dz. ρπ ( ) koster saenlagt energien E = da= zg R z dz løft1 0 R R ρπ ( ) 0 R 1 1 1 = gρπ R z z = gρπ R (6) Herefter skal vandassen fra krateret, = πρ R, løftes yderligere op, så der dannes en kraterrand. Vi skriver gennesnitsløftet ålt fra vandn so ξ R (idet det synes rieligt at antage proportionalitet ed kraterets radius) og får løftearbejdet Eløft = g kr = gρπξ R (7) Den salede entielle energi af det løftede vand beregnes: 1 Eløft = Eløft1+ Eløft = + ξ gρπ R (8) Proportionalitetskonstanten ξ afhænger af kraterrandens geoetri, og i den siple odel fra Fig. 5 er tydeligvis 1 1 ξ = k = 0, 515= 0, 575. Indsættes denne værdi saen kg ed g =98, og ρ =1000 fås endelig E 0 løft s = R 1000. Energi til at danne ny : E Når krateret dannes, opstår der ny vand, so koster 0,07 joule pr. kvadrateter: spændingen for vand ved 0 C er jo γ =0, 07. Vi skal derfor beregne tilvæksten under kraterdannelsen. (9) Den indre af et halvkugle krater ed radius R har arealet pr, og det oprindelige (vandrette) areal var pr. Den nydannede nede i krateret har derfor arealet πr πr = π R. Hertil koer tilvæksten under dannelse af kraterets rand. Den er generelt vanskelig at beregne, en i geoetrien fra Fig. 5 er det klart, at den nye koer fra de to lodrette stykker. Hvert af disse stykker udgør en cylinder ed højden kr. Mateatik Fysik Figur 6 Energien til at løfte vand op fra et krater beregnes ved at betragte en (tynd) skive ad gangen. Krateret tøes nu først for vand ved at løfte alle de uendeligt ange infinitesialt tynde skiver op til n. Det Det lodrette areal af den indre cylinder (radius R) er πr kr = πkr, og af den ydre (radius R+ kr ) er det π( R+ kr) kr = πk( 1+ k) R. Lægges hertil bidraget pr fra halvkuglekrateret og ultipliceres ed spændingen, kan tilvæksten i energi under kraterdannelsen beregnes: ( ( ) ) E = γ πr + πkr + πk 1 + k R 6 LMFK-bladet 5/016

= γπ ( 1+ k + k ) R = 0 8, R (10). Salet kraterenergi Vi har i vores odel ovenfor vist, at energien der edgår til dannelse af et halvkugleforet vandkrater ed radius R og kvadratisk rand ed højde kr = 0, 515R beregnes so E = E + E = ar + br krater løft (11). Konklusion og videre undersøgelser Diagraet i Fig. 8 viser odel energierne Ekrater = ar + br (ed de ovenfor beregnede værdier af a og b) so funktion af de ålte nedslagsenergier. Da der inden for usikkerhedsintervallerne er tale o en overbevisende ret linje genne (0, 0) ed hældning 0,75, konkluderer vi, at vores odel for kraterenergien kan redegøre for 75 % af de ålte nedslagsenergier. Med andre ord er nyttevirkningen ht. udgravning af krater og dannelse af ny 75 %. De resterende 5 % af nedslagsenergien går åske til dråbesprøjt (Fig. b), generel vandstandsforøgelse og bevægelsesenergi i det ekspanderende krater?. hvor a =0, 8 og b =1000 Da R vokser hurtigere end R når 0< R < 1, drager vi den vigtige konklusion, at energien til dannelse af vandkratere doineres af energi (proportionalt ed R ) når kraterne er så, og af entiel energi (proportionalt ed R ) når de er store. Dette er illustreret på Fig. 7. Vi kan beregne den kraterradius, for hvilken energien er lige så stor so den entielle energi: 0, 8 a ar = br R = = = 80, (1) b 1000 Kraterne i denne undersøgelse har radius elle, og 9,, så vi dækker eget fint den interessante overgang fra doinans til løftedoinans. Figur 8 Der er proportionalitet elle den odellerede kraterenergi, Ekrater = ar + br, og den ålte nedslagsenergi E. Nyttevirkningen er 75 %. Tilbage står en række spørgsål, so kunne fortjene nærere undersøgelse: Figur 7 Energi til kraterdannelse so funktion af kraterradius, ifølge odellen. Den sorte kurve er suen af den blå og den røde: Ekrater = E + Eløft. Overfladeenergien doinerer, når radius af kraterne er indre end 8. Overfladespændingen har åbenbart afgørende betydning for størrelsen af kraterne. Hvordan ser kraterdannelsen ud i sæbevand eller andre væsker? Alle vores dråber havde stort set sae størrelse. Vil et krater fra en lille dråbe ed høj nedslagsfart (stor faldhøjde) udvikle sig på saen åde so et krater fra en stor dråbe ed lav nedslagsfart (lille faldhøjde), bare nedslagsenergien er den sae? Hvor eget sprøjt koer der, og hvad afhænger det af? Hvor stor del af nedslagsenergien går til dannelsen af disse sådråber? Kunne kraterranden odelleres bedre end den kvadratiske odel, vi har benyttet? Hvordan bevæger kraterrandsbølgen sig under kraterets kollaps, og hvor eget energi bæres væk ed bølgen? Hvordan opfører Rayleigh jetten sig? Litteratur K. L. R. Olevson, Energy balances for transient water craters, Geological Survey Research, 1969. I. Sheldon, Craters in Sand and Water, Birkerød Gynasiu og IB, 016. LMFK-bladet 5/016 7 Mateatik Fysik