DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P n (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2 f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 1 3! f (x 0 ) (x x 0 ) 3 + + 1 n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n Dette kan også skrives P n (x) = idet vi definerer 0! = 1 og f (0) = f 12 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: n 1 k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k=0 a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m 1

Koefficientmatrix, Totalmatrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 T = a m1 a m2 a mn b m 13 Gausselimination Gausselimination Tilladte operationer på rækkerne i totalmatricen: 1 R i R j 2 R i := cr i hvor c = 0 3 R i := R i + cr j hvor i = j Vi vil ved rækkeoperationer bringe matricen på echelonform: # 0 #, # 0 0 #, # 0 0 # 0 0 # 0 0 0 # 0 0 0 0 14 Matrixmultiplikation Matrixmultiplikation A en m n-matrix, og x R n Skriv A = [a 1 a 2 a n ], hvor a i R m Så definerer vi produktet Ax ved Ax = x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n Ligningssystemet med koefficientmatricen A og højresiden b kan nu skrives Ax = b Alternativ udregning af Ax: Skalarprodukterne af rækkerne i A med søjlen x Multiplikation af matricer: A er m n og B er n p: AB = A [ b 1 b 2 b p ] = [ Ab1 Ab 2 Ab p ] Ækvivalent definition (der bruges i JE): (AB) ij = a i2 b 21 + + a in b n1 n a ik b kj = a i1 b 1j + k=1 2

15 Invers matrix Invers matrix Definition A er invertibel, hvis der findes en matrix C, så AC = CA = I Den inverse af A betegnes med A 1 Matricen A er invertibel hvis og kun hvis A er regulær Matricen A 1 er entydigt bestemt som løsningen C til AC = I Algoritme: Gausselimnationen [A I ] [I C ] ( A 1) 1 = A, (AB) 1 = B 1 A 1, ( A T ) 1 = ( A 1 ) T 16 Determinant Determinant Lad A være givet ved A = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a n1 a n2 a n3 a nn Definition det A = Sn sgn (j 1, j 2, j 3,, j n ) a 1j1 a 2j2 a njn, hvor S n betegner mængden af permutationer S n af tallene 1, 2,, n Der gælder om rækkeoperationer, at 1 R i R j (i = j) skifter fortegn på determinanten 2 R i := kr i gør determinanten k gange større 3 R i := R i + kr j (i = j) ændrer ikke determinantens værdi A er regulær, hvis og kun hvis det A = 0 det (AB) = det (A) det (B), det ( A 1) = (det A) 1, det ( A T) = det A 17 Komplement til matrix Komplement til matrix Determinanten af A kan udregnes således (udvikling i komplementer langs første række): det A = a 11 det A 11 a 12 det A 12 + a 13 det A 13 = n j=1 + ( 1) 1+n a 1n det A 1n ( 1) 1+j a 1j det A 1j = n a 1j K 1j j=1 3

hvor (i, j)-komplementet til A er defineret ved K ij = ( 1) i+j det A ij Mere generelt gælder: det A = n j=1 a ijk ij for ethvert i og det A = n i=1 a ijk ij for ethvert j 18 Egenværdier og egenvektorer for matricer Egenværdier og egenvektorer for matricer Lad A være en kvadratisk matrix Tallet λ kaldes en egenværdi for A, hvis der findes en vektor v = 0, så Av = λv (1) En vektor v, der opfylder (1), kaldes en egenvektor hørende til egenværdien λ Egenværdierne for A er rødderne i karakterpolynomiet det (A λi) Egenværdier og spor og determinant: λ 1 + λ 2 + + λ n = spor (A) λ 1 λ 2 λ n = det A Hvis roden λ 1 har multiplicitet k i p (λ), så har egenværdien λ 1 algebraisk multiplicitet k Hvis matricen A λ 1 I har rang n j, så har λ 1 geometrisk multiplicitet j Den geometriske multiplicitet er lig med antallet af frie parametre i løsningerne til (A λ 1 I) x = 0 19 Komplekse tal Komplekse tal C er mængden af punkter i planen Planen identificeres med R 2, så C = R 2 Tallet i = (0, 1) er den imaginære enhed Multiplikationen indføres så i 2 = 1 og samtlige kendte regneregler fra de reelle tal stadig gælder a = (a 1, a 2 ) skrives nu a = a 1 + ia 2 Realdel: Re a = a 1 Imaginærdel: Im a = a 2 a = absolutværdi, numerisk værdi) Kompleks konjugation: a = a 1 + ia 2 = a 1 ia 2 a 2 1 + a2 2 (modulus, a + b = a + b, (ab) = ab ab = a b, a n = a n arg (ab) = arg a + arg b, arg (a n ) = n arg a, arg ( a b ) = arg a arg b 4

110 Kompleks eksponentialfunktion Kompleks eksponentialfunktion Definition: exp (x + iy) = exp x (cos y + i sin y) altså e x+iy = e x (cos y + i sin y) exp (z 1 + z 2 ) = exp z 1 exp z 2 altså e z 1+z 2 = e z 1e z 2 Polær form: a = re iv, hvor r = a og v = arg a Eulers formler: cos v = 2 1 ( e iv + e iv), sin v = 2i 1 ( e iv e iv) Den binome ligning z n = a = re iv har løsningerne z = n re i( v n +p 2π n ), p = 0, 1, 2,, n 1 111 Polynomier Polynomier Rødderne i andengradsligningen az 2 + bz + c = 0 er som sædvanligt z = b± b 2 4ac 2a Algebraens Fundamentalsætning Ethvert polynomium af grad 1 har mindst én rod indenfor de komplekse tal Roden z 1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvis p (z) = (z z 1 ) k q (z), hvor q (z 1 ) = 0 Polynomiet p (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, hvor n 1 (og a n = 0) kan skrives p (z) = a n (z z 1 ) (z z 2 ) (z z n ) Hvis et polynomium har reelle koefficienter og z 1 C er rod, så er også z 1 rod 112 Differentialligning af 1 orden Lineær differentialligning af 1 orden Differentialligningen a (t) x + b (t) x = c (t), hvor t I er lineær og af første orden Differentialligningen x + p (t) x = q (t) er normeret Den fuldstændige løsning til x + p (t) x = q (t) er givet ved x (t) = e P(t) e P(t) q (t) dt + Ce P(t), hvor P (t) = p (t) dt Når p, q C (I) ogt 0 I og x 0 R, så har begyndelsesværdiproblemet x + p (t) x = q (t) med x (t 0 ) = x 0 præcis én løsning 5

113 Differentialligning af 2 orden Lineær differentialligning af 2 orden med konstante koefficienter Betragter ax + bx + cx = q (t) med q C (I), hvor I er et interval og a, b, c R og a = 0 Lad t 0 I og x 0, v 0 R Begyndelsesværdiproblemet bestående af differentialligningen med x (t 0 ) = x 0 og x (t 0 ) = v 0 har netop én løsning og den er defineret på hele intervallet I Når q (t) = 0 kaldes differentialligningen homogen Karakterligningen ar 2 + br + c = 0 To forskellige reelle rødder r 1 og r 2 Fuldstændige løsning x (t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t, hvor c 1, c 2 R Dobbeltrod r Fuldstændig løsning x (t) = c 1 e rt + c 2 te rt, hvor c 1, c 2 R Imaginære rødder α ± iβ Fuldstændig løsning x (t) = c 1 e αt cos (βt) + c 2 e αt sin (βt), hvor c 1, c 2 R Den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning er summen af en partikulær løsning og den fuldstændige løsning til den homogene ligning 114 Partikulær løsning ved kompleks gættemetode Partikulær løsning ved kompleks gættemetode Differentialligningen x + 3x + 2x = 10 cos t erstattes af x + 3x + 2x = 10e it Ansats til en partikulær løsning x p (t) = Ae it indsættes i differentialligningen Heraf fås A = 1 3i Partikulær løsning til den komplekse ligning x p (t) = (1 3i) e it Så partikulær løsning til den oprindelige ligning er x p (t) = Re ( (1 3i) e it) = cos t + 3 sin t 115 Vektorrum Vektorrum Lad L betegne R eller C Lad V være en ikke tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V = a + b V s L a V = sa V 6

Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 0 V så a + 0 = a, a 1 V så a + a 1 = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, 1a = a V er da et vektorrum over L Hvis L = R er V et reelt vektorrum Hvis L = C er V et komplekst vektorrum 116 Underrum, Linearkombination Underrum, Linearkombination Hvis U er en delmængde af vektorrummet V, og U med de arvede operationer selv er et vektorrum, så kaldes U et underrum af V Sætning Lad U V og U = Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U = a + b U s L a U = sa U Trivielle underrum af vektorrum V er V selv og {0} Ved en af linearkombination af vektorerne a 1, a 2,, a p V forstås et udtryk af formen c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c p a p hvor c 1, c 2,, c p L Ved span ( a 1, a 2,, a p ) forstås mængden af linearkombinationer af vektorerne a 1, a 2,, a p 117 Lineær uafhængighed, basis Lineær uafhængighed, basis span ( a 1, a 2,, a p ) er et underrum af V Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a 2,, a p Vektorerne a 1, a 2,, a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x p a p = 0 = x 1 = x 2 = = x p = 0 a 1, a 2,, a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x p v p kun kan være nul, når alle koefficienterne er nul Hvis vektorerne a 1, a 2,, a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige En basis for et vektorrum V er et lineært uafhængigt system a 1, a 2,, a n af vektorer, som udspænder V, altså V = span (a 1, a 2,, a n ) 7

118 Koordinater Koordinater mht basis Lad a 1, a 2,, a n være en basis for V Så kan ethvert v V skrives entydigt som en linearkombination af a 1, a 2,, a n : v = x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n Talsættet (x 1, x 2,, x n ) kaldes koordinaterne for v mht basen a 1, a 2,, a n Betegnelse: K a (v) for koordinaterne af v mht basen a K a (v) = Matricen a V = [ K a (v 1 ) K a (v 2 ) K a ( vp )], kaldes koordinatmatricen for v 1, v 2,, v p mht basis a = a 1, a 2,, a n Da x 1 v 1 + + x p v p = 0 a Vx = 0 er v 1, v 2,, v p lineært uafhængige netop hvis a Vx = 0 kun har nulløsningen x 1 x n 8