Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1
Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2
Fourierrække for f(x) f (x) = 1 for π < x < 0 +1 for 0 < x < π f( x) 4 sin x sin3 x sin5 x + + π 1 3 5 3
Cntor s Theory of Rel Numbers Om udvidelse f en sætning fr teorien om trigonometriske rækker. Georg Cntor (1845 1918) 4
Convergence Fourier Series At to trigonometriske rækker., som konvergerer for lle værdier x og hr smme sum, stemmer overens med deres koefficienter, hr jeg vist i Den her foreslåede udvidelse består i, t der for et uendeligt ntl f værdier f x i intervllet [0,2π] kn ses bort fr konvergens, uden t gyldigheden f sætningen ophører. 5
Rel Numbers Cntor indfører reelle tl som Cuchy følger. Når jeg tler om en tlstørrelse i videre betydning, så sker det først og fremmest i det tilfælde, hvor der ved en lovmæssighed foreligger en uendelig række f rtionelle tl, som hr den egenskb, t differensen n+m n med voksende n bliver uendelig lille ligegyldig med hvd det positive tl m er, eller med ndre ord for vilkårligt ε>0 findes et n 1 n+m n < ε når n n 1 og m et vilkårligt helt positivt tl. Denne beskffenhed ved rækken (1) udtrykker jeg med ordene: rækken (1) hr en bestemt grænse b. ε n 1 n n 1 m : n +m n < ε 6
Regning med Reelle Tl 0 1 2 n b B Mængden f lle tl konstrueret på denne måde betegnes B. Konstruktionen kn gentges hvilket giver et system C. Men C er ikke nogen udvidelse f B: C=B. Men Cntor fortsætter lligevel udvidelsen og når frem til systemet L efter et pssende ntl udvidelser. Alle ligninger vedrørende disse generelle tl kn reduceres til ligninger vedrørende rtionelle tl. Det betyder i et moderne sprog, t de sædvnlige regneopertioner ddition, subtrktion, multipliktion og division gælder for de nye tl. Opertionerne indføres koordintvis: (b n )+(c n )=(b n +c n ) (b n ) (c n )=(b n c n ) 7
Reelle Tl i Moderne Udgve To Cuchy-følger ( n ) og (b n ) er ækvivlente, såfremt forskellen mellem elementerne I dem går mod nul, når n går mod uendelig ( ) ( b ) ε > 0 N n> N : b < ε n n n n Svrende til Cuchy-følgen ( n ) defineres ækvivlensklsen { } [( )] = ( b ) ( ) ( b ) n n n n De reelle tl defineres som ækvivlensklsser f Cuchy-følger {[( n)] ( n) er en Cuchy-følge f Rtionelle tl} R = [( )] [( b )] = [( + b )] n n n n [( )] [( b )] = [( b )] n n n n
The Axiom of Completeness Aksiom: Til enhver tlstørrelse λ svrer der et punkt på den reelle tllinie. Et punkt på den reelle tllinie kldes et punkt f type λ, hvis det er bestemt ved en serie f type λ. 9
Point Sets Værdimængde: et endeligt eller uendeligt ntl tlstørrelser. Punktmængde: et endeligt eller uendeligt ntl punkter på en ret linie. 10
Fortætningspunkter er et fortætningspunkt f P Der er uendelig mnge punkter i en vilkårlig omegn f. A behøver nødvendigvis ikke tilhøre P. P = mængden f fortætningspunkter f P (Mængden f Rtionelle Tl) = Mængden f Reelle Tl {1,1/2,1/3,,1/n, } = {0} 11
Bolzno-Weierstrss s Theorem Cntor formulerer Bolzno Weierstrss s sætning, som siger, t enhver begrænset uendelig mængde f punkter på den reelle tllinie hr et fortætningspunkt. 0 1 2 n b B 12
Point sets of ν th kind As exmples Cntor mentions tht the 1 st derived set of the rtionl points in [0,1] is the rel intervl [0,1], nd tht {1,1/2,1/3,,1/n, } = {0} A point set P is of kind ν P (ν) is finite. 13
Point Set of Kind ν A point of kind ν my determine point set of kind ν 14
Uendelige serier f fledede P P' P' ' P P P P + 1 + ν n 0 = n = ( P + n P ν 1 1 ( n) )' + + n ν 1 + n ν 0 = Ø 1= 0 {} { } { } 2= 0,1 3= 0,1,2 {} n+ 1 = n n ω = { 0,1, 2, } 1 { } { 0,1,2,, } ω + = ω ω = ω ω+ ω = ω+ n ω ω n< ω 15
Mængder Unter einer Menge verstehen wir jede Zusmmenfssung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschuung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M gennnt werden) zu einem Gnzen. (G. Cntor: Beiträge zur Begründung der trnsfiniten Mengenlehre, Mth. Annlen, Bd. 46, 1895) M P = Q = C = { m E( m) } { m m er et primtl} 5 P { r p r er et rtionelt tl} = { p et helt tl, q et nturligt tl} = 2 q 3 2 {( x, y) x + y } 2 = r 2 Q Ækvipotens: To mængder M og N er ækvipotente, hvis, og kun hvis, der findes en en enkorrespondnce mellem elementerne i de to mængder 16
Ækvipotens 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 y x Mængden f de nturlige tl N er ækvipotent med mængden f de hele tl Z, som er ækvipotent med mængden f de rtionelle tl Q. 5 4 3 2 1-1 0-8 -6-4 -2 2 4 6 8 10-1 -2-3 -4-5 17
Endelige og tællelige mængder Endelig: En mængde A er endelig, såfremt der findes et nturligt tl n, så A er ækvipotent med N n ={0,1,,n 1} Tællelig (nummerbel): En mængde A er tællelig (nummerbel), såfremt A enten er endelig eller ækvipotent med mængden f de nturlige tl N. Uendelig: En mængde A er uendelig, såfremt A ikke er endelig. N (de nturlife tl), Z (de hele tl) og Q (de rtionelle tl) er uendelige men tællelige mængder. R (de reelle tl) er en uendelig men ikke tællelig mængde. 18
Cntors første bevis for de reelle tls overtællelighed G. Cntor: Über eine Eigenschft des Inbegriffs ller reellem lgebrischen Zhlen, Journl für die reine und ngewndte Mthemtik, 1874, p. 260) Når en uendelig række f forskellige reelle tl, som er givet efter en lovmæssighed, foreligger, så kn der i ethvert givet intervl (α β) bestemmes et tl η (og følgelig uendelig mnge sådnne tl), som ikke forekommer i rækken (4.); dette skl nu bevises. 19
Cntors første bevis Givet en uendelig følge ω 1, ω 2, ω 3, f reelle tl og et intervl [,b], <b. b 1. Find de to første elementer i følgen, ω n1, ω m1, som ligger I det åbne intervl ],b[. Sæt x 1 =min{ω n1, ω m1 } og y 1= mx{ω n1, ω m1 }. 2. Find de to første elementer i følgen, ω n2, ω m2, som ligger I det åbne intervl ]x 1,y 1 [. Sæt x 2 =min{ω n2, ω m2 } og y 2= mx{ω n2, ω m2 }. k. Find de to første elementer i følgen, ω nk, ω mk, som ligger I det åbne intervl ]x k 1,y k 1 [. Sæt x k =min{ω nk, ω mk } og y k= mx{ω nk, ω mk }. Vi får således en neddstigende følge f intervller [ b, ] [ x, y] [ x, y] [ x, y] 1 1 2 2 3 3 20
Første bevis fortst Der er nu to muligheder: (1) kæden stopper med intervllet [x N,y N ] efter endelig mnge ntl skridt. (2) Der er uendelig mnge intervller, Ad. 1. Der kn kun være et element fr følgen i intervllet [x N,y N ] (ellers kunne den fortsættes). Men der er uendelig mnge reelle tl [x N,y N ] ltså også tl, der ikke er med i følgen. Ad. 2. Sæt x = lim n x n og y = lim n y n Der er to muligheder: 1.x =y. Men x ligger i lle intervllerne [x n,y n ], hvorimod der for et vilkårligt ω n findes et intervl, som det ikke er med i. 2.x <y. Der kn ikke ligge tl fr følgen i [x,y ]. 21
Mængden f uendelige binære følger er ikke tællelig 0 = 1 = 2 = 3 =... 00 10 20 30 01 11 21 31 02 12 22 32 03 13 23 33 ij { 0,1} b n =1 nn Følgen (b n ) kn ikke være med i nummereringen ( n ): Hvis (b n ) vr følgen m = ( m0, m1, m2, ), så ville b m = 1 mm = m m = mm hvilket er en modstrid 22
Mængden f de reelle tl er ikke tællelige C 0 = [0,1] C n+1 = Fjern den midterste tredjedel I lle intervllerne i C n, dvs. erstt lle intervller [,b] i C n med følgende to intervller V[,b] = [,+1/3(b )] H[,b] = [+2/3(b ),b] Svrende til en binær følge c, definer følgen (F c(0), F c(1), F c(2), ) f lukkede intervller F c(0) = [0,1] VF c(n) hvis c(n) = 0 F c(n+1) = HF c(n) hvis c(n) = 1 23
Mængden f de reelle tl er ikke tællelige 2 Funktionen f fr mængden f binære følger ind i de reelle tl defineres ved f ( c) = n=0 F c, n Cntors mængde defineres som C = n=0 C n Funktionen f er en en en korrespondnce mellem mængden f binære følger og Cntors mængde. D C er en delmængde f R, og C er ækvipotent med mængden f binære følger, som ikke er tællelig, kn R heller ikke være tællelig. 24
Det reelle tlsystem Trnscendente tl Beregnelige reelle tl Algebriske tl Rtionelle tl Hele tl Nturlige tl Trnscendente tl = Reelle tl der ikke er lgbriske Algebriske tl = Reelle tl, som er rødder i polynomier med rtionelle koefficienter. Mængden f beregnelige tl er tællelig Mængden f trnscendente tl er ikke tællelig π, γ og e er trnscendente tl n γ = lim( n k= 1 1 log n) k 25