Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab til mængdelære, så betydningen af et symbol som for eksempel A B er kendt. For en fuldstændigheds skyld minder vi dog i Afsnit 1 læseren om nogle af mængdelærens grundbegreber. For yderligere oplysninger om mængdelære mm henvises til [1], [2], [3] og [4]. Referencerne [1] og [3] er lettilgængelige fremstillinger af mængdelære og kardinaltal. Referencen [2] er en klassisk lærebog, der går i dybden ved at diskutere mængdelærens aksiomer. [4] er ligeledes en lærebog. Den går også i dybden og indeholder nyere resultater end de andre. Mængdelæren skyldes Georg Cantor (1845 1918), der udformede den fra 1870 og de følgende ca. 25 år. Den mødte megen modstand i sin tid, men fik også mange tilhængere. En af tilhængerne var tidens største matematiker David Hilbert (1862 1943), der udtalte: Ingen skal fordrive os fra det paradis, som Cantor har skabt. Nu er teorien almindelig anerkendt. Vi går i det følgende også ud fra, at de naturlige tal N = {1, 2,...} og deres elementære egenskaber som f.eks. induktionsprincippet er kendt. Symbolet OTL betyder Overladt Til Læseren. 1 Om mængder 1.1 Om begrebet mængde I overordentlig mange sammenhænge, praktiske såvel som tankemæssige, føres man til at afgrænse samlinger af objekter. Mange af sprogets gloser udtrykker, at man sammenholder en række objekter og betragter samlingen af dem. Med ordet lærerkollegiet tænker man sig samlingen af alle personer, der er ansat som lærere ved en bestemt skole; med ordet flåden sammenfatter man søværnets skibe, osv. I matematikken kaldes en vel afgrænset samling af objekter for en mængde (på engelsk set ), og de pågældende objekter kaldes mængdens elementer. Hvert af disse objekter siges at tilhøre mængden eller at være indeholdt 1

i den. For at undgå en alt for monotont stammende terminologi (en mængde af mængder af...) vil vi dog undertiden erstatte ordet mængde med ord som samling, familie, system eller lignende. Med ordene vel afgrænset menes, at det nøje skal være fastlagt, hvilke elementer der tilhører mængden. Når vi beskriver en mængde, dvs angiver dens elementer, skal det altså af beskrivelsen helt klart fremgå, hvilke elementer der er indeholdt i mængden, og hvilke der ikke er det. Eksempler på mængder er en flok duer, samlingen af stater i USA, mængden af alle primtal. Det er vigtigt at erkende, at en mængde kan være et element i en anden mængde, for det fænomen vil optræde gang på gang under jeres matematikstudier. F.eks. er en linje en mængde af punkter; og mængden af alle linjer i planen er således en mængde, hvis elementer selv er mængder. Begrebet mængde er en så primitiv begrebsdannelse, at vi ikke vil søge at definere det ud fra andre begreber, men nøjes med den ovenfor givne beskrivelse, hvor vi benyttede udtryk som samling, objekt, afgrænset, for at fremkalde den rigtige forestilling hos læseren. Lad nu X betegne en mængde. At x betegner et element, der tilhører X, skriver vi som følger: x X. Dette læses altså som x tilhører X eller x er indeholdt i X. At x betegner et element, der ikke tilhører X, skriver vi som følger: x / X. Terminologien på engelsk er x is an element of X, x is contained in X eller x belongs to X. Bemærkning 1.1. Det er en version af det græske bogstav epsilon, der indgår i udtrykket x X. Den benyttes så ofte til at betegne indeholdt i, at de fleste matematikere kun benytter den i denne mængdeteoretiske sammenhæng. De benytter ɛ eller ε, når de i andre sammenhænge har brug for det femte bogstav i det græske alfabet. Er X og Y mængder, så betegner X = Y, at X og Y består af de samme elementer, altså at x X x Y. Bemærkning 1.2. Vi benytter en pil i betydningen medfører, og en dobbeltpil i betydningen medfører og medføres af. En mængde X angives undertiden på følgende måde: X = {...}, hvor man på prikkernes plads tænker sig samtlige mængdens elementer anbragt. Hvis mængden f.eks. består af tallene 1, 3, 5, 7 og 9, betegner vi den med symbolet {1, 3, 5, 7, 9}. Da en mængde er karakteriseret alene ved de elementer, den indeholder, betegner symbolerne {1, 3, 5, 7, 9} og {9, 5, 3, 7, 1} den samme mængde. Dvs {1, 3, 5, 7, 9} = {9, 5, 3, 7, 1}, idet et lighedstegn mellem betegnelserne for to mængder tilkendegiver, at de to mængder består af de samme elementer. Man anvender også en skrivemåde af følgende art: X = {x...}, (1.1) 2

hvor man på prikkernes plads tænker sig angivet en egenskab, som x har, hvis og kun hvis x betegner et element, der tilhører X. Det er klart, at der for enhver mængde X gælder, at X = {x x X}. Vi vil også møde udtryk som {x X S(x)}, hvor S(x) er en betingelse, som elementerne i X kan opfylde eller ikke opfylde. Som et eksempel på anvendelsen af betegnelsesmåden (1.1) anfører vi, at {x x helt tal, og x > 0} er mængden af alle naturlige tal. Definition 1.3. Lad X og X betegne mængder. Vi siger, at X er en delmængde af X og skriver X X eller X X, såfremt x X x X. Nogle forfattere benytter notationen i stedet for, og i stedet for. Undertiden er det bekvemt at skrive X X i stedet for X X. De to udtryk betyder det samme. Den engelske terminologi er X includes X eller X is a subset of X. Det er klart, at det ifølge Definition 1.3 gælder om enhver mængde X, at X X. Det er ligeledes klart, at X = Y [X Y og Y X], og at X Y, Y Z X Z. I mængdelæren har man taget højde for udtryk som X \ X (vi definerer mængdedifferens senere) ved at indføre den tomme mængde. Formelt benytter man et af mængdelærens principper, nemlig specifikationsaksiomet (Engelsk: Axiom of specification; tysk: Aussonderungsaxiom). Definition 1.4 (Specifikationsaksiomet). Til enhver mængde X og enhver betingelse S( ) er B = {x X S(x) er sand} en mængde. Mængdelæren går ud fra, at der findes en mængde (!). Betegnes en sådan med A 0, så er den tomme mængde defineret ved = {x A 0 x x}. Ifølge Specifikationsaksiomet er en mængde. Den tomme mængde indeholder åbenbart ikke nogen elementer. Lemma 1.5. Lad X være en mængde. Da er den tomme mængde en delmængde af X, dvs X. Bevis. Vi skal vise, at ethvert element i venstre side, altså i, tilhører X. Men det er jo trivielt opfyldt for ethvert element fra venstre side, da der ingen er. Bemærkning 1.6. Selv om ræsonnementet i beviset for Lemma 1.5 er logisk korrekt, kan det måske forekomme lidt utilfredstillende. Beviset giver et typisk eksempel på et fænomen, der hyppigt optræder, nemlig at en betingelse 3

er tomt opfyldt. Vi skal vise, at et eller andet udsagn, der kan være enten sandt eller falsk, om den tomme mængde er sandt. Det gør vi ved at vise, at det ikke kan være falsk. Hvordan kan det eksempelvis være falsk, at X? Det kan kun være falsk, hvis har et element, der ikke er indeholdt i X; og det har ikke. har faktisk slet ingen elementer. Da udsagnet X ikke er falsk, konkluderer vi, at det er korrekt. Det er klart, at der højst kan være én mængde uden elementer: Hvis 1 og 2 er to sådanne mængder, så giver argumentet i beviset for Lemma 1.5, at 1 2 og 2 1, dvs 1 = 2. Diskussionen ovenfor er til for at sikre os eksistensen af en tom mængde, ikke den logisk set ret trivielle éntydighed. Entydigheden gør imidlertid, at vi meningsfyldt kan bruge udtrykket den tomme mængde. Ifølge Lemma 1.5 er den tomme mængde en delmængde af enhver mængde. Definition 1.7. Lad X være en mængde, og lad x 0 være et element i X, dvs x 0 X. Vi indfører betegnelsen {x 0 } = {x X x = x 0 } for den delmængde af X, der som eneste element har x 0. Bemærkning 1.8. En mængde bestående af netop ét element kaldes for en singleton. Et eksempel på en singleton er delmængden {x 0 } fra Definition 1.7. er ikke en singleton, men { } er det. Bemærkning 1.9. Man skal omhyggeligt skelne mellem begreberne elementer og delmængder, fordi de ikke betyder det samme. De dertil svarende notationer og kan følgelig ikke bruges i flæng. Gør man det, så kommer man helt sikkert, endda selvforskyldt, i logiske vanskeligheder, og ens resultater vil sandsynligvis være mageløst sludder. Det er nok ret oplagt at opretholde distinktionen mellem det at være et element i en mængde X og det at være en delmængde af X, så længe man betragter delmængder, der indeholder mere end et enkelt element. Men logikken tilsiger os, at vi skal være konsekvente i vores diskussion af delmængder: Vi skal opretholde distinktionen for alle delmængder, også for delmængder, der består af præcis ét element: Et element x 0 i en mængde X er ikke en delmængde af X, det bliver faktisk slet ikke betragtet som en mængde i denne sammenhæng. Derfor skriver vi konsekvent x 0 X og {x 0 } X. Det kan tilføjes, at der selvfølgelig er en sammenhæng mellem de to forskellige begreber, nemlig at x 0 X er ækvivalent med {x 0 } X. Begreberne at tilhøre ( ) og at være en delmængde af ( ) er meget forskellige. Det kan man bl.a. se af, at de har forskellige egenskaber. Det gælder f.eks. altid, at X X. Men gælder det nogensinde, at x x? I hvert fald ikke for elementerne i nogen fornuftigt konstrueret mængde. Som et andet eksempel kan man observere, at inklusionen er transitiv, dvs A B 4

og B C medfører, at A C. Det tilsvarende gælder ikke for begrebet at tilhøre (tænk på superorganisationer, hvis medlemmer er organisationer). Lad os se på en samling C = {X 1, X 2, X 3 } bestående af tre mængder X 1, X 2 og X 3. Så X 1, X 2 og X 3 er altså elementerne i C. Eksempelvis kunne X k for k = 1, 2, 3 være den åbne cirkelskive i R 2 med centrum (0, 0) og radius k. Godt nok er X 1, X 2 og X 3 mængder, men de er ikke delmængder af C; de er elementer i C. Øvelse 1.10. Beskriv systemet af delmængder af den tomme mængde. Øvelse 1.11. Lad M betegne mængden af alle indskrivelige firkanter i planen, og lad N betegne mængden af alle firkanter i planen, hvor summen af er par modstående vinkler er 180 0. Vis, at M = N. 1.2 Om foreningsmængder Definition 1.12. Hvis C er en samling (dvs mængde) af mængder, så lader vi udtrykket X C X betegne en ny mængde, nemlig X C X = {x Der findes et X C, så x X}, der kaldes for foreningsmængden af samlingen C (engelsk: The union of the collection C of sets). Jeg gætter på, at foreningsmængsdetegnet stammer fra U et i Union. Hvis C = {X 1, X 2,..., X n }, altså hvis C består af de endelig mange mængder X 1, X 2,..., X n, så benytter man som regel notationen X 1 X 2 X n eller n j=1 X j i stedet for X C X. Hvis C = {X 1, X 2,..., X n,...}, altså hvis C består af de uendelig mange mængder X 1, X 2,..., X n,..., eller med andre ord at man har nummereret mængderne i C, så benytter man som regel notationen X 1 X 2 X n eller n=1 X n i stedet for X C X. Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {X i i I}, så skriver man i I X i 5

i stedet for X C X. Tilfældene ovenfor svarer til indeksmængderne I = {1, 2,..., n} og I = N, henholdsvis. Lad os betragte det vigtige specialtilfælde, hvor C = {A, B} blot består af de to mængder A og B. Her benytter man betegnelsen A B i stedet for X C X, så A B = {x x er element i mindst én af mængderne A og B}. A B kaldes foreningsmængden af A og B. Sætning 1.13. Lad A, B og C være mængder. Da gælder (a) A = A. (b) A B = B A (kommutativitet). (c) A (B C) = (A B) C (associativitet). (d) A A = A. (e) A B hvis og kun hvis A B = B. Bevis. OTL. Øvelse 1.14. Lad a, b X være to forskellige elementer i en mængde X. Vis, at {a} {b} = {a, b}. 1.3 Om fællesmængde (= gennemsnit) Definition 1.15. Hvis C er en ikke-tom samling (dvs mængde) af mængder, så lader vi udtrykket X C X betegne mængden X C X = {x x X for ethvert X C}, der kaldes for fællessmængden eller sommetider gennemsnittet (intersection på engelsk) af samlingen C. Hvis C = {X 1, X 2,..., X n }, altså hvis C består af de endelig mange mængder X 1, X 2,..., X n, så benytter man som regel notationen i stedet for X C X. X 1 X 2 X n eller n j=1 X j 6

Hvis C = {X 1, X 2,..., X n,...}, altså hvis C består af de uendelig mange mængder X 1, X 2,..., X n,..., eller med andre ord at man har nummereret mængderne i C, så benytter man som regel notationen X 1 X 2 X n eller n=1 X n i stedet for X C X. Hvis mængderne i C er indiceret af en indeksmængde I, dvs C = {X i i I}, så skriver man i I i stedet for X C X. Tilfældene ovenfor svarer til indeksmængderne I = {1, 2,..., n} og I = N, henholdsvis. Lad os betragte det vigtige specialtilfælde, hvor C = {A, B} blot består af de to mængder A og B. Her benytter man betegnelsen X i A B i stedet for X C X, så A B = {x x er element i både A og B}. A B kaldes gennemsnittet af A og B. Sætning 1.16. Lad A, B og C være mængder. Da gælder (a) A =. (b) A B = B A (kommutativitet). (c) A (B C) = (A B) C (associativitet). (d) A A = A. (e) A B hvis og kun hvis A B = A. Bevis. OTL. Definition 1.17. To mængder X 1 og X 2 siges at være disjunkte, såfremt X 1 X 2 =. Øvelse 1.18. I denne opgave vil vi betragte en speciel familie af delmængder af R 2, nemlig de lukkede mængder. Definition 1.19. En delmængde F af R 2 siges at være lukket eller afsluttet, såfremt den har følgende egenskab: For enhver konvergent følge x 1, x 2,..., x n,... x 0, hvor x n F for ethvert n N, vil også grænsepunktet x 0 F. 7

At følgen x 1, x 2,..., x n,... konvergerer mod x 0 betyder følgende: Lad r > 0 være vilkårlig. Fra et vist trin N at regne (dvs for n N) vil alle x n erne ligge i cirkelskiven omkring x 0 med radius r. Dette skal gælde for ethvert fastholdt r > 0. Selvfølgelig afhænger N af r: Hvis cirkelskiven vælges mindre, skal vi normalt gå længere ud i følgen, før x n erne ligger i cirkelskiven. (a) Gør rede for, at kvadratet [0, 1] [0, 1] og enhedsintervallet [0, 1] {0} begge er lukkede mængder. (b) Vis, at den åbne enhedscirkel {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1} ikke er lukket. (c) Lad F 1 og F 2 være lukkede. Vis, at F 1 F 2 og F 1 F 2 er lukkede. (d) Lad {F i i I} være en mængde af lukkede mængder. Vis, at i I F i er lukket. (e) Lad F 1, F 2,... være en følge af lukkede mængder. Er foreningsmængden F 1 F 2 = n=1 F n altid lukket? (f) Gør rede for, at er lukket. (g) Gør rede for, at R 2 er lukket. Idet Definition 1.19 ovenfor på lukkede mængder kopieres til R, ved at vi erstatter R 2 med R, skal man vise, at punkterne (c) - (g) også holder for R (i punkt (g) skal der så selvfølgelig stå R i stedet for R 2 ). Øvelse 1.20. Vis følgende to såkaldt distributive love, der knytter kompositionsreglerne og sammen: Øvelse 1.21. Angiv mængderne (X Y ) Z = (X Z) (Y Z), (1.2) (X Y ) Z = (X Z) (Y Z). (1.3) {x R 0 x < 1 n } og {x R 0 < x < 1 n }. n=1 Øvelse 1.22. En delmængde K af R 2 siges at være konveks, såfremt den har følgende egenskab: For ethvert par af punkter x K, y K gælder, at ethvert punkt på liniestykket [x, y], der forbinder x og y, tilhører K. Vis, at hvis A og B er to konvekse mængder, så er A B ligeledes en konveks mængde. Vis, at gennemsnittet af en vilkårlig mængde af konvekse mængder er konveks. n=1 8

1.4 Om komplementærmængde Når X og Y er mængder, kan vi betragte mængden af de x, der er elementer i X, men ikke i Y. Denne mængde kalder vi for mængdedifferensen mellem X og Y eller det relative komplement til Y i X, og vi betegner den med X \ Y. Så X \ Y = {x X x / Y }. (1.4) Den engelske betegnelse er The difference between X and Y eller The relative complement of Y in X. Bemærk, at det i denne definition ikke er nødvendigt at antage, at Y X. Ofte er det i en given sammenhæng naturligt udelukkende at betragte mængder, der er delmængder af en vis fast mængde (kaldet grundmængden eller universalmængden). Når vi f.eks. arbejder med mængder af reelle tal, er grundmængden R. For at skrive de fundamentale egenskaber ved komplementærdannelse op vil vi dette afsnit (og kun her) antage, at samtlige mængder, som omtales, er delmængder af en og samme grundmængde U, og at alle komplementer dannes relativt til U (U for universalmængde). I sådanne situationer er det lettere at underforstå grundmængden U end at skrive den op igen og igen; det har den yderligere fordel, at det simplificerer notationen og dermed gør formlerne mere overskuelige. Definition 1.23. Når X er en delmængde af U, består U \X af de elementer i U, der ikke ligger i X. Denne mængde kalder vi X s komplementærmængde, og vi betegner den med symbolet X. Altså X = U \ X. De grundlæggende kendsgerninger om komplementærdannelse kan nu formuleres som følger: ( X) = X, (1.5) = U, U =, (1.6) X X = U, X X = (1.7) X Y hvis og kun hvis Y X. (1.8) De vigtigste resultater om komplementærdannelse er Sætning 1.24 (De Morgans love). Idet X og Y er delmængder af U, har vi, at (X Y ) = X Y og (X Y ) = X Y. (1.9) Andre nyttige formler er indeholdt i den næste proposition. 9

Proposition 1.25. Lad X, Y og Z være delmængder af U. Da gælder: X \ Y = X Y (1.10) X Y hvis og kun hvis X \ Y = (1.11) X \ (X \ Y ) = X Y (1.12) X (Y \ Z) = (X Y ) \ (X Z) (1.13) X Y (X Z) (Y Z) (1.14) (X Z) (Y Z) X Y (1.15) Øvelse 1.26. For to vilkårlige mængder X og Y definerer man deres symmetriske differens (også kaldet deres Booleske sum) X + Y som mængden X + Y = (X \ Y ) (Y \ X) Lad X, Y og Z betegne mængder. Vis, at (a) X + Y = Y + X (kommutativitet). (b) X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z (associativitet). (c) X + = X. (d) X + X =. Øvelse 1.27. Lad {X i i I} være en samling af mængder, indiceret af en ikke-tom mængde I. Vis følgende generalisation af den første af De Morgans love: ( i I X i ) = i I X i. Øvelse 1.28. Lad A 1, A 2,..., A n,... være delmængder af en grundmængde U. Definer lim sup A n = ( A i ), (1.16) lim inf A n = m=1 i=m ( A i ). (1.17) m=1 i=m (a) Gør rede for, at lim sup A n = {x U x A i for uendelig mange i}. (b) Gør rede for, at lim inf A n = {x U x A i for alle i fra et vist trin }. (c) Vis, at A n lim inf A n lim sup A n A n. (1.18) n=1 n=1 10

(d) Vis, at (lim sup A n ) = lim inf A n og (lim inf A n ) = lim sup A n. (1.19) (e) Vis, at hvis A 1 A 2... A n..., da er lim inf A n = lim sup A n = (f) Vis, at hvis A 1 A 2... A n..., da er lim inf A n = lim sup A n = A n. n=1 A n. n=1 Øvelse 1.29. Lad A n for n = 1, 2,... betegne halvplanen (a) Vis, at (b) Vis, at lim sup A n = lim inf A n = 2 Afbildninger A n = {(x 1, x 2 ) R 2 x 2 ( 1) n nx 1 }. A n = {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 = 0 og x 2 < 0}. n=1 A n = {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 = 0 og x 2 0}. n=1 I dette afsnit indfører vi funktionsbegrebet med mængdelæren som grundlag. Definition 2.1. Lad X og Y være to mængder. X Y betegner mængden af ordnede par (x, y), hvor x X og y Y. Rækkefølgen (x på 1. plads, y på 2. pladsen) er væsentlig. Faktisk er (y, x) slet ikke et element i X Y, medmindre da tilfældigvis X = Y. Definition 2.2. Lad X og Y være to mængder. En funktion eller en afbildning af X ind i Y er en ordnet trippel (X, Y, f), hvor f er en delmængde af X Y med følgende egenskab: For ethvert element x X findes der netop ét element y Y, så (x, y) f. Det éntydige element y Y, for hvilket (x, y) f, betegnes med f(x). Symbolet f : X Y benyttes ofte som en forkortelse for f er en afbildning af X ind i Y. X kaldes for funktionens domæne eller definitionsområde, og Y for dens codomæne. 11

På engelsk kaldes en funktion/afbildning for function / mapping eller bare map. Når man taler om en funktion, så er dens domæne X og dens codomæne Y indbygget i funktionen i kraft af Definition 2.2, der jo specificerer både X og Y. Ofte underforstås X og Y, så man i stedet for at tale om funktionen (X, Y, f) blot taler om funktionen f. En reel funktion f : X R kan selvfølgelig anskues som en funktion, der tager komplekse værdier, idet R C, men vi skelner altså mellem den reelle og den komplekse funktion, fordi de har forskellige codomæner. Oftest bruges ordet funktion om en afbildning af en mængde X ind de reelle eller komplekse tal, medens ordet afbildning bruges for et vilkårligt codomæne. Delmængden f af X Y er f = {(x, f(x)) X Y x X}, så en funktion f : X Y kan defineres ved, at vi til ethvert x X angiver værdien f(x) Y. Ofte møder man vendingen funktionen f defineret ved f(x) =..., x X, hvor... er et eller andet udtryk i x, der giver et element i Y. Med vendingen menes funktionen f = {(x, y) X Y y = f(x)} (principielt dog triplen (X, Y, f)). F.eks. mener man med funktionen f defineret ved f(x) = x 3, x R, funktionen {(x, y) R 2 y = x 3 }. Undertiden skriver man funktionen f som x f(x), x X. F.eks. betyder x x 3, x R, funktionen f defineret ved f(x) = x 3, x R. I visse sammenhænge bruges der andre ord for afbildninger. F.eks. når man, givet en mængde X, betragter en følge {x 1, x 2,...} i X. Følgen tilordner til ethvert n N elementet x n i X, så der er dermed faktisk tale om funktionen f : N X givet ved f(n) = x n, n N. En følge er altså en funktion med de naturlige tal som definitionsområde. For en afbildning mellem vektorrum benytter man ofte glosen operator i stedet for glosen funktion. En ofte mødt definition på funktion er, at en funktion f : X Y er en regel eller forskrift, der til ethvert element i X tilordner netop ét element i Y. I indeværende fremstilling er vi imidlertid utilfredse med ordene regel og forskrift, idet de er vage og ikke defineret mængdeteoretisk. Begrebet funktion som defineret i Definition 2.2 giver mening til disse vage termer. Men vi definerer altså funktionsbegrebet, før vi benytter disse ord for en funktion. Vi kan og vil imidlertid benytte dem fra nu af. Lad f 1 : X 1 Y 1 og f 2 : X 2 Y 2 være to funktioner. Vi bemærker, at f 1 = f 2, hvis og kun hvis X 1 = X 2, Y 1 = Y 2 og f 1 (x) = f 2 (x) for ethvert x X 1 = X 2. Definition 2.3. Lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y, og lad X være en delmængde af X. Ved restriktionen af funktionen f til X forstås funktionen (X Y ) f = {(x, f(x )) f x X } med definitionsområde X og codomæne Y. Den betegnes f X. Restriktionen f X er principielt en anden funktion end f, idet de to 12

funktioners definitionsområder er forskellige, nemlig henholdsvis X og X. Definition 2.4. Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y, og g : Y Z være en afbildning af Y ind i Z. Sammensætningen g f er den afbildning af X ind i Z som er givet ved (g f)(x) = g(f(x)), x X. Med andre ord er sammensætningen triplen (X, Z, g f), hvor g f = {(x, z) X Z z = g(f(x))}. Det engelske ord for sammensætning er composition. En meget vigtig egenskab ved operationen sammensætning af funktioner er dens associativitet: Sætning 2.5. Lad X, Y, Z og W være mængder, lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y, g : Y Z en afbildning af Y ind i Z, og h : Z W en afbildning af Z ind i W. Da er h (g f) = (h g) f. Definition 2.6. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. (a) For A X er f(a) = {f(a) a A}. Det er en delmængde af Y. (b) f s billedmængde ( image på engelsk) er en vis delmængde af Y, nemlig f(x) = {f(x) x X}. (c) Hvis f(x) = Y, siges f at være en surjektion eller at være surjektiv. Man siger også kort, at f er på. At en afbildning er surjektiv vil sige, at der til ethvert y Y findes mindst ét x X så f(x) = y. Eksempel 2.7. (a) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x 3, x R, er en surjektion. (b) Funktionen f : R R givet ved f(x) = sin x, x R, er ikke surjektiv. Dens billedmængde er nemlig [ 1, 1], som er en ægte delmængde af R. (c) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x 2, x R, har billedmængden [0, [. Den er heller ikke på. Man skal skelne mellem en funktion og dens billedmængde; det sted, der nok mest frister til sammenblanding, er i omgangen med kurver. En kurve er pr definition en kontinuert afbildning γ : I R n af et interval I ind i R n, men ofte tænker man på kurven som punktmængden γ(i). Definition 2.8. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Lad Y 0 være en delmængde af Y. Urbilledet af Y 0 ved f er en vis delmængde af X, nemlig f 1 (Y 0 ) = {x X f(x) Y 0 }. (2.1) På engelsk hedder det the pre-image of Y 0 under f. 13

Eksempel 2.9. Betragt funktionen f : R R givet ved f(x) = x 2, x R. Her er f 1 ([1, 4]) = [1, 2] [ 2, 1], f 1 ({1}) = {±1}, og f 1 (], 1[) =. Definition 2.10. Ved potensmængden P(X) for mængden X forstår man mængden af alle delmængder af X. På engelsk: The power set of X. Hvis eksempelvis X = {a, b}, så er P(X) en mængde med 4 elementer, idet P(X) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Det fremgår af definitionen på urbillede, at når f : X Y, så er f 1 en afbildning af P(Y ) ind i P(X). Vi pointerer, at f 1 (Y 0 ) er en delmængde af X, ikke et element i X, og at f 1 (Y 0 ) er defineret for enhver delmængde Y 0 af Y. Vi skal i Afsnit 3 møde en anden betydning af symbolet f 1, nemlig som den inverse funktion, uden disse egenskaber. Principielt burde man selvfølgelig benytte forskellig notation for forskellige begreber, men det gør man i dette tilfælde altså ikke. Det overlades dermed læseren til ud fra sammenhængen at afgøre, hvilken af de to betydninger f 1 har. Betragt for eksempel den reelle funktion h, der til ethvert punkt i Danmark tilordner dets højde over havoverfladen. Et topografisk kort over Danmark viser punkterne med samme højde som en niveaukurve (eventuelt med flere forskellige komponenter). Niveaukurven svarende til højden y over havoverfladen er mængden h 1 ({y}). Pointen er, at h 1 ({y}) er en mængde. Det er nok værd at overveje, hvilke sammenhænge der er mellem billedmængder og urbilleder. Den næste sætning angiver nogle af dem. Sætning 2.11. Lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. (a) Hvis B Y, så vil f 1 ( B) = (f 1 (B)), hvor komplementærmængderne tages relativt til Y og X henholdsvis. (b) Hvis B Y, så vil f(f 1 (B)) B. (c) Hvis f er surjektiv og B Y, så vil f(f 1 (B)) = B. (d) Hvis A X, så er A f 1 (f(a)). (e) Hvis f er injektiv [defineres nedenfor] og A X, så er A = f 1 (f(a)). Bevis. OTL. Definition 2.12. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Afbildningen f siges at være en injektion, at være injektiv eller kort skrevet 1 1, såfremt der for ethvert y Y er højst ét x X, så f(x) = y. 14

I Lemma 2.13 angiver vi nogle betingelser, der kan være nyttige, når man skal afgøre, om en given afbildning er injektiv. Lemma 2.13. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Da er følgende fire udsagn ækvivalente: (a) f er en injektion. (b) For alle x 1, x 2 X gælder, at hvis f(x 1 ) = f(x 2 ), så er x 1 = x 2. (c) For alle x 1, x 2 X gælder, at hvis x 1 x 2, så er f(x 1 ) f(x 2 ). (d) For ethvert y Y består urbilledet f 1 ({y}) af højst ét element. Bevis. OTL. Eksempel 2.14. (a) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x 3, x R, er både surjektiv og 1 1. (b) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x 2, x R, er hverken surjektiv eller 1 1. (c) Funktionen f : R R givet ved f(x) = arctan x, x R, er 1 1, men ikke på. (d) Funktionen f : R R givet ved f(x) = x sin x, x R, er på, men ikke 1 1. Eksempel 2.15. Lad I være et interval. Lad f : I R være strengt voksende, dvs Da er f injektiv. [ x, y I og x < y ] f(x) < f(y). Definition 2.16. Lad X 0 være en delmængde af X. Ved inklusionsafbildningen af X 0 ind i X forstås afbildningen i : X 0 X givet ved i(x) = x for x X 0. En inklusionsafbildning er injektiv. Definition 2.17. Lad X og Y være to mængder, og lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Afbildningen f siges at være bijektiv, såfremt den er både surjektiv og injektiv. En bijektiv afbildning kaldes for en bijektion. Definition 2.18. To mængder X og Y siges at have samme kardinalitet, såfremt der findes en bijektion f : X Y af X på Y. 15

Øvelse 2.19. Vis, at afbildningen f(x) = 2x 1, x ]0, 1[, 2x(1 x) er en bijektion af intervallet ]0, 1[ på R. Øvelse 2.20. Forklar hvorfor multiplikation med 2 ikke definerer en bijektion af Z på Z, når multiplikationen dog definerer en bijektion af R på R. Øvelse 2.21. Vis, at afbildningen (m, n) 2 m 1 (2n 1) er en bijektion af N N på N. Øvelse 2.22. Bevis de følgende påstande om sammensætning af funktioner: (a) Sammensætningen af to injektioner er en injektion. (b) Sammensætningen af to surjektioner er en surjektion. (c) Sammensætningen af to bijektioner er en bijektion. Øvelse 2.23. Lad X, Y og Z være mængder, lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y, og lad g : Y Z være en afbildning af Y ind i Z. Lad h = g f. Afgør, hvilke af de følgende 4 påstande, der er sande. Giv beviser for de sande påstande og modeksempler for de falske. (a) Hvis h er injektiv, så er f injektiv. (b) Hvis h er injektiv, så er g injektiv. (c) Hvis h er surjektiv, så er f surjektiv. (d) Hvis h er surjektiv, så er g surjektiv. Øvelse 2.24. Lad f : X Y være en afbildning af X ind i Y. Lad X 1 og X 2 være delmængder af X, og lad Y 1 og Y 2 være delmængder af Y. Afgør, hvilke af de følgende 4 påstande, der er sande. Giv beviser for de sande påstande og modeksempler for de falske. f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) (2.2) f(x 1 X 2 ) = f(x 1 ) f(x 2 ) (2.3) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (2.4) f 1 (Y 1 Y 2 ) = f 1 (Y 1 ) f 1 (Y 2 ) (2.5) Øvelse 2.25. Idet f : X Y skal man vise følgende: (a) Hvis g : Y X og g f er identiteten på X, dvs (g f)(x) = x for ethvert x X, så er f injektiv og g er surjektiv. 16

(b) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(a B) = f(a) f(b) for alle delmængder A og B af X, er, at f er 1 1. (c) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at f(x \ A) Y \ f(a) for alle delmængder A af X, er, at f er 1 1. (d) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at Y \ f(a) f(x \ A) for alle delmængder A af X er, at f er surjektiv. Øvelse 2.26. I Øvelse 1.18 indførte vi begrebet lukkede mængder i R 2 og R. Lad F være en lukket delmængde af R, og lad f : R 2 R være en kontinuert funktion. Vis, at f 1 (F ) er en lukket delmængde af R 2. Øvelse 2.27. Lad f : X Y. Idet {Y i } i I er en mængde af delmængder af Y, skal man vise, at f 1 : P(Y ) P(X) opfører sig eksemplarisk med hensyn til foreningsdannelse og fællesmængdedannelse, dvs vise, at f 1 ( i I f 1 ( i I Y i ) = i I f 1 (Y i ), og (2.6) Y i ) = i I f 1 (Y i ) (2.7) I Øvelse 2.24 har vi mødt disse formler i det specialtilfælde, hvor mængden {Y i } i I kun har to elementer (kaldet Y 1 og Y 2 i Øvelse 2.24). 3 Om inverse funktioner Lad f : X Y være injektiv. Givet y f(x) findes der pr. definition af billedmængden f(x) et element x X, så f(x) = y. Injektiviteten sikrer os, at der højst findes ét, så alt i alt findes der netop ét x X, så f(x) = y. Dette fører os frem til definitionen af den inverse funktion til f. Definition 3.1. Når f : X Y er injektiv, definerer vi en funktion f 1 : f(x) X ved, at f 1 (f(x)) = x for ethvert x X. Funktionen f 1 kaldes for den inverse funktion til f. En bijektion f : X Y er injektiv, og f 1 : Y X er en bijektion af Y på X. Definition 3.2. Hvis X er en mængde, lader vi i X : X X betegne den identiske funktion på X. Den er defineret ved, at i X (x) = x for ethvert x X. Lemma 3.3. Lad f : X Y være injektiv. Da gælder: (a) f er en bijektion af X på f(x), når vi opfatter f som en funktion fra X på f(x). 17

(b) f 1 er en bijektion af f(x) på X, og (f 1 ) 1 (x) = f(x) for ethvert x X. (c) f 1 f = i X. Her opfatter vi f som en funktion fra X på f(x). (d) f f 1 = i f(x). Bevis. OTL. Øvelse 3.4. Lad f : X Y. (a) Lad g : Y X opfylde, at g f = i X. Vis, at f er injektiv. Angiv f 1 udtrykt ved f og g. (b) Lad h : Y X opfylde, at f h = i Y. Vis, at f er surjektiv. Lad f : X Y. I princippet er det misbrug af notationen, at vi skriver f 1 for den inverse funktion. Vi har nemlig allerede indført en anden betydning af f 1, nemlig i forbindelse med begrebet urbillede. Læseren må derfor selv af sammenhængen tyde, hvilken mening symbolet f 1 har. Der er selvfølgelig væsentlige forskelle på de to betydninger, blandt andet kan vi danne urbilleder for enhver funktion f, medens vi kun kan tale om den inverse funktion, når f er injektiv. Derudover er urbillederne delmængder af X, medens værdierne af den inverse funktion er elementer i X. Der er dog en sammenhæng mellem de to betydninger for en injektiv funktion f : X Y, idet f 1 ({y}) = {f 1 (y)} for ethvert y f(x). Vi overlader det til læseren at tyde, hvornår symbolet f 1 i ovenstående formel benyttes i forbindelse med begrebet urbillede, og hvornår det refererer til den inverse funktion. Af hensyn til en senere anvendelse (beviset for Bernsteins ækvivalenssætning 6.1) noterer vi følgende resultat om sammenhængen mellem de to betydninger af f 1 : Lemma 3.5. Lad g : Y X være en injektiv afbildning af mængden Y ind i mængden X. Lad B g(y ). Da er urbilledet g 1 (B) lig med billedmængden {g 1 (b) b B}, hvor g 1 ses som en afbildning fra g(y ) ind i Y. Altså g 1 (B) = {g 1 (b) b B}, (3.1) hvor venstre side af (3.1) er urbilledet af B under g og højre side er billedet af B ved funktionen g 1. Bevis. OTL. 18

4 Om endelige mængder Først lidt notation: For ethvert n N lader vi [1, n] = {k N 1 k n}. Definition 4.1. En mængde X siges at være endelig, hvis den er tom eller hvis der findes en bijektion af X på [1, n] for et eller andet n N. En mængde siges at være uendelig, hvis den ikke er endelig. Proposition 4.2. Lad X være en endelig mængde, og lad m, n N. Hvis der findes bijektioner af X på [1, m] og på [1, n], så er m = n. Bevis. Vi kan antage, at X = [1, m]. Herefter benytter vi induktion efter m. Vi benytter Proposition 4.2 til at definere, hvad vi forstår ved størrelsen af en endelig mængde: Definition 4.3. Lad X være en endelig mængde. Antal elementer i X er 0, hvis X =, og ellers det éntydig bestemte n N, for hvilket der findes en bijektion af X på [1, n]. Antal elementer i X betegnes med X. Lemma 4.4. Hvis X er en endelig mængde og a / X, så er X {a} også endelig, og X {a} = X + 1. Bevis. Induktion efter X. Proposition 4.5. Lad A være en delmængde af en endelig mængde X. Da er A selv endelig, og A X. Hvis A X (dvs A X og A X), så er A < X. Bevis. Angående den første del af propositionen så kan og vil vi antage, at X har formen X = [1, n]. Den første del bevises herefter ved induktion, hvor induktionsantagelsen er Hvis A [1, n], så er A endelig og A n. Den anden del er så et korollar af Lemma 4.4. Eksempel 4.6. Mængden N er en uendelig mængde. Det samme gælder enhver mængde, der har N som en delmængde. Vi bemærker, at afbildningen n n + 1 er en bijektion af N på N \ {1}, så N og N \ {1} har samme kardinalitet. Hvis N er endelig, får vi af Lemma 4.4, at N = N\{1} +1 = N +1, hvilket giver modstriden 0 = 1. Dermed har vi set, at N er uendelig. Den sidste påstand i Eksempel 4.6 følger af Proposition 4.5, kombineret med, at N er uendelig, hvilket jo netop er vist. Øvelse 4.7. (a) Lad A 1 og A 2 være endelige mængder. Vis, at A 1 A 2 også er endelig. (b) Lad A 1, A 2,..., A n, hvor n N, være (endelig mange) endelige mængder. Vis, at A 1 A 2 A n også er endelig. 19

Øvelse 4.8. Lad A og B være to disjunkte, endelige mængder. Vis, at A B er en endelig mængde, og at A B = A + B. Øvelse 4.9. Lad x 0 X, hvor X er en uendelig mængde. Vis, at X \ {x 0 } er en uendelig mængde. Øvelse 4.10. Lad f : X Y, hvor X og Y er to endelige mængder med det samme antal elementer. Vis, at f er injektiv, hvis og kun hvis f er surjektiv. 5 Om numerable mængder Definition 5.1. Lad X være en mængde. (a) X siges at være numerabel, såfremt X og N har samme kardinalitet, dvs at der findes en bijektion af X på N. (b) X siges at være tællelig eller højst numerabel, såfremt X er endelig eller numerabel. (c) X siges at være overtællelig, såfremt X ikke er tællelig. Numerabel oversættes til countably infinite eller countable på engelsk. Visse forfattere bruger ordet countable i betydningen tællelig, så det er en god idé at checke forfatterens definition af countable. At en mængde X er tællelig, betyder billedligt, at dens elementer kan stilles som en liste: Lad f : [1, n] X eller f : N X være en bijektion, alt efter om X er endelig eller uendelig. På elementet f(1) klasker vi et mærkat, hvorpå der står Nr. 1, på f(2) klasker vi et mærkat, hvorpå der står Nr. 2, osv. Ethvert element får et mærkat, da f er på; og det får ikke to forskellige, da f er 1 1. Hvis mængden er endelig, dvs vi har med bijektionen f : [1, n] X at gøre, bruger vi blot n mærkater. Hvis den er uendelig, så får vi brug for alle numrene 1, 2,.... Vi har hermed fået sat numre på elementerne, så vi kan stille dem op efter nummerorden på en liste. Som et eksempel på en numerabel mængde fremhæver vi Eksempel 5.2. Mængden N er numerabel. Eksempel 5.3. N N er numerabel. Dette blev vist i Øvelse 2.21, hvor der endda blev angivet en eksplicit bijektion af N N på N. Eksempel 5.4. Z er numerabel. Idet vi definerer f : N {0} Z ved, at f(0) = 0, og f(2n 1) = n og f(2n) = n for n = 1, 2,..., får vi en bijektion af N {0} på Z. Det overlades nu til læseren at konstruere en bijektion af N på Z. 20

Sætning 5.5. Enhver delmængde af en tællelig mængde er selv tællelig. Bevis. Lad M N, hvor N er tællelig, dvs endelig eller numerabel. Idet enhver delmængde af en endelig mængde selv er endelig (Proposition 4.5), har vi det ønskede, når N er endelig. Tilbage er blot det tilfælde, hvor N er numerabel. Her ser vi først på det specialtilfælde, hvor N = N, så M er en delmængde af N. Vi er færdige, hvis M er endelig, så vi antager, at M ikke er endelig. I så fald definerer vi en afbildning f : N M på følgende vis: f(1) = det mindste element i M, altså min M. f(2) = min[m \ {f(1)}].. f(n + 1) = min[m \ ({f(1)} {f(2)} {f(n)})]. Det er klart, at f(1) < f(2) <.... Processen kan ikke stoppe, for i så fald ville det for et eller andet n N gælde, at M = {f(1)} {f(2)} {f(n)}, så M var endelig. Da f(1) < f(2) <..., er f injektiv. Det er også klart, at vi får alle elementer i M med. Det betyder, at f er en bijektion af N på M, dvs M er numerabel. Vi har altså vist sætningen, når M er en delmængde af N. Lad os herefter betragte det generelle tilfælde, hvor M er en delmængde af en numerabel mængde N, der ikke nødvendigvis er N. Lad φ : N N være en bijektion; en sådan findes, ford i N er numerabel. Nu er φ(m) φ(n) = N. Ifølge det netop viste, er φ(m) tællelig, dvs enten endelig eller numerabel. Hvis φ(m) er tom, så er M det også, og dermed er M endelig. Hvis φ(m) er endelig, men ikke tom, så findes der en bijektion ψ : φ(m) [1, n] for et eller andet n N. Som en sammensætning af bijektioner er ψ φ M : M [1, n] selv en bijektion. Dermed er M endelig. Tilfældet, hvor φ(m) er numerabel, behandles på samme måde som det endelige tilfælde; blot skal [1, n] erstattes med N. Eksempelvis er mængden af primtal numerabel; der er jo uendelig mange primtal. Sætning 5.6. Lad f : X Y. Hvis X er tællelig, så er billedmængden f(x) også tællelig. Bevis. Vi kan antage, at X = N (Overvej dette!), så det gør vi. Vi definerer en afbildning g : f(n) N ved, at g(y) = min{n N f(n) = y}, y f(n). 21

Bemærk, at mængden {n N f(n) = y} ikke er tom, når y f(n), så vi ikke i definitionen af g tager minimum over den tomme mængde. Bemærk dernæst, at g : f(n) N er injektiv, idet mængderne {n N f(n) = y 1 } og {n N f(n) = y 2 } er disjunkte, når y 1 y 2. Det følger (overvej dette!), at g er en bijektion af f(x) på sit billede g(f(x)) N. Dette billede er en tællelig mængde (Sætning 5.5), dvs der findes en bijektion φ : g(f(x)) I, hvor I enten er et interval [1, n] eller N. Den sammensatte afbildning φ g : f(x) I er en bijektion (som en sammensætning af bijektioner) af f(x) på I. Heraf følger sætningen. Sætning 5.7. Enver endelig foreningsmængde af tællelige mængder er selv tællelig. Bevis. Vi nøjes med at bevise det tilfælde, hvor der er tale om to mængder X og Y. Det generelle tilfælde følger nemlig derefter umiddelbart ved induktion efter antallet af mængder (OTL). Vi overlader det til læseren at diskutere de tilfælde, hvor en eller begge mængder X og Y er endelige (det sidste er klaret i Øvelse 4.7), så vi vil her altså fra nu af antage, at både X og Y er numerable. Der findes derfor en bijektion f : N X af N på X og en bijektion g : N Y af N på Y. Vi definerer nu en afbildning F af Z \ {0} på X Y ved { f(n) for n > 0 F (n) = g( n) for n < 0 Da Z \ {0} er tællelig (Sætning 5.5), er billedmængden F (Z \ {0}) = X Y også tællelig ifølge Sætning 5.6. Eksempel 5.8. Mængden af rationale tal Q er numerabel. Hermed et bevis for denne påstand: Vi minder først om, at de rationale tal er alle brøker m/n, hvor m og n er hele tal on n 0. Mængden af rationale tal Q er ikke endelig, idet den numerable mængde N er en delmængde af Q. Vi har i Eksempel 5.3 set, at N N er numerabel. Idet afbildningen (p, q) p/q er en surjektiv afbildning af N N på de positive rationale tal, er disse en tællelig mængde (Sætning 5.6). Det samme gælder så mængden {r Q r > 0} {0} (ifølge Sætning 5.7). Afbildningen r r er en bijektion af {r Q r > 0} på {r Q r < 0}, så de negative rationale tal er også en tællelig mængde. Det ses så fra Sætning 5.7, at foreningsmængden Q = {r Q r > 0} {0} {r Q r < 0} er tællelig. Da Q ikke er endelig, er Q dermed numerabel. En sidebemærkning: At de rationale tal er en tællelig mængde, kan give resultater, der i første omgang strider mod ens intuition. Betragt de rationale tal i enhedsintervallet ]0, 1[. Det er ifølge Sætning 5.5 en tællelig mængde, så lad ]0, 1[ Q = {r 1, r 2,...}. Læg for ethvert n N et interval I n af længde 22

2 n 10 6 omkring r n. Så vil ]0, 1[ Q n=1 I n. Disse intervallers samlede længde er (ulighedstegn, idet der kan være overlap) n=1 2 n 10 6 = 10 6. Det kan være svært at se, hvordan det kan være, at vi ikke får hele enhedsintervallet ]0, 1[ med, idet der jo i ethvert, selv nok så lille, delinterval af ]0, 1[ ligger rationale tal. Eksempel 5.9. De reelle tal R er ikke en tællelig mængde. Hermed et bevis for denne påstand. Det er indirekte, så vi antager, at R er tællelig, og fører denne antagelse til en modstrid. Ifølge Sætning 5.5 er enhver delmængde af R tællelig under vores antagelse, så det er nok at fremvise en delmængde, der ikke er tællelig. Som den pågældende delmængde tager vi de reelle tal, der kan skrives som uendelige decimalbrøker på formen 0, c 1 c 2..., hvor det for ethvert n N gælder, at c n = 3 eller c n = 4. Da det er en tællelig mængde, kan den skrives op på en liste r (1) = 0, c (1) 1 c(1) 2... c (1) n... r (2) = 0, c (2) 1 c(2) 2... c (2) n... r (3) = 0, c (3) 1 c(3) 2... c (3) n.... r (n) = 0, c (n) 1 c(n) 2... c (n) n.... Ethvert element i vores delmængde optræder altså på listen ovenfor. Vi får den ønskede modstrid ved at finde et element r fra delmængden, der ikke optræder på listen. Vi definerer r = 0, c 1 c 2... c n... ved, at c n = { 4 hvis c (n) n = 3 3 hvis c (n) n = 4. (5.1) Lad nu n N være vilkårlig. Vi ser, at r r (n), da de to tal r og r (n) jo er forskellige i hvert fald på plads nr. n, idet den ene i kraft af konstruktionen (5.1) af r der har cifferet 3 og den anden cifferet 4. Da n N er vilkårlig, gælder det for ethvert n N, at r r (n). Dermed optræder r ikke på listen. Bemærkning 5.10. Resultatet i Eksempel 5.9 blev først bevist af Cantor (7. december 1873). Det meget snedige argument i Eksempel 5.9 for overtælleligheden skyldes også ham og kaldes derfor Cantors diagonalfølge-argument. Det er dog meget senere (1890). Cantors diagonalfølge-argument bruges også i andre sammenhænge. 23

Bemærkning 5.11. Eksempel 5.9 viser, at der er flere reelle tal end rationale. Vi kan endda konkludere, at der findes overtælleligt mange irrationale tal (hvordan det?). Men vi får ikke noget at vide om individuelle tal, så vi er nødt til at søge tilflugt til andre metoder for at få vist, at tal som 2, e og π er irrationale. At 2 er irrational, blev vist allerede ca. 500 f. Kr. af pythagoræikeren Hippasus fra Metapontum. Dermed modsagde han den pythagoræiske doktrin om, at alt kan beskrives ved hele tal. Overleveringen beretter, at han gjorde opdagelsen ombord på et skib, og at de andre pythagoræere smed ham overbord for hans kætteri. At π er irrational, blev først vist af J. H. Lambert i 1761. Sætning 5.12. Lad X 1, X 2,... være en følge af tællelige mængder. Da er deres foreningsmængde n=1 X n også en tællelig mængde. Bevis. Vi nøjes med at skitsere et bevis. Lad X 1 = {x (1) 1, x(1) 2,...}, X 2 = {x (2) 1, x(2) 2,...},. (5.2) X n = {x (n) 1, x(n) 2,...},. Vi skal opstille foreningsmængden n=1 X n i en følge. Det gør vi efter skemaet 1 3 6 10... 2 5 9... 4 8... 7...... (5.3) Med denne ordning bliver de første otte elementer i foreningsmængden x (1) 1, x(2) 1, x(1) 2, x(3) 1, x(2) 2, x(1) 3, x(4) 1, x(3) 2. Hvis et element i foreningsmængden optræder flere gange i (5.2), skal vi kun medtage det første gang, vi møder det. Endvidere skal vi overspringe de pladser i (5.3), hvortil der ikke svarer noget element, enten det nu skyldes, at der står en endelig mængde i den pågældende række, eller at følgen af mængder er endelig. 24

Bevis. Hermed et andet bevis: Lad X 1 = {x (1) 1, x(1) 2,...}, X 2 = {x (2) 1, x(2) 2,...},. (5.4) X n = {x (n) 1, x(n) 2,...},. Vi kan antage, at følgen X 1, X 2,... er numerabel, idet Sætning 5.7 klarer det endelige tilfælde. Hvis X n er endelig, lader vi s(n) betegne nummeret på det sidste element i X n. Vi betragter delmængden X af N N, defineret ved, at (n, m) N N er et element i X, hvis og kun hvis m s(n) i det tilfælde, hvor X n er endelig (hvis X n er uendelig, er der ingen betingelser på m). Mængden X er tællelig (Eksempel 5.3 kombineret med Sætning 5.5). Afbildningen f : X n=1 X n givet ved f(n, m) = x (n) m er surjektiv, så tilbage står blot at henvise til Sætning 5.6. Eksempel 5.13. Hilberts Hotel (se internettet). Eksempel 5.14. Et komplekst tal siges at være et algebraisk tal, såfremt det er rod i en ligning a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0, (5.5) hvor n N {0}, a n, a n 1,..., a 1, a 0 Z og a n 0. Ethvert rationalt tal er algebraisk. Som irrationale tal, der er algebraiske, kan nævnes 2, 2 + 3 og 5 3 + 3 2 (Vis, at disse tal er algebraiske!). Sætning 5.15. Mængden af algebraiske tal er tællelig. Bevis. En bestemt ligning (5.5) har endelig mange rødder, nemlig højst n indbyrdes forskellige rødder. Heraf følger, at mængden A q bestående af alle rødder i alle ligninger (5.5), for hvilke a n + a n 1 +... + a 1 + a 0 = q, (5.6) q = 1, 2, 3,..., er endelig; der er jo kun endelig mange ligninger (5.5), der opfylder betingelsen (5.6). Da A = A q, q=1 er A en tællelig mængde (Sætning 5.12). 25

Heraf følger, at der er flere end tælleligt mange tal, der ikke er algebraiske. Sådanne tal kaldes transcendente tal. Som eksempler på transcendente tal kan nævnes π, grundtallet e for den naturlige logaritme og 2 2. Beviser for, at π og e er transcendentale, blev først givet af henholdsvis Hermite (1873) og Lindemann (1882); senere har man fundet simplere beviser. At 2 2 er transcendent, blev vist i 1934 af Gelfond. I 1966 viste A. Baker følgende: Lad a være et algebraisk tal med a 0 og a 1, og lad b være et irrationalt algebraisk tal. Så er a b et transcendent tal. Øvelse 5.16. Lad X være endelig og lad Y være numerabel. Vis, at X Y er numerabel. Øvelse 5.17. Lad X og Y være tællelige mængder. Vis, at X Y også er tællelig. Øvelse 5.18. Vis, at mængden {(q 1, q 2 ) R 2 q 1, q 2 Q} er numerabel. Øvelse 5.19. Lad X betegne en mængde af parvis disjunkte intervaller i R. Vis, at X er tællelig, dvs X blot indeholder tælleligt mange intervaller, ikke overtælleligt mange. Øvelse 5.20. Lad f : [0, 1] R være en voksende funktion, dvs s t medfører f(s) f(t). Vis, at mængden af f s diskontinuitetspunkter er tællelig. 6 Generelle resultater om mængder Vi har i foregående afsnit udledt en række resultater om tællelige mængder. Endvidere har vi i Eksempel 5.9 set, at de reelle tal er en overtællelig mængde, så ikke bare eksisterer overtællelige mængder, men nogle af dem er vigtige. Det spørgsmål melder sig nu, om vi i al almindelighed kan sige noget fornuftigt om mængder, der ikke nødvendigvis er tællelige. Er de måske for store, komplicerede og forskelligartede til, at vi udlede nogen generelle resultater om dem? Vi skal i indeværende afsnit se, at vi faktisk kan sige noget fornuftigt og interessant om mængder i al almindelighed, også selv om vi ikke indskrænker os til de tællelige mængder. Lad os for to mængder X og Y skrive X Y, såfremt der findes en injektiv afbildning af X ind i Y. I givet fald siger vi, at X har mindre kardinalitet end Y. Det er en udvidelse af, hvad vi har skrevet for endelige mængder. Hvis X og Y har samme kardinalitet, skriver vi X = Y. Vi skriver X < Y, såfremt der både gælder, at X Y og at X = Y. Det er klart, at X X. Det er også oplagt, at hvis X Y og Y Z, så er X Z, idet en sammensætning af to injektioner selv er en injektion. Hvad der bestemt ikke er helt klart, er følgende sætning. 26

Sætning 6.1 (Felix Bernsteins ækvivalenssætning, 1897). Lad X og Y være to mængder. Hvis X Y og Y X, så er X = Y, dvs X og Y har samme kardinalitet. Bemærkning 6.2. Ækvivalenssætningen kaldes også Cantor-Bernsteins æ- kvivalenssætning, fordi Cantor var den første til at formulere den, og Felix Bernstein (1878-1956) den første til at bevise den. Den kaldes også undertiden Bernstein-Schröders ækvivalenssætning, fordi logikeren Ernst Schröder (1841-1902) mente at have bevist den. Lidt standard notation, før vi går i gang med beviset for Bernsteins ækvivalenssætning: Hvis X er en mængde og φ : X X er en afbildning af mængden ind i sig selv, så sætter vi φ 0 = i X, φ 1 = φ og induktivt φ n = φ φ n 1 for n = 2, 3.... (6.1) Bevis for Bernsteins ækvivalenssætning. At X Y betyder, at der findes en injektiv afbildning f : X Y. Der er ikke givet noget om, at den skulle være surjektiv; det behøver den faktisk ikke at være. Tilsvarende findes der en injektiv afbildning g : Y X, da Y X. Nedenfor regnes komplementærmængder i forhold til X og Y henholdsvis. Vi får brug for en vis delmængde A af X, nemlig A = (g f) n (X \ g(y )) n=0 = (X \ g(y )) (g f)(x \ g(y )) (g f) 2 (X \ g(y )). (6.2) Vi noterer tre egenskaber ved A: (i) A g(y ). (ii) A = (g f)(a) (X \ g(y )). (iii) f(a) = g 1 (A) og f(a) = g 1 ( A). Bemærk, at højre side g 1 ( A) er billedet af A ved afbildningen g 1 : g(y ) Y (Lemma 3.5). Ad (i): Af (6.2) fremgår det, at A X \ g(y ). Heraf følger (i), f.eks. ved at man tager komplementærmængder med hensyn til X. Ad (ii): Af definitionen (6.2) på A får vi, at (g f)(a) = (g f)(x \ g(y )) (g f) 2 (X \ g(y )), hvilket er A pånær det første led på højresiden af (6.2). Tilføjes X \ g(y ) på begge sider, fås (ii). 27

Ad (iii): Den sidste del af (iii) følger af den første ved komplementærmængdedannelse (cf. Sætning 2.11(a)), så vi kan koncentrere os om den første del. ) Lad f(a), hvor a A, være et vilkårligt element i venstre side f(a). Vi skal vise, at f(a) g 1 (A), dvs at g(f(a)) A. Men g(f(a)) = (g f)(a) (g f)(a), så det er klart fra (ii). ) Lad omvendt y g 1 (A) være et vilkårligt element i venstre side. At y g 1 (A) betyder, at g(y) A. Af (ii) ser vi, at g(y) (g f)(a), idet g(y) ikke ligger i nr. 2 led på højre side af (ii). Der findes så et a A, så g(y) = (g f)(a) = g(f(a)). Da g er injektiv, er y = f(a). Dermed er y f(a), og (iii) er eftervist. Vi betragter herefter afbildningen h : X Y givet ved { f(x) for x A h(x) = g 1 (6.3) (x) for x A. Det bør bemærkes, at A g(y ), så den nederste linje i udtrykket for h er meningsfyldt. Det blev imidlertid allerede bemærket i punkt (i) ovenfor. Vi hævder, at h er en bijektion af X på Y, dvs h er både injektiv og surjektiv. Da såvel f som g 1 er injektive, kan injektiviteten af h kun gå galt, hvis der findes a A og b A, så f(a) = g 1 (b). Men det kan ikke lade sig gøre, for f(a) f(a) og g 1 (b) f(a) (det sidste ifølge den anden påstand i (iii)). Hvad surjektiviteten angår, så ser vi umiddelbart fra de to tilfælde i definitionen (6.3) af h, at h(x) f(a) og h(x) g 1 ( A), så h(x) f(a) g 1 ( A). Når vi heri indsætter, at g 1 ( A) = f(a) (punkt (iii) ovenfor), får vi, at h(x) f(a) f(a) = Y, dvs h er surjektiv. Korollar 6.3. Lad X, Y og Z være tre mængder, som opfylder, at X Y Z og at X = Z. Da er X = Y og Y = Z. Bevis. Idet inklusionsafbildningen X Y er injektiv, er X Y. Da X = Z, findes der en bijektion φ : Z X af Z på X. Lad i : Y Z betegne inklusionsafbildningen. Sammensætningen φ i : Y X er en injektiv afbildning (en sammensætning af to injektive afbildninger), så Y X. Korollaret følger nu af Bernsteins ækvivalenssætning. Sætning 6.4 (Cantors sætning). Lad X være en mængde. Da er X < P(X). 28

Bevis. Det er klart, at X P(X) : Afbildningen x {x} af X ind i P(X) er nemlig 1 1. At X = P(X) giver vi et indirekte bevis for. Vi antager, at der gælder lighedstegn, og fører denne antagelse til en modstrid. At der gælder lighedstegn, betyder, at der findes en bijektion f af X på P(X). Betragt nu delmængden A = {x X x / f(x)}. Da f er surjektiv, findes der et a X, så f(a) = A. Der er nu to muligheder (i) a A. I dette tilfælde har vi pr definition af A, at a / f(a); og da f(a) = A, at a / A. Men det strider mod tilfældets overskrift, der er a A. Dermed optræder dette tilfælde altså ikke, og vi har (ii) a / A tilbage. Da f(a) = A, har vi i dette tilfælde, at a / f(a). Pr definition af A har vi dermed, at a A. Men det strider mod tilfældets overskrift, der er a / A. Vi får altså en modstrid. Cantors sætning har som konsekvens, at der ikke er nogen største mængde i den forstand, at alle andre kan indlejres i den via en injektion. Hvis X er en sådan største mængde, så er P(X) jo endnu større. Den næste sætning (Sætning 6.5) giver os, at N har mindst kardinalitet blandt alle uendelige mængder i den forstand, at N X for enhver uendelig mængde X. Sætning 6.5. Enhver uendelig mængde indeholder en numerabel delmængde. Bevis. Kald den uendelige mængde X. Lad x 1 være et vilkårligt valgt element i X. Restmængden X 1 = X \{x 1 } er ikke tom; lad x 2 være et vilkårligt valgt element i X 1. Restmængden X 2 = X 1 \ {x 2 } er ikke tom; lad x 3 være et vilkårligt valgt element i X 2. Restmængden X 3 = X 2 \ {x 3 } er ikke tom; lad x 4 være et vilkårligt valgt element i X 3. Osv. Da X er uendelig, er restmængden X n = X \ {x 1, x 2,..., x n } ikke tom for noget n, så udvælgelsesprocessen kan fortsættes ubegrænset. Mængden {x 1, x 2,...} er en numerabel delmængde af X. Sætning 6.6. Hvis N er en tællelig mængde og U en uendelig mængde, så har U og U N samme kardinalitet. Bevis. Ifølge Sætning 6.5 har U en numerabel delmængde. Vi lader D = {u 1, u 2,..., u n,...} betegne en sådan. Da U N = U (N \ U), kan vi i kraft af Sætning 5.5 antage, at U og N er disjunkte. Lad os først antage, at N er endelig. Hvis N er tom, så er resultatet trivielt, så lad os antage, at N ikke er tom og dermed kan skrives på formen 29

N = {a 1, a 2,..., a M }, hvor M N. Vi definerer afbildningen f : U N U ved forskriften u for u U \ D f(u) = u n+m for u = u n, hvor n = 1, 2,... u i for u = a i, i = 1, 2,..., M. Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U N på U. Det næste og sidste tilfælde er det, hvor N er numerabel, dvs N har formen N = {a 1, a 2,..., a n,...}. Her definerer vi en afbildning f : U N U ved forskriften u for u U \ D f(u) = u 2n for u = u n, hvor n = 1, 2,... u 2n 1 for u = a n, n = 1, 2,.... Vi overlader det til læseren at eftervise, at f er en bijektion af U N på U. Øvelse 6.7. I denne opgave skal vi indse, at R 2 og R har samme kardinalitet. Det blev bevist af Cantor i 1877, og det forbløffede ham åbenbart. I hvert fald skrev han i et brev til kollegaen Dedekind følgende om dette overraskende resultat: Je le vois, mais je ne le crois pas. Vi vil først vise, at enhedskvadratet ]0, 1] 2 og enhedsintervallet ]0, 1] har samme kardinalitet, dvs at der findes en bijektion af ]0, 1] 2 på ]0, 1[. (a) Gør rede for, at ethvert tal i ]0, 1] på netop én måde kan skrives som en uendelig decimalbrøk, som ikke ender med lutter nuller. (b) Lad x ]0, 1]. Med udgangspunkt i skrivemåden fra punkt (a) skriver vi x på formen x = 0, x 1 x 2..., hvor x 1, x 2,... dog ikke altid er decimalerne, men er fastlagt som følger: x 1 = de første cifre efter kommaet til og med det første ciffer 0, x 2 = de følgende cifre til og med det næste, der er 0, osv. Eksempelvis har vi for tallet x = 0, 021800045..., at x 1 = 02, x 2 = 1, x 3 = 8, x 4 = 0004 og x 5 = 5. Vi definerer nu en afbildning Φ : ]0, 1] 2 ]0, 1] som følger: Idet x ]0, 1] og y ]0, 1] skrives som ovenfor, altså x = 0, x 1 x 2... og y = 0, y 1 y 2..., sætter vi Φ(x, y) = 0, x 1 y 1 x 2 y 2..., hvor grupperne anføres skiftevis. Vis, at Φ : ]0, 1] 2 ]0, 1] er en bijektion. (c) Hvad går galt med argumentet, hvis x 1, x 2,... og y 1, y 2,... betegner decimalerne? 30

(d) Vis, at R 2 og R har samme kardinalitet. Bemærkning 6.8. Hermed et par bemærkninger til Øvelse 6.7. Det kan bevises, at der ikke findes nogen kontinuert bijektion af ]0, 1] 2 på ]0, 1], så afbildningen Φ : ]0, 1] 2 ]0, 1] ovenfor er altså ikke kontinuert. Det følger af en avanceret sætning, der går under navnet Brouwer s Theorem on Invariance of Domain. Se [1, Side B 77] for et elementært bevis for, at Φ : ]0, 1] 2 ]0, 1] ikke kan være kontinuert. Den italienske matematiker Guiseppe Peano (1858 1932) fandt i 1890 en kontinuert afbildning af [0, 1] ind i [0, 1] 2 (dvs en kurve i [0, 1] 2 ), der er på. Den er ikke 1 1. Øvelse 6.9. Vis, at mængden af alle irrationale tal har samme kardinalitet som R. Litteratur [1] Bundgaard, S.: Nogle Grundlæggende Begrebsdannelser inden for Matematikken, Kapitel I VI. Definitioner og Sætninger. Elementærafdelingen nr. 5A. Matematisk Institut. Aarhus Universitet. 1959/60. Nogle Grundlæggende Begrebsdannelser inden for Matematikken, Kapitel I VI. Eksempler og Opgaver. Elementærafdelingen nr. 5B. Matematisk Institut. Aarhus Universitet. 1959/60. [2] Halmos, Paul R.: Naive Set Theory. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, New Jersey. Toronto. London. 1960. [3] Heiede, T. og Helms, H.J., Mængdelære og transfinite kardinaltal I III. Nordisk Matematisk Tidsskrift 10 (1962), 11 51, 108 136, 169 190. [4] Hrbacek, K. and Jech, T.: Introduction to Set Theory. Marcel Dekker, Inc. New York and Basel. 1978. 31