Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus 1-2004 Uge 37.1-1 To ubekendte grafisk [LA] 5 Lineære ligningssystemer Figur y 2x y 1 (1, 1) skæringspunkt 1 x x + y 2 To ligninger i to ubekendte Calculus 1-2004 Uge 37.1-2
3 ligninger 4 ubekendte Eksempel (Rækkereduktion) 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 20 2x 1 + 5x 2 + 12x 3 + 21x 4 34 2x 1 + 5x 2 + 12x 3 + 21x 4 34 Calculus 1-2004 Uge 37.1-3 Eliminer en ubekendt Eksempel - fortsat 2x 1 + 5x 2 + 12x 3 + 21x 4 34 3x 2 + 8x 3 + 15x 4 18 Calculus 1-2004 Uge 37.1-4
Eliminer endnu en Eksempel - fortsat 3x 2 + 8x 3 + 15x 4 18 2x 3 3x 4 6 Calculus 1-2004 Uge 37.1-5 En ubekendt er fri Eksempel - fortsat Heraf 2x 3 3x 4 6 x 3 3 + 3x 2 4 x 2 4 2x 3 6x 4 2 9x 4 x 1 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 4 3x 4 Calculus 1-2004 Uge 37.1-6
Brug matrixform Eksempel - fortsat Løsning x 3 3 + 3x 2 4 x 2 2 9x 4 x 1 4 3x 4 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 4 3x 4 2 9x 4 3 + 3x 2 4 x 4 4 3 2 3 + x 9 4 3 2 0 1 Calculus 1-2004 Uge 37.1-7 Eliminations strategi Definition Rœkkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. 2. Bringer ligningssystemet på rœkke-echelon form (trappeform). 3. Løsningsmængden kan opskrives ved baglæns substitution. Calculus 1-2004 Uge 37.1-8
Skalpellen frem, fjern ubekendte Eksempel 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 20 2x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 21x 4 34 2x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 21x 4 34 Calculus 1-2004 Uge 37.1-9 Skær videre Eksempel - fortsat 2x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 21x 4 34 3x 2 + 6x 3 + 15x 4 18 Calculus 1-2004 Uge 37.1-10
Videre Eksempel - fortsat 3x 2 + 6x 3 + 15x 4 18 3x 4 6 Calculus 1-2004 Uge 37.1-11 Afslut bagfra Eksempel - fortsat 3x 4 6 Heraf x 4 2 x 2 4 2x 3 6x 4 16 2x 3 x 1 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 2 Calculus 1-2004 Uge 37.1-12
En fri tre bundne Eksempel - fortsat Løsning x 4 2 x 2 16 2x 3 x 1 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 2 16 2x 3 x 3 2 2 0 16 0 + x 2 3 1 2 0 Calculus 1-2004 Uge 37.1-13 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition Rœkkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Addition af et multiplum af en række til en anden Bringer matricen på (reduceret) rœkke-echelon form (trappeform), 1 på pivot indgange 0 0 1?? 0?? 0 0 0 0 0 0 1?? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculus 1-2004 Uge 37.1-14
Strategi på matrix form Observation Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax b (A b) Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Det reducerede ligningssystem opskrives fra den reducerede matrix. Calculus 1-2004 Uge 37.1-15 Strategi på matrix form Eksempel - igen 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 20 2x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 21x 4 34 2 2 4 6 16 3 2 4 3 20 2 5 10 21 34 Calculus 1-2004 Uge 37.1-16
Øvelse gør mester Eksempel - igen fortsat 2 2 4 6 16 3 2 4 3 20 2 5 10 21 34 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 2 5 10 21 34 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 0 3 6 15 18 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 0 0 0 3 6 Calculus 1-2004 Uge 37.1-17 Atter øvelse Eksempel - igen fortsat 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 0 0 0 3 6 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 0 0 0 1 2 2 2 4 0 28 0 1 2 0 16 0 0 0 1 2 2 0 0 0 4 0 1 2 0 16 0 0 0 1 2 Calculus 1-2004 Uge 37.1-18
Afslut elegant Eksempel - igen fortsat 2 2 4 6 16 3 2 4 3 20 2 5 10 21 34 Det reducerede ligningssystem x 1 2 x 2 + 2x 3 16 x 4 2 1 0 0 0 2 0 1 2 0 16 0 0 0 1 2 Calculus 1-2004 Uge 37.1-19 En fri tre bundne Eksempel - igen fortsat Løsning x 4 2 x 2 16 2x 3 x 1 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 2 16 2x 3 x 3 2 2 0 16 0 + x 2 3 1 2 0 hvor x 3 vælges frit. Calculus 1-2004 Uge 37.1-20
Enten-eller Enten-eller-princip (22) En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Bevis Matricen på reduceret trappeform 1? 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Calculus 1-2004 Uge 37.1-21 Struktur er sagen Sætning 9 Et homogent ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger, har altid uendelig mange løsninger. Bevis Koefficientmatricen har flere søjler end rækker. Den reducerede matrix har mindst 1 pivotfri søjle. Altså er der parametre i løsningen. Calculus 1-2004 Uge 37.1-22
Test ligningssystem Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: Løsning Sætning 9 sikrer uendelig mange løsninger. (a) (b) (c) (d) Calculus 1-2004 Uge 37.1-23 En sjov variation Eksempel 4 Løs matrixligningen ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 5 3 x 21 x 22 Skrives som ligningssystemet ( ) 1 0 0 1 2x 11 + x 21 1 5x 11 + 3x 21 0 2x 12 + x 22 0 5x 12 + 3x 22 1 Calculus 1-2004 Uge 37.1-24
Det er rigtig sjovt 2 1 0 0 1 5 3 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 5 3 1 1 0 0 0 3 0 1 0 0 5 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2, 1 1 1 0 0 2 2 0 1 2 0 0 5 2 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 2 1 ( ) ( ) x 11 x 12 3 1 x 21 x 22 5 2 Calculus 1-2004 Uge 37.1-25 Operationer og multiplikation [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Sætning Rœkkeoperationer på en m n-matrix fremkommer ved Udfør rœkkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en rækkeoperationsmatrix Venstre multiplicer den oprindelige matrix med den fremkomne rækkeoperationsmatrix Calculus 1-2004 Uge 37.1-26
Smart overbevisende [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a 12 1 0 a 21 a 22 ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Multiplikation af række med tal r 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 a 11 a 12 a 11 a 12 0 r a 21 a 22 ra 21 ra 22 Addition af et multiplum af en række til en anden ( ) ( ) ( ) 1 r a 11 a 12 a 11 + ra 21 a 12 + ra 22 0 1 a 21 a 22 a 21 a 22 Calculus 1-2004 Uge 37.1-27 Ensidig invers er tosidig [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Sætning 10 Lad A, B vœre kvadratiske matricer af samme størelse. Så gœlder AB I BA I En højre invers er også en venstre invers. Bevis Hvis AB I har alle ligningssystemer Ax b en løsning x Bb. Den reducerede form af A kan da ikke have en 0-række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en matrix C så CA I. Til slut er C C(AB) (CA)B B. Calculus 1-2004 Uge 37.1-28
Invers ved operationer [LA] 7 Rækkeoperations-matricer Sætning En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix (A I) (I A 1 ) Den inverse matrix beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Calculus 1-2004 Uge 37.1-29 Invers 2x2-matrix Eksempel 4 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 5 3 x 21 x 22 ( ) 1 0 0 1 ( ) ( ) ( 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 5 3 0 1 0 1 5 1 0 1 5 2 2 2 ( ) ( ) 2 0 6 2 1 0 3 1 0 1 5 2 0 1 5 2 ) Calculus 1-2004 Uge 37.1-30
Invers 2x2-matrix Eksempel 4 - fortsat Rækkereduktionen ( 2 1 1 0 5 3 0 1 ) ( 1 0 3 1 0 1 5 2 ) giver den inverse ( ) 1 ( ) 2 1 3 1 5 3 5 2 Calculus 1-2004 Uge 37.1-31 Invers 2x2-matrix Eksempel 4 - forsat Gør prøve ( 2 1 5 3 ) 1 ( 3 1 5 2 ) Udregn ( ) ( ) 2 1 3 1 5 3 5 2 ( ) 1 0 0 1 Calculus 1-2004 Uge 37.1-32