Ovesgt [S] App. I, App. H. Komplekse tal Nøgleod og begebe Komplekse tal Test komplekse tal Polæe koodate Kompleks polafom De Moves sætg Test komplekse tal Komplekse ødde Kompleks ekspoetalfukto Ved et kompleks tal fostås et udtyk z a + b hvo a z og b z e eelle tal kaldet ealdel og magædel. e de magæe ehed, fomelt detfceet med, alt. To komplekse tal a + b og c + d e es, hvs a c og b d. Mægde af komplekse tal beteges C. De eelle tal R detfcees med komplekse tal, hvs magædel e 0. Det e et (oveaskede) faktum, at de sædvalge egeegle fo eelle tal udvde megsfuldt fa ealdel tl alle komplekse tal. Calculus - 005 Uge 40. - Calculus - 005 Uge 40. - Komplekse pla Komplekse pla Talplae R med ektagulæe koodate (x, y) detfcees med de komplekse tal (komplekse pla, Agad plae) C ved (, 0) og (0, ), a + b (a, b) - fotsat x-akse kaldes de eelle akse og y-akse kaldes de magœe akse. Nome a + b a + b (a, b) kaldes modulus elle absolut væd. b a+b 3 4 3 + 4 5 5 a Calculus - 005 Uge 40. - 3 Calculus - 005 Uge 40. - 4 Addto og multplkato Addto plae Addto: Fgu - paallellogamegle (a + b) + (c + d) (a + c) + (b + d) Multplkato: (a + b)(c + d) a(c + d) + (b)(c + d) ac + ad + bc + bd (ac bd) + (ad + bc) z z z + z Moale g løs med sædvalge egeegle og educe tl stadadfom ved at buge. Calculus - 005 Uge 40. - 5 Calculus - 005 Uge 40. - 6 Addto og multplkato Kompleks kojugeg Addto: ( ) + (4 + 7) ( + 4) + ( + 7) 5 + 6 Multplkato: ( + 3)( 5) ( )( 5) + (3)( 5) + 5 + 6 5 ( + 5) + (5 + 6) 3 + Fo et kompleks tal z a + b e det kojugeede tal z gvet ved spejlg de eelle akse z a b z z + z, z z z Calculus - 005 Uge 40. - 7 Calculus - 005 Uge 40. - 8
Kompleks kojugeg Kompleks absolutvæd Sætg z + w z + w Sætg Tekatsulghede zw z w Hvs z a + b, e z z a + b z Bevs z z (a + b)(a b) a (b) a + b z Multplkatvtet z + w z + w zw z w Calculus - 005 Uge 40. - 9 Calculus - 005 Uge 40. - 0 Kompleks ecpok Kompleks bøk Sætg Fo et kompleks tal w c + d 0 e det ecpoke tal w c + d w w w w w c c + d d c + d Fo et kompleks tal z a + b e bøke z w z w w w z w w a + b (a + b)(c d) c + d c + d + 3 Agv på fome a + b. + 5 + 3 + 5 ( + 3)( + 5) ( + 5)( + 5) ( + 3)( 5) ( + 5)( 5) ( + 5) + (5 + 6) + 5 3 9 + 9 Calculus - 005 Uge 40. - Calculus - 005 Uge 40. - Test komplekse tal Kompleks kvadatod Test Det komplekse tal z e: + (a) z. (b) z. (c) z +. Afkyds de gtge: + ( ) ( + )( ) ( ) + (a) (b) (c) 3 Fo et postvt eelt tal c e hovedkvadatode af c c c ee tl lgge x + c 0 e da ± c. ee tl adegadslgge ax + bx + c 0 e da x b ± b 4ac a Lgge x + x + 0 ha løsge x ± 4 ± 3 ± 3 Calculus - 005 Uge 40. - 3 Calculus - 005 Uge 40. - 4 Populæe koodate [S] Appedx H. Pola coodates Pol og sgtelje [S] Appedx H. Pola coodates Et polæt koodatsystem plae bestå af et pukt pole O og e halvlje polæakse ud fa pole. Et vlkålgt pukt P e u bestemt ved et talpa (, ). e vkle mellem polæakse og lje OP målt med foteg mod uets etg. e afstade fa O tl P eget med foteg mht. de valgte polæakse. O P Et polæt koodatsystem bestemme et katessk koodatsystem. Pole og puktet med polæe koodate (, 0) bestemme x-akse og pole og puktet med polæe koodate (, π ) bestemme y-akse. y O P ( cos(), s()) x Calculus - 005 Uge 40. - 5 Calculus - 005 Uge 40. - 6
Polæ-katessk odbog [S] Appedx H. Pola coodates Kompleks polafom Sætg Gvet et polœt og tlhøede katesske koodatsystem. Et pukt med polœe koodate (, ) ha katesske koodate x cos(), y s() Et pukt med katesske koodate (x, y), x > 0 ha polœe koodate x + y, ta ( y x ) Et kompleks tal z a + b udtykt polæe koodate z a + b (cos + s ) kaldes polafome. Hvs a 0 z a + b, ta b a Vkle ag z kaldes agumetet, bestemt påæ pπ. b a+b a Calculus - 005 Uge 40. - 7 Calculus - 005 Uge 40. - 8 Kompleks polafom Multplkato på polafom 4 Skv det komplekse tal z + på polafom. z + ta Vkle vælges π/4 og polafome e z (cos + s ) (cos π 4 + s π 4 ) Sætg Multplkato C ka udtykkes ved addtosfomlee. Fo z (cos + s ), z (cos + s ) gœlde z z [cos( + ) + s( + )] Så fo komplekse tal z, z e z z z z ag(z z ) ag z + ag z π 4 + Calculus - 005 Uge 40. - 9 Calculus - 005 Uge 40. - 0 Multplkato på polafom Dvso på polafom Fgu - multplkato z z Sætg - udvdelse Dvso C ka udtykkes på polafom. Fo z (cos + s ), z (cos + s ) 0 gœlde z z + z z [cos( ) + s( )] Så fo komplekse tal z, z 0 e z z z z ag( z z ) ag z ag z Calculus - 005 Uge 40. - Calculus - 005 Uge 40. - Potes på polafom Potes på polafom Sætg - De Move Hvs z (cos + s ) og et postvt helt tal, gœlde z [(cos + s )] (cos + s ) -te potes af et kompleks tal femkomme ved at tage -te potes af modulus og gage agumet. z z ag(z ) ag z Calculus - 005 Uge 40. - 3 6 ( Fd + ) 0. z + z 0 (cos π 4 + s π 4 ) ( ) 0 (cos 0 π 4 + s 0π 4 ) 5 0 (cos 5π + s 5π ) 3 Calculus - 005 Uge 40. - 4
Test komplekse tal Rod på polafom Test Det komplekse tal z ( cos π + s π) e: (a) z. (b) z 4. (c) z 4. Afkyds de gtge: ( cos π + s π) ((cos π + s π)) (cos π + s π) 4 (a) (b) (c) 3 Sætg - Rod af kompleks tal Hvs z (cos + s ) 0 og et postvt helt tal, ha z de foskellge -te ødde (wk z) ( ) ( )] + kπ + kπ w k [cos / + s hvo k 0,,...,. -te ødde af et kompleks tal femkomme ved at tage -te od af modulus og -te del af alle agumete. z / z / ag(z / ) ag z + kπ Calculus - 005 Uge 40. - 5 Calculus - 005 Uge 40. - 6 Kvadatod på polafom Rod på polafom Fgu - kvadatod z 7 Fd 6-te ødde af 8. z 8(cos π + s π) ( ) ( )] π + kπ π + kπ w k 8 [cos /6 + s 6 6 z hvo k 0,,..., 5. Fo eksempel w 0 [ ( π ) ( π )] cos + s ( ) 3 6 6 + Calculus - 005 Uge 40. - 7 Calculus - 005 Uge 40. - 8 Algebaes fudametalsætg Kompleks ekspoetalfukto Sætge om ødde gve, at lgge x z 0 ha ødde w 0, w,..., w. Sætg - Algebaes fudametalsætg Ehve polyomumslgg a x + a x + + a x + a 0 0 af gad mdst é ha e od de komplekse tal. Algebaes fudametalsætg blev vst af Gauss. De komplekse ekspoetalfukto e gvet ved, z x + y, 7 e z e x+y e x (cos y + s y) Et specaltlfælde kaldes Eules fomel 6 e y cos y + s y Ekspoetalfuktoe opfylde de sædvalge egeegel 5 e z+z e z e z Calculus - 005 Uge 40. - 9 Calculus - 005 Uge 40. - 30 Kompleks ekspoetalfukto Kompleks ekspoetalfukto Fgu - ekspoetalfukto 8 Beeg: (a) e π (b) e +π/ e x e x+y (a) e π cos π + s π 0 y (b) ( e +π/ e cos π + s π ) e Calculus - 005 Uge 40. - 3 Calculus - 005 Uge 40. - 3
Kompleks logatmefukto Komplekse tgoometske fuktoe De komplekse logattmefukto e bestemt påæ kπ og gvet ved, z (cos + s ) 0, Ka skves og e log z z, log z l + log z l z + ag z log e z z + kπ log z z log z + log z + kπ Eules fomel 6 e y cos y + s y gve cos y ey + e y, s y ey e y De komplekse tgoometske fuktoe defees ved cos z ez + e z, s z ez e z Calculus - 005 Uge 40. - 33 Calculus - 005 Uge 40. - 34 Komplekse tgoometske fuktoe - fotsat De tgoometske addtosfomle e opfyldte cos(z + z ) cos z cos z s z s z s(z + z ) s z cos z + cos z s z De e vese fuktoe. Fo w cos z e z accos w log(w ± w ) Tlsvaede fo w s z e z acs w log(w ± w ) Calculus - 005 Uge 40. - 35