MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1
Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen af de forskellige talmængder N, Z, Q, og R i forbindelse med løsningen af forskellige ligninger. Man kan f.eks. se R som udvidelsen af de rationale tal Q der sikrer løsninger til ligningen x 2 = q uanset hvilket (rationalt) tal q er. Appendiks I Man kan også udvide de reelle tal således at det er muligt at løse ligningen x 2 + 1 = 0. Dermed opnår man de komplekse tal, C. Disse opfylder: 1) De reelle tal er en delmængde af de komplekse tal. 2) Der er et specielt komplekst tal, som hedder i. 3) De fire regningsarter (addition, subtrakton, multiplikation og division) virker lige så godt og ligesådan for de komplekse tal (som for de reelle) 4) i 2 = 1. 5) Der er ikke flere komplekse tal end dem, der dikteres af 1) - 4). Ud fra disse 5 kendsgerninger får man 6) Hvis a, b er reelle tal, så er a + ib et komplekst tal. 7) Ethvert komplekst tal kommer frem som beskrevet i 6). 8) For komplekse tal w = a + ib, z = x + iy gælder w z w + z = (a + x) + i(b + y) w z = (a x) + i(b y) wz = (ax by) + i(ay + bx), ax + by ay = + ibx forudsat z 0 x 2 + y2 x 2 + y 2 Sprogbrug for et komplekst tal z = x + iy 9) x kaldes realdelen af z, skrives Re(z) = x. 10) y kaldes imaginærdelen af z, og skrives Im(z) = y. 11) Tallet x iy kaldes det komplekst konjugerede til z, skrives z = x iy. 12) Formler for kompleks konjugering: w ± z = w ± z, wz = wz ( w ) = w forudsat z 0 z z 13) zz = x 2 + y 2 er reelt og 0. zz = 0 hvis og kun hvis z = 0. 2
Geometrisk fortolkning af de komplekse tal Modulus og argument for z = x + iy 14) Modulus er z = zz = x 2 + y 2 = længden af vektoren ( ) x y ( ) x 15) Argumentet arg(z) er en vilkårlig af de vinkler, som vektoren y x-aksen. 16) arg(z) er udefineret, hvis z = 0 17) Generelt kan man altid lægge 2pπ til arg(z) uden at flytte z (p Z) 18) Formler for modulus og argument wz = w z, w = w z z, z = z, arg wz = arg w + arg z ( w ) arg = arg w arg z z arg(z) = arg(z) danner med 3
Polær form for et komplekst tal Hvis z = r, arg(z) = v, så er Dette hedder den polære form for z z = r(cos(v) + i sin(v)) de Moivres formel 19) (cos(v) + i sin(v)) n = cos(nv) + i sin(nv), for v R og n N. Rodudragning i det komplekse område Lad z være et komplekst tal 0, og lad n N. Ligningen w n = z har n komplekse rødder, w 1, w 2,..., w n. Hvis z = r og v er den værdi af arg(z), som opfylder π < v π, så er w 1 = n r [cos(v/n) + i sin(v/n)] w 2 = n r [cos(v/n + 2π/n) + i sin(v/n + 2π/n)] w 3 = n r [cos(v/n + 4π/n) + i sin(v/n + 4π/n)] w k = n r [cos(v/n + 2(k 1)π/n) + i sin(v/n + 2(k 1)π/n)] w n = n r [cos(v/n + 2(n 1)π/n) + i sin(v/n + 2(n 1)π/n)] S. A9 S. A9 På figuren er det røde tal z = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)), mens de fem sorte tal er de fem rødder i ligningen w 5 = z. De ligger alle i afstand 5 2 fra (0,0), og de danner hjørner i en regulær femkant. 4
De n te enhedsrødder I specialtilfældet, hvor z = 1, kaldes w 1, w 2,, w n de n te enhedsrødder. Man har r = 1, v = 0, så de er s. A9 w 1 = 1 w 2 = cos(2π/n) + i sin(2π/n) w 3 = cos(4π/n) + i sin(4π/n) w k = cos(2(k 1)π/n) + i sin(2(k 1)π/n) w n = cos(2(n 1)π/n) + i sin(2(n 1)π/n) 5
Komplekse funktioner En kompleks funktion er en forskrift som tilskriver ethvert komplekst tal z et nyt komplekst tal f(z). Hvis z = x + iy, u = u(x, y) og v = v(x, y) er to reelle funktioner af de to variable x, y, så kan den komplekse funktion f skrives: f(z) = u(x, y) + iv(x, y) Man taler også om differentiation af komplekse funktioner, men det er lidt mere kompliceret end for reelle funktioner. Eksponentialfunktionen for en kompleks variabel Ved definition af den komplekse eksponential-funktion ønsker man en funktion som er i) kompleks differentiabel ii) (e z ) = e z, og at den stemmer overens med den sædvanlige eksponentialfunktion når z er reel. Det giver anledning til følgende definition: For z = x + iy med x, y reelle er Man har altså e z = e x (cos(y) + i sin(y)) Re(e z ) = e x cos(y), Im(e z ) = e x sin(y); e z = e x, arg(e z ) = y. Bemærk for y = 0 er z = x reel, og funktionen svarer til den reelle e x, fordi cos(0) = 1 og sin(0) = 0. For x = 0 fås formlen e iy = (cos(y) + i sin(y)) Det komplekse tal e iy løber altså 1 gang rundt på enhedscirklen, når y gennemløber intervallet [0, 2π). Verdens smukkeste/besynderlige (??) formel er e iπ = 1. Ved at bruge additionsformler for cosinus og sinus (Adams s. 50 51) kan man vise, at den karakteristiske formel e z+w = e z e w også gælder for komplekse w, z. 6
Anden ordens differentialligning med konstante koefficienter Adams 3.7 Temaet for de næste 2 slides er løsning af differentialligninger af formen hvor a, b, c er reelle konstanter med a 0. Et hovedresultat om differentialligninger: ay (t) + by (t) + cy(t) = 0 (1) Sætning 0 Hvis man har to løsninger u(t) og v(t), som begge er 0, og som ikke er proportionale, så er alle løsninger af formen Au(t) + Bv(t), hvor A, B er vilkårlige reelle konstanter Der søges egentlig kun efter reelle funktioner af t. MEN: Det giver faktisk også mening at lede efter løsningsfunktioner med komplekse værdier, Og det vil vi benytte os af! Ved at indsætte en funktion med komplekse værdier y(t) = y 1 (t) + iy 2 (t) i (1) og samle realdele og imaginærdele hver for sig, ser man Sætning 1 Funktionen y(t) = y 1 (t) + iy 2 (t) er løsning til (1) hvis og kun hvis både y 1 (t) og y 2 (t) løser (1) Sammen med (1) betragtes andengradsligningen ar 2 + br + c = 0 (2) På tavlen skitserer jeg et bevis for følgende hovedresultat Sætning 2: Funktionen y = e rt løser (1) hvis og kun hvis tallet r løser (2) Ved at benytte sætningerne 0, 1, 2 får man en opdeling i tre tilfælde bestemt af diskriminanten for andengradsligningen (2). D = b 2 4ac 7
Tilfælde I (D > 0) S. 203-4 For D > 0, har (2) to reelle rødder som er forskellige. Kaldes de r 1 og r 2 er alle løsninger til (1) af formen Ae r 1t + Be r 2t, hvor A, B er vilkårlige reelle konstanter Tilfælde II (D = 0) S. 204 For D = 0 har (2) kun 1 reel rod r 1 = r 2. Man får derfor kun 1 løsning af formen e r1t. Ved at bruge, at D = 0 og at e r1t er en løsning, kan man da vise, at te r1t også er en løsning. I tilfælde II er alle løsninger til (1) af formen Ae r 1t + Bte r 1t, hvor A, B er vilkårlige reelle konstanter Tilfælde III (D < 0) S. 204 For D < 0 sættes ω = D 2a og k = b 2a. De to komplekse rødder i (2) er da hinandens konjugerede, nemlig r 1 = k + iω, r 2 = k iω. Fra Sætning 2 ved vi at e r1t er en løsningsfuntion med komplekse værdier. Ifølge Sætning 1 er Re(e r1t ) og Im(e r1t ) to reelle løsninger. Skriver man denne realdel og imaginærdel op vha k og ω lander man med I tilfælde III er alle løsninger til (1) af formen Ae kt cos(ωt) + Be kt sin(ωt), hvor A, B er vilkårlige reelle konstanter 8