Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Cand.merc.finansiering Kandidaafhandling Vejleder: Tom Engsed Forfaere: Sig Vinher Møller Minh Tuong Den forbrugsbaserede prisfassæelsesmodel: En empirisk sammenligning af sandardmodellen med Campbell- Cochrane modellen på de danske akiemarked Handelshøjskolen i Århus Augus 005
Summary Mehra and Presco (985) find ha he consumpion-based asse pricing model wih consan relaive risk aversion (he sandard model) canno explain he risk premium on US socks wihou a high value of risk aversion. This is called he equiy premium puzzle. Weil (989) poins ou ha a high risk aversion in he sandard model leads o a risk free rae puzzle. Wih a high risk aversion in he sandard model he risk free rae is high, which is no consisen wih he hisorical low risk free rae. Several modificaions o he sandard model have been developed o solve he equiy premium and risk free rae puzzles. One approach menioned in he lieraure is he habi formaion models. In hese models he invesor slowly develops habis for a high or a low consumpion level. If he invesor ges accusomed o a high sandard of living afer periods of good imes, a fall in consumpion hurs even hough he same level of consumpion migh be saisfying in periods of bad imes. Campbell and Cochrane (999) develop a habi formaion model wih ime varying and counercyclical risk aversion. In conras he risk aversion in he sandard model is consan. The ime varying and counercyclical risk aversion in he Campbell-Cochrane model is in accordance wih ime varying expeced reurns. In bad imes he invesor s risk aversion is high, and he invesor demands a high expeced reurn. On he oher hand in good imes he invesor s risk aversion is low and he invesor demands a low expeced reurn. Chen and Ludvigson (004) emphasize ha wihin he class of consumpionbased asse pricing models, habi formaion models are he mos successful in describing he aggregae sock marke behaviour. In his hesis we esimae and es boh he sandard model and he Campbell- Cochrane model. We wan o find ou, which of hese wo models gives he bes descripion of he aggregae Danish sock marke behaviour. Our purpose is no o analyse if an equiy premium puzzle in Denmark exiss. Engsed and Tanggaard (999) have already found ou ha an equiy premium puzzle wih he sandard model in Denmark does no seem o exis.
We find hrough he use of GMM esimaion of he sandard model ha he subjecive discoun facor δ is below and significan differen from 0. A subjecive discoun facor below is in accordance wih he invesor preferring consumpion oday raher han consumpion in he fuure. The esimaes of he risk aversion γ are generally insignifican. The esimaes of γ are low bu vary wih boh negaive and posiive signs. The esimaes of γ depend on wheher he opimal weighing marix or he ideniy marix are used. Also he resuls are no robus o he choice of insrumen variables. Our resuls of he GMM esimaion of he sandard model are consisen wih Lund and Engsed (996) and Engsed and Tanggaard (999). The GMM esimaion of he Campbell-Cochrane model implies a low uiliy curvaure parameer γ and a subjecive discoun facor δ below. Boh parameers are significanly differen from 0. A low uiliy curvaure parameer γ in he Campbell- Cochrane model does no mean ha he risk aversion is low. In he Campbell- Cochrane model he risk aversion is γ / S, where S is he surplus consumpion raio. According o Campbell and Cochrane (999) a high risk aversion canno be ruled ou. The problem wih a high risk aversion in he sandard model is ha i leads o a risk free rae puzzle. The Campbell-Cochrane model allows a high risk aversion wih a low γ, avoiding a risk free rae puzzle. Wih an esimae of γ of.066 we find a high ime varying risk aversion beween 3 and 63. Even hough he risk aversion is high he implied risk free rae is low a.37% per quarer compared o he acual risk free rae of.%. The Hansen and Jagannahan (99) volailiy bound - wih he correcion of Burnside s (994) esimaion uncerainy - suppors he conclusion ha he uiliy curvaure parameer in he Campbell-Cochrane model is low. Wih a subjecive discoun facor of 0.995 we find ha he uiliy curvaure parameer γ has o be 0.05 o fulfil he volailiy bound. In he sandard model he volailiy bound is fulfilled wih a risk aversion γ of. The reason for he lower γ in he Campbell-Cochrane model compared o he sandard model is ha he high volailiy of he surplus consumpion raio creaes a high volailiy of he sochasic discoun facor in he Campbell-Cochrane model.
Boh he Hansen and Jagannahan (99) volailiy bound including Burnside s (994) esimaion uncerainy and he GMM esimaion indicae ha he risk aversion in he sandard model does no need o be high o explain he risk premium of socks. This is consisen wih previous Danish sudies, see e.g. Engsed and Tanggaard (999). Even hough he sandard model is able o explain he risk premium wihou an equiy premium puzzle, i seems ha he Campbell-Cochrane model gives a beer descripion of he aggregae sock marke behaviour. Using our GMM esimaes we find ha he pricing errors of he Campbell-Cochrane model are lower han he sandard model. Pricing errors are defined as he difference beween prediced reurns of he model and realized reurns. Likewise he sandard model wih he ideniy marix has lower pricing errors han he opimal weighing marix. Using he ideniy marix all momens in he GMM esimaion receive he same weigh. In conras he opimal weighing marix pays more aenion o he momens wih he lowes variance. In our GMM esimaion we focus on insrumen variables which are successful in predicing he quarerly sock reurn in he USA. We find ha Leau and Ludvigson s (00a) consumpion-wealh raio predics he Danish sock marke reurn in he long run, bu conrary o he USA he consumpion-wealh raio canno predic he sock marke reurn in he shor run. The only insrumen variable which predics he quarerly sock marke reurn is he risk premium on he sock marke over he risk free rae ( KFXEX ). By an OLS regression of he sock marke reurn on a consan and one lag of KFXEX we esimae a significan coefficien and a coefficien of deermi- naion R of 3%. As he ime horizon increases o half a year R increases o 6%. We also find ha he esimaed ime varying and counercyclical risk aversion in he Campbell-Cochrane model predics he Danish sock marke reurn in he shor erm. Wih an OLS regression of he sock marke reurn on a consan and one lag of risk aversion we find ha he risk aversion predics he quarerly sock reurn wih a R of 4% and he coefficien esimae is significan. For 6 and 9 monhs R increases o 7% and he coefficien esimae is sill significan. By running a conrol regression we find ha he risk aversion in he Campbell-Cochrane model is more powerful as a forecas variable han KFXEX. The risk aversion is able o forecas sock reurn because he counercyclical risk aversion capures he expeced ime varying sock marke reurn. When consumpion falls owards habi, he risk aversion increases and he expeced
sock marke reurn increases accordingly. On he oher hand, when consumpion is subsanially higher han habi he invesor s risk aversion is low and he expeced sock marke reurn is low.
Indholdsforegnelse. Indledning.... C-CAPM...6. Repræsenaiv invesor model...6. Sandardmodellen...9.. Sandardnyefunkion...0.. De forvenede akieafkas...3..3 Den risikofrie rene...6..4 Equiy premium og risk free rae puzzles...7..5 Løsninger på puzzles...8.3 Campbell-Cochrane modellen....3. Habi specificere nyefunkion....3. Nyefunkion i Campbell-Cochrane modellen...3.3.3 De forvenede akieafkas...6.3.4 Den risikofrie rene...8.3.5 Følsomhedsfunkionen...30 3. Meode...35 3. Hansen og Jagannahan (99)...35 3.. Den sokasiske diskoneringsfakor...35 3.. Volailiesgrænsen...37 3..3 Esimaionsusikkerhed...39 3. GMM...4 3.. Beinge GMM esimaion...4 3.. Modeles...44 3..3 Campbell-Cochrane modellen...46
4. Præliminær analyse...53 4. Daabeskrivelse...53 4. Overskudsforbrugsraioen...54 4.. Parameervalg...55 4.. Observaion af overskudsforbrugsraioen...60 4.3 Indledende analyse af saisiske egenskaber...63 5. Resulaer...70 5. Hansen og Jagannahan (99)...70 5. GMM esimaion...76 5.. Valg af insrumenvariable...77 5... Forbrug-formue raio...78 5... Esimaion af forbrug-formue raio...79 5...3 Forecas af akieafkas...85 5.. Sandardmodellen...88 5..3 Campbell-Cochrane modellen...9 5..4 Prisfejl...98 5..5 Modelegenskaber...0 6. Konklusion...06 Lieraurlise.. 09 Appendiks
. Indledning Mehra og Presco (985) viser, a den forbrugsbaserede prisfassæelsesmodel med konsan relaiv risikoaversion (sandardmodellen) ikke kan forklare den høje amerikanske risikopræmie uden samidig a anage en høj grad af risikoaversion. Den høje risikoaversion i sandardmodellen kaldes for equiy premium puzzle. Weil (989) undersreger, a en afled effek af den høje risikoaversion er risk free rae puzzle. Risk free rae puzzle opsår, når en høj risikoaversion fører il en mege høj risikofri rene, hvilke ikke er konsisen med den hisorisk lave risikofrie rene. Hvis en høj risikofri rene skal undgås i sandardmodellen kræves, a invesor værdsæer forbruge i fremiden højere end forbruge i dag, hvilke er eoreisk inkonsisen. Siden Mehra og Prescos (985) opdagelse af equiy premium puzzle er der i lierauren udvikle nye varianer af C-CAPM for a løse dee puzzle. Hall (988), Epsein og Zin (989) sam Weil (990) fremhæver, a en svaghed i sandardmodellen er, a parameeren for relaiv risikoaversion også besemmer elasicieen af den ineremporale subsiuion, som udrykker invesors villighed il a flye forbrug over id. Den relaive risikoaversion og elasicieen af den ineremporale subsiuion udrykker o vid forskellige egenskaber af invesors præferencer og bør parameeriseres uafhængig af hinanden. En gren af lierauren fokuserer derfor på a bryde den æe forbindelse mellem den relaive risikoaversion og elasicieen af den ineremporale subsiuion. De opnås i habi formaion modeller ved a gøre dagens nye af forbrug afhængig af idligere forbrug. I habi formaion modeller ages højde for, a invesor vænner sig il e besem forbrug. Hvis invesor vænner sig il e høj forbrug efer en årrække med gode ider, føles de uilfredssillende a opleve e fald i forbruge. Chen og Ludvigson (004) fremhæver, a habi formaion modeller er førende bland de nye varianer af C-CAPM, ligesom habi formaion modeller med sigende overbevisning kan forklare prisfassæelsen i akiemarkede. I Danmark har undersøgelser af C-CAPM fokusere på sandardmodellen. Engsed og Tanggaard (999) finder, a der ikke er e equiy premium puzzle i Danmark. Forkla- Den forbrugsbaserede prisfassæelsesmodel er den danske beegnelse for Consumpion-based Capial Asse Pricing Model (C-CAPM).
ringen er, a risikopræmien i Danmark ikke har samme høje niveau som i USA. Den danske risikopræmie har i perioden 9 il 996 være 3,7%, jf. Engsed og Tanggaard (999). Til sammenligning har den amerikanske risikopræmie i eferkrigsiden være 8%, jf. Cochrane (997). Der opsår ikke e equiy premium puzzle i Danmark ud fra sandardmodellen. E ineressan spørgsmål er derfor, om de nyudviklede modeller, som eliminerer svagheder i sandardmodellen, er bedre il a opfange prisfassæelsen på de danske akiemarked. Dee spørgsmål besvares i denne afhandling ved a foreage en empirisk sammenligning af sandardmodellen med Campbell og Cochrane s (999) habi formaion model på de danske akiemarked i perioden fra. kvaral 985 il 4. kvaral 00. Måle er a undersøge hvilken model, der beds beskriver prisfassæelsen på de danske akiemarked. Af de nyudviklede modeller fokuserer vi på Campbell-Cochrane modellen, fordi den med succes forklarer den amerikanske risikopræmie. Samidig er den idsvarierende og konracykliske risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen i overenssemmelse med idsvarierende forvenede afkas. I dårlige ider er invesors risikoaversion høj, og invesor kræver e høj forvene afkas for a invesere i akier. Omvend er de krævede forvenede afkas lav i gode ider, hvor invesors risikoaversion er lav. For a undersøge sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen anvendes Hansen og Jagannahan (99) meoden og Generalized Mehod of Momens (GMM) esimaion. Som poinere af Engsed (00) er de hensigsmæssig a evaluere en model med forskellige meoder for a undersøge, hvilke dimensioner af daa modellen kan eller ikke kan opfange. Hansen og Jagannahan (99) udleder en nedre grænse for volailieen af enhver sokasisk diskoneringsfakor, som prisfassæer e akivs bealinger korrek. På baggrund af Hansen og Jagannahan (99) meoden undersøger vi den sokasiske diskoneringsfakor i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. Ved a lade paramerene i den sokasiske diskoneringsfakor være fri finder vi de paramere, som fører il, a den sokasiske diskoneringsfakor er ilsrækkelig volail il a opfylde volailiesgrænsen.
Hansen og Jagannahan (99) meoden ager ikke højde for esimaionsusikkerhed for volailiesgrænsen og den sokasiske diskoneringsfakor. For a age højde for esimaionsusikkerhed anvendes meoden i Burnside (994), som er e saisisk es basere på disancen mellem sandardafvigelsen af en sokasisk diskoneringsfakor og volailiesgrænsen. For a esimere paramerene i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen anvendes GMM. GMM esimaionen af Campbell-Cochrane modellen vanskeliggøres ved, a overskudsforbrugsraioen ikke er observerbar. Campbell og Cochrane (999) foreager ikke en esimaion, men kalibrerer modellens paramere, så de macher den hisoriske risikofrie rene og Sharpe raio. Ifølge vores kendskab er der i lierauren kun o empiriske undersøgelser, der esimerer paramerene i Campbell-Cochrane modellen. Den ene undersøgelse er af Tallarini og Zhang (004), som anvender Efficien Mehod of Momens (EMM), og den anden undersøgelse er af Garcia, Renaul og Semenov (005), som anvender GMM. I begge undersøgelser analyseres amerikanske daa. Inspirere af meoden i Garcia, Renaul og Semenov (005) esimerer vi Campbell- Cochrane modellen ved GMM på danske al. For a generere processen for overskudsforbrugsraioen anager Garcia, Renaul og Semenov (005) en sarværdi for nyekurveparameeren γ. I GMM esimaionen har Garcia, Renaul og Semenov (005) som besluningskrierium, a den esimerede γ er æ på sarværdien af γ. Hvis den esimerede γ afviger fra sarværdien af γ, er de egn på, a den γ, som genererer processen for overskudsforbrugsraioen, er misspecificere. Vores besluningskrierium afviger ved, a vi iererer over γ, indil den lavese værdi af krieriefunkionen opnås. Ved a anvende en præspecificere vægningsmarice kan vi sammenholde værdien af krieriefunkionen for de forskellige GMM kørsler og besemme den model med de lavese prisfejl. Da vi sammenligner værdien af krieriefunkionen for de forskellige GMM kørsler, kan vi ikke anvende den opimale vægningsmarice, som vil variere fra kørsel il kørsel. I vores valg af insrumenvariable il GMM esimaionen fokuseres på særke forecasvariable, som er succesrige i a forudsige de amerikanske akieafkas. Vi inddra- 3
ger Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue, som har opnåe opmærksomhed for dens særke evne il a forudsige udviklingen på de amerikanske akiemarked på både kor og lang sig. Sammen med andre udvalge insrumenvariable undersøges forbrug-formue raioens evne il a forudsige udviklingen på de danske akiemarked. Ud fra vores GMM esimaer undersøger vi prisfejlene for sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. Prisfejl udrykker afvigelsen mellem modellens forvenede afkas fassa på baggrund af de esimerede paramere og den undersøge periodes realiserede afkas. Ifølge Cochrane (005) er de mere ineressan, a parameeresimaerne i en model fører il en lav prisfejl end, a modellen ikke kan forkases ud fra e saisisk es. En lav prisfejl for en given model er udryk for, a modellen beskriver de hisoriske afkas god. Hverken Garcia, Renaul og Semenov (005) eller Tallarini og Zhang (004) undersøger prisfejl på baggrund af deres esimaer af Campbell-Cochrane modellen. Tilsvarende er der på danske daa ikke idligere foreage en analyse af sandardmodellens prisfejl. Endelig analyseres modelegenskaberne i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen på baggrund af GMM esimaionen. I den sammenhæng undersøges, om den idsvarierende og konracykliske risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen er i overenssemmelse med forudsigelse af udviklingen på de danske akiemarked. Afhandlingen er srukurere således, a afsni beskriver eorien bag sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. Der foreages en analyse af de fakorer, som driver akieafkase og den risikofrie rene i både sandardmodellen og Campbell- Cochrane modellen. De belyses, hvorfor sandardmodellen medfører e equiy premium puzzle og risk free rae puzzle i USA. I forlængelse heraf gennemgås nyudviklede modeller, som forsøger a løse sandardmodellens manglende evne il a forklare prisfassæelsen af akier i USA. I afsni 3 beskrives henholdsvis Hansen og Jagannahan (99) meoden og GMM esimaionen. De vises, hvordan vi genererer den uobserverbare proces for overskudsforbrugsraioen. Vores besluningskrierium og valg af præspecificere vægningsmarice i GMM esimaionen af Campbell-Cochrane uddybes. I afsni 4 beskriver vi vores daa, og der gives en indledende analyse af variablenes saisiske egenskaber i relaion il C-CAPM. En cenral anagelse i Campbell- Cochrane modellen er, a forbruge følger en random walk. For a undersøge om for- 4
bruge kan beskrives ud fra en random walk, anvendes auokorrelaion ess og varians raio ess. I afsni 5 præseneres resulaer af Hansen og Jagannahan (99) meoden og GMM esimaionen. I forbindelse med GMM esimaionen udvælges insrumenvariable på baggrund af deres evne il a forudsige akieafkase. På baggrund af GMM esimaerne foreages en analyse af prisfejl og modelegenskaber i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. Endelig konkluderes der i afsni 6. 5
. C-CAPM C-CAPM er en ineremporal ligevægsmodel, hvor priserne på finansielle akiver og makroøkonomi forbindes. C-CAPM afviger fra andre modeller inden for finansieringseori ved a have poeniale il a forklare, hvilke fakorer der driver den risikofrie rene og risikopræmien på akier, jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997) og Cochrane (997). Andre modeller inden for finansieringseori forklarer hverken den risikofrie rene eller risikopræmien, men ager de o variable for give. I overenssemmelse med moderne finansieringseori måles risikoen i C-CAPM ud fra akives kovarians med den økonomiske ilsand. Som poinere af eksempelvis Engsed (00) og Cochrane (005) er de i moderne finansieringseori ikke akives volailie, som er afgørende for risikoen. Invesor opfaer derimod e akiv som risikabel, hvis de giver lave afkas i dårlige ider, hvor invesor har allermes brug for høje afkas. Sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen har o forskellige syn på, hvad invesor opfaer som dårlige ider. I sandardmodellen opfaes perioder med lav forbrug som dårlige ider. I Campbell-Cochrane modellen opfaes perioder med lav forbrug relaiv il habi som dårlige ider. Dårlige ider kan forekomme, selvom om forbruge er høj, hvis habi ilsvarende er høj. I dee afsni præseneres sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen, som begge bygger på en repræsenaiv invesor.. Repræsenaiv invesor model C-CAPM ager si udgangspunk i en repræsenaiv invesor, som maksimerer den forvenede fremidige nye under en budgebegrænsning, jf. Rubinsein (976), Lucas (978) og Breeden (979). I repræsenaiv invesor modeller er alle invesorer homogene og ræffer de samme valg. Formåle er a opnå en simpel model, hvor de ikke er nødvendig a anvende mikrodaa. Den repræsenaive invesor skal i hver periode planlægge si forbrug og opsparing med henblik på a opnå ineremporal maksimering af nyen. Der opspares ved a invesere i finansielle akiver, som handles i e 6
komple marked uden ransakionsomkosninger sam andre markedsfrikioner. Cuhberson (996) viser, a den opimale forbrugsplan findes ved a maksimere objekfunkionen: Max E ( + ) (..) j δ U C j j= 0 under følgende budgebegrænsning: ( ) C = D X + P X X. i, i, i, i, i, E [ ] er forvenningsoperaoren beinge af informaionssæe på idspunk. C + j er den repræsenaive invesors reale forbrug på idspunk + j, der findes som de aggregerede forbrug per capia, og ( j) U C + er nyen af forbruge på idspunk + j. δ er den subjekive diskoneringsfakor definere som δ = ( + τ ) -, hvor τ angiver invesors idspræference mellem forbrug nu og forbrug i næse periode. Tidspræferencen er posiiv og konsan, hvilke medfører en konsan subjekiv diskoneringsfakor mellem 0 og. Jo højere idspræference, jo højere er præferencen for forbrug i dag, og jo krafigere er ilbagediskoneringen af de fremidige forbrug. Med en negaiv idspræference fås en subjekiv diskoneringsfakor over. En negaiv idspræference udelukkes, fordi de er ulogisk, a invesor værdsæer fremidig forbrug højere end forbrug i dag. I budgebegrænsningen ages udgangspunk i opsparing gennem invesering i e akiv i, som koser P i, på idspunk og udbealer en dividende D i, + på idspunk +, mens X i, udrykker beholdningen af akiv i på idspunk. Ligesom forbrug udrykkes dividende og akivpris i reale ermer, fordi invesors købekraf er afgørende. Af budgebegrænsningen fremgår, a forbruge på idspunk fassæes som summen af henholdsvis udbealing af dividende på idspunk, Di, Xi,, og salg af akiv i på idspunk, Pi, ( Xi, Xi, ). 7
Ved a løse udrykke i (..) findes den opimale sammensæning af forbrug og invesering i akiv i. Ligeledes kan de forvenede afkas af akiv i fassæes på baggrund af førseordensbeingelsen, som også kaldes eulerligningen. For a udlede eulerligningen subsiueres budgebegrænsningen ind i objekfunkionen: Max E + = (, +, +, + (, +, + )) j δ U Di jxi j Pi j Xi j Xi j j= 0 (,,, (,, )) δ, +,, + (,, + ) ( ) E U Di Xi + Pi Xi Xi + U Di Xi + Pi Xi X i + K. (..) Differenieres (..) med hensyn il X i, og sæes lig 0 fås: ( ) i, δ ( + )( i, + i, + ) U C P + E U C D P + = 0, (..3) hvor U ( C) angiver marginalnyen af forbrug. Ved omrokering af ligning (..3) fås: ( ) = E ( + ) δ ( ) U C Pi, Pi, Di, U C + + +. (..4) Jf. Engsed (00) viser ligning (..4), hvordan invesor maksimerer nyen ved a sæe marginalnyen af a sælge akiv i lig marginalnyen af a beholde akiv i. Vensre side af (..4) udrykker marginalnyen af a sælge akiv i på idspunk il en pris P i,, mens højre side af ligningen udrykker nuidsværdien på idspunk af den forvenede marginalnye af a holde akiv i il idspunk +. Beholdes akiv i il idspunk + modages en dividende på D, +, og akive sælges il P, +. I ligevæg skal disse o sraegier give samme marginalnye. Hvis vensre side er sørre end højre side, er marginalnyen af a sælge akiv i sørre end marginalnyen af a beholde akiv i. Dermed vil invesor sælge ud af akiv i, indil prisen når ned i ligevæg. i i Da både i, U C er kend på idspunk, kan eulerligningen i (..4) omskrives il: P og ( ) 8
( R ) = E i, M + + +, (..5) hvor afkase for akiv i defineres som: R i, + = ( Pi, + + Di, + ) P i,, og M + ( C ) ( C ) δ U + = U (..6) er den sokasiske diskoneringsfakor, som også kaldes de ineremporale marginale subsiuionsforhold. Eulerligningen i (..5) angiver, a den forvenede værdi af produke af den sokasiske diskoneringsfakor og bruoafkase på akiv i er lig. Den sokasiske diskoneringsfakor er universel og prisfassæer alle akiver. Foruden den konsane δ er den sokasiske diskoneringsfakor afhængig af forholde mellem marginalnyen af forbrug på henholdsvis idspunk + og. Den sokasiske diskoneringsfakor er alid posiiv, ide marginalnyen af forbrug alid er posiiv, og δ er sørre end 0. For a udføre empiriske ess af prisfassæelsen på de danske akiemarked kræver de observaion af den sokasiske diskoneringsfakor. Derfor skal en nyefunkion specificeres. I afsni. beskrives sandardmodellens nyefunkion, hvorefer den habi specificerede nyefunkion i Campbell-Cochrane modellen beskrives i afsni.3.. Sandardmodellen I de følgende specificeres nyefunkionen i sandardmodellen, hvilke danner grundlag for en analyse af de fakorer, som driver akieafkase og den risikofrie rene i sandardmodellen. De belyses, hvorfor sandardmodellen medfører e equiy premium 9
puzzle og risk free rae puzzle i USA. Endelig gennemgås nyudviklede modeller, som forsøger a løse sandardmodellens manglende evne il a forklare prisfassæelsen af akier i USA... Sandardnyefunkion Sandardmodellens nyefunkion har følgende udseende: ( ) U C C γ =. (..) γ Nyefunkion i (..) er separabel over id, da nyen af forbrug i dag er uafhængig af idligere perioders forbrug. For posiive værdier af γ er nyefunkionen sigende med afagende signingsak (konkav nyefunkion). De er i overenssemmelse med en risikoavers invesor. For γ lig nul er nyefunkionen lineær, hvilke svarer il en risikoneural invesor. For negaive værdier af γ er nyefunkionen konveks, hvilke svarer il en risikosøgende invesor. Der er bred enighed om, a invesor er risikoavers. Den konkave nyefunkion afspejler, a invesor ønsker a opnå mere forbrug, men har afagende marginalnye af yderligere forbrug. Invesors risikoaversion beyder, a invesor forerækker e sikker forbrug frem for e fair væddemål, hvor forbruge med samme sandsynlighed kan sige og falde med e given beløb. Jo højere risikoaversionen er, jo særkere er ønske om e sikker forbrug. Der sondres mellem absolu risikoaversion ARA og relaiv risikoaversion RRA, som fassæes ud fra Arrow-Pra definiionen: ( C) ( C) U ARA = (..) U De er inuiiv leere a relaere sig il e væddemål over formue end forbrug. De gælder dog, a invesor sænker og øger forbruge i ilnærmelsesvis samme ak, som formuen falder og siger, jf. Cochrane (997). 0
( C) ( C) U RRA = C = C ARA, (..3) U hvor ARA og RRA udrykker risikoaversionen over for henholdsvis absolue beløbsændringer og procenvise ændringer i forbruge. Sandardnyefunkionen udviser afagende absolu risikoaversion og konsan relaiv risikoaversion. Ud fra (..) fassæes den absolue risikoaversion il: ( γ ) γc γ =, C C + γ og ud fra (..3) fassæes den relaive risikoaversion il: C γc C ( + γ ) γ = γ. Afagende absolu risikoaversion beyder, a invesor for sigende forbrugsniveau er mindre risikoavers over for ændringer i forbruge. Dermed er invesor villig il a invesere e sigende beløb i risikofylde akiver i ak med, a formuen siger. Konsan relaiv risikoaversion beyder, a invesors risikoaversion over for procenvise ændringer i forbrugsniveaue er konsan. Dermed ønsker invesor a holde en fas andel af risikofylde akiver i sin porefølje. I de følgende udrykkes γ i sandardmodellen som risikoaversionen frem for konsan relaiv risikoaversion. En ulempe ved sandardnyefunkionen er, a risikoaversionen γ også besemmer elasicieen af den ineremporale subsiuion ψ, som udrykker invesors villighed il a flye forbrug over id. Elasicieen af den ineremporale subsiuion ψ og risikoaversionen γ er hinandens reciprokke: ψ = / γ.3 Dermed medfører en høj risikoaversion γ en lav elasicie af den ineremporale subsiuion ψ. Med en høj risikoaversion ønsker invesor de samme forbrug både i forskellige ilsande for økonomien og over id. Imidlerid fremhæver Weil (990), a risikoaversionen og elasicieen af 3 Dee vises formel i fodnoe 7.
den ineremporale subsiuion udrykker o vid forskellige egenskaber af invesors præferencer og bør parameeriseres uafhængig af hinanden. Hall (988) undersreger, a probleme med de æe link mellem γ og ψ er, a empirien viser en elasicie af den ineremporale subsiuion æ på 0. De medfører i sandardmodellen en eksrem høj risikoaversion, som ifølge Hall (988) ikke kan forenes med invesors reelle risikoaversion. Invesors ønske om a have e sikker forbrug i forskellige ilsande for økonomien og en jævn forbrugsudvikling over id kan illusreres ved hjælp af e eksempel. Tabel. viser re scenarier for den repræsenaive invesors forbrugsudvikling over o perioder, hvor der i hver periode med lige sandsynlighed kan indræffe lav- og højkonjunkur. I scenario er der usikkerhed i forbruge i forhold il ilsande for økonomien i både periode og. Forbruge er højere i periode, hvorfor forbrugsudviklingen ikke er jævn. I scenario er der ingen usikkerhed, men forbruge er forsa højere i periode. I scenario 3 er der ingen usikkerhed, og forbrugsudviklingen er jævn. Invesor kendeegnes ved a have en sandardnyefunkion, og risikoaversionen γ er, mens den subjekive diskoneringsfakor δ er. Tabel.. Invesors ønske om jævn forbrug over ilsande og id Scenario Scenario Scenario 3 Periode Tilsand C U ( C) E ( U ) C U ( C) E ( U ) C U ( C) E ( U ) Lav 5 0,80,5 0,9 37,5 0,97 0,88 0,9 Høj 0 0,95,5 0,9 37,5 0,97 Lav 5 0,96 6,5 0,98 37,5 0,97 0,98 0,98 Høj 00 0,99 6,5 0,98 37,5 0,97 0,97 0,97 Sum,86,90,94 C er den repræsenaive invesors forbrug. U ( C) er nyen af forbrug, som fassæes på baggrund af sandardnyefunkionen. Risikoaversionen γ er, og den subjekive diskoneringsfakor δ E ( U ) er den forvenede nye. er. I førse periode af scenario opnår invesor e forbrug på 5 i ilfælde af lavkonjunkur og 0 i ilfælde af højkonjunkur. E forbrug på 5 medfører en nye på 0,80, mens e forbrug på 0 medfører en nye på 0,95. Den forvenede nye er dermed lig
50% 0,80 + 50% 0,95 = 0,88. På ilsvarende vis kan den forvenede nye beregnes il 0,98 i periode, hvor forbruge enen er 5 eller 00. Den subjekive diskoneringsfakor er lig, og den samlede forvenede nye i scenario fassæes il summen af 0,88 og 0,98 svarende il,86. I scenario fjernes usikkerheden i forhold il konjunkurudviklingen. Dermed opnår invesor i periode med sikkerhed e forbrug på,5 (gennemsnie af 5 og 0) uafhængig af, om de er lav- eller højkonjunkur. Ligeledes er forbruge i periode med sikkerhed 6,5 (gennemsnie af 5 og 00). Tabellen viser, a den samlede nye af scenario er,90, hvilke er højere end den samlede nye på,86 i scenario. Årsagen er, a den risikoaverse invesor ikke kan lide usikkerhed og derfor ønsker de samme forbrug under både lav- og højkonjunkur, hvilke invesor opnår i scenario. I scenario 3 anages en fuldsændig jævn forbrugsudvikling. Dermed er forbruge de samme uafhængig af, om de er lav- eller højkonjunkur, og om de er i periode eller. De sikre forbrug på 37,5 (gennemsnie af,5 og 6,5) medfører en samle nye på,94, hvilke er bedre end både scenario og. Eksemple illusrerer dermed, a selvom der ikke er usikkerhed i hverken scenario eller 3, forerækkes den jævne forbrugsudvikling i scenario 3. Den risikoaverse invesor i sandardmodellen ønsker de samme forbrug i forskellige ilsande for økonomien og over id. Dee ønske forsærkes med sørrelsen af γ, som både besemmer risikoaversionen og ønske om en jævn forbrugsudvikling... De forvenede akieafkas Med en sandardnyefunkion som i (..) kan den sokasiske diskoneringsfakor i (..6) specificeres som: 4 M C = γ + + δ. C (..4) γ γ U C + C C + + + = δ = δ = δ. γ U C C C 4 ( ) M ( ) 3
Når forbrugsvæksen er høj, er den sokasiske diskoneringsfakor lav og omvend. For fase værdier af δ og γ er volailieen af den sokasiske diskoneringsfakor kun afhængig af forbrugsvæksen C / + C. Når volailieen af forbrugsvæksen er høj, er volailieen af den sokasiske diskoneringsfakor også høj. Ved a subsiuere den sokasiske diskoneringsfakor i (..4) ind i eulerligningen i (..5) fås: γ C + = E ( + Ri, + ) δ. C (..5) På baggrund af eulerligningen i (..5) kan de forvenede afkas på akiv i udrykkes som: 5 γ C + Cov Ri, +, δ C + E R i, + =. γ C + E δ C (..6) Når kovariansen mellem afkase på akiv i og den sokasiske diskoneringsfakor er negaiv, er de forvenede afkas på akiv i høj. En negaiv kovarians mellem afkase og den sokasiske diskoneringsfakor opsår, når perioder med lav forbrug er sammenfaldende med perioder med lav afkas. E lav forbrug beyder, a marginalnyen af forbrug er høj. Akive leverer således ikke høje afkas i de perioder, hvor de er mes eferspurg af invesor. Derfor anses akive for risikofyld, og invesor kræver e høj forvene afkas for a holde akive. Når kovariansen mellem afkase og den sokasiske diskoneringsfakor omvend er posiiv, anser invesor akive som mindre 5 Anvendes definiionen på kovarians kan ligning (..5) udrykkes som: γ γ C C + + = E + Ri, + E δ + Cov Ri, +, δ, C C og efer omrokering fås (..6). 4
risikofyld. Invesor kræver derfor ikke e høj afkas for a holde akive. I sandardmodellen er de alså kovariansen mellem akives afkas og forbruge, som er udryk for akives risiko. Volailieen af afkase er i sig selv ikke afgørende for, hvor risikofyld invesor berager akive. For a vise eulerligningen for risikopræmien lad R være den risikofrie rene på idspunk +. Med udgangspunk i (..5) fås eulerligningen for risikopræmien på akiv i : 6 f, + C + 0= E ( Ri, + Rf, + ) C γ. (..7) Af (..7) følger, a den forvenede risikopræmie på akiv i er: E R C Cov, R = C + E δ C + Ri, + Rf, + δ C i, + f, + γ γ, (..8) hvor inuiionen er ilsvarende de forvenede afkas på akiv i i (..6). 6 Ved a sæe eulerligningerne for akieafkas og risikofri rene lig hinanden fås: γ γ C + C ( ) = + E ( + ) + Ri, + δ E R f, + δ. C C Da δ er en konsan, kan den flyes uden for forvenningsoperaoren. Efer omrokering: C + 0= E ( Ri, + Rf, + ) C γ. 5
..3 Den risikofrie rene De risikofrie afkas fra idspunk il + er kend på idspunk. Derfor er den beingede kovarians mellem de risikofrie afkas og forbruge 0. Ud fra ligning (..6) er de risikofrie bruoafkas give ved: + R = f, + γ E C δ C +. For a idenificere fakorer, som driver den risikofrie rene, udledes følgende udryk for logarimen il den risikofrie rene i appendiks A: r γ σ c = log ( δ) + γe [ c ]. (..9) f, + + Små bogsaver angiver, a logarimen er age il variablen, hvilke også er gældende fremover. I førse led ses, a en lav subjekiv diskoneringsfakor δ fører il en høj rene. Når δ er lav, har invesor en høj idspræference. Derfor kræves en højere rene for a give invesor e inciamen il a spare op frem for a forbruge i dag. I ande led fremgår, a en høj forvene forbrugsvæks resulerer i en høj rene. Årsagen er, a invesor ønsker en jævn forbrugsudvikling. Derfor flyer invesor fremidig forbrug il i dag ved a låne penge. Låneeferspørgslen siger, og renen presses op. Hvor følsom renen er over for forbrugsændringer afhænger af risikoaversion γ. En høj γ medfører i sandardmodellen en lav elasicie af den ineremporale subsiuion ψ, da de er hinandens reciprokke. 7 Med en høj γ er invesor således uvillig il a lade si forbrugsvalg påvirke af reneændringer. Derfor kræves en høj rene for a påvirke invesors forbrugsvalg. 7 Isoleres den forvenede forbrugsvæks i (..9) fås: 6
De redje led forolkes som en sikkerhedsopsparing. Når variansen af forbruge σ c er høj, er renen lav. Med en høj σ c er usikkerheden omkring forbruge høj. Derfor er invesor mere villig il a spare op, hvilke reducerer renen. Sikkerhedsopsparingen forsærkes af sørrelsen af risikoaversionen...4 Equiy premium og risk free rae puzzles I USA er de ikke mulig a forklare risikopræmien på akier med sandardmodellen uden samidig a anage, a invesor er eksrem risikoavers, jf. eksempelvis Mehra og Presco (985), Cochrane og Hansen (99) sam Kocherlakoa (996). Mehra og Presco (985) beegner dee fænomen som equiy premium puzzle. For a belyse dee puzzle ager vi udgangspunk i følgende udryk for risikopræmien i sandardmodellen (udledes i appendiks A): E σ. (..0) i ri, + r f, + + = γσ ic hvor σ i er variansen af akiv i, og i σ ic er kovariansen mellem afkase på akiv i og forbrugsvæksen. Ledde σ / er Jensens ulighed, som korrigerer for anvendelsen af koninuer ilskrevne afkas. De fremgår af (..0), a den forvenede risikopræmie er høj, når risikoaversion γ er høj, og når kovariansen mellem afkase på akiv i og forbrugsvæksen σ ic er høj. Daa i følgende eksempel er fra USA og sammer fra Campbell (003). Perioden er fra 970: il 998:3 med kvarårlige observaioner. Ifølge Campbell (003) er den årlige γ σ c E[ c+ ] = rf, + + log ( δ ) +. γ Differenieres mh. renen fås elasicieen af den ineremporale subsiuion: ψ [ c ] de dr γ + =. f, + 7
risikopræmie jusere for Jensens ulighed 6,35%, mens den årlige kovarians mellem afkas og forbrugsvæks er 0,0004. Med disse værdier skal γ skal være 50 for a opfylde risikopræmien i (..0). Den høje γ er en konsekvens af en høj risikopræmie kombinere med en lav kovarians mellem afkas og forbrugsvæks. Sidsnævne er lav, ide forbrugsvæksen har en jævn udvikling med en lav sandardafvigelse på 0,9%, jf. Campbell (003). En risikoaversion på 50 er højere end, hvad anses som realisisk. Mehra og Presco (985) mener ikke, a realisiske værdier for risikoaversionen bør oversige 0, mens Lucas (994) argumenerer for en maksimal risikoaversion på,5. Omvend mener Kandel og Sambaugh (99) ikke, a en høj risikoaversion kan afvises. Dog poinerer Weil (989), a en høj risikoaversion i sandardmodellen kan føre il e risk free rae puzzle. Den høje risikoaversion har o modsareede effeker på renen i (..9). For de førse har invesor e særk ønske om en jævn forbrugsudvikling, når risikoaversionen er høj. Da forbrugsvæksen ifølge Campbell (003) er,80% per år, ønsker invesor a flye fremidig forbrug il i dag for a udjævne forbrugsforskellene. Dermed siger låneeferspørgslen, og renen presses op. For de ande medfører en høj risikoaversion e særk ønske om sikkerhedsopsparing. Låneeferspørgslen falder, hvilke påvirker renen i nedadgående rening. Med den lave sandardafvigelse af forbrugsvæksen på 0,9% er effeken af sikkerhedsopsparing på renen dog begrænse. Derfor dominerer effeken af en jævn forbrugsudvikling effeken af sikkerhedsopsparing. Med en høj risikoaversion forudsiges således en høj rene i sandardmodellen. Den hisoriske rene i USA er imidlerid lav på,49%, jf. Campbell (003). For a opfylde renen i (..9) kræves en subjekiv diskoneringsfakor over, hvilke ikke konsisen med, a invesor værdsæer forbrug i dag højere end fremidig forbrug...5 Løsninger på puzzles Med henblik på a løse sandardmodellens manglende evne il a forklare risikopræmien på akier i USA er der i lierauren udvikle nye modeller. Følgende gennemgang af nyudviklede modeller er på ingen måde udømmende og bygger il dels på surveys af Campbell, Lo og MacKinlay (997) og Campbell (003). 8
E svar på equiy premium puzzle er, a C-CAPM er en grundlæggende forker model. Som modsvar poinerer Campbell og Cochrane (000), Cochrane (00) sam Engsed (00), a de flese andre modeller inden for finansiering ikke er alernaiver il C- CAPM, men derimod er specialilfælde af C-CAPM. Anvendelse af eksempelvis CAPM eller fakormodeller kan ikke være begrunde ud fra, a C-CAPM er en grundlæggende forker model. Afvises C-CAPM, afvises ligeledes CAPM og alle fakormodeller. C-CAPM afviger dog fra andre modeller inden for finansiering ved a have poeniale il a forklare risikopræmien på akier, jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997) og Cochrane (997). Til a forklare risikopræmien findes ingen subsiuer il C-CAPM. En afvisning af sandardmodellen kan skyldes diverse markedsfrikioner. Campbell, Lo og MacKinlay (997) fremhæver, a med ransakionsomkosninger, begrænse adgang il lån og begrænse adgang il a gå kor i e akiv vanskeliggøres invesors mulighed for a drage fordel af den høje risikopræmie. I lierauren fremhæves, a de aggregerede forbrug ikke nødvendigvis er en velegne proxy for invesorernes forbrug. E problem er, a forbruge måles som e flow i løbe af en periode og dermed er idsaggregere i modsæning il akivafkas, jf. eksempelvis Grossman, Melino og Shiller (987). Derfor vanskeliggøres opgørelse af korrelaionen mellem forbrug og akivafkas på grund af problemer med imingen, ligesom sandardafvigelsen af forbrug undervurderes. Campbell og Cochrane (000) finder, a equiy premium puzzle delvis kan ilskrives idsaggregering af forbrug. E ande problem ved anvendelse af de aggregerede forbrug er begrænse delagelse på akiemarkede. Forbruge af ikke-akionærer har ikke forbindelse il akiemarkede, men kan udgøre en beydelig andel af de aggregerede forbrug. Mankiw og Zeldes (99) viser, a akionærernes forbrug er mere volail og i højere grad korrelere med akiemarkede i forhold il ikke-akionærers forbrug. Ifølge Cochrane (997) er de dog ikke ilsrækkelig il a opnå en lav risikoaversion ud fra ligning (..0). Der er udvikle modeller, som ager højde for, a invesorerne er heerogene og har individuel risiko. Heaon og Lucas (996) er e eksempel på en model, som på baggrund af mikrodaa undersøger individuel risiko i forhold il indkomsen. I modellen 9
kræves sore ransakionsomkosninger for a forklare risikopræmien. Tilsvarende opsiller Consaninides og Duffie (996) en model med individuel risiko i forhold il indkomsen. I modellen skal den individuelle risiko være høj for a opnå overenssemmelse med risikopræmien. Cochrane (997) og Campbell (003) konsaerer, a modeller med individuel risiko ikke eliminerer krave om en høj risikoaversion. En gren af lierauren har også fokusere på behaviorial finance il a forklare equiy premium puzzle. E eksempel herpå er Bernazi og Thaler (995), som ager udgangspunk i, a invesor er risikoavers med hensyn il gevinser, men risikovillig med hensyn il ab. Forudsæes de, a invesor evaluerer sin porefølje én gang om åre, er Bernazi og Thaler (995) i sand il a forklare equiy premium puzzle. Endelig er der i lierauren udvikle nye nyefunkioner, som bryder den æe forbindelse mellem risikoaversion γ og elasicieen af ineremporal subsiuion ψ. De opnås ved a gøre dagens nye af forbrug afhængig af andre variable, hvormed nyefunkionen bliver ikke-separabel. Epsein og Zin (989, 99) og Weil (989) adskiller paramerene γ og ψ fra hinanden ved a gøre nyefunkionen ikke-separabel over ilsande for økonomien. De medfører, a risikoaversionen ikke behøver a være høj for a være i overenssemmelse med risikopræmien. Dog opsår der ifølge Campbell (003) e ande puzzle i modellen. Da forbrug og formue er forbunde via budgebegrænsningen, kan en jævn forbrugsudvikling ikke forenes med en svingende formueudvikling. En anden ype model, som også adskiller paramerene γ og ψ fra hinanden, er habi formaion modeller. Mens nyefunkionen i Epsein og Zin (989, 99) og Weil (989) er ikke-separabel over ilsande, er habi formaion modeller ikke-separabel over id, ide nyen af forbrug i dag afhænger af idligere perioders forbrug. Chen og Ludvigson (004) undersreger, a habi formaion modeller er førende bland de nyudviklede modeller og med sigende overbevisning kan forklare prisfassæelsen i akiemarkede. Campbell-Cochrane modellen er en habi formaion model, som med succes forklarer den amerikanske risikopræmie. 0
.3 Campbell-Cochrane modellen I dee afsni præseneres Campbell-Cochrane modellen. Førs beskrives generelle karakerisika ved habi specificerede nyefunkioner, hvorefer nyefunkionen i Campbell-Cochrane modellen gennemgås. Dernæs foreages en analyse af fakorer, som driver akieafkase og den risikofrie rene i Campbell-Cochrane modellen, hvilke sammenholdes med sandardmodellen..3. Habi specificere nyefunkion Med en habi specificere nyefunkion ages højde for, a invesor vænner sig il en besem levesandard. Invesor sammenholder den enkele periodes forbrug med de senese perioders forbrug. Vænner invesor sig il e høj forbrug efer en årrække med gode ider, føles de uilfredssillende a opleve e fald i forbruge. Samme forbrugsniveau kan dog føles ilfredssillende, hvis de realiseres efer en årrække med dårlige ider. En sådan opfaelse svarer ifølge Cochrane (997) il, a en recession berages som en forfærdelig begivenhed il rods for, a e recessionsår kan være e af de bedse i en hisorisk sammenhæng. Ved habi formaion er nyefunkionen ids-ikkeseparabel, fordi nyen af forbrug i dag afhænger af idligere perioders forbrug. De er i modsæning il sandardnyefunkionen, hvor invesor ikke sammenligner dagens forbrug med idligere perioders forbrug. En nyefunkion med habi formaion skrives U( C, X ) afhænger af såvel forbrug C som habi, hvilke afspejler, a nyen X. Sidsnævne udrykker, hvordan idligere perioders forbrug påvirker dagens nye af forbrug. Der er udvikle flere yper af nyefunkioner med habi formaion, som adskiller sig på re områder, jf. Campbell (003): Raiomodeller vs. differencemodeller. Inern habi vs. eksern habi. Tilpasning af habi i forhold il forbrug.
I raiomodeller besemmes nyen ud fra forholde mellem forbrug og habi, C / X, mens nyen i differencemodeller besemmes ud fra forskellen mellem forbrug og habi, C X. 8 I raiomodeller er nyen alid veldefinere. For differencemodeller kan forbruge derimod bevæge sig under habi med den konsekvens, a nyeværdien bliver negaiv. Raiomodeller afviger også fra differencemodeller ved - ligesom sandardmodellen - a have en konsan relaiv risikoaversion. I differencemodeller er risikoaversionen derimod idsvarierende og konracyklisk. Chen og Ludvigson (004) fremhæver, a differencemodeller dermed er i overenssemmelse med idsvarierende forvenede afkas. I dårlige ider er invesors risikoaversion høj, og invesor kræver e høj forvene afkas for a invesere i akier. Omvend er de krævede forvenede afkas lav i gode ider, hvor invesors risikoaversion er lav. 9 Der skelnes også mellem inern og eksern habi specifikaion. I inern habi modeller afhænger invesors habi af si ege idligere forbrug. I eksern habi modeller afhænger invesors habi omvend af de aggregerede forbrug. 0 Abel (990) kalder eksern habi formaion for caching up wih he Joneses. Invesor ineresserer sig mere for a opnå de samme forbrug som andre invesorer end for si ege absolue forbrugsniveau. Der opnås en simplere analyse ved eksern habi formaion, fordi invesors ege forbrug ikke påvirker habi, jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997). Endelig er de afgørende, hvor hurig habi ilpasser sig i forhold il forbruge. Overordne kan der skelnes mellem modeller med gradvis ilpasning af habi il forbrug, og modeller, hvor habi kun afhænger af sidse periodes forbrug. 8 Eksempler på raiomodeller er Abel (990, 999), og eksempler på differencemodeller er Sundaresan (989), Consaninides (990) sam Campbell og Cochrane (999). 9 Forudsigelighed i afkase på akiemarkede uddybes nærmere i afsni 5.., hvor valg af insrumenvariable gennemgås. 0 Eksempler på inern habi modeller er Sundaresan (989) og Consaninides (990), og eksempler på eksern habi modeller er Abel (990, 999) sam Campbell og Cochrane (999). Af modeller hvor habi kun afhænger af sidse periodes forbrugsniveau kan nævnes Abel (990, 999), og af modeller med gradvis ilpasning kan nævnes Sundaresan (989), Consaninides (990) sam Campbell og Cochrane (999).
.3. Nyefunkion i Campbell-Cochrane modellen Nyefunkionen i Campbell-Cochrane modellen er: ( ) ( ) γ C X U C, X =, C > X. (.3.) γ Nyen fassæes ud fra forskellen mellem den repræsenaive invesors forbrug en eksern habi C og X. Med en eksern habi opnås en simplere analyse, og Campbell og Cochrane (999) undersreger, a de flese af modellens egenskaber er robuse over for valg af inern og eksern habi specifikaion. Campbell-Cochrane modellen er en differencemodel, som kendeegnes ved en konracyklisk og idsvarierende risikoaversion. Den konracykliske og idsvarierende risikoaversion viser Campbell og Cochrane (999) med udgangspunk i overskudsforbrugsraioen S : S C C X, (.3.) som udrykker den andel af forbruge, som er i overskud i forhold il habi. Den absolue risikoaversion kan ud fra ligning (..) fassæes il: γ ( ) ( + γ C ) X γ = γ ( C X ) C S, mens den relaive risikoaversion ud fra ligning (..3) kan fassæes il: C γ ( ) ( + γ C ) X = γ ( C X ) S γ. 3
I modsæning il sandardmodellen er γ ikke udryk for konsan relaiv risikoaversion. I Campbell-Cochrane modellen er den relaive risikoaversion idsvarierende og konracyklisk. Invesor opfaer en høj overskudsforbrugsraio som gode ider, fordi forbruge er høj relaiv il habi. I gode ider er invesors risikoaversion lav, og den krævede risikopræmie for invesering i akier er ilsvarende lav. Omvend er invesor ikke villig il a påage sig risiko i dårlige ider, når forbruge er æ på habi, og den krævede risikopræmie er høj. I de følgende benævnes γ i Campbell-Cochrane modellen som nyekurveparameeren, og γ / S benævnes risikoaversionen. For a specificere ilpasningen af habi il forbrug ager Campbell og Cochrane (999) udgangspunk i log-overskudsforbrugsraio log ( S ) = s, som modelleres ved: s = ( φ) s + φs + λ( s ) v, (.3.3) + + hvor parameeren s er seady sae for overskudsforbrugsraioen, φ er persisensparameeren, mens λ ( s ) er en følsomhedsfunkion. Der er én kilde il usikkerhed i modellen, nemlig usikkerheden omkring fremidige forbrugssød v +. Forbrugssødene sammer fra følgende proces for log-forbrugsvæksen c + : ( ) c = g+ v, v ~ i.i.d. N 0, σ. (.3.4) + + + v De ses i (.3.4), a forbruge følger en random walk med drif g, mens forbrugsvæksen er en saionær proces. Dermed er der ikke sysemaiske afhængigheder i forbrugsvæksen. Den sokasiske proces for overskudsforbrugsraioen i (.3.3) indeholder flere ineressane egenskaber. For de førse udviser overskudsforbrugsraioen idsvarierende varians. Selvom forbrugssødene har en konsan varians, er variansen af innovaioner for overskudsforbrugsraioen ikke konsan. Årsagen er, a forbrugssødene skal mulipliceres med følsomhedsfunkionen, der er en funkion af s. De er dermed sørrelsen af Udrykke for s og λ ( s ) specificeres i afsni.3.5. 4
følsomhedsfunkionen, der afgør, hvor følsom s er over for forbrugssød v. Følsomhedsfunkionen er posiiv og afagende i s, hvorfor forbrugssødende har den sørse effek på overskudsforbrugsraioen for lave værdier af s. For de ande udrykker processen for overskudsforbrugsraioen i (.3.3), a dagens habi er en ikke-lineær funkion af nuværende og idligere perioders forbrug. For a vise a habi er en funkion af idligere perioders forbrug foreager Campbell (003) en lineær Taylor approksimaion af (.3.3) omkring seady sae, hvilke giver: x i + α ( φ) φ c i i= 0 +. (.3.5) Af Taylor approksimaionen ses, a habi ilpasser sig langsom il forbrug. Den senese periodes forbrug har den sørse indflydelse på habi i dag. I den lineære approksimaion i (.3.5) afhænger habi kun af idligere perioders forbrug og er dermed fuldsændig prædeerminere. Med forbruge modellere som en random walk i (.3.4) vil forbruge med e ilsrækkelig lav forbrugssød bevæge sig under habi, hvilke eferlader en ikke veldefinere nyefunkion. De undgås i Campbell-Cochrane modellen ved a specificere logarimen il overskudsforbrugsraioen i (.3.3), hvor habi ilpasser sig ikke-lineær il forbrug. Således vil enhver værdi af s medføre en posiiv værdi af S, hvilke sikrer, a C > X, jf. Campbell (003). Endelig ses af (.3.3), a overskudsforbrugsraioen er en posiiv. ordens auokorrelaionsproces. Med en persisensparameer φ mindre end konvergerer overskudsforbrugsraioen mod seady sae. 3 På kor sig udviser overskudsforbrugsraioen således 3 En AR() proces: y + = a0 + a y e, hvor a < og e er hvid søj, konvergerer mod: E [ ] y a0 =, a jf. eksempelvis Greene (000). Tilsvarende konvergerer overskudsforbrugsraioen i (.3.3) mod: 5