Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel Potensreglen Entydig løsning Test entydig løsning Calculus 1-2006 Uge 38.1-1
Nem vej til areal Eksempel 9.1 Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Calculus 1-2006 Uge 38.1-2
Nem vej til areal Eksempel 9.1 Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Calculus 1-2006 Uge 38.1-2
Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix Calculus 1-2006 Uge 38.1-3
Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 Calculus 1-2006 Uge 38.1-3
Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix 2-matrix a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Calculus 1-2006 Uge 38.1-3
Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix 2-matrix a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 3-matrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 = a 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Calculus 1-2006 Uge 38.1-3
Udregn determinanter Eksempel 9.4 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 Calculus 1-2006 Uge 38.1-4
Udregn determinanter Eksempel 9.4 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 1 2 3 4 5 6 2 3 0 = 1 5 6 3 0 2 4 6 2 0 + 3 4 5 2 3 = (5 0 6 3) 2(4 0 6 2) +3(4 3 5 2) = 18 + 24 + 6 = 12 Calculus 1-2006 Uge 38.1-4
Spejling og drejning Eksempel 9.5 Determinanten af en spejling cos 2θ sin 2θ Matr(S θ ) = sin 2θ cos 2θ = cos 2 2θ sin 2 2θ = 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-5
Spejling og drejning Eksempel 9.5 Determinanten af en spejling cos 2θ sin 2θ Matr(S θ ) = sin 2θ cos 2θ Determinanten af en drejning Matr(D θ ) = = cos 2 2θ sin 2 2θ = 1 cosθ sin θ sinθ cosθ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-5
Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Calculus 1-2006 Uge 38.1-6
Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række A = n ( 1) 1+j a 1j A 1j j=1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-6
Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række A = n ( 1) 1+j a 1j A 1j j=1 Kan skrives A = ( 1) 1+1 a 11 A 11 + ( 1) 1+2 a 12 A 12 + Calculus 1-2006 Uge 38.1-6
Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Calculus 1-2006 Uge 38.1-7
Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Calculus 1-2006 Uge 38.1-7
Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 12 a 21 a 23 + a 13 a 21 a 22 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 a 22 a 23 = a 11 a 32 a 33 a a 21 a 23 12 a 31 a 33 + a a 21 a 22 13 a 31 a 32 Calculus 1-2006 Uge 38.1-7
Determinant mange veje Sætning 9.9 1. Determinanten kan beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række n A = ( 1) i+j a ij A ij j=1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-8
Determinant mange veje Sætning 9.9 1. Determinanten kan beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række n A = ( 1) i+j a ij A ij j=1 2. Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling efter j-te søjle n A = ( 1) i+j a ij A ij i=1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-8
Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle 1 2 3 1 3 1 3 4 5 6 = 2 4 6 + 5 8 4 6 7 8 9 7 9 7 9 Calculus 1-2006 Uge 38.1-9
Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle 1 2 3 1 3 1 3 4 5 6 = 2 4 6 + 5 8 4 6 7 8 9 7 9 7 9 4 6 = 2 7 9 + 5 1 3 7 9 8 1 3 4 6 Calculus 1-2006 Uge 38.1-9
Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle 1 2 3 1 3 1 3 4 5 6 = 2 4 6 + 5 8 4 6 7 8 9 7 9 7 9 4 6 = 2 7 9 + 5 1 3 7 9 8 1 3 4 6 = 2(4 9 6 7) + 5(1 9 3 7) 8(1 6 3 4) = 12 60 + 48 = 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-9
Udregn determinant af orden 4 Eksempel 9.11 1 0 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = ( 1) 4+4 1 0 7 0 1 0 0 0 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-10
Udregn determinant af orden 4 Eksempel 9.11 1 0 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 7 = ( 1) 4+4 0 1 0 0 0 1 = ( 1) 3+3 1 0 0 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-10
Udregn determinant af orden 4 Eksempel 9.11 1 0 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 7 = ( 1) 4+4 0 1 0 0 0 1 = ( 1) 3+3 1 0 0 1 = 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-10
Trekantsmatrix Eksempel 9.12 0-række/søjle 0 a 12 0 a 22.... = 0 0 a 21 a 22.... = 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-11
Trekantsmatrix Eksempel 9.12 0-række/søjle 0 a 12 0 a 22.... = 0 0 a 21 a 22.... = 0 øvre trekantsmatrix a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n...... 0 0 a nn = a 11 a 22 a nn Calculus 1-2006 Uge 38.1-11
Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: 0 1 1 0 = 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-12
Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: 0 1 1 0 = 1 Multiplikation af række med tal 0: 1 0 0 s = s Calculus 1-2006 Uge 38.1-12
Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: 0 1 1 0 = 1 Multiplikation af række med tal 0: 1 0 0 s = s Addition af et multiplum af en række til en anden: 1 s 0 1 = 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-12
Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Calculus 1-2006 Uge 38.1-13
Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Calculus 1-2006 Uge 38.1-13
Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus 1-2006 Uge 38.1-13
Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en række til en anden: Determinanten er uændret Calculus 1-2006 Uge 38.1-13
Søjleregneregler Sætning 9.14 - fortsat Beregning af determinant Calculus 1-2006 Uge 38.1-14
Søjleregneregler Sætning 9.14 - fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Calculus 1-2006 Uge 38.1-14
Søjleregneregler Sætning 9.14 - fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus 1-2006 Uge 38.1-14
Søjleregneregler Sætning 9.14 - fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en søjle til en anden: Determinanten er uændret Calculus 1-2006 Uge 38.1-14
Skalering af række eller søjle Eksempel 9.15 ( 1 7 2 7 3 4 ) = 1 7 1 2 3 4 = 2 7 Calculus 1-2006 Uge 38.1-15
Skalering af række eller søjle Eksempel 9.15 ( 1 7 ( 1 2 7 3 4 ) = 1 7 ) 2 7 3 4 = 1 7 7 1 2 3 4 = 2 7 1 2 3 4 = 2 7 Calculus 1-2006 Uge 38.1-15
Transponering og skalering Bemærkning 9.17 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den transponerede matrix, så determinanten er den samme A T = A Calculus 1-2006 Uge 38.1-16
Transponering og skalering Bemærkning 9.17 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den transponerede matrix, så determinanten er den samme A T = A Bemærkning 9.18 En n n-matrix A skaleres med λ ved at skalere hver række. Så anvendes rækkeskalerings reglen n-gange fås λa = λ n A Calculus 1-2006 Uge 38.1-16
Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul Calculus 1-2006 Uge 38.1-17
Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-17
Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-17
Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Eksempel 1 3 1 0 2 5 2 8 2 7 2 1 1 9 1 2 = 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-17
Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-18
Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Afkryds: ja nej Løsning Første og tredje søjle er ens. Calculus 1-2006 Uge 38.1-18
Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Løsning Første og tredje søjle er ens. Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-18
Udregn determinanter Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekantsmatrix (1) 1 2 3 4 = 1 2 = ( 1) 10 = 10 0 10 Calculus 1-2006 Uge 38.1-19
Udregn determinanter Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekantsmatrix (1) 1 2 3 4 = 1 2 = ( 1) 10 = 10 0 10 (2) 1 2 3 4 5 6 2 3 0 = 1 2 3 0 3 6 0 1 6 = 1 2 3 0 3 6 0 0 4 = 1 ( 3) ( 4) = 12 Calculus 1-2006 Uge 38.1-19
Determinant af matrixprodukt Sætning 9.23 - Produktreglen For to kvadratiske n n-matricer A,B gælder AB = A B Calculus 1-2006 Uge 38.1-20
Determinant af matrixprodukt Sætning 9.23 - Produktreglen For to kvadratiske n n-matricer A,B gælder AB = A B Bevis For B fast og A en rækkeoperationsmatrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kan A skrives som produkt af rækkeoperations-matricer samt enten identitetsmatricen eller en matrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger heraf. Calculus 1-2006 Uge 38.1-20
Brug produktreglen Eksempel 9.24 A = 1 2 3 4 5 6 2 3 0 = 12 Calculus 1-2006 Uge 38.1-21
Brug produktreglen Eksempel 9.24 1 2 3 A = 4 5 6 = 12 2 3 0 15 21 15 AA = 36 51 42 = AA = A A = 12 12 = 144 14 19 24 Calculus 1-2006 Uge 38.1-21
Determinant af potens Eksempel 9.25 Potensers determinant 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 Calculus 1-2006 Uge 38.1-22
Determinant af potens Eksempel 9.25 Potensers determinant 1 2 = ( 1) 4 2 3 = 10 3 4 ( ) k 1 2 3 4 = 1 2 3 4 k = ( 10) k Calculus 1-2006 Uge 38.1-22
Determinant af invers matrix Sætning 9.26 -Inversreglen En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 = 1 A hvis A 0. Calculus 1-2006 Uge 38.1-23
Determinant af invers matrix Sætning 9.26 -Inversreglen En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 = 1 A hvis A 0. Bevis Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A 0 så kan A skrives som produkt af rækkeoperationsmatricer, som hver er invertible. A er da invertibel. Calculus 1-2006 Uge 38.1-23
Brug inversreglen Eksempel 9.27 Matricen A = 1 2 3 4 5 6 2 3 0 har determinant A = 12 Calculus 1-2006 Uge 38.1-24
Brug inversreglen Eksempel 9.27 Matricen A = 1 2 3 4 5 6 2 3 0 har determinant A = 12 A er invertibel og den inverse har determinant A 1 = A 1 = 1 12 Calculus 1-2006 Uge 38.1-24
Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-25
Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Løsning Sætning 12 giver svaret direkte. Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-25
Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Løsning Sætning 12 giver svaret direkte. Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-25
Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-26
Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Løsning Af produktreglen følger det(a) 2 = det(a 2 ) = 0 Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-26
Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Løsning Af produktreglen følger det(a) 2 = det(a 2 ) = 0 Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-26
Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant 1 2 3 4 = ( 1) 4 2 3 = 10 Calculus 1-2006 Uge 38.1-27
Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant 1 2 3 4 = ( 1) 4 2 3 = 10 ( ) 1 1 2 3 4 = 1 10 Calculus 1-2006 Uge 38.1-27
Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant 1 2 3 4 = ( 1) 4 2 3 = 10 ( ) 1 1 2 3 4 = 1 10 ( ) k 1 2 3 4 = 1 ( 10) k Calculus 1-2006 Uge 38.1-27
Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Calculus 1-2006 Uge 38.1-28
Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Hvis A 0 så for alle hele tal k. A k = A k Calculus 1-2006 Uge 38.1-28
Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Hvis A 0 så for alle hele tal k. Hvis A = 0 så for alle hele tal k > 0. A k = A k A k = 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-28
Cofaktormatricen Definition 9.30 Lad A være en n n-matrix og A ij fremkomme ved at slette i-te række og j-te søjle. Cofaktormatricen Cof(A) er n n-matricen: n = 1: identitetsmatricen Cof(A) = I 1. n > 1: med ij-te indgang ( 1) i+j A ji Calculus 1-2006 Uge 38.1-29
Cofaktormatricen Eksempel 9.31 1 1matricen A = ( ) 10 har Cof(A) = ( ) 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-30
Cofaktormatricen Eksempel 9.31 1 1matricen A = ( ) 10 har Cof(A) = ( ) 1 2 2-matricen A = ( ) 1 2 3 4 har Cof(A) = ( ) 4 2 3 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-30
Cofaktorformlen Sætning 9.32 Lad A være en n n-matrix. Så er produktet A Cof(A) = Cof(A)A = A I n Hvis A 0, så er A invertibel og der gælder A 1 = 1 A Cof(A) Calculus 1-2006 Uge 38.1-31
Cofaktormatricen Eksempel 9.33 ( ) a b For matricen A = er cofaktormatricen c d ( ) d b Cof(A) =. Hvis ad bc 0 så er A invertibel med c a A 1 = 1 ad bc Cof(A). Altså ( ) 1 a b = c d 1 ad bc ( d c ) b a Calculus 1-2006 Uge 38.1-32
Ligningssystem og determinant Sætning 9.34 - Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning ( 0) (uendelig mange), hvis og kun hvis A = 0. Calculus 1-2006 Uge 38.1-33
Ligningssystem og determinant Sætning 9.34 - Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning ( 0) (uendelig mange), hvis og kun hvis A = 0. 2. Det inhomogen ligningssystem Ax = b har en og kun en løsning, hvis og kun hvis A 0. Calculus 1-2006 Uge 38.1-33
Bestem entydig løsning Eksempel 9.35 For hvilke tal t har det homogene ligningssystem med koefficientmatrix 1 1 1 A = 1 t 1 1 1 t en entydig løsning. Find løsningsrummet for alle t. Calculus 1-2006 Uge 38.1-34
Bestem entydig løsning Eksempel 9.35 - løsning Beregn determinanten 1 1 1 A = 1 t 1 = 1 1 t 1 1 1 0 t 1 0 0 0 t 1 = (t 1) 2 Calculus 1-2006 Uge 38.1-35
Bestem entydig løsning Eksempel 9.35 - løsning Beregn determinanten 1 1 1 A = 1 t 1 = 1 1 t 1 1 1 0 t 1 0 0 0 t 1 = (t 1) 2 For t 1 har det homogene ligningssystem entydig løsning x = 0. Ax = 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-35
Bestem alle løsninger Eksempel 9.35 - løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet x 1 + x 2 + x 3 = 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-36
Bestem alle løsninger Eksempel 9.35 - løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet Dette giver løsninger x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 = x 2 1 1 0 + x 3 1 0 1 Calculus 1-2006 Uge 38.1-36
Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a 1 0 1 b har en entydig løsning. 0 0 2 Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-37
Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a 1 0 1 b har en entydig løsning. 0 0 2 Afkryds: ja nej Løsning 1 a 1 0 1 b 0 0 2 = ( 1) 1 2 = 2 0 Calculus 1-2006 Uge 38.1-37
Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a 1 0 1 b har en entydig løsning. 0 0 2 Løsning 1 a 1 0 1 b 0 0 2 Afkryds: = ( 1) 1 2 = 2 0 ja nej Calculus 1-2006 Uge 38.1-37
Cramers regel Sætning 9.36 Lad A være en kvadratisk n n-matrix med determinant A 0. Det inhomogen ligningssystem Ax = b har løsningen x = A 1 b, hvor den j-te koordinat er givet ved Cramers regel x j = a 1 a j 1 b a j+1 a n A Tælleren er determinanten af den matrix der fremkommer ved at erstatte j-te søjle med søjlevektoren b. Calculus 1-2006 Uge 38.1-38
Cramers regel Eksempel Ligningssystemet med a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 0, a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 har løsning Calculus 1-2006 Uge 38.1-39
Cramers regel Eksempel Ligningssystemet med a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 0, a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 har løsning x 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a, x 2 = 12 a 21 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22 Calculus 1-2006 Uge 38.1-39