Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27
Gödels første ufuldstændighedssætning I 1931 publicerer den østrigske matematiker Kurt Gödel som 25 årig artiklen Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Artiklen indeholder en af det 20. århundredes mest berømte matematiske sætninger, Ufuldstændighedssætningen. Faktisk indeholder artiklen ikke en, men to, ufuldstændighedssætninger, men vi vil starte med at kigge på den første og mest berømte af de to. I sin oprindelige formulering siger sætningen følgende: Zu jeder ω-widerspruchsfreien rekursiven Klasse κ von Formeln gibt es rekursive Klassenzeichen r, so daß weder v Gen r noch Neg(v Gen r) zu Flg(κ) gehört (wobei v die freie Variable aus r ist). Denne formulering giver ikke mening for særligt mange mennesker, så lad os prøve at simplificere den lidt... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 2/27
Gödels første ufuldstændighedssætning En lidt simplificeret omformulering af Gödels sætning ser således ud: I ethvert (ω-)konsistent, rekursivt aksiomatiserbart formelt system indeholdende formel talteori findes udsagn som hverken kan bevises eller modbevises. Et formelt system som indeholder udsagn der hverken kan bevises eller modbevises kaldes ufuldstændigt. Det er ufuldstændigt på den måde at det kan udtrykke matematiske udsagn, hvis sandhed eller falskhed ikke kan afgøres indenfor systemet selv. Ved at slække lidt på præcisionen kan vi simplificere Gödels sætning yderligere, så den i stedet lyder: Ethvert formelt system med tilstrækkelig stor udtrykskraft er ufuldstændigt. Altså: Hvis et formelt system bliver tilstrækkeligt kraftfuldt (kan udtrykke mange matematiske udsagn) vil det nødvendigvis lide den skæbne at det bliver ufuldstændigt. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 3/27
Fortolkninger af ufuldstændighedssætningen Gödels ufuldstændighedssætning er blevet givet meget vidtrækkende fortolkninger. En af dem er: Der findes sande matematiske sætninger som ikke kan bevises. En anden er: Der er grænser for vores mulighed for erkendelse af sandhed gennem logiske argumenter. Eller endnu mere vidtrækkende: Der er grænser for den rationelle tankegangs rækkevidde. Sådanne vidtrækkende fortolkninger har naturligvis været med til at sikre berømtheden af Gödels sætning, men det er vigtigt at forstå at ingen af ovenstående udsagn er direkte konsekvenser af Gödels sætning. Gödels sætning taler om formelle beviser og formelle argumenter indenfor faste rammer, ikke matematiske beviser og logiske argumenter i almindelighed og fuld generalitet. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 4/27
Hvorfor er Gödels sætning speciel? Gödels sætning er meget atypisk og overraskende i matematisk sammenhæng, da den via matematiske metoder viser at der er grænser for hvad der kan opnås ved hjælp af matematiske metoder. Den har også sat en masse tanker i gang omkring grænser for (matematisk) erkendelse, og i det hele taget ændret grundlæggende på vores forståelse af matematikken og dens metoder. Gödels ufuldstændighedssætninger (især nummer 2) skød også Hilberts Program i sænk. Desuden var det en alvorlig kæp i hjulet på Whitehead og Russells enorme værk Principia Matmematica og de bagvedliggende logicistiske ideer. Men lad os først gå tilbage til det som startede alt dette: de logiske paradokser som blev opdaget i starten af det 20. århundrede... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 5/27
Den naive mængdelære Mængdelærens fader, Georg Cantor, definerede i 1895 begrebet mængde på følgende måde: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Intentionen er her at vi bør kunne tage en vilkårlig samling af matematiske objekter og samle dem i en mængde. Mængden er da denne samling af matematiske objekter betragtet som et hele. Det er klart at denne definition af en mængde er relativt upræcis i forhold til de fleste definitioner i matematikken, eksempelvis i forhold til definitionen af kontinuitet eller differentiabilitet. Nogle upræcise definitioner finder man senere ud af hvordan man kan præcisere, men i forbindelse med Cantors definition er problemerne dybere end som så... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 6/27
Paradokser i den naive mængdelære I slutningen af det 19. århundrede viser det sig at Cantors mængdebegreb leder til paradokser. Det første er Cantors parodoks. Cantors paradoks (1899). Lad M være en vilkårlig mængde og lad P(M) betegne mængden af delmængder af M. Ifølge Cantors sætning har P(M) strengt højere kardinalitet end M (der er flere elementer i P(M) end i M). Betragt nu mængden U af alle mængder. Mængden U findes ifølge Cantors mængdebegreb. Da U indeholder alle mængder, må U specielt indeholde alle elemter fra P(U). Der gælder altså at P(U) er en delmængde af U. Men samtidig siger Cantors sætning at P(U) har højere kardinalitet end U. Dette er en modstrid. Denne modstrid kaldes Cantors paradoks. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 7/27
Paradokser i den naive mængdelære Russells paradoks (1901). Mængden U af alle mængder er et eksempel på en mængde som er element i sig selv (altså U U). Mængden N af naturlige tal er derimod et eksempel på en mængde som ikke er element i sig selv (altså N N). Betragt nu mængden R af alle mængder som ikke er element i sig selv, det vil sige, lad R = {x x x}. Spørgsmålet er nu: Er R element i sig selv eller ej? Antag først at R er element i sig selv. Da må den per definition af R være en af de mængder som ikke er element i sig selv, hvilket er en modstrid. Antag modsat at R ikke er element i sig selv. Da opfylder den R s definition og må derfor være element i R. Konklusionen er så at R er element i R, hvilket igen er en modstrid. Uafhængigt af vores antagelse omkring R ledes vi altså frem til en modstrid. Denne modstrid kaldes Russells paradoks. I matematisk notation: R R R {x x x} R R. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 8/27
En variant af Russells paradoks En interessant variant af Russells paradoks er Grellings paradoks. Grellings paradoks (1908). Kald et prædikat (et sprogligt udtryk) heterologisk hvis det ikke selv har den egenskab det udtrykker. Eksempelvis er prædikaterne tysk og fejlstavet heterologiske, mens deutsch og fejlstaved ikke er det. Spørgsmålet er nu: Er begrebet heterologisk selv heterologisk eller ej? Antag først at begrebet er heterologisk. Da kan det per definition ikke have den egenskab det selv udtrykker. Men da det netop udtrykker egenskaben at være heterologisk, kan det således ikke være heterologisk. Det er en modstrid. Antag modsat at begrebet ikke er heterologisk. Da har begrebet ikke den egenskab det selv udtrykker, og må således per definition alligevel være heterologisk. Det er igen en modstrid. Den uundgåelige modstrid kaldes Grellings paradoks. Hvad er sammenhængden til Russells paradoks? Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 9/27
Konsekvenser af paradokserne De mængdeteoretiske paradokser (Cantors, Russells) m.fl. rystede matematikkens grundvold i starten af det 20. århundrede, fordi man ikke kunne finde nogen let måde at undslippe dem på. Det er klart at man ikke kan tillade en matematik bygget på et fundament som indeholder paradokser, for så har man reelt ikke sikkerhed for noget som helst længere. Normalt vil man jo vide at hvis et udsagn er gyldigt (f.eks. 2 + 2 = 4) er det modsatte udsagn ugyldig (f.eks. 2 + 2 4), men det bryder sammen i paradokserne (R R er gyldig hvis og kun hvis R R er det). Paradokserne leder derfor til en reel matematisk grundlagskrise i starten af det 20. århundrede, og man føler ikke man kan stole på matematikken før denne krise og paradokserne er blevet løst. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 10/27
Løsning af paradokserne Det viser sig at være ikke helt ligetil at løse paradokserne. Russell skriver i sin selvbiografi følgende om sit forsøg på at løse sit paradoks: I made practice of wandering about the common every night from eleven until one... I was trying hard to solve the contradiction mentioned above. Every morning I would sit down before a blank sheet of paper. Throughout the day, with a brief interval for lunch, I would stare at the blank sheet. Often when evening came it was still empty. Det ledende synspunkt i starten af det 20. århundrede var at grundlagskrisen skulle løses ved at antage en formalistisk tilgang til matematikken: forsøge at genopbygge matematikken fra grunden kun ved hjælp af strenge aksiomatisk og finitiske metoder. David Hilbert var foregangsmanden for dette synspunkt, som blandt andet udmøntede sig i Hilberts program (jvf. forrige forelæsning). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 11/27
Nyt grundlag for matematikken Det var tanker svarende til Hilberts der ledte Whitehead og Russell til at skrive deres Principia Mathematica, hvor de forsøgte at genopbygge matematikken på et solidt, formelt logisk grundlag. Ideen var at genbygge matematikken indenfor et formelt system udelukkende ved brug af strenge logiske og rent syntaktiske regler. For at forstå dette skal vi se på hvad et formelt system egentlig er... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 12/27
Formelle systemer Et formelt system er karakteriseret ved størrelserne symboler, konstanter, variable, formler, aksiomer, slutningsregler og beviser. Konstanter, variable og formler er opbygget af de givne symboler. I det følgende vil vi antage at alle formelle systemer som minimum indeholder følgende: Konstanterne 0, 1, 2, 3,... Variablene x, y, z, w,... Symbolerne +, =, og Formlerne opbygget på sædvanlig vis af ovenstående, f.eks. 7 + 1 = 8, 7 + 1 = 8, 5 + x = 8, x 1 = x 2 x 1 + y = x 2 + y. Hvis ϕ er en formel hvori variablene x 1,..., x n optræder, skriver vi også ϕ(x 1,..., x n ) for denne formel. For ethvert valg af konstanter eller variable t 1,..., t n lader vi da ϕ(t 1,..., t n ) være strengen der opstår ved at substituere enhver forekomst af x i med t i. Hvis altså eksempelvis ϕ(x) betegner formlen x + 3 = 3 + x så betegner ϕ(1) formlen 1 + 3 = 3 + 1. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 13/27
Formelle systemer fortsat Hvis ϕ er en formel kaldes ϕ dens negation. Aksiomerne i et formelt system er en på forhånd udvalgt mængde af formler (de oplagt sande formler). Eksempel på aksiom: 1 + 3 = 3 + 1, eller mere generelt x + y = y + x. En slutningsregel er et princip, der på rent formel, mekanisk måde angiver, hvordan man fra en eller flere formler kan udlede en ny formel. Eksempel på slutningsregel: Udfra ϕ og ϕ ψ sluttes ψ (modus ponens). Et formelt bevis, eller blot et bevis, er en endelig sekvens af formler. Et bevis starter med et eller flere aksiomer, og enhver formel skal (hvis den ikke selv er et aksiom) fremkomme af de foregående formler i sekvensen ved brug af en slutningsregel. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 14/27
Beviser i formelle systemer Vi siger, at en formel ϕ kan bevises hvis ϕ optræder som sidste formel i et bevis. Vi siger at ϕ kan modbevises hvis negationen ϕ kan bevises. Eksempel. Lad der være givet et formelt system med følgende aksiomer: A1 3 + 1 = 4 A2 x = y z x = z y og følgende slutningsregler S1 Udfra ϕ og ϕ ψ sluttes ψ. S2 Udfra ϕ(x 1,..., x n ) sluttes ϕ(k 1,..., k n ), for et vilkårligt valg af konstanter k 1,..., k n. Eksempel på bevis: 1. x = y z x = z y A2 2. 3 + 1 = 4 5 (3 + 1) = 5 4 S2 på 1 3. 3 + 1 = 4 A1 4. 5 (3 + 1) = 5 4 S1 på 2,1 Formlen 5 (3 + 1) = 5 4 kan således bevises i det givne system. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 15/27
Formalisering af matematikken Ideen er nu at finde et passende sæt aksiomer og slutningsregler indenfor hvilke vi kan bevise alle matematikkens sætninger på et mere solidt grundlag. Men det at forsøge at mekanisere matematikken igennem formelle systemer er ikke i sig selv nogen garanti for at vi får et mere solidt grundlag. Vi kan eksempelvis let komme i problemer hvis vi laver et formelt system indeholdende aksiomer og slutningsregler svarende til Cantors mængdebegreb som vi introducerede tidligere: UC ϕ(x) x {y ϕ(y)}, for alle formler ϕ (ubegrænset komprehension). S Udfra ϕ(x) sluttes ϕ(t), hvor t er et vilkårligt udtryk på formen {x x ψ} (substitution). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 16/27
En formalisering af Russells paradoks Betragt igen et formelt system med følgende aksiomer og slutningsregler: UC ϕ(x) x {y ϕ(y)}, for alle formler ϕ (ubegrænset komprehension). S Udfra ϕ(x) sluttes ϕ(t), hvor t er et vilkårligt udtryk på formen {x x ψ} (substitution). I et formelt system indeholdende disse elementer kan vi uden videre rekonstruere Russells paradoks. Det gøres ved at lade ϕ(x) være formlen x x. Da fås af UC: x x x {y y y}. Vi kan nu benytte slutningsreglen S til at substitutere x med {y y y}: {y y y} {y y y} {y y y} {y y y}. Lader vi R betegne udtrykket {y y y} reducerer dette til: R R R R. Bemærk at R netop betegner den mængde som blev introduceret i Russells paradoks. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 17/27
En formalisering af Russells paradoks Den beviste formel R R R R er naturligvis en modstrid. Vi må konkludere at enten gælder både R R og R R eller også gælder ingen af dem. Dette svarer til begreberne inkonsistens og ufuldstændighed i forbindelse med formelle systemer. Et formelt system kaldes konsistent hvis ingen formel kan både bevises og modbevises, det vil sige, hvis det ikke findes nogen formel ϕ så både ϕ og ϕ kan bevises. Ellers kaldes systemet inkonsistent. Et formelt system kaldes fuldstændigt hvis enhver formel kan enten bevises eller modbevises, det vil sige, hvis der for enhver formel ϕ gælder at enten ϕ eller ϕ kan bevises. Ellers kaldes det ufuldstændigt. Hvis systemet ovenfor desuden indeholder alle aksiomer på formen ϕ ϕ (det udelukkede tredjes princip) vil systemet være inkonsistent. Hvorfor? Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 18/27
Hilbert program Målet er naturligvis at formalisere matematikken i et system som både er konsistent og fuldstændigt. Men hvordan afgør vi om vores system har disse egenskaber? Hilbert mente at konsistensen af simple formelle systemer for den finite kerne af matematikken (aritmetikken) var uproblematisk, og at konsistensen af sådanne systemer derfor uden videre kunne antages. Ideen var så at hive sig selv op ved snørrebåndende ved at konstruere mere og mere komplekse formelle systemer, eksempelvis for mængdelæren, og så vise konsistensen af disse systemer ved hjælp af rene finitistiske metoder, det vil sige, indenfor det formelle system for aritmetikken. Dette er essensen i Hilberts program. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 19/27
Hilberts program fortsat Desværre fik Hilberts program nådestødet af Gödels resultater. Dels viste Gödel at intet formelt system for aritmetik kan være både kan konsistent og fuldstændigt (første ufuldstændighedssætning), og desuden viste han hvis et formelt system for aritmetik faktisk er konsistent så vil det ikke kunne bevise sin egen konsistens (anden ufuldstændighedssætning). Hvis et system ikke kan bevise sin egen konsistens kan det naturligvis heller ikke bevise konsistensen af et system som er stærkere, og dermed forsvandt håbet for at gennemføre Hilberts program (i hvert fald i sin oprindelige formulering). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 20/27
Gödels resultater Så hvordan beviste Gödel sine resultater? Overraskende nok tog han udgangspunkt i selvsamme paradokser som skabte grundlagskrisen i første omgang. Kort sagt viste han at hvis et formelt system for aritmetikken er fuldstændigt vil man kunne formalisere en version af Grellings paradoks i systemet. Hvis systemet er fuldstændigt må det derfor også være inkonsistent. Konklusionen er så at det altså ikke kan være både konsistent og fuldstændigt. Vi vil nu prøve at gennemføre en simplificeret version af Gödels argument via en version af Grellings paradoks. Først har vi brug for et par nye begreber... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 21/27
Repræsenterbarhed Antag vi ønsker at lave et formelt system for aritmetikken (læren om de naturlige tal). Da skal systemet være i stand til at udtrykke velkendte egenskaber for tal og udtrykke om et givet tal har disse egenskab eller ej. Lad os betragte egenskaben primtal. At et formelt system er i stand til at tale om egenskaben at være et primtal skal forstås på den måde at der findes en formel ϕ(x), så der for ethvert naturligt tal i gælder: i er et primtal ϕ(i) kan bevises. Vi kan da sige at formlen ϕ(i) udtrykker egenskaben at tallet i er et primtal. I et sædvanligt formelt system med kvantorer ( og ) kan egenskaben at være et primtal udtrykkes ved følgende formel ϕ(i): i > 1 x y(y > 0 x y = i x = 1 x = i). Med passende aksiomer og slutningsregler vil det da være således at ϕ(i) kan bevises netop når i betegner et primtal. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 22/27
Repræsenterbarhed fortsat For at præcisere hvad et formelt system kan udtrykke og tale om introducerer vi begrebet repræsenterbarhed. Lad M være en mængde af naturlige tal. M siges at være repræsenterbar i et formelt system, hvis der eksisterer en formel ϕ(x) i systemet, så følgende er opfyldt for alle naturlige tal i: i M ϕ(i) kan bevises. I dette tilfælde siger vi at ϕ(i) repræsenterer mængden M. I et formelt system med de sædvanlige aksiomer og slutningsregler for de naturlige tal kan vi vise at formlen fra før, i > 1 x y(y > 0 x y = i x = 1 x = i), repræsenterer netop mængden af primtal. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 23/27
Tilstrækkelig styrke Antag, at vi er givet et formelt system, og lad x betegne en af systemets variable. Der er kun et tælleligt antal formler som indeholder variablen x, og disse kan vi derfor nummerere: ϕ 0 (x), ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),... Vi kalder formlen ϕ n (x) heterologisk, hvis ϕ n (n) kan bevises. Hvis ϕ n (x) er heterologisk, kalder vi n for et heterologisk tal. Vi siger nu at et formelt system er af tilstrækkelig styrke hvis mængden af heterologiske tal er repræsenterbar i det. Der findes naturligvis formelle systemer som ikke er af tilstrækkelig styrke med denne definition. På den anden side er det ikke unaturligt at antage at ethvert formelt system for aritmetik bør kunne repræsentere mængden af heterologiske tal, da dette er en delmængde af de naturlige tal defineret på en systematisk måde (som f.eks. mængden af primtal betragtet ovenfor). Desuden viser det sig faktisk at de sædvanlige aksiomer og slutningsregler for aritmetik tillader denne mængde at blive repræsenteret (Gödel). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 24/27
Beviset for Gödels sætning Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Ethvert konsistent formelt system af tilstrækkelig styrke er ufuldstændigt. Bevis. Antag at vi har et konsistent formelt system af tilstrækkelig styrke. Da findes en formel ϕ h (x), som repræsenterer mængden af heterologiske tal. Derfor gælder for alle naturlige tal n: Da der desuden gælder: får vi i alt: n er et heterologisk tal ϕ h (n) kan bevises. n er et heterologisk tal ϕ n (n) kan bevises ϕ h (n) kan bevises ϕ n (n) kan bevises. Dette gælder for alle n. Lader vi specielt n = h fås ϕ h (h) kan bevises ϕ h (h) kan bevises. Heraf følger ufuldstændighed (pga. konsistens). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 25/27
Mere om beviset for Gödels sætning Et springende punkt i ovenstående version af Gödels sætning er naturligvis hvornår et formelt system har tilstrækkelig styrke. Gödel beviste at det gælder for alle ω-konsistente systemer som indeholder de sædvanlige aksiomer for de naturlige tal. Mere om det ved næste forelæsning... Gödels bevis siges ofte at være baseret på et diagonalargument i stil med beviset for overtælleligheden af mængden af delmængder af de naturlige tal. Kan I se hvad sammenhængen er imellem det givne bevis baseret på Grellings paradoks og så det Cantorianske diagonalargument? Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 26/27
Afslutning Gödels sætning har som nævnt haft stor betydning, både indenfor og udenfor matematikken. Det er interessant at resultatet i en vis forstand bygger på et paradoks netop et af dem man forsøgte at undgå ved at formalisere matematikken. Men der er intet paradoksalt ved Gödels resultat: Det viser blot at hvis vi antager både konsistens og fuldstændighed af et formelt system for aritmetikken, så følger paradokserne med ind i det formelle system. Det bedste vi kan håbe på er således at lave formelle systemer som er konsistente, men ikke fuldstændige. Der vil så altid være formler som hverken kan bevises eller modbevises i systemet. Vi kan naturligvis altid tilføje en endelig mængde af sådanne formler som aksiomer til systemet, men det gør det ikke fuldstændigt (mængden af heterologiske tal kan stadig repræsenteres). Vi kan ikke fuldstændiggøre det uden at tilføje uendeligt mange aksiomer, men så forsvinder jo hele grundideen... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 27/27