Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige ydelser Ligevægspris på e vare Pris udbud = eferspørgsel Kap. 3 Obligaioes ydelser blev ilbagediskoere med obligaioes effekive ree. Udbud og eferspørgsel Ofe ødvedig a kede ivesoreres præferecer og iiialbeholdiger Askaffelsesprise på obligaioe BØVLET! Problem k + v = Y ( + y) Sikre bealiger fra samme idspuk vil (ofe) blive ilbage-diskoere med forskellige reer. ULOGISK! Fiasierig Relaiv prisfassæelse (vha. ige-arbirage pricippe Ige-arbirage pricippe Hvis o akiver giver aledig il de samme fremidige bealiger, må de have øjagig samme pris Kap. 4 Sikre bealiger fra samme idspuk skal ilbagediskoeres med samme ree. (Bemærk: ige-arbirage pricippe giver os ku mulighed for a udale os om de relaive priser. Vi ka ikke sige oge om de absolue priser.) 3 4 Ige-Arbirage pricippe Aagelser Ivesorere forerækker flere fremfor færre pege Ige kor-salgsresrikioer Gå kor i e akiv: Pege i lomme Ma låer akive fra fx e børsmægler og sælger de her og u Efer e periode leverer ma akive ilbage ved a købe de i markede Hvis akive er sege i værdi Hvis akive er falde i værdi Ige rasakiosomkosiger Tab pege (de er dyrere a levere ilbage) Tje pege (de er billigere a levere ilbage) Illusraio af arbirage Obligaio Obligaio For dyr! For billig! 3 3 9 9 Samme fremidige bealiger, me prise er forskellig! Mulig a jee risikofri gevis (arbirage!) 6
Arbirage sraegi Køb obligaio (de billige ) og gå kor i obligaio (de dyre ) De giver følgede payoff-møser (eller payoff-marice): Tid 3 Køb obligaio -9 Gå kor i obligaio 9 - - - I al > Illusraio af arbirage Hvis de o obligaioer ikke har samme pris, er de mulig a skabe e risikofri arbiragegevis. I fiasierig aager vi geerel, a der ikke eksiserer arbirage på velfugerede markeder. Risikofri arbiragegeviser forsvider lyhurig på e velfugerede marked. I ovesåede ilfælde ville der ske følgede: Alle ville gå kor (sælge) i obligaio (de dyre) prise på obligaio ville falde Alle ville købe obligaio (de billige) prise på obligaio ville sige. Risikofri payoff ARBITRAGE! Ige fremidige forpligelser 7 Dee effek vil forsæe, idil alle arbiragegeviser er væk (dvs. idil prisere på de o obligaioer er es) Ja ja. De er god ok. Me hvad ka vi så bruge de il? Illusraio af arbirage Hvis vi keder prise på de ee obligaio, ka vi prisfassæe de ade! RELATIV PRISFASTSÆTTELSE! Obligaio Obligaio 3 3 Illusraio af arbirage Claus Muks eksempel på side 3 Obligaio med R = % To auiesobligaioer Obligaio med R = % = Y =,9 Y = 6,7 R Y = H ( + R) 9 PRIS UKENDT! Pris = 9! Da de fremidige bealiger er es, må prise på obligaio være de samme som prise på obligaio Ellers eksiserer der arbiragemuligheder! 9 Aag P = og P = 96 Arbirage sraegi Dages forelæsig Payoff-marice (,6 x ) (,6 x,9) Tid ----- Udsed (gå kor,6 sk. af obligaio Køb sk af obligaio,4-96 -6,7 6,7 ----- ----- -6,7 6,7 I al 4,4 > ----- Arbirage Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Risikofri payoff ARBITRAGE! Ige fremidige forpligelser Forwardreer
Nulkupoobligaioer E ulkupoobligaio er e obligaio der med sikkerhed giver kr. år seere (og ikke bealer ree i mellemide). (dvs. e såede obligaio med kuporee på ) Nulkupoobligaio: Prise (og kurse) på ulkupoobligaioe Diskoerigsfakore d( Nulkupoobligaioer er e vigig byggeklods som avedes i prisfassæelse af obligaioer! 3 Nulkupoobligaioer Tag udgagspuk i følgede såede obligaio: 7 Dee obligaio ka berages som e porefølje af 7 7 ulkupoobligaioer 3 Pris? 7 sk. årige ulkupoobligaioer Pris pr. sk: d() Pris i al: 7 x d() 7 sk. årige ulkupoobligaioer Pris pr. sk: d() Pris i al: 7 x d() Pris på obligaioe = 7 x d() + 7 x d() + 7 x d(3) Ellers arbirage! 7 sk. 3 årige ulkupoobligaioer Pris pr. sk: d(3) Pris i al: 7 x d(3) 4 Eksempel 4. s. 33 7% såede obligaio Pris? Nulkupoobligaioer 7 7 7 3 Diskoerigsfakorer d() =,94 d() =,9 d(3) =,7 7 sk. 3 årige ulkupoobligaioer Pris pr. sk: d(3) =,7 Pris i al: 7 x d(3) = 93,9 7 sk. årige ulkupoobligaioer Pris pr. sk: d() =,9 Pris i al: 7 x d() = 6,3 7 sk. årige ulkupoobligaioer Pris pr. sk: d() =,94 Pris i al: 7 x d() = 6, Pris på obligaioe = 6, + 6,3 + 93,9 =,97 Ellers arbirage! Nulkupoobligaioer De forrige slides har vis os følgede: P = k + v = = ( + y ( ) d = ) ( Y d( De effekive ree på e ulkupoobligaio Nulkuporee! Dvs. Effekiv ree på ulkupoobligaioe Aal reeilskriviger pr. år Dermed fider vi ulkuporee således: y ( ) = d ( ) 6 P = Nulkupoobligaioer = Y d( + P = Y = ( + y ( ) ) ( + y ( ) d = ) ( Sikre bealiger der falder på samme idspuk ilbagediskoeres med de samme ree! Sammehæge mellem ulkuporeere og ide kaldes ulkupo-reesrukure. Ved hjælp af ulkuporeesrukure ka ma prisfassæe alle akiver, der giver sikre fremidige bealiger! 7 Nulkupoobligaioer På forrige slide og vi udgagspuk i e ulkuporee med é årlig reeilskrivig. Nu Flere reeilskriviger pr. år Diskoerigsfakor med m reeilskriviger pr. år: Årlig omiel ree ved m reeilskriviger pr. år d( y m = + m( ) m Diskoerigsfakor med koiuer reeilskrivig: d( = e y ( ) Aal reeilskriviger pr. år Årlig omiel ree ved koiuer reeilskrivig Giver pæere maemaiske resulaer 3
Dages forelæsig Arbirage Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Simpel boosrappig Når ma keder ulkuporeesrukure, ka ma som idligere æv prisfassæe alle akiver, der giver e sikker bealigssrøm. Problem Der hadles ige (få) ulkupoobligaioer! Hvorda skal ma så fide ulkuporeere og ulkupoprisere? Dee meode kaldes boosrappig! Lad os age udgagspuk i e simpel eksempel med o kupoobligaioer og o bealigsidspuker 9 Eksempel 4.3 s. 4 Simpel boosrappig % såede obligaio ( år il udløb) sk. -årige ulkupoobligaioer % såede obligaio ( år udløb) 9 sk. -årige ulkupoobligaioer sk. -årige ulkupoobligaioer P = x d() = x d() P = x d() + x d() 9 = x,99 + x d() d() =,99 y () = % d() =,3 y () =,% Tidligere slide Simplificere meode Geerel Hermed har vi fude ulkuporeere ud fra hadlede kupoobligaioer! y () = % y () =,% Simpel boosrappig (diskoerigsfakorer og ulkuporeer fude vha. kupoobligaioer) Ku o obligaioer og o bealigsidspuker Noge mere komplicere pga. mage forskellige obligaioer og mage forskellige bealigsidspuker Nødvedig a avede e maemaisk meode Tavlefræs! På avle vise vi a diskoerigsfakorere (og dermed ulkuporeere) kue fides således: Diskoerigsvekore Skreve på marixform: I visse siuaioer er de mulig a fide ulkuporeere (og dermed diskoerigsfakorere) ud fra hadlede kupoobligaioer! Diskoerigsfakor il id d = Y d() Y d() Y =...... d( N) YM P Ydelsesmarice Y Y Y... M Prisvekore Ydelse på obligaio il id... Y N P... Y N P............ Y MN PM Prise på obligaio 3 Y = Eksempel 4.4 s. 4 % såede obligaio ( år udløb) 9 4 d = Fid diskoerigsfakorere! (vha. geerel boosappig) 9 P = 9 9,933 y() = 4 9,7 = y() % serieobligaio ( år udløb) 9 7,%,9% 4 Husk: d = Y P y ( ) = d ( ) 4 4
På e af de forrige slides vise vi, a ma skal løse M ligiger med N ubekede for a ideificere diskoerigsfakorere. Hvis M > N (dvs. der er flere ligiger ed ubekede) ka ma ikke være sikker på a, ligigssyseme har e løsig. Ma ka ikke fide diskoerigsfakorer der semmer overes med alle obligaioers priser Mulig a kosruere e arbirageporefølje af obligaioere! Eksempel 4.4 s. 4 % såede obligaio ( år il udløb) Y = 4 % såede obligaio ( år udløb) 9 Fid diskoerigsfakorere! 9 P = 9 9 Flere obligaioer ed bealigsidspuker! d() d = d() % serieobligaio ( år udløb) 4 ARBITRAGE! Ikke mulig a fide diskoerigsfakorer Flere ligiger ed ubekede der semmer overes med alle obligaioere! 6 Fid diskoerigsfakorere vha. de o såede obligaioer, og vurder om prise på serieobligaioe er fair! Y = d = P = 9,99 = 9,3 P fakisk-serieobl. = 9 For dyr ARBITRAGE! (dem har vi i øvrig fude idligere på slide vha. simpel boosrappig) Med udgagspuk i disse diskoerigsfakorer ka vi fide serieobligaioes eoreiske pris: For billig P = Y d( P eoreisk-serieobl. = x,99 + 4 x,3 = 96,67 = 7 Kosruér e porefølje af de o såede obligaioer der perfek racker serieobligaioe! (e såda porefølje kaldes e rackigporefølje!) Tid Køb,3 sk. af de % såede obligaio Køb,4 sk. af de % såede obligaio I al Noer (),3 =, 39 (),3 =, 43 (3),4 9 = 46, (4),4 =, 7 (),4 = 4 Me de koser midre! Arbiragesraegi: Køb rackig porefølje Udsed serieobligaioe! -,39 () -96,67,43 () -46, (3),7 (4) 4 () 4 Porefølje har samme payoff som serieobligaioe! (dvs. de racker serieobligaioe perfek!) Ige fremidige forpligelser me profi på id! Dages forelæsig Arbirage Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Nulkuporeesrukure Boosrappigmeode fra idligere ka ku give os iformaioer om ulkuporeere på de idspuker, hvor obligaioere har ermier. Nødvedig a approksimere ree mellem ermisidspukere for a få iformaio om hele reesrukure. Ma fider e paramerisk fukio på reesrukurkurve der beds mulig fier de observere ulkuporeer. Eksempel: Nielso-Siegel-model: Forwardreer r( = a + be + cte e + d T e Paramere der skal esimeres: a, b, c, d, f T e hvor T = f 9 3
Nulkuporeesrukure Nulkuporeesrukure ka fx se således ud: Reesrukur Arbirage Dages forelæsig % 4% 3% 3-9- 3-9-3 9-9-4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig % % Forwardreer %,, 4, 6,,,, 4, 6,,,, 4, -% 3 3 Forward reer Tro de eller ej vi skal have fa i edu e ree! Illusraio: Forward reer Defiiioe på e forward ree: E forward ree er e ree på e i dag idgåe afale om e lå mellem o fremidige idspuker. Nuidsværdie af dee afale er ul. Forwardree! s Tid f (,s) Pege lå her og skal beales ilbage her forrees med E forward ree mellem periode og s (med årlig reeilskrivig) beeges: ( s) f, Hvorda fides f (,s) så? bey ige arbirage pricippe Reeilskriviger pr. år Sar-periode Slu-periode 33 34 Forward reer Forward reer Tag udgagspuk i abel 4. i Claus Muks oa s. 37: Payoff marice: År, y ( % 6% f (-, % Uked! Fid forwardree mellem periode og (dvs. fid f (,)) Tid Køb for kr. ulkupoobligaio med udløb på id Udsed for kr. ulkupoobligaio med udløb på id Lå, kr. mellem periode og il forward ree f (,) - (+,6) =,36 -,, -, x (+f (,)) Bey ige-arbirage pricippe fremfor blo a idsæe al i e formel! 3 I al Ige forpligelser på id,36, x (+f (,)) Alle fremidige bealiger skal være Ellers arbirage! 36 6
Forward reer Dvs.:,36, x (+f (,)) = Rege, Rege f (,) = 7,9% Forward reer s d( = d( s) Geerel: f (, s) Ligesom i abelle! De er vigig a I ka arbejde med de slags arbirage sraegier! I sede for a løse e opgave ved blo a idsæe al i e formel, giver de god øvelse a beye e payoff marice og o arbirage argumeer! 37 Reeoversig Åhh ej Nu har vi fåe edu e ree! Jeg ka ikke overskue de! R: omiel kuporee (kap. 3) r: Kosa diskoerigsree fra kap. 3 (ide vi lære oge om ulkuporeer) y: Effekiv ree (kap. 3) y : Effekiv ree på e ulkupoobligaio med é reeilskrivig årlig f (,s): Forwardree mellem periode og s med é årlig reeilskrivig 3 7