Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Transkript

1 Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug mellem o varer. Formåle er a få mere generelle relaioner end med den almindelige CESnyefunkion. Især ønskes de a få en funkionel form, hvor indkomseffeker kan spille ind. Den udlede relaion kan ses som en ligevægsrelaion, og dynamik kan lægges ind ad hoc. Dee giver, al efer hvordan dynamikken indlægges, forskellige resrikioner. Alernaiv il a indlægge dynamik ad hoc kan laggede endogene variabler inkluderes i effekiviesindekse, hvilke vil give en dynamisk ligning med en alernaiv resrikion end den give for ad hoc modelleringen. Hvad enen resrikerede eller uresrikerede funkionelle former benyes, så kan ligningerne i dee papir benyes som skabelon il a dele forbrug ud på o undergrupper. GRH806 Nøgleord: CES-funkion, effekiviesindeks, forbrug Modelgruppepapirer er inerne arbejdspapirer. De konklusioner, der drages i papirerne, er ikke endelige og kan vfre Fndre inden opsillingen af nye modelversioner. De hensilles derfor, a der kun cieres fra modelgruppepapirerne efer afale med Danmarks Saisik.

2 . Indledning Flere seder i modellen har de være måle a dele forbruge ud på o underkomponener. Eksempler er bolig og resforbrug, biler og resforbrug sam benzin og offenlig ranspor. Dee er ypisk gjor ved hjælp af en lineær fejlkorrekionsmodel uden eoreisk grundlag. I dee papir opsilles e delvis eoreisk grundlag for disse modeller. Sammen med dee grundlag eableres en kriik af, hvad der kan gå gal i disse modeller. Der argumeneres for, a alle sådanne fordelingsmodeller esimeres på baggrund af relaive forbrug. Med hensyn il valge mellem kollekiv ranspor og benzin benyes en CESfunkion, jf. RHM0. I MAR30900 foreslås de a benye denne fremgangsmåde il a esimere hele forbrugssyseme. Den sore ulempe ved denne fremgangsmåde er, a indkomselasicieerne med almindelige CESnyefunkioner er bunde il a være ens for alle varer. Dee er en mege urimelig anagelse især hvis for eksempel ranspor skal deles ud mellem biler og benzin, ide indkomselasicieen for biler må forvenes noge højere end for benzin. På baggrund af den effekiviesudvidede CES-nyefunkion give i dee papir er en srukur som foreslåe i MAR30900 mulig uden a påvinge ens indkomselasicieer. Almindelig praksis for mange ligninger er a have en ligevægsrelaion opbygge på baggrund af eorien og herefer benye den i en fejlkorrekionsrelaion. Dee er for en enkelligning i e sysem, hvor forbrug skal deles ud på o varer uhænsigsmæssig. Til gengæld er de en mulig fremgangsmåde, hvis der kigges på de relaive forbrug. Baggrunden for en fejlkorrekionsmodel er rægheder. Al efer hvad der berages som ræg ændres fejlkorrekionsmodellen. I de flese ilfælde er de dog blo parameerresrikioner der ændrer sig. I dee papir gennemgås mange forskellige måder a formulere ad hoc dynamik. Ønskes en mere eoreisk fundere dynamik er dee også mulig blo ved a udvide effekiviesindekse med laggede endogene variabler. Dee vil normal gøre opimeringsprobleme dynamisk og noge vanskeligere a løse. Ses bor fra de dynamiske link er de dog mulig a få en srukur, der ligner den ad hoc-model, som blev opsille idligere. Enese undagelse er en parameerresrikion på den korsigede priselasicie. I kapiel findes de relaive forbrug på baggrund af en effekiviesudvide CES-nyefunkion. De fundne opimale relaive forbrug berages i kapiel 3 som e ligevægsforbrug, og forskellige måder a indføre ad hoc dynamik diskueres. Hvordan budgee over e qvisprisindeks kan approksimere nyen gennemgås i kapiel 4. Kapiel giver en funkionel form, der sammen med den mes generelle ad hoc dynamik kan benyes il esimaion. Udledning af en mere eoreisk underbygge dynamisk relaion udledes i kapiel 6. Endelig kommer en konklusion i kapiel 7.

3 3. Effekiviesudvide CES-nyefunkion Udvides CES-nyefunkionen med e effekivesindeks får den formen: ( / ( / ( θ( ( θ( /( U( x, x = e x + e x (. hvor U er nyen, x og x er inpu-goder il nyefunkionen, θ og er e e U e = e U er effekiviesindekse. paramere, mens = ( og ( For e give nyeniveau U = U ønskes de a minimere udgifen il vare og. Opimeringsprobleme er give ved: min c p, p, U = p x + p x x, x s.. ( ( ( ( θ ( ( /( ( / ( / θ e U x e U x + = U På baggrund af dee kan følgende Lagrangefunkion opskrives: L= px+ px ( / ( / /( λ θ( e( U x ( θ ( e( U x + U Førse-ordensbeingelserne il Lagrangefunkionen er give ved: L / ( ( ( / = p / λθu e U x = 0 x L / ( ( ( / p / = λθu e U x = 0 x L /( U ( e ( U x ( / ( / ( ( e ( U x = θ θ + = 0 λ Ligning (.4 og (. giver de relaive forhold mellem de o varer: ( ( (. (.3 (.4 (. (.6 x θ e U = (.7 x θ p e U Dee adskiller sig fra sandard ved, a de relaive forhold mellem varerne afhænger af nyeniveaue. Isoleres vare i ligning (.7, indsæes i ligning (.6 og isoleres vare fås: ( ( x = θ + ( θ ( θ p ( e( U U (.8 e( U e( U og indsæes (.8 i (.7 og isoleres vare fås: ( ( x = θ + ( θ θ p ( e( U U (.9 e( U e( U

4 4 Indsæes (.8 og (.9 i omkosningsfunkionen i (. fås den opimale omkosningsfunkion: ( ( C ( p, p, U = θ + ( θ U e( U e( U (.0 Skal den minimale formue være mindre eller lig beløbe w, så findes nyen U implici som funkion af priserne og beløbe w: ( ( U = θ + ( θ e( U e( U w (. På baggrund af ligning (. kan ligning (.8 og (.9 omskrives il: x = ( θ wu / ( p, p, w og (( U ( p p w ( e U( p p w ( ( +,, +,, x = θ ( wu / ( p, p, w (( U ( p p w ( e U( p p w ( ( +,, +,, Ovensående ligninger skal benyes i afsni 3. (. (.3 Ligning (.7 kan omskrives il: x ( ( e U p, p, w = α0 + ( (.4 x p e( U( p, p, w θ hvor α0. Tilsammen giver ligning (. og (.4 den relaive θ mængde af vare og som funkion af priser og indkoms. 3. Ad hoc dynamiske ligning Der findes flere forskellige måder a indføre dynamik i modellen. I dee afsni præseneres flere forskellige måder. De er dog alle mere eller mindre ad hoc. Ligning (.4 berages som en ligevægsrelaion, der gælder, hvis begge varer kan ilpasses uden problemer. For varige varer vil ilpasningen på grund af købs- og salgsudgifer ikke være øjeblikkelig. Endvidere kan der være vaneelemener, som gør ilpasningen ræg for selv ikke-varige forbrugsgoder. Dee beyder, a ligning (.4 kun udgør de ønskede relaive forhold og bør skrives: x ( (,,,,, e U p, p w = α0 + ( (3. x, p, e( U( p,, p,, w

5 Der er re måder a berage ræghed i varerne på. Den ene er, a de relaive forhold mellem de o varer er ræg. Alså en ræghed i x, / x,. Alernaiv kan de relaive forhold mellem de effekive enheder berages som ræg. Dee giver en ræghed i e, x, / e, x,. Endelig kan de o varer berages som ræge hver for sig. Er ilpasningen x, / x, ræg, hvor φ af ændringen ilpasses umiddelbar, mens den reserende del ilpasses med γ i hver af de følgende perioder fås: x, x, x, x, D = φd γ + J (3. x, x, x, x, hvor J er e fejlled besående af andre ændringer. Hvilke kan omskrives il: x ( (,,,,, e U p, p w D = φ D + φ ( D x, p, e( U( p,, p,, w (3.3 x, x, γ + J x, x, Resrikionen på paramerene er her, a forholde mellem ilpasningen for priser og indkoms er de samme for umiddelbare sød og sød fra idligere perioder. Er ilpasningen af e, x, / e, x, ræg, så vil ændringer i effekiviesindeksene umiddelbar slå igennem i x, / x,. I dee ilfælde kan den dynamiske relaion opskrives som: e, x, e, x, D = φd e, x, e, x, e, x, e, x, γ + J (3.4 e, x, e, x, Denne ligning kan omskrives il: x ( (,,,,, e U p, p w D = φ D + ( φ D x, p, e( U( p,, p,, w (3. x, x, γ + J x, x, Den korsigede ilpasningsdynamik er alså afhængig af, hvilke forhold der er ræg. Ulempen ved ovensående meode er, a ræghed i forholde mellem o varer er lid svær a forolke. Berages varerne som ræge hver for sig. Er de frisende a opskrive ligningerne hver for sig på samme måde som ovenfor, hvilke beyder, a φ af

6 6 ændringen ilpasses umiddelbar, mens den reserende del af forskellen il ligevægsniveaue ilpasses med γ i hver af de følgende perioder. Hermed kan eferspørgslen efer vare skrives som: D ( x, = φd ( x, γ( ( x, ( x, + J, (3.6 og eferspørgslen efer vare kan skrives som: D ( x, = φd ( x, γ ( ( x, ( x, + J, (3.7 I ovensående ligninger er de fejlleddene, som skal sikre, a budgebeingelsen er overhold. Dee beyder, a hvis fejlleddene i fremskrivninger sæes il nul, så vil budgeresrikionen ikke holde, hvilke beyder a delkomponeneerne ikke summer il den samlede udgif. Baggrunden for inkonsisensen er, a budgee er overhold i ligevæg. Så når ligevægen kun ilpasses delvis, så vil e mindske budge beyde overforbrug af de enkele varer og e øge budge beyde underforbrug. Endvidere vil parameeresimaerne blive skæve, da fejlleddene på ingen måder har pæne egenskaber. E alernaiv er a esimere den ene ligning og besemme den anden residual. Dee er ilfælde for eksempelvis boligforbruge i den nuværende modelversion. Fordelen ved dee er, a de sikrer, a budgebeingelsen er overhold selv når fejlledde er lig nul. En ulempe er, a forudsigelserne er afhængige af, hvilken vare de vælges a modellere. Endvidere vil paramerene sadig være skæve, da ligningen sadig er inkonsisen. E alernaiv er a benye (3.6 og (3.7 il a opskrive den relaive ændring i de relaive forbrug: x, D = φd( x, φd ( x, γ( ( x, ( x, x, (3.8 γ x x + J hvor J ( J, J,. ( ( (,, Anages de, a ilpasningen il ligevægen er ens for de o goder alså γ = γ, så fås: x, x, D = φd ( φ φ D ( x, x, x, (3.9 x, x, γ + J x, x, hvor J J, + J,. Hvis den korsigede ilpasning af begge varer også er idenisk - φ = φ, så vil relaionen kunne reduceres il (3.3. Er den korsigede ilpasning ikke ens for de o varer, så fås:

7 ( (,, (,, x, e U p, p, w, D = φ D + φ( D x, p, e( U p, p, w, ( φ φ D w / U( p,, p,, w (3.0 ( φ φ D ( U( p,, p,, w x, x, γ + J x, x, Denne ligning er ikke speciel køn, men forolkningen er relaiv inuiiv. De førse o led er den umiddelbare ilpasning il den langsigede ligevæg, mens de sidse led er den langsigede ilpasning. De redje led repræsenerer hvordan den ene vare hurigere ilpasser sig priseffeker, og de fjerde led repræsenerer den hurigere ilpasning il indkomseffeker fra denne vare. Fordelene ved den sidse fremgangsmåde er, a budgeresrikionen auomaisk er overhold, og a fejlledde har noge bedre egenskaber. De forvenede fejlled vil ikke på samme måde være posiiv korrelere med indkomsen, da der nu er modsareede effeker. Ulempen er dog, a parameerresrikionerne bygger på o ligninger som hver for sig er inkonsisene. Endelig kan de acceperes, a de på baggrund af ad hoc formuleringer ikke er mulig a udlede korreke parameerresrikioner. De må erkendes, a de forskellige paramere er rerikerede il a opfylde hel beseme forhold, men samidig er de sande resrikioner ukende og påføres derfor ikke. Under en sådan formulering kan al smides ind, så længe der er frihedsgrader nok. E eksempel er: x ( (,,,,, e U p, p w D = φd + φd x, p, e( U( p,, p,, w (3. x, x, γ + J x, x, De er dog mulig a indføre dynamik uden a berage ligning (.4 som en ligevægrelaion. De er mulig, a effekiviesindeksene afhænger af sidse periodes nye og af vareforholde i sidse periode. Dee vil indføre dynamik, men hvis der ages hensyn il a nuidige forbrug kan influere fremidig nye, så kan opimeringsprobleme ikke løses i en saisk model. Den nemmese vej il a løse dee problem er en anagelse om, a fremidig nye ikke væges i opimeringen. Hvorfor dee skulle være ilfælde er uvis, men denne ad hoc anagelse vi sandsynligvis ikke være værre end den måde dynamikken er indfør i dee kapiel. Denne måde a indføre dynamik bliver beskreve i e senere kapiel. 7

8 8 4. Implemenering af eksogen qvisindeks Efersom nyen ikke er eksplici give i ligning (. kan der ikke udledes e eoreisk korrek analyisk udryk for prisen for en nyeenhed. qvis indekse kan dog approksimere prisen på en nyeenhed: w P (3. U ( p,, p,, w qvisindekse er give ved: ( s, + s, ( s, + s,,, P = P (3.3 p, p, p, x, hvor s = for i=,. Umiddelbar afhænger qvisindekse både af i, p, x, + p, x, samme periodes priser og mængder, og hermed også af nyen. Dee beyder, a man heller ikke ved a benye dee uden yderligere anagelser kan finde en eoreisk korrek approksimaion for prisen. Berages qvisindekse som eksogen og uafhængig af priser og mængder, så kan ligningerne esimeres ved simpel OLS. Parameeresimaerne vil ikke være konsisene, men skævheden er muligvis begrænse. Under ovensående anagelser kan fejlkorrekionsligningen opskrives som : x, p, p, D = φ D + φ D x, P P w + ( φφ D P (3.4 w + φ ( D e P x, x, γ + J x, x, hvor de ønskede relaive forhold er give ved: x,, w = α0 + ( e x, p, P (3.. En funkionel form for effekiviesindekse Indil nu har effekiviesindekse være angive generel. For a få en modellering, der minder om den nuværende, vælges en ganske besem funkionel form give ved: λ e ( U U α = U exp( Dummies α exp α 3 + (. e ( U λ Noaionen er uændre selvom paramerene og fejlledde sreng age ikke er de samme.

9 9 hvor Dummies er en vekor af dummy-variabler, og sidse led er en isisk rend. I lang de flese ilfælde vil α = α 3 = 0 vælges. Dog vil de i visse relaioner vælges a indføre dymmyer eller alernaive indkomsrender. Benyes qvisindekse og berages de som eksogen, kan arimen il effekiviesindekse skrives som: e ( U w = α + Dummies α e ( U P λ (. ( w / P + α 3 + λ På baggrund af ovensående kan ad hoc fejlkorrekionsmodellen, hvor paramerene er frie opskrives som: x,, w α D = βd + βd + D ( Dummies β x, p, P α α ( w P / 3 + β D α + λ x, x, γ + J x, x, hvor β = φ, β = φ α, αi = ( αi for i=,,3, og de ønskede relaive forhold er give ved: λ (.3 x,, w = α0 + α x, p, P λ (.4 ( w / P + Dummies α + α 3 + λ De bør nævnes, a α 3 besemmes udelukkende på baggrund af den funkionelle form. 6. Effekiviesindeks med dynamik Acceperes anagelsen om, a fremidige nyer ikke påvirker den nuværende forbrugsbesluning, så kan laggede endogene variabler inkluderes i effekiviesindekse, og dynamik kan inkluderes mere formel. I dee ilfælde vælges også en besem funkionel form, som minder mege om den ovenfor. Logarimen il effekiviesindekse er således, når qvisindekse benyes, give ved:

10 0 λ e U = α ( U + Dummies α + α + λ, 3 e, α ( U x α, x, (6. Indsæes (6. i (.4 kan den omskrives il: x,, w β D = ( ββ 6 D + βd + D ( Dummies β 3 x, p, P β λ β ( w / P + β4 D β + λ (6. x, x, + β 6 + J x, x, hvor β ( α, ( ( α + α4 ( β, β α, ( α 3 ( α ( α3 β4 ( α, β ( α4, β6 ( ( α, og ligevægsrelaionen er give ved: x,, w = β0 + β + β x, p, P λ (6.3 ( w / P + Dummies β3 + β 4 + λ α0 hvor β 0 ( α. Denne relaion er magen il den, hvor dynamikken er indbygge ad hoc. Enese forskel er resrikionen på den korsigede priselasicie, som siger, a den umiddelbare ilpasning il ligevægen på baggrund af priser er den samme som den langsigede ilpasning. 7. Konklusion Hvad enen dynamikken for de relaive forbrug udledes på baggrund af a inkludere laggede endogene variabler i nyefunkion eller påsuleres ad hoc, så fås samme relaion. Forskellen er blo nogle resrikioner pålag parameeresimaerne. Disse relaion kan benyes som skabelon alle seder, hvor de ønskes a dele forbrug ud på o underkomponener. Forhåbenlig kan dee også danne basis for en reformulering af forbrugssyseme, hvor al forbrug deles ud på baggrund af nesede CES-nyefunkioner med effekiviesindeks.