Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider. Keplers vintønder Kepler fortæller selv om hvordn hn i lev optget f prolemerne med opmåling f vintønder: "D jeg i novemer sidste år hvde hjemrgt en ny kone til mit hus, vr det netop på dette tidspunkt, t en omfttende og lige så fremrgende vinhøst lev ført op på utllige prmme lngs Donu, og overfloden f denne rigdom lev fordelt til vores Noricum (Østrig), så hele flodredden i Linz vr overstrøet med vintønder, der lev tiludt til en overkommelig pris. Fordi min pligt som ægtemnd og en god fmiliefder krævede t jeg forsynede mit hus med det nødvendige lger, lod jeg mnge tønder hente til mit hus, for t opevre dem der. Fire dge senere kom nu sælgeren med en målestok (visierrute), som hn rugte som det eneste værktøj, for t opmåle lle tønder uden t tge hensyn til deres form eller foretge eventuelle eregninger. Hn stte spidsen f jernstngen skævt ned i spunsen f den fulde tønde indtil den nåede unden f det cirkulære trælåg, som vi i det lokle sprog klder sen. Når hn på denne måde hvde fundet egge sider f længden fr toppen f fdrundingen til det lveste punkt i de to cirkulære ser, fndt hn på stven det mærke, der svrede til det punkt, hvor denne længde ophørte, og ngv ntllet f spnde vin, der vr hældt op i tønden, og stte det fstlgte ntl i forhold til prisen. Det virkede underligt, hvis det skulle være muligt t fgøre rumfnget f en hlv tønde lene ud fr den fstlgte linje på tværs f tønden, og jeg vr i tvivl om pålideligheden f disse målinger. " Kepler kstede sig strks over prolemet med såvel t finde rumfnget for vintønden teoretisk som t ngive prktiske metoder til opmåling f vintønder. Resulttet lev skriftet Stereometri Doliorum Vinrium (rumfngseregninger for vintønder) fr 5, som hn indledte med et længere supplement til Archimedes, hvor hn forenklede Archimedes rgumenter for rumfngseregninger f omdrejningslegemer fremrgt f keglesnit. Det lykkedes Kepler t udvide repertoiret for legemer, som mn kunne finde rumfnget f. Fx fndt hn rumfnget for en torus (dering) og det lykkedes også t finde pssende modeller for vintønder, så hn kunne håndtere prolemet teoretisk. Ideen med rugen f en visierrute (målestok) kn forklres således: Hvis tønden hvde form som en cylinder kunne mn hve rugt en såkldt plnimetrisk viserrute Opmåling f vintønder (Kilde ukendt). Vintønden opmåles med en målestok. (se yderligere: www.keplerrum.t) Opmåling f vintønder (Kilde: Adrinus Metius ). Vintønden opmåles ved t finde længderne OB og OE fr spunshullet O til undpunkterne B og E. Visierrute (00-tllet, Dresden) i træ med sølveslg. (se yderligere: http://skd-onlinecollection.skd.museum/de/contents/show?id=50475) 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider forsynet med en lineær skl til opmåling f fstnde og en kvdrtisk skl til ngivelse f (cirkelformede) reler. Ved t stikke viserruten lodret ned gennem spunshullet kunne mn derfor finde tværsnitsrelet, ved t holde den på lngs f tønden kunne mn finde tøndens dyde. Produktet f de to giver nu netop cylinderens rumfng: V= Ah. Men de østrigske vintønder måles med et kuisk visier eller et såkldt digonlvisier, der ngiver rumfnget direkte. Det ygger på det forhold t for to ligednnede vintønder er forholdet mellem rumfngene det smme som kuen (dvs. tredje potens) på forholdet mellem digonlerne. Det forudsætter t østrigske vintønder ygges i et estemt forhold mellem højde og redde. Kepler fndt d t forholdet for østrigske vintønder fktisk er optimlt, jf. projektet Keplers vintønder, B-ogen, kpitel 4. Vintønder kn i første tilnærmelse modelleres med en cylinder, i nden omgng med to keglestue, se figur. Opmåling f vintønde med plnimetrisk visierrute (Kilde:Adm-Ries-museum, illede fr vinkælderen ygget c. 500). Annerg-Buchholz, Tysklnd (grænsen mod Tjekkiet). D Øvelse N X ) Gør rede for t den indskrevne cylinder med højden h fremrgt f endeflden med dimeteren d og den omskrevne cylinder fremrgt f ugen med dimeteren D hr rumfngene Vindskreven cylinder d h π π =, Vomskreven cylinder = D h. 4 4 A H E P M L K F S R Q O C V Y G ) Gør rede for t de to keglestue tilsmmen hr rumfnget π Vto keglestue = ( D + D d+ d ) h 4 I T Z Keplers tønderegel fremkommer ved en simpel modifiktion f reglen for keglestuene. De to keglestue giver et resultt, der er lidt for lille: Ved t ersttte d med D i det midterste produkt Dd fås et lidt større rumfng, der ligger mellem de to keglestue og den omskrevne cylinder: Sætning : Keplers tønderegel En vintøndes rumfng er med tilnærmelse givet ved π V» ( D + d ) h Øvelse For Østrigske vintønder fndt Kepler t der med god tilnærmelse gælder h= d. Gør rede for t rumfnget f den indre cylinder med god tilnærmelse er givet ved V = 0.0 s hvor s er længden f visieret (Keplers visierregel). B Keplers figur til modellering f Østrigske vintønder. Den østrigske vintønde hr form som en udulet cylinder, eller mere præcist: Mn kn tænke på den som værende smmenst f to keglestue, hvis modstte ender er skåret i gennem f trælåg, og deres fælles sis, der dskiller de to keglestue, udgøres f den største cirkel lngs ugen f tønden. I figuren er HEFG cylinderen, ABC den ene kegle, og den nden strækker sig tilsvrende fr AC til ND. Den ene fgrænses f en fstumpet keglespids EBG, den nden fskæres f HF. De to keglestue udgøres f AEGC og AHFC, med den fælles grundflde AC. 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Men for t få lvor styr på krumningen må Kepler kigge på omdrejningslegemer fremrgt f krumme kurver, og her støtter hn sig især til den omfttende teori for keglesnit, der vr overleveret fr ntikken. Men det lykkes ikke for Kepler t finde en generel metode til rumfngseregninger og hn støder flere steder pnden imod en mur. Hvd der gælder for cylindrene og keglestuene kn også nvendes på en tønde, fordi den kun fviger lidt fr den cylindriske form, ligesom formen f de to keglestue fviger endnu mindre, så længe stvene på tønden, som her repræsenteres f kurven CRF kun uer lidt udd. Øvelse Kepler forfiner også modellen for en vintønde ved t inddrge keglesnit: På fuldstændigt smme måde er den midterste del f enhver tønde fremrgt f en cirkelformet udsnit f en citron eller et lodret elliptisk segment eller en prolsk lomme, men for det meste en hyperolsk spindel med lige store fskårne stykker fr toppunkterne på egge sider. Grunden til t jeg fremhæver den hyperolsk spindel er t tønderne fortrinsvis krummer på midten, og t de går over i en kegleflde mod enderne, så t låget lettere kn sluttes til og dermed fæstnes edre. Dette er fktisk tilfældet for egge hyperlerne og de derf fremrgte spindler idet deres grene grdvist overgår fr krumningen i midten til de retlinjede symptoteretninger. Det smme gælder i et vist omfng også den prolske spindel og den elliptiske lomme; tydeligst er det dog ved den hyperolske spindel, noget mindre ved den elliptiske lomme, om end ikke for enhver omdrejningsellipsoide, kun dem, der er fremrgt f et lodret ellipsesegment, hvis kse efter fstumpningen ikke når helt op til rændpunktet; den smme egrænsning gælder for den prolske spindel. I en oliven, som er fremrgt fr et punkt mellem toppene f ellipsesegmentet, finder det modstte sted, fordi den ud mod enderne øjer krftigere end i midten og dermed fviger mere fr tøndefiguren. Alligevel vil jeg ikke enægte, t mn nogle gnge kn støde på en tønde, der hr form som en fskåret oliven, men ikke på grund f en tilsigtet udformning fr håndværkeren, men på grund f en fejl i udførslen. Læs eskrivelsen igennem og prøv t illustrere Keplers rug f keglesnit og frugter til t modellere en vintønde. Hvd er fx en citron, en lomme, en oliven? (I sin og enytter Kepler også æler og kvæder som modeller for rumlige legemer J) Betydningen f Keplers vintønder er derfor først og fremmest t hn stimulerede integrlregningens udvikling: Hns udfordringer lev tget op f især de itlienske mtemtikere Cvlieri og Torricelli (elever f Glilei). Først med den generelle metode udviklet f Newton (og ufhængigt herf f Leiniz) lykkedes det t finde en generel metode til rumfngseregninger. Smtidigt lykkedes det t systemtisere rumfngsformlerne og påvise t et forløffende stort ntl rumfngseregninger kn føres tilge til en enkelt universel formel, prismtoidformlen.. Newtons prismtoidformel Eksempel: Moskv ppyrussens formel for rumfnget f en pyrmidestu. Ifølge et tleksempel fr Moskvppyrussen (se Hvd er Mtemtik? C, eksempel.4, henholdsvis projekt.) er rumfnget f en pyrmidestu med kvdrtiske endeflder givet ved formlen V = + + h hvor og er knterne i endeflderne og h er højden f pyrmidestuen. Spørgsmålet er nu dels, hvordn mn kn udlede en sådn formel, dels hvordn mn kn forstå formlen? Vi emærker d først t hvis vi ruger formlen for en pyrmides rumfng Volumen = højde grundflde fås V = h - h = ( h+ h ) - h = h + h - h = h + h - Vi udnytter t h = h+ h Vi gnger prentesen ud Vi sætter h uden for en prentes h h h 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Men f ligednnethed fås nu h = h h = h+ h h = h + h h ( - ) = h Vi udnytter t h = h+ h Vi gnger overkors Vi smler leddene med h = h Vi isolerer h - Indsættes det i rumfngsformlen fås netop Moskv ppyrussens formel V = h + h - = h + h - - - = h + h - = h + h ( + ) = h + h + h = h + + Vi indsætter udtrykket for h på venstre side Vi flytter rundt på fktorerne i sidste led Vi forkorter røken ved hjælp f kvdrtreglen - = ( + ) ( -) Vi gnger prentesen ud h Vi sætter h uden for en prentes Men hvordn skl vi nu tolke denne formel? Den minder om formlen for rumfnget f en pyrmide, idet den sidste fktor + + kn tolkes som et rel. De to yderste led er simple nok: Det er relet f undkvdrtet henholdsvis relet f topkvdrtet. Men hvordn skl vi forstå det midterste led? Her kn mn få den ide t kigge på relet f et tværsnit midtvejs i pyrmidestuen. Det tilhørende kvdrt hr d sidelæng- + æ+ ö den og dermed relet ç = 4 ( + + ). è ø Læg mærke til hvordn det egynder t ligne rumfngsformlen for en pyrmidestu. Vi giver nu rumfngsformlen lidt mssge ( ) ( ) V = h + + = h + + = h + + + + ( ) ( ) 4 = h + + + = h + + + 4 ( top 4 midt und ) = h A + A + A Dette er netop prismtoidformlen for en pyrmidestu! Vi dividerer med udenfor prentesen og gnger med inde i prentesen. Vi omformer til + og tilsvrende for Vi smler de midterste led til kvdrtet på en toleddet størrelse Vi gnger og dividerer det midterste led med 4 Vi indsætter formlerne for relerne Det er ikke så svært t vise t den gælder for en vilkårlig pyrmidestu, unset grundfldens form, og t den også udstrækkes til keglestue. Men fktisk gælder den også for fx udsnit f kugler, hvilket vi vender tilge til, så det er klrt t det er en meget omfttende formel. Men præcis hvor omfttede den egentlig vr forlev længe ufklret. h + h h 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk 4
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Det første gennemrud skyldes Newton, der fndt en generel formel til udregning f rumfng fgrænset f pssende polyedre. Sådnne rumfngseregninger hr stor ingeniørmæssig interesse. Når mn fx skl nlægge veje hr mn rug for t vide hvor meget jord mn skl ortskffe (eller fremskffe) og meget ofte kn mn modellere udgrvningen med en prismtoid, dvs. et polyeder fgrænset f to prllelle polygoner som endeflder, hvor polygonerne ikke ehøver t hve smme ntl hjørner. Mn kn ltså tænke på prismtoiden som en -dimensionl generlistion f et trpez. Prismtoiden hr sideflder, hvis knter forinder hjørnerne i disse to polygoner. Sideflderne er ltså enten treknter eller firknter. En endeflde kn også udrte til et linjestykke eller et punkt, hvorfor prismtoider omftter ikke lot prismer, men også kiler, pyrmider, pyrmidestue osv. Newton fndt rumfnget ved t skære prismtoiden over med en pln midtvejs mellem endeflderne. Derved fås et tværsnit, der selv er en polygon. Vælges et indre punkt O i dette midtertværsnit, kn vi splte prismtoiden i et ntl pyrmider fgrænset f enten endeflderne eller sideflderne. Newton hvde ikke svært ved t finde rumfnget for hver f disse pyrmider: O C D A E F B O C A D O C D A A B h A B E F 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk 5
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Endeflderne hr relerne A og A. De tilhørende højder for pyrmiderne udgør den hlve højde f prismtoiden. Deres idrg til rumfnget er derfor givet ved V = A h= A h og V = A h= A h Sideflderne er lidt mere indviklede. Vi ser på sideflden ABCD som et eksempel. Det er en firknt, men ikke en vilkårlig firknt: Det er nødvendigvis et trpez! Treknten ABC udspænder nemlig en pln, der også må indeholde D. Men dette pln skærer de to prllelle endeflder i to prllelle snit, dvs. AB er prllel med CD. Midtvejs mellem de to prllelle knter AB og CD finder vi netop grundlinjen i treknten OEF. Grundlinjen EF er derfor gennemsnittet f de to kntlængder AB og CD. Hvis midtertværsnittet OEF står vinkelret på sideflden ABCD gælder derfor den følgende snedige omskrivning f rumfnget: Volumen[ OABCD] = højde[ O - ABCD] Arel[ ABCD] = højde[ O - ABCD] h længde[ EF] = højde[ O - ABCD] længde[ EF] h = Arel[ OEF] h Men selv om midtertværsnittet står skråt gælder præcis den smme omskrivning stdigvæk på grund f ligednnede treknter, jfr. øvelse 4 Øvelse 4 Hvis vi ser på prismtoiden fr siden, så de prllelle plner gennem sideflderne og midtertværsnittet fremstår som rette linjer, fås som vist en pln figur, der indeholder såvel trekntens højde, som pyrmidens højde og tilsvrende åde fstnden h mellem de prllelle sideflder og grundlinjen i sideflden ABCD. ) Argumentér ud fr ligednnethed t der må gælde højde i pyrmide højde i prismtoid = højde i treknt højde i sideflde ) Argumentér for t den ovenstående formel for rumfnget V = Arel[ OEF] h også må gælde selvom midtersnittet OEF står skævt på sideflden ABCD. Sidefldernes idrg er derfor lt i lt givet ved V = Arel[ VOEF] h+... midt ( ( V )...) = Arel OEF + h = A h midt Det smlede rumfng er derfor givet ved formlen A E O F C D B 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Sætning : Newtons Prismtoidformel Rumfnget f en prismtoid er givet ved V = V + V + V = A + A + A h midt 4 midt Newton selv mente i øvrigt ikke der vr tle om ny viden men lot om en genopdgelse f en gmmel hemmelig viden der gik tilge til ægyptisk visdom. Newton kendte dog ikke til Moskvppyrussen, men støttede sine ntgelser på en lkymistisk trdition, ifølge hvilken grækerne, hvor fx Thles og Pythgors hvde studeret i Ægypten, hvde kendsk til en esoterisk viden om den ægyptiske visdom som ntydet i de såkldte hermetiske skrifter, som Newton vr velevndret i. Hermes trismegistus, Sien (c. 480) Bemærkning: Prismtoidformlen kn også tolkes som t middeltværsnitsrelet er givet ved det vægtede gennemsnit A= A + A + A 4 midt Mn skulle nu tro t en så simpel formel ville finde nvendelse lle vegne i ingeniørrejder mm. hvor mn skl vurdere hvor meget jord mn skl grve væk, hvor meget tømmer mn hr fældet osv. Men i prksis er den for indviklet t ruge, netop fordi den kræver kendsk til tværsnitsrelet på midten. I prksis ruger mn derfor i stedet den simplere formel V» A + A h vel vidende t den i lmindelighed er forkert! Til gengæld er den nem t regne på. Skl det være fint slår mn så efterfølgende op i en tel og finder en korrektionsformel for det givne prismtoid. Men d forskellige prismtoider lt efter deres smmensætning hr forskellige korrektionsformler er også denne metode ret omstændelig i prksis.. Simpsons formel Newton overlod til sin elev Simpson t generlisere prismtoidformlen til omdrejningslegemer fremrgt f pssende keglesnit. Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes det hm t tilkæmpe sig en oglig uddnnelse og siden hen live udnævnt som professor i mtemtik. Selv om hn ikke vr den første til t nvende den nye integrlregning til t finde rumfng lev hns metode hængende, så hn i dg tilskrives æren for t hve fundet den såkldte simpsons formel. I 74 udgv hn Mthemticl disserttions on vriety of physicl nd nlyticl sujects (lndede fhndlinger om emner fr fysik og mtemtik), hvor hn l.. diskuterer den nu erømte tilnærmelsesformel for integrler: 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk 7
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Simpsons ide er t pproksimere grfen c med et stykke f en prel, der går gennem de smme tre punkter, og c og så finde relet f denne pproksimerende prel udtrykt ved ordinterne, dvs. y- værdierne for grfpunkterne. Hns næste træk er elegnt: Hn etrgter prllelogrmmet udspændt f seknten c, der forinder grfpunkterne hørende til endepunkterne A og C og midtpunktstngenten ST hørende til midtpunktet B. Hn konstterer derefter t området mellem midtpunktstngenten og preluen (rødt) netop må udgøre / f prllelogrmmet. Tilsvrende må området mellem preluen og seknten (gult)netop udgøre / f prllelogrmmet. Argumentet er t prlen opfører sig på smme måde som en pyrmide, hvis rumfng netop udgør / højde grundflde og det er den smme tredjedel! I dg ser vi på forskellen mellem midtpunktstngenten (grfen for en lineær funktion) og prlen (grfen for et ndengrdspolynomium). I moderne forstnd udgør denne forskel et ndengrdspolynomium, der er 0 på midten og hr hældningen 0 på midten, dvs. det hr en forskrift på formen y= k x, men Simpson ppellerer selvfølgelig lot til stndrdviden om prler. For t finde relet skl vi integrere forskellen. Stmfunktionen er d givet ved k x og det er præcis herfr tredjedelen kommer. Simpson emærker dernæst t relet f trpezet fremrgt f seknten er for lille, mens relet f trpezet fremrgt f midtpunktstngenten er for stort, og t fejlen hørende til seknten (dvs. det gule område = / prllelogrm) netop er doelt så stor som fejlen hørende til midtpunktstngenten (dvs. det røde område = / prllelogrm). Altså kn vi finde det ekskte rel under prlen som et vægtet gennemsnit, hvor vi tildeler midtpunktstrpezet doelt så stor vægt som seknttrpezet: A A A simpson = seknt + midtpunkt Indsættes relformlen for et trpez, dvs. middelhøjde grundlinje, fås derfor: ( ) ( y 4 y y ) x A = y + y AC + y AC simpson A C B = + + D A B C Sætning : Simpsons formel Hvis fxer et polynomium f grd højst, så er integrlet givet ved ò æ + ö f( x) dx= ç f + 4 f + f( ) - è ø Midtpunktstrpez Seknttrpez 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk 8
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Dette er netop den formel Simpson lev erømt for! Læg mærke til t strukturen for det vægtede gennemsnit er præcist det smme som i prismtoidformlen. Denne formel kn nemt udvides til en opdeling f grundlinjen for et integrl i n lige store delintervller med tilhørende midtpunkter, hvor den fører til pproksimtionsformlen - fx dx» fx + 4 fx + fx + 4 fx +... + fx + fx ò ( 0 n- n ) n Men pointen er ltså også t hvis re f(x) er et polynomium f grd højst følger det f Simpson sætning t ét intervl med tilhørende midtpunkt er nok til t give den ekskte værdi f integrlet! Bemærkning: I B-ogens kpitel 5 er der et projekt, hvor du kn læse mere om de forskellige simple summer, der ruges til pproksimtion f integrler. Simpson fortsætter nu sin undersøgelse f sin sumformel med t kigge på rumfng for omdrejningslegemer, hvor hn specielt interesserer sig for rumfnget f kegler, kugler, ellipsoider eller omdrejningslegemer for de øvrige keglesnit: 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk 9
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Først emærker hn t rumfnget f et legeme ltid kn opskrives som et integrl f tværsnitsrelet ò V = A( x) dx Dernæst emærker hn t tværsnitrelet for et omdrejningslegeme, hvor vi drejer grfen for f(x) omkring x-ksen, netop er det smme som relet f en cirkel med rdius f(x), dvs. V = π f( x) dx ò hvorfor rumfnget f omdrejningslegemet er det smme som relet under grfen for π fx. dv = A(x) dx A(x) A() x x+dx A() Men hvis grfen for fx er en ret linje, dvs. f( x) = x+, en cirkel, dvs. æ xö = - f( x) r x = -, en ellipse, æ xö dvs. f( x) = - ç, en hyperel f x ç eller en vndret prel f( x) = x+, så èø èø er π fx netop et ndengrdspolynomium og vi kn derfor nvende Simpsons sætning på kegler, kugler, ellipsoider, hyperoloider og proloider, hvor vi drejer keglesnittene om en kse. I lle tilfældene fås derfor V = A + A + A L midt hvor L er udstrækningen f legemet, dvs. keglestuen, kuglefsnittet, Men det er jo præcis den smme formel som prismtoidformlen! Prismtoidformlen gælder ltså for ethvert legeme, hvor tværsnitsrelet vrierer som et polynomium f grd højst. J fktisk gælder Simpsons sætning også for tredjegrdspolynomier, men det kn du læse mere om i projektet.xx om forindelsen mellem integrler og summer. Sætning 4: Newton-Simpsons prismtoidformel Hvis tværsnitsrelet A(x) f et legeme fgrænset f prllelle endeflder vrierer som et polynomium f grd højst som funktion f dyden x f snittet, så er rumfnget f legemet givet ved Newton-Simpsons formel: V = A + A + A L midt hvor A og A er relerne f endeflderne, A midt er relet f midtertværsnittet og L er dyden f legemet målt vinkelret på endeflderne. A A midt A L Øvelse 5 Gør rede for t Keplers tønderegel er et speciltilfælde f Newton-Simpsons formel. Øvelse ) Pyrmiden: Gør rede for t tværsnitsrelet for en pyrmide vrierer som kvdrtet på dyden, hvorfor pyrmiden opfylder forudsætningen i Newtons-Simpsons sætning. Gør også rede for t rumfnget f en pyrmidestu følger f sætningen. ) Prismtoiden: Vi lægger et d-koordintsystem, så de prllelle endeflder er prllelle med y-zplnen og dyden måles lngs x-ksen. Betrgt et tværsnit f prismtodien. Gør rede for t hjørnernes y,z-koordinter i tværsnitspolygonen er lineære funktioner f dyden x. Gør rede for t relet f tværsnitsrelet må være et ndengrdspolynomium i x. Vink: Find først en formel for relet f en treknt udtrykt ved hjørnernes koordinter. 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk 0
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider Øvelse 7 Kuglezone: Kugleudsnit: Kuglefsnit (kugleklot): π V = rg + rt + h h V R h V = π rg + h h= π h R- h = π ) Gøre rede for t rumfngsformlerne for kuglezoner, kugleudsnit og kuglefsnit lle følger f prismtoidformlen. Den sidste formel lev enyttet i B-ogens kpitel (polynomier), fsnit, Eksempel: Archimedes' undersøgelse f kuglefsnit, d den viser t rumfnget f et kuglefsnit som funktion f dyden h netop er et tredjegrdspolynomium. Øvelse 8 Omdrejningsproloide: V r h Proloidestu: = π p ( G T ) V = r + r h ) Gøre rede for t rumfngsformlerne for omdrejningsproloiden og proloidestuen egge V = A + A h!) følger f prismtoidformlen (og endd f den forenklede formel Øvelse 9 I B-ogen opgve.49 så vi på rumfnget f en tønde: Figuren viser en tønde, der hr højden h og endefldedimeter d, og hvis dimeter på det redeste sted er D. Tøndens rumfng V er estemt ved V = ( D + dd+ d πh 4 ). 5 ) Find tøndens rumfng ud fr Keplers tønderegel. ) Antg t tønden er fremrgt ved t dreje en ellipse omkring dens storekse. Find konstnterne og i forskriften for ellipsen æ xö f( x) = - ç èø udtrykt ved d, D og h. c) Gør rede for t tønden fremrgt ved t dreje en ellipsoide opfylder forudsætningen i Newton-Simpsons sætning og find den tilhørende rumfngsformel for en ellipsetønde. 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk
Hvd er mtemtik? A, i-og Projekter: Kpitel, Integrlregning. Projekt.9 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismtoider d) Antg i stedet t tønden er fremrgt ved t dreje en prel omkring en linje vinkelret på dens kse. Find konstnterne og c i forskriften for prlen g( x) = c- x udtrykt ved d, D og h. e) Gør rede for t den fremrgte tønde ikke opfylder forudsætningen i Newton-Simpsons sætning. Benyt i stedet integrlformlen V = ò A( x) dx, hvor Ax () er tværsnitsrelet, til t finde den tilhørende rumfngsformlen for en preltønde. tønde f) Udtryk tøndens rumfng på formen V = Vindskreven cylinder px, hvor x er forholdet mellem dimen- D teren i ugen og dimeteren i enden, dvs. x =. Bestem herved polynomiet px hørende til såvel d ellipsetønden og preltønden. Smmenlign de to polynomier. 0 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk