Side f Betonelementforeningen Vibrtionskomfort i dækkonstruktioner Bernt Suikknen COWI A/S,. udgve. Oktober 00. Indledning Komfortkriterier Lstmodel Konstruktionsmodeller 5. Generliseret system 5. Betonelementdæk 6 5 Beregning f lstvirkning 5. Beregning f ccelertion 7 5. Beregning f ækvivlent sttisk lst 7 5. Resonsnlyse 8 6 Beregning og vurdering f ccelertioner fr gnglst 0 Eksemel 7 Beregning og vurdering f ccelertioner fr rytmisk ersonlst Eksemel 8 Referencer
Side f Indledning I dette fsnit gennemgås en beregningsmodel til vurdering f vibrtionskomforten i dækkonstruktioner med dynmisk ersonlst, bseret å EN 99-- DK NA:007. Der skelnes mellem gng og koordinerede bevægelser fr ersoner (rytmisk ersonlst). I første kitel beskrives bggrunden for de funktionskrv, som konstruktionen skl ofylde for t fungere tilfredsstillende. Krvene er bseret å EN 990 DK NA:007. I de følgende kitler beskrives lstmodel, konstruktionsmodel og beregning f lstvirkning. Til sidst vises to eksemler å eftervisning f vibrtionskomfort i en kontorbygning og et fitnesscenter. Komfortkriterier Svingninger f dækkonstruktioner vurderes i forhold til den ccelertion som belstningen fremklder i konstruktionen. Under svingningen vrierer konstruktionens ccelertion mellem 0 og en mksiml værdi. Accelertionen kn enten ngives som den mksimle ccelertion i svingningen ( mx ) eller sredningen å ccelertionen (σ ). Hvis den tidsmæssige vrition f svingningen følger en sinusfunktion er σ mx. Af og til ses bevægelsens intensitet også ngivet i db (i forhold til 0-6 m/s ): db 0 En sredning å ccelertionen å 0,0 m/s svrer således til 80 db. / I det følgende nvendes sredningen å ccelertionen (σ ) som mål for bevægelsens intensitet. I udenlndsk littertur benævnes sredningen å ccelertionen ofte rms (root-men-squre) værdien f ccelertionen. Accetgrænser fhænger f mnge forhold, herunder retning i forhold til rygrden, frekvens og hyighed f betydende svingninger. Mennesker er særligt følsomme for lodrette svingninger (i rygrdens retning) i frekvensintervllet -8 Hz, idet menneskets lveste egenfrekvens er i størrelsesordenen 5 Hz. Tolerncen over for ccelertioner er derfor særligt lv omkring denne frekvens. Hyigheden f betydende svingninger fhænger f risikoen for, t belstningens frekvens flder smmen med gulvets egenfrekvens (gngresonns). Gulvkonstruktioner udført f TT-dæk kn hve flere tætliggende egenfrekvenser end gulvkonstruktioner udført f huldæk og dermed større hyighed f betydende svingninger. Der er dog å nuværende tidsunkt ikke tilstrækkeligt grundlg for t differentiere ccetgrænser mellem de to dæktyer. Grænser for ccetble svingninger kn bl.. findes i ISO 6-:989, hvor udgngsunktet er en bsiskurve som ngiver tærskelværdier for ccelertioner i særligt kritiske rbedsområder, som for eksemel oertionsstuer å hositler og visse lbortorier. Ud fr denne bsiskurve fstsættes komfortgrænsen for ndre nvendelser ved t multilicere bsiskurven med en fktor.
Side f For boliger foreslås en multiliktionsfktor å, om ntten og - om dgen. For kontorreler foreslås en multiliktionsfktor å. Grænser for ccetble svingninger i boliger og kontorer ved forskellige frekvenser er vist å nedenstående figur. Grænseccelertioner, ISO 6- Sredning å ccelertionen [m/s] 0,0 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 Bsiskurve (særligt følsomme områder) Fktor, (Boliger, nt) Fktor (Boliger, dg) Fktor (Kontor) 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00 0 6 8 0 6 8 0 f [Hz] Figur Grænseccelertioner (ISO 6-:989) For en uddybning f ovenstående henvises til B.C. Jensen og S. O. Hnsen: Bygningsberegninger, 00", ref []. I EN 990 DK NA:007 er ccetble sredninger å ccelertionerne (σ ) simlificeret til - 0, % f tyngdeccelertionen for boliger, svrende til 0,0 m/s - 0, % f tyngdeccelertionen for kontorer, svrende til 0,0 m/s - 0 % f tyngdeccelertionen for tribuner, fitnesscentre, sortshller og forsmlingslokler, svrende til m/s. For t undgå, t krvene overskrides kn konstruktionens egenfrekvens holdes over en ssende grænsefrekvens, der fhænger f konstruktionstye og belstning. Hvis konstruktionens egenfrekvens er lvere bør konstruktionens ccelertioner for den ktuelle belstning beregnes og smmenholdes med de ngivne krv til sredning å ccelertionen.
Side f I EN 990 DK NA:007 ngives følgende grænser for konstruktionens lveste egenfrekvens som normlt fører til en tilfredsstillende funktion - 8 Hz for kontorer og boliger - 0 Hz for tribuner, fitnesscentre, sortshller og forsmlingslokler Tilsvrende ngives, t funktionen ofte ikke er tilfredsstillende såfremt lveste egenfrekvens er mindre end - 5 Hz for kontorer og boliger - 6 Hz for tribuner, fitnesscentre, sortshller og forsmlingslokler. Lstmodel For t kunne beregne virkningerne f den dynmiske lst, er det nødvendigt t tilnærme lsten med en sum f belstninger, der vrierer som sinusfunktioner f tiden, f. EN 99-- DK NA:007, k. C.. Personlsten modelleres som en fourierrække bestående f en sttisk lst og tre hrmoniske lstkomonenter med bevægelsesfrekvensen, x bevægelsesfrekvensen og x bevægelsesfrekvensen. ql F + α K sin( ω t + ϕ ),, hvor - F er gennemsnitlig sttisk ersonlst r. m - ω πn er den cykliske bevægelsesfrekvens - α er mlitudefktoren for den 'te hrmoniske lstkomonent - K størrelsesreduktionsfktoren for den 'te hrmoniske lstkomonent, der er en fktor som tger hensyn til t ersonernes bevægelser ikke er fuldt korrelerede. Ved fuldt korrelerede åvirkninger er K. Modellen er illustreret å nedenstående fig.. q L F + α K,, sin( ω t + ϕ ) Sttisk lstndel: F. hrmoniske lstkomonent: F αk sin( ω t. hrmoniske lstkomonent: F α K sin(ω t). hrmoniske lstkomonent: F α K sin(ω t) ) Figur Fourierudvikling f eriodisk funktion. Figuren illustrer det mtemtiske rinci (F (t) å øverste figur er i rksis nturligvis ltid større end 0).
Side 5 f Konstruktionsmodeller. Generliseret system Såfremt mn kun ønsker t undersøge en svingningsform, kn den virkelige konstruktion beregningsmæssigt erstttes f et system med en frihedsgrd, bestående f en msse ohængt i en lineær feder og en viskos dæmer. Ved beregningen erstttes konstruktionens msse, stivhed og lst f den generliserede msse, generliserede stivhed og generliserede krft. Metoden er nærmere beskrevet i f.eks. "B.C. Jensen & S.O. Hnsen: Bygningsberegninger, 00, ref [] og "B. Bonneru, B.C. Jensen og C.M. Plum: Stålkonstruktioner efter DS/EN 99, 008, ref [5]. Modellen er illustreret å nedenstående figur. Figur Én frihedsgrds model med lineær feder og viskos dæmer Cyklisk egenfrekvens: ω k m Egenfrekvens: ω n π I nedenstående tbel er de generliserede størrelser ngivet for - en simelt understøttet bælke med ævnt fordelt msse w og sændvidde l. π x Skønnet svingningsform: ψ ( x) sin l - en rektngulær isotro lde med ævnt fordelt msse w simelt understøttet lngs lle fire sider. Længde l og bredde b. π x π y Skønnet svingningsform: ψ ( x, y) sin sin l b ν betegner Poissons forhold. I tbellen er endvidere ngivet den generliserede krft for en enkeltkrft, F F 0 sin( ω t) å midten og en ævnt fordelt lst, 0 sin( ω t) De generliserede størrelser er især rktiske i regnerk med ldeberegninger, idet der ikke findes færdige formler for nedbøningen f lder. Ved bælkeberegninger er det ofte nemmere t bruge færdige formler for egenfrekvens og nedbøning fr f.eks. teknisk Ståbi.
Side 6 f Konstruktion Generliseret msse (m) Generliseret stivhed (k) Generliseret krft (enkeltkrft å midten) Generliseret krft (ævnt fordelt lst) Simel bælke w l π E I l F0 sin( ω t) l 0 sin( ω t) π Plde w b l EI π π l b + l b ν F sin( ω ) 0 t b l sin( ω t) π 0 Tbel. Generliserede størrelser for simel bælke og lde med enkeltkrft og ævnt fordelt lst. Betonelementdæk Dækkonstruktioner udført f huldækelementer understøttet å lle fire sider kn beregnes som isotroe lder med stivhed svrende til dækelementernes sændretning, såfremt forholdet mellem sændvidde og feltlængde er mindre end c.,5, f. B. Suikknen, F.C. Collette og J. Ligrd: Vibrtionskomfort i huldækkonstruktioner. Undersøgelsesrort, ril 00, ref [ ]. For dækkonstruktioner udført f huldækelementer som kun er understøttet å to sider, regnes den medvirkende ldebredde mksimlt lig med sændvidden, f. ATC Design Guide. Minimizing Floor Vibrtion by, 999, ref. []. For ribbedækkonstruktioner (TT-dæk) kn f. ATC Design Guide. Minimizing Floor Vibrtion by, 999, ref. [] regnes med følgende medvirkende ldebredder: - For ribbedækkonstruktioner uden konstruktiv overbeton kn den medvirkende bredde mksimlt regnes til / f sændvidden. - For ribbedækkonstruktioner med konstruktiv overbeton kn den medvirkende bredde mksimlt regnes til / f sændvidden. Stivhed Det dynmiske elsticitetsmodul for betondækelementer kn vælges 0 % høere end begyndelseselsticitetsmodulet for beton: E dyn, E cok, 5.000 f ck f ck + hvor f ck og E cok regnes i MP. For huldækkonstruktioner kn normlt regnes med E 50.000 MP, f. B. Suikknen, F.C. Collette og J. Ligrd: Vibrtionskomfort i huldækkonstruktioner. Undersøgelsesrort, ril 00, ref [ ]. For lder kn Poissons forhold (ν) sættes til 0,.
Side 7 f 5 Beregning f lstvirkning Konstruktionens skl i henhold til EN 99-- DK NA:007, k. C.5, undersøges for følgende bevægelsesfrekvenser - Resonns, hvor bevægelsesfrekvensen fsses således, t den lveste hrmoniske lstkomonent hr smme frekvens som konstruktionens egenfrekvens - Størst mulig bevægelsesfrekvens 5. Beregning f ccelertion Udbøningen f konstruktionen kn beregnes som den sttiske udbøning gnge frekvensresonsfktoren, H: u H usttisk sin( ω t) hvor frekvensresonsfktor er givet ved H ( η) ( η ) + ς η (5.-) η: Frekvensforhold lstfrekvens/egenfrekvens ζ: Dæmningsforholdet summen f konstruktionens dæmning og ersonernes dæmning. Bemærk t EN 99-- DK NA:007 ngiver dæmningen ved det logritmiske dekrement, δ π ζ H er fbilledet å nedenstående fig., side. Mksiml frekvensfktor H mx fås hvor η (resonns, dvs. lstfrekvens egenfrekvens). ζ Accelertion findes herefter ved t differentiere udbøningen to gnge med hensyn til tiden: d u H u sin( t) sttisk ω ω dt Herf fås den mksimle ccelertion: mx H ω u (5.-) sttisk Sredning å ccelertionen: 5. Beregning f ækvivlent sttisk lst Af formel (5.-) ses, t den sttisk ækvivlente lst for en hrmonisk vrierende lst, FF 0 sin(ω t) kn beregnes som F s H F 0 sin( ω t) hvor F 0 er åvirkningens mlitude. I lstmodellen er belstningen smmenst f en sttisk lst og hrmoniske lstkomonenter. Den smlede sttisk ækvivlente lst er således summen f den sttiske lst og de sttisk ækvivlente hrmoniske lster.
Side 8 f Udtrykket er egentlig ikke helt korrekt, idet krften i fstholdelsen er summen f federkrften og dæmningskrften. Krften er ikke størst ved mksiml udbøning (hvor hstigheden og dermed dæmningskrften er 0). I stedet for H, skulle nvendes forstærkningen: D + ς η ( η ) + ς η I rksis er D H, idet ζ η næsten er nul. I det følgende nvendes udtrykket H for forstærkningen. 5. Resonsnlyse Msse Den kritiske lstfrekvens er normlt konstruktionens egenfrekvens (resonns). Udtrykkes den sttiske nedbøning og den cykliske egenfrekvens ved den generliserede stivhed k, den generliserede msse m og den hrmoniske lsts mlitude F fås: F u sttisk og ω k k m Indsættes disse størrelser i udtrykket for den mksimle ccelertion fås Herf ses, t ccelertionen er omvendt roortionl med den medsvingende msse. Alt ndet lige betyder en fordobling f mssen således en hlvering f ccelertionen. En forøgelse f mssen medfører dog også en mindre egenfrekvens, som kn resultere i, t der skl nvendes en større mlitudefktor α. Eksemel Hvis dækkets egenfrekvens ved en lille medsvingende msse er 5, Hz er mlitudefktoren for den kritiske lstkomonent α 0,06, svrende til en bevægelsesfrekvens å 5,/,7 Hz ved gngresonns. Hvis dækkets egenfrekvens med en lidt større medsvingende msse bliver,8 Hz er mlitudefktoren for den kritiske lstkomonent α 0,, svrende til en bevægelsesfrekvens å,8/, Hz ved gngresonns. Alt ndet lige betyder dette ltså en forøgelse f ccelertionen å 67 % (lt ndet er ikke lige, idet bl.. mssen er forøget, hvilket betyder en formindskelse f ccelertionen roortionlt med mssen). Det er derfor vigtigt, t regne med lidt forskellige forudsætninger når mn nlyserer sin dækkonstruktion.
Side 9 f Lstfrekvens og dæmning Frekvensresonsfktoren H er illustreret å nedenstående figur. Frekvensresonsfktor, H 00 50 5 6,7 0 0, ζ 0,0 ζ0,0 ζ0,0 0,0 Figur Frekvensresonsfktoren som funktion f frekvensforholdet for dæmningsforholdene ζ 0,0, 0,0 og 0,0. Af figuren ses, t 0, 0 Frekvensforhold, η lstfrekvens/egenfrekvens - hvor lstfrekvensen er væsentlig mindre end konstruktionens egenfrekvens kn lsten regnes sttisk (kvsisttisk lst). - hvor lstfrekvensen er nær konstruktionens egenfrekvens sker der en betydelig forstærkning f den sttiske lst. Ved et tyisk dæmningsforhold å 0,0 forstærkes lsten således med en fktor 5. Jo større dæmningsforholdet er, o mindre er forstærkningen. - hvor lstfrekvensen er større end gnge konstruktionens egenfrekvens sker der en dæmning f lsten. Dæmningsforholdet er smmenst f to bidrg. Et bidrg fr ersondæmningen og et bidrg fr konstruktionens dæmning. Persondæmningen tger hensyn til, t lle ersoners bevægelser ikke otræder ved kun en frekvens (nogle virker som dæmere ). Der skelnes mellem to tyer konstruktionsdæmning - Modldæmning, som ngiver dæmningsforholdet ved en vedvrende svingning - Dæmning fr måling f en stødåvirkning, hvor mlitudereduktionen måles efter stødåvirkningen ("Log-decrement dming")
Side 0 f Modldæmningen, som er relevnt ved beregning f vibrtioner fr gng og rytmisk lst, er c. hlvdelen f Log-decrement dming. Modldæmningen for en dækkonstruktion fhænger meget f indretningen og ikke-bærende komonenter (lette skillevægge, lofter, møbler mm). Dæmningsforholdet for den rå konstruktion kn være meget lv (ζ < 0,0). Ikke-bærende komonenter kn medføre t dæmningsforholdet øges helt o til ζ 0,05. Eksemler å tyiske dæmningsforhold (smlet modldæmning fr konstruktion og ersoner): - Trækonstruktioner ζ 0,0 (EC 5, k. 7.. ()) - Præfbrikerede betonkonstruktioner (med ræfb. beton- eller stålbælker) - gngreler ζ 0,0 (ATC Design Guide) - irløst kontor med få skillevægge (nvendes normlt) ζ 0,0 (ATC Design Guide) - lmindeligt møbleret kontoretge med lve skillevægge ζ 0,0 (ATC Design Guide) - indretning med cellekontorer og etgehøe skillevægge ζ 0,05 (ATC Design Guide) 6 Beregning og vurdering f ccelertioner fr gnglst Som det fremgår f fsnit 5 kræver beregning f den mksimle ccelertion kun kendskb til nedbøningen fr den sttiske lst i det kritiske unkt, konstruktionens egenfrekvens og dæmningsforholdet. Accelertionen kn herefter beregnes f formel (5.-). Konstruktionen skl undersøges for følgende bevægelsesfrekvenser - Resonns, hvor bevægelsesfrekvensen fsses således, t den lveste hrmoniske lstkomonent hr smme frekvens som konstruktionens egenfrekvens - Størst mulig bevægelsesfrekvens Ved resonns er det normlt kun ccelertionen fr den lstkomonent som er i resonns med konstruktionen, der hr betydning (se eksemel ). Ved størst mulig bevægelsesfrekvens beregnes den smlede sredning å ccelertionen som kvdrtroden f kvdrtsummen å de tre ccelertioner, dvs sredningen å ccelertionen kn således bestemmes f σ + + hvor er den mksimle ccelertion fr den. hrmoniske lstkomonent er den mksimle ccelertion fr den. hrmoniske lstkomonent er den mksimle ccelertion fr den. hrmoniske lstkomonent Den mksimle ccelertion fr den i'te hrmoniske lstkomonent er f. formel (5.-): i H i ui, sttisk ω
Side f Ved vurdering f vibrtionskomforten regnes normlt kun med t én erson går å dækket. Personens vægt sættes til 0,75 kn og det ntges t ersonen går midt å dækket. Accelertionen fr n ersoner som bevæger sig ufhængigt f hinnden findes som ccelertionen fr én erson x kvdrtroden f ntl ersoner. Generelt kn sredningen å ccelertionen fr n ersoner således bestemmes f σ ( α KHω usttisk ) + ( α K H (ω ) usttisk ) + ( α K H (ω ) usttisk ) hvor - u sttisk er nedbøningen for den sttiske ersonlst (n ersoner) - ω π n er ersonernes cykliske bevægelsesfrekvens - n er bevægelsesfrekvensen for ersonerne - H er den 'te hrmoniske lstkomonents frekvensresonsfktor - K er størrelsesreduktionsfktoren, K idet korreltionskoefficienterne kn sættes til 0 (ersonerne n bevæger sig ufhængigt f hinnden) - α er mlitudefktoren (fourierkoefficienten for den 'te hrmoniske lstkomonent) - n ntl ersoner Sredningen å ccelertionen skl smmenholdes med ccetkrvene i EN 990 DK NA:007, tbel A. for boliger og kontorlokler. I rktiske beregninger er det meget vigtigt t hve styr å enhederne. Det nbefles, t benytte enhederne m (længde), N (krft), kg (msse) og s (tid). Herved undgås fel i dimensioner, idet N kg m/s. Eksemel Konstruktion og nvendelse Gulvkonstruktion i kontorbygning med storrumskontorer udført f 0 mm forsændte huldækelementer. Sændvidde:,00 m. Længde: 0,00 m. Gulvfeltet er understøttet å betonelementvægge lngs fire sider. Belstning Medsvingende msse Egenvægt, 0 mm huldæk 0 kg/m Linoleum å tynduds og nedhængt loft/instlltioner 60 kg/m² Nyttelst fr ersoner, inventr m.m. ( rbedslds r. 0 m² med 0 m hyldelds) 70 kg/m² I lt 50 kg/m
Side f Dynmisk ersonlst Vægt f én erson: 0,75 kn Belstningens grundfrekvens ligger ifølge EN 99-- DK NA:007, tbel C. imellem,6 og, Hz. Amlitudefktorerne er: α 0, (. hrmoniske) α 0, (. hrmoniske) α 0,06 (. hrmoniske) Tværsnit og mteriler Inertimoment (r.,0 m) : I,95 0 m /m. Dæmningsforhold: ζ 0,0 (det logritmiske dekrement: ζ s π 0,0 0,6). Elsticitetsmodul (B5) : E 5 0 0 Ν/m (f. B. Suikknen, F.C. Collette og J. Ligrd: Vibrtionskomfort i huldækkonstruktioner. Undersøgelsesrort, ril 00, ref [ ]). Beregning Konstruktionens egenfrekvens Generliseret msse: m w b l 8600 kg Generliseret stivhed: EI π π l b 7 k 5,78 0 N/ m + l b ν Lveste cykliske egenfrekvens: ω k / m,8 s -, svrende til n ω / π 5,9 Hz. Herf ses, t den. hrmoniske lstkomonent er kritisk ved en bevægelsesfrekvens å 5,9Hz/,8 Hz (som ofylder krvet til t bevægelsesfrekvensen skl ligge i intervllet,6-, Hz). GANGRESONANS ACCELERATION FRA KRITISK LASTKOMPONENT Sttisk nedbøning for en enkeltkrft å 0,75 kn midt å lden: F 5 usttisk 750,0 0 m 7 k 5,78 0 Mksiml ccelertion for den. hrmoniske lstkomonent (α 0,06): sttisk ς 0,0 svrende til en sredning å ccelertionen å σ mx 0,06 m/ s 5 7 mx ω u,8 (0,06, 0 ) 5,8 7,8 0 0,0 / m s,
Side f Hvilket er mindre end komfortkrvet til kontorer. GANGRESONANS ALLE LASTKOMPONENTER. hrmoniske lstkomonent,,8 Hz. α 0,. H,. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,0008 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,.8 Hz,66 Hz. α 0,. H,80. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,00 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,.8 Hz 5,9 Hz. α 0,06. H 5. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,0 m/ ( s Sredningen å ccelertionen: σ 0,008 + 0,00 + 0,0 STØRST MULIG BEVÆGELSESFREKVENS, n, Hz. hrmoniske lstkomonent,, Hz 0,07 m/ s α 0,. H,. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,005 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,, Hz,8 Hz α 0,. H,. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,0050 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,, Hz 7, Hz α 0,06. H,8. Mx ccelertion: mx H π n ) α usttisk 0,00 m/ ( s Sredningen å ccelertionen: σ 0,005 + 0,0050 + 0,00 0,00 m / s Herf ses, t ccelertionen i tilfældet med gngresonns helt og holdent er bestemt f den kritiske lstkomonent. Det ses endvidere, t størst mulig bevægelsesfrekvens ikke er kritisk. Konstruktionen ofylder ccetkrvet til kontorlokler, idet sredningen å ccelertionen er mindre end 0,0 m/s. 7 Beregning og vurdering f ccelertioner fr rytmisk ersonlst Beregningen f rytmisk ersonlst dskiller sig fr ovenstående ved t flere ersoner bidrger til belstningen mere eller mindre koordineret. Virkningen f ersonernes åvirkning fhænger f korreltionen mellem de enkelte ersoners åvirkning. Fuldt korrelerede åvirkninger svrer til en korreltionskoefficient ρ, dvs ersonerne bevæger sig fuldstændig i tkt og giver den mksimle åvirkning. Den smlede
Side f virkning bliver væsentlig mindre når de enkelte åvirkninger er ukorrelerede. Når åvirkningen fr den enkelte erson er ufhængig f åvirkningen fr de øvrige ersoner, er korreltionskoefficient ρ 0. På grundlg f korreltionskoefficienten beregnes størrelsesreduktionsfktoren for den te hrmoniske åvirkning K ρ ρ +, hvor n eff er det effektive ntl ersoner. n eff Det interessnte er, t korreltionskoefficienten fhænger f frekvensen. For koordineret fri bevægelse er ρ,0, ρ 0, og ρ 0,0. For 50 ersoner giver det for eksemel K 0,, svrende til en reduktion å 76 %. Hvis konstruktionens egenfrekvens ligger mellem 6 Hz og 9 Hz stmmer åvirkningen i det væsentlige fr den. hrmoniske lstkomonent i resonns med konstruktionens egenfrekvens, d bevægelsesfrekvensen mksimlt kn ntge værdien Hz. Konstruktionens ccelertion bliver således gnge mindre end hvis ersonerne hvde bevæget sig fuldstændig i tkt. Beregningsrocedure og formler er udførligt beskrevet i EN 99-- DK NA:007, nneks C. Den teoretiske bggrund og de bgvedliggende forsøg er beskrevet i S.O. Hnsen & J.D. Sørensen: Dynmic lods due to synchronized movements of eole, 00, ref []. I det følgende vises et rktisk eksemel å nvendelse f beregningsmetoden. Ved beregning f den smlede lstvirkning ved den størst mulige bevægelsesfrekvens multiliceres kvdrtroden f kvdrtsummen f de enkelte lstkomonenter med,5, når ingen f lstkomonenterne er i resonns med konstruktionen k F ( α K H ),, 5 Lstvirkning, ækvivlent sttisk lst og ccelertion beregnes først ved nvendelse f formlerne i fsnit 5. Til sidst vises en gennemregning direkte ved nvendelse f formlerne i EN 99-- DK NA:007, fsnit C. og C.5. Det er lene reglerne for reduktion f lsten (størrelsesreduktionsfktorerne) og summeringen f bidrgene fr de enkelte lstkomonenter ved beregningen f ækvivlent sttisk lst som er særlige for rytmisk ersonlst. Eksemel Konstruktion og nvendelse Gulvkonstruktion i fitnesscenter bestående f 5 stk. TT 60 elementer á, m med 60 mm overbeton. Sændvidde:,90 m. Belstning: EN 99-- DK NA:007, nneks C, tbel C.: Lstgrue "Fri bevægelsesmulighed". Gulvet beregnes for en gennemsnitlig sttisk ersonlst å 0,5 kn/m (svrende til 0,67 ersoner r. m, hvilket er en meget hø værdi). I lt,90 x 55 m², svrende til ntl ersoner n 0,67 55 0. Tværsnit og mteriler Inertimoment (r.,0 m) : I 7,98 0 m, svrende til 7,98 0 - m for hele gulvet. Modstndsmoment for undersiden: W 0,07 m (r.,0 m).
Side 5 f Dæmningsforhold: ζ 0,0 (det logritmiske dekrement: ζ s π 0,0 0,6). Dynmisk elsticitetsmodul (B5): E 5 5 + 0, 5000 MP N m,7 0 / Lst Egenvægt, inklusiv gulv: Sttisk ersonlst: m 55 kg/m 60 kg/m. m 50 kg/m 600 kg/m. Fourierkoefficienterne (mlitudefktorerne) er: α,6 (. hrmoniske) α,0 (. hrmoniske) α 0, (. hrmoniske) Korreltionskoefficienterne er: ρ ρ 0, ρ 0,0 Beregning Konstruktionens egenfrekvens. I henhold til EN 99-- DK NA:007 skl lst, der fremkldes f bevægelige msser (herunder ersoner), medtges i beregningsmodellen. Medsvingende msse: µ 60+600 700 kg/m. Lveste cykliske egenfrekvens (se f.eks. teknisk ståbi): ω 9,87/l EI / µ,5s -, svrende til f ω / π 6,9 Hz. RESONANS Bevægelsesfrekvensen n ligger ifølge EN 99-- DK NA:007, tbel C. imellem 0,5 og Hz. I det følgende regnes med, Hz, således t den. hrmoniske lstkomonent giver resonns (6,9 Hz x, Hz). Det effektive ntl ersoner beregnes iht EN 99-- DK NA:007, fsnit C. (): Det effektive ntl ersoner for. og. hrmoniske lstkomonent: n e 0 78 Det effektive ntl ersoner for. hrmoniske lstkomonent (som er i resonns med konstruktionen): 8 n e 0 8 π Størrelsesreduktionsfktorerne beregnes f EN 99-- DK NA:007, nneks C, formel C til:
Side 6 f. hrmoniske K. hrmoniske K. hrmoniske K + ( ),00. 78 0, + ( 0,) 0,56. 78 0,0 + ( 0,0) 0,0. 8 Frekvensresonsfktorerne kn herefter beregnes f EN 99-- DK NA:007, nneks C formel C6 til:. hrmoniske H,, 0,6, ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 80, 0,6, ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H 5, 0,6, ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9 Beregning f lstvirkning (brudgrænsetilstnden) Den sttisk ækvivlente nyttelst er "summen" f den sttiske lst og de sttisk ækvivlente nyttelster fr hver f de hrmoniske lstkomonenter Sttisk lstkomonent 0,50 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K,,6,0 0,50 kn/m 0,90 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K,80,0 0,56 0,50 kn/m 0,50 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K 5 0, 0, 0,50 kn/m 0,50 kn/m Sttisk ækvivlent nyttelst 0,50 + 0,90 + 0,50 + 0,50,6 kn/ m, er resonsfordelingsfktoren. Når en enkelt hrmonisk lstkomonent er dominerende regnes. I ndre situtioner regnes,5. I dette tilfælde regnes, d det er den. hrmoniske lstkomonent som er dominerende. Ved undersøgelsen med størst mulig bevægelsesfrekvens ( Hz) regnes,5. Konstruktionens ccelertion (nvendelsessitutionen) Sttisk nedbøning for nyttelsten: 6000,9 8,7 0 7,98 0 5 u 5 5,77 0 0 l 8 EI m
Side 7 f RESONANS. hrmoniske lstkomonent,,0 Hz. α,6. K,00. H,. Mx ccelertion:,mx H π n ) α K usttisk 0, m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,, Hz,60 Hz. α,0. K 0,56. H,80. Mx ccelertion: ( π α s,mx H n ) K usttisk 0,9 m/. hrmoniske lstkomonent,,0 Hz 6,90 Hz. α 0,. K 5. H 5. Mx ccelertion:,mx H π n ) α K usttisk,08 m/ ( s Sredningen å ccelertionen: σ 0, + 0,9 +,08 0,85 m/ s, svrende til 8,5% g. Sredningen å ccelertionen vurderes ikke t være for stor, idet den er under den ccetble grænseccelertion å 0% g for fitnesscentre. STØRST MULIG BEVÆGELSESFREKVENS, n Hz. Det effektive ntl ersoner: n e 0 78 idet ingen lstkomonenter er i resonns med konstruktionen. Størrelsesreduktionsfktorerne:. hrmoniske K. hrmoniske K. hrmoniske K + ( ),00. 78 0, + ( 0,) 0,56. 78 0,0 + ( 0,0) 0,. 78
Side 8 f Frekvensresonsfktorerne :. hrmoniske H, 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 06 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9 Beregning f lstvirkning (brudgrænsetilstnden) Sttisk lstkomonent 0,50 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K,,6,0 0,50 kn/m 0,98 kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K,06,0 0,56 0,50 kn/m, kn/m Sttisk ækv. lst,. hrmoniske: H α K, 0, 0, 0,50 kn/m 0,0 kn/m Sttisk ækvivlent nyttelst 0,50 + 0,98 +, + 0,0,6 kn/ m,,5 Konstruktionens ccelertion (nvendelsessitutionen). hrmoniske lstkomonent,,0 Hz α,6. K,00. H,. Mx ccelertion: ( π α s,mx H n ) K usttisk 0,0 m/. hrmoniske lstkomonent,,0 Hz 6,0 Hz α,0. K 0,56. H,06. Mx ccelertion:,mx H π n ) α K usttisk,87 m/ ( s. hrmoniske lstkomonent,,0 Hz 9,0 Hz α 0,. K 0,. H,. Mx ccelertion:,mx H π n ) α K usttisk 0,0 m/ ( s
Side 9 f Sredningen å ccelertionen: σ 0,0 +,87 + 0,0,5 m / s svrende til,5 % g. Sredningen å ccelertionen er således større end den ccetble grænseccelertion å 0% g for fitnesscentre. BEREGNING VED ANVENDELSE AF FORMLERNE I EN 99-- DK NA:007, AFSNIT C. og C.5. RESONANS Beregning f lstvirkning (brudgrænsetilstnden) I henhold til EN 99-- DK NA:007, fsnit C. () beregnes den sttisk ækvivlente lst som F ( + k ) F s F hvor F betegner den gennemsnitlige ersonlst og k F betegner lstresonsfktoren F k ( α K H ) er resonsfordelingsfktoren. Når en enkelt hrmonisk lstkomonent er dominerende regnes. I ndre situtioner regnes,5. I dette tilfælde regnes, d det er den. hrmoniske lstkomonent som er dominerende. Ved undersøgelsen med størst mulig bevægelsesfrekvens ( Hz) regnes,5. k F (,6,0,) + (,0 0,56,8) + (0, 0, 5),9 Som giver en stødfktor å ( +,9), 9 Herf fås den mksimle sttisk ækvivlent fldelst skl dimensioneres for (krkteristisk værdi). F s ( kn m kn m +,9) 0,5 /,65 / som dækket Konstruktionens ccelertion (nvendelsessitutionen) Sredningen å konstruktionens ccelertion σ kn ifølge EN 99-- DK NA:007, nneks C.5, formel C8, beregnes f: σ k ( πn ) u Hvor ccelertionsresonsfktoren kn bestemmes f k ( α K H ) som ktuelt giver k ((,6,0,) + (,0 0,5,80) + ( 0, 0,0 5) ) 7,05
Side 0 f Sttisk nedbøning for nyttelsten u 5 5 6000,9 5,77 0 0 l 8 EI 8,7 0 7,98 0 m Sredningen å ccelertionen bliver således: σ 7,05 (π,0) 5,77 0 0,85 m/ s, svrende til 8,5%g. Sredningen å ccelertionen vurderes ikke t være for stor idet den er under den ccetble grænseccelertion å 0% g for fitnesscentre. STØRST MULIG BEVÆGELSESFREKVENS, n Hz. Det effektive ntl ersoner beregnes iht EN 99-- DK NA:007, fsnit C. (). Det effektive ntl ersoner: n e 0 78 idet ingen lstkomonenter er i resonns med konstruktionen. Størrelsesreduktionsfktorerne beregnes f EN 99-- DK NA:007, nneks C, formel C til:. hrmoniske K. hrmoniske K. hrmoniske K + ( ),00. 78 0, + ( 0,) 0,56. 78 0,0 + ( 0,0) 0,. 78 Frekvensresonsfktorerne kn herefter beregnes f EN 99-- DK NA:007, nneks C formel C6 til:. hrmoniske H, 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 06 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9. hrmoniske H, 0,6 ( ( )) + ( ) 6,9 π 6,9 Beregning f lstvirkning (brudgrænsetilstnden) I henhold til EN 99-- DK NA:007, fsnit C. () beregnes den sttisk ækvivlente lst som F ( + k ) F s F
Side f hvor F betegner den gennemsnitlige ersonlst og k F betegner lstresonsfktoren F k ( α K H ),5 idet ingen lstkomonenter er i resonns med konstruktionen k F,5 (,6,0,) + (,0 0,56,06) + (0, 0,,),5 Som giver en stødfktor å ( +,5) 5, 5 Herf fås den mksimle sttisk ækvivlent fldelst dækket skl dimensioneres for (krkteristisk værdi). Konstruktionens ccelertion (nvendelsessitutionen) F s ( kn m kn m +,5) 0,5 /,76 / som Sredningen å konstruktionens ccelertion σ kn ifølge EN 99-- DK NA:007, nneks C.5, formel C8, beregnes f: σ k ( πn ) u Hvor ccelertionsresonsfktoren kn bestemmes f k ( α K H ) som ktuelt giver k ((,6,0,) + (,0 0,5,06) + ( 0, 0,,) ) 6,7 Sttisk nedbøning for nyttelsten u 5 5 6000,9 5,77 0 0 l 8 EI Sredningen å ccelertionen bliver således: 8,7 0 7,98 0 m 6 m s σ,7 (π ) 5,77 0, /, svrende til % g. Sredningen å ccelertionen er således større end den ccetble grænseccelertion å 0% g for fitnesscentre.
Side f 8 Referencer. ATC Design Guide : Minimizing Floor Vibrtion by Alied Technology Council, Cliforni, 999.. B. Suikknen, F.S. Collette og J. Ligrd: Vibrtionskomfort i huldækonstruktioner, COWI's Udviklingsfond, 00.. S.O. Hnsen & J.D. Sørensen: Dynmic lods due to synchronized movements of eole. Proceedingsthe th Interntionl Conference on Structurl Dynmics, Munich, Germny, Setember -5, 00, side 7-.. B.C. Jensen & S.O. Hnsen: Bygningsberegninger. Nyt Teknisk Forlg 00. 5. B. Bonneru, B.C. Jensen &C.M. Plum: Stålkonstruktioner efter DS/EN 99,. udgve Nyt Teknisk Forlg 009. Endvidere henvises i kitlet til - Teknisk Ståbi, 0. udgve Nyt Teknisk Forlg - ISO 6-: 989. Stndrden er erstttet f DS/ISO 6-,. udgve 00-07-8, hvor grænseværdier for ccetble svingninger dog ikke længere er ngivet som i den tidligere stndrd. For en detleret beskrivelse f forholdene henvises til DS/ISO 6-,.udgve 00-0- og DS/ISO 6-,. udgve 00-07-8. - EN 990 DK NA:007. Ntionlt Anneks til Eurocode 0: Proekteringsgrundlg for bærende konstruktioner. - EN 99-- DK NA:007. Ntionlt Anneks til Eurocode : Lst å bygværker - Del -: Generelle lster - Densiteter, egenlst og nyttelst for bygninger. - EN 99-- DK NA:007. Ntionlt Anneks til Eurocode : Betonkonstruktioner Del -: Generelle regler smt regler for bygningskonstruktioner.