Oversigt S].,.,.3 Inddelinger i to retninger S]. oule integrls over retngles Nøgleord og egreer oelt integrl Figur Fuinis sætning Generelle områder Tpe I Tpe II Regneregler Nem ulighed d ( ij, ij ) Inddelt rektngel R, ], d] Clulus - 6 Uge 44. - Clulus - 6 Uge 44. - Integrlet i to vrile S]. oule integrls over ret... Fuini: Alle veje fører til Rom S]. Iterted integrls efinition Givet rektnglet R, ], d]. oelt integrlet f en funktion f : R R er 5 R f(, )da Når grænseværdien eksisterer. lim m,n m i n f( ij, ij ) A j 4 Sætning (Fuinis sætning) Ld R, ], d] og ntg f : R R er kontinuert. Så er doeltintegrlet lig de itererede integrler og R R f(, ) da f(, ) da d d f(, ) dd f(, ) dd Clulus - 6 Uge 44. - 3 Clulus - 6 Uge 44. - 4
Generelle områder Generelle områder Figur d efinition Givet, ], d] og f : R en funktion. F (, ) { f(, ) hvis (, ) hvis (, ), ], d]\, ], d] oeltintegrlet er f(, )da F (, )da R Clulus - 6 Uge 44. - 5 Clulus - 6 Uge 44. - 6 Volumen Tpe I Bemærkning Givet et område og en positiv f : R. Legemet i R 3 Figur g () E {(,, z) (, ), z f(, )} hr volumen V givet ved doeltintegrlet V f(, )da g () Område f Tpe I {(, ), g () g ()} Clulus - 6 Uge 44. - 7 Clulus - 6 Uge 44. - 8
Tpe I Tpe I Tpe I integrl 3 For f givet på {(, ), g () g ()} er integrlet et itereret integrl f(, )da g () g () f(, )d d Eksempel Givet funktionen på Tpe I mængden f(, ) + {(, ), + } oelt integrlet eregnes itereret f(, )da + ( + )d d Clulus - 6 Uge 44. - 9 Clulus - 6 Uge 44. - Tpe I Tpe I Eksempel - figur + {(, ), + } Clulus - 6 Uge 44. - Eksempel - fortst ( + )da + + ] + ( + )d d d (( + ) + ( + ) ( ) ( ) ) d ( 3 4 3 + + + ) d 3 5 5 4 4 + 3 3 + + 3 5 Clulus - 6 Uge 44. - ]
Tpe II Tpe II Figur Tpe II integrl For f givet på d 4 {(, ) d, h () h ()} er integrlet et itereret integrl h () h () 5 f(, )da d h () h () f(, )d d Område f Tpe II {(, ) d, h () h ()} Clulus - 6 Uge 44. - 3 Clulus - 6 Uge 44. - 4 Tpe II Tpe II Eksempel Givet funktionen på Tpe II mængden f(, ) + Eksempel - figur 4 {(, ) 4, } oelt integrlet eregnes itereret f(, )da 4 ( + )d d {(, ) 4, } Clulus - 6 Uge 44. - 5 Clulus - 6 Uge 44. - 6
Tpe II Tpe I Eksempel - fortst ( + )da 4 4 3 3 + 4 ] ( + )d d d ( 3 3/ + 5/ 4 3 3 ) d 5 5/ + 7 7/ 3 ] 4 96 4 6 35 Eksempel Givet funktionen på Tpe I mængden f(, ) + {(, ), } oelt integrlet eregnes itereret f(, )da ( + )d d Clulus - 6 Uge 44. - 7 Clulus - 6 Uge 44. - 8 Tpe I Tpe I Eksempel - figur 4 Eksempel - fortst ( + )da + 3 ] 3 d ( + )d d ( () + 3 ()3 ( ) 3 ( ) 3 ) d 7 5 5 + 7 6 4 ] {(, ), } 6 35 Clulus - 6 Uge 44. - 9 Clulus - 6 Uge 44. -
Tpe II Tpe II Eksempel 3 Givet funktionen på Tpe II mængden f(, ) Eksempel 3 - figur 3 3 4 {(, ) 4, 3 + } oelt integrlet eregnes itereret f(, )da 4 + 3 d d + 5 {(, ) 4, 3 + } Clulus - 6 Uge 44. - Clulus - 6 Uge 44. - Tpe II Volumen f hjørne Eksempel 3 - fortst da 4 + 4 4 36 d d 3 ] + 3 d ( 8 5 + 3 + 4) d 48 6 + 4 + 3 3 ] 4 Hjørne (Se også eksempel 4) Givet treknten {(, ), } Et hjørne med kntlængder,, > er givet ved E {(,, z) (, ), z } Vis t volumenet V 6 Clulus - 6 Uge 44. - 3 Clulus - 6 Uge 44. - 4
Hjørne Volumen f hjørne Hjørne - figur z Hjørne - fortst {(, ), } {(, ), } E {(,, z) (, ), z } er en Tpe I mængde. Volumenet f hjørnet er V ( ) da ( ) d d Clulus - 6 Uge 44. - 5 Clulus - 6 Uge 44. - 6 Tpe I Volumen f kile Hjørne - fortst V 6 6 ( ) da ( ) d ( )3 ] ] d ( ) d d Kile (Se også opgve 4) Givet hlvirklen {(, ), 4 } En kile er givet ved Find volumenet V. E {(,, z) (, ), z } Clulus - 6 Uge 44. - 7 Clulus - 6 Uge 44. - 8
Kile Volumen f kile Kile - figur z Kile - fortst {(, ), 4 } er en Tpe I mængde. Volumenet f kilen er V 4 da d d {(, ), 4 } E {(,, z) (, ), z } Clulus - 6 Uge 44. - 9 Clulus - 6 Uge 44. - 3 Tpe I Regneregler Kile - fortst V 8 3 da 4 4 ] 4 4 (4 ) d 3 ] d d d Regneregler for doeltintegrl 6 (f(, ) + g(, ))da f(, )da + 7 g(, )da f(, )da f(, )da Hvis f(, ) g(, ), så er 8 f(, )da g(, )da Clulus - 6 Uge 44. - 3 Clulus - 6 Uge 44. - 3
Opdelt område S].3 oule integrls over generl regions Opdelt område Regneregler for doeltintegrl Hvis området er opdelt i,, så er 9 f(, )da f(, )da + f(, )da Figur Cirkelring opdelt som to Tpe I områder Cirkelring opdelt som to Tpe II områder Clulus - 6 Uge 44. - 33 Clulus - 6 Uge 44. - 34 Arel Nttig ulighed efinition (Arel som doeltintegrl) Arelet f et område er A() da Bemærk A() A ( i, j ) da Sætning (Ulighed om rel) Hvis m f(, ) M så er ma() f(, )da MA() Bemærk Følger f regneregler for integrl og relformlen ovenfor. Clulus - 6 Uge 44. - 35 Clulus - 6 Uge 44. - 36
Et slg på tsken Eksempel 6 Givet funktionen på irkelskiven sin() os() f(, ) e {(, ) + 4} Funktionen vurderes e e sin() os() e oelt integrlet vurderes e 4π e sin() os() da e4π Clulus - 6 Uge 44. - 37