2. Syllogismerne og den klassiske logik

2. Syllogismerne og den klassiske logik Tænk på det dygtigste menneske, du kender, foreslog logikeren A. N. Prior i et BBC-foredrag om logik i 1957. Der er noget vedkommende ikke kan gøre, fortsatte Prior. Beviset for det er simpelt: Personen kan enten binde en knude, som han ikke kan binde op igen, eller også kan han ikke. Hvis han ikke kan det, er der altså noget, han ikke kan gøre. Hvis han kan det, kan han altså ikke binde enhver knude op, som han kan binde. Under alle omstændigheder er der altså noget, han ikke kan gøre. - Det er da logik! Et af det moderne menneskes vigtigste idealer er rationaliteten. Et argument som Priors gør indtryk på os, og vi godkender på det grundlag (efter den sædvanlige nåh ja -oplevelse), at selv det dygtigste menneske har sine begrænsninger. Vi lægger i det hele taget stor vægt på at kunne tænke fornuftigt. Vi forlanger af vore medmennesker, at de skal træffe forstandige beslutninger, ligesom vi mener selv at gøre det. Men hvad vil det egentlig sige at afgøre og begrunde noget rationelt? Hvilke påstande er fornuftige eller logisk holdbare og hvilke ikke? Vi kan slet ikke klare os uden et begreb om det rationelle eller det fornuftige. Vi skal kunne argumentere for os. Det gælder ikke mindst i debatten om samfundsspørgsmål. Vi diskuterer om, hvad der i mangfoldige forskellige sammenhænge er det bedste, det retfærdige eller det nødvendige. Som regel vil vi hævde, at netop vor mening om sagen er den mest rimelige. For at overbevise andre om det, skal vi bruge gode argumenter. Et godt argument må være virkningsfuldt, d.v.s. det skal fungere, når man vil overbevise modparten. Et argument består af et antal præmisser og konklusion. Præmisserne skal have en sådan karakter, at de kan accepteres af tilhøreren. Argumentet er korrekt (gyldigt), hvis antagelse af præmisserne nødvendigvis medfører konklusionen. Betragt f. eks. argumentet: Alle fugle lægger æg Flagermus lægger ikke æg Nogle hvirveldyr, der kan flyve, er flagermus Ergo: Nogle hvirveldyr, der kan flyve, er ikke fugle 21

Dette argument vil nok kunne overbevise en person, som mener, at alle flyvende hvirveldyr er fugle, om at han bør skifte mening. Men det forudsætter, at han accepterer de tre præmisser og godtager, at konklusionen følger af præmisserne. Vi skal senere vende tilbage til det vanskelige forhold mellem logisk argumentation og personlig overbevisning. Her skal vi koncentrere os om selve den logiske gyldighed. Det er klart, at det i den forbindelse ville være velkomment, hvis der var hjælpemidler til rådighed, som kunne gøre det lettere at skelne mellem gyldige og ugyldige argumenter. Det viser sig, at Aristoteles såkaldte syllogistik kan netop siges at imødekomme et sådant behov. Lad os derfor se lidt nærmere på denne vigtige del af den klassiske logik. I den aristoteliske logik var syllogismen en logisk slutning fra to præmisser til én konklusion. I dens klassiske form kunne præmisserne i syllogismen opdeles i fire typer, eftersom der kunne være tale om bekræftende eller benægtende, og om universelle eller partielle udsagn. De bekræftende blev i middelalderen kaldt henholdsvis a- og i-udsagn efter vokalerne i det latinske affirmo (: jeg bekræfter ), mens de benægtende blev kaldt henholdsvis e- og o- udsagn efter det latinske nego (: jeg benægter ). Altså: a(s,p) alle S er P (universelt, bekræftende) i(s,p) nogle S er P (partielt, bekræftende) e(s,p) alle S er ikke P (universelt, benægtende) o(s,p) nogle S er ikke P (partielt, benægtende) Bemærk, at e(s,p) efter behag kan læses alle S er ikke P og (ækvivalent dermed) ingen S er P. Lad os tage nogle eksempler: a(svane,hvid) i(dansker,klog) e(kvadrat,cirkel) o(firkant,kvadrat) Alle svaner er hvide Nogle danskere er kloge Ingen kvadrater er cirkler Nogle firkanter er ikke kvadrater 22

Traditionelt illustreres forholdet mellem de fire grundtyper af udsagn med nedenstående skema. Det fremgår heraf, at a- og o- udsagn er hinandens kontradiktioner (negationer). Det samme gælder for e- og i-udsagn. ALLE S ER P K O N T R Æ R E INGEN S ER P SUB- KON- RISKE SUB- AL- TRA TO- AL- TER- TER- NE- DIK- NE- REN- TRA TO- REN- DE KON- RISKE DE NOGLE S ER P S U B K O N T R Æ R E NOGLE S ER IKKE P I sin klassiske form involverer syllogismen i alt tre begreber: S (subjektet), P (prædikatet) og M (mellem-begrebet). Disse begreber kan være helt vilkårlige, men S skal være subjekt i konklusionen, og P er prædikat i konklusionen. Derimod er der flere muligheder for, hvad der skal være subjekt og prædikat i præmisserne. Den første præmis angår P og M, den anden S og M. De tre begreber kan derfor placeres på fire forskellige måder, de såkaldte figurer: 23

1.figur: y(m,p) x(s,m) Ergo: z(s,p) 3.figur: y(m,p) x(m,s) Ergo: z(s,p) 2. figur: y(p,m) x(s,m) Ergo: z(s,p) 4.figur: y(p,m) x(m,s) Ergo: z(s,p) Her står x, y og z for vilkårlige udsagnstyper, d.v.s. a, i, e eller o. Forskellen mellem de fire figurer er tydeligvis placeringerne af mellembegrebet, M. I 1. figur er M først subjekt og så prædikat, i 2. figur er M prædikat i begge præmisser, i 3. figur er M subjekt i begge præmisser, og i 4. figur er M først prædikat og så subjekt. Lad os f. eks. tage en e-i-o-syllogisme fra 3. figur, d.v.s. at i denne figur skal vi altså sætte y=e, x=i og z=o. Som S, M og P vælger vi henholdsvis logikstuderende, universitetsstuderende og folkeskoleelev. På den måde får vi syllogismen: e(universitetsstuderende,folkeskoleelev) i(universitetsstuderende,logikstuderende) Ergo: o(logikstuderende,folkeskoleelev). Oversat til almindelige sætninger lyder argumentet: Ingen universitetsstuderende er folkeskoleelever. Nogle universitetsstuderende er logikstuderende. Ergo: Nogle logikstuderende er ikke folkeskoleelever. Denne syllogisme er gyldig, idet konklusionen faktisk følger af præmisserne. Det er imidlertid vigtigt at understrege, at denne gyldighed ikke har noget at gøre med præmissernes (og dermed konklusionens) sandhed. Betragt de følgende argumenter: 24

Ingen universitetsstuderende er danskere. Nogle universitetsstuderende er logikstuderende. Ergo: Nogle logikstuderende er ikke danskere. Ingen universitetsstuderende er danskere. Nogle universitetsstuderende er analfabeter. Ergo: Nogle analfabeter er ikke danskere. Det er let at se, at disse to argumenter har samme struktur som argumentet ovenfor. Det er stadig en e-i-o-syllogisme fra 3. figur. Middelalderlogikerne kaldte den ferison for at huske de tre afgørende vokaler (e-i-o). En af forskellene mellem de tre nævnte udgaver af syllogismen er, at mens begge præmisser er sande i den første udgave, er henholdsvis én og to præmisser falske i de følgende udgaver. I alle tre tilfælde er konklusionen sand, men sådan behøver det bestemt ikke at være. Betragt f. eks.: Ingen danskere er skandinaver. Nogle danskere er svenskere. Ergo: Nogle svenskere er ikke skandinaver. Her er såvel de to præmisser som konklusionen falsk. Men det ændrer ikke ved det forhold, at syllogismen er gyldig og et eksempel på ferison. Tilsvarende er syllogismen: Alle rovdyr er svenske Alle svaner er rovdyr Ergo: Alle svaner er svenske gyldig, selv om alle tre involverede udsagn er falske. Syllogismen er et eksempel på en a-a-a-syllogisme (middelalderlogikerne kaldte den: barbara). Her er der altså tale om barbara i første figur. Syllogistikken er et glimrende eksempel på formel logik. Når argumenterne ovenfor er gyldige, skyldes det alene formen, ikke indholdet af det, der udsiges. En korrekt udfyldning f. eks. af omtalte barbara i første figur: 25

a(m,p) a(s,m) Ergo: a(s,p) eller ferison i 3. figur: e(m,p) i(m,s) Ergo: o(s,p) vil være et gyldigt argument uanset, hvad man vælger for M, P og S. I hver af de fire figurer kan hver af de tre udsagn udformes på fire forskellige måder. Det fører altså til i alt 256 mulige syllogismeskemaer. Problemet er nu at bestemme, hvilke af disse der er gyldige argumenter, og hvilke der er ugyldige. Svaret, som det blev givet i oldtiden og i middelalderen, er at 24 af dem er gyldige. Heraf blev 19 husket på den allerede antydede måde d.v.s. ved hjælp af ord, hvori de første 3 vokaler svarede til udsagnstyperne i syllogismen [Koch, 1968]: 1. figur: barbara, celarent, darii, ferio 2. figur: cesare, camestres, festino, baroco 3. figur: darapti, disamis, datisi, felapton, bocardo, ferison 4. figur: bramantip, camenes, dimaris, fesapo, fresison De sidste 5 af de syllogismer, som man regnede for gyldige, opstår, når man erstatter en universel konklusion med det tilsvarende partielle udsagn, d.v.s. hvis man antager, at følgende regler (såkaldt subalternation ; se figuren p. 23) er generelt gyldige: a(x,y) Ergo: i(x,y) e(x,y) Ergo: o(x,y). Dermed når man til følgende syllogismer: 26

1. figur: barbarix, feraxo 2. figur: camestrop, cesarox 4. figur: camenop Med disse tilføjelser bliver der 6 gyldige syllogismer i hver af de 4 figurer. Bemærk, at navnene på de ekstra syllogismer er afledt af navne i den førstnævnte navneserie ved at ændre sidste stavelses vokal og desuden indsætte et p eller et x for på den måde at angive, at syllogismen er fremkommet ved anvendelse af subalternation. Det bør bemærkes, at moderne logik ikke i almindelighed vil anerkende disse regler som gyldige. Det er ganske vist klart, at det umiddelbart forekommer rimeligt at slutte fra alle jyder er danskere til nogle jyder er danskere, men hvad med slutningen fra alle gyldne bjerge er gyldne til nogle gyldne bjerge er gyldne? Kan den slutning være korrekt, når der slet ikke findes gyldne bjerge? Hovedproblemet her er, om vi vil acceptere tomme udtryk som f. eks. gifte ungkarle i syllogismerne og godtage f. eks. udsagnet alle gifte ungkarle kan flyve som sandt. Hvis vi ikke vil acceptere den type udsagn som sande, må vi afvise de 5 ekstra syllogismer (og i øvrigt også darapti og felapton fra 3. figur samt bramantip og fesapo fra 4. figur) for ikke at komme ud i urimeligheder, som f. eks. følgende udfyldning af fesapo: Ingen mænd er gifte ungkarle Alle gifte ungkarle er mænd Ergo: Nogle mænd er ikke mænd e(mand,gift ungkarl) a(gift ungkarl,mand) Ergo: o(mand,mand) Hvis udsagn om tomme udtryk overhovedet kan accepteres som sande, kan man næppe komme uden om at antage de to præmisser ovenfor som sande. Da konklusionen er selvmodsigende, må fesapo (ligesom de øvrige nævnte) slettes fra listen over gyldige syllogismer, og man må nøjes med de tilbageværende 15 syllogismer. På den anden side kan man godt forstå oldtidens og middelalderens uvilje mod at acceptere udsagn om alle gifte ungkarle som sande. Der er jo ingen gifte ungkarle! Først når man tager hensyn 27

til matematikkens (senere) begreb om den tomme mængde, bliver det acceptabelt at operere med gifte ungkarle. Men helt let er det alligevel ikke altid. Skal vi f. eks. regne udsagnet alle gifte ungkarle er ugifte for sandt eller falsk? Eller endnu værre: Hvad med alle gifte ungkarle er både gifte og ugifte? Mere styr på syllogismerne (lidt matematisk afsnit, som kan springes over) Nu er det let at indse, at 4. figur i virkeligheden kan opfattes som 1. figur, hvori ordenen af præmisserne er ombyttet. Dermed ser man, at camenes og dimaris er ækvivalent med henholdsvis celarent og darii. Hertil kommer, at e(x,y) og e(y,x) er ensbetydende ligesom i(x,y) og i(y,x). Dermed bliver ferio, festino, ferison og fresison i virkeligheden én og samme syllogisme. Det samme gælder darii, disamis og datisi. Også celarent, cesare og camestres viser sig på denne måde at være én og samme syllogisme. Hvis man endvidere (jævnfør figuren side 23) bemærker, at o(x,y) er negationen af a(x,y), og at i(x,y) er negationen af e(x,y), viser det sig, at samtlige syllogismer kunne udledes af barbara og celarent i 1. figur. De ækvivalenser, som kan bruges hertil, er altså: e(x,y) e(y,x) ~a(x,y) o(x,y) ~e(x,y) i(x,y) hvor ~ danner negationen af et udsagn d.v.s. kontradiktionen af udsagnet. (Sammenlign med figuren på p. 23). Sagen er, at hvis syllogismen med p og q præmisser og r som konklusion er gyldig, så vil det for det første også være en gyldig syllogisme, der har præmisserne p og ~r og konklusionen ~q, og for det andet vil det være en gyldig syllogisme, der har præmisserne ~r og q og konklusionen ~p. Symbolsk kan dette skrives på følgende måde: Syllogismen (p & q) => r kan erstattes af en af syllogismerne (p & ~r) => ~q 28

(~r & q) => ~p. På den måde kan syllogistikken præsenteres som et deduktivt system med udgangspunkt i de to almene syllogismer i første figur, barbara og celarent. Et sådant system kaldes et axiom-system med de nævnte to syllogismer som axiomer og med de beskrevne udledningsregler. Allerede Aristoteles selv var opmærksom på dette. (Se nærmere herom i [Parry & Hacker p. 271 ff.]). Faktisk må man sige, at Aristoteles syllogistik repræsenterer det tidligst kendte axiomatiske system. Senere blev den axiomatiske metode meget udbredt i den græske matematik - ikke mindst med Euklid. Også i middelalderen var man klar over, at syllogismerne udgør et axiomatisk system. De gyldige syllogismers navne er konstrueret således, at de afspejler deduktionen (dvs. beviset) for den pågældende syllogisme. Eksempelvis betyder det første bogstav i camenes, at man ved udledningen skal tage udgangspunkt i celarent. Dernæst betyder bogstavet m, at man skal foretage en ombytning (mutatio) af præmisserne for gennemføre udledningen af camenes. - Navnene på syllogismerne viser i øvrigt, at man i middelalderen opererede med de fire basale syllogismer i 1. figur som axiomer. Det har man muligvis valgt af pædagogiske grunde, idet udledningerne dermed bliver noget kortere end tilfældet er i Aristoteles eget system med kun to axiomer. Sammensætning af syllogismer Vi har ovenfor kun set på de klassiske syllogismer med 2 præmisser, men det er klart, at syllogismer kan kobles sammen til mere komplicerede argumenter. Lad os tage et eksempel fra Holbergs Erasmus Montanus: Hvo drikker vel, sover gierne vel Hvo som sover vel, synder ikke Den som synder ikke, er lyksalig Ergo den som drikker vel, er lyksalig [Holberg, 1970, p.160] Argumentet kan gengives semi-symbolsk på følgende måde: 29

a( person, som drikker, person, som sover vel ) a( person, som sover vel, syndfri person ) a( syndfri person, lyksalig person ) Ergo: a( person, som drikker, lyksalig person ) Dette argument kan opfattes som sammensat af to barbara-syllogismer fra 1. figur, og det er derfor åbenbart gyldigt, selv om man ikke af den grund behøver at godtage hverken præmisser eller konklusion som sande. En anden berømt syllogisme fra Erasmus Montanus: En Steen kand ikke flyve (Morlille) kand ikke flyve Ergo: Morlille er en Steen er ikke gyldig, da det kan opfattes som en e-e-a-syllogisme fra 2. figur. Derimod er følgende eksempel på en cesare fra 2. figur en gyldig syllogisme: En Steen kand ikke... tale Morlille kand tale Ergo Morlille er ingen Steen [Holberg, 1970, p.160-161] 30

Venn-diagrammer Man kan spørge, hvordan man kan komme frem til de gyldige syllogismer. Skal man virkelig lære remsen udenad, som de skulle det i middelalderen? Nej, der er heldigvis senere udviklet andre metoder, som kan bruges til at undersøge disse klassiske slutninger. Bl. a. har logikeren J. Venn i sin Symbolic Logic fra 1881 beskrevet en glimrende måde, hvorpå man kan vurdere syllogismer ved hjælp af diagrammer. Allerede Leonhard Euler (1707-1783) havde foreslået en grafisk metode til behandling af syllogismer, men Venns diagrammer er lettere at benytte end Eulers, så vi skal her holde os til en let moderniseret udgave af denne analysemetode. Udgangspunktet er, at termerne i syllogismerne repræsenteres som mængder, og at de fire grundlæggende typer af udsagn, som kan dannes ud fra to vilkårlige begreber, f. eks. A og B, kan repræsenteres grafisk på følgende måde: A B A B - + Alle A er B svarende til: a(a,b) Nogle A er B svarende til: i(a,b) A B A B - + Ingen A er B Nogle A er ikke B svarende til: e(a,b) svarende til: o(a,b) Her symboliserer et +, at vi ved, at der findes elementer i den pågældende delmængde, mens - betyder, at vi ved, at den pågældende delmængde er tom. Delmængder i diagrammet, som hverken indeholder + eller -, ved vi ikke noget om. 31

Med sådanne diagrammer kan man nu undersøge syllogismerne. Lad os tage et eksempel. Lad os igen se på ferison i 3. figur, d.v.s. det syllogistiske argument med følgende struktur: e(m,p) i(m,s) Ergo: o(s,p) Vi vil nu analysere denne syllogisme i Venn-diagrammet. De tre termer S, P og M bliver repræsenteret ved 3 mængder. Præmisserne fører til følgende tegn: S P + - - Forklaringen er denne: Den første præmis, e(m,p) d.v.s. ingen M er P, betyder, at fællesmængden mellem M og P er tom og derfor skal forsynes med -. I diagrammet er denne fællesmængde delt i to. Vi sætter - begge steder! Den anden præmis, i(m,s) d.v.s. nogle M er S, betyder, at fællesmængden mellem M og S ikke er tom og derfor skal forsynes med et +. Den ene del af denne fællesmængde er allerede forsynet med et -. Derfor skal der være et + i den anden del af fællesmængden. (Bemærk man altid bør placerede - før +, når en Venn-diagram skal udfyldes.) Det anbragte + betyder, at der findes elementer af S, som ikke tilhører P, d.v.s. at o(s,p) kan konkluderes, og at syllogismen ferison i 3. figur er gyldig. M 32

Øvelse 1 Nedenfor er der i 10 tilfælde givet et par præmisser. Afgør, evt. med Venn-diagrammer, hvad man i hvert af tilfældene logisk kan slutte (måske intet!)? Man må gerne bytte om på rækkefølgen af præmisserne! 1) alle bornholmere er danskere alle personerne i rummet er bornholmere 2) nogle danskere er bornholmere alle personerne i rummet er bornholmere 3) nogle danskere er ikke bornholmere alle personerne i rummet er bornholmere 4) ingen bornholmere er svenskere alle personerne i rummet er bornholmere 5) alle bornholmere er danskere ingen af personerne i rummet er ikke bornholmere 6) alle bornholmere er danskere nogle af personerne i rummet er bornholmere 7) ingen bornholmere er svenskere ingen af personerne i rummet er bornholmere 8) ingen bornholmere er svenskere nogle af personerne i rummet er ikke bornholmere 9) ingen bornholmere er ikke danskere nogle af personerne i rummet er bornholmere 10) nogle danskere er ikke bornholmere nogle af personerne i rummet er danskere 33

Øvelse 2 Bestem figur-nummer for følgende syllogismer og opskriv argumenterne med a,i,e og o. Undersøg med Venn-diagrammer om syllogismerne er gyldige. Sammenlign også med den middelalderlige liste over gyldige syllogismer. Alle spillerne på landsholdet er danskere. Nogle danskere er jyder. Ergo: Nogle spillere på landsholdet er jyder. Alle spillerne på landsholdet er danskere. Alle danskere er skandinaver. Ergo: Nogle skandinaver er spillere på landsholdet. Alle spillerne på landsholdet er danskere. Ingen danskere er svenskere. Ergo: Ingen svenskere er spillere på landsholdet. Nogle spillere på landsholdet er jyder. Alle jyder er danskere. Ergo: Nogle danskere er ikke spillere på landsholdet. Ingen af spillerne på landsholdet er svenskere. Alle svenskere er skandinaver. Ergo: Nogle skandinaver er spillere på landsholdet. Ingen af spillerne på landsholdet er svenskere. Nogle svenskere er rødhårede. Ergo: Nogle rødhårede er ikke spillere på landsholdet. 34