CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der er i alt 30 spørgsmål fordelt på 30 opgaver, benævnt opgave,,..., 30 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål,,...,30 i teksten. Bevarelserne af de 30 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Spørgsmål 3 5 6 7 8 9 0 3 5 Svar Spørgsmål 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 30 Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal svarende til ved ikke giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 6; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e.
Opgave Man har P A = 0, og P B = 0, 3, hvor A og B er to gensidigt udelukkende hændelser. Spørgsmål Sandsynligheden for hændelsen A B findes til 0 0, 3 0, 0,35 5 0,7 Opgave En partikelaccellerator skyder protoner mod en skive. Koordinaterne til træfpunktet kan betragtes som uafhængige standard normalfordelte variable. Spørgsmål Variansen af afstanden til koordinatsystemets begyndelsespunkt findes til 3 π 5 π
Opgave 3 Om en speciel type af elektronisk udstyr vides, at når det har opnået alderen t, da er fejlintensiteten λ + t, t > 0. Spørgsmål 3 Sandsynligheden for, at udstyret opnår en alder større end x, findes til e λ x e x λ + t dt 3 e x 0 λ + t dt e λ + x 5 x + t dt Opgave Et punkt X, Y vælges tilfældigt indenfor området afgrænset af linierne y = 0; x = 0; x + y =. Spørgsmål Man finder P X >, Y > = P X >, Y > = 3 3 P X >, Y > = P X >, Y > = 6 5 P X >, Y > = 8 3
Opgave 5 Det vides, at middelvinden i et givet område er m/s. Hvis vindhastigheden overstiger m/s må elproduktionen ved vindmøller i området neddrosles. Spørgsmål 5 Sandsynligheden for, at vindhastigheden overstiger m/s findes til maksimalt at være / /6 3 / / 5 Φ hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. Opgave 6 Diameteren af træstammer er givet ved en fordeling med tætheden e xπ. Det oplyses, at middelværdi og varians er henholdsvis π π og. π Spørgsmål 6 Bestem eventuelt approksimativt sandsynligheden for, at diameteren af en træstamme ligger i intervallet [t; t + δ], hvor δ er væsentligt mindre end π. e tπ δ Φ t+δ π π π Φ 3 e t+δπ e t π t+δ 0 e xπ dx 5 e t+δ π t π π π hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel.
Opgave 7 En spiller slår gange med en terning og tæller antallet af seksere. Spørgsmål 7 Variansen på dette antal findes til 6 85/ 3 75/ 5 5 Opgave 8 Om de stokastiske variable X og Y oplyses, at VarX =, VarY =, CorrX, Y = og EX = 0. Man danner den nye stokastiske variabel Z = 3X Y. Spørgsmål 8 Man vinder VarZ til 58 6 3 0 3 5 Kan ikke beregnes på grund af manglende oplysninger. 5
Opgave 9 Man har to typer af trådløse sensorer, hvoraf der er af hver slags. Man udtager tilfældigt sensorer. Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at der ikke er et ulige antal af hver type, findes til / 0 3 0 + + 8 + 0 8 + 5 /3 Opgave 0 Der kastes en gang med en sædvanlig terning. Spørgsmål 0 Forventningsværdien på det kvadrerede antal øjne findes til 9 9 3 3 9 9 5 9 6 6
Opgave En patient får taget 5 blodprøver i løbet af et hospitalsophold. Det antages, at resultatet af de enkelte prøver kan beskrives som uafhængige normalfordelte variable med middelværdi 7,6 og spredning,. Spørgsmål Sandsynligheden for, at den største måling er mere end standardafvigelser større end middelværdien, findes til Φ 5 Φ 5 3 Φ 9,6 7,6 5 / 5 /6 hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. Opgave I en speciel geologisk struktur forekommer typisk en lomme med ædelmetaller per km 3. Man antager, at man kan se bort fra størrelsen af de enkelte lommer, ligesom man antager, at lommerne forekommer uafhængigt af hinanden. Spørgsmål Sandsynligheden for, at der findes netop lommer i 3 km 3 af strukturen, findes til 3 5 e 3 3 9 8 e 3 3 5 3 3 7
Opgave 3 Lille Peter samler på kort fra tyggegummipakker. I hver enkelt pakke er der ét kort, ialt findes 50 forskellige kort. Det kan antages, at alle 50 kort forekommer med samme hyppighed. Spørgsmål 3 Sandsynligheden for, at de 0 første kort, Peter får, alle er forskellige, findes til 0 0 50 0 0 0 50! 3 0! 50 0 50 0 9 5 50 0 50 0 9 0 50 0 50 50 0 Opgave En kontinuert stokastisk variabel X antager værdier i enhedsintervallet i henhold til tætheden 3x. Spørgsmål Man finder P < X til / 7/6 3 9/6 / 5 /8 8
Opgave 5 Idet X er en stokastisk variabel med tæthed f X x = 6x x en beta,-fordeling danner man Y = X. Spørgsmål 5 Tætheden f Y y af Y findes til 6 y y y y 3 30y y 6y y 5 y 3 y Opgave 6 Sandsynligheden for, at der kommer en lang tør periode gennem sommeren er /, medens sandsynligheden for, at der kommer voldsom algevækst givet, at der kommer en lang tør periode er er 3/5. Spørgsmål 6 Sandsynligheden for, at der i løbet af en sommer kommer en lang tør periode med voldsom algevækst, er / 7/0 3 7/0 3/5 5 3/0 9
Opgave 7 Man har den simultane tæthed fx, y = 6y x, hvor 0 < x < y <. Spørgsmål 7 Man finder P X 3, Y 3 til / 3 3 3 3 5 3 3 y y 6y xdxdy 3 6y xdydx 3 x 6y xdydx 3 y 6y xdxdy Opgave 8 Længden af en speciel type vækst af krystaller kan med rimelighed beskrives ved en eksponentialfordeling med intensitet λ. Man betragter 8 af disse vækster af krystaller. Spørgsmål 8 Tætheden gt for fordelingen af den næstmindste af væksterne af krystaller findes til 56λe 7λt e λt 7λe 7λt 3 λλte λt 8 7 5 8λ8λte 8λt λe λt e λt e λt 5 0
Opgave 9 En biolog undersøger forskellige korsetdyr. I et område forekommer 5 arter lige hyppigt. Biologen ønsker at undersøge mindst et eksemplar af hver art. Spørgsmål 9 Hvor mange korsetdyr må biologen forvente at skulle undersøge, før alle arter er blevet undersøgt? 5 + + 3 + + 5 5 + 0 + 5 + 0 + 5 3 5 + 3 + + 5 + 6 5 5 + + 3 + + 5 Opgave 0 Idet man antager, at nedslag på månen af meteorer over en vis størrelse forekommer uafhængigt af hinanden, er man interesseret i tiden indtil det 5 te nedslag. Det oplyses, at der i gennemsnit forventes 3 større nedslag i løbet af en 5 års periode. Spørgsmål 0 Sandsynligheden for, at tiden til det 5 te nedslag overstiger 50 år, findes til i i=6 5 50 5 3 6e 6 5e 6 5 6 e 3 i 3 5 5 5
Opgave En kemisk proces resulterer i to stoffer af interesse. De to stoffer betegnes med henholdsvis A og B. Givet, at der produceres mængden b af stof B, er middelværdien af mængden af stof A φ + κb + γb. Yderligere kan mængden af stof B beskrives ved en normalfordeling med middelværdi µ og varians σ. Spørgsmål Middelværdien af mængden af stof A findes til φ + κµ + γµ φ + κµ + γσ 3 φµ + κµ + γµ φ + κµ + γµ + σ 5 Spørgsmålet kan ikke besvares uden kendskab til den betingede fordeling af mængden af stof A givet mængden af stof B. Opgave Man antager, at blomstermotiver forekommer på 0%, 0% og % af henholdsvis fønikiske, græske og romerske antikke vaser. Man antager derudover, at 5%, 5% og 80% af de antikke vaser, der nåede til Hedeby, var henholdsvis fønikiske, græske og romerske. Idet man i Hedeby har fundet et potteskår med blomstermotiv fra en antik vase, ønsker man at bestemme sandsynligheden for, at denne vase var fønikisk. Spørgsmål Sandsynligheden findes til /3 0/ 3 /5 / 5 5/8
Opgave 3 De stokastiske variable X og Y angiver henholdsvis den største og den mindste af 3 uafhængige uniformt0, fordelte variable. Den simultane tæthed af de to variable er fx, y = 6x y i området, hvor tætheden er forskellig fra 0. Man danner nu Z = Y/X. Spørgsmål 3 Tætheden f Z z af Z findes til 6 z 3 z z 5 log +z Opgave Man kaster to gange med en sædvanlig terning og betegner herefter det maksimale antal øjne blandt de to kast med X og summen af antal øjne ved de to kast med Y. Man ønsker at kende sandsynlighederne i alle de tilfælde, hvor det samlede antal øjne er 7. Spørgsmål De ønskede sandsynligheder findes til P X =, Y = 7 =, P X = 5, Y = 7 = 8, P X = 6, Y = 7 = P X =, Y = 7 = 8, P X = 5, Y = 7 =, P X = 6, Y = 7 = 8 3 P X =, Y = 7 =, P X =, Y = 7 = 8, P X = 3, Y = 7 =, P X =, Y = 7 =, P X = 5, Y = 7 = 8, P X = 6, Y = 7 = P X =, Y = 7 = 8, P X = 5, Y = 7 = 8, P X = 6, Y = 7 = 8 5 P X =, Y = 7 =, P X =, Y = 7 =, P X = 3, Y = 7 =, P X =, Y = 7 =, P X = 5, Y = 7 =, P X = 6, Y = 7 = 3
Opgave 5 Man har, at Y er eksponentialfordelt med intensitet λ, medens X er Rayleighfordelt, hvor X og Y er uafhængige. Spørgsmål 5 Man finder P Y > X til 0 e λx xe x dx 0 3 e λ/ e λ 5 e λ +λ e x λe λx dx Opgave 6 En sen lørdag aften regner DSB S-tog med, at 0% af passagererne rejser uden gyldig rejsehjemmel. Spørgsmål 6 Bestem, eventuelt approksimativt, sandsynligheden for, at der blandt 000 passagerer er flere end 75 uden gyldig rejsehjemmel Φ Φ 3 Φ Φ 6+ 8 0 75,5 00 000 00 75,5 0 0 5 5 00 7,5 0 0 5 5 5 7 000 i=0 i 000 i 5 i 5
Opgave 7 Man har de to stokastiske variable X og Y, der har simultan tæthedsfunktion fx, y = x,6xy+y π 0,6 e 0,7. Spørgsmål 7 Man finder P XY > 0 π/+arctan 3 π 3/8 3 0 0 /3 π 5 π+arctan 3 π x,6xy+y 0,6 e 0,7 dxdy Opgave 8 I et observatorium er man interesseret i at observere gammaglimt fra fjerne galakser. Grundet begrænset udstyr kan der kun observeres et glimt per nat, sandsynligheden for, at der observeres et gammaglimt en given nat, regnes som fast og uafhængigt af, hvad der hænder andre nætter. Til et forskningsprojekt skal benyttes 5 observationer af gammaglimt. Man ønsker at bestemme sandsynligheden for, at der skal ventes højest 30 nætter før, at der er tilstrækkeligt med observationer. Spørgsmål 8 Til brug for sandsynlighedsberegningerne benyttes bedst gammafordelingen eksponentialfordelingen 3 den geometriske fordeling den negative binomial fordeling 5 Poissonfordelingen 5
Opgave 9 3! Man har P X = x, Y = y = x y 3 x y, x!y!3 x y! hvor X og Y begge er ikke negative heltal med X +Y 3. Man ønsker at bestemme sandsynlighederne P X = x Y = for alle værdier, hvor sandsynligheden er større end 0. Spørgsmål 9 Man finder P X = 0 Y = = 9, P X = Y = = 9, P X = Y = = 9 P X = 0 Y = = 3, P X = Y = = 3, P X = Y = = 3 3 P X = 0 Y = =, P X = Y = =, P X = Y = = P X = 0 Y = = 8, P X = Y = = 3 8, P X = Y = = 3 8, P X = 3 Y = = 8 5 P X = 0 Y = = 6 7, P X = Y = = 7, P X = Y = = 7, P X = 3 Y = = 8 7 Opgave 30 Om tre hændelser A, B og C oplyses, at de er parvist uafhængige. Spørgsmål 30 Om sandsynligheden P A B C gælder P A B C = P AP BP C P A B C = P A + P B + P C P A B C 3 P A B C = P A BP A CP B C P A B C = P A + P B + P C P A B P A C P B C 5 Der er ikke givet tilstrækkeligt med oplysninger til, at en af ovenstående formler kan benyttes med sikkerhed. Slut på opgavesættet. 6