MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: OKTOBER 07

Michel Mandi (07) Side a 5 Indholdsortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... ASYMPTOTER... 3 VANDRETTE ASYMPTOTER:... 3 EKSEMPLER PÅ VANDRETTE ASYMPTOTER... 5 OPGAVER MED VANDRETTE ASYMPTOTER:... 6 LODRETTE ASYMPTOTER:... 7 EKSEMPLER PÅ LODRETTE ASYMPTOTER.... 8 OPGAVER MED LODRETTE ASYMPTOTER:... SKRÅ ASYMPTOTER:... EKSEMPLER PÅ SKRÅ ASYMPTOTER.... 3 OPGAVER MED SKRÅ ASYMPTOTER:... 4 QUICK OVERSIGT OM ASYMPTOTER GRÆNSENDE TIL DET GENIALE ;-)... 5

Michel Mandi (07) Side 3 a 5 En asymptote er en ret linie, som en unktions gra nærmer sig til (astanden mellem asymptoten og graen går imod 0), når går imod, eller hvis graen bevæger sig imod en ikke-deineret -værdi. Forudsætningen or at der kan eksistere en asymptote er, at unktionen er en polynomiumsbrøk. indes som vandrette, lodrette og skrå. Figur : Vandret og lodret asymptote. Figur : Skrå og lodret asymptote. Vandrette asymptoter: Lad n a m b være en polynomiumsbrøk. a, og dermed er b en vandret asymptote. n m Tænk på det som at hvis nævner- og tællergrad er lige store, så vil og være voldsomt dominerende i orhold til alle de andre led, når. Vi har altså en situation, hvor alle -leddene går ud imod hinanden. Til overs er kun aktorerne a og b, som divideret med hinanden giver den a vandrette asymptote: y. b ) Hvis tællergrad, n er lig med nævnergrad, m, så er lim ) Hvis tællergrad, n er mindre end nævnergrad, m, så er lim 0, og dermed er y 0 en vandret asymptote. Hvis tællergraden er mindre end nævnergraden, er naturligvis omvendt også nævnergraden større end tællergraden. Vi må orestille os, at når, så vil nævnerens værdi vokse betydeligt i orhold til tællerens værdi. Eller med andre ord: Vi har en brøk, hvor nævneren bliver MEGET større end tælleren, og det giver som bekendt værdien 0. 3) Hvis tællergrad, n er større end nævnergrad, m, så er lim, og dermed er der ingen vandret asymptote. Hvis tællergraden er større end nævnergraden, kan man dividere tæller med nævner. Dette vil eterlade mindst et led, som indeholder. Når, vil ligeledes brøken, og der er således ingen vandret asymptote. Fremgangsmåden ved at bruge det ovenstående skema er altså generelt eektiv. Hvis man vil overbevise sig om gyldigheden a de tre udsagn, kan man dividere alle led i både tæller og nævner med den største potens a.

Michel Mandi (07) Side 4 a 5 Eksempel: 3 9 3 9 3 9 3 0 lim lim lim 3 0 Dvs. at der eksisterer en vandret asymptote med ligningen: y 3 3 9 3 9 3 9 0 0 lim lim lim 0 0 Dvs. at der eksisterer en vandret asymptote med ligningen: y 0 3 9 3 9 3 9 3 0 lim lim lim 0 0 Dvs. at der ikke eksisterer en vandret asymptote OBS! P. Madsen angiver metoden at dividere med største potens a. Dette er or så vidt ok, men det er en metode, som tager lang tid. Den logiske metode i boksen på orrige side er hurtigere, og når man har orstået logikken, lige så god eller bedre.

Michel Mandi (07) Side 5 a 5 Eksempler på vandrette asymptoter. (Der kan være lodrette asymptoter også i disse eksempler, men de bliver ørst gennemgået i næste asnit). Givet polynomiumsbrøken: 3 4 Da både tællergrad og nævnergrad er, må der eksistere en vandret asymptote: y 3. (Ønskes bevis, kan man dividere hele udtrykket med og dereter lade. Givet polynomiumsbrøken: 3 4 Da tællergrad er og nævnergrad er, så er nævnergraden større end tællergraden, og der må eksistere en vandret asymptote: y 0. (Ønskes bevis, kan man dividere hele udtrykket med og dereter lade. Givet polynomiumsbrøken: 3 4, Da tællergrad er og nævnergrad er, så er tællergraden større end nævnergraden, og der indes ingen vandret asymptote. (Ønskes bevis, kan man dividere hele udtrykket med og dereter lade.

Michel Mandi (07) Side 6 a 5 Opgaver med vandrette asymptoter: Bestem eventuelle vandrette asymptoter or de ølgende unktioner: a) 3 6 b) c) g 5 3 h d) i e) ) g) h) 4 j 3 k l m 3 3

Michel Mandi (07) Side 7 a 5 Lodrette asymptoter: Lad g være en polynomiumsbrøk. h ) Hvis a ikke er et nævnernulpunkt (rod i h ), så er lim a a, og dermed er a IKKE en asymptote. Hvis der er en lodret asymptote, sker det ved en -værdi, som ikke er deineret. Det er typisk ordi man ved denne -værdi vil komme til at dividere med 0. Hvis a IKKE er et nulpunkt i nævneren, så vil nævneren ikke give 0 or = a, og unktionen er deineret i den pågældende -værdi. Der vil altså ikke være nogen lodret asymptote. ) Hvis a er et nævnernulpunkt, men ikke et tællernulpunkt, så er lim = a en lodret asymptote. Hvis a er et nævnernulpunkt, så vil man i princippet komme til at dividere med 0, når = a. Det betyder, at unktionsværdien vil gå imod, og det betyder, at = a er en lodret asymptote. 3) Hvis a er både nævner- og tællernulpunkt, kan brøken orkortes med a a, og dermed er ved hjælp a polynomiers division, hvoreter den reducerede brøk igen undersøges med hensyn til a.

Michel Mandi (07) Side 8 a 5 Eksempler på lodrette asymptoter. (Der kan være vandrette eller skrå asymptoter også i disse eksempler, men de er ikke i okus i dette asnit). Givet polynomiumsbrøken: 3 4, Det ses, at deinitionsmængden er lig med: Dm \, hvilket vil sige, at der ikke eksisterer en unktionsværdi or og deror heller ikke noget grapunkt or. Det vil sige, at graen deler sig omkring, og der er dermed mulighed or en lodret asymptote givet ved. Tæller og nævner betragtes hver or sig: For tællerpolynomiummet ås: 3 4 3 4 6 4 0 or. For nævnerpolynomiummet ås: 0 or samt: 0 or Divideres et tal (0) med et tal, som er tæt på 0 (uanset om det er på den positive eller negative side), så bliver resultatet et tal som er uendelig stort. 34 34 or og or Med andre ord kan det siges at: lim, og det indses, at er en lodret asymptote. Denne metode kan udøres or næsten alle brøkunktioner og or næsten alle ikke-deinerede værdier. Således har en brøkunktion næsten altid en lodret asymptote i de pågældende ikke-deinerede værdier, men der er undtagelser, hvilket der kommer et par eksempler på i det eterølgende.

Michel Mandi (07) Side 9 a 5 Et eksempel, som kan være lidt overraskende Givet unktionen: 4, Der ønskes bestemt eventuelle asymptoter. Det ses nemt, at brøkens tæller kan aktoriseres: 4. () er ikke deineret or, men hvis ikke benyttes, kan nævner og tæller divideres (brøken orkortes) med. Det giver ølgende resultat: Hvis der er en lodret asymptote, må den eksistere i et nævnernulpunkt. Det eneste, i dette tilælde, som kan komme på tale er: 0 Så deror undersøges grænseværdien or unktionsværdien or og. lim 4 og lim 4. Da grænseværdien i begge tilælde går mod en konstant og ikke mod, så der er ingen lodret asymptote. Tanken er jo netop, at når går imod en bestemt værdi, så går unktionsværdien imod. Der er heller ingen vandret asymptote, da lim. Her var kravet, at grænseværdien skulle gå mod en konstant, såremt der er en vandret asymptote. Bemærk, at unktionen ikke er deineret or =! Det vises ikke i programmet Graph, da der jo kun er tale om et uendeligt lille punkt, men normalt sætter man en hul ring om graen i det punkt, hvor den ikke er deineret. Her er det gjort lidt omstændeligt, men dog ladsiggørligt vha. tre unktioner.

Michel Mandi (07) Side 0 a 5 Et andet eksempel, som viser undtagelsen om lodrette asymptoter:, \ 0;. Givet unktionen: Dm Der ønskes bestemt eventuelle asymptoter. Det ses nemt, at der er mulighed or to lodrette asymptoter, nemlig 0 og, da disse værdier er rødder i nævnerpolynomiummet. Det kræver ikke meget overblik at se, at: lim 0, idet nævnerpolynomiummet går imod en konstant (0). Deror er der en lodret asymptote or 0. Det er mere problematisk or. Det er allerede etableret, at er rod i nævnerpolynomiummet. Tæller og nævner betragtes hver or sig: For tællerpolynomiummet ås: 0 or For nævnerpolynomiummet ås: 0 or er altså rod i både tæller- og nævnerpolynomiummet, og det giver ingen mening at se på, hvad et tal tæt på 0 divideret med et andet tal tæt på 0 er lig med. Det ses dog, at brøken kan reduceres. Da er rod i både tæller- og nævnerpolynomiummet, kan både tæller og nævner orkortes med. I dette tilælde er det nemt, da det let kan ses, at det er muligt at aktorisere både tæller og nævner med. (Husk den 3. kvadratsætning). Dette ører til at: lim lim, og det ses, at der ikke er en lodret asymptote or. Betragter man graen or unktionen, ser man at unktionen stadig er udeineret or. Da der ikke eksisterer en lodret asymptote or, resulterer det i stedet i et hul i graen. (Der er også en vandret asymptote, hvilket nemt kan ses, da tællergrad () = nævnergrad). Da koeicienterne or de ørende led i hhv. tæller og nævner er, bliver den vandrette asymptote: Vandret asymptote: y y

Michel Mandi (07) Side a 5 Opgaver med lodrette asymptoter: Bestem eventuelle lodrette asymptoter or de ølgende unktioner: a) 5 3 b) c) 3 g 6 h d) i e) ) g) h) j 4 k 6 3 l 4 m 0 85

Michel Mandi (07) Side a 5 Skrå asymptoter: Lad g være en polynomiumsbrøk. h Hvis tællergraden er NETOP ÉN STØRRE end nævnergraden, så har en skrå asymptote y a b, og denne asymptote bestemmes ved at omskrive unktionen til t, vha. polynomiers division, hvor a b h SKAL være a lavere grad end h som er remkommet ved at oretage polynomiets divi- h er nævnerpolynomiummet. sion og t er resten en unktion som Med andre ord, så, når man dividerer tællerpolynomiummet med nævnerpolynomiummet, så SKAL der være en rest or at der kan være en skrå asymptote dvs. divisionen må ikke gå op. Det ses, at t 0, or h. Tænk over det! Det passer int. Dividerer man en unktion a en given grad med en unktion, som er a præcis én grad mindre, så må resultatet a denne division resultere i et ørstegradspolynomium. Dette ørstegradspolynomium er asymptoten. Der er dog et krav mere! Hvis det er en asymptote, så skal unktionen nærme sig denne asymptote når går imod. Deror er det nødvendigt med en rest, som går imod 0, når tællerpolynomiummet divideres med nævnerpolynomiummet.

Michel Mandi (07) Side 3 a 5 Eksempler på skrå asymptoter. (Der kan være lodrette også i disse eksempler, men de er ikke i okus i dette asnit). 3, \ 0. Givet unktionen: Dm Der ønskes bestemt eventuelle asymptoter. Nævneren divideres op i tælleren, hvilket giver: 3 Idet, ses det tydeligt, at 3, idet 0, or. Deror er y 3 en skrå asymptote til graen., \ Givet unktionen: Dm Der ønskes bestemt eventuelle asymptoter. Vandret: Idet tællergrad er større end nævnergrad, så kan der ikke eksistere en vandret asymptote. Lodret: ses let at være rod i nævneren. Der er altså en potentiel lodret asymptote or. Tællerligningen løses: d b 4ac 4 8 9. 3 4 b d 9 3 4 4 a 4 3 4 4 Idet IKKE er rod i tælleren, kan det konkluderes, at er lodret asymptote. Skrå: Nævneren divideres op i tælleren, hvilket giver: 5 3 4 0 3 3 6 0 5 Der er en rest, som nemt ses at gå imod 0 or. Det giver en skrå asymptote : y 3.

Michel Mandi (07) Side 4 a 5 Opgaver med skrå asymptoter: Bestem eventuelle vandrette, lodrette og skrå asymptoter or de ølgende unktioner: a) 3 b) c) d) e) 4 g 4 h i 4 3 3 j 4 ) k g) h) l 3 4 3 4 m

Michel Mandi (07) Side 5 a 5 Quick oversigt om asymptoter grænsende til det geniale ;-) Vandrette: Lad n a m b være en polynomiumsbrøk. ) Hvis tællergrad, n er lig med nævnergrad, m, så er lim a, og dermed er en vandret asymptote. b n m Tænk på det som at hvis nævner- og tællergrad er lige store, så vil og være voldsomt dominerende i orhold til alle de andre led, når. Vi har altså en situation, hvor alle -leddene går ud imod hinanden. Til overs er kun aktorerne a og b, som divideret med hinanden giver den vandrette asymptote: ) Hvis tællergrad, n er mindre end nævnergrad, m, så er a y. b lim 0, og dermed er y 0 en vandret asymptote. Hvis tællergraden er mindre end nævnergraden, er naturligvis omvendt også nævnergraden større end tællergraden. Vi må orestille os, at når, så vil nævnerens værdi vokse betydeligt i orhold til tællerens værdi. Eller med andre ord: Vi har en brøk, hvor nævneren bliver MEGET større end tælleren, og det giver som bekendt værdien 0. 3) Hvis tællergrad, n er større end nævnergrad, m, så er lim, og dermed er der ingen vandret asymptote. Hvis tællergraden er større end nævnergraden, kan man dividere tæller med nævner. Dette vil eterlade mindst et led, som indeholder. Når, vil ligeledes brøken, og der er således ingen vandret asymptote. Lodrette: g Lad h være en polynomiumsbrøk. ) Hvis a ikke er et nævnernulpunkt (rod i h ), så er lim a a, og dermed er a IKKE en asymptote. Hvis der er en lodret asymptote, sker det ved en -værdi, som ikke er deineret. Det er typisk ordi man ved denne -værdi vil komme til at dividere med 0. Hvis a IKKE er et nulpunkt i nævneren, så vil nævneren ikke give 0 or = a, og unktionen er deineret i den pågældende -værdi. Der vil altså ikke være nogen lodret asymptote. ) Hvis a er et nævnernulpunkt, men ikke et tællernulpunkt, så er lim a, og dermed er = a en lodret asymptote. Hvis a er et nævnernulpunkt, så vil man i princippet komme til at dividere med 0, når = a. Det betyder, at unktionsværdien vil gå imod, og det betyder,at = a er en lodret asymptote. 3) Hvis a er både nævner- og tællernulpunkt, kan brøken orkortes med a den reducerede brøk igen undersøges med hensyn til a. ved hjælp a polynomiers division, hvoreter Skrå: Lad g være en polynomiumsbrøk. h Hvis tællergraden er NETOP ÉN STØRRE end nævnergraden, så har muligvis en skrå asymptote y a b, og denne asymptote bestemmes ved at omskrive unktionen til: t, vha. polynomiers division, hvor a b h som er remkommet ved at oretage polynomiets division og t er resten en unktion som SKAL være a lavere grad end h er nævnerpolynomiummet. h