ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b Opstille en regneforskrift ud fra b og p (eller r)... side 5 c Bestemme a og b ud fra to punkter... side 6 d Bestemme, når du kender x... side 8 e Indsætte -værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning... side 9 f Bestemme gennemsnitlig procentvis ændring... side g Bestemme procentvis ændring over forskellige periodelængder... side h Bestemme fordoblings- og halverings-konstant... side 3 i Give en fortolkning af tallene a og b... side 6 j Opstille en model ud fra en tekst... side 7 3 Opgaver med flere af begreberne... side 8 4 Eksamensopgaver... side 0
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side af Eksponentiel vækst b a x Foruden ved gentagne ændringer bruges formlen for eksponentiel vækst, b a x i situationer med jævne, kontinuerlige stigninger, hvor der er lige stor procentisk vækst i hver tidsenhed (f. eks. en årlig stigning på 4%). Her antager x ikke bare hele tal som værdier: 0,,, 3, men også decimaltal: 0.7 eller 3.5 o.s.v. Man kan f. eks. spørge: Hvor stor er vægten af bakteriekolonien efter.7 dage? b a x, a og b positive, hvor (ofte) 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 x tid (slut)værdi b begndelsesværdi p procenttilvækst pr. x-enhed Fremskrivningfaktor pr. x-enhed: (x,) (x,) ( x x ) a eller a x x Omformning af b a x : Betdning i eksponentiel model af a og b Af a beregnes vækstprocent pr tidsenhed: p (a-)00 Når x0, er b Når x stiger med, vil ganges med a (dvs. ændres p procent, hvor p(a-)00 ) - - - -ændring over flere x-enheder: Fremskrivningsfaktor for, når x forøges fra x til x h F a hvor h x x Procentændring for hele perioden p (F ) 00 Vækstegenskab Funktionen er voksende, når a > - og så har den en fordoblingskonstant Funktionen er aftagende, når 0 < a < - og så har den en fordoblingskonstant ----------------------------------------------
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 3 af Fordoblingskonstant fordobles, når x forøges med fordoblingskonstanten (T eller T ) T x x (Hvis x-værdier kan aflæses på graf, se til venstre) Omformninger x x Halveringskonstant ½ halveres, når x forøges med halveringskonstanten (T eller T ½ ) T x x (Hvis x-værdier kan aflæses på graf, se til venstre) x x Omformninger Gennemsnitlig vækstprocent ved uregelmæssig vækst Gennemsnitlig vækstprocent Hvis størrelsen på uregelmæssig måde er vokset fra til fra år x til år x, sammenligner vi med den stabile eksponentielle vækst, der ville starte og slutte i de samme to punkter: p gennemsnit (a- ) 00, hvor ( ) Logaritmefunktionen ( ) f.eks. log(000) 3, da Potensligninger ( ) ( )
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 4 af GRUNDLÆGGENDE FÆRDIGHEDER a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og evt. p og vækstprocent) Eksempler: 00.,05 x 7,5. 0,93 x Løsninger: b 00 b 7,5 a.05 a 0.93 p ( a ) 00 p ( a ) 00 (.05 ) 00 ( 0.93 ) 00.5-7 vækst.5% pr. x-enhed Fald 7% pr. x-enhed 0 800.,04 x 350. 0,87 x b b a a p (a ) 00 p (a ) 00 Vækst Fald 0 5..,004 x 7850. 0,066 x b b a a p p Vækst Fald 03 0.75. 3,54 x 7. 0,999 x b b a a p p
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 5 af b Opstille en regneforskrift ud fra p og b Eksempel : Begndelsesværdien er 500 og vokser med.5% per tidsenhed. Bestem en formel for som funktion af tiden, x Løsning: b 500 p.5 Regneforskriften er 500.,05 x Eksempel : Begndelsesværdien er 500 og aftager med.5% per tidsenhed Bestem en formel for som funktion af tiden, x Løsning: b 500 p -.5 04 Regneforskriften er 500. 0,975 x Begndelsesværdien er 8,7 og vokser med 3% per enhed b p Regneforskriften er 05 Begndelsesværdien er 5 og aftager med 3% per enhed b p Regneforskriften er 06 Begndelsesværdien er 3500 og vokser med.85% per enhed b p Regneforskriften er 07 Begndelsesværdien er 47 og aftager med 5.95% per enhed b p Regneforskriften er
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 6 af c Bestemme a og b ud fra to punkter - (bestemme som funktion af x) Formler for a og b : Eksempel : Løsning: 0 00 80 a xx x -x eller og b a Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (5, 90) og (9, 4) Bestem en formel for som funktion af tiden, x (5, 90) (9, 4) a x -x 9 5 x 4 4 90 4 90 xx 95 4 eller a.03084576 90 90 b 63.7488978 x 5 a.03084576 60 Regneforskriften er 63.75..030 x 3 4 5 6 7 8 9 0 Eksempel : Løsning : Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (3, 0) og (5, 8) Bestem en formel for som funktion af tiden, x 4 0 (-3, 0) (5, 8) 8 6 4 a x -x 8 8 5- (-3) 8 0.9749475 0 0 xx eller a 0 b x a 0.9749475 Regneforskriften er 3 9.9765957 9.0. 0.975 x -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 0
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 7 af 08 Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (, 7) og (6, ) a x -x b a x eller a Regneforskriften er xx 09 Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (3, 3) og (7, 8) a x -x eller a xx b a x Regneforskriften er 0 Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (, 00) og (70, 800) a x -x eller a xx b a x Regneforskriften er Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (5, 45) og (, 8) a b Regneforskriften er
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 8 af d Bestemme når du kender x Eksempel: Løsning:..8 x Bestem den -værdi der svarer til x 6..8 6 59.39 00 80 60 40 0 85.3..37 x -0-8 -6-4 - 4 6 8 0 bestem den -værdi der svarer til x 5 3 56. 0.76 x Bestem den -værdi der svarer til x 8
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 9 af e Indsætte -værdi og beregne x-værdi; det sker ved en ligning Eksempel:..8 x (9.480, 00) Bestem den x-værdi der svarer til 00 00 Metode Opstil og løs ligningen 00..8 x eller baglæns:..8 x 00 80 60 40 0 ( ) ( ) x 9.480 Metode Brug direkte formlen x log b 9.480 log( a) - 3 4 5 6 7 8 9 0 Metode 3 Brug lommeregnerens/computerens solver. Ligningen 00..8 x indtastes i lommeregneren Casio FX-99X, og løses med hensn til x med Solve -funktionen (x som udgangspunkt). Løsningen er x 9.480 Brug alle tre metoder og find ud af hvilken der passer dig bedst. Tag tid, (evt med www.cubetimer.com) 4 85.3..37 x. Bestem den x-værdi der svarer til 500 Metode Metode Metode 3 b a log log b x log( a) log( )
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 0 af 5 56. 0.76 x Bestem den x-værdi der svarer til Metode b a Metode Metode 3 x 6 500..6 x Bestem den x-værdi der svarer til 00 Metode 3 Metode Metode 7 63. 0.993 x Bestem den x-værdi der svarer til 47 Metode Metode 3 Metode
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side af f Bestem gennemsnitlig procentvis ændring Eksempel: Løsning: En størrelse ændrer sig med en fast årlig procentvis ændring. I 990 er størrelsen 3000 og i 000 er størrelsen 3300. Hvad er den årlige procentvise ændring? Vi har to oplsninger om størrelsen og det svarer til at vi har to punkter (0, 3000) og (0, 3300). Vi bruger formlen til at bestemme fremskrivningsfaktoren a og derefter bestemmer vi procenttallet, p, for ændringen pr. x-enhed. a x -x x 3300 x 0 0 3300 eller 3000 3000 p (a ) 00 (.0096 ) 00 0.96 Dvs. den årlige procentiske stigning er 0.96 %.0096 8 I 995 er en størrelse 550 og i 999 er den 63. Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise ændring. 9 I 955 er en størrelse 600 og i 965 er den 600. Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise ændring. 0 Ved start var en størrelse 35 og efter 7 timer var den 5. Bestem den gennemsnitlige procentvise ændring per time. Ved nul grader er en størrelse 73 og ved 5 grader er den 5. Bestem det gennemsnitlige procentvise fald per grad.
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side af g Bestemme procentvis ændring over forskellige periodelængder Eksempel: 350. 0.93 x Bestem procentvis ændring på x-enhed -og på 0 x-enheder. Løsning: a 0.93 p (a ) 00 (0.93 ) 00 7 Dvs. aftager med 7% når x vokser med Hvis x vokser med 0 : Enten: Vi sætter b00% i b a x 00%. 0.93 0 48,40%, d.v.s. falder med 00% - 48,40% 5,60% Eller: Fremskrivningsfaktor og procentændring for en x-periode på h0 enheder: 0.93 0 0.4840 og p (F ) 00 (0.4840 ) 00 5.60 Konklusion: aftager med 5.60% når x vokser med 0 550..045 x a p vokser med når x vokser med Hvis x vokser med, hvor mange procent vokser så med? 3 56. 0.88 x a p aftager med når x vokser med Hvis x vokser med 5, hvor mange procent aftager så med? 4 0..009 x a p vokser med når x vokser med Hvis x vokser med 8, hvor mange procent vokser så med? 5 0.87. 0.998 x a p aftager med når x vokser med Hvis x vokser med 40, hvor mange procent aftager så med?
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 3 af h Bestemme fordoblings- og halverings-konstant Fordoblingskonstanten T er den x-tilvækst der svarer til en fordobling af Metode : Fordoblingskonstanten kan aflæses på grafen:. Start i et vilkårligt punkt på grafen (x, ). Udregn. 3. Find. på -aksen og gå vandret ud til grafen til punktet (x,. ) 4. Fordoblingskonstanten er T x x Eksempel: 6. Start i punktet (3, ). Udregn. 4 3. Find 4 på -aksen og gå vandret ud til grafen til punktet (9, 4) 4. Fordoblingskonstanten er T 9 3 6 5 4 3 (3., ) (9., 4) Metode : Fordoblingskonstanten kan beregnes, når man kender a log() T log(a) - 3 4 5 6 7 8 9 0 - Eksempel: Bestem fordoblingskonstanten for sammenhængen 45..09 x log() log() Løsning: a.09 T log( a) log(.09) 8.04 6 Aflæs fordoblingskonstanten T 0 9 8 7 6 5 4 3-3 4 5 6 7 8 9 0 -
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 4 af 7 Beregn fordoblingskonstanten for følgende sammenhænge: 365..3 x a T 7...005 x a T 7..67 x a T log() log( ) log( ) log( ) log( ) log( ) Halveringskonstanten T ½ er den x-tilvækst der svarer til en halvering af Metode : Halveringskonstanten kan aflæses på grafen:. Start i et vilkårligt punkt på grafen (x, ). Udregn ½. 3. Find ½. på -aksen og gå vandret ud til grafen til punktet (x, ½. ) 4. Halveringskonstanten er T ½ x x Eksempel:. Start i punktet (3, 8). Udregn ½. 8 4 3. Find 4 på -aksen og gå vandret ud til grafen til punktet (9, 4) 4. Halveringskonstanten er T ½ 9 3 6 0 9 8 7 6 5 4 (3, 8) (9, 4) 3 Metode : Halveringskonstanten kan beregnes, når man kender a - 3 4 5 6 7 8 9 0 - T ½ log(½) eller log(0.5) log(a) log(a) Eksempel: Bestem halveringskonstanten for sammenhængen 45. 0.89 x log(0.5) log(0.5) Løsning: a 0.89 T ½ 5.95 log( a) log(0.89)
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 5 af 8 Aflæs Halveringskonstanten T ½ 0 9 8 7 6 5 4 3-3 4 5 6 7 8-9 Beregn halveringskonstanten for følgende sammenhænge: 365. 0.73 x a log(0.5) T ½ log( ) 7.. 0.5 x a log( ) T ½ log( ) 7. 0.99 x a log( ) T ½ log( ) Opgavetpe 3 Beregning af fordoblings- eller halveringstid ud fra sproglige oplsninger om p eller r Eksempel I en klump af det radioaktive stof tritium henfalder 5,5% af tritiumatomerne pr. år. Bestem tritiums halveringstid. Løsning: p -5.5 (procenttallet er negativt, da tritiummængden aftager). (den årlige fremskrivningfaktor) T ½ log(0.5) log(0.5).5 log( a) log(0.945) (halveringstiden) Konklusion: Tritiums halveringstid er.5 år. Dvs. efter.5 år er der kun det halve antal tritiumatomer tilbage. (Den anden halvdel er henfaldet ved ved beta-processer og blevet til et andtstof (helium)). 9b () Huspriserne falder med 4% årligt. Bestem halveringstiden. () Benzinpriserne stiger med 7,% årligt. Bestem fordoblingstiden. (3) Prisen på TV falder med 8,% om året. Bestem halveringstiden.
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 6 af i Give en fortolkning af tallene a og b I regneforskriften for en eksponentiel sammenhæng indgår konstanterne a og b b er begndelsesværdien og angiver - værdien der svarer til x 0 a er fremskrivningsfaktoren og fra den kan man bestemme den procentvise ændring per enhed ved at udregne p (a ) 00. Eksempel: Løsning: 550..045 x, hvor x er antal år efter 990 og er antal diabetikere. Angiv betdningen i modellen af tallene 550 og,045. Her betder b 550 at der var 550 diabetikere i 990 (hvor x0) Af tallet a.045 får vi procenttallet p (a ) 00 (.045 ) 00 4.5 Dvs. antallet af diabetikere voksede med 4.5% om året ifølge modellen. 30 550..045 x, hvor x er antal år efter 000 og er antal gmnasieelever. Hvad betder tallene 550 og.045 her? 3 4670. 0.95 x, hvor x er antal år efter 000 og er antal posthuse i Danmark. Hvad betder tallene 4670 og 0.95 her? 3 En beholder med varm væske anbringes i et kølerum. Væskens temperatur afhænger af hvor længe den har været i kølerummet. Udviklingen i væskens temperatur kan udtrkkes ved formlen 00. 0.98 x hvor x er antal minutter væsken har været i kølerummet og er væskens temperatur. Hvad betder tallene 00 og 0.98 her?
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 7 af j Opstille en model ud fra en tekst Ud fra en beskrivelse af en udvikling kan man opstille en regneforskrift for en eksponentiel udvikling. Eksempel: Kilometerprisen for turistkørsel er i perioden fra 990 til 000 i gennemsnit steget med 3% om året. I 990 var kilometerprisen kr. Opstil en model der angiver sammenhængen mellem kilometerprisen og antal år efter 990. Løsning: Først defineres variable x : antal år efter 990 : kilometerprisen. Så konstanter: b (begndelsesværdien for (når x0) og her altså prisen i 990 som var kr.) p 3 (procenttallet for den årlige stigning). Hera udregnes Nu kan modellen b a x opstilles: Facit:..03 x ; x : antal år efter 990 ; : kilometerprisen (kr.). 33 Lønnen for en sgeplejerske er i perioden fra 950 til 970 i gennemsnit steget med.8% om året. I 950 var lønnen 5000 kr Opstil en model der angiver sammenhængen mellem lønnen og antal år efter 950. 34 I 995 var Nepals befolkningstal 0. millioner. Det antages at befolkningstallet vokser med.% om året. Opstil en regneforskrift der angiver sammenhængen mellem befolkningstallet i Nepal og antal år efter 995. 35 Antallet af skomagerværkseteder er i perioden fra 975 til 000 i gennemsnit aftaget med 4.5% om året. I 975 var der 799 skomagerværksteder. Opstil en model der angiver sammenhængen mellem antal skomagerværksteder og antal år efter 975.
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 8 af 3 OPGAVER MED FLERE AF BEGREBERNE 30. Grafen for en eksponentiel funktion går gennem punkterne P(0, 45) og Q(8, 64) Bestem konstanterne a og b i regneforskriften. Bestem vækstraten d.v.s. hvor mange procent vokser med når x vokser med Bestem når x er 00 Bestem x når er 00 Bestem fordoblingskonstanten Bestem hvor mange procent vokser med når x vokser med 9 30. Grafen for en eksponentiel funktion går gennem punkterne P(5, 45) og Q(, ) Bestem konstanterne a og b i regneforskriften. Bestem vækstraten d.v.s. hvor mange procent aftager med når x vokser med Bestem når x er 5 Bestem x når er 6 Bestem halveringskonstanten Bestem hvor mange procent aftager med når x vokser med 5
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 9 af 303. Et husdr får en indsprøjtning med et lægemiddel mod lungebetændelse. Sammenhængen mellem koncentrationen af lægemidlet i drets blod målt i μg/ml og antal timer efter indsprøjtningen kan beskrives ved regneforskriften: 0.33. 0.9 x hvor x er antal timer efter indsprøjtningen Forklar hvad tallene 0.33 og 0.9 fortæller om koncentrationen af lægemidlet i drets blod. Bestem halveringstiden. 304. Prisen på offentlig transport er i perioden fra 990 til 007 steget med 8% om året. I 990 var prisen 5 kr. Opstil en model der angiver sammenhængen mellem prisen og antal år efter 990. Hvad er prisen i 007 ifølge denne model? Hvornår vil prisen ifølge denne model komme op på 50 kr.? Kommenter modellens holdbarhed, når det oplses (fra en snsk person) at prisen i 0 er 5 kr.
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side 0 af 4 EKSAMENSOPGAVER 40 Befolkningstallet i Sudan er i årene 950 000 med god tilnærmelse vokset med.58% 0m året. I 950 var befolkningstallet 9. mio. a) Opstil en model, der beskriver udviklingen i Sudans befolkningstal i årene 950 000. b) I hvilket år nåede befolkningstallet i Sudan op på 4 mio? 40 Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9. klasse på efterskole i perioden 000 003, beskrives ved modellel 640..06 x, hvor er antal elever i 9. klasse på efterskole, og x er antal år efter 000. a) Hvad fortæller tallene 640 og.06 om antal elever i 9. klasse på efterskole? b) Hvor mange elever var der i 9. klasse på efterskole i 004 ifølge modellen? Kommenter modellen, når det oplses, at antallet af elever i 004 var 88.
Øvehæfte matematik C. Eksponentiel sammenhæng Side af 403 Antallet af danskere over 00 år er vokset fra 58 personer i 980 til 68 personer i 005. Det antages, at antallet af personer over 00 år kan beskrives ved en eksponentiel model b.a x, Hvor x er antal år efter 980, og er antal personer over 00 år. a) Bestem tallene a og b. b) Hvornår vil antallet af danskere over 00 år ifølge modellen nå op på 500? c) Bestem fordoblingskonstanten, og kommenter oplsningen om en firdobling på 5 år. 404 Antallet af indbggere i USA vil i 006 brde igennem den historiske grænse på 300 millioner. USA s indbgger nummer 00 millioner blev registreret i 967. a) Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i befolkningstallet i USA i perioden 967 006 405 En person har indtaget amfetamin. Mængden af amfetamin i kroppen kan beskrives ved modellen 5. 0.84 x, hvor x er tiden efter indtagelsen (målt i timer), og er amfetaminmængden i kroppen (målt i mg). a) Hvad fortæller tallene 5 og 0.84 om amfetaminmængden i kroppen? b) Bestem amfetaminmængden i kroppen efter.0 timer. Bestem halveringstiden for amfetaminmængden i kroppen.