Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne er der også en oersigt oer mtemtiske tegn og smoler med tilhørende forklring. ISBN 978-87-708-78-7 9 788770 8787 ef.dk renr. 359- Erhersskolernes Forlg
Teknisk Mtemtik - Formler 8. udge, 0 Erhersskolernes Forlg 0 Forlgsredktør: Kren Ageræk, k@ef.dk Omslg: Henrik Stig Møller, EF/Strunge Grfik Grfisk tilrettelæggelse: Stig Bing, EF Dtp: Strunge Grfik Tegninger: Ee Lstein Forsidefoto: Bgningen Bølgen i Vejle ISBN: 978-87-708-308- (e-og) ISBN: 978-87-708-307-4 (e-og, særudge) Bogen er st med Pltino Alle rettigheder ifølge gældende lo om ophsret foreholdes. Kopiering fr denne e-og må ikke finde sted. Erhersskolernes Forlg Munkehtten 8 50 Odense SØ ef@ef.dk www.ef.dk Tlf. +45 63 5 7 00 F +45 63 5 7 8
Teknisk mtemtik Formler 3 Forord Arejder du med en mtemtisk opge og mngler en formel, så kn Teknisk mtemtik Formler hjælpe dig. Teknisk mtemtik Formler indeholder et uddrg f de igtigste definitioner, regneregler og formler fr Teknisk mtemtik, 4. udge (renr. 9057- på ef.dk). Den udgør hered et prktisk opslgsærk, der hurtigt gier et oerlik oer indholdet f formler fr læreogens enkelte kpitler. Teknisk mtemtik er ikke udrejdet til en estemt uddnnelse, men sigter mod en red nendelse inden for uddnnelser efter folkeskolen. Juni 0 Preen Mdsen
4 Teknisk mtemtik Formler INDHOLD Tl og lger................... 5 Addition Sutrktion Multipliktion Diision Brøkregning Potens Rod Ligninger og uligheder............. 8 Regneregler for løsning f ligninger ligninger med uekendte: determinnt-metoden.grdsligningen Numerisk ærdi Interller Regneregler for uligheder Geometri..................... 0 Retinklet treknt Ensinklede treknter Højder i en treknt Mediner i en treknt Vinkelhleringslinjer i en treknt Trekntens indskrene cirkel Trekntens omskrene cirkel Firknter Polgoner Trigonometri................... 3 Den retinklede treknt Den ilkårlige treknt Cirklen...................... 5 Omkreds uelængder Areler m. Oerflder udfoldninger........... 7 Oerflder m. Rumfng..................... 9 Retinklet prisme Ksse Clinder Clinderrør Prmide Prmidestu Kegle Keglestu Guldins. regel Guldins. regel Kugle Kugleudsnit Kuglefsnit Anltisk plngeometri............ 3 Plngeometri Funktioner.................... 4 Definition på en funktion Lineær funktion Funktioner f. grd (prler) Smmenstte funktioner Omendte funktioner Proportionlitet Eksponentielle funktioner.......... 6 Logritmefunktioner Eksponentilfunktioner Trigonometriske funktioner.......... 8 Trigonometriske definitioner og grundformler Additionsformlerne Formler for den doelte inkel Singninger Differentilregning............... 30 Smoler for differentilkotient Regneregler for estemmelse f differentilkotienter Bestemmelse f lokle mksimumsog minimumspunkter Implicit differentition Integrlregning................. 3 Integrl stmfunktion integrtionsprøen Bestemmelse f stmfunktioner Logritmiske funktioner Regneregler for integrtion Bestemt integrl Prtiel integrtion eller delis integrtion Areleregning Rumfngseregning Vektorer i plnet................. 36 Vektorkoordinter Vektorkoordinter i et koordintsstem Multipliktion f sklr med ektor Addition f to ektorer Vektorer i ligeægt Sutrktion f ektorer Enhedsektor Sklrprodukt eller prikprodukt Tærektor Trekntens tngdepunkt Trekntens rel Projektion Afstnd fr punkt til ret linje Vektorer i rummet................ 40 Vektorkoordinter og ektorlængder Enhedsektor Sklrprodukt eller prikprodukt Projektion Prmeterfremstilling f ret linje Vektorprodukt Prmeterfremstilling f pln Plnets ligning på normlform Afstnd e mellem punkt P 0 og pln Afstnd e mellem punkt P 0 og ret linje Kugle med rdius r og centrum i (,,c) Vektorfunktioner................ 43 Vektorfunktioner Beægelser Differentilligninger.............. 45 Ligningstpe/Løsning Mtemtiske tegn og smoler........ 46
Tl og lger 5 Addition + = c + = + + ( + c) = + + c Sum Addender Addendernes orden er ligegldig. En prentes med fortegn + kn hæes og sættes, uden t leddenes fortegn ændres. Sutrktion = c ( + c) = c Differens En prentes med fortegn kn hæes, når leddene i prentesen ændrer fortegn. Multipliktion = c = = 4 ( + c) = + c ( c) = c ( + )(c + d) = c + d + c + d ( + ) = + + ( ) = + ( + )( ) = Produkt Fktorer Fktorernes orden er ligegldig Regneregler Tre igtige formler
6 Teknisk mtemtik Formler Diision Brøkregning : = c Kotient Diisor Diidend = c Kotient Næner Tæller c = c Regneregler c = : : c n + c c n + n = + + n c c = c : = c. c c = d d : c d = d c Potens = 4 Regneregler 0 n = 0 0 = = n = n p q = p + q p P = p ( ) p = p p p p q = q ( p ) q = p q
Tl og lger 7 Rod n =, når n = n p = p n Regneregler n n n = n n = n
8 Teknisk mtemtik Formler Ligninger og uligheder Regneregler for løsning f ligninger Du må fltte et led fr den ene side f lighedstegnet til den nden ed t skifte fortegn på leddet. Du må gnge med smme tl på egge sider f lighedstegnet dog ikke med 0. Du må diidere på egge sider f lighedstegnet med smme tl dog ikke med 0. = 0 = 0 eller = 0 c = d d = c Nul-reglen: Et produkt er 0, his mindst en f fktorerne er 0. Består ligningen f en røk på her side f lighedstegnet, kldes ligningen en proportion. I en proportion må du gnge oer kors. ligninger med uekendte: determinnt-metoden = c = c D = = D D c = = c c c c = = c c c D D og D = = D
Ligninger og uligheder 9. grdsligningen + + c = 0 c = ± d = 4c 4. grdsligningens løsningsformel Diskriminnten d: His d = 0, hr. grdsligningen en rod. His d > 0, hr. grdsligningen to rødder. His d < 0, hr. grdsligningen ingen rødder. Numerisk ærdi nr, å 0 = { nr, å < 0 Interller { R { < R< } < = < ] } ; = [ ] ; [ { R { < R } < = ] } ; = ] ] ; ] { R { } R = [ } ; [ = [ ; [ { R { < } R = < ] } = ; ][ ; [ Regneregler for uligheder Du må fltte et led fr den ene side f ulighedstegnet til den nden side ed t skifte fortegn. Du må gnge med smme positie tl på egge sider f uligheds tegnet. Du må diidere med smme positie tl på egge sider f uligheds tegnet. Du må gnge med smme negtie tl på egge sider f uligheds tegnet, når du ender ulighedstegnet. Du må diidere med smme negtie tl på egge sider f uligheds tegnet, når du ender ulighedstegnet.
0 Geometri Teknisk mtemtik Formler 3 Retinklet treknt I en retinklet treknt er kdrtet på hpotenusen lig med summen f kteternes kdrter. B c c = + C A Ensinklede treknter For ensinklede treknter gælder: c = = c c c Højder i en treknt En højde i en treknt er en linje, der udgår fr en inkelspids og står inkelret på den modstående side eller dennes forlængelse. c B h h c A h C
A Geometri Mediner i en treknt En medin i en treknt er en linje, der forinder en inkelspids med den modstående sides midtpunkt. Medinerne går gennem smme punkt og deler hinnden i forholdet :. A c m B m O D m c C Vinkelhleringslinjer i en treknt En inkelhleringslinje i en treknt er en linje, der hlerer en f trekntens inkler. V A V C B V B C Trekntens indskrene cirkel Vinkelhleringslinjernes skæringspunkt er centrum for trekntens indskrene cirkel. r Trekntens omskrene cirkel Midtnormlernes skæringspunkt er centrum for trekntens omskrene cirkel. R Firknter Kdrt: En firknt, hor lle inkler er rette, og lle sider lige lnge. Arel = Rektngel: En firknt, hor lle inkler er rette. Digonlerne er lige lnge og hlerer hinnden. Arel =
Teknisk mtemtik Formler Rome: En firknt, hor lle sider er lige lnge. De modstående inkler er lige store. Digonlerne hlerer hinnden, står inkelret på hinnden og hlerer romens inkler. A d B d C Arel = d d D Prllellogrm: En firknt, hor de modstående sider er prllelle og lige lnge. De modstående inkler er lige store, og digonlerne hlerer hinnden. Arel = g h A h B g D C Trpez: En firknt, hor to sider er prl lelle. B C Arel = h (BC + AD) h A D Polgoner Vilkårlige polgoner: En ilkårlig n-knt kn inddeles i n treknter. Vinkelsummen = (n ) 80 Regulære polgoner: En regulær polgon er en n-knt med lige store sider og lige store inkler.alle regulære polgoner hr en indskreen og en omskreen cirkel. Forindes centrum med polgonens inkelspidser, fremkommer n ligeenede treknter. = 360 n
Trigonometri 4 3 Den retinklede treknt modstående ktete sin= hpotenusen hosliggende ktete cos= hpotenusen modstående ktete tn= hosliggende ktete c h A B c = + A C Arel= h c=
4 Teknisk mtemtik Formler Den ilkårlige treknt c R sina = sin B = sin C = B = + c c cos A cosa= + c c c Arel= sin C c Arel = 4 R Arel= r s A R A C Arel= s ( s ) ( s ) ( s c) B C c s = + + R: Rdius i trekntens omskrene cirkel. r: Rdius i trekntens indskrene cirkel. r r r c
Cirklen 5 5 Omkreds uelængder O = p d = p r r = π 360 d=. r r Areler m. Cirkel: π Arel= π r = d 4
6 Teknisk mtemtik Formler Cirkelring: π π Arel= D d 4 4 Arel= π R π r d =. r D =. R Cirkeludsnit: r Arel = 360 π r Cirkelfsnit: r Arel = π sin 80 Korde: k= r sin Pilhøjde: h= r cos
Oerflder Udfoldninger 6 7 Oerflder m. Den krumme oerflde f en clinder: d A= π d h= π r h C A C h D B D π. d =. π.r Den krumme oerflde f en kegle: A= π r s A Vinklen : 360 = s r s Korden k: B r C k= s sin s k
8 Teknisk mtemtik Formler Den krumme oerflde f en keglestu: r A= π s ( R+ r) s h Vinklen : 360 R = s s s R Korden k: k= s sin k Den krumme oerflde f en kugle: A= 4 π r = π d d=r Den krumme oerflde f en kugleklot: A= π d h ( ) A= π + h Kugleklot d=r h Den krumme oerflde f en kugleskie: A= π d h Kugleskie h
Rumfng 7 9 Retinklet prisme V = G h G = grundrelet G h Ksse V = h h Clinder π V= π r h= d h 4 h d =. r
0 Teknisk mtemtik Formler Clinderrør V= ( π R π r ) h V= π π D d h 4 4 D = dre dimeter d = indre dimeter R = dre rdius r = indre rdius d =. r D =. R h Prmide V= G h 3 G = grundrelet h G Prmidestu V= h G+ g+ G g 3 ( ) g = rel f topflde G = rel f undflde h g G Kegle π V= d h π V= r h 3 A h d = r
Rumfng Keglestu π V= h R + r + R r 3 ( ) r h R Guldins. regel A= p L 360 L Guldins. regel V= A 360 p A Kugle π 4 V= d = π r 6 3 3 3 d=r
Teknisk mtemtik Formler Kugleudsnit π V= d h 6 h d Kuglefsnit π V= h ( 3d h) 6 π V= h 3 + h 6 ( ) h d
Anltisk plngeometri 8 3 Plngeometri AB = ( ) + ( ) + + M(, ) =, Afstndsformlen Midtpunkt på et linjestkke A = 3 3 Determinnt-formlen for rel f treknt = + + 3 3 3 3 = = = = + = ( ) = tn = = = r = ( ) + ( ) Vndret linje gennem punktet (0,) Lodret linje gennem punktet (,0) Ret linje med stigningstl, som går gennem (0,0) og (,) Ret linje, som går gennem (0,) og (,+) Ret linje med stigningstl som går gennem (, ) Forhold mellem stigningstl, inkel mellem ndret og linjen og to punkter. Når to linjer hr smme stigningstl, er de prllelle. Når produktet f to linjers stigningstl er, står de inkelret på hinnden. Cirklens centrumsligning Centrum er (,) og rdius er r.
4 Teknisk mtemtik Formler Funktioner 9 Definition på en funktion En funktion er en forskrift f, hor der til ethert element i en mængde A kn knttes et og kun et tl. f A: Definitionsmængde B: Værdimængde A B Lineær funktion f() = + : stigningstl/hældningskoefficient : konstntled Funktioner f. grd (prler) f() = f() = ( 0 ) f() = + 0 f() = ( 0 ) + 0 f() = + + c f() = + + c Toppunkt: (0,0) Toppunkt: ( 0,0) Toppunkt: (0, 0 ) Toppunkt: ( 0, 0 ) Toppunkt: d, d = 4c 4 Kn omskries til ( α)( β) his α og β er rødder i ligningen + + c = 0
Funktioner 5 Smmenstte funktioner f() = 3 og g() = + 5 (f o g)() = 3( + 5) Eksempel Den smmenstte funktion Omendte funktioner f() = = eller f ( )= Eksempel Den omendte funktion Proportionlitet Ligefrem proportionle størrelser = α Omendt proportionle størrelser = k
6 Teknisk mtemtik Formler Eksponentielle funktioner 0 Logritmefunktioner 0-tls logritmen f() = log, > 0 Den nturlige logritme f() = ln, > 0 Regneregler: log 0 = log = log + log log = log log log n = n log n log = log n Regneregler: ln e = ln = ln + ln ln = ln ln ln n = n ln n ln = n ln
Eksponentielle funktioner 7 Eksponentilfunktioner Eksponentilfunktionen f() =, > 0 og R Eksponentielle ækstfunktioner f() =, > 0, > 0 og R Renteformlen K n = K( + r) n Fordolingskonstnt for eksponentielt oksende funktion: T = log log Hleringskonstnt for eksponentielt ftgende funktion: T = log log Kpitlen, når grundeløet K hr stået i n terminer ed rentefoden r.
8 Teknisk mtemtik Formler Trigonometriske funktioner Trigonometriske definitioner og grundformler sin sin cos cos tn (cos ) + (sin ) = sin tn = cos tn
Trigonometriske funktioner 9 Additionsformlerne sin( + ) = sin cos + cos sin sin( ) = sin cos cos sin cos( + ) = cos cos sin sin cos( ) = cos cos + sin sin Formler for den doelte inkel sin( )= sin cos cos( ) = ( cos) ( sin ) = ( sin ) ( ) = cos tn tn( ) = ( tn ) Singninger f(t) = sin(ω t) : mplitude ω: inkelhstighed i rd/sekund t: tid i sekunder T = π ω f ω = = π T Periodetid Frekens f(t) = sin(ωt + φ), hor φ kldes fseforskdningen. (Vektoren dnner til tiden t = 0 inklen φ med ndret). f(t) = sin ωt + k, som er en singning, der er forskudt konstnten k i -ksens retning.
30 Teknisk mtemtik Formler Differentilregning Smoler for differentilkotient d df( ) lim = = = f ( ) = d d 0 Regneregler for estemmelse f differentilkotienter Funktion f() Differentilkotient f () Konstnt k 0 Potensfunktion n n n- Sum u + u + Differens u u Produkt u u + u Brøk Trigonometriske funktioner Eksponentilfunktioner Logoritmefunktioner Smmenst funktion u sin cos tn e ln log d d d = du dz du dz d u u cos sin + (tn ) = ( ) ln e ln0 cos
Differentilregning 3 Bestemmelse f lokle mksimums- og minimumspunkter Implicit differentition. Løs ligningen f () = 0. Fortegnsestemmelse for f () ) Loklt mksimum forekommer, når fortegnet for f () går fr + til ) Loklt minimum forekommer når fortegnet for f () går fr til + c) Vndret endetngent forekommer når fortegnet for f () er: +0+ eller 0 3. Beregning f m og min sker ed indsættelse f de fundne -ærdier i f() + = Eksempel d d d d d + = d d d + d = 0 d d d =
3 Teknisk mtemtik Formler Integrlregning 3 Integrl stmfunktion integrtionsprøen fd ( ) = F ( ) + k når F () = f() Bestemmelse f stmfunktioner Funktion f() Konstnt k k Potensfunktioner Trigonometriske funktioner n = sin cos Stmfunktion F ( ) = fd ( ) n+ n + ln cos sin tn sin = (sin ) cos = (cos ) + tn = cos ln cos ( sin cos ) ( + sin cos ) tn
Integrlregning 33 Logritmitiske funktioner e e + k + k ln ln ln + k log log + k ln0 Regneregler for integrtion Sum: u ( ) + d ( ) = ud ( ) + d ( ) Differens: u ( ) d ( ) = ud ( ) d ( ) Bestemt integrl fd ( ) = [ F ( )] = F ( ) F ( ) Prtiel integrtion eller delis integrtion u() ()d= U() () U() ( )d
34 Teknisk mtemtik Formler Areleregning f() A A = f ( d ) f() A A = f ( ) g ( d ) g() A = f ( ) g ( d ) c g() A = g( ) f( d ) c A A3 c A A 4 f() A3 = g( d ) c A4 = f ( d ) c Rumfngseregning Rumfnget f et omdrejningslegeme fremkommet ed drejning 360 om -ksen f det frede rel på figuren. f() V = π f( ) d
Integrlregning 35 Rumfnget f et omdrejningslegeme fremkommet ed drejning 360 om - ksen f det frede rel på figuren. f() V = π f ( ) d Rumfnget f et omdrejningslegeme fremkommet ed drejning 360 om - ksen f det frede rel på figuren. f() V = π f() f() d 0 f() Længde f en kure L =f() d L = + d f d d = + ( )
36 Teknisk mtemtik Formler Vektorer i plnet 4 Vektorkoordinter = Vektorkoordinter i et koordintsstem AB = B( ), A( ), Multipliktion f sklr med ektor n n = n n. n. n.
Vektorer i plnet 37 Addition f to ektorer r= + His = og = er P r + = + + P r Vektorer i ligeægt + + c+ d= 0 0 c d Sutrktion f ektorer = + ( ) His = og = er = Enhedsektor e = e e e e e og = e = e
38 Teknisk mtemtik Formler Sklrprodukt = cos = + cos= + cos= e e Sklrproduktet = 0, når ektorerne står inkelret på hinnden. Tærektor His = er = Trekntens tngdepunkt B(, ) + + + + T (, )= 3 3, 3 3 A(, ) T(,) C(, ) 3 3
Vektorer i plnet 39 Trekntens rel His AB = og AC = er Arel = = B C A Projektion = cos = = e Afstnd fr punkt til ret linje z = d + e + c + P(d,e) z + + c = 0
40 Teknisk mtemtik Formler Vektorer i rummet 5 Vektorkoordinter og ektorlængde = z = + + z Giet punkterne A(,,z ) og B(,,z ) AB = z z AB = ( ) + ( ) + ( z z ) Enhedsektor = z e = + + z + + z z + + z Sklrprodukt eller prik-produkt cos= + + zz = cos + + zz
Vektorer i rummet 4 Projektion = Prmeterfremstilling f ret linje r t z r t = + 0 0 + z + r t 0 z Vektorprodukt = sin = = 3 3 := = z= = = z 3 3 3 3 3 3 Prmeterfremstilling f pln z = z 0 0 0 s + 0 0 z z + t 0 0 z z 0 0 Plnets ligning på normlform ( )+ ( )+ zz ( z ) + d = 0 0 0 0 eller + + cz + d= 0 med n = c Afstnd e mellem punkt P 0 ( 0, 0,z 0 ) og pln + + cz + d = 0 e = + + cz + d 0 0 0 + + c
4 Teknisk mtemtik Formler Afstnd mellem punkt P 0 ( 0, 0,z 0 ) og ret linje P(,,z ) 0 0 0 0 e = r PP r 0 e k Kugle med rdius r og centrum i (,,c) P r ( ) + ( ) + (z c) = r
Vektorfunktioner Vektorfunktioner 6 43 Vektorfunktioner Ret linje t rt ()= = + 0 + t 0 (,) t ( 0, ) 0 t t rt ()= = + 0 cos + t sin 0 t (,) ( 0, ) 0 Cirklen r t rt ()= = + cos + r sin t (,) r t (,) Ellipsen t rt ()= = cos sin t (0,) (,) t (,0)
44 Teknisk mtemtik Formler Beægelser t rt ()= () t () t t ()= r ()= t () ( t) ( ) + ( ( )) t ()= ( t) t t t ()= ( t)= r ()= t () () t Bnekuren Hstighedsektor Frten Accelertionsektor Længde f kure giet ed ektorfunktion L= ( ( t)) + ( ()) t dt L
Differentilligninger Differentilligninger 7 45 Ligningstpe Løsning = g() = g( ) d = h( ) g() ----------- d g( ) = h( ) d = = c e = g() ----------- d = + k g( ) = ( ) = -- --------------------------- + k e = g() = g( ) d herefter som den første tpe
46 Teknisk mtemtik Formler Mtemtiske tegn og smoler Tegn, nendelse Betdning, læsning A tilhører mængden f A, er element i mængden A A tilhører ikke mængden A, er ikke element i mængden A { } { A p()} Mængden f elementer tilhørende A, for hilke udsgnet p() er sndt Ø N Z Q R Den tomme mængde Mængden f nturlige tl og nul Mængden f hele tl Mængden f rtionle tl Mængden f reelle tl (,) (,) Ordnet pr = = er lig med er forskellig fr er tilnærmet lig med < < er mindre end > > er større end er mindre end eller lig med er større end eller lig med Uendelig + + Summen f og, plus Differensen mellem og, minus : - p multipliceret med, gnget med diideret med, delt med opløftet til potensen p, i p ne ½ Kdrtroden f /n n Den n te rod f f g o f n Asolut ærdi f, numerisk ærdi f Funktion f. Kn ngies ed f() eller også ed f() Den f f og g smmenstte funktion (g o f) = g(f()) går mod
Mtemtiske tegn og smoler 47 Tegn, nendelse lim f() Betdning, læsning Grænseærdi for f(), når går mod I stedet for lim f() = kn skries f() for Grænseærdier fr højre og fr enstre kn etegnes ed henholdsis lim f() = og + lim f() = Δ df d df/d f Df Tilækst i Afledede funktion f én riel Også df() d d(f())/d f () Df() d n f d n òf()d òf()d e Den n-te fledede f funktionen f f én riel For n = eller 3 ruges også f henholdsis f i stedet for f(n) Et uestemt integrl (en stmfunktion) eller mængden f stmfunktioner til funktionen f Det estemte integrl f funktionen f fr til Grundtllet for den nturlige logritme e ep Eksponentilfunktionen (med grundtllet e) f ln log e Nturlig logritme f lg log 0 Titlslogritme f π sin cos tn Forholdet mellem en cirkels perimeter (omkreds) og dimeter Sinus til Cosinus til Tngens til Vektor Længden f ektor â Tærektor e e Enhedsektor i retning f ektor e, e e, e Enhedsektorer i koordintksernes retning i, j Sklrproduktet f ektor og ektor Krdsproduktet f ektor og ektor
Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne er der også en oersigt oer mtemtiske tegn og smoler med tilhørende forklring. Erhersskolernes Forlg