OM KAPITLET STATISTIK. egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse

Transkript

1 OM KPITLET I dette kapitel om statistik skal eleverne bruge statistik til at sammenligne data og til at beskrive, hvordan data udvikler sig. De skal desuden bruge statistik til at undersøge, om der er sammenhænge i et datasæt, som gør det mulig at forudsige en udvikling frem i tiden. En del opgaver i dette kapitel er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. Til disse opgaver anføres eksempelvis Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I disse tilfælde gives der ofte eksempler. I opgaver, hvor der skal tegnes, er der ofte frit valg mht. valg af tegneredskaber og hjælpemidler. Tilsvarende er nogle af figurerne her udført som håndtegning, mens andre er udført ved brug af et digitalt værktøj. Valgene i facitlisten er ikke nødvendigvis en anbefaling af det mest fornuftige valg i den givne opgave blot en illustration af, at begge muligheder ofte er til stede. Hvis der er et lige antal observationer, er der intet midterste tal, og valget af median kan derfor variere. I faglitteraturen kan man fx finde medianen defineret som tallet til venstre for midten, tallet til højre for midten, gennemsnittet af de to tal, eller ethvert tal mellem disse to tal (hvis de er forskellige). I et observationssæt som dette 2, 3, 4, 5 er der derfor disse bud på medianen m, der alle må anses for at være rigtige: Tallet til venstre for midten: m = 3 Tallet til højre for midten: m = 4 Gennemsnittet af de to tal: m = 3,5 Ethvert tal mellem de to tal: m = a, hvor 3 < a < 4 Observationssættet giver (ved at bruge hver af de første tre muligheder) således anledning til tre forskellige boksplot, der alle må anses for at være rigtige: Medianen er tallet til venstre for midten: OM KVRTILSÆT OG OKSPLOT I et kapitel som dette om deskriptiv statistik vil mange af opgaverne naturligt involvere, at man bestemmer forskellige statistisk deskriptorer, herunder de fem deskriptorer, der indgår i konstruktionen af et boksplot: Mindsteværdi, nedre kvartil, median, øvre kvartil og størsteværdi. Mens mindste- og størsteværdi (mindste hhv. største observation) giver sig selv, er der ikke fuld enighed om, hvordan kvartilsættet defineres. Der er enighed om, at medianen er et tal, der deler datasættet i to halvdele: Første ( mindste ) halvdel, hvor alle tal er mindre end eller lig med medianen og anden ( største ) halvdel, hvor alle tal er større end eller lig med medianen. Tilsvarende er der enighed om, at nedre kvartil kan defineres som medianen for datasættets første ( mindste ) halvdel og øvre kvartil kan defineres som medianen for datasættets anden ( største ) halvdel. Definitionen af kvartilsættet er derfor helt afhængig af definitionen af medianen og her skiller vandene. Hvis der er et ulige antal observationer, som er stillet op efter størrelse, er alle enige om, at medianen vil være det midterste tal. I observationssættet: 1, 2, 3, 4, 5 er der derfor enighed om, at medianen er tallet 3. Medianen er tallet til højre for midten: Medianen er gennemsnittet af de to tal: I facitlisten er gennemsnittet af de to tal brugt.

2 ELEVMÅL FOR KPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan indsamle, bearbejde og præsentere data i boksplot og punktdiagrammer kan bruge og vurdere forskellige virkemidler, når data fra undersøgelser bliver præsenteret kan undersøge sammenhænge i data ved hjælp af tendenslinjer kan forklare, hvad det vil sige, at en stikprøve er repræsentativ. PRINTRK E7 egreber og fagord Statistik MTERILER Evt. aviser Kridt, sten eller ærtepose Målebånd DIGITLE VÆRKTØJER Internet Regneark GeoGebra Evt. spørgeskemaværktøj Evt. skærmoptager FGLIGE EGREER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: statistiske deskriptorer boksplot punktdiagram tendenslinje forklaringsgrad - R 2 stikprøve procentpoint. På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er udgangspunktet for arbejdet med kapitlet.

3 OPGVE 3 Summeret intervalfrekvens: [0; 100[ [100; 200[ [200; 400[ [400; 500[ [500; 1000[ [1000; 2500] 12 % 56 % 84 % 94 % 99 % 100 % MTERILER Sumkurve. Internet Evt. aviser FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 1 Mulige deskriptorer: Observationssættets størrelse N: 25 Mindsteværdi: 0 Størsteværdi: 52 Variationsbredde: 52 Nedre kvartil: 19 Median: 29 Øvre kvartil: 38,5 Middeltal: 28,16 Typetal: 35 Pindediagram: C D f sumkurven aflæses medianen til ca. 190 (beregnet værdi: 186,36 kr.). I grunden er der ikke noget i vejen med den måde, resultatet er vist. Freyas mors bekymring kan muligvis stamme fra, at de to sidste intervaller er meget lange. Hvis man fx forsøger at udregne et middeltal på sædvanlig måde, vil man her bruge intervalmidtpunkterne som gennemsnit i intervallet. Det vil give et forvrænget billede (og en for stor middelværdi), hvis man fx forestiller sig, at de observationer, der findes i intervallerne [500; 1000[ og [1000; 2500], kun er lidt større end 500 hhv UNDERSØGELSE: FIND STTISTIK DEL 1 C Ingen faste facits. C Elevtekst intet fast facit. OPGVE 2 -D Ingen faste facits.

4 OPGVE 6 f udsagnene kan man (i samme rækkefølge som i bo gen) aflæse følgende deskriptorer for observationssættet: Medianen er 50 minutter. Størsteværdien er 185 minutter. Mindsteværdien er 2 minutter. Øvre kvartil er 90 minutter. Nedre kvartil er 10 minutter. På denne baggrund kan boksplottet tegnes: FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 4 De to boksplot er tegnet over samme akse (længdeenhed), og længden af boksplottet for mandlige lærere er tydeligt større end længden af boksplottet for kvindelige lærere. Variationsbredden er størsteværdi minus mindsteværdi, og begge disse deskriptorer kan aflæses af de to boksplot. OPGVE 5 OPGVE 7 Eleverne skal sammenligne karakterfordelingerne. Her anføres blot de hårde facts grundlaget for sammenligningerne. Det er almindeligt i hyppighedsfordelinger over karakterer at medtage alle de mulige karakterer også selv om fx karakteren ( 3) slet ikke er givet. Tegning af boksplot uden og med digitalt værktøj. Her vises udelukkende boksplots tegnet med et digitalt værktøj (GeoGebra). Udseendet af boksplottet kan afhænge af det anvendte værktøj. 8. x 8.a Karakter Hyppighed y Typetal: 7 Mindsteværdi: 00 Størsteværdi: 10 Variationsbredde: 10 Middeltal: 4,72 Kvartilsæt: (2, 4, 7) oksplot: -D Ingen faste facits.

5 8.b 9.b Karakter Karakter Hyppighed Typetal: 7 Mindsteværdi: 02 Størsteværdi: 12 Variationsbredde: 10 Middeltal: 6,13 Kvartilsæt: (4, 7, 7) Hyppighed Typetal: 10 Mindsteværdi: 00 Størsteværdi: 12 Variationsbredde: 12 Middeltal: 6,71 Kvartilsæt: (3, 7, 10) oksplot: oksplot: emærk, at når fordelingen som her er sådan, at median og øvre kvartil falder sammen, forsvinder der information fra boksplottet: Man kan ikke se, at det er medianen og øvre kvartil, der er sammenfaldende det kunne lige så godt være medianen og nedre kvartil. Dette fænomen vil i almindelighed kun indtræffe ved små observationssæt. 9.a -C Ingen faste facits. Karakter Hyppighed Typetal: 7 Mindsteværdi: 02 Størsteværdi: 12 Variationsbredde: 10 Middeltal: 8,40 Kvartilsæt: (7, 10, 11) oksplot:

6 OPGVE 11 - Ingen faste facits. MTERILER Kridt, en sten eller en ærtepose Målebånd Digitale værktøjer FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING KTIVITET: CURLINGKST DEL 1-3 Ingen faste facits. OPGVE 8 - Ingen faste facits. OPGVE 9 - Ingen faste facits. OPGVE 10 Der var færrest dræbte i C D Kurverne ser forskellige ud af to grunde: 1. Der er valgt forskellige længeenheder på de lodrette akser. 2. På den ene kurve starter den lodrette akse i 150, på den anden starter den i 0. Intet fast facit. Her må påregnes lidt aflæsningsusikkerhed. År 2000: ca. 500 dræbte. År 2015: ca. 180 dræbte. Ud fra disse aflæsninger er antallet af trafikdræbte faldet med 64 % i perioden 2000 til 2015.

7 KTIVITET: ELEFNTSKRIDT DEL 1-2 Ingen faste facits. MTERILER Kridt Målebånd Digitale værktøjer FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 12 Et punktdiagram kunne se således ud: Hvis man skal tegne et tilsvarende diagram over antallet af medlemmer af folkekirken i Sønderborg kommune, skal man enten kende dette antal for hvert af de seks år eller det samlede antal borgere i kommunen. Disse tal er ikke oplyst i opgaven, men kan med tilnærmelse aflæses af fx figur 1 side 124, hvor det efterspurgte punktdiagram er tegnet. -D Ingen faste facits. OPGVE 14 Tegning af punktdiagrammer. -D Ingen faste facits.

8 MTERILER Målebånd Digitale værktøjer FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING UNDERSØGELSE: FIND STTISTIK DEL 1-3 Ingen faste facits.

9 D Vindenergi: FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 14 Punktdiagram med tendenslinje. På x-aksen er afsat antal år efter 1990 (dvs svarer til 0): Vindenergi y = 3065,7e 0,1169x R² = 0, Vindenergi Ekspon. (Vindenergi) I år 2020: TJ C y = 81,31e 0,1349x R² = 0, Solenergi Solenergi Ekspon. (Solenergi) Her har eleven ingen anden mulighed end at angive R 2 -værdien. Om tendenslinjen er lineær eller ikke-lineær er et valg, eleven allerede har truffet i forbindelse med spørgsmål, men som det formentlig fremgår af figuren herover ligger et lineært valg ikke lige for (og en lineær tendenslinje vil også give en væsentlig mindre R 2 -værdi). Svaret afhænger af den tendenslinje eleven har valgt. I det eksponentielle tilfælde, som er valgt, her får man 4653 TJ (året 2020 svarer til x-værdien 30) OS. I første oplag af MULTI 8 er energien fra vandkraft forkert angivet. De rigtige tal er: Årstal Vandkraft i TJ Disse tal giver anledning til følgende punktdiagram og tendenslinje: y = -2,3182x + 113,47 R² = 0, Vandkraft Vandkraft Lineær (Vandkraft) Tallene her tyder mest på en lineær sammenhæng. Efter denne model vil der i år 2020 komme ca. 44 TJ energi fra vandkraft. E-F Ingen faste facits.

10 OPGVE 15 - Punktdiagram med tilhørende lineær tendenslinje: C Modellen forudsiger, at der i 2015 vil være 547, skilsmisser og opløste partnerskaber. Elevkommentar til sammenligningen med det rigtige tal (16.547). D Punktdiagram med lineær tendenslinje : Forudsigelsen for 2015 er nu 193, Elevkommentar hertil. E-F Inge faste facits.

11 OPGVE 16 C Elevforklaring. Selv om vi trækker 2 procentpoint fra Spanien og lægger 2 procentpoint til alle andre nævnte lande, vil søjlen for Spanien stadig være den højeste. Intet fast facit.

12 MTERILER Digitale værktøjer Evt. et digitalt spørgeskemaværktøj FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING OPGVE 17 - Det væsentlige er elevernes argumentation for deres svar. emærkninger: : Når kun 4., 5. og 6. klasser er omfattet af undersøgelsen er den ikke repræsentativ for skolernes generelle brug af it. : Stikprøven kan være repræsentativ, men er det næppe. C Repræsentativ for hvad? 1. Repræsentativ for hvad eleverne i 8. og 9. klasse i denne kommune ville stemme ved næste folketingsvalg, hvis de havde stemmeret? J. 2. Repræsentativ for 8. og 9. klasser i hele landet? NEJ. 3. Repræsentativ for vælgere i almindelighed? NEJ. UNDERSØGELSE: EGEN UNDERSØGELSE DEL 1-3 Ingen faste facits. OPGVE 18 Usikkerhed for hvert parti (partiernes bogstavbetegnelser er benyttet):

13 Intervaller: C F I K [23,3; 28,5] [3,6; 6,2] [1,6; 3,6] [2,9; 5,3] [7,0; 10,4] [0,2; 1,2] O V Ø Å Øvrige [18,2; 23,2] [15,2; 19,8] [6,2; 9,4] [5,4; 8,4] [0; 0,5] Med udgangspunkt i beregningerne herover vil man nok slutte, at usikkerheden i procentpoint er størst for de store partier, mens den procentuelle usikkerhed (usikkerheden i procent) er størst for de mindre partier. Herunder vises en udvidelse af regnearket, der illustrerer denne pointe ved at udregne den procentdel, usikkerheden udgør af stemmeandelen. Det er også i almindelighed rigtigt, men det skyldes udelukkende, at selv såkaldt store partier i Danmark ikke har en tilslutning over 50 %. Hvis vi ser på formlen for usikkerheden: u = ±1,96 p (100 p), kan man bemærke, at når n er fast, vil det være tælleren p (100 n p), der bestemmer hvor stor u bliver. Til højre er grafen for f(p) = p (100 p) tegnet for 0 p 100: Den viser, at funktionen f(p) = p (100 p) = p p har maksimum for p = 50. ltså er usikkerheden størst for partier, hvis tilslutning ligger omkring 50 %. Da de imidlertid er sjældne (pt. ikke eksisterende) i Danmark, er det på sin vis rigtigt at påstå, at usikkerheden i procentpoint er størst for store partier

14 C Et forslag til regneark (MULTI8_kap7_opgave18) kan hentes fra MULTI s hjemmeside. Der kan indtastes antal adspurgte i den gule celle (E2). D Regnearkene herover viser hvad man kunne forvente at usikkerheden falder, når antal adspurgte stiger. Også det frem går af formlen for usikkerheden, hvor stikprøvestørrelsen n indgår i radikande nævner. Jo større n er, jo mindre bliver radikanden, og desto mindre bliver derfor usikkerheden. Når man spørger hele befolkningen (dvs. afholder valg) er usikker heden 0 selv om formlen for u vil give et resultat større end 0. OPGVE 19 Hvis undersøgelsen udelukkende omfatter unge, der har brugt netop dette rejsebureau, er den ikke repræsentativ. Selv om den omfatter andre unge, der har været på skiferie end dette rejsebureaus gæster kan man ikke afgøre om, den er repræsentativ. Der skal også tages hensyn til køn, social baggrund, uddannelse, bopæl land/by og mange andre ting. OPGVE 20 De 2253 er muligvis et repræsentativt udvalg af hjemmesidens brugere (det er ikke til at vide), men de udgør ikke et repræsentativt udvalg af befolkningen som helhed alene af den grund, at de udelukkende er valgt blandet læserne af en bestemt hjemmeside.

15 EVLUERING DEL 1 C Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de begreber, de har lært om. DEL 2 Elevaktivitet. Eleverne viser eksempler og skriver deres egen forståelse af de begreber, de har lært om. MTERILER Digitale værktøjer FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TEM: KONFIRMTION DEL 1-3 Ingen faste facits. DEL 3 Kvartilsættet er Nedre kvartil: 0,3 Median: 0,7 Øvre kvartil: 1,5 Det er elevernes argumentation med begrundelser hentet fra boksplottet, der er det centrale. Der er i en vis forstand intet rigtigt svar, men blot en vurdering af i hvilket omfang påstande om klassens forbrug af saft og sodavand kan begrundes i den statistik, boksplottet indeholder. For eksempel kan man se, at ikke alle i klassen lever op til sundhedsstyrelsens anbefaling, idet halvdelen af eleverne drikker 0,7 L eller derover. På samme måde kan andre iagttagelser begrundes ud fra boksplottet. DEL 4 Elevdiagrammer. Intet fast facit. DEL 5 Punktdiagrammer med tendenslinjer. På x-aksen er inddelingen antal år efter 2010 : y = -2,7857x + 54,214 R² = 0,9412 y = 2,7143x + 73,857 R² = 0, Stationær ærbar Lineær (Stationær) Lineær (ærbar)

16 OPGVE 4 - Punktdiagram med tendenslinjer. På den vandrette akse er afsat antal år efter 2012: 80 ntal børn FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING TRÆN 1 FÆRDIGHEDER OPGVE 1 Gennemsnit = 5,6 Størsteværdi 12 Mindsteværdi 02 Variationsbredde 10 C Kvartilsæt (4, 4, 7) Typetal 4 D oksplot: ntal børn Lineær (ntal børn) Ekspon. (ntal børn) Poly. (ntal børn) y = 8x + 36,2 R² = 0,8197 y = 37,941e 0,1465x R² = 0,863 y = 2,5714x 2-2,2857x + 41,343 R² = 0,9382 OPGVE 2 Mindsteværdi 35 Størsteværdi 41 Variationsbredde 6 Kvartilsæt (37, 38, 39) OPGVE 3 oksplot, 8. a Der er i opgaven intet krav om, hvilken tendenslinje der skal vælges. Der er heller ingen oplagte forventninger til, hvordan udviklingen vil være. Her er indtegnet tre forskellige tendenslinjer en lineær, en eksponentiel og en polynomiel. R 2 -værdien er størst for den polynomielle model, så man kunne argumentere for, at med udgangspunkt i de foreliggende data er det den bedste model. C Forventet antal børn I 2017 efter hver af de tre modeller: Lineær model Eksponentiel model Polynomiel model oksplot, 8. b Intet fast facit.

17 OPGVE 5 Efter det oplyste ville man forvente, at Hillary Clinton ville få mindst 42,6 % af stemmerne (og Donald Trump højst 42,4 %). Hillary Clinton fik 48,03 % af stemmerne og Donald Trump fik 45,94 %. Donald Trump blev som bekendt alligevel præsident pga. det særlige amerikanske valgmandssystem. Ifølge meningsmålingerne måtte man forvente, at Hilary Clinton med stor sandsynlighed ville få mellem 42,6 % og 49,4 % af stemmerne, mens Donald Trump ville få mellem35,6 % og 42,4 % af stemmerne. Meningsmålingen kan derfor siges at holde stik for Hillary Clintons vedkommende men ikke for Donald Trumps. OPGVE 4 Hvis der spørges 851 vælgere, er usikkerheden 3,3 procentpoint. Hvis der spørges 2200 vælgere, er usikkerheden 2,1 procentpoint. C Hvis der spørges 6600 vælgere, er usikkerheden 1,2 procentpoint. TRÆN 2 FÆRDIGHEDER OPGVE 1 oksplot: Det gennemsnitlige antal søskende pr. elev er 1,6. OPGVE 2 oksplot: I første oplag af MULTI 8 er her en trykfejl. Middelværdien skal være 4,5 ikke 4,2. Det er faktisk ikke muligt at finde et datasæt med 18 karakterer, som opfylder betingelserne og har middeltallet 4,2. Med middeltal 4,5 vil dette sæt kunne bruges: Karakter x Hyppighed h(x) OPGVE 3 - Ingen faste facits.

18 OPGVE 3 Punktdiagram med tendenslinjer. Den vandrette akse er antal år efter 1990: 16 CO-2-udledning FCITLISTE OG UDDYENDE VEJLEDNING 10 TRÆN 1 PROLEMLØSNING 8 OPGVE 1 -D Ingen faste facits. OPGVE 2 - Elevdiskussion. Ingen faste facits. OPGVE 3 Ingen faste facits. TRÆN 2 PROLEMLØSNING OPGVE 1 f opgavens prikker kan man (i rækkefølge) aflæse: Størsteværdien er 19. Medianen er 15. Størsteværdien er 19. Øvre kvartil er 18. Nedre kvartil er 5. Mindsteværdien er 0. Det giver følgende boksplot: CO-2-udledning Poly. (CO-2-udledning) Lineær (CO-2-udledning) Ekspon. (CO-2-udledning) Elevens vurdering. Intet fast facit. y = -0,0135x 2 + 0,1398x + 10,807 R² = 0,6845 y = -0,1713x + 12,051 R² = 0,5706 y = 12,213e -0,018x R² = 0,6062 Opgaven kan danne udgangspunkt for en samtale om, hvor langt frem det er rimeligt at stole på matematiske modeller. OPGVE 2 - Ingen faste facits.