i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau

Transkript

1 i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau Dette E-læringsmodul er udarbejdet af: Jacob Kjær Hansen Tommerup Skole April 2011

2 Indledning I dette e-læringsmodul vil jeg komme med forslag til, hvordan du som matematiklærer kan arbejde med geometri på computeren. Til arbejdet benyttes Geogebra, der er et helt igennem gratis program. Programmet kan benyttes enten i en online versioner eller downloadet på din egen computer. Geogebra finder du på Hvorfor bruge Geogebra? Kan man ikke bare bruge passer, lineal og vinkelmåler, som det har været gjort i mange år? Jo, men jeg mener samtidig at der bør gøres brug af de gode muligheder vi har på nettet, også selvom du som lærer ikke behersker alle funktioner i programmet fra starten af. Sammen med dine elever udforsker I programmet, og sammen finder i svar og løsninger. Vi, lærere, bør udnytte at vores elever rent faktisk bruger rigtig meget tid på IT og medier, faktisk er de årige i gennemsnit på nettet i godt to timer hver dag, helt præcist 2 timer og 12 min. i gennemsnit (kilde: Gallups børne og ungdomsindex, efterår 2009), men væsentligt er det også, at eleverne har en vi-prøver-os-bare-frem -tilgang til de udfordringer der ligger foran dem. Eleverne leger og eksperimenterer sig frem ofte frem til opgavernes løsning, og er ikke skræmt af at det ikke lykkes i første omgang. Dette e-læringsmodul tager afsæt i matematik, nærmere bestemt opgaver hvor begreber som ind- og omskrevne cirkel, median og vinkelhalveringslinier bearbejdes. Derudover arbejdes med regulære polygoner, deres vinkelsummer og selvfølgelig center- og periferivinkler i disse. Dette er emner, som eleverne bør have arbejdet med inden de forlader 9. klasse. I øvrigt henvises til trinmålene efter 9. klasse. Modulet retter sig mod elever på 7. klassetrin, men du kan selvfølgelig både op- og nedgradere, så det passer lige netop til din klasse og dine elever. Modulet er opbygget således, at du som lærer udarbejder nogle simple opgaver ud fra en nøje beskrevet fremgangsmåde, hvorefter det er elevernes tur til at arbejdet med Geogebra. Du kan også vælge, at bruge de opgaver I alligevel ville have arbejdet med i klassen, altså dem fra grundbogen, opgavehæfter eller lign. På næste side er desuden en lille læsevejledning til modulet. God fornøjelse Jacob Kjær Hansen April 2011 Side 2 af 13

3 Målet med e-læringsmodulet Målet med dette e-læringsmodul er, at du opnår færdigheder i at bruge Geogebra i undervisningen på 7. klassetrin. Du bliver altså i stand til at bruge programmet på et sådant niveau, der gør, at du trygt kan sætte dine elever til at arbejde med forskellige geometriske begreber som fx median, vinkelhalveringslinier, om- og indskrevne cirkler samt center- og periferivinkler i regulære polygoner i programmet. Derudover vil du opnå et indblik i nogle af programmets funktioner, som kan være nyttige at kende til. Faghæfte 12 og 48 Fra faghæfte 12 om matematik arbejder du med flere forskellige kompetencer, bla. tankegangs- og hjælpemiddelkompetencen. I fht. trinmålene inddrages både arbejdet med tal og algebra samt arbejdet med geometri mens eleverne også indgår i dialog om matematikken og de løsninger, der fremkommer. Hvad angår relationen til faghæfte 48, så er den todelt. For det første kommer du omkring temaet Produktion og formidling, hvor det netop er elevernes fremstilling af forskellige geometriske figurer samt elevernes mundtlighed omkring arbejdet samt resultaterne, der vægtes. Det andet tema der berøres, er temaet om Kommunikation, vidensdeling og samarbejde, da dette tema netop påpeger vigtigheden af, at dine elever opnår kompetencer i fht. nogle af de mange undervisnings- og læringsressourcer der findes online. Læsevejledning Det anbefales, at du har dette e-læringsmodul og Geogebra åbnet samtidig. Derved har du mulighed for hurtigt at skifte mellem dem. Åben Geogebra (se vejledning Geogebra kort introduktion på næste side) og arranger således at du har Geogebra-programmet åbent i den ene side af skærmen og denne vejledning i den anden. Alternativt kan e-læringsmodulet selvfølgelig printes, hvorved du har hele skærmen til Geogebra. I modulet er desuden forslag til elev-opgaver samt tydelig trin-for-trin-vejledning i fht. din forberedelse. Side 3 af 13

4 Geogebra opstart for første gang Har du haft startet Geogebra før, så gå evt. til næste side. Ellers: Gå ind på Klik på download klik på webstart eller Applet Start Webstarten udfører en mindre installation på computeren, hvilket gør, at der kan arbejdes med programmet offline. Dette er en klar fordel, hvis man bruger bærbare, og der ikke er trådløst netværk eller hvis netværket skulle være utilgængeligt. Webstarten lægger desuden et ikon på skrivebordet, så programmet er hurtigt at starte de efterfølgende gange. Benyttes Applet en vil alt arbejde foregå online, og ingen installation er nødvendig. Klart en fordel hvis lærer eller elever ikke har rettigheder til installation af ny software. Geogebra programmet vil ikke starte! Geogebra kræver seneste version af Java, men dette burde programmet selv tjekke og om nødvendigt omdirigere til hjemmesiden, hvorfra Java kan opdateres. Skulle dette give anledning til problemer, så kontakt din IT-vejleder, der helt sikkert vil kunne hjælpe dig. Side 4 af 13

5 Geogebra præsentation Kender du Geogebra s opbygning: Gå til næste side! Når Java er opdateret, vil Geogebra starte i det valgte mode, og du vil se billedet til højre. Dog uden farver, der er sat på for at markere de respektive felter. Menulinie: Her kan du tilpasse programmets indstillinger. Det er bla. under Fil, at du gemmer dit arbejde. Værktøjer: Her vælger du de værktøjer, du vil benytte på Tegneblokken. Bemærk at der er en lille trekant i nederste højre hjørne af disse ikoner. Hvis du klikker på ikonet, når den lille trekant bliver rød, så ruller ikonerne ned, og der vises flere værktøjer under ikonet. Klik for at vælge. Tegneblok: Her tegnes de figurer mm, der skal fremstilles. Højreklik for bla. at sætte gitter på tegneblokken. Dette øger overskueligheden betragteligt og anbefales især til de yngste årgange, men elever på mellemtrin og i overbygningen vil også have fordel af dette. Farverne herover vil du ikke se i programmet. De er sat på billedet for at markere de enkelte områder. Algebra-vinduet: Her vil koordinater, linjers ligning og længder, arealer og meget mere blive vist efterhånden som figurerne tegnes på blokken. Vinduet kan du deaktivere/lukke på X et øverst til højre. Fortryd-knappen: En god ven hvis du får trykket på noget, der ikke var meningen. Nu er vi klar til at bruge Geogebra sæt i gang! Side 5 af 13

6 Trekantens ind- og omskrevne cirkel Opgave 1.1 Eleverne skal arbejde med trekantens indskrevne cirkel, der som bekendt fremkommer vha. vinkelhalveringslinierne. Eleverne afsætter vinkelhalveringslinierne i trekanterne vha. Geogebra. I Geogebra skal eleverne benytte vinkelhalverings-værktøjet (under 4. ikon fra venstre). Klik på de to linier der danner vinklen, hvorefter halveringslinien (samt en vinkelret linie i vinklens toppunkt) afsættes. Den vinkelrette linie i toppunktet kan fjernes ved at højreklikke på linien -> Vis objekt. Markér vinkelhalveringsliniernes skæringspunkt vha. værktøjet Skæring mellem to objekter (2. ikon fra venstre). Den indskrevne cirkel kan nu tegnes med centrum i vinkelhalveringsliniernes skæringspunkt. Til dette benyttes værktøjet Cirkel ud fra centrum og punkt (er under 6. ikon fra venstre). Klik på centrum og dernæst på én af trekantens sider (For meget præcis tegning bør radius beregnes vha. nedenstående formel). Lærerens forarbejde: Indtegn 5-6 forskellige trekanter i et tomt Geogebradokument. Fjern evt. X- og Y-aksen (Vis -> Akse) og sæt evt. gitter på tegneblokken (Vis -> Gitter). Tegn trekanterne vha. polygon-værktøjet (5. ikon fra venstre). Klik hvor hjørnerne skal være og fuldend figuren ved at klikke på første hjørne igen. Benævnelser på linjer og punkter kan evt. fjernes (højreklik på linje hhv. punkt - > Vis navn). Alternativt kan værktøjet Vis/skjul navn (under 1. ikon fra højre) benyttes. Dette fungerer ved at klikke på linier, punkter mm hvor navnet skal vises hhv. skjules. Giv evt. trekanterne navne vha. tekst-værktøjet, der findes under 2. ikon fra højre. Figurerne kan evt. også gives andre farver (højreklik på figuren -> egenskaber -> farve). Derudover skal filen gemmes og distribueres til eleverne. Dette kan gøres via mail, intranet, USB-nøgle eller lign. Ekstra: Cirklens radius (r) kan også beregnes. Dette gøres vha. denne formel: Skærmbillede til opgave 1.1 hvor s er cirklens halve omkreds, dvs. ½(a+b+c). Nogle af de dygtigste elever kan måske lege lidt med denne formel, afprøve den og måske forklare den for de andre. Skærmbillede til opgave 1.1 Side 6 af 13

7 Opgave 1.2 Lad eleverne arbejde med trekantens omskrevne cirkel, der fremkommer ved indtegning af trekantens midtnormaler. Eleverne kan enten genbruge trekanterne fra opgave 1.1, eller tegne deres egne. Midtnormalerne sættes på trekanterne ved at benytte midtnormalværktøjet, der findes under 4. ikon fra venstre. Klik på linierne efter valg af værktøjet, og midtnormalerne bliver indsat på tegningen. Markér midtnormalernes skæringspunkt vha. værktøjet Skæring mellem to objekter (2. ikon fra venstre), og tegn dernæst den omskrevne cirkel. Dette gøres med værktøjet Cirkel ud fra centrum og punkt (findes under 6. ikon fra venstre). Klik på midtnormalernes skæringspunkt, der er cirklens centrum og dernæst på én af trekantens vinkelspidser. (For meget præcis tegning bør radius beregnes vha. nedenstående formel). Lærerens forarbejde: Umiddelbart ingen, dokumentet fra opgave 1.1 kan evt. omdøbes og genbruges. Ekstra: Cirklens radius (r) kan også beregnes. Dette gøres vha. denne formel: hvor s er cirklens halve omkreds, udtrykt vha.: Skærmbilleder til opgave 1.2 Nogle af de dygtigste elever kan sagtens udfordres lidt, dvs. lege lidt med denne formel, afprøve og måske forklare den for de andre. Side 7 af 13

8 Opgave-forslag 2 Trekantens medianer Opgave 2.1 Eleverne skal indtegne medianer på forskellige trekanter der indtegnes i et Geogebra-dokument (læreren kan evt. have udarbejdet disse på forhånd). For at indtegne medianer, dvs. den linie der går fra vinkelspids og til det modstående liniestykkes midtpunkt, skal forskellige Geogebra-værktøjer benyttes. 1. Benyt midtnormal-værktøjet (under 4. ikon fra venstre) og klik på alle tre linier i trekanten. 2. Nu skal midtpunktet markeres med et punkt. Benyt værktøjet Skæring mellem to objekter, der findes under 2. ikon fra venstre. Klik på én af trekantens liniestykker samt dennes midtnormal. 3. Fjern midtnormalerne ved at klikke på de grålige knapper i algebra-vinduet (se den blå ramme til højre) eller ved at højreklikke på linien -> Vis objekt. Alternativt kan værktøjet Vis/skjul navn (under 1. ikon fra højre) benyttes. 4. Tegn linier fra vinkelspidserne til midtpunkterne på det modstående liniestykker. Hvis liniernes navne virker forstyrrende, så kan disse fjernes (højreklik på linien -> Vis navn) Trekanternes medianer er nu indtegnet. Husk at eleverne skal gemme deres arbejde undervejs. Dette er vigtigt da, dokumentet skal bruges i den følgende opgave. Lærerens forarbejde: Umiddelbart ingen, men læreren kan selvfølgelig lave trekanterne på forhånd. Start med at fjerne X- og Y-aksen (Vis -> Akse) og sæt gitter på tegneblokken (Vis -> Gitter). Tegn trekanterne vha. polygon-værktøjet (5. ikon fra venstre). Klik hvor hjørnerne skal være og fuldend figuren ved at klikke på første hjørne igen. Benævnelser på linjer og punkter kan evt. fjernes (højreklik på linje hhv. punkt - > Vis navn). Skærmbillede til opgave 2.1 Skærmbillede til opgave 2.1 Side 8 af 13

9 Opgave 2.2 Eleverne skal nu undersøge afstanden fra vinkelspids (punkt E på billedet til højre) og til det fælles skæringspunkt (punkt M) samt afstanden fra det fælles skæringspunkt og videre til det modstående liniestykkes midtpunkt (punkt K). Til dette benyttes måle-værktøjet der findes under 4. ikon fra højre. Klik på de punkter hvor afstanden skal måles imellem. Afstanden indsættes nu på tegningen. Lærerens forarbejde: Umiddelbart ingen, da eleverne genbruger trekanterne fra opgave 2.1 Obs: Forholdet mellem liniestykkerne EM og MK på tegningen til højre er 1:2, da EM udgør 2/3 af afstanden mellem punkt E og K. MK må derfor udgøre 1/3 af liniestykket EK. Det længste stykke vil i øvrigt altid være ved vinkelspidsen. Opgave 2.3 Eleverne kan ligeledes arbejde med Herons formel der er udtrykt ved:, hvor T er trekantens areal og s er trekantens halve omkreds, der kan beregnes via: Passer denne formel på samtlige trekanter der kan tegnes, eller findes der undtagelser? Lærerens forarbejde: Umiddelbart ingen. Opgave 2.4 Lad evt. de dygtigste elever prøve kræfter med formlerne for hhv. den ind- og omskrevne cirkel (se evt. mere i opgave 1.1 og 1.2). Radius for trekantens indskrevne cirkel er: mens er udtryk for radius i den omskrevne cirkel. T er trekantens areal, jf. opgave 2.3 Lærerens forarbejde: Ingen. Skærmbilleder til opgave 2.2 Side 9 af 13

10 Opgave-forslag 3 regulære polygoner Opgave 3.1: Eleverne skal konstruerer regulære polygoner samt angive hver figurs samlede vinkelsum, centervinkel, periferivinkel samt antallet af linier i figuren. Opgaven kan angribes fra to sider. 1. Eleven kan starte med at tegne en tilfældig cirkel samt udregne centervinklen. Centervinklen er 360 divideret med antallet af kanter. Marker et punkt på cirklen og afsæt dernæst centervinkler svarende til antallet af kanter. Forbind nu alle punkter i polygonen med linier vha. værktøjet Liniestykke mellem to punkter (findes ved 3. ikon fra venstre). 2. Eleven kan også benytte Regulær polygon-værktøjet (under 5. ikon fra venstre). Vælg værktøjet og klik dernæst to gange på tegneblokken. Afstanden mellem de to klik på tegneblokken angiver afstanden mellem punkterne i polygonen. (Dette kan ændres senere). Nu åbnes en dialogboks, hvor man skal angive antallet af kanter i polygonen. Find nu centrum af figuren. Ved et lige antal kanter tegnes diagonalerne (benyt værktøjet Liniestykke mellem to punkter 3. ikon fra venstre) eller midtnormalerne ved ulige antal kanter. Midtnormalerne tegnes med Midtnormal-værktøjet ved 4. ikon fra venstre. Angiv centrum ved at benytte værktøjet Skæring mellem to objekter (2. ikon fra venstre). Klik på to af diagonalerne eller to af midtnormalerne for at afsætte punktet. I polygoner med et ulige antal kanter skal diagonalerne desuden tegnes, hvorefter center- og periferivinkler kan måles med Geogebras vinkelmåler (4. ikon fra højre). Vinkelmåleren bruges ved at klikke på vinklens højre ben og dernæst venstre, hvorefter vinklens gradtal sættes på tegningen. Indtegn til sidst samtlige linier mellem polygonens punkter. Disse svar/oplysninger om hver enkelt figur kan evt. samles i Geogebras regneark (som vist på eksemplet til højre). Lærerens forarbejde: Læreren kan tegne de forskellige polygoner til eleverne alt efter hvor fortrolige de er med Geogebra. Men det er bestemt en god øvelse at eleverne selv tegner polygonerne, selv får gjort notater undervejs etc. Disse notater kan gemmes og være en hjælp når arbejdet evt. skal præsenteres. Skærmbillede til opgave 3.1 Skærmbilleder til opgave 3.1 Side 10 af 13

11 Opgave 3.2 Eleverne skal nu forsøge at udlede en alment gældende formel for udregning af periferivinklen. I opgave 3.1 blev det oplyst at centervinklen kan udregnes som, hvor n er antallet af kanter i polygonen. Lad eleverne arbejde med de data de selv har fundet frem til i opgave 3.1, og se om de kan komme med bud på hvordan periferivinklen kan udtrykkes vha. antallet af kanter. Periferivinklen kan som bekendt beregnes via: eller Lærerens forarbejde: Se under opgave 3.3 Opgave 3.3 Eleverne skal på samme vis som i opgave 3.2 forsøge at udlede en formel der gør dem i strand til at udregne vinkelsummen i en tilfældig polygon. Antallet af kanter kan betegnes som n, hvilket gør nedenstående til løsning på denne opgave. Lærerens forarbejde: I disse opgaver (3.2 og 3.3) er der ikke en decideret forberedelse for læreren, da eleverne arbejder eksperimenterende og problemløsende med deres egne data. Læreren kan selvfølgelig gøre disse data klar til eleverne, men det er bestemt ikke nødvendigt. Især ikke for de dygtigste elever. Skærmbillede til opgave 3.2 og 3.3 Side 11 af 13

12 Opgave 3.4 (en svær opgave også for elever i 8. og 9. kl.) Lad hurtige og/eller dygtige elever undersøge hvilke forhold der er nødvendige for at kunne tegne en firkants omskrevne cirkel. Lærerens forarbejde: Indtegn forskellige firkanter i et tomt Geogebradokument. Under menupunktet Indstillinger -> Afrunding kan antallet af decimaler sættes til 0, dvs. alle tal afrundes til hele tal. Info: For at kunne tegne en firkants omskrevne cirkel er det nødvendigt at visse betingelser er opfyldt. Bla. skal de modstående vinkler være supplementvinkler, dvs. summen af de to vinkler skal være 180. Produktet af diagonalerne (D1 og D2) skal desuden være lig med summen af de modstående siders produkt (ac + bd). Fx gælder dette for figur A: Dvs. firkanten kan omskrives af en cirkel. Skærmbillede til opgave 3.4 Side 12 af 13

13 Evaluering af undervisningen med Geogebra At undervisningen skal evalueres er der ingen tvivl om, men hvordan dette gøres er selvfølgelig meget individuelt og afhænger også af praksis på netop din skole. Dette Geogebra-forløb, der kommer omkring former, symmetri, arealer og længder bør du kigge på indholdet i fht. bla. form, indhold, sværhedsgrad, udbytte etc. Dette er parametre hvor du direkte kan justere, for på den måde, at målrette indholdet til netop din skole og dine elever. Men hvordan kan du vurdere elevernes læring? Er det dig der skal være primus motor og trække svar, løsninger og oplysninger ud af eleven? Det mener jeg ikke at det er. Eleverne bør mundtligt præsentere deres figurer og løsninger (fx vha. interaktive tavle, overhead, projektor). Dette kan gøres for dig og klassen, for dig og en mindre grupper elever eller kun for dig. Hvad der vælges er igen meget individuelt. Tag evt. afsæt i hvad der tidligere har fungeret med dine elever, men forsøg også nyt. Denne model tvinger eleverne til at reflekterer over egen indsats, engagement og produktivitet, hvilket er fundamentet for elevernes opbygning af færdigheder og kompetencer. Jeg mener at det er vigtigt at eleverne får brugt de matematiske fagudtryk de har arbejdet med i forløbet omkring de forskellige geometriske figurer. Et eksempel: Er det fx i orden at eleverne slår streger eller bør de sige: Jeg tegner en ret linie mellem punkterne I min optik er det særdeles vigtigt at matematikundervisningen får fokuseret på dette, også selvom der ikke venter en mundtlig prøve efter 9. klasse. Afsluttende kommentarer Der er selvfølgelig mange spørgsmål du bør/skal tage stilling til i forbindelse med din undervisning, ikke mindst hvorfor og hvornår er det brugbart at benytte IT i undervisningen? Et meget enkelt og helt konkret spørgsmål: Hvorfor bruge computeren og internettet til læring omkring geometri, når dette emne i mange tidligere år er blevet behandlet på bedste vis vha. papir, blyant, passer, vinkelmåler og lineal? At bruge IT som værktøj, altså til løsning af givne opgaver har vi kendt til i en længere periode, da det netop har været muligt at få computeren til at udregne produktet at to store tal eller til at generere et større antal udfald, fx i forbindelse med kast med terninger. Det er imidlertid også muligt at tænke på IT som et medie, et medie, der kan lette tilgangen af information og/eller være en hjælp i forbindelse med en præsentation af et givent emne eller område. Geogebra kan altså anvendes både som løsningsværktøj og som medie, hvor det er muligt at udtrykke og præsenterer dele af matematikkens mange sider. At Geogebra er et nyttigt værktøj, kan eksemplificeres ved, at programmet kan lette arbejdsgangen (både hos elever og lærere) i forbindelse med fremstilling af (præcise) figurer, vinkelrette linier mm. Det er selvfølgelig vigtigt, at eleverne kan bruge en fysisk passer, vinkelmåler og lineal, men hvorfor undlade at hjælpe eleverne hvis det er muligt. Der er mange andre gode grunde til både det ene og det andet, men at anskue IT i matematikken som både et værktøj og som et medie mener jeg giver rigtig god mening. Til slut vil jeg gøre opmærksom på at jeg har udarbejdet yderligere to e-læringsmoduler i stil med dette. Det ene knytter sig til former, symmetri, arealer og længder og sigter på 3. klasse, mens det andet omhandler arealer, vinkler, polygoner og vinkelsummer og er målrettet 5. klasse. Begge findes på Side 13 af 13