06 Formler i retvinklede trekanter del 2

Transkript

1 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS Betragtes en enhedscirkel med definitionen af sinus og cosinus indtegnet se figur Bruges Pythagoras på denne trekant fås Figuren viser umiddelbart kun situationen for værdier af vinklen v mellem 0 og 90. Men da (-cos(v)) 2 = cos 2 (v) og (-sin(v)) 2 = sin 2 (v), gælder sammenhængen for alle værdier af v. Se også s. 129 i Mat A1 (grundbogen). Her kaldes formlen for Grundrelationen et andet navn (mere normalt, men til gengæld knap så sympatisk) er Idiot-formlen! Opgaver fra opgavebogen, som handler om grundrelationen: 432, 433 (se s. 52) Lærer: Casper Dahl Rasmussen Side 1

2 Sætning 2 Geometrisk tolkning af tangens Ud fra definitionen af sinus og cosinus i en enhedscirkel kan man udledes en geometrisk betydning af tangens. På figuren ses to ensvinklede trekanter den lille røde inde i enhedscirklen med katete-længderne cos(v) og sin(v) og den store blå med katete-længderne 1 (pga. enhedscirklen) og a. Her vil vi så vise, at a i den blå trekant er tan(v) som det er skrevet på figuren. BEVIS Størrelsesforholdet mellem de to trekanter beregnes: Den anden katete i den blå trekant beregnes ved at gange op med størrelsesforholdet: Den trigonometriske funktion tan(v) var netop defineret som sinus divideret med cosinus, så derfor og beviset er fuldført. Se også s i Mat A1 (grundbogen). Opgaver fra opgavebogen, som handler om den geometriske tolkning af tangens: 423, 424 (se s. 51) En video fra nettet om den geometriske tolkning af tangens: Spørgsmål til overvejelse i forbindelse med videoen: a) Hvilken funktion er det egentlig, som Arne har konstrueret i GeoGebra... tan(v) eller arctan(x)? b) Kunne man lave konstruktionen smartere? Lærer: Casper Dahl Rasmussen Side 2

3 Sætning 3 Formler i retvinklede trekanter I en retvinklet trekant med følgende betegnelser for vinkler og sidelængder gælder disse vigtige formler: BEVIS Beviset bruger størrelsesforholdet mellem ensvinklede trekanter man sammenligner den store røde trekant med den lille blå inde i enhedscirklen (note: den røde trekant kan selvfølgelig godt være mindre end den blå enhedstrekant, så bliver størrelsesforholdet bare mindre end 1) se figur: Lærer: Casper Dahl Rasmussen Side 3

4 Først beregnes størrelsesforholdet: Så opstilles udtryk for siderne a og b ud fra størrelsesforholdet: Da størrelsesforholdet er beregnet til at være c, indsættes det i de to udtryk: Der divideres med c på begge sider af lighedstegnet: og dermed er to af de ønskede formler bevist. Da siden a kaldes den modstående katete i forhold til vinklen A, og siden lille b kaldes den hosliggende katete i forhold til vinklen A, og siden c kaldes hypotenusen (den længste af de tre sider i en retvinklet trekant), kan de to formler også skrives som Den tredje formel (med tangens) kan bevises ud fra definitionen af tangens: I denne definition indsættes de to formler for sinus og cosinus, som lige er udledt, og udtrykket reduceres (brøken forlænges med c): og dermed er den tredje formel bevist. Lærer: Casper Dahl Rasmussen Side 4

5 Se også s i Mat A (grundbogen). Eksempler på brug af formlerne i beregninger: Eksempel 3 se s. 135 Eksempel 4 se s. 136 Opgaver fra opgavebogen, som handler om brugen af formlerne i de retvinklede trekanter (inklusive Pythagoras og ensvinklede trekanter): (se s ). Hjælp på nettet Disse formler kan bevises på mange forskellige måder, og I kan finde et hav af videoer på nettet, hvor folk gennemgår og forklarer beviserne (og diverse sammenhænge mellem sinus, cosinus, tangens og trekanter). Her er nogle eksempler (link til FriViden): Sinus, cosinus og tangens defineret ud fra enhedscirklen: Beviserne for formlerne: Beregningseksempler hvordan bruger man formlerne til konkrete beregninger Hvor mange trekanter? Lærer: Casper Dahl Rasmussen Side 5

6 Opgaver Opgave 2 Opgave 3 Lærer: Casper Dahl Rasmussen Side 6

7 OPG. 4 FRA OPGAVEBOGEN a) Opg. 444 i opgavebogen (se s. 54) b) Opg. 448 og opg. 450 i opgavebogen (se s. 55) c) Opg. 454 i opgavebogen (se s. 55) d) Opg. 457 i opgavebogen (se s. 56) og opg. 466 i opgavebogen (se s. 58) e) Opg. 459 i opgavebogen (se s. 56) f) Opg. 461 i opgavebogen (se s ) g) Opg. 463 i opgavebogen (se s. 57) h) Opg. 467 i opgavebogen (se s. 58) Lærer: Casper Dahl Rasmussen Side 7