Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Transkript

1 VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

2 Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages beregninger til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion. B Skal der f.eks. fremstilles en tanktop eller en keglestub, er det meget hurtigere at beregne klipperadius samt kordemål frem for at bruge konstruktionsmetoden. Jo større emner, jo mere besværlig bliver c konstruktionsmetoden. Ud over dette er a beregningsmetoden 100% præcis. Katete Hypotenusen De trigonometriske funktioner: C Katete b A De trigonometriske funktioner gælder kun for retvinklede trekanter. Den længste side c benævnes som hypotenusen, siderne a og b som kateter Vinklerne i trekanter benævnes som A- B- C. (C er her 90 ). Eks. Kendes vinkel A, er kateten a den modstående katete, og katete b er den hosliggende katete. Hvad er sinus (SIN: Forholdet mellem modstående katete og hypotenusen) Kvadranten, der er tegnet herunder, har en radius på 1, for at vi nemt kan aflæse værdien af sinus. Vinklen som er indtegnet på figuren herunder er på 35. Som det fremgår, aflæses sinus (SIN) værdien på den lodrette akse (Y-aksen). Hvis vi dividerer længden af den modstående katete med længdeb af hypotenuse og får tallene 0,5736, svarer det til en vinkel på 35. Altså er sin til 35 lig med 0,5736. Dette tal er afrundet, da værdien som regel er en uendelig decimalbrøk. Fire decimaler vil i de fleste tilfælde være tilstrækkelig nøjagtig for håndværkeren. Lommeregneren er også udstyret med en 2nd-tast, hvilket vil sige at vi kan regne "baglæns". Hvis vi trykker 2nd, derefter sin- 1, indtaster 0,5736 vises resultatet 35, når der trykkes på enter, hvilket svarer til vinklen 35. Hvis vi kender vinklen, kan vi således finde SIN til vinklen. Hvis vi kender SIN til vinklen, kan vi finde vinklen. 1

3 Hvad er cosinus (COS: Forholdet mellem den hosliggende katete og hupotenusen) Herunder vises den samme kvadrant og vinkel på 35 som på forrige side. Som det fremgår, aflæses cosinus (COS) værdien på den vandrette akse (X-aksen). Hvis vi dividerer længden af den hosliggende katete med længden af hypotenusen og får tallene 0,8192, svarer det til at vinklen er 35. Altså er cos til 35 lig med 0,8192. Lommeregneren er også udstyret med en 2nd-tast, hvilket vil sige at vi kan regne "baglæns". Hvis vi trykker 2nd, derefter cos- 1, indtaster 0,8192 vises resultatet 35, når der trykkes på enter, hvilket svarer til vinklen 35. Hvis vi kender vinklen, kan vi således finde COS til vinklen. Hvis vi kender COS til vinklen, kan vi finde vinklen. 2

4 Hvad er tangens (TAN: forholdet mellem den modstående katete og den hosliggende katete) Herunder vises den samme kvadrant og vinkel på 35 som på forrige side. Som det fremgår, aflæses tangens (TAN) værdien på en lodret linie, hvis udgangspunkt tangerer cirklen i det punkt hvor cirkelperiferien skærer X-aksen. Hvis vi dividerer længden på den modstående katete med længden på den hosliggende katete og får tallene 0,7002, svarer det til at vinklen er 35. Altså er tan til 35 lig med 0,7002. Også her kan vi regne "baglæns". Hvis vi trykker 2nd, derefter tan- 1,indtaster 0,7002,vises resultatet 35, når der trykkes på enter, hvilket svarer til vinklen 35. Hvis vi kender vinklen, kan vi således finde TAN til vinklen. Hvis vi kender TAN til vinklen, kan vi finde vinklen. 3

5 Pythagoras I en retvinklet trekant kaldes de to sider nærmest den rette vinkel for kateterne, og siden modsat den rette vinkel for hypotenusen. Pythagoras læresætning Kvadratet på hypotenusen i en retvinklet trekant er lig summen af kateternes kvadrat. c² = a² + b² a² = c² - b² b² = c² + a² Pythagoras Formlerne er her omskrevet, således at de umiddelbart giver løsningen af en ubekendt side såfremt to af siderne kendes: 2 2 a= c -b 2 2 b= c - a 2 2 c= a +b I nedenstående eksempel antager vi at den retvinklede trekants sider har følgende mål: a = 3 b = 4 Den ubekendte er altså c. Vi bruger derfor den nederste af ovenstående formler. 2 2 c= c= 9+16 c= 25 c=5 a Kateten b Hypotenusen c Kateten a b? 4

6 Om brug af lommeregneren Herunder gives en kort forklaring til nogle af lommeregnerens funktioner og taster. Da lommeregnere fås i forskellige typer, mærker og prisklasser, henvises der til manualen til den enkelte lommeregner for uddybende forklaring. Tast 1 x eller x - 1 Forklaring og funktion Den reciprokke værdi af 2 er 1 2 = 0,5 x² Ganger tallet med sig selv (X X) x Kvadratrod - finder det tal som ganget med sig selv giver x (f.eks.: 4 = 2 2 = 2) DRG 2nd SIN COS TAN y x K Vinkelmålsvælger - når der står DEG i lyspanelet vises vinkler i grader. Visse af tasterne har to funktioner. Ved at taste 2nd vælges tastens anden funktion. Sinus - funktion Cosinus - funktion Tangens - funktion Potensopløftning Konstanttast - kan lagre et tal og et tegn som kan bruges flere gange som en konstant. Pi - tasten - med en tilnærmet værdi: = 3,1416 % Procenttasten ( ) Parentestasten - bestemmer beregningsrækkefølgen for algebraiske tals regneregler. STO RCL EXC SUM Lagring Fremkalder - henter værdien fra lageret Ombytning - Ombytter tallet i lyspanelet med værdien i lageret (STO). Summering - lægger tallet i lyspanelet til tallet i lageret. 5

7 Formler: Skal sin-cos-tan bruges til beregninger, stilles formlerne op som vist herunder. Forudsætningen for at anvende formlerne, skal vinklen kendes. Hvis man forestiller sig, at man stiller sig ved trekanten, der hvor vinklen kendes, vil kateterne benævnes som vist. Den længste side, benævnes altid hypotenusen. Den hosliggende, er der katete der ligger nærmest hos dig Den modstående er den katete der er længst væk, på den modsatte side. Modstående katete Hypotenusen Cos : Sin : Hosliggende Hypotenusen Modstående Hypotenusen Hosliggende katete V Tan : Modstående Hosliggende Vender trekanten på det andet led, og man stiller sig ved den kendte vinklen, er den hosliggende stadig den nærmeste katete. Hypotenusen Modstående katete V Hosliggende katete Ved COS. til en vinkel (V ) forstås forholdet mellem den hosliggende katete (siden der er nærmest vinklen)og hypotenusen. Altså den hosliggende divideres med hypotenusen. Ved SIN. til en vinkel (V ) forstås forholdet mellem den modstående katete (siden på den modsatte side af vinklen) og hypotenusen Altså den modstående divideres med hypotenusen. Ved TAN. til en vinkel (V ) forstås forholdet mellem den modstående katete (siden på den modsatte side af vinklen) og den hosliggende (siden der er nærmest vinklen) Altså den modstående divideres med den hosliggende. 6

8 Eksempel på en beregning: På denne trekant kender vi vinklen samt den hosliggende katete, og hypotenusen (c) ønskes beregnet. Formlen der skal bruges er cos, da der er tale om et forhold mellem hosliggende katete og hypotenusen. Cos : Hosliggend e c = Hypotenusen b Indskriv i formlen de kendte tal: Cos 34 = 400 c 400 cos34 Det er c der skal beregnes, og tastes på følgende måde på lommeregneren: 400/Cos 34 = 482,4872 = c Modstående katete =a c= Hypotenusen =c Hosliggende katete =b Skal den modstående katete beregnes, er det et forhold mellem den modstående - og hosliggende katete, det vil sige at formlen tan skal bruges. Tan : Modstående a = Hosliggende b Indskriv som før de kendte tal: X Tan 34 = a = tan Det er a der skal beregnes, og tastes på følgende måde på lommeregneren: a = 400 tan 34 =269,8034 7

9 Skal vinklen(v)beregnes, altså hvor siderne kendes, anvendes samme formler dog i cos- 1, tan- 1 og sin- 1. (tryk først på 2nd tasten, derefter cos, tan osv) Med samme trekant som udgangspunkt, hvor den hosliggende- og modstående katete kendes, vil beregningen se således ud: V = Tan- 1 Modstående Hosliggende V = Tan = 34 Da hypotenusen tidligere er beregnet, skal vinklen beregnes med følgende formel. V = Cos- 1 Hosliggende Hypotenusen V = Cos ,4872 = 34 V = Sin- 1 Modstående Hypotenusen 269,8034 V =Sin ,4872 = 34 8

10 Beregning af bukkevinkel for ligesidet pyramidestubbe: 90 For at pyramidestubben kan bukkes, skal bukkevinklen beregnes. Den vinkel der skal udregnes, ligger i 90 på bukket. Bukkevinklen beregnes på følgende måde: Beregning Først skal målet X beregnes. Her bruges Pythagoras formlen igen Y 2 + Y 2 = X Højde Y v Y X X X Q Højde Q Z X Q Z ½V Ved 1. beregning skal der bruges X og den færdige højde: Beregn vinklen med: højden tan -1. = V X Ved 2. beregning skal Z findes. Vinklen samt X kendes. 2. beregning Z vinkel 3. beregning Når Z er beregnet, skal siderne Z og Q bruges til at beregne vinklen med. Når overgangsstykket er koncentrisk, vil X og Q være det samme. Beregn vinklen med siderne Q og Z. Dette er den halve bukkevinkel, og skal derfor ganges med 2, bukkevinklen er herefter beregnet. Formel til beregning: Q ½ V =Tan -1 Z X Siden beregnes med: Modstående Z Sin V = = Z = sin V X Hypotenusen X 9

11 Beregning af bukkevinkler for sekskant: Bukkevinklen beregnes vinkelret ud fra bukkelinien. Figur 1. Beregningen påbegyndes med at afsætte et vilkårlig mål, på bundfladen, set fra oven, her er 50 mm. anvendt. Vinklen på en sekskant er 120 pr. del. Det vil sige at siden som er angivet med beregnes kan nu findes. Siden giver 86,60 mm. Formel: Modstående " beregnes" Tan V = = TanV = Tan60 50 = 86, 60 Hosliggende 50 Figur beregnes 10

12 Figur 2. Figur 2. På figur 2 ses de næste beregning. Ved hjælp af de 50 mm. som blev indsat før, beregnes vinklen først (50,19 ). Beregn nu det liniestykke der rammer vinkelret på bukkelinien. Liniestykket er 38,41 mm. Formlerne beregnes og indskrives nederst på siden. beregnes 90 beregnes 50 Ved at anvende tan -1 beregnes vinklen, som ses i figur 3. Bukkevinklen er 132,16 Figur 8. Beregnes og ganges med 2 = bukkevinkel Figur 3. 38,41 86,6 11

13 Formel til beregning af knærør: I forbindelse med udfoldning af knærør, kan vi anvende tabeller til at beregne længderne på frembringerne. Tabellerne kan udformes til alle tænkelige delinger f.eks. 12-, 24- eller 48-deling af røret. I det efterfølgende eksempel vil vi anvende tabellen for 12-deling af røret. V b V1 D Inden vi kan anvende tabellen skal vi først have beregnet b-målet på figuren. For at kunne beregne b-målet skal skæringsvinklen (V1 ) først beregnes. Til brug ved udfoldningen skal vi ligeledes have beregnet rørets omkreds. V1 = skæringsvinkel = V 2 Omkreds = D π (for pladeudfoldning husk pladetykkelse: middeldiameter π ) b = tan V1 D 12

14 Beregning af skrå rør ved 12-deling Herunder ses en 12-deling af hele rørets omkreds. Da vi kun ser den ene halvdel af røret på en plantegning, er denne opdelt i 6 lige store stykker. frembringer 7=0 1=180 6=30 2=150 5=60 3=120 4=90 Ved en 12-deling har vi behov for at beregne længderne på de 7 frembringer. På forrige side beregnede vi b-målet, som nu indgår som en konstant i formlerne. Herunder vises tabellen for 12-deling af snit i runde rør. 1 = b 0,0 2 = b 0,067 3 = b 0,25 4 = b 0,5 5 = b 0,75 6 = b 0,933 7 = b 1,0 1-2 = omkreds 12 Herunder er vist beregning af konstant for frembringer nr.2. D= 2 R= 1 V= 150 r + (r cos vo) Konstant frembringer = D 7 Udfoldning af skrå rør 1 7 Frembringer 1+ (1 cos150) Konstant frembringer = = 0, middeldiameter PI 13

15 Beregning af rundt til firkant overgang Eksempel: Formler til beregning af sande længder: h r B1 B4 1-2 = r π A1 = h +(BC-r ) B1 = h +(BC-r ) + AB B2 = h +(BC-r sin60 ) +(AB-r cos 60 ) B3 = h +(BC-r sin30 ) +(AB-r cos 30 ) B4 = h + BC +(AB-r ) 2 2 C4 = h +(AB-r ) 14

16 Formlernes anvendelse: Forskellige overgangsstykker Beregning af de viste overgangsstykker kræver, at følgende formler anvendes: I Formlerne 1-2', A1' og B2' anvendes. II Samtlige formler anvendes 1 gang. III Samtlige formler anvendes 2 gange. IV Samtlige formler anvendes 4 gange. I forbindelse med beregning af udfoldningerne, kan visse af de trigonometriske funktioner erstattes af tal f.eks. SIN 60 = 0,866 osv. Hvis der ønskes en større nøjagtighed, kan cirklen inddeles i flere stykker. Husk at ændre formlerne, således at de svarer til graderne. 15

17 Opgaver: 1) Beregn følgende mål for udfoldning af tanktop: 1. klipperadius 2. korde Tanktoppen er uden bertelkant, og har følgende mål. Diameter = 1200 mm. Vinkel = 15 2) Beregn følgende mål for udfoldning af tanktop: 1. klipperadius 2. korde Tanktoppen er med bertelkant, og har følgende mål. Diameter = 1400 mm. Vinkel = 20 Bertelradius = 25 mm. 3) Beregn følgende mål for udfoldning af keglestub: 1. stor klipperadius 2. lille klipperadius 3. korde Keglestubben har følgende mål. 5) Beregn de sande længder på et skrå rør med følgende mål: Diameter = 160 mm. Vinkel = 20 Inddeles i 24 dele. 6) Beregn radius af cirkelbue med følgende mål: Stor diameter = Lille diameter = Færdig højde = 1250 mm. 550 mm. 950 mm. 4) Beregn bukkevinklen for pyramidestub: Pyramidestubben har følgende mål mm. nederst mm. øverst Højde 200 mm. 16