Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Transkript

1 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Bropille - Femer Bælt Tema: Marine konstruktioners belastning og fundering. Synopsis: Projektperiode: B8K 1. februar maj 2005 Projektgruppe: Gruppe B212 Gruppemedlemmer: Henrik Aagaard Hansen Bjørn Aastrup Dannemare Jakob Badsberg Aleks Kvartborg Jakobsen Per Ladefoged Kromann Jess McCann Thomsen Dennis Stammose Heiselberg Vejledere: Lars Andersen Michael Brorsen Oplag: 10 Med baggrund i en udvidelse af det europæiske motorvejsnet dimensioneres en udvalgt bropille til en skråstagsbro over Femer Bælt. Vinddata udgør grundlaget for bestemmelse af bølgelasten, mens de resterende laster, herunder vindlast, findes ved normer. Den dimensionsgivende bølgelast bestemmes analytisk og numerisk, og verificeres efterfølgende eksperimentelt. Der foretages en skitseprojektering af bropillens gravitationsfundament ved anvendelse af en normbaseret metode. Herefter foretages en brudanalyse af fundamentet ved analytiske beregninger, som verificeres og sammenlignes med finite element beregninger. Fundamentets sætning og differenssætning undersøges ved en konventionel og numerisk metode. Hoveddelen af de geotekniske designparametre er fastlagt udfra triaksial- og CPT-forsøg, hvor de resterende parametre er fundet udfra udførte bundundersøgelser på lokaliteten. Hovedrapport sideantal: 161 Appendiks sideantal: 96 Total sideantal: 257

2

3 KAPITEL ttt Forord ttt Denne rapport er udarbejdet som et B8K-projekt af gruppe B212 ved det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet, Aalborg Universitet i perioden 1. februar til 30. maj Det overordnede formål for B8K-forløbet er:... at sætte den studerende i stand til at kunne anvende metoder til analyse og vurdering af belastninger på og fundering af store marine konstruktioner. [B-studienævnet 2005, side 4] Til beregninger og programmering benyttes MATLAB, og til numerisk beregning af bropillens egensvingningsformer benyttes MATLAB med CALFEM, som er en finite element toolbox. Til numeriske beregninger af fundamentet benyttes Plaxis, som er et FEM-program til modellering af jord og fundamenter. Endvidere anvendes FEM-programmet ShipSim til en numerisk beregning af bølgekraften. Kildehenvisninger angives efter forfatternavn og udgivelsesår for den kilde, afsnittet er baseret på, f.eks. [B-studienævnet 2005]. Yderligere information om den enkelte kilde findes i litteraturlisten bagerst i rapporten. Figurer og tabeller nummereres uafhængigt, hvilket betyder, at der i samme kapitel kan forekomme figurer og tabeller med samme nummer. iii

4 Forord Henrik Aagaard Hansen Bjørn Aastrup Dannemare Jakob Badsberg Aleks Kvartborg Jakobsen Per Ladefoged Kromann Jess McCann Thomsen Dennis Stammose Heiselberg iv

5 Indhold KAPITEL ttt Indhold ttt Indhold v 1 Indledning Brovalg I Laster 5 2 Laster Brogruppe Lastbestemmelse Egenlast Egenlast fra brodækket Egenlast af bropille N Egenlast af fundamentet Samlet egenlast Vandret masselast Trafiklast Last fra køretøjer Last fra tog Opsummering Ulykkeslast Skibslast v

6 Indhold 6 Vindlast Dynamisk vindpåvirkning af broen Kvasistatisk vindpåvirkning af broen Bølgelast Bestemmelse af bølgehøjde ud fra vinddata JONSWAP spektrum Morisons kraft Transferfunktionen Kilde/dræn-beregning af bølgekraft Modelforsøg Sammenligning Islast Islast på lodret bropillefront Islast på skrånende konsktruktion Sammenligning Lastkombinationer 81 II Fundering Geoteknisk forundersøgelse Forventede aflejringer Geoteknisk designprofil Modellering af jorden Parametre for sandlaget Parametre for moræneleret Parametre for kridtlaget Jordprofil og geotekniske designparametre Skitsedimensionering Beskrivelse af fundament Styrke- og deformationsparametre Laster på fundamentet Beregning af brudgrænsetilstand Beregning af anvendelsesgrænsetilstand Opsummering vi

7 Indhold 13 Analytisk løsning Brudmåder Materialeparametre og effektivt areal Kinematisk tilladelig løsning 1 - Glidningsbrud Kinematisk tilladelig løsning 2 - Kombineret brud Kinematisk tilladelig løsning 3 - Rotationsbrud Statisk tilladelig løsning 1 - To spændingsbånd Sammenligning Numerisk analyse af fundament Modellering i Plaxis Beregning af sætninger i Plaxis Beregning af sikkerhedsfaktorer Eftervisning af sikkerhed mod bæreevnebrud i brudgrænsetilstanden Funderings opsummering Brudgrænsetilstand Anvendelsesgrænsetilstanden Konklusion Vandbygning Fundering III Appendiks 161 A Vinddata 163 B Kilde/dræn metoden 165 C Modelforsøg 171 C.1 Dimensionsanalyse C.2 Forsøgsopstilling C.3 Kalibrering af bølgekraftmåler C.4 Reflektion C.5 Dynamisk forstærkning C.6 Linearitetsundersøgelse C.7 Transferfunktionen C.8 Skalering fra model til fuldskala vii

8 Indhold D Klassifikationsforsøg 187 D.1 Formål D.2 Bestemmelse af geotekniske størrelser D.3 Opsummering E Triaksialforsøg 195 E.1 Formål E.2 Triaksialapparatet og forsøgsudførelse E.3 Resultatbehandling E.4 Opsummering F Cone Penetration Test 211 F.1 Formål F.2 Forudsætninger F.3 Forsøgsopstilling/Udførelse F.4 Resultater F.5 Rumvægt- og jordartsbestemmelse F.6 Lejringstæthed og poretal F.7 Friktionsvinkel F.8 Constrained modul - Oedometerstivhed F.9 Opsummering G Materialemodeller 225 G.1 Mohr-Coulomb modellen G.2 Hardening-Soil modellen H Modellering af triaksialforsøg i Plaxis 231 H.1 Plaxismodel H.2 Hardening-Soil model H.3 Mohr-Coulomb model I Plasticitetsteori 243 I.1 Normalitetsbetingelsen I.2 Udrænet brud i kohæsionsjord I.3 Drænet brud i friktionsjord J Dynamisk modellering 249 Litteratur 253 viii

9 1. Indledning KAPITEL 1 ttt Indledning ttt Femer Bælt forbindelsen kom første gang på tale i 1991 i forbindelse med Øresundsforbindelsen, hvor de første praktiske overvejelser blev gjort. Senere, i 1992, indgik Danmark og Tyskland i et samarbejde, der skulle danne et beslutningsgrundlag for en fremtidig bro over Femer Bælt. Broens formål er, bl.a. sammen med Øresundsbroen, at afkorte transporttiden fra Sjælland og Sverige til det øvrige Europa, se figur 1.1. Figur 1.1 Placering af Femer broen. Først i 1999 udkom der en forundersøgelsesrapport, hvori der er lavet skitseprojekter af broen, trafikfremskrivninger m.m. Der er i denne lavet fem skitseforslag, som skulle vælges imellem. Siden er der lavet flere dybdegående økonomiske og miljøtekniske rapporter om disse projekter, idet regeringen ønsker at opføre broen:...under forudsætning af, at hensyn til miljø og økonomi kan tilgodeses 1

10 1. Indledning [Femer bælt-forbindelsen 1999] I dag står valget mellem to skitseprojekter. En sænketunnel og en såkaldt skråstagsbro, som kendes fra bl.a. Øresundsbroen. Begge har dobbeltsporet jernbane og en firesporet motorvej. Det forventes, at broplanerne skal besluttes i den nærmeste fremtid, idet byggeriet af broen er planlagt til at starte i 2008 og være færdigt i år ca [Trafikministeriet 2004, s. 3]. 1.1 Brovalg Udfra de to skitseforslag vælges det at tage udgangspunkt i skråstagsbroen, idet den:...er billigere, samt at den giver den bedste sikkerhed og tryghed for trafikanterne [Trafikministeriet 2004, s. 4] På figur 1.2 ses et billede af skitseforslaget. Trafikministeriet beskriver broen således: Løsningsmodel 3: Løsningsmodel 3 med skråstagsbro for vej og jernbane har en total længde på m, heraf en m lang bro, og er beskrevet herunder: Skråstagsbro med dobbeltdæk for vej og jernbane. 24,70 m bred kørebane for 4 vognbaner og 12,10 m bred, dobbeltspors jernbanedæk. Den m lange hovedbro indeholder tre 724 m hovedspænd og sidespænd på 278 m og 240 m. Tilslutningsbroernes længder er m (syd) og m (nord), alle dragere har 240 m spænd og er enkelte eller dobbelte kompositkonstruktioner. To separate sejlruter har 700 m vandret og 65 m lodret frirum i de to yderste hovedspænd, se figur 1.2. [Femer bælt-forbindelsen 1999, s. 120] 2

11 1. Indledning Figur 1.2 Løsningsforslag 3. Den udvalgte bropille er markeret. Ud fra den valgte bro vælges en bropille som detailbehandles mht. laster og fundering. Det ønskes at projektere en bropille, der står på dybt vand, men der afgrænses fra at tage udgangspunkt i en af hovedbroens pyloner. Derfor vælges det, at tage udgangspunkt i bropille nr. 2 fra hovedbroen mod Rødby, N2, se figur 1.2, da denne er den første der understøtter et brodæk, der spænder over 240 m til hver side. Bropillen er placeret på en vanddybde på 27,5 m, og selve brokonstruktionen er placeret ca. 65 m over havet. For at kunne dimensionere fundamentet til bropillen, skal lasterne, der belaster broen, findes. Dette gøres i de følgende kapitler. 3

12

13 Del I Laster 5

14

15 2. Laster KAPITEL 2 ttt Laster ttt Til bestemmelse af laster på bropillen tages der udgangspunkt i Norm for last på konstruktioner [DS ]. I DS410 henvises til dokumenter beskrevet af Vejdirektoratet, og der findes to beskrivende dokumenter om vejbroer: Vej- og stibroer - Belastnings- og beregningsregler [Broteknik 2002]. Beregningsregler for eksisterende broers bæreevne [Bygværker 2002]. Disse er senest revideret (2002), og der er derfor omfattende henvisninger til Eurocode 1 - Del 3 - Trafiklast på broer [DS/ENV ]. Den ovenstående litteratur vil blive brugt til bestemmelse af lasterne på broen. 2.1 Brogruppe Broen er defineret i brogruppe I, idet det forventes, at broen skal overføre tung, tæt trafik. Dette betyder, at broen skal dimensioneres for en levetid på 100 år [Broteknik 2002, s. 12]. 2.2 Lastbestemmelse Følgende belastninger skal bestemmes, for at en dimensionering af fundament kan udføres. Egenvægtsbelastning Trafiklast, herunder køretøjer og toge Ulykkeslast fra køretøjer, toge og skibe Vindlast 7

16 2. Laster Bølgelast Islast Vandret masselast Disse laster detailbehandles i de næste kapitler, og bruges senere i lastkombinationer i anvendelses- og brudgrænsetilstand. Ovenstående laster er ikke den fulde beskrivelse af de laster, der kan bestemmes for en bro. Der er nogle laster, som ikke er gældende for brogruppe I, og nogle som der afgrænses fra. Disse laster ses herunder: Broer for fodgænger- og cykelstitrafik - Specielle laster Broer i Gruppe IV - Specielle laster Snelast Fastsættelse af værdier for lejefriktion Temperaturlast Brandlast Strømlast 8

17 3. Egenlast KAPITEL 3 ttt Egenlast ttt De karakteristiske værdier bestemmes på grundlag af materialernes specifikke tyngder og de i projektmaterialet foreskrevne dimensioner [Cowi & International 1999]. Der bruges følgende densiteter for de anvendte materialer, se tabel 3.1. Materiale Densitet Stål 7850 kg/m 3 Beton 2500 kg/m 3 Asfalt 1500 kg/m 3 Tabel 3.1 Vægt af benyttede materialer. 3.1 Egenlast fra brodækket Ud fra skitseprojektets tegninger er dimensioner for de forskellige konstruktionselementer bestemt. Tykkelsen af stålrammen under broen er skønnet til 3-5 cm. På figur 3.1 ses de overordnede mål af broens tværsnit og et repræsentativt udsnit i længderetningen, 24 m. Figur 3.1 Et repræsentativt udsnit af kørebanesektionen. Mål i mm hvis ikke andet angives [Cowi & International 1999]. 9

18 3. Egenlast I tabel 3.2 ses dimensioner og mængder af de enkelte elementer. Beskrivelse Dimension Mængde Materiale Slidlag 0,10 m 68,88 m 3 Asfalt Køreplade 0,45 m 309,96 m 3 Beton Ballast (beton) 0,20 m 43,20 m 3 Beton Længdedragere 5 cm 33,60 m 3 Stål Gitter mellem dragere 3 cm 11,02 m 3 Stål Bunddrager 5 cm 51,36 m 3 Stål Topdrager 3 cm 4,41 m 3 Stål Installationer kg Autoværn kg Stål Tabel 3.2 Overslag for 24 meter brodæk, (repræsentativt udsnit). Dette giver følgende belastninger, se tabel 3.3. Totalvægt kg/24 m Vægt kg/m Belastning 732 kn/m Tabel 3.3 Egenvægt af brodækket. Bropillen understøtter 240 m bro, se figur 3.2, og derfor bliver egenlasten fra brodækket 175,7 MN. Figur 3.2 Et repræsentativt udsnit af broen [Cowi & International 1999]. 3.2 Egenlast af bropille N2 Egenlasten af bropille N2 findes udfra tre repræsentative tværsnit på bropillen, se figur

19 3. Egenlast Figur 3.3 Repræsentative snit i bropillen til bestemmelse af egenlast. Mål i mm. På figur 3.3 ses det, at de tre tværsnitsprofiler ikke er massive. I snit A-A og snit B-B er der luft i hulrummene, snit C-C opfyldes med sand. I tabel 3.4 er egenlasten af bropille N2 udregnet. Tværsnitsareal Højde Egenlast [m 2 ] [m] [kn] Snit A A Beton 31,3 7, Snit B B Beton 28,4 58, Snit C C Beton 67,9 25, Snit C C Sand 150,9 25, Tabel 3.4 Egenlast af bropille N Reduktion for opdrift Egenlasten for bropillen skal reduceres for opdrift, idet at bropillen er placeret på 27,5 m vand. Opdriften svarende til den fortrængte væskemængde fremgår af tabel

20 3. Egenlast Tværsnitsareal Højde Egenlast [m 2 ] [m] [kn] Snit B B 65,3 2, Snit C C Beton 67,9 25, Snit C C Sand 150,9 25, Tabel 3.5 Opdrift af bropille N2 (ρ vand = 1020 kg/m 3 ). 3.3 Egenlast af fundamentet Egenlasten af fundamentet bestemmes senere, idet at fundamentsstørrelsen varieres under dimensioneringen. 3.4 Samlet egenlast Den samlede egenlast bestående af egenlast fra brodæk og bropillen samt opdriften ses i tabel 3.6. Del Egenlast [MN] Brodæk 175,7 Bropille 157,1 Opdrift -57,1 275,7 Tabel 3.6 Samlet egenlast. 3.5 Vandret masselast Vandret masselast er den mindste vandrette last, som broen skal kunne modstå. Enhver lodret last regnes at kunne give anledning til vandret masselast, idet begrebet dækker over konstruktions unøjagtigheder og små jordrystelser. Den vandrette masselast har angrebspunkt i tyngdepunktet for den tilhørende lodrette last, og skal regnes virkende i vilkårlig retning. Den foreskrevne værdi af den vandrette masselast er 1,5% af den regningsmæssige lodrette last [DS ]. Størrelsen af den vandrette masselast beregnes under lastkombinationer, da alle lodrette laster her er kendte. 12

21 4. Trafiklast KAPITEL 4 ttt Trafiklast ttt Trafiklasten kan for denne bro opdeles i to dele, last fra køretøjer og last fra tog. 4.1 Last fra køretøjer Til bestemmelse af trafiklasten fra kørertøjer, henviser Broteknik til Eurocode 1 - Del 3 [DS/ENV ]. I denne er trafiklasten opdelt i seks grupper som ses herunder: Gruppe 1: Belastningen omhandler det tilfælde, hvor der på kørerbanen er en jævn fordelt last. Gruppe 2: Belastningen omhandler bremse-, accelerations- og centrifugalkræfter. Gruppe 3: Belastningen omhandler belastninger fra gangsti og cykelsti. Gruppe 4: Belastningen omhandler personlast. Gruppe 5: Belastningen omhandler specialkøretøjer. Gruppe 6: Belastninger omhandler personbiler. Hver af disse betragtes som en variabel last i lastkombinationerne. Belastningerne fra gruppe 3, 4 og 6, ses der bort fra idet de er minimale for denne bro. I det følgende beregnes belastninger inden for de enkelte grupper og illustrationer viser hvordan de virker: 13

22 4. Trafiklast Gruppe 1 Der skal på en kørebane være en jævnt fordelt fladelast, q 1k, på 9 kn/m 2, og på de resterende kørerbaner, q 2k, skal der være 2,5 kn/m 2. Udover fladelasten skal der være tre biler på broen med en aksellast, Q 1k på 300 kn, Q 2k lig 200 kn og Q 3k lig 100 kn [DS/ENV , s. 29]. Q aksel = 2Q 1k + 2Q 2k + 2Q 1k (4.1) Q flade = q 1k A 1 + q 2k A 2 (4.2) Hvor A 1 er arealet af kørebane 1 [m 2 ]. A 2 er arealet af de resterende kørebaner [m 2 ]. Disse Belastninger skal dog justeres med henholdsvis α Qi lig 1 og α qi lig 0,67 [Broteknik 2002, App. s. 3]. Belastningen Q gr1 beregnes på følgende måde: Q gr1 = α Qi Q aksel + α qi Q flade (4.3) På figur 4.1 ses belastninger på broen. Figur 4.1 Tværsnit af brokonstruktion med lastgruppe 1, mål i m Gruppe 2 Denne belastning består både af en vertikal og en horisontal belastning. Den vertikale belastning udregnes efter samme metode som gruppe 1, dog korrigeres belastningerne ved hjælp af lastkombinationsfaktorer, Ψ, se formel (4.4) og (4.5) [DS/ENV , Appendiks C]. Q aksel,gr2 = Ψ 1gr1 Q aksel,gr1 (4.4) Q flade,gr2 = Ψ 2gr1 Q flade,gr1 (4.5) 14

23 4. Trafiklast Hvor Ψ 1gr1 er 0,40 [-]. Ψ 2gr1 er 0,75 [-]. Den horisontale kraft (bremsekraften), Q lk, virker i broens længderetning og bestemmes ud fra formel (4.6) [DS/ENV , S. 34]. Q lk = 0, 6 α Q1 (2 Q 1k ) + 0, 1 α q1 q 1k w L (4.6) Hvor w er bredden af vejbanen [m]. L er længde af den betragtede brodel [m]. er begrænset af: 360 α Q1 kn Q lk 800 kn. Q lk Den horisontale kraft kan få et tillæg fra centrifugalkraften, Q tk, men idet kurverne på broen har en radius større end 1500 m bliver kraften 0 [DS/ENV , S. 35]. Af figur 4.2 fremgår det, hvordan lasterne påføres broen. Figur 4.2 Tværsnit af brokonstruktion med lastgruppe Gruppe 5 Denne belastning består kun af en vertikal last udregnet tilsvarende fremgangsmåden for gruppe 1, hvor den del af kørebanen, der belastes med den maksimale belastning, belastes af en række punktlaster i stedet for en fladelast. Lasten, specialkøretøjet, skal regnes som en klasse 150 belastning. Klasse 150 belastning er 24 punktbelastninger på 21 m, som har en samlet belastning af 1550 kn [Bygværker 2002, s. 26]. På figur 4.3 ses, hvordan lasten påføres broen. 15

24 4. Trafiklast Figur 4.3 Tværsnit af brokonstruktion med lastgruppe 5, mål i mm. Som det ses på figuren, skal der 25 m foran og bagved det specielle køretøj ikke være nogen belastning Placering af akseltryk I gruppe 1 og 5 er der tale om akseltryk, og disse skal placeres, så de belaster konstruktionen værst muligt. Konstruktionen tænkes konstrueret med et chanier mellem bropille og vejbane, så den værst tænkelige position for akseltrykkene er lige oven på bropillen, da de i dette tilfælde giver den maksimale vertikale last, dette ses på figur 4.4. Figur 4.4 Et repræsentativt udsnit af broen [Cowi & International 1999]. 4.2 Last fra tog Til bestemmelse af trafiklasten fra tog, henviser Broteknik til Eurocode 1 - Del 3 [DS/ENV ]. I dette projekt vælges det kun at kigge på belastning fra Load Model 71 idet det vurderes at denne er den værste [DS/ENV ]. Load Model 71 består af en vertikal og en horisontal last Vertikal last Den vertikale last i LoadModel71 er baseret på den statiske last af normal togtrafik. Belastningen ses på figur

25 4. Trafiklast Figur 4.5 Vertikal belastning af sporet. Idet en længde af broen på 240 m betragtes, bliver den samlede vertikale last 20 MN Horisontal last Samtidig med den vertikale last virker der to horisontale laster langs med sporet/broen. Den ene er en bremselast, Q lbk, som defineres i formel (4.7). Q lbk = 20 L 6000 kn (4.7) Hvor L er længden af den betragtede brodel [m]. Den anden last, træklasten, Q lak, defineres ud fra formel (4.8). Q lak = 33 L 1000 kn (4.8) Til beregning af ovenstående laster bruges en længde på 240 m. 4.3 Opsummering Last Gruppe Vertikal last Horisontal last langs broen kn 0 kn Køretøj kn 800 kn kn 0 kn Tog kn 5800 kn Tabel 4.1 Trafiklast på bropillen. Som endelig trafiklast vælges den gruppe køretøjer der sammen med toglasten giver den største trafiklast. Disse værdier ses af tabel 4.1 at være køretøjer i gruppe 2. 17

26

27 5. Ulykkeslast KAPITEL 5 ttt Ulykkeslast ttt På broen findes der tre forskellige typer ulykkeslast, nemlig køretøj, tog og skib. I det følgende behandles tilfældet med skibsstød, idet denne forventes, at være den største last. 5.1 Skibslast Der findes i litteraturen mange beskrivelser af, hvordan den maksimale skibslast skal bestemmes. Der tages i dette projekt udgangspunkt i de undersøgelser, der blev udviklet i forbindelse med projekteringen af Storebæltsbroen i I samarbejde med "Det Norske Veritas" er der blevet udarbejdet et formelgrundlag for beregning af den maksimale kraft, der kan komme ved frontal kollision, se formel (5.1) [Larsen 1993, s. 65]. ( P bov = P 0 E L 2 + (5 L)L 2,6) 0,5 for E L 2,6 (5.1) P bov = P 0 (5 E L) 0,5 for E < L 2,6 Hvor P bov er den maksimale bovlast [MN]. P 0 er en reference-last på 210 [MN]. L er L pp / 275 m [-]. E er E imp / 1425 MNm [-]. L pp er skibslængden [m]. er den kinetiske energi af skibet [MN]. E imp Skibets kinetiske energi beregnes af formel (5.2), og heri indgår både skibets masse og den hydrodynamiske masse af vandet [Larsen 1993, s. 77]. E imp = 1 2 (M v + M h )v 2 (5.2) Hvor v er skibets hastighed [m/s]. M v er massen af skibet [kg]. er hydrodynamisk masse af vandet omkring skibet [kg]. M h 19

28 5. Ulykkeslast For dybt vand, i forhold til skibets dybgang, kan den hydrodynamiske masse regnes ud fra følgende antagelser [Larsen 1993]: M h = 0,05 M v - 0,10 M v for kollision med boven af skibet. M h = 0,40 M v - 0,50 M v for kollision med siden af skibet. De dimensionsgivende størrelser er skibets størrelse og hastighed. For at kunne bestemme dette, skal de skibe, der krydser broen, betragtes. Lasten er beregnet for skibene i tabel 5.1. Skib Vægt Hastighed Længde Kraft Carrier t 8,2 m/s 275 m 556,1 MN Tanker t 8,0 m/s 260 m 514,7 MN Container t 11,8 m/s 240 m 430,7 MN Bulk t 8,0 m/s 175 m 267,0 MN Tabel 5.1 Forskellige skibslaster [Larsen 1993]. De beregnede laster er så store, at det vælges, ikke at dimensionere konstruktionen til at kunne modstå denne last. Dette betyder, at der skal udføres en separat konstruktion til optagelse af denne last. Denne konstruktioner kan blandt andet være [Larsen 1993]: Fendersystem Der findes flere forskellige former for fendersystemer, men ens for dem alle er, at de absorberer energien fra skibsstødet ved elastisk og plastisk deformation, og til sidst ved knusning. Fenderkonstruktionen kan enten påmonteres selve bropillen, eller det kan være en seperat konstruktion. Pæleværker Grupper af pæle bundet sammen med en stiv topkonstruktion kan også betragtes som et fenderværk, idet at energien kan optages som bøjning i pælene, hvis det er lodpæle, eller ved sammentrykning og bøjning af skråpælene. Dolphin Dolphin bygværker er typisk en rund konstruktion af spunsvægge fyldt op med knust sten eller beton, og øverst er en betonkappe. Den kan også være fremstillet af præfabrikerede betonelementer. En Dolphin virker på den måde, at den under kollision undergår store plastiske flytninger og delvis kollaps, hvorved energien absorberes. 20

29 5. Ulykkeslast Sandbanker Foran hver bropille kan der etableres sandbanker, således at skibene går på grund, og derved miste energien, før de rammer bropillen. En ulempe ved denne løsning er, at bropillen står på dybt vand, og den store mængde sand der skal til, vil mindske gennemstrømningsarealet, hvilket har betydning for miljøet. Flydespæring En flydespærring er en barriere, der er fastgøres til havbunden med et system af kabler. Barrieren er fastholdt af bøjer foran bropillen, således at skibene mister energien, eller gives en ny retning, når de rammer denne. 21

30

31 6. Vindlast KAPITEL 6 ttt Vindlast ttt I "Norm for last på konstruktioner", der som udgangspunkt er gældende for fastsættelse af vindlast, er der beskrevet to måder at regne vindlasten på: Dynamisk Kvasistatisk Der udføres en dynamisk model af bropillen, som har til formål at undersøge, om denne har en egenfrekvens, der ligger uden for dynamisk virkende lasters frekvensområde. Er dette tilfældet, kan det på baggrund af resultater fra den dynamiske model afgøres, om en beregning med kvasistatisk last er acceptabel. Ligger egenfrekvenserne nær lasternes frekvens, er det nødvendigt at korrigere lasterne for dynamisk forstærkning. 6.1 Dynamisk vindpåvirkning af broen Indlægges der et koordinatsystem for bropillen, som vist på figur 6.1, vurderes det, at laster i x-retningen er mere kritiske end laster i y-retningen, idet brodækket virker stabiliserende i denne retning. I det følgende betragtes der således kun laster i x-retningen. Figur 6.1 Definitionsskitse af koordinatsystem. Mål angiver dimension på skønnet fundament. 23

32 6. Vindlast Til udførelsen af beregningerne anvendes en FEM-model programmeret ud fra skønnede mål på fundamentet. Det antages, at fundamentet består af armeret beton og sand, ligesom den resterende bropille, med en dybde på 5 m, bredde på 17 m og en længde på 23,64 m Modellering af bropille På figur 6.2 ses hhv. den skitsemæssige bropille og FEM-modellen bestående af Bernoulli-Euler bjælker med tre frihedsgrader i hver knude. Figur 6.2 Den skitsemæssige bropille og den tilnærmede dynamiske model. Skraverede felter i tværsnittene viser sandopfyldning. Grundet bropillens form deles den op i fem dele, der hver tildeles materialeparametre svarende til den enkelte dels gennemsnitlige tværsnit. Under modelleringen antages det, at brodækkets tværsnit ikke undergår deformationer men kun flytninger under svingninger. Den øverste del af modellen, dækkende 120 m brodæk på hver side af bropillen, beskrives derfor ved to uendelig stive bjælkeelementer samt en horisontal- og en rotationsfjeder, der tilnærmet beskriver brodækkets påvirkning af bropillen. Denne antagelse letter beregningerne betragteligt, og antages ikke at påvirke beregningerne betydeligt. Anvendelsen af uendelig stive elementer kan dog give problemer under udregningen af egenfrekvensen, og på baggrund heraf gennemføres en beregning med en alternativ model (model 2) af bropillen uden disse elementer. Ved model 2 omregnes brodækket til en punktlast og et masseinertimoment. Herved fjernes de uendelig stive elementer fra modellen med det resultat, at 24

33 6. Vindlast modellen kun går fra fundament til undersiden af brodækket. Punktlasten findes ved summation af egenvægten over brodækkets højde, h, og masseinertimomentet, J, findes ved følgende formel [Nielsen 2004, s. 122]. J = 1 3 µ h3 (6.1) Hvor µ er massen pr. længdeenhed [kg/m]. Figur 6.3 viser forskellen mellem de to modeller. Figur 6.3 Beregningsmodel 1 og 2. Forskellen findes kun i modelleringen af brodækket, idet broens påvirkninger af bropillen i model 2 summeres i et punkt. Dette bevirker, at de to fjedre fra del 1 flyttes til den nye topknude, hvilket giver horisontal- og rotationsfjederen en excentricitet i forhold til deres virkelige virkepunkt i brodækkets midte. Da de to modeller er ens, i det meste af opbygningen, beskrives fjedre og deres implementering i modellen kun detaljeret for model Materialeparametre for dynamisk model I tabel 6.1 ses de materialeparametre, der tilknyttes de enkelte dele af modellen. Dynamisk model Del 1 Del 2 Del 3 Del 4 Del 5 Antal elementer E [MPa] Stål Beton Beton Beton Beton A [m 2 ] 1,00 31,30 28,45 67,93 175,31 I [m 4 ] 664,79 541, , ,50 µ [kg/m] Tabel 6.1 Materialeparametre for den dynamiske models inddelinger. Armeret beton [Lars Andersen, 2005]. De anvendte elasticitetsmoduler fremgår af tabel 6.2, hvor egenskaber for sandlaget er bestemt i appendiks 11, og forskydningsmodulen er beregnet, som vist i tabel

34 6. Vindlast Materiale Elasticitetsmodul Poissons forhold Forskydningsmodul Betegnelse E materiale [MPa] ν materiale [-] G materiale = E materiale 2(1+ν materiale ) [MPa] Stål ,31 8, Armeret beton Sand 23 0,30 8,78 Tabel 6.2 Materialeparametre for anvendte materialer. I beregninger vil det anvendte materiales navn blive indsat efter materialeparameteren. Ud fra tværsnitstegningen af broen er inertimomenterne, I x og I z, beregnet, og rotationsinertimomentet, I r, findes ved følgende formel. Alle inertimomenter for brodækket fremgår af tabel 6.3. I r = I 2 x + I2 z I x [m 4 ] 36,66 I z [m 4 ] 51,65 I r [m 4 ] 63,34 Tabel 6.3 Inertimomenter for brodæk Fjeder og hydrodynamisk masse Ved at tilføje hhv. fjedre og hydrodynamisk masse opnås en tilnærmet model af den virkelige bropille. Disse påvirkninger tilføjes i diagonalen for enten den globale stivheds- eller massematrice, da dette virker som påvirkning fra en fast understøtning. Fjedrene, der beskriver brodækkets virkning, beregnes ved simpel bjælketeori, se figur 6.4, mens materialeparametre til beregning af fjedre for understøtningen og hydrodynamisk masse bestemmes henholdsvis eksperimentelt, appendiks E, og ved en numerisk beregning med programmet ShipSim. Da bropillen er en del af hele broen, resulterer dette i en rotationsog horisontalfjeder fra den resterende del. Det antages, at broen halvvejs til de nærliggende bropiller fungerer som en indspændt bjælke, se figur

35 6. Vindlast Figur 6.4 Tv: Broen udsat for flytning ortogonalt på bro. Th: Ækvivalent fjedersystem. Fjederkonstanten kan beskrives ved brodækkets stivhed, hvilket kan beregnes ved en flytning i den fjerde frihedsgrad for modellen, se figur 6.5. Figur 6.5 Globale frihedsgrader for del 1, hvortil der omregnes fra lokale ved transformationsmatrice. Figur 6.6 Lokale frihedsgrader, hvortil formfunktionerne er bestemt. For at finde bøjningsstivheden fra de to brodæk, k 1 jf. figur 6.3, anvendes formfunktion N 5 eller N 2, der, jf. figur 6.6, anvendes for bøjningsstivhed. Formfunktionerne for de lokale frihedsgrader ses i appendiks J, og fjederkonstanten, beskrivende bøjningsstivheden, findes ved formel 6.2 [Nielsen 2004, s. 153]. k j = l 0 ( EI d2 N T y d 2 N y dx 2 dx 2 ) dx (6.2) 27

36 6. Vindlast Den samlede stivhed fra udbøjning af brodækket findes. k 1 = 2 l 2 0 k 1 = 1, ( ) d 2 2 N 5 (x) E stål I z dx = 12 E stål I z dx 2 l 3 N/m Efter assemblering af den globale stivhedsmatrice lægges denne fjederstivhed til i stivhedsmatricens diagonal på den fjerde frihedsgrad. Brodækket virker ligeledes som en rotationsfjeder, der modvirker rotationen fra lodret. Fjederen er placeret i den anden knude, der er skitseret på figur 6.3. Rotationsfjederen er virkende i den sjette frihedsgrad, jf. figur 6.5, og kan findes direkte ved anvendelse af udtryk i appendiks J. Uanset om der regnes for 2 halve brodele eller en samlet på 240m, er resultatet det samme. Da der regnes rotation, anvendes forskydningsmodulen og rotationsinertimoment i stedet for elasticitetsmodulen og inertimomentet. r 1 = 2 4 G l stål I r 2 r 1 = 3, N m Den vertikale fjeder ved fundamentet, k 2, findes ved anvendelsen af "Det Norske Veritas", der først kræver en omregning fra det kvadratiske fundament til et cirkulært. Radius for det arealækvivalente cirkulære fundament findes ved følgende formel. lf b f r f = π r f = 11, 31 m Den vertikale stivhed, k 2, bestemmes til følgende [Det Norske Veritas. 1992, s. 43]. k 2 = 4 G sand r f 1 ν sand k 2 = 5, N/m Rotationsfjederen, der udgør fundamentets modstand mod drejning om en y- akse i modellens nederste knude, findes ligeledes den vertikale fjeder ved anvendelse af "Det Norske Veritas" [Det Norske Veritas. 1992, s. 43]. r 2 = 8 G sand r 3 f 3(1 ν sand ) r 2 = 4, N m Den hydrodynamiske masse, stammende fra det fortrængte vand ved en flytning, findes i ShipSim, og fordeles som vist på figur 6.2 på elementerne under 28

37 6. Vindlast MVS, ved at omregne fladelasten til punktlaster, se tabel 6.4. Den ekstra masse tillægges i følgende frihedsgrader for x-retningen i den globale massematrice. Knude Frihedsgrad Hydrodynamisk masse [kg] , , , ,0 Tabel 6.4 Hydrodynamisk masse for knuder under MVS. I den nederste knude tillægges en ekstra masse i de frihedsgrader, hvor fjedrene for fundamentet virker. Den vertikale virker i q 47 og rotationsfjederen i q 48, begge frihedsgrader tilhørende knude 16 jf. figur 6.2. Denne masse skal ikke ses som en fysisk masse i bevægelse med fundamentet, men mere som metode til at simulere en formindskelse af stivheden af sandet under fundamentet i takt med højere frekvenser [Det Norske Veritas. 1992, s. 42]. Ekstra masse for vertikal bevægelse ved FUK. m 47 = 1.08 ρ r3 f 1 ν sand m 47 = 1, kg Ekstra masse for roterende bevægelse om y-akse i FUK. m 48 = 0.64 ρ r5 f 1 ν sand m 48 = 1, kg m 2 Hvor ρ er sandets reducerede rumvægt sat til 800 [kg/m 3 ]. For model 2 findes den samlede masse for broen, M, der lægges til i de to første frihedsgrader, se figur 6.3. M = 15, 56 µ 1 = kg Masseinertimomentet, fra denne samling af massen, lægges til den tredje frihedsgrad i den første knude i model 2, og bestemmes ved formel (6.1). J = 1 3 µ 1 15, 56 3 = 1, kg m 2 29

38 6. Vindlast Egenfrekvens for skitsemodel Ved anvendelse af formel (J.6) findes de laveste egenfrekvenser. De fem laveste ses i tabel 6.5, der omfatter både den model 1 og 2. Egenfrekvens - model 1 [Hz] 0,47 0,65 2,35 3,12 7,50 Egenfrekvens - model 2 [Hz] 0,47 0,66 2,38 5,39 6,23 Retning: Model 1/Model 2 x/x z/z x/x z/x x/z Tabel 6.5 De fem laveste egensvingninger for modellerne. Beregninger for den ene model med det dobbelte antal elementer pr. del giver kun minimale forbedringer af resultatet, hvorfor det vurderes, at den anvendte diskretisering er tilstrækkelig. Ud fra beregningerne findes den laveste egenfrekvens for x-retningen til 0.47 Hz. Det fremgår af tabellen, at en del af egenfrekvenserne er for en bevægelse i z-retningen. Dette kunne sammenholdes med frekvensen fra trafikken på broen, hvilket der er afgrænset fra. Beregninger for de to modeller viser en forskel i laveste egenfrekvens, der antages at være den farligste, på under 1 procent for x-retningen. Anvendelse af uendeligt stive elementer påvirker således ikke resultaterne i større grad, hvorfor modellen med den rigtige højde antages at være mest realistisk. Dette skyldes, at denne model er mest præcis med hensyn til placering af fjedre, og forskelle i de højere egenfrekvenser, antages at skyldes excentriciteten af broens fjedervirkning. På figur 6.7 til 6.10 vises resultater fra den model 1. Der vises de tre laveste egensvingningsformer og egenfrekvenser for x-retningen samt den første egenfrekvens for z-retningen. Egensvingningsform og frekvens Egensvingningsform og frekvens y [m] y [m] x [m] x [m] Figur 6.7 Laveste egensvingningsform skaleret med 10 5 og egenfrekvens på 0,47 Hz i x-retningen. repræsenterer knuder i den udeformeret model og knuder i den deformerede model. Figur 6.8 Laveste egensvingningsform skaleret med 10 5 og egenfrekvens på 0,65 Hz i z-retningen. repræsenterer knuder i den udeformeret model og knuder i den deformerede model. 30

39 6. Vindlast Egensvingningsform og frekvens Egensvingningsform og frekvens y [m] y [m] x [m] x [m] Figur 6.9 Anden laveste egensvingningsform skaleret med 10 5 og egenfrekvens på 2,35 Hz i x-retningen. repræsenterer knuder i den udeformeret model og knuder i den deformerede model. Figur 6.10 Tredje laveste egensvingningsform skaleret med 10 5 og egenfrekvens på 7,50 Hz i x-retningen. repræsenterer knuder i den udeformeret model og knuder i den deformerede model. Idet broens egenfrekvens ligger uden for vindens energispektrum, se figur 6.11 og 6.12, forventes at der ikke vil forekomme dynamisk forstærkning af væsentlig betydning, og derfor afgrænses der fra at beregne dynamisk vindlast. Figur 6.11 Variansspektre for vind, lineær afbildning [Brorsen 2003]. Figur 6.12 Variansspektre for vind, logaritmisk afbildning [Brorsen 2003]. 6.2 Kvasistatisk vindpåvirkning af broen For at kunne bestemme vindbelastningerne på bropillen/brofundamentet foretages et overslag over vindbelastningen på brodækket. Da der ikke foretages styrkeberegninger på selve vejbroen, bestemmes vindtrykkets fordeling på forog bagside af brokassen ikke, og der bestemmes alene vindtrykkets resulterende belastning pr. løbende meter bro. Vindlasten beregnes som kvasistatisk respons, og forudsætningerne for bestemmelse af vindlasten er følgende: Basisvindhastighed, v b = 24 m/s Basishastighedstrykket, q b = 0,36 kpa 31

40 6. Vindlast Terrænkategori I, c t = 1, k t = 0,17, z 0 = 0,01 m Gitterkonstruktion, k p = 3,5 Den resulterende vindbelastning på konstruktionen ønskes bestemt, og derfor anvendes c f = 2 [-], da gitterkonstruktionen er opbygget i skarpkantede profiler. Den resulterende vindbelastning på broen bestemmes af vindtrykket beregnet midt mellem over- og underkant af broen, da variationen af vindtrykket er næsten lineært over broens højde. På figur 6.13 ses variationen af vindtrykket fra underkant til overkant af broen, bestemt ved udtrykkene angivet i Norm for last på konstruktioner [DS , s , 63] Vindtryk [N/m 2 ] Højde over havoverflade [m] Figur 6.13 Vertikal vindtryksvariation på broen. Figur 6.14 Variationen af vindtrykket på broen. Det vurderes, at broen har et effektivt areal A ref = 7,5 m 2 /m i broens længderetning, samt at broen er 15 m høj. Vindlasten bestemmes 70 meter over havet, og herved bestemmes vindlasten til 21,9 kn/m i broens længderetning. Dette svarer til en totalbelastning fra vinden på broen på 5,26 MN pr. 240 meter. 32

41 7. Bølgelast KAPITEL 7 ttt Bølgelast ttt I det følgende bestemmes lasten fra bølger på konstruktionen. Da der for lokaliteten ikke haves bølgedata, beregnes bølgehøjderne, H m0, udfra vinddata, der er observeret på nærtliggende lokaliteter. De beregnede bølgedata omsættes til et bølgespektrum, som igen omsættes til kraft på konstruktionen. 7.1 Bestemmelse af bølgehøjde ud fra vinddata Til bestemmelsen af bølgehøjderne på lokaliteten benyttes der vinddata opsamlet gennem 30 år [Frydendahl 1971]. Der benyttes data fra to målestationer. Vest for lokaliteten ligger Keldsnor fyr og øst for ligger Gedser fyr, se figur 7.1. Det Norske Veritas. N Figur 7.1 Oversigtskort hvor Keldsnor, 12400, og Gedser, 18700, målestation er markeret [Frydendahl 1971]. Det er observationerne fra disse to fyr, der ligger til grund for bestemmelsen 33

42 7. Bølgelast af bølgehøjden. De vinddata, der benyttes i beregningerne, opgives som den procentdel af tiden, hvor det blæser fra en bestemt retning med en bestemt hastighed, se tabel 7.1. Ud fra disse data kan der optegnes en fordelingskurve for hver retning. På figur 7.2 ses hastighedsfordelingen for østlig retning ved Keldsnor fyr, og denne retning benyttes som beregningseksempel i det følgende. Denne hastighedsfordeling kan omsættes til en kurve, der viser underskridelsessandsynligheden, ved at summere den procentdel af tiden det blæser med en given hastighed startende med den største hastighed. Beaufort m/s 0-1,5-3,3-5,4-7,9-10,7-13,8-17,1-20,7-24,4 % 1,2 2,0 2,5 1,9 1,3 0,8 0,5 0,2 0 Normeret 0,12 0,19 0,24 0,18 0,13 0,07 0,05 0,02 0 F 0,12 0,31 0,55 0,73 0,86 0,93 0, ,4 1,0 Tabel 7.1 Årlig vinddata for østlig retning ved Keldsnor fyr hvor F er underskridelsessandsynligheden. På figur 7.3 er kurven for underskridelsessandsynligheden optegnet for vindfordelingen, der ses på figur % 1 25 % % 15 % 10 % 5 % Underskridelses sandsynlighed F(x) Vindhastighed [m/s] Vindhastighed [m/s] Figur 7.2 Normeret hastighedsfordeling for østlig retning ved Keldsnor fyr. Figur 7.3 Underskridelsessandsynlighed for østlig retning ved Keldsnor fyr. Før det er muligt at omsætte vindhastighederne til bølgehøjder, skal vindhastigheden korrigeres for det frie stræk Korrektion af vindhastighed ved SPM-metoden Det frie stræk er defineret som afstanden fra punktet, bropillen, op mod vinden til kystlinien. Der benyttes ofte middelværdien af 9 radialer med en indbyrdes vinkel på 3, idet vindretningen har betydning for bølgehøjden. I tabel 7.2 angives middelværdien af det frie stræk for de pågældende retninger. 34

43 7. Bølgelast Retning N NØ Ø SØ S SV V NV Frit stræk FS [km] 10, ,4 35,3 10,9 76,9 34,5 Tabel 7.2 Frit stræk fra bropillen målt på søkort [Søkort Østersøen 1980]. Det frie stræk benyttes til beregning af den vindhastighed, der giver fuldt udviklet søtilstand, hvilket er den tilstand, hvor der er balance mellem energitilførslen fra vinden og energitabet i bølgerne. Dette resulterer i, at vindhastigheden reduceres ved SPM-metoden, Shore Protection Manual, som vist i det følgende [[Liu & Frigaard 2001, s ] [Hurdle & Stive 1988, s ]]. Først bestemmes den nødvendige varighed af stormen, der giver fuldt udviklet søtilstand, hvilket gøres ved først at bestemme wind-stress faktoren, U A, udfra den kendte middelvindhastighed over 10 min. U A = 0, 71 (U t ) 1,23 (7.1) Hvor U t er middelhastigheden over t sekunder 10 m over vandoverfladen [m/s]. Den nødvendige varighed af stormen, t nød, bestemmes ud fra det frie stræk og wind-stress faktoren. ( ) 2/3 g FS t nød = 65, 9 UA g U 2 A (7.2) Hvor FS er det frie stræk [m]. U A er wind-stress faktoren [-]. Vindhastigheden, som i første omgang angives som middelhastigheden over 10 min., omregnes til en storm med en varighed på en time, hvilket gøres ved følgende udtryk: U 3600 = U 3600 = U t 1, , 296 tanh ( for t < , 9 log 10 ( 45 )) t U t 0, 15 log 10 (t) + 1, 5334 for t > 3600 (7.3) Hvor U t er middelvindhastigheden over t sekunder [m/s]. t er varigheden af stormen [s]. Udfra middelvindhastigheden over en time kan middelhastigheden over den beregnede varighed af stormen, t nød, beregnes ved følgende udtryk: 35

44 7. Bølgelast ( ( ( ) 45 ) ) U nød = U , ,296 tanh 0,9 log 10 t nød for t < 3600 U nød = U 3600 ( 0,15 log 10 (t nød ) + 1,5334) for t > 3600 (7.4) Den nødvendige vindhastighed, U nød, med varigheden, t nød, indsættes derefter i formel (7.1) til (7.4), hvor U nød sættes til U t, og t nød sættes til t. Denne procedure gentages, indtil varigheden af stormen konvergerer mod en konstant værdi. Vindhastigheden, svarende til den varighed hvor der netop er fuldt udviklet søtilstand, er således bestemt. Denne vindhastighed antages, at have samme underskridelsessandsynlighed som middelhastigheden over 10 min., hvilket fremgår af tabel 7.3. Underskridelsessandsynlighed F 0,12 0,31 0,55 0,73 0,86 0,93 0,98 1 Middelhastighed over 10 min. [m/s] 1,5 3,3 5,4 7,9 10,7 13,8 17,1 20,7 Middelhastighed over t nød min. [m/s] 1,2 2,6 4,4 6,5 8,9 11,6 14,4 17,6 Nødvendig varighed t nød [min] Tabel 7.3 Middelhastigheden beregnet ud fra varigheden af stormen og dermed det frie stræk fra østlig retning. For vind fra østlig retning ved Keldsnor fyr med et frit stræk på 74 km., ses det på figur 7.4, at de korrigerede vindhastigheder reduceres i forhold til vindhastighederne på figur 7.3, da der tages hensyn til det frie stræk Underskridelses sandsynlighed F(x) Vindhastighed [m/s] Figur 7.4 Underskridelsessandsynlighed for vind fra østlig retning ved Keldsnor fyr. (- - -) svarende til figur 7.3, ( ) vindhastigheden korrigeret for et frit stræk på 74 km. 36

45 7. Bølgelast Vindhastighed til bølgehøjde Til omregning fra vindhastighed til bølgehøjde, H m0, benyttes formel (7.5), der er gældende for alle vanddybder [Hurdle & Stive 1988, s. 346]. ( ( ) ) 0,75 h g H m0 = 0, 25 tanh 0, 6 tanh 0,5 4, F g UA ( 2 ) U2 A UA 2 tanh 2 0, 6 ( h g ) 0,75 g Hvor h er vanddybden [m]. g er tyngdeaccelerationen [m/s 2 ]. U 2 A (7.5) Til bølgehøjden, H m0 er der knyttet en peakperiode, T p, der beregnes ved formel (7.6). ( ( ) ) 0,375 h g 4, F g T p = 8, 3 tanh 0, 76 tanh 1/3 U A ( 2 ) UA UA 2 tanh 3 0, 76 ( h g ) 0,375 g U 2 A (7.6) Underskridelsessandsynligheden for bølgehøjden, H m0, ses på figur 7.5, hvor der til alle sandsynligheder og dermed også alle bølgehøjder, er knyttet en peakperiode, som beregnes udfra formel (7.6). I tabel 7.4 ses de beregnede værdier Underskridelses sandsynlighed F(x) Bølgehøjde H m0 [m] Figur 7.5 Underskridelsessandsynlighed for bølgehøjden (H m0 ) for østlig retning ved Keldsnor fyr. Underskridelsessandsynlighed F 0,12 0,31 0,55 0,73 0,86 0,93 0,98 Bølgehøjden H m0 [m] 0,02 0,14 0,47 0,95 1,45 2,01 2,62 Peakperioden T p [s] 0,73 1,98 3,51 4,72 5,55 6,25 6,87 Tabel 7.4 Beregnede værdier af H m0 og T p med tilhørende underskridelsessandsynlighed. Udfra placeringen af Femer Bælt broen kan det ses, se figur 7.1, at de to hovedretninger er øst og vest, hvilket også fremgår af de frie stræk, tabel

46 7. Bølgelast Betragtes samtidigt placeringen af observationspunkterne i forhold til broen vurderes det, at vind fra vest ved Keldsnor fyr og vind fra øst ved Gedser fyr repræsenterer forholdende bedst muligt. Sandsynligheden for vind fra vest, P V est, ved Keldsnor fyr er 14%, mens sandsynligheden for vind fra øst, P Øst, ved Gedser fyr er 22%, se evt. appendiks A. Den samlede sandsynlighed for disse 2 retninger beregnes ved følgende formel. P (H < H Øst + V est) = P (H < H Øst) P Øst + P (H < H V est) P V est Disse to retninger vægtes med sandsynligheden for vind fra denne retning, samtidigt med at disse to retninger tilsammen normeres til 1. Normeringsfaktoren for henholdsvis Keldsnor og Gedser bliver således og. Den samlede underskridelsessandsynlighed fremgår af tabel 7.5 og figur 7.6. H m0 0 0,02 0,14 0,47 0,95 1,45 2,01 2,62 P Keldsnor (H < H m0 V est) 0 0,10 0,24 0,46 0,66 0,83 0,94 0,99 P Gedser (H < H m0 Øst) 0 0,10 0,28 0,54 0,74 0,87 0,95 0,99 P Keldsnor,V est (H < H m0 V est) P V est 0 0,01 0,03 0,06 0,09 0,12 0,13 0,14 P Gedser,Øst (H < H m0 Øst) P Øst 0 0,02 0,06 0,12 0,16 0,19 0,21 0,22 Normeret 14/36 P Keldsnor,V est 0 0,04 0,09 0,18 0,26 0,32 0,36 0,38 Normeret 22/36 P Gedser,Øst 0 0,06 0,17 0,33 0,45 0,53 0,58 0,60 Samlet P (H < H m0 Øst + V est) 0 0,10 0,26 0,51 0,71 0,86 0,95 0,99 Tabel 7.5 Underskridelsessandsynlighed for bølgehøjden H m0 for vest og øst ved vægtet gennemsnit (P V est =0,14, P Øst =0,22) Underskridelses sandsynlighed F(x) Keldsnor (Vest) Gedser (Øst) Samlet (Keldsnor+Gedser) Bølgehøjde H m0 [m] Figur 7.6 Underskridelsessandsynlighed for bølgehøjden, H m0, for henholdsvis vest ved Keldsnor, øst ved Gedser og samlet Weibull fordeling Det vælges, at fitte en Weibull fordeling til den beregnede fordelingsfunktionen for bølgehøjderne, da denne ofte passer på vind- og bølgefordelinger. Ud fra 38

47 7. Bølgelast Weibull fordelingen er det muligt, at beregne bølgehøjden med en given returperiode. Weibull fordelingen er givet ved formel (7.7) [Liu & Frigaard 2001, s. 44]. x B F(x) = 1 e ( A ) k (7.7) Ved at linearisere fordelingen kan den skrives som følgende: x = A y + B Hvor y er den reducerede variabel, som for en Weibull fordeling er ln(1 F) (1/k) [-]. x er bølgehøjden H m0 [m]. Til beregning af koefficienterne A og B benyttes følgende udtryk: A = Cov(y, x) Var(y) B = X A Y Hvor Cov er covariansen af den reducerede variabel, y, og bølgehøjden, x, givet ved formel (7.8) [-]. Var er variationskoefficienten af den reducerede variabel, y, givet ved formel (7.9) [-]. X er middelværdien af bølgehøjden, x, givet ved 1 n Y er middelværdien af den reducerede variabel, y, givet ved 1 n y i [-]. n i=1 y i er den reducerede variabel, som er ln(1 F) (1/k) [-]. n x i [m]. i=1 Covariansen og variansen bestemmes udfra formel (7.8) og (7.9). Cov(y, x) = 1 n Var(y) = 1 n n ( yi Y )( x i X ) (7.8) i=1 n ( yi Y ) 2 i=1 (7.9) For at bestemme koefficienten, k, der indgår i formel (7.7), beregnes korrelationskoefficienten, R, og denne maksimeres for at opnå bedst sammenhæng mellem den estimerede kurve og de kendte bølgehøjder. R = Cov(Y, y) Var(Y ) Var(y) 39

48 7. Bølgelast Hvor Y udregnes på følgende måde: Y = x A B A På figur 7.7 ses, hvorledes Weibull fordelingen tilpasses til de kendte bølgehøjder. På figur 7.8 ses variationen af korrelationskoefficienten afhængig af k-værdien, hvorved k bestemmes til 1,23 ud fra ønsket om størst mulig korrelation. De beregnede værdier af A, B og k ses i tabel 7.6. A B k 0,86-0,10 1,23 Tabel 7.6 Beregnede Weibull koefficienter. Denne k-værdi indgår i den reducerede variabel, der er ordinaten på figur ( ln(1 F)) (1/k) Korrelationskoeficient R H m0 [m] k Figur 7.7 Tilpasning af Weibull fordeling til bølgehøjderne, H m0, bestemt ved korrelationskoefficienten, k = 1,23. Figur 7.8 Variationen af korrelationskoefficienten mht. k. Alternativt til korrelationskoefficienten kan den middel relative fejl, E, benyttes til at bestemme k. Middel relativ fejl beskriver fejlen i % mellem det estimerede udtryk, x estimeret, og de beregnede værdier af bølgehøjden, x observeret. Middel relativ fejl, E, beregnes ved formel (7.10) [Liu & Frigaard 2001, s. 51]. E = 1 n n i=1 x i,estimeret x i,observeret x i,observeret (7.10) Ud fra middel relativ fejl vurderes præcision af det fittede udtryk, idet E angiver den gennemsnitlige afvigelse mellem estimerede og observerede bølgehøjder med en procentdel. For k-værdien bestemt ved den maksimale korrelationskoefficient bestemmes middel relativ fejlen til 31% og den minimale relative fejl bestemmes til 17% for en k-værdi på 1,44. 40

49 7. Bølgelast % % ( ln(1 F)) (1/k) Middel relativ fejl E 200 % 150 % 100 % % H m0 [m] k Figur 7.9 Tilpasning af Weibull fordeling til bølgehøjderne, H m0, bestemt ved middel relativ fejl, k = 1,44. Figur 7.10 Variationen af middel relativ fejl mht. k. Dette giver en afvigelse på 0,21 af k-værdien, afhængig af om den beregnes med korrelationskoefficienten eller middel relativ fejl. Denne afvigelse vurderes ikke at være af særlig betydning, og i de følgende beregninger benyttes k-værdien beregnet ved korrelationskoefficienten. A-, B- og k-værdierne er nu tilpasset underskridelsessandsynligheden for bølgehøjderne, H m0, hvorefter det er muligt at bestemme en forventet bølgehøjde, H m0, med en bestemt returperiode. Dette gøres ved følgende udtryk [Liu & Frigaard 2001, s. 52]: ( ( )) 1/k 1 x T = A ln + B (7.11) λ T Hvor x T er bølgehøjden med T års returperiode [m]. T er returperioden [år]. λ Antal data er målingsintensiteten bestemt ved Antal observationsår Målingsintensiteten bestemmes ud fra antallet af observationer på de forskellige lokaliteter, som vægtes med hyppigheden af vind fra den pågældende retning, se tabel 7.7. Observationer F Retning Antal data Retning Keldsnor % Gedser % 7671 Samlet Tabel 7.7 Antal observerede data fra den givne retning på lokaliteten over 30 år. Målingsintensiten bestemmes udfra de målinger, der er foretaget ved Keldsnor og Gedser fyr over 30 år. På figur 7.11 ses de beregnede bølgehøjder med tilhørende returperioder, samt bølgehøjde og returperiode estimeret ud fra Weibull fordelingen, se formel (7.11). 41

50 7. Bølgelast 7 6 Bølgehøjde H m0 [m] Returperiode [år] Figur 7.11 Bølgehøjder, H m0, og returperioder fremskrevet udfra Weibull fordeling (λ = 657). Som tidligere beregnet er der til alle bølgehøjder en tilhørende periodetid. Ifølge Norm for pælefunderede offshore stålkonstruktioner skal periodetiden bestemmes inden for intervallet givet ved formel (7.12), hvilket skyldes, at der anvendes langtidsvindstatistikker til fastsættelse af ekstremlaster [DS , s. 22]. T min = T max = 130 H m0 g 280 H m0 g (7.12) På figur 7.12 ses intervallet for bølgeperioden, hvor bølgehøjden fremgår af figur På figuren ses ligeledes den i formel (7.6) beregnede peakperiode. Perioden skal vælges indenfor intervallet, således at kraften på konstruktionen bliver størst mulig T max Bølgeperiode T [s] T min Returperiode [år] Figur 7.12 Periodetider for bølger med kendt returperiode. (- - -) periodetider bestemt ved DS 449, ( ) peakperiode bestemt ved formel (7.6). Dette resulterer i, at forskellige returperioder giver forskellige bølgehøjder og tilhørende periodetider, hvilket fremgår af tabel

51 7. Bølgelast Returperiode [år] H m0 [m] 3,83 5,67 5,98 6,29 6,47 6,59 6,69 T p,min [sek] 7,13 8,67 8,90 9,13 9,26 9,35 9,42 T p,max [sek] 10,46 12,72 13,07 13,40 13,59 13,72 13,82 Tabel 7.8 Bølgehøjder og perioder for øst- og vestlig retning. Herefter bestemmes sandsynligheden for, at en bølgehøjde, bestemt for en given returperiode, ikke overskrides i konstruktionens levetid på 100 år, jf. kapitel 2. Dette gøres ved følgende formel [Liu & Frigaard 2001, s. 41]: P = 1 (1 1 T )L (7.13) Hvor P er sandsynligheden for at bølgehøjden ikke overskrides [-]. T er returperioden [år]. L er levetiden af konstruktionen [år]. Returperiode [år] P 1 0,87 0,63 0,39 0,28 0,22 0,18 Tabel 7.9 Sandsynligheden for at bølgehøjden med den givne returperiode ikke overskrides. Ud fra de givne sandsynligheder vurderes det, at konstruktionen skal dimensioneres for en bølge med en returperiode på 400 år, idet sandsynligheden for at denne ikke overskrides er 22%, hvilket vurderes at være en acceptabel risiko. Grunden til at denne risiko vurderes at være acceptabel er, at der ved dimensioneringen regnes med partialkoefficienter, hvilket resulterer i, at den reelle risiko er meget lavere. Dette resulterer i, at konstruktionen skal dimensioneres ud fra følgende: Bølgehøjde Periodetid H m0 [m] T min [s] T max [s] 6,59 9,35 13,72 Tabel 7.10 Bølgehøjde og periode til dimensionering. I det følgende bestemmes den maksimale bølgekraft på bropillen samt kraftens angrebspunkt. Til bestemmelse af bølgekraften anvendes 1. ordens bølgeteori, og der beregnes et variansspektrum til bestemmelse af uregelmæssige bølger. De vindgenererede bølger ved Femer Bælt er frit-stræk begrænsede, hvorfor et JONSWAP spektrum vælges til bestemmelse af uregelmæssige bølger. Bølgehøjden, H s, der benyttes i JONSWAP sættes lig bølgehøjden, H m0, idet 43

52 7. Bølgelast bølgerne antages Rayleigh fordelte. I det følgende fastlægges JONSWAP spektret for den estimerede H m0 lig 6,59 m og en T p lig 9,35, tabel Herefter følger bestemmelsen af bølgekraften på bropillen beregnet ved to forskellige metoder. Morisons formel Potentialteori 7.2 JONSWAP spektrum JONSWAP spektret er et spektrum der viser fordelingen af energien for fritstræk begrænsede bølger. JONSWAP spektraldensiteten er givet ved formel (7.14) [Liu & Frigaard 2001, s. 35]. S η (f) = α H 2 s f 4 p f 5 γ β exp ( 5 4 ( ) ) 4 fp f Hvor S η er spektraldensiteten som funktion af frekvensen [m 2 s]. α er en hjælpestørrelse [-]. H s er den signifikante bølgehøjde [m]. f p er peak frekvensen [s 1 ]. f er frekvensen for én bølge [s 1 ]. γ er en peak enhancement factor [-]. β er en hjælpestørrelse [-]. (7.14) Hjælpestørrelserne α og β beregnes ved formel (7.15) og (7.16). 0, 0624 α 0, , 0336 γ β = exp ( (f f ) p) 2 2 σ 2 fp 2 ( ) (7.15) 0,185 1,9+γ (7.16) Hvor σ 0,07 for f f p σ 0,09 for f f p Peak enhancement faktoren, γ, bestemmer størrelsen af den maksimale spektral densitet, S η,max, og sættes generelt lig 3,3 i danske farvande [DS , s. 14]. I MATLAB er der lavet et program, der beregner og plotter JONSWAP spekteret, og af figur 7.13 fremgår spektret for H m0 lig 6,59 m og T p lig 9,35 s. 44

53 7. Bølgelast S η (f) [m 2 s] f [s 1 ] Figur 7.13 JONSWAP spektrum med H m0 lig 6,59 m og T p lig 9,35 s. Udfra spektrummet konstrueres en tidsserie af overfladeelevationen. Variansspektraldensiteten opdeles i 200 delintervaller med frekvensbåndsbredden f lig 0,001, se figur Bølgehøjden, H i, for hver lineær bølge beregnes udfra formel (7.17). Figur 7.14 Principskitse der viser inddelingen af JONSWAP spektrummet. Spektraldensiteten er defineret som følgende[liu & Frigaard 2001, s. 16]: S η (f i ) = 1 2 a2 i f a i = H i = 2 a i = 2 2 S η (f i ) f 2 S η (f i ) f i = 1, 2,..., 200 (7.17) Endvidere er perioden, T i, og den cirkulære frekvens, ω i, for hver lineær bølge givet ved formel (7.18). ω i = 2 π f i T i = 1 f i i = 1, 2,..., 200 (7.18) 45

54 7. Bølgelast Den uregelmæssige overfladeelevation er givet ved formel (7.19). Spektrummet giver ingen information om fasen δ i og derfor benyttes tilfældige tal mellem 0 og 2π η(t) = η i (t) = a i cos(ω i t + δ i ) (7.19) i=1 i=1 Bølgelængden, L i, hørende til hver lineær bølge itereres vha. dispersionsligningen, og bølgetallet, k i, kan herefter udregnes. L i = g T ( i 2 2 π tanh 2π h ) L i k i = 2π L Hvor h er vanddybden = 27,5 m [m]. De uregelmæssige bølgers hastigheder og accelerationer, der skal anvendes til bestemmelse af bølgekraften, som bropillen udsættes for, findes herefter ved superposition af de lineære bølgers hastigheder og accelerationer Keulegan-Carpenters tal Bølgekraften på bropillen kan bestemmes ved en potentialteoretisk beregning, der forudsætter, at der ikke dannes separation, eller kraften kan beregnes tilnærmet med Morisons formel i tilfælde af, at der opstår separation ved bropillen. Størrelsen af Keulegan-Carpenters tal, K, fastlægger hvilken beregningsmetode, der giver bedste resultater. K er givet ved formel (7.20) [Burcharth 2002, s. 31]. K = u max T D Hvor K > 5 Morisons formel. K < 5 Potentialteori. (7.20) Diameteren, D, der indgår i Keulegan-Carpenter tallet, er for en cirkel, hvorfor ellipsen omregnes til en cirkel med samme areal, den ækvivalente diameter kan således bestemmes, idet at A elipse er 218 m 2. A ellipse = π 4 D2 ækvivalent D ellipse = = 16, 7 m π D rektangel = 72, 5 4 = 9, 6 m π (7.21) På figur 7.15 ses en skitse af bropillen, hvor hovedmålene er angivet. 46

55 7. Bølgelast Figur 7.15 Definitionsskitse, ubenævnte mål i mm. For K 5 er en potentialteoretisk beregning anvendelig, se formel (7.20), og for K 5 kan Morisons formel tilnærmet anvendes. Da bropillen har forskellig form og tværsnitsdimension fra havbunden til middelvandspejlet, MVS, se figur 7.15, fås forskellige K-værdier for henholdsvis den rektangulære- og elliptiske bropilledel. Det kan altså ikke eksplicit afgøres, om der dannes separation eller ej, hvorfor det vælges, at udføre begge beregninger. Beregning af K foretages under simulering af en 3 timers storm. Den potentialteoretiske beregning udføres vha. programmet ShipSim, der anvender kilde/dræn princippet. Ydermere vælges det at udføre et modelforsøg, for at have eksperimentelle resultater at sammenligne med, herunder målte bølgekræfter og angrebspunkter. 7.3 Morisons kraft I henhold til Norm for pælefunderede offshore stålkonstruktioner [DS ] kan Morisons formel anvendes til bestemmelse af bølgekraften, hvis den betragtede konstruktionsdel har en tværsnitsdimension, D, mindre end 1/5 af bølgelængden, L [Burcharth 2002, s. 35]. Beregninger med bølgelængder ved 1. ordens teori har vist at længden er beliggende i intervallet m, dette betyder at norm-kravet i høj grad overholdes ved undersøgelse af den øverste rektangulære bropilledel. Derimod tilfredsstilles kravet kun i mindre grad ved undersøgelse af den ellipseformede del af bropillen, hvilket skyldes, at ellipsetværsnitsdimensionerne er store i forhold til de aktuelle bølgelængder. Det kan således forventes, at bølgekraften, beregnet med Morisons formel, afviger i nogen grad fra den virkeligt forekommende. Den empiriske Morison kraft, f M, består af et inertiled og et dragled. Inertikraften pr. enhedslængde findes af formel (7.22) [Burcharth 2002, s. 26]. f M = C M ρ V u for x = 0 (7.22) 47

56 7. Bølgelast Hvor C M er massekoefficienten [-]. ρ er havvands massefylde [kg/m 3 ]. V er volumen af det betragtede cylinderstykke [m 3 /m]. u er vandpartiklernes horisontalacceleration [m/s 2 ]. For en ellipse er massekoefficienten for hydrodynamisk masse, C m, lig en faktor 1, hvorfor massekoefficienten, C M, er lig 2. Det svarer til, at inertikraften består af Froude-Krylov kraften samt et ligeså stort bidrag, der skyldes bropillens ændring af strømningsbilledet. For den øvre rektangulære del af bropillen bestemmes C m til 1,33 (C M = 2,33) [DS , s. 24]. Horisontalaccelerationen udregnes som en sum af de 200 lineære bølgers horisontalaccelerationer, se formel (7.23), idet der benyttes en overfladeelevation der følger en sinusbølge [Frigaard & Hald 2004, s. 22]. 200 u = u i = H i 2 g k i cosh(k i (z + h)) cos(ω i t k i x + δ i ) (7.23) cosh(k i h) i=1 Hvor H i er bølgehøjden for bølge i [m]. k i er bølgetallet for bølge i [m 1 ]. ω i er den cirkulære frekvens for bølge i [s 1 ]. z er en lodret opadrettet koordinat [m]. h er vanddybden [m]. Ved at placere bropillens symmetriakse i det kartesiske koordinatsystems origo, kan x sættes lig nul. Dragkraften pr. enhedslængde, også kaldet strømkraften, udregnes af formel (7.24) [Burcharth 2002, s. 5]. f D = C D 1 ρ u u A (7.24) 2 Hvor C D er dragkoefficienten [-]. u er vandpartiklernes horisontalhastighed [m/s]. u er den absolute værdi af vandpartiklernes horisontalhastighed [m/s]. A er tværsnitsarealet af cylinderen [m 2 /m]. For den ellipseformede del er C D lig 0,7, og for den rektangulære del er C D lig en faktor 2 [DS , s. 23]. Horisontalhastigheden, u, udregnes tilsvarende som horisontalaccelerationen, jf. formel (7.25). 200 u = u i = H i 2 g k i cosh(k i (z + h)) sin(ω i t k i x + δ i ) ω i cosh(k i h) i=1 (7.25) Morisons formel er lig summen af inertikraften og dragkraften, hvilket giver formel (7.26). 48

57 7. Bølgelast F Morison = C M ρ V u + C D 1 ρ u u A (7.26) 2 Morisonkraften udregnes i MATLAB ved at udføre numerisk integration op over dybden, dvs. fra z = 28 m til z = η, hvor hastighedsprofilet fra middelvandspejlet og op til η er antaget konstant. Det vælges at udføre Gauss integration, da denne metode er effektiv sammenlignet med Midpoint Approximation og Simpsons integration. For at vise variationen af henholdsvis inertikraften og dragkraften konstrueres en 3 timer lang storm af 200 lineære bølger sammensat et ved JONSWAPspektrum. JONSWAP-spektret genereret ud fra H m0 = 6, 59 m og T p = 9, 35 s ses på figur Tidsserien genereres med en frekvens på 5 Hz. Figur 7.16 viser overfladeelevationens variation, og figur 7.17 viser inerti- og dragkraftens variation i 90 sekunder Inertikraft Dragkraft η [m] F [MN] tid [s] tid [s] Figur 7.16 Variation af overflade i 90 sekunder. Figur 7.17 Variation af inerti- og dragkraft i 90 sekunder. Dragkraften er beliggende tæt på 0-linien Figur 7.17 viser, at inertikraften dominerer i forhold til dragkraften. Derfor kan der ses bort fra dragkraften i beregningerne af kraften på bropillen, hvorved det er muligt komme fra bølgespektrum til kraftspektrum vha. transferfunktionen. Endvidere er angrebspunktet for maksimalkraften fundet for tidsserien. Angrebspunktet er fundet ved at finde det moment som kraften forsager, findes ved numerisk integration, og derudfra finde angrebspunktet. Det gennemsnitlige angrebspunkt beregnes til at ligge 22,1 m over havbunden. Ved simuleringen er det maksimale Keulegan-Carpenters tal, K, bestemt for en ækvivalent diameter af ellipsen og rektanglen på henholdsvis 16,7 m og 9,6 m, formel (7.21), til 0,5 og 1,1. Idet Keulegan-Carpenters er K < 5, betyder at der ikke danne seperation og derved kun er inertikraft. Dette taler imod at anvende Morisons formel, idet Morisons formel anvendes for K > 5. 49

58 7. Bølgelast Rayleigh fordeling I det følgende eftervises, at bølgehøjderne, samt kraften fra bølgerne, er Rayleigh fordelte. Udfra Rayleigh fordelingen bestemmes den dimensionsgivende bølgehøjde. Fordelingsfunktionen for en Rayleigh fordeling er givet ved formel (7.27). F(x) = Prob (X < x) = 1 exp ( π ) 4 x2 (7.27) For at undersøge om bølgehøjderne og kræfterne på bropillen er Rayleigh fordelte, afbildes 1 log(f(x)) som funktion af x 2, hvilket tilnærmelsesvis skal være en ret linie, se figur Rayleigh fordeling af bølgehøjder I formel (7.27) defineres x som den dimensionsløse bølgehøjde givet ved formel (7.28). x = H H (7.28) Hvor H er bølgehøjden [m]. H er middelbølgehøjden [m]. Der udføres en nul-nedkrydsningsanalyse på tidsserien med overfladeelevationen og følgende resultater opnås: N = 1430 bølger H = 3, 93 m Bølgehøjderne inddeles i intervaller, og et histogram ses på figur Antallet af bølger regnes om til tæthed ved formel (7.29), og bølgehøjderne divideres med middel bølgehøjden. Dette ses på figur f = n N H H (7.29) Hvor n er antallet af bølger i intervallet [-]. N er det totale antal bølger [-]. 50

59 7. Bølgelast Antal bølger H [m] Sandsynligheds tæthed H / H [-] middel Figur 7.18 Histogram af bølgehøjder. Figur 7.19 Dimensionsløs histogram af bølgehøjder. På figur 7.19 ses det dimensionsløse histogram af bølgehøjderne, som kan tilnærmes en Rayleigh fordeling. Endvidere ses den eksakte Rayleigh fordeling og den summerede sandsynlighedsfunktion på figur Sandsynligheds tæthed Tilnærmet rayleighfordeling f(x) Eksakte rayleigh fordeling f(x) Summeret sandsynlighed F(X) H / H middel [ ] Figur 7.20 Tilnærmet og eksakt Rayleigh fordeling af bølgehøjder samt summeret sandsynlighed. Figur 7.21 viser 1 F(x) afbildet som funktion af x 2. Både den eksakte og tilnærmede Rayleigh fordeling, ud fra tidsserien, ses. 51

60 7. Bølgelast 10 0 Tidsserie Rayleigh 1 F(x) [ ] (H / H middel ) 2 [ ] Figur 7.21 Logaritmisk afbildning af underskridelsessandsynligheden for dimensionsløse bølgehøjder. Figur 7.21 viser, at bølgehøjderne med god tilnærmelse kan regnes Rayleigh fordelte. Følgende sammenhænge er gældende for Rayleigh fordelte bølger [Frigaard & Hald 2004, s. 54]. H s = H 1/3 = 1, 6 H H max = H 0,1% = 2, 97 H (7.30) Bølgehøjden af den dimensionsgivende bølge kan således beregnes, idet den signifikante bølgehøjde er i tabel 7.10 angivet til 6,59 m. H max = 2, 97 6, 59 1, 6 = 12, 23 m Periodetiden for denne maksimale bølge bestemmes til følgende, hvor β er 9,7 for havdybder under 40 m. [DS , s.6]: H max T = β g 12, 23 = 9, 7 = 10, 83 s (7.31) 9, 81 Den beregnede Morisonkraft og angrebspunkt for en lineær bølge fremgår af tabel Bølgehøjde H max [m] Periode T [s] Morisonkraft F [MN] Angrebspunkt [m] 12,23 10,83 13,52 21,0 Tabel 7.11 Morisonkraften for en lineær bølge. Ud fra den simulerede overfladevariation bestemmes middelbølgehøjden til 3,93 m, hvilket i henhold til formel (7.30) giver en maksimal bølgehøjde, H max, på 52

61 7. Bølgelast 11,67 m. Den tilhørende periode bestemmes ved formel (7.31) til 10,58 s. Den beregnede Morisonkraft for en lineær bølge med disse parametre fremgår af tabel Bølgehøjde H max [m] Periode T [s] Morison kraft F [MN] 11,67 10,58 11,49 Tabel 7.12 Morisonkraften for maksimalbølgen i tidsserien. Det fremgår ved sammenligning af tabel 7.11 og 7.12, at der er en lille variation i den maksimale bølgehøjde, og dermed også i kraften. Dette skyldes, at simuleringen af overfladeelevationen er tidsbegrænset, og derfor ikke opnår samme maksimalværdi Rayleigh fordeling af bølgekræfter på bropillen Fremgangsmåden til at bestemme om kræfterne på bropillen er Rayleigh fordelte, er den samme som for bølgerne i afsnit Dog defineres x ikke som den dimensionsløse bølgehøjde men som den dimensionsløse kraft, jf formel (7.32). x = F H F H (7.32) Hvor F H er krafthøjden [MN]. F H er middelkrafthøjden [MN]. En nul-nedkrydsningsanalyse på kraftsignalet giver følgende resultater: N = 1446 kraft bølger F H = 10, 30 MN Kraften bestemt ved nul-nedkrydsningsanalyse er krafthøjden, F H, men det er kun kraftamplituden, F, der er interessant. Dette giver følgende middelkraft: F = F H 2 = 10, 30 2 = 5, 15 MN Fordelingen af krafthøjderne, F H ses i figur 7.22 og på 7.23 ses den dimesionsløse kraft, som er regnet ud fra formel

62 7. Bølgelast Antal kraftbølger F [MN] H Sandsynligheds tæthed F / F [-] H H, middel Figur 7.22 Histogram af kræfter på bropillen. Figur 7.23 Dimensionsløs histogram af kræfter på bropillen. Histogrammet på figur 7.23 tilnærmes en Rayleigh fordeling, og den summerede sandsynlighedsfunktion ses på figur Sandsynligheds tæthed Tilnærmet rayleighfordeling f(x) Eksakte rayleigh fordeling f(x) Summeret sandsynlighed F(X) F H / F H, middel [ ] Figur 7.24 Tilnærmet og eksakt Rayleigh fordeling af kræfter på bropillen samt summeret sandsynlighed. Figur 7.25 viser 1-F(x) afbildet som funktion af x 2. Både den eksakte og tilnærmede Rayleigh fordeling, ud fra tidsserien, ses. 54

63 7. Bølgelast 10 0 Tidsserie Rayleigh 1 F(x) [ ] (F H / F H, middel ) 2 [ ] Figur 7.25 Logaritmisk afbildning af underskridelsessandsynligheden for dimensionsløse kræfterne på bropillen. Ved at sammenligne figur 7.21 og 7.25 ses det, at ved at benytte Rayleigh fordelingen overestimeres de store bølgehøjder, (x > 6), idet de ligger under kurven for Rayleigh, mens der er god overensstemmelse mellem resten. Kraften overestimeres i intervallet 1 < x < 4 og x > 7, idet den ligger under kurven for Rayleigh fordelingen, mens kraften underestimeres i intervallet 4 < x < 6. Det vurderes dog, at den endelige kraft overestimeres, idet både bølgehøjden og kraften overestimeres for store bølgehøjder og kræfter. Figur 7.25 viser, at kræfterne på bropillen med god tilnærmelse kan regnes Rayleigh fordelte, hvorfor formel (7.30) anvendes til at bestemme den dimensionsgivende kraft, F max. F max = 2, 97 5, 15 MN = 15, 30 MN (7.33) Af tabel 7.12 fremgår den maksimale bølgehøjde og periode for samme tidsserie, hvorfor disse også gældende er for kraften i formel Bølgehøjde H max [m] Periode T [s] Morison kraft F [MN] 11,67 10,58 15,30 Tabel 7.13 Maksimal Morisonkraft i tidsserien. Denne kraft sammenlignes med kraften fundet i tabel 7.12, idet at disse gerne skulle være ens. Afvigelsen kan skyldes at der er forskel i perioderne, da kraften i tabel 7.12, er bestemt for en periode fastsat ud fra normen [DS , s. 6]. Ved at antage lineær sammenhæng mellem bølgehøjde og kraft kan kraften skaleres lineært op til at gælde for en bølgehøjde på 12,23 m. Perioden og angrebspunktet er tidligere beregnet for denne bølgehøjde og fremgår af tabel Bølgekraften beregnes i tidsdomænet og resultaterne fremgår af tabel

64 7. Bølgelast Bølgehøjde Periode Morison kraft Angrebspunkt H max [m] T [s] F [MN] [m] 12,23 10,83 16,03 21,0 Tabel 7.14 Morisonkraften beregnet i tidsdomænet. 7.4 Transferfunktionen I dette afsnit bestemmes transferfunktionen, der giver sammenhængen mellem bølgespektret og kraftspektret. En forudsætning for at transferfunktionen kan bestemmes er, at inputtet, bølgespektret, og outputtet, kraftspektret, er periodiske med samme cykliske frevkens. Da beregning af kraften bygger på Morisons formel, er det en nødvendig forudsætning at inertikraften er dominerende i forhold til dragkraften. Dette er tilfældet, hvis Keulegan-Carpenter tallet, K, er mindre end 5, jf. afsnit 7.3. I afsnit er det bestemt, at kræfterne på bropillen er Rayleigh fordelte, hvilket er en forudsætning for at komme fra kraftspektret til en dimensionsgivende last. Systemet, som betragtes, er lineære bølger med amplituden, a η (t), defineret ved bølgespektret, S η (f), og responsamplituden, a λ (t), givet ved kraftspektret, S λ (f). Følgende sammenhæng er herved givet mellem de to spektre. S λ (f) = H(f) 2 S η (f) (7.34) Hvor S η (f) er bølgespektret [m 2 s]. S λ (f) er bølgekraftspektret [N 2 s]. H(f) er transferfunktionen [N/m]. Af formel (7.34) kan følgende udtryk for transferfunktionen findes. H(f) 2 = S 1 λ(f) S η (f) = 2 a2 λ 1 2 a2 η = a2 λ a 2 η H(f) = a (7.35) λ a η Hvor a λ er amplituden af bølgekraften [N]. a η er amplituden af bølgen [m]. Fremgangsmåden til at bestemme transferfunktionen er at diskretisere bølgespektret. I de diskretiserede punkter bestemmes a η og a λ ved følgende to formler: a η = a (7.36) a λ = C M ρ V u (7.37) 56

65 7. Bølgelast Da signalet er diskretiseret er det kun amplituden, der har interesse og ikke den cykliske del. Dette resulterer i, at det kun er den del af accelerationen, u, der står foran cosinus ledet, der benyttes til at beregne kraftamplituden, se formel (7.38). u = u t η = a sin(θ) u = a g k ω cosh k(z + h) cosh(kh) = a g k cosh k(z + h) cosh(kh) sin(ωt kx) cos(ωt kx) (7.38) Kraftamplituden kan således beregnes ved følgende: a λ = C M ρ V 0 z a g k cosh k(z + h) cosh(kh) dz (7.39) Værdien af transferfunktionen kan nu bestemmes ved formel (7.35). Transfer funktionen bestemmes ved at opdele JONSWAP spektret i 200 lineære bølger, med tilhørende frekvenser/perioder, og så beregne amplituden for henholdsvis bølgerne, a η og kraften, a λ. Transfrefunktionen bestemmes således ved indsættelse i formel (7.35). Transferfunktionen og JONSWAP spektrumet fremgår af figur x H(f) 2 [N 2 m 2 ] 4 Transferfunktion JONSWAP 40 S η [m 2 s] Frekvens [Hz] Figur 7.26 Transferfunktionen beregnet med morisonsformel, og JONSWAP spektrumet Eksempel I det følgende vises et eksempel på, hvorledes kraftspektret udregnes ved brug af transferfunktion. I eksemplet bruges følgende parametre for bølgespektret. H s T p = 6,59 m = 9,35 s Bølgespektret findes ved JONSWAP spektret og deles op i 10 lineære bølger, jf. afsnit 7.3. JONSWAP spektret regnes i følgende interval, da det er her energien ligger: 57

66 7. Bølgelast f [0, 05 0, 325] Dette giver følgende delfrekvens: f = 0, 325 0, = 0, 0275 De udregnede værdier for JONSWAP spektret ses i tabel 7.15 og er optegnet på figur På figur 7.27 ses endvidere et JONSWAP spektrum med 200 bølger Bølger 200 Bølger 60 S η (f) [m 2 s] f [s 1 ] Figur 7.27 JONSWAPspektrum. Udfra de 10 lineære bølger findes tilhørende bølgefrekvenser og spektraltætheder, jf. afsnit 7.2 og værdierne ses i tabel Amplituderne for bølger og kraft findes af formel (7.36) og (7.39), hvorefter transferfuntionen findes af formel (7.35). Sidste trin er herefter at udregne spektraltætheden af bølgekraften af formel (7.34). De udregnede værdier for eksemplet ses i tabel

67 7. Bølgelast Bølge f S η a η a λ H(ω) 10 5 H(ω) S λ [-] [s 1 ] [m 2 s] [m] [kn] [N m 1 ] [N 2 m 2 ] [N 2 s] 1 0,064 0,055 0,055 91,180 16,547 2,738 0, ,091 19,806 1, ,700 21,642 4,684 92, ,119 37,954 1, ,400 24,774 6, , ,146 12,144 0, ,900 26,098 6,811 82, ,174 6,129 0, ,000 26,437 6,989 42, ,201 3,184 0, ,600 26,492 7,018 22, ,229 1,747 0, ,380 26,5 7,023 12, ,256 1,012 0, ,320 26,505 7,025 7, ,284 0,616 0, ,840 26,511 7,028 4, ,311 0,391 0, ,750 26,519 7,033 2,748 Tabel 7.15 Værdier for 10 bølger. Af tabel 7.15 optegnes transferfunktionen, og denne ses på figur H(f) 2 [N 2 m 2 ] 7.5 x f [s 1 ] Figur 7.28 Transferfunktion. Det ses, at den kvadrerede transferfunktion stiger for stigende frekvens. Dette har betydning for valget af peakperiode, T p, som ved den laveste værdi forskyder bølgespektret mod højre, og dermed også forøger kraftspektret ved den laveste T p. Af tabel 7.15 optegnes bølgekraftspektret, hvilket ses på figur

68 7. Bølgelast 2.5 x S λ (f) [N 2 s] f [s 1 ] Figur 7.29 Kraftspektrum. Arealet under kurven på figur 7.29 findes, da det skal bruges til at bestemme krafthøjden, F H,M0, og er markeret på figur Arealet findes ved numerisk integration udfra tabel 7.15 ved formel (7.40). M 0 = (S λ ) f (7.40) Hvor M 0 er 0 te ordensmoment for kraftspektret [N 2 ]. 2.5 x 1014 M 0 2 S λ (f) [N 2 s] f [s 1 ] Figur 7.30 Kraftspektrum, hvor arealet M 0 er markeret. Da kraften antages Rayleigh fordelt, kan den signifikante krafthøjde, F H,M0, beregnes ved formel (7.41). F H,M0 = 4 M 0 = 4 13, = 14, N (7.41) Den signifikante kraftamplitude, F s, bestemmes således til følgende: 60

69 7. Bølgelast F s = F H,M 0 2 = 14, = 7, 42 MN Dette er den signifikante kraft for en diskretisering på 10 bølger. På figur 7.27, ses det at ved at øge diskretiseringen til 200 bølger fås en mere detaljeret kurve og derved en mere rigtig kraft. Ved at øge antallet af bølger fra 10 til 200, og dermed mindske delfrekvensen, bestemmes arealet under kraftspekteret, M 0, til 15, N 2, hvorved kraften fremgår af tabel M 0 [N 2 ] F H,M0 [MN] F s [MN] F max [MN] 15, , 93 7, 97 14, 80 Tabel 7.16 Kraft beregnet ved transferfunktion og JONSWAP spektrum. 7.5 Kilde/dræn-beregning af bølgekraft Dette afsnit omhandler beregning af bølgekraften på bropillen vha. den potentialteoretiske kilde/dræn-metode. Metoden er gældende for alle geometriske former, herunder skibe, moler og offshore-konstruktioner. Grundet at metoden tager udgangspunkt i potentialteori, indgår kun kræfter fra bunden til MVS i beregningerne, og der tages således ikke hensyn til brydende bølger eller elevation af disse over MVS. Metoden er beregnet til konstruktioner, der er store i forhold til bølgefeltet, for at opnå en mærkbar påvirkning heraf. Ved at placere et uigennemtrængeligt objekt som bropillen i et bølgefelt, resulterer dette i reflekterede bølger, der spredes som ringe i vandet ud fra bropillen, se figur Figur 7.31 Principskitse for kilde/dræn beregning. 61

70 7. Bølgelast Da der regnes med potententialstrømning, kan det samlede bølgefelt findes ved superposition af de oprindelige 1. ordens bølger og de reflekterede bølger fra bropillen. Ved at opbygge bropillen af elementer der hver indeholder en punktformet kilde i midten, kan den tidsvarierende styrke af disse kilder bestemmes, for at opnå ligevægt med det samlede bølgefelt, således at konstruktionen forbliver ugennemtrængelig. Elementprogrammet ShipSim anvendes til at udføre beregningen, og i følgende underafsnit redegøres for, hvorledes ShipSim udfører numerisk beregning af kræfter og momenter, og i appendiks B redegøres for kilde/dræn-teorien. Herefter følger resultater fra ShipSim, herunder bølgekraften, angrebspunktet og et kraftspektrum Numerisk beregning af kræfter og momenter Det samlede hastighedspotentiale for det spredte bølgefelt kan findes ved Laplaces ligning, se appendiks B, og trykket på bropillen findes ved Bernoullis generaliserede ligning. p = ρgz ρ ϕ t Kræfter og momenter findes ved følgende: F(t) = d F = p(t) nds S L S L M(t) = r d F(t) = p(t) r nds S L S L Hvor n er enhedsnormalen ud mod vandet. r er stedvektoren fra det punkt, der tages moment om, til det punkt hvor df angriber. den vandrette overflade af bropillen. S L (7.42) Ved inddeling af bropillen i N elementer og placering af en kilde i hvert enkelt elements tyngdepunkt, kan kraften og momentet på bropillen findes tilnærmet ved formel (7.42), her omskrevet til følgende: F(t) M(t) N p i (t) n i S i i=1 N r i n i p i (t) S i i=1 Hvor p i (t) er trykket i det i te elements tyngdepunkt. n i er normalvektoren til det i te element. S i er arealet af det i te element. r i er stedvektoren fra punktet hvori momentet regnes til det i te elements tyngdepunkt. 62

71 7. Bølgelast Anvendelse af ShipSim Bropillen modelleres med hovedsageligt firkantede elementer og enkelte trekantelementer, hvor denne form har været mere hensigtsmæssig. Modellen består af i alt 936 elementer, og fremgår af figur Figur 7.32 Den diskretiserede bropille som anvendes i ShipSim. Følgelig er opskrevet inputs og outputs til ShipSim. Input til ShipSim: Bropillens geometri og elementinddeling Bølgehøjde og bølgeperiode Vanddybde og densitet af vand Output fra ShipSim: Bølgekraft og væltende moment Kraftspektrum bestemt ud fra beregnede kraftamplituder Beregningsbegrænsninger For at programmet giver den mest nøjagtige beregning skal følgende krav til Diffraktionsparameteren overholdes [Brorsen 2000]: A L > 0, 2 63

72 7. Bølgelast Hvor A er et karakteristisk vandret tværsnitsareal lig 218,5 [m 2 ]. L er bølgelængden af de indkomne bølger [m]. Overholddes ovenstående krav er Keulegan-Carpenter tallet lille, hvorved væskepartiklernes bevægelse er lille i forhold til bropillens udstrækning. Dette betyder, at der kan ses bort fra separation og viskose kræfter, hvorfor potentialteori kan benyttes. I tabel 7.17 er kravet undersøgt for en række perioder, dækkende over frekvenserne i JONSWAP spekteret. T [s] L [m] A L [-] 1,05 0,59 0,38 0,26 0,20 0,16 0,13 0,11 0,10 0,09 0,08 Tabel 7.17 Diffraktionsparameteren til udvalgte perioder. Af tabel 7.17 ses, at kravet til diffraktionsparameteren ikke overholdes for perioder større end 7 s. Det kan derfor forventes, at resultaterne fra ShipSim afviger fra de eksperimentelle resultater, da forudsætningerne for beregningsmetoden ikke er tilstrækkeligt opfyldt. For at opnå tilstrækkeligt nøjagtige resultater, kræves det endvidere, at én bølgelængde dækkes af mere end 8 elementer. Bropillen er opbygget af elementer med en gennemsnitslængde på ca. 1,45 m, hvilket betyder den mindste bølgelængde skal være større end 11,6 m. Af tabel 7.17 ses det, at dette krav opfyldes for bølger med perioder større end 3 s. Resultater fra ShipSim Shipsim er baseret på lineær bølgeteori, og derfor er der en lineær sammenhæng mellem bølgehøjde og bølgekraft på bropillen. På figur 7.33 plottes bølgekraften som funktion af bølgehøjden for konstant periode lig 9 sek Bølgekraft F [MN] Bølgehøjde H [m] Figur 7.33 Linearitet mellem bølgekraft og bølgehøjde beregnet med ShipSim. 64

73 7. Bølgelast Tabel 7.18 viser bølgekraftens størrelse, F, for forskellige bølgehøjder, H, ved en periode, T, på 9 sek. H [m] F [MN] 1, 3 2, 7 4, 0 5, 4 6, 7 8, 1 9, 4 10, 8 12, 2 13, 5 14, 9 16, 2 Tabel 7.18 Bølgekraften, F, for perioden T lig 9 sek. Kraftspektrum ShipSim beregner kraftamplituden, a λ, til forskellige frekvenser, idet bølgehøjden, H, holdes konstant lig 2 m svarende til en bølgeamplitude, a η, på 1 m. Kraft spektraldensiteten, S λ, kan herefter udregnes ved 1 2 a2 λ / f, og af figur 7.34 ses kraftspekteret beregnet med ShipSim. Idet kraftspekteret beregnes for lineære bølger med en bølgehøjde på 2 m, a η = 1, kan transferfunktionen bestemmes ved formel (7.43). H(f) 2 = S λ S η = 1 2 a2 λ / f a2λ = / f a2 η (7.43) H(f) 2 = a 2 λ Kraft [MN] Periode T [s] Figur 7.34 Kraften beregnet for en lineær bølge, H = 2 m, med varierende periode. H(f) 2 [N 2 /m 2 ] 8 x Frekvens [Hz] Figur 7.35 Transferfunktion. På figur 7.34 og 7.35 ses det, at kraften, og dermed transferfunktionen, giver et lille udslag ved perioderne 0 til 4 s, hvilket svarer til frekvenserne fra 0,25 til 0,3 Hz. Dette kan skyldes, at kravet til diskretiseringen af beregningsmodellen her ligger lige på grænsen til at være opfyldt. Det vurderes derfor, at resultaterne for dette område ikke er brugbare. Ved at multiplicere transferfunktionen på JONSWAP spekteret med H s = 6, 59 m og T p = 9, 35 s, figur 7.13, fås kraftspekteret, og ved at tage arealet under kraftspekteret bestemmes 0 te ordens momentet, M 0. 65

74 7. Bølgelast 4.5 x M 0 S λ (f) JONSWAP H(f) Frekvens [Hz] Figur 7.36 Kraftspekteret S λ (f), JONSWAP spekteret skaleret gange og transferfunktionen, H(f) skaleret 50 gange. Hvis kraften antages Rayleigh fordelt, kan den signifikante krafthøjde, F H,M0, bestemmes af følgende udtryk: F H,M0 = 4 M 0 F H,M0 = 4 2, = 18, N Den signifikante kraftamplitude, F s, bestemmes således til følgende: F s = F H,M 0 2 = 18, = 9, 38 MN (7.44) Den maksimale kraft bestemmes på samme måde som ved Morisons formel, hvor følgende er gældende: F max = 2, 97 F F s = 1, 6 F F max = F s 9, 38 2, 97 = 2, 97 = 17, 41 MN 1, 6 1, 6 Den tilhørende maksimal bølgehøjde er 12,23 m, idet at JONSWAP spektret er genereret ved H s =6,59 og T p =9,35 s. Ved at foretage en række beregninger med lineære bølger i ShipSim, er den tilhørende periode og angrebspunkt bestemt, hvilket ses af tabel Der er endvidere beregnet en liniær bølge, hvor perioden T er fastsat ud fra normkravet til 10,83 s. Dette giver en kraft og angrebspunkt som vist i tabel 7.19, nederste række. 66 Bølgehøjde H max [m] Periode T [s] Kraft F [MN] Angrebspunkt [m] 12,23 8,1 17,41 18,7 12,23 10,83 15,23 17,3 Tabel 7.19 Kraft og angrebspunkt beregnet med ShipSim, angrebspunktet er målt fra FUK.

75 7. Bølgelast I det følgende benyttes kraften bestemt ved JONSWAP spektret, idet kraften og angrebspunktet her er størst, hvilket resultere i det største moment ved FUK. 7.6 Modelforsøg I laboratoriet er belastningerne på bropillen bestemt ved forsøg med en skalamodel af konstruktionen, se appendiks C. Skaleringsforholdene, der fremgår af tabel 7.20, er bestemt ved at benytte Froudes modellov. λ L λ t λ K 68,92 8, Tabel 7.20 Skaleringsfaktorer, λ, for længden, L, tid, t, og kraft K. Ud over skalering af bropillen skal bølgehøjder og perioder også skaleres, hvilket fremgår af tabel Bølgehøjde Periodetid H m0 [mm] T min [s] T max [s] Naturen ,35 13,72 Modellen 95,6 1,13 1,65 Tabel 7.21 Bølgehøjde og periode i naturen og modelforsøg. Inden skalamodellen af bropillen tages i brug, sikres det, at der ikke opstår væsentlig dynamisk forstærkning på modellen. Dette gøres ved at sikre, at modellens egenfrekvens ligger tilstrækkeligt langt fra frekvensen af de påførte bølger. Grunden til at den dynamiske forstærkning ønskes negligeret er, at den er indeholdt i det målte kraftsignal. Dette betyder, at hvis der er dynamisk forstærkning, er den målte kraft større end den virkelige kraft. På baggrund af egensvingningsforsøg bestemmes modellens egenfrekvens nedsænket i vand til 4,8 Hz. I laboratoriet har de mest energirige bølger en frekvens på 0,9 Hz, hvilket svarer til en dynamisk forstærkning på ca. 4% det vurderes derfor, at der ikke er problemer med dynamisk forstærkning. På figur 7.37 ses den dynamiske forstærkningsfaktor, D, for modellen som funktion af bølgefrekvensen. 67

76 7. Bølgelast Dynamisk forstærkningsfaktor, D D S η x S η Frekvens [Hz] Figur 7.37 Dynamisk forstærkning af model. Da det ønskes at bestemme transferfunktionen skal det kontrolleres, at sammenhængen mellem bølgehøjde og bølgekraft er lineær. Derfor belastes modellen med serier af regelmæssige bølger, hvor kraften på konstruktionen bestemmes. På figur 7.38 ses sammenhængen mellem bølgehøjde og bølgekraft Kraft [N] Bølgehøjde H [mm] Figur 7.38 Bølgehøjde og bølgekraft for T = 1,08 s, ( ) er målepunkter,( ) bedste rette linie til målepunkterne. Af figur 7.38 ses det, at der er lineær sammenhæng mellem bølgehøjde og bølgekraft, og derved er det muligt, at bestemme en transferfunktion fra bølgespektret til kraftspektret. Bølgespektret opnås ved at udsætte modellen for en uregelmæssig bølgeserie. Til dette formål anvendes et JONSWAP spektrum. Bølgespektret samt kraftspektret ses af henholdsvis figur 7.39 og

77 7. Bølgelast x S h (f) 0.6 S l (f) Frekvens [Hz] Frekvens [Hz] Figur 7.39 Målt bølgespektrum med H s =101 mm, T middel =1,03 s og f = 0,1 Hz. Figur 7.40 Målt kraftspektrum med F M0 =51,4 N, T middel =0,89 s og f = 0,1 Hz. På samme måde som i afsnit 7.3 bestemmes den maksimale bølgehøjde og kraft. Af tabel 7.22 fremgår middelværdierne af den målte overfladeelevation og kraftsignalet bestemt ved nul-nedkrydsningsanalyse. Maksimalværdierne bestemmes af formel (7.45). Ud fra de beregnede bølgekræfter bestemmes kraften for bølgen, med højden, H s, lig 6,59 m, angivet i tabel H max = 2, 97 H F max = 2, 97 F (7.45) Angrebspunktet bestemmes som middelværdien af angrebspunkterne til maksimalkræfterne fra hver bølge. H [m] H s [m] H max [m] F [MN] F max [MN] Angrebspunkt [m] Forsøg 1 3,17 4,90 9,43 4,61 13,70 23,6 Forsøg 2 3,79 6,02 11,26 5,30 15,74 22,7 Forsøg 3 3,13 5,00 9,30 4,49 13,34 22,8 Dim - 6,59 12,23 5,89 17,47 23,0 Tabel 7.22 Middel og maksimal bølgehøjde og kraft samt angrebspunkt målt fra FUK. 5 m under havbunden. er det vægtede gennemsnit for en bølge med H s =6,59 m. Den tilhørende transferfunktion bestemmes af udtrykket: H(f) 2 = S λ S η På figur 7.41 ses transferfunktionen bestemt ved forsøget, og på figur 7.42 ses transferfunktionen skaleret fra model til naturen. 69

78 7. Bølgelast H(f) 2 [N 2 /m 2 ] 3.6 x H(f) 2 [N 2 /m 2 ] x Frekvens [Hz] Frekvens [Hz] Figur 7.41 Transferfunktionen H(f) 2 fra bølgespekter til kraftspekter på modellen. Figur 7.42 Transferfunktionen skaleret til naturen efter Froudes modellov. 7.7 Sammenligning Kraften på konstruktionen er bestemt på tre måder, ved Morisons formel, ved potential teori og ved modelforsøg. For at bestemme hvilken metode der bedst bestemmer kraften, sammenlignes de beregnede kræfter med resultaterne fundet ved modelforsøget. Herefter bestemmes den bølgekraft, som konstruktionen skal dimensioneres efter. På figur 7.43 ses sammenhængen mellem bølgehøjde og bølgekraft, beregnet ved Morisons formel, ShipSim og ved modelforsøg Modelforsøg Shipsim Morison Kraft [MN] Bølgehøjde H [m] Figur 7.43 Linearitet mellem bølgehøjde og bølgekraft for bølger med periodetiden, T, lig 9 s. Lineariteten er nu eftervist, og der er god overensstemmelse med de målte resultater fra modelforsøget. Idet der er lineær sammenhæng mellem bølgehøjde og kraft, er det inertikraften, der er dominerende, og det er derfor muligt, at komme fra et bølgespekter til et kraftspekter ved at benytte tansferfunktionen. 70

79 7. Bølgelast x H(f) 2 [N 2 /m 2 ] Modelforsøg ShipSim Morison Frekvens [Hz] Figur 7.44 Transferfunktionen bestemt ved modelforsøg skaleret til fuldskala, ShipSim og Morisons formel. Af figur 7.44 ses det, at transferfunktionen bestemt ved modelforsøg og ShipSim begge topper ved ca. 0,12 Hz, mens transferfunktionen bestemt ved Morisons formel er stigende. Ud fra dette vurderes det, at forudsætningerne for Morisons formel ikke er opfyldt for bølger med høj frekvens/korte bølger, mens der er forholdsvis god overensstemmelse for bølger med lav frekvens/lange bølger. Dette passer godt med med gyldighedsområdet for Morisons formel. Det ses også af figur 7.44, at der er god overensstemmelse mellem modelforsøget og Shipsimmodellen. Dette betyder, at de brydende bølger på konstruktionen kun har ringe indflydelse på den samlede kraft på konstruktionen. Den maksimale kraft konstruktionen påvirkes af er bestemt ud fra modelforsøg, Morisons formel og Shipsim. Resultaterne fremgår af tabel H max [m] F max [MN] Angrebspunkt [m] Moment [MNm] Modelforsøg 12,23 17,47 23,0 402 Morison 12,23 16,03 21,0 337 ShipSim 12,23 17,41 18,7 326 Tabel 7.23 Maksimal bølgehøjde og kraft. Angrebspunkt målt fra FUK. 5 m under havbunden, vanddybden er 27,5 m. Det ses af tabellen, at kraften beregnet ved Shipsim og modelforsøget stemmer godt overens. Der er dog det ene problem, at angrebspunktet beregnet ved ShipSim ligger meget langt nede, i forhold til modelforsøget, hvilket betyder, at det væltende moment ikke bliver særligt stort. Det vælges derfor til den videre dimensionering, at benytte de beregnede værdier for modelforsøget. 71

80

81 8. Islast KAPITEL 8 ttt Islast ttt Islasten er afhængig af udformningen af bropillen. Bropillen tænkes udført med lodret front, og iskræfterne på en sådan konstruktion udregnes. For at undersøge hvor meget iskræfterne kan mindskes, beregnes belastninger ud fra en anden konstruktionsopbygning, med skrå front. I det følgende beskrives, og bestemmes iskræfterne og disse udregnes. Der er mellem hver bropille en afstand på 240 m, og derfor regnes det muligt for en isflage, både at kunne kollidere på fronten og på siden af bropillen. Dette betyder, at lasterne skal regnes for hhv. en bredde, b, på 5,5 m og 14 m. 8.1 Islast på lodret bropillefront I det følgende bestemmes horisontale og vertikale islaster på bropillen, når denne udføres med lodret front Horisontal last Der vil i dette afsnit blive regnet horisontal last på to forskellige måder. Den første omhandler de islaster, der beskrives i DS410 og den anden tager udgangspunkt i Croasdale, Morgenstern og Nuttall. Dette gør det muligt at vurdere dem i forhold til hinanden. Begge måder tager udgangspunkt i knusning af isen,se figur

82 8. Islast Figur 8.1 Princip for brydning af is på lodrette konstruktioner. DS 410 Horisontal last i forbindelse med knusning af isen på bropillen udregnes udfra formel (8.1) [DS , s. 88]. Q H,DS = k r c e b (8.1) Hvor r c er isens karakteristiske trykstyrke, som for havis (saltvand) er 1,6 [MPa]. e er isens karakteristiske middeltykkelse på 0,6 [m]. b er bredden af fundamentet [m] for b/e < 9 1+b/e k er en hjælpekonstant 1, 75 0, 05 b/e for 9 < b/e < 15 1 for b/e > 15 Croasdale, Morgenstern og Nuttall Metoden baseres på teoretiske beregninger, Trescas flydekriterium og virtuelt arbejde [Burcharth 2004, s. 39]. Q H,Cro = ( 2 4 Hvor σ er isens trykstyrke 1,9 [MPa]. e er isens tykkelse 0,55 [m]. ) e b + 1 σ b e (8.2) Grunden til at trykstyrken og tykkelsen er anderledes end værdierne i DS 410 er, at de tages fra Designgrundlag for vindmøller på havet [Designgrundlag 2000, del 2 s. 11]. Dette betyder, at værdierne tager udgangspunkt i målte værdier tæt på lokaliteten ved Rødsand. 74

83 8. Islast Opsummering Ovenstående beregningsudtryk giver horisontale laster for konstruktionen som angivet i tabel 8.1. Bredde 5,5 m 14 m Q H,DS 6820 kn kn Q H,Cro 5950 kn kn Tabel 8.1 Islaster ved de to forskellige formler og bredder Vertikal islast Den vertikale last kan bestemmes ved formel (8.3) [DS , s.88]. Q V,DS = π b q for b e > 7 (8.3) Hvor q er en lodret opadrettet enhedslast fra en vandstandshævning, der påvirker en lang, lodret væg. Fladelasten bestemmes af formel (8.4) og ses i tabel 8.2. q = 0, 4 e k 0 r b h 0 (8.4) Hvor k 0 er 9,81 [kn/m 3 ]. r b er isens karakteristiske bøjningsstyrke, som sættes til 0,5 [MPa]. er vandstandshævningen, som sættes til 1 [m]. h 0 Belastning 5,5 m 14 m Q V,DS 290 kn 740 kn Tabel 8.2 Vertikal islast. 8.2 Islast på skrånende konsktruktion Islasten på en konstruktion kan reduceres ved at udføre den del af bropillen, der befinder sig omkring vandspejlet med en hældning. Det grundlæggende princip ved skrånende fronter er at isen bryder ved bøjningsbrud i stedet for knusning, da der herved opnås mindre kræfter, idet isens trækstyrke er mindre end trykstyrken. Det anbefales at holde hældningen af konstruktionen under 65 [Burcharth 2004, s. 41]. Nedenfor ses typiske værdier i henhold til DS 410 for is styrke ved henholdsvis knusning og bøjning: r c havvandsis: 1,6 MPa 75

84 8. Islast r b havvandsis: 0,5 MPa På figur 8.2 ses princippet ved at udføre konstruktioner med skrånende fronter til reduktion af isbelastningen. Figur 8.2 Princip for brydning af is på skrånende konstruktioner. Brudbelastningen er afhængig af anløbsvinklen mod konstruktionen, og der foretages derfor en række beregninger af belastningen ved to metoder, der efterfølgende sammenlignes. Til bestemmelse af islasten i øst-vestgående retning anvendes to forskellige formler, henholdsvis Croasdale (1978) og Ralston (1977). På figur 8.3 ses de forskellige dimensioner, der indgår i formeludtrykkene. Figuren er gældende for både Croasdale og Ralstons formler. Begge metoder er beregnede på koniske konstruktioner, og det vurderes, at bropillen der har et elliptisk tværsnit, tilnærmet kan betragtes som en konstruktion med cirkulære fronter. Figur 8.3 Mål der anvendes til beregning af islast efter Croasdale og Ralston Croasdale Croasdale angiver alene den horisontale belastning fra isen efter udtrykket i formel (8.5). Denne metode er beregnet på konstruktioner med en fronthældning mellem 35 og

85 8. Islast F H i,b = 0, 68 C 1 σ f b sin α + µ cosα C 1 = cos α µ sin α (sin α + µ cosα)2 C 2 = cosα µ sin α ( ) ρw g h 5 0,25 + C 2 ρ i g Z b h E + sin α + µ cosα tan α (8.5) Hvor C 1, C 2 er funktioner af fronthældningen og friktionskoefficienten [-]. σ f er bøjningsstyrken [Pa]. α er fronthældningen [ ]. µ er friktionskoefficienten mellem is og beton lig 0,2 [-]. b er bredde af bropillen ved isens angrebspunkt [m]. ρ w er vands rumvægt [kg/m 3 ]. ρ i er is rumvægt [kg/m 3 ]. h er istykkelsen lig 0,6 [m]. E er elasticitetsmodulen for is [Pa]. Z er den vertikale højde af oppresset is [m]. g er tyngdeacceleration [m/s 2 ]. Isens elasticitetsmodul, styrke og rumvægt er alle funktioner af temperatur og salinitet. Ved beregningen af disse parametre anvendes værdierne i tabel 8.3. Parameter Værdi Enhed Istemperatur -5 C Salinitet 17 E 6 GPa σ r 0,53 MPa ρ i 892 kg/m 3 Tabel 8.3 Parametre anvendt ved beregning af isbelastning Ralston Ralston angiver både den vertikale og den horisontale belastning på bropillen efter formel (8.6), og er gældende for fronthældninger op til 70. Fi,b H = (A 1 σ f h 2 + A 2 ρ w g h b 2 + A 3 ρ w g h (b 2 b 2 t)) A 4 Fi,b V = B 1 Fi,b H + B 2 ρ w g h (b 2 b 2 t ) (8.6) Hvor b t er bredden af konstruktionen over skråningen [m]. Konstanterne A og B findes ud af følgende formler [Christensen 1989]: 77

86 8. Islast 1 + 2, 711 x ln(x) A 1 = 3 (x 1) A 2 = 0, 075(x 2 + x 2) 1 + µ E sin(α) cot(α) A 3 = 0, 225 0, 225 µ cot(α) f(α, µ) g(α, µ) cos(α) tan(α) A 4 = 1 µ g(α, µ) h(α, µ) B 1 = (π/4) sin(α) + µ α cot(α) (π/2) cos(α) µ α f(α, µ) h(α, µ) B 2 = 0, 225 (π/4) sin(α) µ α cot(α) Hvor x findes ved iteration af formel (8.7). 1, 369 = x ln(x) + 0, 0830(2 x + 1)(x 1) 2 (γ w b 2 σ f h) (8.7) De øvrige funktioner bestemmes af følgende: f(α, µ) = sin(α) + µ cos(α) F(α) 1 + (2α/ sin(2α)) g(α, µ) = (π/2) sin(α) + 2 α µ cot(α) h(α, µ) = cos(α) µ(e sin(α) cos(α) 2 F(sin(α)))/ sin(α) F(sin(α)) = E(sin(α)) = π/2 0 π/2 0 (1 sin(α) 2 sin(θ) 2 ) 1/2 dθ (1 sin(α) 2 sin(θ) 2 ) 1/2 dθ 8.3 Sammenligning Ved at sammenligne islasten ved forskellige skråningsvinkler er det muligt at vurdere, om der kan opnås reduktioner i islasten, der er af betydning for bropillens overordnede belastning. På figur 8.4 ses islasten beregnet ved de to forskellige metoder, som en funktion af konstruktionens skråningsvinkel. 78

87 8. Islast x 106 Ralston H Ralston V Croasdale H 2 Islast i N Skråningsvinkel α Figur 8.4 Islast bestemt ved Ralston og Croasdale (H=horisontal, V=Vertikal). Det ses af figuren, at der opnås horisontale iskræfter i intervallet 0,3-3,0 MN når vinklen varierer i intervallet grader. Til sammenligning opnås iskræfter på omkring 6 MN, når konstruktionen udføres med lodrette fronter. Det vurderes derfor at der kan opnås en halvering af islasten ved at udføre bropillen med skrånende fronter. De beregnede islaster fremgår af tabel 8.4 Belastning 5,5 m 14 m Q H,DS 6820 kn kn Q H,Cro 5950 kn kn Q V,DS 290 kn 740 kn Q skrå,ral 0,4-2,5 MN - Q skrå,cro 0,3-3 MN - Tabel 8.4 Islaster. Konstruktion af bropillen med skrånende sider vil ikke kunne betale sig hverken økonomisk eller belastningsmæssigt. Dette skyldes at den største last fra is med lodrette fronter, er mindre end lasten fra bølger i samme punkt. Det kan ikke forventes, at der opnås noget ved at udføre fundamentet med skråninger på nord- og sydsiden, da bropillen er 14 m på disse sider. Ved lange konstruktioner er der risiko for at isophobningen foran bropillen bliver så stor, at der ikke opnås lastreduktion med skrånende front og der bør derfor forventes en islast svarende til islasten ved lodret front. Der er derfor ikke foretaget beregning af islasten ved skrå front på den lange side. Den dimensionsgivende horisontale islast bliver herved 6820 kn på den korte side og kn på den lange side, idet der anvendes de største belastninger, der opnås i undersøgelsen af islasten til dimensioneringen. 79

88

89 9. Lastkombinationer KAPITEL 9 ttt Lastkombinationer ttt I dette afsnit bestemmes momentet ved FUK fra lasterne på bropillen. Endvidere angives de lastkombinationer, der dimensioneres for. For at bestemme momentbelastningen ved FUK, er det nødvendigt, at kende angrebspunktet for lasterne. De vertikale laster antages, at angribe centralt på fundamentet, mens de horisontale laster, udregnet i kapitel 2, har forskellige angrebspunkter. Figur 9.1 skitserer, hvorledes de forskellige laster angriber. Figur 9.1 Placering af angrebspunkt for de forskellige laster. Angrebspunktet over FUK for de vandrette laster på fundamentet ses i tabel 9.1, idet momentbelastningen ved FUK ønskes bestemt. 81

90 9. Lastkombinationer Last Angrebspunkt over FUK [m] Trafiklast 112,0 Vindlast 102,5 Islast 32.5 Bølgelast 28,0 Ulykkelast 32.5 Tabel 9.1 Angrebspunkt over FUK. De karakteristiske laster ses i tabel 9.2. Vertikal Horisontal Moment ved FUK Last Langs broen Vinkelret på broen Med broen Vinkelret på broen [MN] [MN] [MN] [MNm] [MNm] Egenlast 275, Trafiklast 35,3 6,60-739,20 - Vindlast - - 5,26-539,2 Islast -0,29 14,83 6,82 481,98 221,65 Bølgelast ,5-490,00 Ulykkeslast , ,25 Tabel 9.2 Karakteristiske laster. Brudgrænsetilstand Partialkoefficienterne til de lastkombinationer som regnes i brudgrænsetilstanden ses i tabel

91 9. Lastkombinationer Lastkombination 2.1.a 2.1.b 2.1.e 2.1.g 2.1.h 2.1.i 2.1.k Permanent last Tyngde af - konstruktionsdele og udstyr (G k ) 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,75 0,9 0, 25 G k, fri last ,0 Variabel last Trafiklast ,75 0,9 gr1: Tandem aksellast gr2: Bremse-, accelerations- og centrifugalkræfter gr5: Specialkøretøjer 1,3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1, ,5 1,3-0,5 0,5 0, , Vind F Wk 0, ,5 0,5 1,0 - ** ** Islast ,5 - - ** ** Bølge- og strømlast ,0-1,5 - ** ** Vandret masselast ,0 1,0 1,0 Ulykkelast Tabel 9.3 Partialkoefficienter for brudgrænsetilstanden [DS ] Underpunkter a-k ligesom for lastkombination 2.1, ** samme partialkoefficient som for lastkombination 2.1. Anvendelsesgrænsetilstand Partialkoefficienterne til de lastkombinationer som regnes i anvendelsesgrænsetilstanden ses i tabel

92 9. Lastkombinationer Hyppige lastkombinationer 1.a 1.b 1.c 1.d Permanent last Tyngde af konstruktionsdele og udstyr (G k ) Variabel last 1,0 1,0 1,0 1,0 Trafiklast gr1: Tandem aksellast 0, gr2: Bremse- accelerations- og centrifugalkræfter gr5: Specialkøretøjer - 0, Vind F Wk - - 0,5 - Tabel 9.4 Partialkoefficienter for hyppige lastkombinationer i anvendelsesgrænsetilstanden. I tabel 9.5 er lasterne for de forskellige lastkombinationer beregnet. Vertikal Horisontal Moment ved FUK. Last- Langs broen Vinkelret på broen Med broen Vinkelret på broen kombination [MN] [MN] [MN] [MNm] [MNm] 1.a 307, b 299, c 299,1 0 2, ,9 1.d 299, a 414,5 0,4 2,6 48,5 275,9 2.1.b 410,1 1, , e 416, g 398,2 0,4 25,4 48,5 1317,8 2.1.h 397,8 10,7 12,9 386,1 613,5 2.1.i 398,2 0,4 31,5 48,5 1286,9 2.1.k 401,0 6,0 6, a 319,3 5,2 7,4 48,5 275,9 2.2.b 314,9 5,9 4,7 126, e 321,2 4,8 4, g 303,1 5,0 29,9 48,5 1317,8 2.2.h 302,6 5,2 17,4 386,1 613,5 2.2.i 303,1 5,0 36,1 48,5 1286,9 2.2.k 305,8 4,6 4, a 414,3 6,6 8,8 48,5 275,9 2.3.b 411,5 7,0 6,2 97, e 416,3 6,2 6, g 404,1 6,5 28,8 48,5 1041,9 2.3.h 403,8 13,3 15,5 273,6 501,0 2.3.i 404,1 6,5 28,8 48,5 1041,9 2.3.k 406,8 6,1 6,1 0 0 Tabel 9.5 Regningsmæssige laster. 84

93 Del II Fundering 85

94

95 10. Geoteknisk forundersøgelse KAPITEL 10 ttt Geoteknisk forundersøgelse ttt Dette kapitel omhandler de geologiske forhold i området omkring Femer Bælt. Der redegøres for de forventede aflejringer, og jordlagenes funderingsanvendelighed vurderes Forventede aflejringer I området omkring Femer bælt kan forventes aflejringer fra kridttiden og frem, da aflejringer herfra skaber underlaget for sidste istids aflejringer [Jacobsen & Thorsen 1984, s. 1.27]. Fra kridttiden kan i området forventes mægtigheder på m, hvoraf den yngste del af laget er skrivekridt. Kridttiden efterfølges af den tertiære periode, og derfor kan der på lokaliteten forventes aflejringer fra den eocæne periode. Aflejringer findes i form af plastisk ler og moler. Oven på de tertiære aflejringer forventes kvartære aflejringer fra is- og mellemistider, der sjældent findes i mægtigheder over 100 m. Femer har været dækket af iskapper tre gange, og forventede aflejringer fra disse og tilhørende mellemistider er forkonsolideret moræneler. Som øverste lag kan forventes post- og senglaciale vandaflejringer med varierende organisk indhold. På figur 10.1 er lagdelingen i korridoren mellem Lolland og Femer illustreret ud fra geotekniske undersøgelser foretaget af Trafikministeriet [Femer bæltforbindelsen 1999]. 87

96 10. Geoteknisk forundersøgelse Figur 10.1 Laginddeling i Femer-korridoren. Kridtaflejringer På figur 10.1 ses det, at der nederst er kalk- og kridtaflejeringer, og disse forventes at være mere end 300 m tykke. Mægtighederne varierer dog meget gennem området, hvilket formentligt skyldes en dybereliggende salthorst. De højest beliggende kalk- og kridtaflejringer er beliggende kun ca. 15 m under havbunden, og det er i disse områder muligt, at benytte direkte fundering. Det tertiære lag På grund af salthorsten varierer mægtigheden af det tertiære lag mellem 0 og ca. 200 m. Det tertiære lag er plastisk ler, og forventes derfor at give store sætninger. Dette gør det uegnet til direkte fundering, og det kan derfor være nødvendigt at benytte pælefundering i områder, hvor det plastiske lerlag findes i store mægtigheder. Det kvartære lag De glaciale lag, som nogle steder findes direkte oven på kalk- og kridtaflejringerne, består hovedsageligt af moræneler med indslag af smeltevandsaflejringer 88

97 10. Geoteknisk forundersøgelse og flager af plastisk ler. Det forventes, at disse lag er forkonsoliderede, og derfor kan benyttes til direkte fundering. Der skal dog tages højde for, at lagenes tykkelse varierer fra 0 til ca. 70 m, og at der kan forventes væsentligt uensartede egenskaber. Post- og senglaciale lag Øverst ligger der post- og senglaciale lag, hvis mægtigheder varierer mellem ca. 2 til 20 m. Disse lag har øverst et væsentligt organisk indhold, og herudover består de af varierende sand, silt og ler, og det forventes derfor ikke, at de kan benyttes til direkte fundering af tunge konstruktioner [Femer bælt-forbindelsen 1999, s. 100]. 89

98

99 11. Geoteknisk designprofil KAPITEL 11 ttt Geoteknisk designprofil ttt For at have et funderingsgrundlag opstilles der et geoteknisk designprofil for jorden ved bropille N2. På baggrund af designprofilet vurderes afslutningsvis en anvendelig funderingsmetode. Figur 11.1 Længdeprofil (nederst) og linieføring (øverst) samt boringer. Den stiplede linie viser bropille N2 s placering [Ramböll 1996]. 91

100 11. Geoteknisk designprofil Figur 11.1 viser øverst et udsnit af den planlagte linieføring for Femer Bælt forbindelsen og nederst et længdeprofil af broen samt overordnede jordbundsforhold. På den øverste del af figur 11.1 fremgår også de boringer, der er foretaget af Ramböll. Boring og boring er beliggende tættest på bropille N2 i en afstand af henholdsvis ca. 2,5 km og 3 km fra bropillen. Ud fra de to boreprofiler skønnes der en lagfølge mellem disse. Det antages, at der er lineær variation af jordlagenes mægtigheder mellem boringerne, selvom disse i virkeligheden kan variere vilkårligt. Lagfølgen og bropillens placering mellem de to boreprofiler fremgår af figur Figur 11.2 Lagfølge skønnet udfra boring og , se figur Alle mål i m. Det øverst beliggende sandlag antages at være dét, som projektgruppen har udført forsøg med. Dvs. styrke- og deformationsparametre for sandlaget fås udfra de geotekniske forsøg, som projektgruppen har udført med sand fra Frederikshavn. Under sandlaget findes moræneler, og parametre herfor findes hovedsageligt ud fra de undersøgelser, som Ramböll har foretaget [Ramböll 1996]. Ligeledes for kridtlaget beliggende under morænelaget Modellering af jorden Lagfølgen mellem de to boreprofiler viser, at der overordnet set er to jordtyper, som skal modelleres ved anvendelse af materialemodeller. De to jordtyper er sand og moræneler, som henholdsvis er et friktionsmateriale og et kohæsionsmateriale. De følgende to underafsnit omhandler, hvorledes sand og moræneler kan modelleres samt hvilke geotekniske parametre, der skal anvendes til materialemodellerne. 92

101 11. Geoteknisk designprofil Modellering af sand Sand er et granulært materiale bestående af mineralske og uelektriske korn. Sand regnes generelt drænet, da enhver dræning, som følge af fundamentsbelastninger, sker momentant. Ved analytiske beregninger af fundamentet i brudgrænsetilstanden, dvs. ved anvendelse af kinematisk tilladelige løsninger og statisk tilladelige løsninger, skal der anvendes materialemodeller for sandet og moræneleret. Til modellering af sandet kan Coulombs brudbetingelse for et rent friktionsmateriale benyttes, og for at lette beregningerne antages associeret plasticitet, således at friktionsvinklen, ϕ, er lig dilatationsvinklen, ψ. Associeret plasticitet betegnes også normalitetsbetingelsen, og for nærmere information om dette plasticitetsteoretiske emne henvises til appendiks I. For sandet skal altså fastlægges styrkeparameteren friktionsvinklen, ϕ, og sandets effektive rumvægt, γ, skal også bestemmes. For at opnå mere præcise beregninger af fundamentets brudbæreevne og sætninger kan der udføres en finite element beregning i programmet Plaxis. Sandet kan da modelleres på flere forskellige måder, hvor den mest simple model er en Mohr-Coulomb model, der anvender en lineærelastisk idealplastisk arbejdskurve for jorden. Ved anvendelse af Mohr-Coulomb modellen antages herved, at sandet har en konstant stivhed, svarende til den elasto-plastiske modul, E 50, indtil der opstår brud i sandet. Mohr-Coulomb modellen i Plaxis kan tage hensyn til ikke-associeret plasticitet, hvorfor denne beregning må forventes mere præcis end den analytiske løsning. Modelleres sandet med Mohr-Coulomb modellen skal følgende parametre benyttes, se tabel Mohr-Coulomb modellen Friktionsvinkel ϕ [ ] Kohæsion c [kn/m 2 ] Dilatationsvinkel ψ [ ] Elasto-plastisk modul E 50 [kn/m 2 ] Poissons forhold ν [-] Tabel 11.1 Parametre til Mohr-Coulomb modellen. En mere avanceret materialemodel i Plaxis er Hardening-Soil modellen, som tager hensyn til jordens hærdning under belastning, idet jordens stivhed regnes spændingsafhængig. Anvendes en Hardening-Soil model til modellering af sandet, opnås en bedre beskrivelse af sandets opførsel under belastning end ved anvendelse af Mohr-Coulomb modellen, men Hardening-Soil modellen kræver også flere indgangsparametre, se tabel

102 11. Geoteknisk designprofil Hardening-Soil modellen Friktionsvinkel ϕ [ ] Kohæsion c [kn/m 2 ] Dilatationsvinkel ψ [ ] Elasto-plastisk modul E 50 [kn/m 2 ] Oedometermodulen E oed [kn/m 2 ] Genbelastningsmodulen E ur [kn/m 2 ] Poissons forhold ν [-] Potensfunktionseksponent m [-] Tabel 11.2 Parametre til Hardening-Soil modellen. Til Hardening-Soil modellen skal foruden den elasto-plastiske modul, E 50, anvendes en elastisk genbelastningsmodul, E ur, samt en oedometermodul, E oed Modellering af moræneler Moræneler er en forkonsolideret lerart bestående af ler-, sand- og grus-fraktioner. Moræneler betragtes som et kohæsionsmateriale, og moræneleret har forskellige egenskaber i drænet og udrænet tilstand. Til analytiske beregninger i brudgrænsetilstanden er det oplagt at modellere moræneleret ved benyttelse af Coulombs brudbetingelse for et rent kohæsionsmateriale, hvilket også betegnes Trescas brudbetingelse. Endvidere er det en regnemæssig fordel at kræve normalitetsbetingelsen opfyldt jf. appendiks I. For moræneleret skal der anvendes en udrænet forskydningsstyrke, c u, samt den effektive rumvægt, γ. Ved numeriske beregninger i Plaxis kan moræneleret modelleres på samme måde som sandet, dvs. ved anvendelse af en Mohr-Coulomb model eller en Hardening-Soil model. For moræneleret er det altså også nødvendigt at finde de geotekniske parametre angivet i tabel 11.1 og tabel 11.2 for at udføre fornuftige modelleringer. I det følgende afsnit bestemmes parametre for sandlaget ud fra forskellige geotekniske forsøg. Enkelte parametre bestemmes på flere forskellige måder, og designparametre udvælges udfra en sammenligning og vurdering af de enkelte resultater Parametre for sandlaget Følgeligt fastlægges de geotekniske egenskaber for sandlaget, der er beliggende fra kote -27,5 m til -37,5 m. Der er hertil udført følgende forsøg: 94

103 11. Geoteknisk designprofil Klassifikationsforsøg Triaksialforsøg CPT-forsøg Der henvises generelt til de geotekniske forsøgsrapporter i appendiks D, E og F for nærmere information om forsøgsudførelse og resultatbehandling. Klassifikationsforsøget fastlægger grundlæggende geotekniske størrelser for sandet, herunder vandindhold, rumvægt og relativ lejringstæthed. Ud fra triaksialforsøget fås styrke- og deformationsparametre, og CPT-forsøget giver friktionsvinklen, den relative lejringstæthed, rumvægt og oedometermodulen. I det følgende vises resultater fra de tre forsøg, hvorefter der følger et afsnit omhandlende endeligt valg af designparametre. Klassifikationsforsøg I Frederikshavn blev der udtaget to intaktprøver i jordoverfladen i ca. en halv meters dybde til klassifikationsforsøget, se figur Figur 11.3 Udtagning af intaktprøve i Frederikshavn. Ud fra klassifikationsforsøget bestemmes parametrene i tabel 11.3, jf. appendiks D. 95

104 11. Geoteknisk designprofil Størrelse Værdi Relativ densitet d s [-] 2,65 Vandindhold w [-] 0,23 Rumvægt γ [kn/m 3 ] 18,0 Mætningsgrad S w [-] 0,78 Poretal for løs lejring e max [-] 0,93 Poretal for fast lejring e min [-] 0,56 In situ poretal e insitu [-] 0,78 Relativ lejringstæthed I D [-] 0,40 Middelkornstørrelse d 50 [mm] 0,18 Uensformighedstal U [-] 1,37 Tabel 11.3 Fastlagte klassifikationsstørrelser. Den relative densitet, d s, på 2,65 indikerer, at sandet er rent kvartssand. Uensformighedstallet, U, er et talmæssigt udtryk for graderingen af sandet, og da tallet er relativt lille, kan sandet karakteriseres som velsorteret, hvilket kornkurven i appendiks D også viser. Sandets kornkurve viser ydermere, at sandet er mellem-fint. Triaksialforsøg Triaksialapparatet er det mest anvendte apparat til bestemmelse af jords styrke [Harremoës, Jacobsen & Ovesen 2000], og på figur 11.4 ses det anvendte apparat. 96

105 11. Geoteknisk designprofil Figur 11.4 Det anvendte triaksialapparat. Fra triaksialforsøget fås bl.a. den triaksiale friktionsvinkel, ϕ tr, samt den elastoplastiske modul, E 50, og den elastiske genbelastningsmodul, E ur. Fastlagte størrelser og parametre fremgår af tabel 11.4, jf. appendiks E. Parametre Enhed Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Forsøg 4 Kammertryk σ 3 [kpa] Middelspænding p brud [kpa] 92,2 177,3 331,6 653,5 Deviatorspænding q brud [kpa] 155,1 290,7 513,3 999,5 Volumentøjning ε v [%] -3,0-2,6-1,7-1,8 Deviatortøjning ε q [%] 7,7 7,6 7,8 8,0 Aksialtøjning ε 1 [%] 6,7 6,8 7,2 7,4 Friktionsvinkel ϕ tr [ ] 41,0 40,0 38,0 37,6 Dilatationsvinkel ψ [ ] 12,1 11,3 9,8 9,6 Elasto-plastisk modul E 50 [MPa] 19,0 24,7 24,4 34,7 Genbelastningsmodulen E ur [MPa] 53,8 73,3 81,8 116,3 Poissons forhold ν [-] 0,31 0,32 0,32 0,30 Bulkmodulen K [MPa] 37,4 79,2 125,4 207,1 Forskydningsmodulen G [MPa] 22,2 30,3 78,7 95,2 Tabel 11.4 Styrke- og deformationsparametre fra de fire triaksiale brudforsøg. Af tabel 11.4 ses det, at friktionsvinklen og dilatationsvinklen aftager ved voksende kammertryk. Størrelsesordenen af dilatationsvinklen er for kvartssand givet ved ψ = ϕ 30, hvilket stemmer godt overens med forsøgsresultaterne i tabel 11.4 [Brinkgreve 2002, s. 3-8]. Det fremgår endvidere af tabel 11.4, at den elasto-plastiske modul og genbelatsningsmodulen er voksende for voksende kammertryk, med undtagelse af et enkelt forsøgsresultat ved kammertrykket 97

106 11. Geoteknisk designprofil 80 kpa, og denne voksende tendens var forventet. Genbelastningsmodulen er typisk ca. tre gange så stor som den elasto-plastiske modul [Brinkgreve 2002, s. 5-3], hvilket passer godt med resultaterne i tabel Poissons forhold ses at være beliggende omkring 0,3, hvilket er en typisk værdi for de fleste jordarter under primær oplastning [Brinkgreve 2002, s. 3-7]. CPT-forsøg Projektgruppen udførte en Cone Penetration Test i Frederikshavn, se figur 11.5, hvor formålet var at bestemme sandets friktionsvinkel, rumvægt, relative lejringstæthed og oedometermodulen. Endvidere var formålet med CPTforsøget at undersøge lagfølgen ned gennem jorden, og herved bestemme parametrene for de enkelte lag. Figur 11.5 Udførelse af CPT-forsøg i Frederikshavn Figur 11.6 og 11.7 viser henholdsvis friktionsvinklens og oedometermodulens variation ned gennem jorden, og der er angivet laggrænser, hvor sandmaterialet ændrer egenskaber. Udregningerne i appendiks F antager, at sandet er ren friktionsjord, hvilket ikke er tilfældet for lag 4, som er et leret siltlag indeholdende fraktioner af grus. Ved udregning af de geotekniske parametre ses der derfor bort fra det nederste lag. 98

107 11. Geoteknisk designprofil -0,5-1,5-2,5-3,5-4, Lag 1 φ = 42,69º -0,5-1,5-2,5-3,5-4, Lag 1 M = 31,26 MPa -5,5-6,5 Lag 2 φ = 35,81º -5,5-6,5 Lag 2 M = 17,01 MPa -7,5-7,5-8,5-9,5 Lag 3 φ = 37,38º -8,5-9,5 Lag 3 M = 29,59 MPa -10,5-10,5-11,5-11,5-12,5-13,5 Lag 4 φ = 27,28º -12,5-13,5 Lag 4 M = 7,28 MPa -14,5-14,5-15,5-15,5-16,5 Friktionsvinkel φ [º] -16,5 Constrained Modul M [MPa] Figur 11.6 Friktionsvinklen. Figur 11.7 Constrained modulen. Af tabel 11.5 fremgår resultater fra CPT-forsøget, hvor bestemmelse af disse findes i appendiks F. Parameter Værdi Rumvægt γ [kn/m 3 ] 19,3 Relativ lejringtæthed I D [%] 64,3 Effektiv friktionsvinkel ϕ [ ] 40,1 Constrained modul M [MPa] 27,0 Tabel 11.5 Resultater fra CPT-forsøg. De angivne parametre i tabel 11.5 er vægtede gennemsnitlige værdier af parametrene for de øverste tre lag. 99

108 11. Geoteknisk designprofil Anvendte designparametre Rumvægt Sandets rumvægt, γ, er bestemt ved henholdsvis klassifikationsforsøg og CPTforsøg. Ud fra CPT-forsøget bestemmes rumvægten gennemsnitligt vha. et Robertson Diagram til 19,3 kn/m 3, hvor den ved klassifikationsforsøget bestemmes til 18,0 kn/m 3. CPT-forsøget viser, at rumvægten af sandet varierer mellem 19,3-19,8 kn/m 3 i mere end halvdelen af sandlaget, og at rumvægten er lavest i bunden med en værdi på ca. 19,0 kn/m 3. Dette stemmer ikke overens med rumvægten bestemt ved klassifikationsforsøget, der er gældende for den øverste del af laget. Afvigelsen mellem de to rumvægte skyldes formentligt, at Robertson Diagrammet, anvendt til bestemmelse af CPT-rumvægten, baseres på, at sandet er velgraderet, hvilket klassifikationsforsøget viste, at det ikke var. Klassifikationsforsøget viste, at sandet er mellem-fint og velsorteret, og derfor vælges det at anvende rumvægten på 18 kn/m 3. Relativ lejringstæthed Der er bestemt relativ lejringstæthed, I D, for sandet ved både klassifikationsog CPT-forsøget. Ved klassifikationsforsøget bestemmes den til ca. 44%, hvor den ved CPT-forsøget fastlægges til ca. 64%. Triaksialforsøgene er udført med relative lejringstætheder beliggende omkring 80% for fire sandprøver udtaget i samme område i Frederikshavn, hvorfor det vurderes, at lejringstætheden bestemt ved klassifikationsforsøget er fejlbehæftet. Den lave lejringstæthed på 44% kan skyldes flere faktorer, herunder dårlig prøveudtagning i Frederikshavn, således denne ikke har været intakt. Lejringstætheden på 64% fundet ved CPT vurderes mere rigtig, men idet triaksialforsøgene er udført med prøveudlejringer på 80%, vælges det at antage denne lejringstæthed for sandet. Elasticitetsmoduler Der skal fastlægges en elasticitetsmodul, E, for sandet, og hertil anvendes den elasto-plastiske modul. I midten af sandlaget er der et spændingsniveau s- varende til et kammertryk på ca. 40 kpa, og ved triaksialforsøget er E 50 ved dette kammertryk bestemt til 19 MPa. Ved CPT-forsøget fås en gennemsnitlig oedometermodul, E oed, på ca. 27 MPa, og da E oed har en størrelsesorden s- varende til E 50, vælges det at anvende en gennemsnitlig elasticitetsmodul for sandet på 23 MPa. Til Plaxis skal den kalibrerede elasticitetsmodul anvendes, se appendiks H. Den elastiske genbelastningsmodul, E ur, har en størrelsesorden på ca. tre gange E 50 [Brinkgreve 2002, s. 5-3], hvorfor E ur med tilstrækkelig nøjagtighed antages at have en værdi på ca. 70 MPa. 100

109 11. Geoteknisk designprofil Friktionsvinkel Sandets friktionsvinkel kan estimeres på forskellige måder jf. appendiks E, og de anvendte metoder er: Sekantfriktionsvinklen, ϕ s. Tangentfriktionsvinklen, ϕ t. Den effektive friktionsvinkel, ϕ e. Sekantfriktionsvinklen, ϕ s, og tangentfriktionsvinklen, ϕ t, er bestemt ud fra triaksialforsøg, og anvendes til forskellige formål afhængig af, om sandet betragtes som ren friktionsjord, eller om der også indregnes kohæsion. Sekantog tangentfriktionsvinklen er fastlagt til henholdsvis 37,3 og 35,6 (c = 21 kpa), jf. appendiks E, og den effektive friktionsvinkel er ud fra CPT-forsøg bestemt til gennemsnitligt 40,1. Friktionsvinklerne fundet ved triaksialforsøg vurderes mest præcise, da CPT-friktionsvinklen er en gennemsnitsværdi. Det vurderes, at der til overslagsberegninger (Terzaghi s bæreevneformel) af fundamentets brudbæreevne kan anvendes en gennemsnitlig triaksial friktionsvinkel på 36,5, når jorden regnes uden lagdeling i sandet. Ved numeriske detailberegninger i Plaxis skal den kalibrerede tangentfriktionsvinkel, ϕ t, anvendes, således der indregnes en vis kohæsion. Spændingsniveauet i midten af sandlaget efter opførelsen af bropillen er af størrelsesordenen ca. 600 kpa, og den triaksiale friktionsvinkel svarende hertil vurderes ud fra triaksialforsøget at være ca , idet brudbetingelsen i et Mohrs diagram antages krum. En krum brudbetingelse betyder, at friktionsvinklen er størst ved lavt spændingsniveau og mindst ved højt spændingsniveau, hvilket både CPT- og triaksialforsøget også viser. Det er derfor også en mulighed at inddele sandlaget i et antal lag og tildele disse forskellige værdier af friktionsvinklen. Dilatationsvinkel Dilatationsvinklen, ψ, varierer ligesom friktionsvinklen med dybden af sandlaget, og er også afhængig af spændingsniveauet. Der kan anvendes en dilatationsvinkel på ca. 10, jf. appendiks E Parametre for moræneleret Fra kote -37,5 m til -70 m findes et morænelerlag, jf. figur Følgende parametre bestemmes i både den drænede og udrænede tilstand: Permeabilitetskoefficienten, k. Elasticitetsmodulen, E. 101

110 11. Geoteknisk designprofil Poissons forhold, ν. Kohæsionen, c. Friktionsvinkel, ϕ. I tabel 11.6 ses de værdier, der er opgivet fra boreprøve [Ramböll 1996]. c v q c γ [kpa] [MPa] [kn/m 3 ] >714,0 7,0 23,3 Tabel 11.6 Parametre fra boreprofil , q c : Spidsmodstand, c v : Vingeforskydningsstyrke. målt ved CPT forsøg. Permeabilitetskoefficienten Denne skønnes til 0,001 m/dag for både vertikal og horisontal retning [Lars Andersen 2005]. Elasticitetsmodul Til bestemmelse af elasticitetsmodulen tages der udgangspunkt i spidsmodstanden, q c, målt ved CPT-forsøg. Ud fra denne kan constrained modulen, M, bestemmes, og denne svarer til oedometermodulen E oed. Denne beregnes ud fra formel (11.1) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 42]. M = 4q c for q c < 10MPa (11.1) Elasticitetsmodulen (E ref = M E 50 ) bestemmes derfor til 28 MPa. Denne værdi anvendes også som oedometermodulen, og som genbelastningsmodulen benyttes tre gange elasticitetsmodulen, E ur = 84 MPa [Brinkgreve 2002, s. 5-3]. Poissons forhold Poissons forhold skønnes, og regnes i drænet tilstand, ν d, til 0,3 og i udrænet tilstand, ν ud, til 0,495, idet det i udrænet tilstand regnes næsten usammentrykkeligt [Lars Andersen 2005]. Konsolideringsmodul Konsolideringsmodulen, K, er ikke oplyst [Ramböll 1996], hvorfor denne bestemmes af følgende formel, der er gældende for Poissons forhold beliggende mellem 0,25-0,30 [Teknisk Ståbi 2002, s. 361]: 102

111 11. Geoteknisk designprofil E = K (1 2 ν d)(1 + ν d ) (1 ν d ) (11.2) Med ν d lig 0,30 og E lig 28 MPa fås et konsolideringsmodul på 37,7 MPa. Kohæsion Det vælges at anvende den kohæsion, der er fundet ved et vingeforsøg på lokaliteten. Resultatet af vingeforsøget ses i tabel 11.6, og denne værdi svarer til den udrænede forskydningsstyrke, c u, som derfor bliver 714 MPa [Teknisk Ståbi 2002, s. 361]. Friktionsvinkel Friktionsvinklen kan skønnes eller udregnes vha. CPT-forsøget. Til beregning af friktionsvinklen bruges formel (11.3) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s ]. ( N q = tan 45 + ϕ ) 2 e ( π 3 +4ϕ)tan(ϕ) 2 N q = q (11.3) c σ v Hvor N q er en bæreevnefaktor [-]. ϕ er jordens effektive friktionsvinkel [ ]. q c er spidsmodstanden målt ved CPT-forsøg [MPa]. er spændingen midt i CPT undersøgelsen [MPa]. σ v Ved udregning af formel (11.3) fås en friktionsvinkel på 32. Morænelerets friktionsvinkel skal anvendes for den drænede tilstand Parametre for kridtlaget Under morænelaget forefindes store mægtigheder af kridt, som anses for at være et bæredygtigt jordlag. Rumvægten af kridtet findes ud fra boreprøve til 18,8 kn/m 3 [Ramböll 1996] Jordprofil og geotekniske designparametre Der kan herefter opstilles et geoteknisk designprofil for jorden, hvorpå bropillen skal funderes. Jordprofilet fremgår af figur 11.8 og fastlagte parametre for lagene af tabel

112 11. Geoteknisk designprofil Sand γ = 18 kn/m 3 e = 0,78 S w = 0,78 I d = 0,80 ϕ t,tr = 35,6 ϕ s,tr = 37,3 ϕ t,pl = 39,2 ϕ s,pl = 41,0 c t = 21 kpa ψ = 10 E 50 = 23 MPa E ur = 70 MPa ν = 0,3 d 50 = 0,18 mm Moræneler γ = 23,3 kn/m 3 E = 28 MPa ϕ = 32 ν = 0,3/0,495 c u = 714 kpa Kalk (skrivekridt) γ = 19 kn/m 3 Figur 11.8 Geoteknisk designprofil. Tabel 11.7 Geotekniske parametre. Af tabel 11.8 fremgår de værdier, der skal anvendes ved den numeriske analyse af fundamentet i finite element programmet Plaxis. Parametrene for sandet skal kalibreres i Plaxis, for at opnå overensstemmelse med triaksialforsøgene. 104

113 11. Geoteknisk designprofil Ler: Udrænet Drænet Sand: Drænet Mohr-Coulomb: γ [kn/m 3 ] 23,3 23,3 18,0 k x [m/dag] 0,001 0,001 1 k y [m/dag] 0,001 0,001 1 E ref [MPa] ,0 K [MPa] - 37,7 30,0 ν [-] 0,495 0,3 0,3 c u [kpa] ϕ pl [ ] ,2 ψ [ ] ,0 Hardening-Soil: γ [kn/m 3 ] 23,3 23,3 18,0 k x [m/dag] 0,001 0,001 1 k y [m/dag] 0,001 0,001 1 E 50 [MPa] ,0 E oed [MPa] ,0 E ur [MPa] ,0 m [-] c u [kpa] ϕ [ ] ,2 ψ [ ] ,0 Tabel 11.8 Parametre der skal anvendes i Plaxis. I appendiks H er parametrene for sandet kalibreret i Plaxis, og de kalibrerede parametre fremgår af tabel 11.9 og tabel c ref ϕ ψ m ν p ref E ref 50 E ref oed Eur ref [kpa] [ ] [ ] [-] [-] [kpa] [MPa] [MPa] [MPa] 8,5 36,5 12,1 0,37 0, ,0 19,0 53,8 Tabel 11.9 Kalibrerede indgangsparametre til Hardening-Soil modellen i Plaxis. c ϕ ψ E ref ν [kpa] [ ] [ ] [MPa] [-] 8,5 36,5 12,1 19,0 0,31 Tabel Kalibrerede indgangsparametre til Mohr-Coulomb modellen i Plaxis Funderingsmetode På baggrund af figur 11.8 vurderes det, at en direkte fundering er anvendelig, da jordprofilet ikke indeholder stærkt sætningsgivende jordlag. Fundamentet 105

114 11. Geoteknisk designprofil kan altså udformes som et gravitationsfundament. Det følgende kapitel omhandler en skitsedimensionering af gravitationsfundamentet, som undersøges i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden. 106

115 12. Skitsedimensionering KAPITEL 12 ttt Skitsedimensionering ttt Indledningsvis udføres en skitsedimensionering af fundamentet til bropille N2, hvor formålet er, at danne grundlag for fundamentets dimensioner til detaildimesioneringen. Først undersøges fundamentet for bæreevne- og glidningsbrud i brudgrænsetilstanden, og derefter for sætninger og dynamisk virkende last i anvendelsesgrænsetilstanden. Dimensioneringen udføres iht. Norm for fundering [DS ] Beskrivelse af fundament Fundamentet, som ses på figur 12.1, er rektangulært med dimesionerne 13 m 23,6 m og har en dybde, målt fra jordoverfladen, på 5 m. Fundamentet er af armeret beton med hulrum, der fyldes op med sand med en rumvægt på 18 kn/m 3. Bunden af fundamentet er lukket, således at der er en ensformig kontaktflade mellem fundamentet og jorden. Figur 12.1 Nederste del af bropillen hvor fundamentet til skitsedimensionering er skraveret. Mål i mm. 107

116 12. Skitsedimensionering 12.2 Styrke- og deformationsparametre I tabel 12.1 ses parametre for de to øverste jordlag som tages i regning til skitsedimensioneringen. I brudgrænsetilstanden regnes der kun med sandet, mens moræneleret medtaget i sætningsberegningerne. Parametrene til sandlaget bestemmes udfra CPT- og triaksialforsøg, jf. afsnit Parametrene for moræneleret bestemmes udfra boringer på lokaliteten, jf. afsnit Kun den udrænede model anvendes. Moræneleret underlejres af kridt, hvilket regnes uendeligt stift og derfor ikke tages i regning. Der funderes i høj sikkerhedsklasse, og derfor er partialkoefficienten, γ ϕ, for tangens til friktionsvinklen 1,3 og partialkoefficienten, γ c, for kohæsionen 2,0 [DS ]. Jordlag Lagtykkelse γ γ ϕ d c d K [m] [kn/m 3 ] [kn/m 3 ] [ ] [kpa] [MPa] Sand 9,9 18,0 8,0 33,0 0 30,0 Moræneler 32,5 23,3 13,3 15, ,7 Tabel 12.1 Jordlagsparametre til skitsedimensioneringen. Den plane friktionsvinkel anvendes idet et plant dimensioneringsproblem betragtes [Harremoës et al. 2000]. Der tages ikke hensyn til sandets dilatationsvinkel i skitsedimensioneringen, hvilket vurderes at være på den sikre side, idet dilatationsvinkelen vil øge sandets styrke Laster på fundamentet Lasterne på fundamentet bestemmes i afsnit 9. Ydermere skal egenlasten fra selve fundamentet bestemmes. Fundamentet er en hul betonkonstruktion, der opfyldes med sand, jf figur Den karakteristiske egenlast fremgår af tabel 12.2, hvor partialkoefficienterne ses i tabel 9.3 og tabel 9.4. Materiale Tværsnitsareal Højde γ Egenlast [m 2 ] [m] [kn/m 3 ] [kn] Beton 113,9 5,00 14, ,0 Sand 194,1 5,00 8, , ,0 Tabel 12.2 Egenlast af fundament. Figur 12.2 viser retningen af de resulterende laster på fundamentet. 108

117 12. Skitsedimensionering Figur 12.2 Definiton af resulterende laster på fundamentet. Der medtages ikke alle lastkombinationer i skitsedimensioneringen, idet kun de seks lastkombinationer der vurderes at være farligst medtages. I brudgræsetilstanden vurderes det, at lastkombinationerne med mindst vertikal last, størst vandret belastning samt største momentpåvirkning er farligst. I anvendelsesgrænsetilstanden undersøges kun de hyppige lastkombinationer, jf. tabel 9.5, side 84, idet sætningerne forventes at foregå over en årrække. Heraf undersøges den lastkombination med størst vertikal belastning, idet denne giver de største sætninger ved en konventionel sætningsberegning. Der gives også et overslag på differenssætningerne ved at undersøge de hyppige lastkombinationer med horisontale belastninger. I tabel 12.3 ses de lastkombinationer, der vælges, og beregningen af disse findes i afsnit

118 12. Skitsedimensionering Brudgrænsetilstand Lastkomb. V H l H b H total M l M b [kn] [kn] [kn] [kn] [knm] [knm] 2.1.g i g i h i Anvendelsesgrænsetilstand Lastkomb. V H l H b H total M l M b Hyppige [kn] [kn] [kn] [kn] [knm] [knm] a b c d Tabel 12.3 Regningsmæssige laster i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden Beregning af brudgrænsetilstand I brudgrænsetilstanden undersøges der for bæreevne- og glidningsbrud Bæreevnebrud Ved bestemmelse af fundamentets bæreevne anvendes Terzaghis bæreevneformel. Bæreevneformlen forudsætter et fundament med en given bredde, B, og som er uendelig langt. Under fundamentet er der et uendeligt halvrum af ensformigt jordmateriale. Dette er ikke tilfældet i den givne situation, idet jorden deles op i sand, moreæneler og kridt. Endvidere er længde-bredde forholdet på fundamentet ca Disse afvigelser fra forudsætningerne gør, at dimensioneringen må betragtes som en sktisedimensionering. Sikkerheden mod bæreevnebrud sikres ved, at følgende ulighed opfyldes for alle lasttilfælde og lastkombinationer: V d R d (12.1) Hvor V d er den regningsmæssige last i brudgrænsetilstanden henregnet til og vinkelret på fundamentsfladen [kn]. R d er den regningsmæssige bæreevne vinkelret på fundamentsfladen under hensyn til skrå eller excentrisk last [kn]. 110

119 12. Skitsedimensionering Der regnes med drænet tilstand, idet fundamentet står på sand, og dermed kan den lodrette bæreevne bestemmes af formel (12.2). R d A = 1 2 γ b N γ s γ i γ + q N q s q i q + c d N c s c i c (12.2) Hvor A er det effektive areal [m 2 ]. γ er rumvægten af sandet [kn/m 3 ]. b er den effektive bredde [m]. q er den effektive lodrette spænding ved FUK [kn/m 2 ]. c d er den regningsmæssig drænede forskydnings styrke [kn/m 2 ]. N γ, N q, N c er bæreevnefaktorer [-]. s γ, s q, s c er formfaktorer [-]. i γ, i q, i c er hældningsfaktorer [-]. For at finde det effektive areal udregnes den effektive længde og bredde: b = b 2 e b (12.3) l = l 2 e l (12.4) A = b l (12.5) Excentriciteterne bestemmes ved følgende formler: e b = M b V e l = M l V (12.6) (12.7) Ekscentriciteten karakteriseres som lille, hvis følgende er opfyldt. e b < 0, 3 B (12.8) e l < 0, 3 L (12.9) Det effektive areal skitseres på figur Figur 12.3 Definition af det effektive areal. 111

120 12. Skitsedimensionering Bæreevnefaktorerne bestemmes under forudsætning af en statisk og kinematisk mulig brudfigur. Dette er dog ikke muligt, og derfor bestemmes hver af de tre bæreevnefaktorer ud fra hver sin brudfigur, og derefter summeres de tre faktorer. Formfaktorene kompencerer for at fundamentet ikke er uendeligt stift, og hældningsfaktorene kompencerer for, at fundamentet kan være ekscentrisk belastet. Bæreevne-, form- og hælningsfaktorene bestemmes af følgende: N γ = 1 4 ((N q 1) cos(ϕ d ))3 2 N q = e π tan(ϕ d )1 + sin(ϕ d ) 1 sin(ϕ d ) N c = (N q 1) cot(ϕ d) Hvor ϕ d er den regningsmæssige plane friktionsvinkel [ ]. s γ = 1 0, 4 b l s q = s c = 1 + 0, 2 b l i γ = i 2 q i q = i c = ( ) H d 1 V d + A c d cot(ϕ d ) Hvor H d er den resulterende kraft af de to regningsmæssige vandrette lastkomposanter, H b og H l [kn] Glidningsbrud For at sikre mod brud ved glidning skal følgende ulighed opfyldes: H d S d + E d (12.10) Hvor S d er den regningsmæssige forskydningsmodstand mellem fundamentsfladen og jorden [kn]. E d er differensen mellem stabiliserende og drivende regningsmæssige jordtryk på fundamentets sider [kn]. I drænet tilstand udregnes den regningsmæssige forskydningsmodstand af formel (12.11). 112

121 12. Skitsedimensionering S d = V d tan(ϕ d ) + a d A (12.11) Hvor V d er den effektive regningsmæssige last vinkelret på fundamentsfladen [kn]. ϕ d er den effektive regningsmæssige friktionsvinkel mellem konstruktion og jord [ ]. a d er den effektive regningsmæssige adhæsion mellem konstruktion og jord [kn/m 2 ]. A er det effektive areal [m 2 ] Bæreevne- og glidningsbrud i lastkombination 2.3.h I dette afsnit eftervises sikkerhed mod bæreevne- og glidningsbrud i lastkombination 2.3.h, jf. tabel Dette gøres efter metoden beskrevet i afsnit og I tabel 12.4 ses de laster, fundamentet skal dimensioneres for i lastkombination 2.3.h. V H l H b H d M l M b [kn] [kn] [kn] [kn] [knm] [knm] Tabel 12.4 Laster i lastkombination 2.3.h. Bæreevnebrud Excentriciteterne bestemmes. e b = M b V = = 0, 68 m e l = = 1, 24 m Det undersøges hvor store excentriciteterne er i henhold til formel (12.9) 0, 68 < 0, 3 13, 00 0, 68 < 3, 90 1, 24 < 0, 3 23, 64 1, 24 < 7, 09 Heraf ses det, at fundamenterne belastes med en lille excentricitet. Det effektive areal bestemmes: A = b l = (13 2 0, 68) (23, , 24) = 246, 36 m 2 Bæreevne-, form- og hælningsfaktorene bestemmes. 113

122 12. Skitsedimensionering N q = e )1 + π tan(ϕ sin(ϕ d d ) + sin(33, 0) = eπ tan(33,0)1 1 sin(ϕ d ) 1 sin(30, 6) = 24, 5 N γ = 1 4 ((N q 1) cos(ϕ d)) 3 2 = 1 ((24, 5 1) cos(33, 0)) = 22, 1 4 N c = (N q 1) cot(ϕ d) = (24, 5 1) cot(33, 0) = 36, 9 s γ = 1 0, 4 b 21, 16 = 1 0, 4 = 0, 78 l 11, 65 s q = s c = 1 + 0, 2 21, 16 = 1, 11 11, 65 H d i q = i c = 1 V d + A c d cot(ϕ d ) = 1 = 0, , 36 0 cot(33, 0) i γ = i 2 q = 0, 902 = 0, 95 Af formel (12.2) bestemmes den lodrette bæreevne. R d = 1 8, 0 11, 65 22, 1 0, 78 0, , 0 24, 5 1, 110 0, , 9 1, 11 0, , 36 = kn Det ses, at den lodrette regningsmæssige bæreevne er større end den lodrette regningsmæssige last. Dette giver følgende udnyttelsesgrad af fundamentets bæreevne: U % = R d V d Glidningsbrud 100% = % = 97 % Adhæsionen mellem fundamentsfladen og jorden sættes til nul, idet kohæsionen er nul. Den regningsmæssige forskydningsmodstand mellem jord og fundament bestemmes af formel (12.11). S d = V d tan(ϕ d ) = tan(33, 0) = kn Det ses, at forskydningsmodstanden er større end den vandrette regningsmæssige last. Dette giver følgende udnyttelsesgrad for glidningsbrud: 114 U % = H d S d 100% = % = 13 %

123 12. Skitsedimensionering Beregningsresultater af brudgrænsetilstand I tabel 12.5 ses de effektive bredder, længder og arealer. Det ses, at i alle de beregnede lastkombinationer er excentriciteten lille. Dette skyldes den store egenlast fra bropillen og fundamentet. Lastkombination b eff l eff A eff [m] [m] [m 2 ] 2.1.g 12,88 20,33 261, i 12,88 20,41 262, g 12,84 19,29 247, i 12,84 19,39 249, h 12,32 22,40 276, i 12,88 21,06 271,26 Tabel 12.5 Effektive bredder, længder og arealer. I tabel 12.6 ses beregningsresultatet af brudgrænsetilstanden for de udvalgte lastkombinationer til skitsedimensioneringen. Lastkombination U Brud U Glidning [%] [%] 2.1.g i g i h i Tabel 12.6 Udnyttelsesgrader i brudgrænsetilstanden. Af tabel 12.6 ses det, at sikkerhed mod bæreevnebrud bliver dimensionsgivende og det ses også at fundamentet er optimalt udnyttet. De lave udnyttelsesgrader mod glidningsbrud skyldes den store egenlast fra bropillen og fundamentet Beregning af anvendelsesgrænsetilstand I anvendelsesgrænsetilstanden beregnes lodrette- og differenssætninger for fundamentet Konventionel sætningsberegning Sætning af fundamentet beregnes ved den konventionelle metode. Metoden tager ikke hensyn til forskydningsdeformationer, hvilket udgør størstedelen af 115

124 12. Skitsedimensionering deformationerne i sand. Derfor må beregningen betragtes som et overslag på størrelsen af deformationerne. De jordlag der tages i regning, er de samme som angivet i tabel For hvert jordlag beregnes en sætning, og disse summeres for at finde den totale sætning. Sætningen beregnes af følgende formel [Harremoës et al. 2000]: δ k = ǫ h (12.12) Hvor δ k er sætningen [m]. ε er tøjningen i jordlaget [-]. h er tykkelsen af jordlaget [m]. Tøjningen i jordlagene bestemmes af formel (12.13). ε = σ z K (12.13) Hvor σ z er den lodrette tillægsspænding som følge af den lodrette last i midten af jordlaget [kpa]. K er konsolideringsmodulet [kpa]. Den lodrette tillægsspænding beregnes ved en trykspredning på 1:2. Denne spændingstilvækst er en tilnærmelse, og derved begås en fejl, som er afhængig af dybden af det sætningsgivende lag. Tillægsspændingen kan både regnes i 2D og i 3D, og beregnes af henholdsvis formel (12.14) og (12.15): σ z = V d (b + z) (12.14) σ z = V d (b + z) (l + z) (12.15) Hvor V d er den regningsmæssige lodrette last [kn]. b er bredden af fundamentet [m]. l er længden af fundamentet [m]. z er afstanden fra fundamentets underside til midten af jordlaget [m] Beregningsresultater af vertikale sætninger I anvendelsesgrænsetilstanden beregnes sætningerne for lastkonbination a, under hyppige lastkombinationer, jf tabel Sætningen regnes ved en trykspredning i 3D. Beregningsproceduren af sætningen vises på skemaform i tabel

125 12. Skitsedimensionering Lag nr. Sand Lagtykkelse Lagmidte σ z K ǫ δ k [m] [m] [kpa] [kpa] [-] [mm] 1 3 1, , , , Moræneler , , ,5 31, , ,1 556 Tabel 12.7 Skema til beregning af den konventionelle sætning. Af tabel 12.7 ses det, at den samlede sætning er på godt en halv meter. Denne konventionelle sætningsberegning er rumlig, og dersom Plaxis regner i planen udføres der yderligere en sætningsberegning for det todimensionale tilfælde. Beregningsproceduren er den samme som ved den rumlige, dog reduceres den sætningsgivende last så denne svarer til det todimensionale tilfælde, og spændingstilvæksten korrigeres ligeledes. Der fås herved en konventionel sætning i 2D på 0,80 m Differenssætninger Denne undersøgelse udføres for lastkombination 1.c, da denne lastkombination indeholder horisontale kræfter fra vindlasten. Differenssætningen bestemmes ved hjælp af Plaxis, sammenlignes med den konventionel beregning af differenssætningen for den samme belastning. Herved kan det vurderes, hvilken fejl der begås ved at anvende en simpel konventionel beregningsmetode. Til den konventionelle differenssætningsberegning antages der trykspredning i forholdet 1:2, samt at den permanente last har medført en forkonsolidering af jorden under fundamentet. Det antages derfor, at konsolideringen kan bestemmes af følgende udtryk [Teknisk Ståbi 2002, s. 366]: δ c = σ K H Hvor δ c er konsolideringen [m]. σ er middelspændingen fra lasten i hvert lag [Pa]. K er konsolideringsmodulen [Pa]. H er lagtykkelsen af lagene, der summeres over [m]. Fremgangsmåden for sætningsbestemmelsen er den samme som tidligere beskrevet i den konventionelle sætningsberegning. Excentriciteten bestemmes som: 117

126 12. Skitsedimensionering e = M V Hvor M er momentet i FUK [knm]. V er den vertikale belastning [kn]. Den effektive sætning findes som: b eff = b 2e Hvor b eff er den effektive fundamentsbrede [m]. b er fundamentsbredden [m]. Ved trykspredning 1:2 bestemmes den dybde, hvor spændingsforskellen er udlignet i de to sider af fundamentet, og det antages at differenssætningerne foregår indtil den dybde. Herved bestemmes en forskel i sætningen fra punkt A til punkt B på figur Differenssætningen bestemmes som sætningen af fundamentet i differenssætningszonen illustreret på figur Figur 12.4 Principskitse for konventionel sætningsberegning. Plaxis regner i 2D, og derfor bestemmes trykspredningen i den konv. beregning også i 2D. Lasterne fra lastkombination 3.a reduceres, da der kun betragtes en "strimmel"af fundamentet på 1 m. På figur 12.5 ses det udsnit af fundamentet, der betragtes. 118

127 12. Skitsedimensionering Figur 12.5 Udsnit af fundament til beregning af differenssætninger. Herved bliver kræfterne på udsnittet der betragtes: M = V = = knm/m = kn/m I den konventionelle bestemmelse af differenssætningen anvendes derfor følgende værdier: M = [knm/m]. V = [kn]. e = 0,92 [m]. K sand = [kpa]. b = 23,6 [m]. Det antages, at der ikke opstår sætning af Punkt A, og herved bestemmes sætningen af punkt B på figur 12.4 til 0,12 m. Dette svarer til en hældning af fundamentet på: ( ) δc α = = 5, 1 b Differenssætningsbestemmelsen foretages også for en 3D trykspredning for lastkombination 1.c. Herved opnås som forventet en reduceret sætning. Resultaterne af de konventionelle sætningsberegninger ses af tabel Model δ [m] α [ ] 2D 0,12 5,1 3D 0,11 4,5 Tabel 12.8 Konventionelle differenssætninger af fundament. Der foretages ikke en bestemmelse af differenssætningerne parallelt med broens længderetning. 119

128 12. Skitsedimensionering 12.6 Opsummering Ved skitsedimensionering af fundamentet til bropille N2, bestemmes det at, en dimension på 13,00 m 23,64 m er optimalt. I brudgrænsetilstanden ligger udnyttelsesgraden ved brud på 100% ved lastkombination 2.3.i, men ellers ligger udnyttelsesgraden på %. Derfor kan det konkluderes at fundamentet er optimalt dimensioneret. I anvendelsesgrænsetilstanden fås en vertikal sætning på 0,56 m. Denne sætning vurderes ikke at give bæreevneproblemer for broen. Differenssætningen af fundamentet medfører en hældning af fundamentet på 5,1. Dette vurderes at være en acceptabel hældning, da der for eksempelvis høje bygninger og skorstene anbefales hældninger mindre end 3,5-4. [Harremoës et al. 2000]. Fundamentet er herved undersøgt ved konventionelle beregninger og i de næste kapitler udføres en mere detaljeret undersøgelse af fundamentet. 120

129 13. Analytisk løsning KAPITEL 13 ttt Analytisk løsning ttt Formålet med disse analytiske beregninger er at bestemme bæreevnen af fundamentet. For at kunne beregne denne, skal følgende tre betingelser overholdes [Jacobsen 1989, s. 105]: 1. Den statiske betingelse eller ligevægtsbetingelsen. 2. Den geometriske betingelse. 3. Den fysiske betingelse. Det er svært at bestemme den korrekte brudmåde, men det er dog muligt at bestemme to delvist korrekte løsninger. Det er de statisk tilladelige løsninger, som er en nedreværdiløsning, og de kinematisk løsninger, som er en øvreværdiløsninger. Disse to beregningsmåder giver dog samme værdi, hvis den korrekte brudmåde benyttes, og derfor skal bæreevnen henholdsvis maksog minimeres. Statisk tilladelige løsninger De statisk tilladelige løsninger er løsninger, hvor der skal redegøres for hele spændingsfeltet, hvor dette er i ligevægt med de ydre kræfter. Spændingerne i spændningsfeltet må ikke overskride materialernes brudstyrke, hvilket udtrykkes ved forskellige brudbetingelser. Dette betyder, at den ydre last, der findes ved denne metode, ikke får jorden til at gå i brud, med mindre den virkelige bæreevne er lig den maksimale for den valgte løsning. Derfor er det en nedreværdiløsning [Jacobsen 1989, s. 106]. Kinematisk tilladelige løsninger De kinematisk tilladelige løsninger angiver en brudmekanisme, der opfylder grænsebetingelserne. Brudbetingelsen opfyldes alle steder langs brudlinier og i brudzoner. Idet der forudsættes en brudmekanisme, vil den fundne ydre last 121

130 13. Analytisk løsning få jorden til at gå i brud. Geometrien af den valgte brudfigur er dog meget svær at tilnærme den virkeligt forekomne i brud. Det vides herom, at denne vil være den brudfigur, der kræver mindst energi. Den kinematisk tilladelige løsning er derfor en øvreværdiløsning på den usikre side, hvorfor den mindste skal bestemmes [Jacobsen 1989, s. 107] Brudmåder Konstruktionen undersøges for forskellige brudmåder både statiske og kinematiske. Dette gøres for at finde de grænser, den rigtige bæreevne ligger indenfor. Der tages udgangspunkt i følgende brudmåder: Kinematisk: Glidning af fundamentet. Kinematisk: Spændingsoverførelse igennem sandlaget til lerlaget, og translation samt rotation i lerlaget. Kinematisk: Ren rotation. Statisk: To spændingsbånd Materialeparametre og effektivt areal Til beregning af bæreevnen benyttes materialeparametrene angivet i tabel 13.1, hvor disse er hentet i hhv. tabel 11.7 og 11.8 og gjort regningsmæssige. Parameter γ Sand γ V and γ Ler c ud ϕ pl,d [kn/m 3 ] [kn/m 3 ] [kn/m 3 ] [MPa] [ ] Værdi 8,0 10,0 13, ,8 Tabel 13.1 Materialeparametre til bestemmelse af bæreevnen for brudfigurerne. De effektive længder og bredder fremgår af tabel Lastkombination b eff l eff A eff [m] [m] [m 2 ] 2.1.g 12,878 20, , i 12,878 20, , g 12,840 19, , i 12,840 19, , h 12,322 22, , i 12,880 21, ,26 Tabel 13.2 Effektive bredder, længder og arealer. 122

131 13. Analytisk løsning 13.3 Kinematisk tilladelig løsning 1 - Glidningsbrud Denne brudfigur er den mest enkle af de valgte, da bruddet kun sker i sandlaget, og kun har tre områder der sættes i bevægelse. Mellem sandet og disse områder findes smalle brudzoner fremover benævnt som liniebrud, hvori der sker dilatation, i modsætning til liniebrud i rent ler. I disse områder, bestående af fundamentet og to stive legemer, regnes med ren translation, stammende fra en enhedsflytning i horisontal retning benævnt δ påført fundamentet. Grundet dilatation i liniebruddet, vil fundamentets virkelige flytning ske med en vinkel i forhold til horisontalflytningen svarende til dilatationsvinklen. Ved at give fundamentet denne inkrementale flytning, δ, med en horisontal komposant på 1, virker de to stive legemer på hver side af fundamentet som aktivt og passivt jordtryk. Den horisontale flytning modsvares alene af ydre kræfter, da brudlinierne løber i rent friktionsmateriale. Idet normalitetsbetingelsen er opfyldt sættes friktionsvinklen lig dilatationsvinklen, ϕ = ψ, og derfor kan de stive legemers og fundamentets virkelige flytning findes ud fra dilatation i brudlinierne. Herefter kan den vertikale komposant findes, der sammen med områdernes vægt eller last indgår i arbejdsligningen, beskrevet ved formel (13.1). Da der ingen indre arbejde findes i brudfiguren, sættes summen af det ydre arbejde lig 0 [Jacobsen 1989, s. 135.]. H δ h + V δ v = 0 (13.1) Hvor H er den horisontale last [kn]. δ h er den inkrementale horisontale flytning [m]. V er summen af de vertikal laster [kn]. er den inkrementale vertikale flytning [m]. δ v Figur 13.1 viser brudlinierne, mens figur 13.2 til 13.4 viser flytningen i de forskellige områder. Figur 13.1 Brudfigur for en inkremental horisontal flytning. 123

132 13. Analytisk løsning Figur 13.2 Flytningen for det stive legeme 2, virkende som aktivt jordtryk. Figur 13.3 Flytningen for fundamentet med en horisontal komposant på 1. Figur 13.4 Flytningen for det stive legeme 3, virkende som passivt jordtryk. Ved at undersøge for hhv. passivt og aktivt jordtryk findes de optimale α- og β- vinkler ved en ekstremumsbetingelse [Jacobsen 1989, s. 135]. Hermed anvendes de vinkler, der giver de største bidrag til det ydre arbejde. α = 45 + ϕ 2 β = 45 ϕ 2 Da normalitetsbetingelsen forudsættes opfyldt, findes efterfølgende de enkelte områders bidrag til det ydre arbejde: Fundament - område 1 Arealet af fundamentet indgår ikke i dette bidrag, da arbejdet, A y, findes alene ved kraft multipliceret med vej. A y1 =V tan(ϕ ) } {{ } δ v Aktivt brud - område 2 D 2 A y2 = 1 γ sin(α ϕ ) 2 tan(α) cos(α) cos(ϕ } {{ } ) } {{ } areal δ v Passivt brud - område 3 D 2 A y3 = 1 γ sin(β + ϕ ) 2 tan(β) cos(β) cos(ϕ } {{ } ) } {{ } areal δ v 124

133 13. Analytisk løsning Den maksimale horisontale last bestemmes ved formel (13.1), hvor arbejdet fra de to stive legemer findes for bredden af fundamentet, og den horisontale last isoleres. Her anvendes ikke de effektive bredder men derimod den fulde, da legemernes længde afhænger af denne ved en horisontal flytning. H d =A y1 A y2 B + A y3 B Denne kraft er på den usikre side, da der regnes med kinematiske brud. Det ses af arbejdsligningen, at hvis de to bidrag fra de stive legemer fjernes, svarer ligningen til Mohr-Coulombs statiske brudbetingelse [Harremoës et al. 2000, s. 8.2]. Denne løsning er den korrekte, da den er lig med den kinematiske uden de stive legemer, se formel (13.2). Dermed er den både statisk og kinematisk tilladelig. H = V tan(ϕ ) (13.2) Bæreevnen for de forskellige lastkombinationer ses i tabel Lastkombination Horisontal bæreevne Udnyttelse [MN] [%] 2.1.g 270,36 9,4 2.1.i 270,36 11,7 2.2.g 206,65 14,7 2.2.i 206,65 17,6 2.3.h 274,08 7,5 2.3.i 274,27 10,8 Tabel 13.3 Bæreevne og udnyttelsesgrad for de udvalgte lastkombinationer Kinematisk tilladelig løsning 2 - Kombineret brud Da sandlagets mægtighed under fundamentet er lille i forhold til fundamentets bredde, antages det ved denne brudfigur, at bruddet alene sker i lerlaget. For sandlaget antages gennemlokning med hældning 1:2, se figur Dermed afgrænses der fra sandlaget i denne kinematiske beregning for leret, og sandet over leret regnes som en fladelast. 125

134 13. Analytisk løsning Figur 13.5 Kombineret brud i ler. Da de to vinkler, α og β, ikke er ens under optimering af brudfiguren, kan der ikke regnes med vægtløs jord. Dermed indgår to bidrag afhængig af vinklerne til arbejdsligningen, i form af forskellen i de to stive områders areal og en vertikal flytning af Prandtl-zonen, svarende til område 2 på figur I tilfældet, hvor de to vinkler er lige store, opvejer de to stive områder, 1 og 3, hinanden, og i Prandtl-zonen, 2, foregår der kun rotation og vandret flytning. Hermed modsvares den vertikale last alene af kohæsionsmodstanden i brudzonerne og den udrænede forskydningsstyrke, c ud, langs randen. De to væsentligste bidrag til bæreevnen er arbejdet langs randen af brudlinien og arbejdet i Prandtlzonen. Idet fundamentet gives en lodret inkremental flytning, δ = 1, findes den inkrementale flytning langs brudlinierne som funktion af vinklen α: δ r = 1 sin(α) Randarbejde Randarbejdet er det indre arbejde, der skal udføres for, at der opstår brud i jorden langs brudlinien. Det samlede randarbejde pr. løbende m findes ved følgende udtryk: A ir = δ r l rand c ud Hvor δ r er flytningen på randen [m]. l rand er længden af brudlinien [m]. 126

135 13. Analytisk løsning Zonearbejde Prandtl-zonen overfører en parallelbevægelse i en retning til en parallelbevægelse i vinklen α + β herpå. Bruddet antages at ske ved at inddele zonen i uendelig tynde cirkelformede strimler. De indbyrdes flytninger mellem strimlerne virker som liniebrud, hvor det indre arbejdet pr. løbende m er givet ved følgende udtryk [Jacobsen 1989, s. 118]: A iz = (α + β) δ r R zone c ud Hvor α + β er vinklen i Prandtl-zonen [ ]. R zone er radius i Prandtl-zonen [m]. Udover de to hovedbidrag er der også en række bidrag fra flytninger af jordlegemer. Arbejde for Prandl-zone Afhængig af vinklerne, α og β, sker der også arbejde ved flytning af de forskellige jordlegemer. Jordlegemerne kan deles op i aktiv og passiv jordtryk. Område 1 er aktiv jordtryk, mens område 3 er passiv jordtryk. Område 2 kan ikke prædefineres til aktiv eller passiv, idet dette område er afhængig af vinklerne α og β. Når vinklerne α og β ikke er ens, udføres der arbejde, idet Prandtlzonen flyttes. Dette kan både virke som aktivt eller passivt jordtryk, afhængig af hvilken vinkel der er størst. Arbejdet for flytning af Prandtl-zonen beregnes ved følgende formel: A yz = R zone R zone cos(β α) 2 Arbejde for aktivt jordtryk δ r R zone γ Ler Jordlegemet i område 1 undergår en translation langs brudlinien, hvorved arbejdet for dette område beregnes ud fra følgende udtryk: A y1 = A 1 γ Ler sin(α) δ r } {{ } 1 Fladelasten q 5 undergår lige som fundamentet en inkrementiel lodret flytning på 1, hvorved arbejdet beregnes af følgende udtryk: A y5 = l 5 q

136 13. Analytisk løsning Arbejde for passivt jordtryk Jordlegemet i område 3 undergår ligesom jordlegemet i område 1 en translation langs brudlinien, hvorved arbejdet for dette område beregnes ud fra følgende formel: A y3 = A 3 γ Ler sin(β) δ r Fladelasten q 4 der virker på område 3, undergår samme lodrette flytning som område 3. Den lodrette flytning for dette område og længden hvor q 4 virker på er dog en funktion af vinklen, β, og flytningsinkrementet, δ r. Arbejdet beregnes af følgende udtryk: A y4 = l 4 q 4 sin(β) δ r Arbejdsligningen kan derefter opstilles, hvor alle bidrag indgår: V pr. m 1 = A ir + A iz + (A y3 A y1 ) + (A y5 A y4 ) ± A yz Hvor +A yz er arbejdet for flytningen af Prandtl-zonen for α < β [knm/m]. A yz er arbejdet for flytningen af Prandtl-zonen for α > β [knm/m]. Det viser sig, at størrelsen af A y5 A y4 er konstant lig kraften fra vægten af det fortrængte sand, der hvor fundamentet er placeret. Dette skyldes, at variationen af længden, hvor q 4 virker på, opvejes af en tilsvarende større eller mindre lodret flytning. Ved at variere vinklerne α og β bestemmes bæreevnen. Idet det er en kinematisk tilladelig løsning og dermed en øvreværdi, skal den mindste værdi for bæreevnen benyttes. På figur 13.6 ses bæreevnen som funktion af vinklerne. Figur 13.6 Bæreevnen pr. m som funktion af vinklerne α og β for lastkombination 2.1.g. I tabel 13.2, side 122, fremgår de effektive længder og bredder, hvorudfra optimeringen af brudfigurene og bæreevnen beregnes. Den samlede bæreevne 128

137 13. Analytisk løsning beregnes som bæreevnen pr. meter multipliceret med længden af fundamentet, hvor der tages højde for gennemlokning, se figur Figur 13.7 Gennemlokning af sandlaget. Den samlede bæreevne beregnes efter følgende udtryk: V = V pr. m ( ( )) 1 L eff D (13.3) Hvor L eff er den effektive længde af fundamentet [m]. D er dybden af sandlaget, hvor der sker gennemlokning [m]. Last- α β Brudbæreevne Samlet brud- Udnyttelses kombination [ ] [ ] pr. m [MN] bæreevne [MN] grad [%] 2.1.g 43,3 47,4 33,30 843,5 47,2 2.1.i 43,3 47,4 33,30 846,0 47,1 2.2.g 43,3 47,4 33,23 807,2 37,5 2.2.i 43,3 47,4 33,23 810,6 37,4 2.3.h 43,3 47,3 32,28 884,4 45,7 2.3.i 43,3 47,4 33,30 867,9 46,6 Tabel 13.4 Bæreevne, vinkler og udnyttelsesgrad for de forskellige lastkombinationer, beregnet for bredden multipliceret med længden. Ved i stedet at beregne bæreevnen over den effektive længde, og multiplicere denne med bredden under hensyntagen til gennemlokning heraf, bestemmes bæreevnen for de forskellige lastkombinationer som vist i tabel

138 13. Analytisk løsning Last- α β Brudbæreevne Samlet brud- Udnyttelseskombination [ ] [ ] pr. m [MN] bæreevne [MN] grad [%] 2.1.g 42,8 48,3 46,91 838,7 47,5 2.1.i 42,8 48,4 47,05 841,2 47,3 2.2.g 42,9 48,2 45,02 803,1 37,7 2.2.i 42,9 48,2 45,20 806,4 37,6 2.3.h 42,9 48,2 45,20 806,4 37,6 2.3.i 42,7 48,4 48,25 862,6 46,8 Tabel 13.5 Bæreevne, vinkler og udnyttelsesgrad for de forskellige lastkombinationer, beregnet for længden multipliceret med bredden. Brudfigurerne, og dermed bæreevnen, er således optimeret til de i tabel 13.1 angivne materialeparametre. Ved denne beregning er der ikke taget hensyn til gavlarbejdet, der stammer fra rotationen i planet på hhv. forside og bagside og det dertilhørende indre arbejde. Medtagning af dette bidrag vil øge bæreevnen yderligere, hvorfor der, grundet den allerede store bæreevne, ses bort fra dette. Grundet udnyttelsesgraden på under 50% vælges det ikke at udføre en kinematisk tilladelig brudfigur for ler og sand, hvor gennemlokningen i sandet sker ved friktionsvinklen, se figur Figur 13.8 Kinematisk tilladelig brudfigur med både ler og sand. Ved denne brudfigur opnås der yderligere bæreevne, idet der også skal ske brud i sandet, og resultatet er således mindre udnyttelsesgrader end ved den kinematiske tilladelige brudfigur kun for ler. 130

139 13. Analytisk løsning 13.5 Kinematisk tilladelig løsning 3 - Rotationsbrud Denne brudfigur er mere komplekse end de foregående, idet brudlinien går igennem både sand- og lerlaget, samt at brudlinierne er forskellige i lagene. Der regnes med en logaritmisk spiral som brudlinie i sand og en cirkel som brudlinie i ler [Jacobsen 1989]. Fundamentet gives en inkremental rotation, δ θ, omkring et punkt i rummet, og ud fra dette findes bæreevnen. For at finde bæreevnen opstilles det indre, A i, og ydre, A y, arbejde og sættes lig hinanden, se udtryk (13.4). A y = A i (13.4) På figur 13.9 ses brudfiguren. Punktet P er rotationspunktet, som hele brudfiguren drejer omkring. y δ θ P(21,10) (0,0) Fundament x Sand Ler Figur 13.9 Brudfigur ved ren rotation. Det indre og ydre arbejde opstilles: V (rδθ) V + A γ sand (rδθ) V = l c ud rδθ (13.5) Hvor V er den maksimale last pr. m i dybden [kn]. (rδθ) V er den vertikale flytning af områdets tyngdepunkt i afstanden r [m]. A er arealet af de enkelte områder [m 2 ]. γ sand er den reducerede rumvægt af sandet [kn/m 3 ]. l er længden af den cirkulære brudlinie i lerlaget [m]. c ud er den regningsmæssige udrænede forskydningsstyrke [kn/m 2 ]. rδθ er flytningen i afstanden r [m]. Brudfiguren kan inddeles i forskellige områder, som bidrager eller ikke bidrager til det indre og ydre arbejde, se figur I de følgende beregninger betegnes arbejdet med hhv. nr. på tilhørende område og enten i eller y, afhængig af om det er indre eller ydre arbejde. 131

140 13. Analytisk løsning y P(21,10) (0,0) 1 x Sand 2 Ler Figur Områdeopdeling af brudfigur ved ren rotation. Område 1 Sandområdet med brudflade som logaritmisk spiral, se figur Dette område er et aktiv sandområde, og det ydre arbejde fra dette område er: A y1 = A 1 γ sand (rδθ) V (13.6) Område 2 Område 2 er symmetrisk og derfor giver den ikke flytning af jordmassen, ydre arbejde, men der kommer et indre kohæsionsarbejde langs hele brudlinien i leret. A i2 = l c ud rδθ (13.7) Flytningen rδθ er den tangentielle flytning langs brudlinien. Område 3 Område 3 er et sandområde, som ikke giver noget bidrag til det ydre arbejde. Denne giver ikke noget arbejde, idet den er symmetrisk lodret omkring punktet P, se figur Område 4 Er et sandområde, der er stabiliserende for konstruktionen, hvilket betyder et passivt jordtryk. Jorden flyttes opad og bidrager derfor med et negativt arbejde. Arbejdet bliver: A y4 = A 4 γ sand (rδθ) V (13.8) 132

141 13. Analytisk løsning Område 5 Er et område ens med område 4. A y5 = A 5 γ sand (rδθ) V (13.9) Område 6 Er fundamentet, og der påsættes kraften V, som er bæreevnen. Kraften påføres midt på fundamentet og i bunden. Denne kraft er med til at give det ydre arbejde. A y6 = V (rδθ) V (13.10) Bæreevne Ved at isolere kraften/bæreevnen V kan denne bestemmes: V = l c ud rδθ A γ sand (rδθ) V (rδθ) V (13.11) Ved en given effektiv bredde og længde af fundamentet kan en bæreevne findes. Da dette er en øvreværdiløsning, skal den mindste bæreevne findes. Ved at variere placeringen af punktet P kan bæreevnen plottes for forskellige koordinater. På figur ses resultatet ved undersøgelse af lastkombination 2.1.g, og på figur ses brudfiguren for det beregnede punkt. Figur Bæreevnen som funktion af placering af P for lastkombination 2.1.g. 133

142 13. Analytisk løsning Undersøgt areal y P(20.4,9.8) (0,0) Fundament x Sand Ler Figur Brudfiguren for den mindste bæreevne, fundet ud fra figur Samme undersøgelse udføres for forskellige lastkombinationer og for fundamentet korte og lange side, se tabel 13.6 og Last Punkt P Bæreevne Udnyttelse kombination x y [MN] [%] 2.1.g 20,4 9,8 526,05 75,7 2.1.i 20,4 9,8 528,02 75,4 2.2.g 19,3 9,2 497,44 60,9 2.2.i 19,4 9,5 500,14 60,6 2.3.h 22,4 10,8 554,97 72,8 2.3.i 21,0 10,0 545,17 74,1 Tabel 13.6 Bæreevne af brudfigur 3 udregnet for brudlinier for den lange side. Last Punkt P Bæreevne Udnyttelse kombination x y [MN] [%] 2.1.g 12,9 6,3 523,17 76,1 2.1.i 12,9 6,3 525,16 75,8 2.2.g 12,9 6,3 495,00 61,2 2.2.i 12,9 6,3 497,62 60,9 2.3.h 12,9 6,2 551,27 73,3 2.3.i 12,9 6,3 542,04 74,6 Tabel 13.7 Bæreevne af brudfigur 3 udregnet for brudlinier for den korte side. Det ses på tabellerne at udnyttelsen ligger på % og det ses at løsningen er en kinematisk løsning, øvreværdi løsning. Der er ved denne brudfigur ikke taget hensyn til bidraget fra gavlarbejdet til det indre arbejde, stammende fra rotation i leret, grundet den allerede store bæreevne. 134

143 13. Analytisk løsning 13.6 Statisk tilladelig løsning 1 - To spændingsbånd Ved denne statiske løsning anvendes to spændingsbånd, der løber igennem både sand- og lerlaget. Den maksimale spændingsforøgelse, der kan finde sted over grænsefladerne, afhænger af det svageste materiale spændingsbåndet går igennem for den givne spændingstilstand. Figur viser de to spændingsbånd samt vinklen θ, der varieres i intervallet [0 ;45 ]. Vælges θ lig 45 findes samme spændingstilstand på begge sider af skillefladen mellem områderne, og ved en større vinkel på spændingsbåndene aftager spændingerne ind under fundamentet [Jacobsen 1989, s. 125]. Figur Statisk tilladelig løsning med to spændingsbånd. Sandet på begge sider af fundamentet omregnes til en fladelast, og trykspændingerne under fundamentet opdeles i områder af spændingsbåndene. Herved opstår tre forskellige områder under fundamentet, hvor det antages at diskontinuiteten i spændingen over en skilleflade stiger med den maksimale værdi dog begrænset af det svageste materiales brudstyrke. Spændingerne over en grænseflade findes ved vandret og lodret projektion, der illustreres ved Mohrs cirkel, se figur og Indeksnotationen på spændingen er som følgende: σ xy (13.12) Hvor x betegner hovedspændingerne: 1 største hovedspænding. 3 mindste hovedspænding. y betegner hvilket område spændingerne er i, 1, 2 eller 3, se figur

144 13. Analytisk løsning Figur Mohrs cirkel for sand hvor spændingstilstanden mellem område 1 og 2 illustreres ved et snit gennem cirklen. Figur Mohrs cirkel for ler hvor spændingstilstanden mellem område 1 og 2 illustreres ved et snit gennem cirklen. Den største spændingsændring i drænet friktionsmateriale beskrives ved Coulombs brudkriterie [Jacobsen 1989, s. 142]. ( ) σ max = σ min tan ϕ (13.13) 2 For udrænet kohæsionsmateriale findes den største spændingsændring over en skilleflade ved at benytte Trescas brudkriterie [Jacobsen 1989, s. 109]. σ max = σ min + 2c ud (13.14) Spændingstilstanden over en skilleflade i ler er enkel at bestemme på grund af den fastlagte radius af cirklerne. Dette er ikke tilfældet for sand grundet friktionsvinklen, og efter bestemmelse af spændingen vinkelret på skillefladen, σ n, findes de resterende værdier for næste cirkel ved iteration. Figur viser et diskontinuert spændingsfelt i friktionsmaterialet [Jacobsen 1989, s. 142]. Figur Diskontinuert spændingsfelt med betegnelser for spændinger på skillefladen. Spændingen i områderne, varierende med θ, skal foruden brudbetingelsen sikre, at der kun er normalspændinger under fundamentet, dette gøres ved at foretage en samlet rotation i Mohrs cirkel på π eller 180. Dette kan for en beregning med sand betyde, at brudgrænsen overskrides for en lille værdi af θ. 136

145 13. Analytisk løsning Ligeledes er det muligt, at den midterste cirkel ikke udnytter sandets brudstyrke helt, hvilket har betydning for den endelige bæreevne. Den optimale vinkel, θ, medfører at alle cirkler tangerer grænsefladen, hvorved det svageste materiale regnes fuldt udnyttet i alle områder. Figur og viser, hvilke vinkler der er kendte i cirklerne for både rent ler samt ler og sand. Figur Eksempel med to spændingsbånd i ler med optimal vinkel θ. Figur Eksempel med to spændingsbånd i ler og sand med optimal vinkel θ. I stedet for at opstille ligevægtsligningerne i de følgende beregninger anvendes Mohrs cirkler til at illustrere spændingstilstanden, da disse ligeledes sikrer ligevægt. Grundet den store styrke af leret antages det endvidere i de følgende beregninger, at sandet er det svageste materiale i alle områder. Område 1 Da dette område er i brud, findes hovedspændingerne ved formel og da sandlaget her giver de mindste spændinger begrænset af brudgrænsen. Den mindste hovedspænding er lig med de effektive spændinger fra sandet over FUK, figur σ 31 = q ( σ 11 = σ 31 tan ϕ ) (13.15) 2 Skilleflade 1-2 Spændingsdiskontinuiten findes over skillefladen, idet det stadig antages, at sandet stadig er det svageste materiale. Figur viser det diskontinuerte spændingsfelt, hvor den mindste hovedspænding i område 2, σ 32, findes ved iteration over beliggenheden af punktet (σ n, τ), idet det kræves, at cirklen tangerer brudlinien. 137

146 13. Analytisk løsning Figur Diskontinuert spændingsfelt mellem område 1 og 2. Område 2 Ud fra den mindste hovedspænding fundet ved iterationen, kan den største hovedspænding bestemmes direkte ved formel (13.13). ( σ 12 = σ 32 tan ϕ ) 2 Skilleflade 2-3 Figur viser spændingstilstanden i grænsen mellem område 2 og 3, hvor den tredje cirkel skal overholde kravet til en samlet drejning på π eller 180. For små værdier af θ kan den tredje cirkel overskride brudgrænsen, hvilket ikke er tilladeligt for den statiske løsning. Figur Diskontinuert spændingsfelt mellem område 2 og

147 13. Analytisk løsning Den mindste hovedspænding i det tredje område bestemmes ved geometriske betragtninger, hvor først radius, r 2, og centrum, c 2, af den anden cirkel findes. r 2 = σ 12 σ 32 2 c 2 = (σ 32 + r 2 ) ( ( ) τ 2 = r 2 sin sin 1 τ1 σ n2 = c 2 + r 2 cos r 2 ) + 4 θ ( ( ) 180 sin 1 τ1 r 2 ) 4 θ Da spændingstilstanden i (σ n2, τ 2 ) nu kendes, kan den mindste spændingstilstand i cirkel 3 bestemmes. r 3 = sin(2 θ) τ 2 c 3 = σ n2 + cos(2 θ) r 3 σ 33 = c 3 r 3 Område 3 Den maksimale normalspænding under fundamentet kan herefter findes som den største spænding for i den tredje cirkel, σ 13, idet der samlet er drejet 180. ( σ 13 = σ 33 tan ϕ ) 2 Den maksimale bæreevne kan herefter bestemmes ved anvendelse af det effektive areal for den gældende lastkombination. V = σ 13 A eff Varieres θ findes den størst mulige bæreevne for den anvendte lastkombination ved en vinkel på 18, 0. Figur viser den største normalspændingen som funktion af θ. 139

148 13. Analytisk løsning σ [kn/m 2 ] θ [ ] Figur Normalspænding under fundament som funktion af θ. Det fremgår af figur 13.21, at der ikke kan anvendes værdier af θ fra 0 til 18. Dette skyldes, at ved disse vinkler overskrides sandets brudstyrke, og betingelserne for den statisk tilladelige løsning således ikke opfyldes. For de største vinkler findes et knæk på kurven, hvilket skyldes, at den tredje cirkels radius går mod nul, idet τ bliver mindre for til sidst at skifte fortegn, hvorefter den tredje cirkels radius igen øges. Alternativt kunne knækket have illustreret, hvor spændingen af den tredje cirkel blev begrænset af lerets brudgrænse, som vist på figur 13.18, i stedet for sandets. En yderligere optimering af bæreevnen kan ske ved at anvende forskellige vinkler af θ for hhv. under og udenfor fundamentet. Bæreevnen for de forskellige lastkombinationer fremgår af tabel 13.8, idet kun det effektive areal har indflydelse herpå. Dette skyldes, at der ved denne beregning findes en maksimal spænding under fundamentet uafhængig af spændingsbånd og arealer. Lastkombination Horisontal bæreevne Udnyttelse [MN] [%] 2.1.g 198,3 200,8 2.1.i 199,1 200,0 2.2.g 187,6 161,5 2.2.i 188,6 160,7 2.3.h 209,1 193,1 2.3.i 205,5 196,6 Tabel 13.8 Bæreevne og udnyttelses grad for de udvalgte lastkombinationer. En udnyttelse på % ligger ikke for lavt, idet det er en nedreværdi løsning. 140

149 13. Analytisk løsning 13.7 Sammenligning De fundne og optimerede bæreevner for de forskellige kinematiske og statiske løsning vises i følgende grafer, der ligeledes viser lasten ved forskellige lastkombinationer. Figur viser den horisontale last og bæreevne fra kinematisk 1, og figur viser den vertikale last og bæreevner fra de resterende løsninger Bæreevne/Last [MN] Last Kinematisk 1 Bæreevne/Last [MN] g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i 0 Last Kinematisk 2 Figur Horisontal last og bæreevne. Figur Horisontal last og bæreevne. Det fremgår af figur og 13.23, at den horisontale last er langt under bæreevnen, hvilket kan forklares med, at kinematisk tilladelig løsning 1 er en øvreværdiløsning, og den rigtige bæreevne ligger derfor under den fundne. Ud fra udnyttelsesgraden vist i tabel 13.3 vurderes det, at den horisontale bæreevne er mere end tilstrækkelig Bæreevne/Last [MN] Last Kinematisk 2 Kinematisk 3 Statisk 1 Bæreevne/Last [MN] g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i 0 Last Kin 2 Kin 3 Statisk 1 Figur Vertikal last og bæreevne. Figur Vertikal last og bæreevne. For den vertikale bæreevne på figur og ses det, at lasten ligger mellem den mindste øvreværdi og nedreværdien. Da den korrekte bæreevne befinder sig mellem disse, kan det ikke endegyldigt fastslås, hvad den rigtige bæreevne er. På baggrund af lastens placering midt mellem øvre og nedre værdien vurderes det, at dimensionerne på fundamentet er tæt på den optimale udnyttelse. Numerisk detailberegninger med Plaxis vil efterfølgende være bestemmende for den endelige udformning af fundamentet. 141

150 13. Analytisk løsning Kinematisk 2 giver en bæreevne langt over kinematisk 3, og idet de begge er øvreværdier, kan det konkluderes, at kinematisk 2 er den mest usandsynlige af de to. 142

151 14. Numerisk analyse af fundament KAPITEL 14 ttt Numerisk analyse af fundament ttt Dette kapitel omhandler en numerisk analyse af gravitationsfundamentets stabilitet. Fundamentet modelleres Plaxis, hvor det undersøges i brudgrænse- og anvendelsesgrænsetilstanden. Brudgrænsetilstanden undersøges ved en ϕ-c-analyse, hvor der bestemmes brudfigurer og sikkerhedsfaktorer, og i anvendelsesgrænsetilstanden bestemmes lodrette og differenssætninger fra JOF til oversiden af kridtlaget. Alle beregninger udføres for to forskellige materialemodeller, som beskrives senere Modellering i Plaxis I Plaxis skal de ydre rande for den geometriske model fastsættes. Det er, vigtigt at modellen er stor nok til at sikre, at beregningerne er rigtige. Samtidig ønskes en så lille model som muligt af hensyn til beregningstiden. Geometri I henhold til det geotekniske designprofil, jf. kapitel 11, findes et kridtlag i kote -70 m. Kridtet er stærkt forbelastet, og der forventes ubetydelige deformationer fra fundamentsbelastningen. Kridtet vurderes derfor anvendeligt som en fast nedre randbetingelse i Plaxis modellen. Den øvre grænse er havbunden, dog skal vandspejlet defineres til at ligge 27,5 m over havbunden. Grænserne mod højre og venstre skal være tilstrækkelig langt væk fra fundamentet, således at tillægsspændinger fra belastning af fundamentet er ubetydelige i randområdet. Den ydre geometri ses på figur

152 14. Numerisk analyse af fundament Clusters og interfaces Den geometriske model af fundamentet opbygges af linier og knuder, der afgrænser materialeområder/clusters. Disse clusters kan anvendes til materialelag eller til at danne områder, hvor der ønskes en høj diskretisering. Modellen deles op i seks clusters. Et til fundamentet, to til moræneleret og tre til sandet. Mellem fundamentet og sandet indføres interfaces, der tillader, at de to materialelag slipper hinanden. Herved sikres, at der ikke opstår urealistiske spændingstilstande i modellen (trækspændinger). Clusters og interfaces ses på figur Figur 14.1 Geometrisk model af fundamentet. Randbetingelser I Plaxis skal følgende randbetingelser defineres for den geometriske model: Foreskrevne flytninger Foreskrevne laster Angives der ikke en randbetingelse for en given rand, foreskriver Plaxis automatisk en kraft lig nul samt mulighed for fri flytning i vandret og lodret retning. Derfor afgrænses modellen ved at fastholde den mod både vertikale og horisontale flytninger på den nederste grænse (laggrænse til kridt). På modellens lodrette grænser fastholdes den kun mod horisontale flytninger, og på den øvre grænse (JOF) er modellen fri i begge retninger. Påvirkningen fra fundamentet overføres som en foreskreven linielast. Lasterne er defineret i kapitel 9, og omregnes til linielaster som vist på figur Figur 14.2 Omregning af laster til anvendelse i Plaxis.

153 14. Numerisk analyse af fundament Alternativt kan der påføres foreskrevne flytninger. Randbetingelserne for Plaxismodellen ses på figur 14.3 Figur 14.3 Randbetingelser for Plaxis model. Materialemodeller Til beskrivelse af jordlagenes egenskaber skal der anvendes en hensigtsmæssig materialemodel, og det skal angives, om materialet regnes drænet eller udrænet. I henhold til det geotekniske designprofil, jf. kapitel 11, undersøges to forskellige tilstande med to materialemodeller. Følgende materialemodeller, beskrevet yderligere i appendiks G, anvendes: Mohr-Coulomb Hardening-Soil For hver model undersøges to tilstande: 1. Drænet sand og udrænet ler (korttidstilstanden) 2. Drænet sand og drænet ler (langtidstilstanden) I de to materialemodeller skal betonen, som anvendes til fundamentet, defineres. Fundamentet ønskes regnet uendeligt stift, hvorfor betonens E-modul sættes til 10 9 MPa og Poissons forhold til 0,2. Fundamentet regnes lineært elastisk. Anvendt elementtype I Plaxis kan anvendes to elementtyper. Henholdsvis et 15-knuders trekantelement og et 6-knuders trekantelement. Trekantelementet bestående af 15 knuder giver ret præcise resultater ved relativ lav diskretisering, hvorimod 6-knuders elementet er mindre præcist men anvendeligt til hurtige overslagsberegninger. Det vælges, at modellere fundamentet med 15-knuders elementer, for at opnå den mest præcise beregning. På figur 14.4 ses placeringen af knuder samt spændingspunkter for 15-knuders elementet, som anvender formfunktioner af 4. orden til interpolation af flytninger. 145

154 14. Numerisk analyse af fundament Figur 14.4 TV: knudepunktsplacering. TH: Placering af Gauss punkter. Plaxis genererer automatisk et beregningsnet bestående af trekantelementer udfra den geometriske model. Den geometriske model inddeles i et passende antal elementer. Ved inddeling i elementer sikres en passende diskretisering, ved at forfine inddelingen tæt på fundamentet og anvende større elementer langs randen af modellen. På figur 14.5 ses elementerne der genereres i Plaxis, før gennemregningen påbegyndes. Figur 14.5 Elementinddeling i Plaxis. Begyndelsesbetingelser Inden Plaxis udfører beregninger på den færdige finite element model, defineres to begyndelsesbetingelser for modellen. Følgende begyndelsesbetingelser genereres af Plaxis på baggrund af koten for vandspejl samt rumvægten af materialerne i modellen: Poretryk Effektive spændinger (initialspændinger) Herved er alle inputs til beregningerne udført, og Plaxis er i stand til at bestemmes spændinger og tøjninger i finite element modellen. Herved kan det undersøges, om der opstår brud, samt hvor store sætninger og spændinger der kan forventes under bropillen Beregning af sætninger i Plaxis Beregning af sætninger i Plaxis udføres i anvendelsesgrænsetilstanden. Det ønskes, at bestemme den vertikale sætning og differenssætninger af fundamentet. 146

155 14. Numerisk analyse af fundament Vertikal sætning Den vertikale sætning beregnes ud fra lastkombination 1.a, da denne har den største lodrette last på 308 MN, jf kapitel 9. Herved opnås sætninger af fundamentet, δ, som anført i tabel Model Udrænet Drænet Mohr-Coulomb: δ [m] 0,37 1,13 Hardening-Soil: δ [m] 0,42 1,07 Tabel 14.1 Sætninger af fundament ved forskellige materialemodeller for lastkombination 1.a. Af resultaterne for henholdsvis drænet og udrænet tilstand ses, at der opnås langt større sætninger i drænet tilstand. Dette var forventet, da den udrænede tilstand svarer til en korttidstilstand, mens den drænede beregning svarer til sætninger i langtidstilstanden. På figur 14.6 ses hovedspændingsretningerne under fundamentet bestemt i Plaxis for en udrænet Mohr-Coulomb model. Af figuren ses det, at en antagelse om trykspredning i forholdet 1:2 er en grov antagelse i forbindelse med beregninger af spændinger og deformationer under fundamentet. Af Plaxis beregningen ses det, at trykspredningen er hyperbolsk, og derved opstår der større deformationer tæt på fundamentet, når der beregnes sætninger med Plaxis. Figur 14.6 Retning af hovedspændinger under fundamentet fra last. 1:2 trykspredning indtegnet. Differenssætninger Differenssætningerne er beregnet for lastkombination 1.c, der giver en horisontal last som medfører disse sætninger. Der anvendes udrænede materialeparametre, da de horisontale belastninger kan betragtes som kortvarige. Materialeparametrene fremgår af tabel 11.9 og tabel På figur 14.7 ses det 147

156 14. Numerisk analyse af fundament deformerede net i Mohr-Coulomb modellen. Flytningerne er skaleret 10 gange for at tydeliggøre sætningen. Figur 14.7 Deformationer af Plaxis-model. Deformationer skaleret med en faktor 10. Differenssætningen bestemmes som forskellen i sætning mellem fundamentets to nederste hjørner. Herved bestemmes differenssætningen, for en udrænet Mohr-Coulomb model, til 0,21 m. Dette svarer til en hældning af fundamentet på 8,9. Resultaterne fra begge materialemodeller ses i tabel Model δ [m] α [ ] Mohr-Coulomb: 0,21 8,9 Hardening soil: 0,16 6,8 Tabel 14.2 Udrænede differenssætninger af fundament. De to materialemodeller giver sammenlignelige resultater, og derfor vurderes det, at differenssætningen bliver 6,8-8,9, hvilket i toppen af bropillen s- varer til en udbøjning mellem 80 og 100 cm. Der opnås mindre sætninger med Hardening-Soil modellen, hvilket skyldes at der for små spændinger opnås mindre deformationer ved Hardening-Soil modellen Beregning af sikkerhedsfaktorer I Plaxis er det muligt, at beregne en sikkerhedsfaktor ved en ϕ-c-reduktion. Udfra denne sikkerhedsfaktor er det muligt, at bestemme, hvilken lastkombination, der er farligst for fundamentet, og dermed begrænse antallet af lastkombinationer der gennemregnes i brudgrænsetilstanden. ϕ-c-reduktion beregnes kun i drænet tilstand, da det antages, at den farligste lastkombination også er det i udrænet tilstand. Da Plaxis regner i 2D, er det nødvendigt at beregne ϕ-c-reduktion i både længde- og bredderetningen, da det ikke er sikkert, at den samme lastkombination er farligst for begge retninger. 148

157 14. Numerisk analyse af fundament ϕ-c-reduktion Ved brug af ϕ-c-reduktion reduceres jordens styrkeparametre gradvis, indtil der opstår brud. Sikkerhedsfaktoren er defineret ved formel (14.1). Msf = tan(ϕ) input tan(ϕ) reduced = c input c reduced (14.1) Hvor input refererer til styrkeparametrene anvendt i input-filen i Plaxis. reduced refererer til de reducerede styrkeparametre anvendt i ϕ-c-reduktions analysen. Msf starter med værdien 1,0 i analysen, og derefter defineres det inkrement, hvormed styrkeparametrene skal reduceres. Inkrementet sættes i beregningerne til 0,1, og for hvert incrementstep undersøges jorden for brud. Opstår der brud, stoppes analysen, og sikkerhedsfaktoren defineres herefter ved formel (14.2). SF = styrke til rådighed styrke ved brud = M sf ved brud (14.2) Anvendes ϕ-c-reduktion sammen med mere avancerede materialemodeller, vil disse opføre sig som en Mohr-Coulomb model, idet hærdning og stivhed, som afhænger af spændingsniveauet, ikke tages i regning. Lasterne, som påføres fundamentet, er regningsmæssige og holdes konstant i hele analysen, hvorimod styrkeparametrene er karakteristiske, idet disse skal reduceres med samme forhold, jf. formel (14.1). Dette er ikke muligt med de regningsmæssige styrkeparametre, da disse ikke har samme partialkoefficient. Dette betyder, at sikkerhedsfaktorene bliver globale uden sikkerhed fra partialkoefficienterne på styrkeparametrene Sikkerhedsfaktorer i drænet tilstand Sikkerhedsfaktoren plottes som funktion af enten flytningen eller tøjningen i et punkt, hvilket er underordnet. Det vælges, at anvende den samlede flytning U i et punkt lige under fundamentet. Figur 14.8 viser sikkerhedsfaktoren, beregnet for fire udvalgte lastkombinationer, ved en fundamentsbredde på 13,00 m. Lastkombination 2.1.i og 2.2.i er ikke medtaget, da disse lastkombinationer giver samme belastninger som 2.1.g og 2.2.g, jf kapitel 9 i denne retning. Punkterne som ligger på M sf =1 har ikke betydning for analysen. 149

158 14. Numerisk analyse af fundament Σ M sf M sf i drænet tilstand 2.1.g 2.2.g 2.3.h 2.3.i U [m] Figur 14.8 Sikkerhedsfaktor ved en fundamentsbredde på 13,00 m. Af figur 14.8 fremgår det, at lastkombination 2.3.h er den farligste, idet sikkerhedsfaktoren er lavest med en værdi på 1,77. Det ses at der for lastkombination 2.1.g, foregår et udpræget sejt brud, mens bruddet for lastkombination 2.3.h bedst beskrives som et sprødt brud. Figur 14.9 viser sikkerhedsfaktoren beregnet for de seks udvalgte lastkombinationer ved en fundamentsbredde på 23,64 m. Σ M sf M sf i drænet tilstand 2.1.g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i U [m] Figur 14.9 Sikkerhedsfaktor ved en fundamentsbredde på 23,64 m. Af figur 14.9 fremgår det, at lastkombination 2.2.i er den farligste, idet sikkerhedsfaktoren er lavest med en værdi på 1,59 Det ses at der for lastkombination 2.3.i, foregår et udpræget sejt brud, mens bruddet for lastkombination 2.1.g er et sprødt brud. Umiddelbart kan det ikke vurderes,om de to sikkerhedsfaktorer på hhv. 1,77 og 1,59, er tilstrækkelig i brudgrænsetilstanden, idet de fundne sikkerhedsfaktorer skal svare til en kombination af partialkoefficienten på tangens til friktionsvinklen og partialkoefficienten på kohæsionen. 150

159 14. Numerisk analyse af fundament De to farligste lastkombinationer, for henholdsvis en fundamentsbredde på 13,00og 23,64 m, udvælges til de videre beregninger i brudgrænsetilstanden 14.4 Eftervisning af sikkerhed mod bæreevnebrud i brudgrænsetilstanden Det er eftervist i Plaxis, at fundamentet har tilstrækkelig bæreevne i brudgrænsetilstanden. Dette er gjort i drænet og udrænet tilstand for både en Mohr-Coulomb og Hardening-Soil model. I og med at jorden ikke er i brud, er der efterfølgende udført en ϕ-c-reduktion i Mohr-Coulomb modellen, samt en forøgelse af lasten i Hardening-Soil modellen, som medfører bruddet. Dette er gjort, for at få brudfigurer ud af Plaxis Brudfigurer Udfra brudtilstanden er brudfigurene fra plaxis optegnet for drænet og udrænet tilstand. Disse ses på figur til 14.13, hvor materialer der er blå illustrerer en flytning lig nul. Øvrige farver viser den totale flytning af materialet, hvor rød er størst. Af andre undersøgelser vides det at bruddene sker som liniebrud. Brudfigurer i drænet tilstand I drænet tilstand har brudfigurerne samme form, dog er brudfiguren ved en fundamentsbredde på 23,64 m, noget større en brudfiguren ved 13,00 m. Det ses, at brudfigurene går ned i moræneleret Mohr-Coulomb Figur Brudfigur i drænet tilstand ved en fundamentsbredde på 13,00 m. Figur Brudfigur i drænet tilstand ved en fundamentsbredde på 23,64 m. Brudfigurer i udrænet tilstand I udrænet tilstand har brudfigurene samme form, dog er brudfiguren ved en fundamentsbredde på 23,64 m, noget større en brudfiguren ved 13,00 m. Det ses, at brudfigurene går ned i moræneleret Mohr-Coulomb 151

160 14. Numerisk analyse af fundament Figur Brudfigur i udrænet tilstand ved en fundamentsbredde på 13,00 m. Figur Brudfigur i udrænet tilstand ved en fundamentsbredde på 23,64 m. Det ses, at brudfigurene bliver væsentlig større i drænet tilstand end i udrænet tilstand. Dette skyldes, at i drænet tilstand bliver moræneleret til et friktionsmateriale, og for brudfigure gælder generelt, at jo større friktionsvinkel, jo større brudfigur [Harremoës et al. 2000, s 14.2]. 152

161 15. Funderings opsummering KAPITEL 15 ttt Funderings opsummering ttt I dette kapitel sammenlignes geotekniske beregninger udført i brud- og anvendelsesgrænsetilstanden. For brudgrænsetilstanden sammenlignes bæreevner beregnet efter DS415 med bære-evner beregnet analytisk (øvre- og nedreværdiløsninger). Ydermere sammenlignes analytiske brudfigurer med brudfigurer beregnet i Plaxis. For anvendelsesgrænsetilstanden sammenlignes konventionelt beregnede sætninger med sætninger beregnet i Plaxis Brudgrænsetilstand I brudgrænsetilstanden er der beregnet bæreevne på tre forskellige metoder, en konventionel normbaseret metode, en analytisk og en numerisk beregning. Der er i den konventionelle og den analytiske beregning fundet en vertikal og horisontal bæreevne Vertikal bæreevne På figur 15.1 og 15.2 ses de vertikale bæreevner og regningsmæssige laster ved forskellige lastkombinationer. Det ses på figuren, at de konventionelle beregninger ligger tæt på den regningsmæssige last. Dette skyldes, at konstruktionen er optimeret ud fra den konventionelle brudberegning. 153

162 15. Funderings opsummering Bæreevne/Last [MN] Last Kinematisk 2 Kinematisk 3 Statisk 1 Konvensionel Bæreevne/Last [MN] g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i 0 Last Kin 2 Kin 3 Statisk 1 Konvensionel Figur 15.1 Lastkombinationer og tilhørende bæreevner. Figur 15.2 Dimensionsgivende laster og bæreevner. I de mere komplekse analytiske beregninger, hvor der er taget udgangspunkt i to kinematiske (øvreværdi - kinematisk løsning 2 og 3) og en statisk løsning (nedreværdi - statisk løsning 1), er der også fundet en bæreevne. Det ses på figur 15.1, at øvre- og nedreværdierne ligger på den rigtige side af den regningsmæssige last, henholdsvis over og under. Den rigtige bæreevne skal derfor findes mellem kinematisk 3 og statisk 1. Ud fra figurer 15.1 og 15.2 kan det konkluderes at den konventionelle bestemmelse er en god metode til af beregne bæreevnen af broens fundament Horisontal bæreevne Der er også fundet en horisontal bæreevne i den konventionelle og analytiske beregning. På figur 15.3 og 15.4 ses disse bæreevner sammen med de regningsmæssige horisontale laster Bæreevne/Last [MN] Last Kinematisk 1 Konventionel Bæreevne/Last [MN] g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i g 2.1.i 2.2.g 2.2.i 2.3.h 2.3.i 0 Last Kinematisk 2 Konventionel Figur 15.3 Lastkombinationer og tilhørende bæreevner. Figur 15.4 Dimensionsgivende laster og bæreevner. Det ses på figurerne, at begge bæreevner er større end belastningen. Det er dog ikke muligt at skønne om den konventionelle beregning er god, idet begge beregnede bæreevner er større end lasten. Dog ligger den konventionelle bæreevne 154

163 15. Funderings opsummering under øvreværdi-løsningen (kinematisk 1) og må derfor betragtes som en tilfredsstillende bestemmelse af den horisontale bæreevne Numeriske brudberegninger i Plaxis Fundamentet er også modelleret i Plaxis. Her er fundamentet på 13 m 23,6 m fundet til at kunne holde til samtlige lastkombinationer uden at gå i brud. Brudlinier bestemmes derfor ved at øge lasten indtil brud Sammenligning af brudfigurer For at vurdere om brudfiguren kinematisk løsning 3, ligger tæt på den rigtige brudfigur, er jorden belastet til brud i Plaxis. På figur 15.5 og 15.6 ses brudfiguren for de to undersøgte tilfælde. Figur 15.5 Udrænet brud ved lastkombination 2.3.h ved en fundamentsbredde på 13 m. Figur 15.6 Drænet brud ved lastkombination 2.3.h ved en fundamentsbredde på 13 m.. Som det ses, er den analytiske brudlinie næsten identisk med den drænede tilstand, mens den udrænede giver en meget mindre brudfigur. Det er dog ikke muligt at sammenligne de analytiske og de numeriske brudlinier direkte ud fra figur 15.6, fordi normalitetsbetingelsen benyttes i de analytiske beregninger. For at sammenligne dem foretages der en numerisk beregning, hvor dilatationsvinkel sættes lig friktionsvinklen. Resultatet af dette ses på figur Figur 15.7 Drænet brud ved lastkombination 2.3.h ved en fundamentsbredde på 13 m, hvor normalitetsbetingelsen forudsættes. Ved at ændre den numeriske beregning sker der ikke nogen synlige ændringer af brudfiguren. Det ses, at den analytiske brudfigur er næsten ens med brudfiguren fra Plaxis og det må derfor være tæt på den rigtige brudfigur, hvilket betyder, at den virkelige bæreevne ligger tæt på den bæreevne, der er fundet ud fra brudlinie