Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU ( ) 1 Introduktion Gennemgående eksempler Brute-force metoder 10

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10"

Transkript

1 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU ( ) Indhold 1 Introduktion Gennemgående eksempler Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier Eksempler på grænseværdier Grænseværditest Monotonitet af grænseværdier Branch-and-bound Øvre grænseværdifunktion Nedre grænseværdi Søgestrategi Forgreningsregel Eksempler på branch-and-bound algoritmer

2 6 Kvalitet af grænseværdifunktionen Eksempler på dominans Kritiske og Semikritiske delproblemer 34 8 Kunsten at designe en god branch-and-bound algoritme 36 9 Opgaver 38 Index 42 2

3 Forord Disse noter er skrevet til kurset Videregående algoritmik på Datalogisk Institut, Københavns Universitet. Formålet med noterne er at give en samlet indføring til branch-and-bound paradigmet. I modsætning til majoriteten af tilsvarende tekster forudsætter noterne ikke kendskab til lineær programmering. Til gengæld bygger de videre på terminologi og principper fra Cormen m.fl. [7]. Da noterne er tiltænkt algoritmik-undervisning på studieår er noterne skrevet på dansk. Dette giver samtidig mulighed for at indføre en dansk terminologi på kurset. Nogle begreber har det dog ikke været muligt (eller hensigtsmæssigt) at oversætte til dansk, hvorfor de engelske betegnelser er bibeholdt. Som inspiration er benyttet noterne Branch-and-bound algorithms, af Clausen [6], samt bøgerne Integer Programming af Wolsey [24] og Elements of the Theory of Computation af Lewis og Papadimitriou [16]. For at noterne også kan bruges som mini-opslagsbog, er der udarbejdet et stikordsregister sidst i noterne. En stor tak til alle som har læst første version af disse noter, og som har bidraget til at forbedre dem. Kommentarer til 2. udgave En række fejl, heriblandt figur 3 er blevet rettet. Kapitel 8 er blevet opdateret med nyeste litteratur omkring branch-and-bound paradigmet. 9. oktober 2005, DP. 3

4 4

5 1 Introduktion Teorien om N P -fuldstændighed giver os en velbegrundet formodning om, at der er en lang række problemer, som vi ikke kan forvente at løse i polynomiel tid. Da problemerne dog kan være vigtige at løse for industri eller samfund, er det essentielt at finde løsningsmetoder til sådanne problemer. Selv om vi ikke kan garantere polynomiel køretid af sådanne algoritmer, kan man håbe på at køretiden er rimelig for de fleste instanser, som forekommer i praksis. Teorien om N P - fuldstændighed udtaler sig kun om, at der eksisterer instanser med ubehagelig køretid, men den udelukker ikke at mange instanser kan løses i polynomiel tid. Hvor vi i teorien om N P -fuldstændighed fandt det hensigtsmæssigt at betragte afgørlighedsproblemer, vil man i praktiske anvendelser snarere betragte det tilhørende optimeringsproblem. F.eks. vil man for traveling salesman-problemet næppe være tilfreds med at få et ja-nej svar på, om der findes en Hamilton-kreds af længde højst k i grafen. Man vil snarere spørge efter den korteste Hamilton-kreds. Formelt set kan et optimeringsproblem i maksimeringsform defineres som: z max f x x S (1) Her angiver f x objektfunktionen, mens S er løsningsrummet og z er den optimale løsningsværdi. Ofte vil man også være interesseret i den optimale løsning, dvs. det x hvor z f x. En række optimeringsproblemer som f.eks. traveling salesmanproblemet er defineret i minimeringsform z min f x x S (2) Man kan omforme et minimeringsproblem på formen (2) til et maksimeringsproblem ved at maksimere f x. Vi vil i disse noter indføre alle definitioner for et maksimeringsproblem. Det overlades til læseren at definere de tilsvarende begreber for minimeringsproblemer. Da klassen N P kun er defineret for afgørlighedsproblemer, giver det ikke mening at snakke om N P -fuldstændighed af optimeringsproblemer. Vi definerer derfor, at et optimeringsproblem er N P -hårdt, hvis det tilhørende afgørlighedsproblem er N P -fuldstændigt. Bemærk, at selv om man får forelagt den optimale løsning x for et N P -hårdt optimeringsproblem, kender vi ikke en effektiv metode til at verificere at den givne løsning er optimal. Rent faktisk kan det kun bevises at en løsning er optimal ved at gennemløbe hele løsningsrummet. 5

6 Hvor polynomielle problemer typisk kan løses ved hjælp af en konstruktiv algoritme, der gradvist opbygger en løsning, må vi for N P -hårde problemer ty til søgebaserede algoritmer, dvs. algoritmer som gennemløber hele eller dele af løsningsrummet for at finde den optimale løsning. I disse noter vil vi betragte branch-and-bound paradigmet, som netop er en søgebaseret algoritme. Der findes en række danske betegnelser for branch-and-bound, f.eks. del-og-hersk, forgren-og-begræns. Ingen af disse betegnelser er dog slået igennem i stort omfang, hvorfor man typisk blot fastholder den engelske betegnelse. Branch-and-bound er nok det mest benyttede værktøj til løsning af N P -hårde kombinatoriske optimeringsproblemer. Branch-and-bound er dog et paradigme (dvs. en slags skabelon) hvor en række konkrete valg skal træffes for hvert enkelt optimeringsproblem. Som disse noter vil vise, er der en bred vifte af muligheder for hver komponent af branch-and-bound paradigmet, og det er en kunstart at kombinere de rette komponenter til en vellykket algoritme. Princippet i branch-and-bound er en total gennemsøgning af løsningsrummet, hvor man bruger nogle matematiske overvejelser til at udelukke dele af løsningsrummet. En vel-designet branch-and-bound algoritme bør udelukke store dele af løsningsrummet, således at den for de fleste praktisk forekommende instanser kun skal gennemsøge en lille del af løsningsrummet. I afsnit 2 vil vi først designe en simpel algoritme til løsning af kombinatoriske optimeringsproblemer baseret på total gennemsøgning af løsningsrummet. I det følgende afsnit 3 benytter vi divideand-conquer paradigmet til at gennemsøge løsningsrummet, ved fortløbende at dele problemet op i mindre delproblemer og samle løsningerne op fra disse. For at undgå en gennemsøgning af alle delløsningsrum benytter vi grænseværdier, som defineres i afsnit 4. En grænseværdi er et tal knyttet til et delløsningsrum, som siger noget om, hvor gode løsninger vi kan forvente at finde i det givne delløsningsrum. Hvis vi ved hjælp af grænseværdien for et delløsningsrum kan se, at vi ikke vil være i stand til at forbedre den nuværende løsning, kan vi forkaste delløsningsrummet. Dette er ideen i grænseværditesten, som beskrives i afsnit 4.2. Sætter vi disse grundelementer sammen, har vi branch-and-bound paradigmet, som beskrives i afsnit 5. Vi vil gerne have så stramme grænseværdier som muligt, idet disse vil gøre det muligt at bortskære større dele af løsningsrummet. I afsnit 6 opstiller vi en formel ramme for at sammenligne kvaliteten af grænseværdier. Afsnit 7 ser på, hvilke delproblemer vi altid vil skulle behandle uanset søgestrategi og initiel løsning. Noterne afsluttes i afsnit 8 med forskellige tips til at designe vellykkede branch-and-bound algoritmer i praksis. 6

7 I disse noter vil vi benytte tre gennemgående optimeringsproblemer til at illustrere principperne. De første to er maksimeringsproblemerne knapsack-problemet og dense subgraph-problemet, mens det sidste problem er minimeringsproblemet traveling salesman-problemet. Vær opmærksom på, at alle definitioner skal vendes om når vi betragter et minimeringsproblem. Traveling salesman-problemet er med vilje medtaget for at træne læseren i denne proces. Alle eksempler med traveling salesman-problemet vil dog tydeligt være mærket med en overskrift som minder om, at det er et minimeringsproblem. 1.1 Gennemgående eksempler Eksempel 1 Knapsack-problemet Knapsack-problemet kan defineres på følgende vis: Lad der være givet n genstande, som hver har en tilknyttet profit p j og vægt w j. Udvælg en delmængde af genstandene således, at den samlede profitsum bliver maksimeret uden, at den tilhørende vægtsum overstiger en given grænse c, kaldet kapaciteten. Trods den simple struktur har knapsack-problemet utallige anvendelser. Det opstår i adskillige transportproblemer (f.eks. ladning af genstande i containere med vægtbegrænsning c), udskæringsproblemer (f.eks. udskæring af tømmer som har længde c i mindre stykker w j med forskellig salgspris p j ), investering (der er en mængde kapital c til rådighed, som kan investeres i et antal projekter med profit p j og pris w j ) eller budgetlægning (afdelingens budget er c, og der skal udvælges et antal projekter, som har størst mulig samlet nytteværdi). For en komplet oversigt over eksakte algoritmer og approximationsalgoritmer for knapsack-problemet, se [13]. En samling af testinstanser for knapsack-problemet findes i [19]. Hvis vi bruger den binære variabel x j til at angive om genstand j vælges eller ej, får vi følgende matematiske definition af problemet: 0 1 c x j (3) n n j z max p j x j j x j 1 j 1w Bemærk, at hvis genstand j vælges, dvs. x j 1, så tælles p j og w j med i henholdsvis profitsummen og vægtsummen, mens hvis x j 0 bidrager genstand j ikke til nogen af summerne. Det antages normalt, at alle koefficienter p j, w j og c er positive heltal. Se evt. Cormen m.fl. [7] s. 382 for yderligere beskrivelse af problemet. 7

8 I det følgende eksempel er c 9, og der er givet n 7 genstande med følgende profitter og vægte: j p j w j Den optimale løsning er at vælge genstandene 1 og 4, hvilket giver en optimal løsning på z 15. Eksempel 2 Dense subgraph-problemet Givet en komplet vægtet graf G V E c og et heltal k. Dense subgraph-problemet beder os udvælge en delmængde U V af størrelse U k, således at summen af kantvægte mellem knuder i U bliver maksimeret. Vi vil tænke på grafen som orienteret, dvs. mellem hvert par af knuder i og j findes to kanter, som har vægt c i j henholdsvist c ji. Selv om vi tillader, at c i j c ji så kan man altid opnå en symmetrisk form c i j c ji ved at dele summen c i j c ji ligeligt på de to kanter (overvej!). Uden tab af generalitet kan vi antage, at alle kantvægte er ikke-negative, dvs. c i j 0, idet vi ellers kan lægge en konstant M til alle kantvægte for at opnå dette (se også opgave 4 side 39). I de fleste praktiske anvendelser vil c ii 0, men i det følgende kan c ii også antage positive værdier. Dense subgraph-problemet er en umiddelbar generalisering af klike-problemet, hvorfor det dukker op i mange sammenhænge indenfor grafteori. Praktiske anvendelser omfatter bl.a. lokalisering af sendemaster, således at trafik mellem masterne maksimeres, samt lokalisering af tankstationer, supermarkeder, brandstationer, eller hospitaler, således at de spredes mest muligt geografisk. 8

9 Kun få eksakte algoritmer er præsenteret for dense subgraph-problemet [8, 20], mens der er udviklet adskillige approximationsalgoritmer [4, 10, 11, 14, 21, 22]. Formelt kan problemet defineres som følgende maksimeringsproblem: z max k c i j U V U i U j U (4) Den følgende tabel angiver kantvægtene for en graf med 7 knuder, hvori der skal udvælges en delgraf U af størrelse k 3. j i Den optimale løsning er at vælge knuderne U 2 4 6, hvilket giver en løsningsværdi på 48. Eksempel 3 Traveling salesman-problemet (minimeringsproblem) Traveling salesman-problemet har utallige anvendelser, og er blevet studeret indgående i litteraturen, se f.eks. den omfattende bog [15]. Den p.t. bedste algoritme til løsning af Traveling salesman-problemet er Concorde-løseren [2] designet af Applegate, Bixby, Chvátal og Cook [3]. Vi vil betragte den symmetriske version af traveling salesman-problemet, der formelt kan defineres som følgende optimeringsproblem: Lad V E d være en vægtet graf, hvor d i j for i j E angiver afstanden mellem knuderne i og j. Da vi betragter den symmetriske variant gælder at d i j d ji. Problemet er da at finde en Hamilton-kreds H i grafen, som har en minimal længde med hensyn til d. Hamilton-kredsen H er en delmængde af kanterne i E, hvorfor vi kan formulere problemet som: z min i j H d i j H E Her en Hamilton-kreds (5) På det følgende kort er der markeret otte byer på Bornholm. 9

10 Afstanden mellem de otte byer er givet ved følgende tabel, og vi ønsker at finde den korteste Hamilton-kreds gennem byerne. i j Den optimale løsning er at besøge byerne (knuderne) i rækkefølgen: , hvilket giver en samlet længde af Hamilton-kredsen på z Brute-force metoder Som tidligere nævnt er branch-and-bound paradigmet en søgebaseret algoritme, som i værste fald gennemsøger alle lovlige løsninger. Vi vil i dette afsnit skitsere 10

11 2 en første søgebaseret algoritme samt vurdere dens køretid. Algoritmen udnytter, at ethvert N P -problem har et kort (dvs. polynomielt) certifikat, samt at ethvert certifikat kan verificeres i polynomiel tid. Vi kan derfor gennemløbe alle kombinationsmuligheder af certifikatet, og hver gang kontrollere om verifikationsalgoritmen returnerer ja. Den samlede køretid bliver eksponentiel. Definition 1 Klassen EX P er mængden af afgørlighedsproblemer, som kan løses i eksponentiel tid på en deterministisk Turing-maskine. Formelt sagt siger vi, at et afgørlighedsproblem L EX P, hvis der findes et polynomium p n, således at enhver streng x af længde n kan afgøres i tiden 2 p n. Sætning 1 Hvis L N P, så gælder også at L EX P. Bevis: Antag at L N P, så findes en verifikationsalgoritme A x y, som kører i polynomiel tid p x y. Længden af certifikatet y skal overholde at y p 2 x for et polynomium p 2, så køretiden af A x y må også være polynomiel i x, dvs. begrænset af et polynomium p 1 x. Vi konstruerer nu en algoritme, 2 som afgør L i eksponentiel tid. Uden tab af generalitet kan vi antage, at certifikatet y er en binær streng. Vi opremser nu samtlige værdier af y i tiden 2 y p x. For hver værdi af y anvender vi verfikationsalgoritmen A x y. Hvis A x y 1 for et givet y returnerer vores algoritme værdien O 1. Hvis A x y 0 for alle y returnerer 2 algoritmen værdien 0. Køretiden af algoritmen bliver 2 p x p 1 x, hvilket viser at algoritmen afgør L i eksponentiel tid. Løsningsmetoden i ovenstående bevis kaldes brute-force opremsning og trods dens dårlige køretid, er den grundlaget for de følgende algoritmer. Fra beviset bemærker vi også, at løsningsrummet for et N P -hårdt optimeringsproblem må være begrænset. Faktisk er det begrænset af 2 y, hvor y er den binære længde af en løsning. 3 Divide and Conquer Brute-force paradigmet fra forrige afsnit fungerede kun for N P -fuldstændige afgørlighedsproblemer. Når vi skal løse et N P -hårdt optimeringsproblem på formen z max f x x S 11

12 har vi ikke en verifikationsalgoritme til rådighed. I stedet kan vi anvende divideand-conquer paradigmet fra Cormen m.fl. [7]. Vi ønsker at opdele problemet i en række mindre problemer, løse de mindre problemer, og samle informationen sammen til en optimal løsning. Der gælder Sætning 2 Lad S S 1 S k være en opdeling af S i mindre mængder, og lad z i max f x x S i være løsningsværdien svarende til den i te delmængde. Da gælder z max i 1 k z i. Bevis: z max f x x S 1 S k max i 1 k max f x x S i max i 1 z i. k Vi vil bruge betegnelsen delproblem til at betegne vores optimeringsproblem begrænset til delmængde S i. I det følgende vil vi sprogligt ikke skelne mellem en delmængde og det tilhørende delproblem. Eksempel 4 Knapsack-problemet Af pladshensyn vil vi betragte en reduceret udgave af knapsack-problemet fra eksempel 1, hvor der kun er n 3 genstande, og kapaciteten er c 6. j p j w j j Løsningsrummet er S x 1 x n n j 1 w jx c x j 0 1. På figur 1 ses en opdeling af løsningsrummet S svarende til, om en given beslutningsvariabel x i sættes til 0 eller 1. I den første opdeling får vi to delproblemer: S 1 S 2 x 1 x n S x 1 0 x 1 x n S x 1 1 (6) Tilsvarende får vi ved opdeling af S 1 de to mængder S 3 og S 4 givet ved S 3 S 4 x 1 x n S 1 x 1 0 x 2 0 x 1 x n S 1 x 1 0 x 2 1 (7) Og så fremdeles. 12

13 S S 1 S S 3 S 4 S 5 S S 7 S 9 S 11 S S 8 S 10 S 12 S 14 Figur 1: Opdeling af løsningsrum. De understregede tal svarer til ulovlige løsninger, dvs. løsningsvektorer x hvor n j 1 w jx j c. 13

14 S x 1 0 x 1 1 S 1 S 2 x 2 0 x 2 1 x 2 0 x 2 1 S 3 S 4 S 5 S 6 x 3 0 x 3 1 x 3 0 x 3 1 x 3 0 x 3 1 x 3 0 x 3 1 S 7 S 8 S 9 S 10 S 11 S 12 S 13 S 14 x f x ulovlig 6 9 ulovlig ulovlig Figur 2: Søgetræ for knapsack-problemet. De understregede mængder angiver ulovlige løsninger, dvs. løsningsvektorer x hvor n j 1 w jx j c. 14

15 z Sætning 2 viser, at vi kan finde en optimal løsning til f.eks. S 5 som max z 11 z 12 max 6 9 9, hvor z 11 er den optimale løsning til S 11, og z 12 er løsningen til S 12. Man kan illustrere opdelingen af S med et søgetræ, som vist i figur 2. Hver knude i søgetræet svarer til et delproblem S i. Hvis vi betragter to knuder i og j i søgetræet, hvor j ligger under i, så kalder vi j for et underproblem til i. 4 Grænseværdier Vi betragter igen et optimeringsproblem P på formen z max f x x S. S behøver ikke at være det originale løsningsrum for et problem, L men kan godt være et delproblem S i fremkommet ved brug af divide-and-conquer paradigmet. En nedre grænseværdi L er et reelt tal, som overholder at z. På samme måde kan vi definere en øvre grænseværdi U som et reelt tal, der overholder at U z. Enhver lovlig løsning x S til problemet P er en nedre grænseværdi, idet der oplagt gælder at f x max f x x S. Det er anderledes udfordrende at finde en øvre grænseværdi. Til dette formål har vi brug for at betragte en relaksering: Definition 2 Givet et problem P defineret som z max f x x S. Problemet R givet ved z R max g x x T er en relaksering af P, hvis der gælder: (i) S T, (ii) g x f x for alle x S. Følgende figur illustrerer princippet i en relaksering. Vi maksimerer funktionen f over mængden S. Funktionen g må ikke ligge under f i hele definitionsmængden S, men der stilles ingen krav til g udenfor S. g x f x S T 15

16 Sætning 3 Hvis R er en relaksering af P, så gælder der at z R z. Bevis: Antag, at den optimale løsning for P er x, dvs. der gælder f x z. Da x S har vi fra (ii) at g x f x. Fra (i) ved vi endvidere at x T. Dermed må gælde at z R max g x x T g x f x z. Ovenstående sætning giver os en opskrift til at bestemme øvre grænseværdier, idet vi for et problem P kan løse en tilhørende relaksering R og bestemme z R. Da gælder at U : z R er en øvre grænseværdi, idet vi har z R z max f x x S f x for ethvert x S. Man kan altid finde en triviel relaksering ved at vælge g x f x og T S. Denne relaksering vil returnere den bedst tænkelige grænseværdi U z, men den er lige så dyr at beregne, som at løse det originale problem. Man vil derfor normalt kræve, at en relaksering kan løses i polynomiel tid. Det er måske ikke videre intuitivt, at et problem kan bliver lettere at løse ved at udvide løsningsrummet S til en større mængde T, men nedenstående eksempler vil vise, at dette rent faktisk ofte er tilfældet. Tilsvarende kan nogle problemer blive lettere at løse ved at modificere objektfunktionen. For ethvert problem P vil der kunne defineres mange relakseringer, som vil resultere i et antal forskellige grænseværdier. Det er en kunstart at finde en relaksering, som giver gode grænseværdier, og som kan beregnes effektivt. Divide-and-conquer paradigmet fra afsnit 3 kan også anvendes til at bestemme grænseværdier ved opdeling af problemet i mindre delproblemer. Idet vi definerer z i max f x x S i, gælder følgende to sætninger: Sætning 4 Lad S S 1 S k være en opdeling af S i mindre mængder, og lad L i være en nedre grænseværdi for delmængde S i. Da gælder at L max i 1 k L i er en nedre grænseværdi i for S. Bevis: Da L z i har vi L i max i 1 L k max i 1 k z i z. Sætning 5 Lad S S 1 S k være en opdeling af S i mindre mængder, og lad U i være en øvre grænseværdi for delmængde S i. Da gælder at U max i 1 k U i er en øvre grænseværdi for S. 16

17 U S T i Bevis: Da z U i har vi U Endelig har vi sætningen: max i 1 U i k max i 1 z i z. k Sætning 6 Betragt et maksimeringsproblem z max f x x S, hvor f x returnerer en heltallig løsningsværdi for ethvert x S. Antag at U er en øvre grænseværdi. Da er også U en øvre grænseværdi. z z Bevis: Da f x er heltallig, må z, og følgelig z z. Da U gælder z, og dermed U. 4.1 Eksempler på grænseværdier Eksempel 5 Knapsack-problemet For at finde øvre grænseværdier for knapsack-problemet betragter vi en simpel relaksering, hvor det er tilladt at medtage brøkdele af genstandene. Dette problem kaldes det fraktionelle knapsack-problem i Cormen c 0 m.fl. [7], j givet 1 ved x (8) U 1 n n j max KP p j x j j x j 1 j 1w For at se, at der er tale om en relaksering, bemærker vi først at knapsack-problemet er defineret på formen (1) med j f x n j 1 p jx j x 1 x n n j 1 w jx c x j 0 1 Det fraktionelle knapsack-problem er defineret på samme j form c 0 med j g x n j 1 p jx j x 1 x n n j 1 w jx x 1 Da f x g x er kriterium (ii) i definition 2 overholdt. Endvidere er S T, hvorfor kriterium (i) også er opfyldt. Det fraktionelle knapsack-problem kan løses i polynomiel tid ved brug af den grådige algoritme, som beskrevet i Cormen m.fl. [7] s Først sorteres genstandene efter aftagende effektivitet p j w j, således at p 1 p w 1 2 p w 2 3 w 3 (9) 17 p n w n

18 hvorpå rygsækken fyldes som følger: Genstandene lægges i rygsækken, indtil man støder på den første genstand b, som der ikke er plads til. Den optimale løsning er da at medtage de første b 1 genstande (dvs. x j 1 for j 1 b 1), mens en brøkdel af genstand b medtages, således at hele kapaciteten udnyttes: c b j 1 1 x w j b w b Ingen af genstandene efter b medtages (dvs. x j 0 for j b 1 n). Dette giver os følgende direkte formel til at bestemme den øvre grænseværdi U 1 KP b 1 j 1 p j p b c b 1 j 1 w j w b (10) tid, hvor den tungeste beregning er sorte- Grænseværdien kan findes i O n log n ringen (9). Den grådige algoritme kan også bruges til at finde en nedre grænseværdi L. Antag, at genstandene er sorteret efter (9) og betragt genstandene i rækkefølgen Hvis der stadig er plads til en given genstand i medtages den i rygsækken, ellers fortsættes med genstand i 1. For knapsack-problemet fra eksempel 1 bemærker vi, at genstandene allerede er sorteret efter aftagende profit-vægt forhold. j p j w j Da rygsækken har kapacitet c 9 fylder vi genstande 1 2 i rygsækken og medtager en fraktionel del af genstand b 3. Beslutningsvariablene bliver x 1 x 2 1, og x Den øvre grænseværdi bliver 3 U 1 2 KP som ifølge sætning 6 kan rundes ned til U 1 KP 16. En nedre grænseværdi findes ved at vælge genstande 1 2 7, der giver værdien L

19 T Eksempel 6 Dense subgraph-problemet Ved at sætte en parentes i objektfunktionen kan problemet k skrives som z max U V U (11) i U j c i j U Lad c i være en øvre grænse på enhver kantvægt-sum, der kan udgå fra knude i. Formelt kan dette defineres som c i max k c i j U V U j U (12) Da kan udtrykket inde i parentesen af (11) begrænses i opadtil ved c (13) j c i j U og vi får følgende øvre grænseværdi for dense subgraph-problemet U 1 DSP max k c i U V U i U (14) For at indse, at der er tale om en relaksering af det originale problem, bemærker vi, at det originale problem havde objektfunktion og løsningsrum S U V U k Det nye problem har objektfunktion og løsningsrum f x i U j U c i j g x i U c i U V U Da S T er kriterium (i) i definition 2 opfyldt. Tilsvarende har vi kriterie (ii) opfyldt, da g x f x for alle x S på grund af (13). Det relakserede problem (14) kan løses i O V 2 tid. Først finder vi for hver knude i V værdien c i givet ved (12). Dette problem består i at vælge de k største kantvægte, som udgår fra knude i. Dette kan gøres i O V tid for hver knude i, jf. Problem 9-1 side 194 i Cormen m.fl. [7]. I det relakserede problem (14) skal vi igen vælge de k største tal blandt tallene c 1 c 2 c n, hvilket kan gøres i O V tid. Samlet får vi køretiden V O V O V. Som eksempel på grænseværdiberegningen kan vi betragte instansen fra eksempel 2: 19 k

20 j i Her har vi n 7 knuder, hvoraf k 3 skal udvælges. Ved at vælge de k største tal i hver række finder vi c 1 24, c 2 25, c 3 20, c 4 18, c 5 18, c 6 24 og c Dermed bliver en øvre grænseværdi U 1 DSP 73. I opgave 9 vises en strammere version af ovenstående grænseværdi. Eksempel 7 Traveling salesman-problemet (minimeringsproblem) Der er gennem tiden foreslået mange grænseværdier for traveling salesman-problemet. En af de kønneste er baseret på 1-træ relaksering. Givet en vægtet graf V E d fremkommer et 1-træ ved at finde et udspændende træ på knuderne 2 3 n og herefter forbinde knude 1 med to vilkårlige kanter. Et minimalt 1-træ findes ved at løse et mindste udspændende træ på knuderne 2 3 n, og herefter udvælge de to billigste kanter, som udgår fra knude 1 (overvej, hvorfor dette er et minimalt 1-træ). For Bornholm-instansen fra eksempel 3 konstrueres et minimalt 1-træ ved at finde et mindste udspændende træ på knuderne De to billigste kanter, som udgår fra knude 1 er 1 2 og 1 7, som tilføjes kantmængden. Samlet har vi følgende 1-træ, som koster 97 enheder:

21 S T Køretiden for at finde et mindste 1-træ domineres af, at vi skal finde et mindste udspændende træ (MST). Dette kan gøres i tiden O E log V med Kruskals algoritme, jf. Cormen m.fl. [7] afsnit 23.2 side 568. Alternativt kan man bruge Prims algoritme, som har køretiden O E V log V, hvis man benytter Fibonacci hobe. Man kan bruge 1-træer til at finde en nedre grænseværdi for traveling salesmanproblemet givet ved L 1 TSP min i j H d i j H E Her et 1-træ (15) For at indse at et minimalt 1-træ er en relaksering, bemærker vi, at det originale problem kan skrives på formen (1) med f x i j H d i j Tilsvarende har vi for problem (15) at g x d i j i j H H E H er en Hamilton-kreds (16) H E H er et 1-træ Da både traveling salesman-problemet og det mindste 1-træ har samme objektfunktion er kriterium (ii) opfyldt. Endvidere har vi, at en Hamilton-kreds også er et 1-træ, hvilket ses ved at fjerne knude 1 og bemærke, at de tilbageværende kanter udgør et træ (faktisk udgør de en vej, der naturligvis også er et træ). Da S T har vi vist kriterium (i). 4.2 Grænseværditest I forrige afsnit definerede vi en grænseværdifunktion som en funktion f, der for ethvert delproblem S i returnerer et reelt tal U, således at f x U for alle x S i. Sagt i ord giver grænseværdifunktionen en garanti for, at man ikke kan finde en løsning i S i, som er bedre end U. Man kan bruge denne viden konstruktivt til at bortskære delproblemer. Hvis man for et delproblem S i ved, at man ikke kan finde en bedre løsning end den nuværende nedre grænseværdi, så er der ingen grund til at undersøge delproblemet nærmere. Lidt mere formelt har vi følgende grænseværditest: 21

22 Sætning 7 Hvis et delproblem S i L har grænseværdi U, således at U S i (17) så kan vi forkaste S i. U Bevis: Grænseværdien sikrer, at f x L for alle x S i. Så ingen løsning x i S i vil have en bedre løsningsværdi end den allerede kendte L. 4.3 Monotonitet af grænseværdier En øvre grænseværdifunktion siges at være monoton, hvis der gælder at U S 1 U S 2, når S 1 S 2. Løst sagt skal grænseværdien blive mindre, når vi maksimerer over et mindre løsningsrum. Dette gælder oplagt for alle relakseringer, hvor S T i definition 2, og det vil også gælde for de fleste fornuftige relakseringer, hvor S T. Hvis en grænseværdifunktion er monoton, vil den øvre grænseværdi aftage efterhånden, som vi bevæger os ned i søgetræet af delproblemer. Dette hænger sammen med den trivielle observation, at vi hver gang opdeler problemet i mindre delproblemer, således at ovenstående kriterium er opfyldt for en knude og dens underliggende knude. 5 Branch-and-bound Vi er nu i stand til at skitsere en generisk branch-and-bound algoritme for et maksimeringsproblem på formen z max f x x S (18) I den nedenstående algoritme angiver L en liste af delproblemer S i givet ved de tilhørende løsningsrum. Listen L vil ofte være organiseret som en prioritetskø. Vi kalder delproblemerne i L for åbne delproblemer, mens delproblemer, der allerede er blevet behandlet, kaldes lukkede delproblemer. Endvidere vedligeholder vi en global nedre grænseværdi L samt den tilhørende løsning x. 22

23 1 L : ; L : S 2 while L /0 3 vælg et delproblem S i fra L 4 L : L S i 5 if S i /0 then 6 find en øvre grænseværdi U S i 7 if U S i L then 8 find en lovlig løsning x S i 9 if f x L then L : f x ; x : x 10 opdel S i i delproblemer S 1 i S k i 11 tilføj delproblemerne til L, dvs. sæt L : L 12 endif 13 endif 14 endwhile S 1 i S k i En branch-and-bound algoritme for et maksimeringsproblem vil derfor bestå af følgende fire komponenter: 1. En øvre grænseværdifunktion, der for et givet delproblem returnerer en øvre grænse på værdien af den bedste løsning, som vi kan finde i delrummet. 2. En nedre grænseværdi, som på ethvert tidspunkt angiver den hidtil bedst kendte løsning. 3. En søgestrategi, som fastlægger en rækkefølge for behandlingen af delproblemer. 4. En forgreningsregel, som for alle delproblemer, der ikke kan forkastes af grænseværditesten, angiver, hvorledes det tilhørende løsningsrum skal opdeles. Dermed skabes to eller flere nye delproblemer. 5.1 Øvre grænseværdifunktion En god grænseværdifunktion er afgørende for, at en branch-and-bound algoritme bliver vellykket. Jo strammere grænseværdier vi kan få, des mindre bliver søgetræet. Som beskrevet i afsnit 4 findes grænseværdier ved relaksering af optimeringsproblemet. Der findes en række standardteknikker, som kan benyttes i 23

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2004) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2004) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2004) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign 28 Algoritmedesign. Algoritmeskabelon for Del og Hersk. Eksempler på Del og Hersk algoritmer. Binær søgning i et ordnet array. Sortering ved fletning og Quicksort. Maksimal delsums problem. Tætteste par

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2012

Rolf Fagerberg. Forår 2012 Forår 2012 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM502 og DM503 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM502 og DM503 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Jens Kristian Jensen, David Pisinger og Martin Zachariasen 13. april 2003 1 Formalia Dette er den anden af to godkendelsesopgaver på kurset

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer

Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for nudeoverdæning Approximations-algoritme for TSP med treantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme for SET-OVERING Fuldt polynomiel-tids

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Algorithms & Architectures I 2. lektion

Algorithms & Architectures I 2. lektion Algorithms & Architectures I 2. lektion Design-teknikker: Divide-and-conquer Rekursive algoritmer (Recurrences) Dynamisk programmering Greedy algorithms Backtracking Dagens lektion Case eksempel: Triple

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

Søgning og Sortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Philip Bille Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Logistik og optimering

Logistik og optimering Logistik og optimering JENS LYSGAARD Professor Institut for Økonomi Aarhus Universitet Forskningscentret CORAL v. Institut for Økonomi Logistik og optimering CORAL: Cluster for Operations Research And

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software Engineering BA i Matematik-Økonomi BA i Anvendt Matematik BA

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2014

Rolf Fagerberg. Forår 2014 Forår 2014 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: Format: Programmering og Diskret matematik I (forelæsninger), TE (øvelser), S (arbejde selv og i studiegrupper) Eksamenform: Skriftlig

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Tirsdag 18. december David Pisinger

Tirsdag 18. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 00-08 Tirsdag 8. december David Pisinger Approximations-algoritmer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP trekantsulighed)

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1998/99 Opgavesættet består af 5 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 16% Opgave 2 12% Opgave 3 10% Opgave

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Brugervejledning om søgning, der blev idriftsat sommer 2009

Brugervejledning om søgning, der blev idriftsat sommer 2009 Brugervejledning om søgning, der blev idriftsat sommer 2009 Søgeord s.2 Varighed s.2 Søg i s.3 Søg efter s.4 Søg på vilkårlige begyndelser s.4 Søg på vilkårlige endelser s.5 Søg efter alle ord s.5 Søg

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4 Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 12, 2010

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 12, 2010 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 12, 2010 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis and design of algorithms

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening M iljøpr ojekt nr. 449 1999 Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening Lektor, cand.scient., lic.tech. Helle Holst IMM, Institut for Matematisk Modellering DTU, Danmarks

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere