Bogstavregning. Formler Reduktion Ligninger Bogstavregning Side 45

Transkript

1 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side

2 I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes noget skal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer. Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligt regnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også. Beregn: R = S + 7 når S = Beregn: F = (, g 1) når g = 9 og h = 6 : h R = S+ 7 = + 7 = = F = (, g 1) : h = (, 9 1) = (, 1) : 6 : 6 = 10, : 6 = 1,7 I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte. Beregn: n M = n + 8 når n = 11 Beregn: Z = y når = og y = n M = n = = + 8 = 9 Z = y = = 9 = 6 = 1 Bogstavregning Side 6

3 Reduktion Reduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler) på en kortere måde. Man regner med bogstaver. a a + a + y + y Bogstavet a symboliserer et tal. Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal. Når a står alene, er det det samme som1 a a a+ a = a eller blot a Man kan regne er sammen, man kan regne y er sammen, og man kan regne tal sammen. + y + y = + + y y = + y 7 Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at: - eksemplet til venstre svarer til at sige: agurker - agurker + 1 agurk = agurker - eksemplet til højre til: æbler + pærer + 1 æble pærer = æbler + pærer 7 Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på. a 6a : + a + a 6a : + a = 8a a+ a = 6a Læg mærke til at 6a : bliver til a. Det svarer til det halve af 6a + = + = + Man kan ikke regne er og er sammen Prøv at udskifte a med i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt). 6 : + = 9 + = 18. Det er det samme som 6 a, altså 6. Prøv også at udskifte a med i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt). 6 : + = = 0. Det er stadig det samme som 6 a, altså 6. Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid 6 tallet. Det er ideen i bogstavreduktion. Bogstavregning Side 7

4 De sidste eksempler med reduktion er nok lidt svære: a + ( a) + b (b + a) + 6a ( + a) + (8a 6) : a+ ( a) + = a+ - a+ = a- a+ + = a+ 7 b (b + a) + 6a = b b+ a+ 6a = a+ b+ ( + a) + (8a 6) + a+ 8a a+ a = 1a+ 17 : : = 6 : = Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes. Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen. Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet. Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet. Ligninger En ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav. Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe. 1 = + Du må gerne gætte eller prøve dig frem. + = 0 Du må gerne gætte eller prøve dig frem. Du kan sikkert straks se, at må være 7. Man skriver = 7 Det kaldes at gætte en løsning. Du kan måske se, at må være 6. Man skriver = 6 For at være sikker kan man regne efter: 6 + = = 0 0 = 0 Bogstavregning Side 8

5 Man må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men når ligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende. Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler. Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at bladre videre til de næste sider. 6 = 1 Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder: Hvilket tal har den egenskab, at gange tallet minus 6 giver 1? Tænk også på som et tal der er pakket ind i nogle beregninger. Vi skal pakke ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved. Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over. 6 = 1 Når 6 er lig med 1, kan man lægge 6 til på begge sider af lighedstegnet = Der kommer til at stå noget andet på begge sider, = men lighedstegnet gælder stadig. Man lægger 6 til for at ophæve 6. = 1 = = 1 1 =, Der kommer til at stå i stedet for 6, og er blevet pakket delvist ud. Bagefter dividerer man med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at der står foran. Til sidst er pakket helt ud, og man kan regne ud, at er,. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 6 = 1 = = 1 = 1 =, Ligningen ovenfor kan også løses på en anden og lidt uautoriseret måde. Man spørger jo: Hvilket tal har den egenskab, at gange tallet minus 6 giver 1? Det kan vises på en tegning på denne måde. Hvis man kendte værdien af, kunne man regne sig frem til tallet 1 ved at gå fra venstre mod højre på tegningen. Når man kender tallet 1, kan man regne sig tilbage til, ved at gå fra højre mod venstre. Man får først = 1, og derefter 1 : =, Metoden er rigtig smart og let at forstå, og den kan bruges mange gange men desværre i alle ligninger. 6 = 1 : Bogstavregning Side 9

6 Når man løser ligninger, må man: - lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. - trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. - gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. - dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. 7 = 9 7 = = = = 16 Man lægger 7 til på begge sider af lighedstegnet for at ophæve 7. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 7 = 9 = = 16 Når man lægger det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et minus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et plus-tal. 7 = = + 19 Man trækker 19 fra på begge sider af lighedstegnet 7 19 = for at ophæve = Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. 18 = = 18 7 = = 18 = Den sidste ændring, hvor flyttes over på venstre side, er kun til pynt. = 18 Når man trækker det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et plus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et minus-tal. Bogstavregning Side 0

7 1 = 1 = 1 = 1 = 6 = Man ganger med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve at bliver divideret med. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. Den sidste ændring, hvor flyttes over på venstre side, er kun til pynt. 1 = 1 = 6 = = 6 = 6 Når man ganger med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et divisions-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et gange-tal. = = = = = 8 Man dividerer med på begge sider af lighedstegnet for at ophæve, at bliver ganget med. Når man løser en ligning af denne type, nøjes man ofte med at skrive som vist til højre. = = = 8 Når man dividerer med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man flytter et gange-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et divisions-tal. Bogstavregning Side 1

8 Her kommer et par eksempler, som er drilske, selv om de ser lette ud: 1 = 9-1 = = 9 = 9 1 = 1 1 = 1 = 1 = = 1 = Man kan ikke ende med at have til at stå alene bag et minus, bag et divisionstegn eller under en brøkstreg. Derfor laver man disse tricks : - til venstre fjerner man ved at lægge til på begge sider af lighedstegnet. - til højre fjerner man fra pladsen under brøkstregen ved at gange med på begge sider af lighedstegnet. Her kommer nogle mere indviklede eksempler: 7 = 7 = = + 7 = 0 = 0 = 10 Først lægger man 7 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om 7 flyttes over på den anden side og ændres til +7). Derefter dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). Man kunne måske finde på først at dividere med i eksemplet ovenfor, men hvis man gør det, skal man dividere hele venstre side, både og 7, med, og så er man lige vidt. Tænk på reglen om, at man ved almindelig udregning skal gange før man trækker fra (gange og division før plus og minus). Når man løser ligninger, skal man arbejde baglæns (plus og minus før gange og division). Bogstavregning Side

9 11 = 7 11 = 7 11 = 7 11 = 8 = = 9 = 9 = 7,8 Først ganger man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om : flyttes over på den anden side og ændres til ). Derefter lægger man 11 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om 11 flyttes over på den anden side og ændres til +11). Til sidst dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). Her arbejder man også baglæns af de almindelige udregningsregler. Skulle venstre side udregnes alene, ville man først gange med, derefter trække 11 fra og til sidst dividere med. Her starter man med at gange med, så lægger man 11 til, og til sidst dividerer man med. 6 6 = = = = 1+ 6 = 7 = 7 =, Først lægger man 6 til på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om 6 flyttes over på den anden side og ændres til +6). Derefter trækker man fra på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til ). Derefter regner man sammen på begge sider af lighedstegnet. Til sidst dividerer man med på begge sider af lighedstegnet. (Det ser ud som om flyttes over på den anden side og ændres til :. Der er et usynligt gangetegn, og brøkstregen betyder divisionstegn). Det er altid en god ide, at kontrollere sine beregninger. I eksemplet ovenfor får man: 6, 6 =, = = 1 Bogstavregning Side

10 Til sidst kommer et par eksempler, hvor der indgår potenser og rødder: = 9 = = 9 = = ± = ± 7 9 = = 16 I eksemplet til venstre tager man kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. Tænk på at må være. I eksemplet til højre sætter man begge sider af lighedstegnet i anden potens. Tænk på at ( ) må være. Potenserne og rødderne kan også være "pakket ind" som vist herunder: = 11 = 8 = 11 = 8 = = 0, = ± 11 = ±, 0, Man skal først have eller = 8 + = 11 = 11 = 11 til at stå alene. Derefter gør man som i de øverste eksempler. Bogstavregning Side