Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte"

Transkript

1 Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

2 Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og sinus. Man finder sinus og cosinus til en vinkel ved at tegne vinklen midt i et koordinat-system som vist her. 60º - Man skal også tegne en cirkel med radius en (r ) og med centrum midt i koordinat-systemet. Cirklen kaldes en enheds-cirkel. - Cosinus til en vinkel er første-koordinaten til skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og enheds-cirklen. Sinus til en vinkel er anden-koordinaten til skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og enheds-cirklen. Her vil vi kun arbejde med vinkler mellem 0º og 90º. Cosinus og sinus vil være mellem 0 og. Altså i intervallet [0;]. I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). På regnemaskinen finder man cos(60º) ved at trykke cos 60. Man får præcis 0,5. Man finder sin(60º) ved at trykke sin 60. Man får et decimaltal, som starter med 0,886. På nogle regnemaskiner skal man taste i modsat rækkefølge. F 60 sin. (cos(60º), sin(60º)) Hvis man kender cosinus eller sinus til en vinkel, kan man finde vinklen ved at trykke Inv cos eller Inv sin. På mange regnemaskiner skal man taste nd i stedet for Inv. Sinus og cosinus kaldes trigonometriske funktioner. sin(60º) 60º cos(60º) Eksempler på opgaver Find cosinus til 5º Hvilken vinkel har sinus-værdien 0,9? På regnemaskinen trykkes cos 5. Man får cos(5º) 0,89 På regnemaskinen trykkes Inv sin 0,9. Man får 70º. Side

3 Trigonometri Vi skal især arbejde med vinkler i retvinklede trekanter. B Ved siden af er tegnet en retvinklet trekant ABC, hvor c (hypotenusen) har længden en. Nedenfor er trekanten placeret i en enhedscirkel. Hypotenusen er radius i cirklen. Trekantens to andre sider a og b (kateterne) har længderne sin( A) og cos( A). A c b a C Herunder er tegnet to andre trekanter med de samme vinkler som trekant ABC. Trekanterne har præcis samme form som ABC, men den ene er formindsket og den anden forstørret. Man siger, at de tre trekanter er ligedannede. c b cos( A) a sin( A) Siderne i den lille trekant er halvt så lange som i ABC. Siderne i den store trekant er tre gange så lange sider som i ABC. sin( A) 0,5 0,5 sin( A) 0,5 cos( A) cos( A) Man kan finde kateterne i retvinklede trekanter med disse formler: Længden af en katete længden af hypotenusen cosinus til den hosliggende vinkel Længden af en katete længden af hypotenusen sinus til den modstående vinkel Hosliggende vinkel Hypotenuse Katete Modstående vinkel Modstående vinkel Hypotenuse Hosliggende vinkel Katete Formlerne gælder for begge kateter, men det er svært at huske, hvilken vinkel der er hosliggende, og hvilken vinkel der er modstående. Tænk dig godt om! Side

4 Trigonometri B I en retvinklet trekant ABC er hypotenusen 5 cm og B er 5º. Hvor stor er A? Hvor lange er kateterne? c 5 cm 5º a Vinkelsummen i en trekant er 80º, og den rette vinkel C er 90º. Derfor får man: A 80º 90º 5º 7º A b C Længden af kateterne kan findes med en af formlerne på forrige side. c er hypotenusen. A er modstående til kateten a. B er modstående til kateten b. Man får: a c sinus til den modstående vinkel c sin( A) 5 sin(7º),009 cm. b c sinus til den modstående vinkel c sin( B) 5 sin(5º),99 cm. Man kan også bruge formlen med cosinus til den hosliggende vinkel. Prøv selv! Skrå side Tegningen viser en gavl på et hus. Husets bredde er 8 m, muren er,5 m høj, og tagets hældning er 0º. Hvor lang er gavlens skrå side? Hvor højt er huset? 0º 8 m,5 m Husets højde Den øverste del af gavlen kan opdeles i to retvinklede trekanter. Den skrå side er hypotenusen c. c A er hosliggende til kateten b. Man får: b c cosinus til den hosliggende vinkel b c cos( A) c cos(0º) Ved ligningsløsning fås: c,6 m cos(0 ) For at finde huset højde skal man først finde kateten a, som er tagets højde. Man får: a c sinus til den modstående vinkel c sin( A),6 sin(0º), m Husets højde bliver murens højde + tagets højde:,5 m +, m,8 m. A 0º b m B a C Side

5 Trigonometri Man kan finde de ikke-rette vinkler i retvinklede trekanter med disse formler: Cosinus til en vinkel Den hosliggende katete Hypotenusen Sinus til en vinkel Den modstående katete Hypotenusen Hypotenuse Modstående katete Vinkel Hosliggende katete Vinkel Hypotenuse Hosliggende katete Modstående katete Formlerne gælder for begge de ikke-rette vinkler, men det er svært at huske, hvilken katete der er hosliggende, og hvilken katete der er modstående. Tænk dig godt om! I en retvinklet trekant ABC er hypotenusen 8,5 cm, og kateten a er cm. c 8,5 cm B a cm Hvor stor er A? Hvor lang er kateten b? A b C Kateten a er modstående til A. Man får først: Den modstående katete a sin( A) 0,7 Hypotenusen c 8,5 Derefter tastes: Inv sin 0,7, og man får A 8º Men man kan også få resultatet i en beregning ved at taste: Inv sin ( 8,5 ). Man kan finde kateten b på flere måder. Man kan f bruge, at A er hosliggende til b. Man får: b c cosinus til den hosliggende vinkel c cos( A) 8,5 cos( 8º) 7,5 cm Man kan også bruge Pythagoras formel for sidelængderne i en retvinklet trekant: a + b c. Prøv selv! Side 5 5

6 Trigonometri Tangens Du skal lære endnu en trigonometrisk funktion at kende. Det er tangens. Man kan finde tangens til en vinkel ved at tegne en lodret linje gennem punktet (,0). Tangens er anden-koordinaten til det sted, hvor vinklens venstre ben skærer denne linje. Tegningen viser tangens til 0º. Man skriver blot tan(0º). På regnemaskinen finder man tan(0º) ved at trykke tan 0. Man får et decimaltal, der starten med 0,89. Man kan se, at tan(0º) 0. Når vinklen vokser bliver tangens større, og der er ingen øvre grænse. Man kan ikke finde tan(90º), da vinklens venstre ben går lodret op og aldrig skærer linjen. Når vinklen bliver større end 90º, bliver tangens negativ. Men her vil vi kun kikke på tangens til vinkler mellem 0º og 90º. 0º, tan(0º)) tan(0º) Eksempler på opgaver Find tangens til 60º Hvilken vinkel har tangens-værdien? På regnemaskinen tastes tan 60. Man får tan(60º),7 På regnemaskinen tastes Inv tan. Man får 5º. Til højre er tegnet en retvinklet trekant ABC, hvor kateten b har længden en. Nederst til højre er trekanten placeret i en enhedscirkel. Siden a må have længden tan( A). c B a Nedenfor er tegnet to trekanter, som er ligedannede med trekant ABC. I den ene er siderne halvt så lange. I den anden er tre gange så lange. A b C 0,5 tan( A) 0,5 tan( A) c a tan( A) b Side 6 6

7 Trigonometri Man kan finde længden af en katete i en retvinklet trekant med denne formel: Længden af en katete længden af den anden katete tangens til den modstående vinkel Modstående vinkel Katete Den anden katete Modstående vinkel Den anden katete Katete Formlerne gælder for begge kateter, men tænk dig godt om, når du bruger dem! Tegningen viser en stige, der står op ad en mur. Stigen står,0 m fra muren, og vinklen er 75º. Hvor højt når stigen op på muren? Hvor lang er stigen? c B a Stigen, jorden og muren danner en retvinklet trekant. A er modstående til kateten a. Man kan beregne, hvor langt stigen når op, således: a b tan( A) a,0 tan(75 ),8 m 75º,0 m A 75º C b,0 Stigens længde kan findes således: a c sin( A),8 c sin(75 ) Ved ligningsløsning fås: c,8,6 m sin(75 ) Man kan også finde stigens længde med en af de andre formler med cosinus og sinus eller ved at bruge Pythagoras formel for sidelængderne i en retvinklet trekant: a + b c. Prøv selv! Side 7 7

8 Trigonometri Man kan finde de ikke-rette vinkler i en retvinklet trekant med denne formel: Den modstående katete Tangens til en vinkel Den hosliggende katete Vinkel Hosliggende katete Modstående katete Modstående katete Vinkel Hosliggende katete Formlerne gælder for begge ikke-rette vinkler, men tænk dig godt om, når du bruger dem! B I en retvinklet trekant ABC er kateten b 8,5 cm og kateten a 5, cm. c a 5, cm Hvor stor er A? Hvor lang er hypotenusen? A b 8,5 cm C Den modstående katete a 5, Man får først: tan( A) 0, 6 Den hosliggende katete b 8,5 Derefter tastes Inv sin 0,6, og man får A º Man kan også på en gang taste Inv tan ( 5, 8,5 ). Hypotenusen c kan findes på flere måder. Man kan f gøre således: b c cos( A) 8,5 c cos( ) Ved ligningsløsning fås: c 8,5 0,0 cm cos( ) I starten af dette afsnit blev tangens beskrevet som anden-koordinaten til et punkt som vist på tegningen. sin(v) Den helt rigtige definition er tan(v). cos(v) De to metoder giver det samme resultat, men den geometriske beskrivelse er lettere at bruge, når man arbejder med retvinklede trekanter. - - v (, tan(v)) Side 8 8

9 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet op efter størrelse. Medianen angiver grænsen mellem den største og den mindste halvdel af tallene. Eksempler på opgaver På en arbejdsplads er der syv ansatte. De får disse lønninger (kr./time): 98, 08, 9,, 9, 56 og 75. Hvad er median-lønnen? På en arbejdsplads er der seks ansatte. De får disse lønninger (kr./time): 0, 7, 8,, og 5. Hvad er median-lønnen? Når der er et ulige antal lønninger, er medianen det midterste tal. Når der er et lige antal lønninger, er medianen midt imellem de to midterste tal Median-lønnen bliver derfor kr./time Tallet midt imellem 8 og er 0. Median-lønnen bliver derfor 0 kr./time. 8 + Tallet kan evt. beregnes: 0 I eksemplerne ovenfor er medianen løn-grænsen mellem den dårligst lønnede halvdel og den bedst lønnede halvdel af de ansatte. Kvartil betyder en kvart (en fjerdedel) eller 5%. Man taler om. kvartil,. kvartil og. kvartil.. kvartil er det midterste af de tal, som ligger under medianen.. kvartil er det midterste af de tal, som ligger over medianen.. kvartil er det samme som medianen. Ved en fartkontrol måler politiet disse hastigheder (km/time) på biler: 98, 80, 79, 8, 9, 85, 8, 78, 87, 05 og 78. Hvad er median-hastigheden for bilerne? Hvad er. kvartil og. kvartil? Tallene skrives først op efter størrelse: Medianen findes som det midterste tal: 8 km/time Side 9

10 . kvartil findes på samme måde som medianen, men man kikker kun på de tal, som er under medianen.. kvartil findes på samme måde som medianen, men man kikker kun på de tal, som er over medianen Man får, at. kvartil er 79 km/time, og. kvartil er 9 km/time På et basketball-hold er der otte spillere. Deres højde (cm) er: 05, 9, 88, 98, 0, 79, 07 og 0. Hvad er median-højden for spillerne? Hvad er. kvartil og. kvartil? Tallene skrives op efter størrelse, og median og kvartiler findes som midtpunkter som vist: , Man får:. kvartil er 90 cm. Medianen er 99,5 cm.. kvartil er 06 cm Median og kvartiler kan defineres på flere måder Ovenfor er median og kvartiler defineret som de midterste tal. Der findes også en anden definition af median og kvartiler, som du kan støde ind i nogle steder: - Medianen er det største tal, som tilhører den mindste halvdel (50%) af tallene. -. kvartil er det største tal, som tilhører den mindste fjerdedel (5%) af tallene. -. kvartil er det største tal, som tilhører de mindste tre fjerdedele (75%) af tallene. Hvis man bruger denne definition på basketball-spillerne i eksemplet ovenfor, får man, at. kvartil er 88 cm, medianen er 98 cm og. kvartil er 05 cm. Tænk selv over hvorfor! I eksemplerne i dette hæfte indgår der kun ganske få tal (lønningerne for syv ansatte, højden på otte basketball-spillere osv.). Ellers ville det være uoverskueligt at regne på tallene. Men så kan de to definitioner desværre give forskellige resultater. I praksis (uden for matematik-bøger) bruger man næsten kun median og kvartiler, når man beskriver meget store mængder af tal. F lønningerne for alle lærere i Danmark eller højden på alle piger, der har en bestemt alder. Når tal-mængderne er så store, har det ingen praktisk betydning, hvilken definition, man bruger. Side 0

11 Man kan let tro, at median og middelværdi er det samme tal, men det er sjældent tilfældet. Eksempler på opgaver På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 0, 0, 50, 60 og 70. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 00, 0, 50, 60 og 70. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? På en arbejdsplads er der fem ansatte, som får disse lønninger (kr./time): 0, 0, 50, 60 og 00. Hvad er median-lønnen? Hvad er middelværdien? Median-lønnen er 50 kr. i alle tre opgaver. Det er det midterste tal, når tallene står efter størrelse. Middelværdien er forskellig i de tre opgaver. Man får: kr kr kr Forestil dig, at det er de samme fem personer, som opgaverne handler om. Hvis lønnen falder for en af de lavest lønnede, eller lønnen stiger for en af de højst lønnede, påvirker det ikke medianen, men det påvirker naturligvis middelværdien. Man kan vise medianen og kvartilerne sammen med mindste- og største-værdi i et boksplot. Tabellen viser resultatet af en undersøgelse af prisen på en liter letmælk i en række butikker. Lav et boksplot ud fra tallene. Mindsteværdværdi Største-. kvartil Median. kvartil,95 kr. 5,75 kr. 7,0 kr. 8, 5 kr. 9,95 kr. Man laver et boksplot i et koordinatsystem som vist. Mindste-værdi. kvartil median. kvartil Største-værdi Man markerer først medianen og de to kvartiler og tegner en boks. Derefter markerer man mindste-værdi og største-værdi, og tegner to linje-stykker. Alle boksplottets fire vandrette dele svarer til 5% af mælkepriserne Side

12 Boksplottet viser højdefordelingen i cm for en gruppe mænd. Aflæs mindste-værdi, største-værdi, median og kvartiler. Fortæl lidt om, hvad disse tal viser om mændenes højde Mindste-værdien er 58 cm. Største-værdien er cm. Median-højden er 8 cm.. kvartil er 75 cm, og. kvartil er 87 cm. Tallene viser (f), at den midterste halvdel af mændenes højder ligger inden for et lille interval på cm, mens alle mændenes højder er fordelt på et stort interval på 58 5 cm. Hvis man kender frekvens-tallene for en grupperet fordeling, kan man finde median og kvartiler ved først at beregne de summerede frekvenser og derefter tegne en sumkurve. Det er lidt kompliceret, men jeg vil prøve at vise det i det næste eksempel. Tabellen viser frekvens-fordelingen for højden på en gruppe kvinder. Lav en tabel med summerede frekvenser. Lav et histogram. Lav en sumkurve. Find median og kvartiler vha. sumkurven. Tabellen kommer til at se ud som vist til højre. De summerede frekvenser findes ved at lægge frekvenser sammen. F er den summerede frekvens for intervallet [60 ; 70[ på 58%. Tallet er fundet som % + 8% + 7%. Den summerede frekvens for [60 ; 70[ er altså frekvensen af alle dem, som har en højde på op til lige under 70 cm. Det betyder; at 58% af kvinderne er under 70 cm. Højde i cm Frekvens [0 ; 50[ % [50 ; 60[ 8% [60 ; 70[ 7% [70 ; 80[ 8% [80 ; 90[ % [90 ; 00[ % Ialt 00% Højde i cm Frekvens Sum. frekv. [0 ; 50[ % % [50 ; 60[ 8% % [60 ; 70[ 7% 58% [70 ; 80[ 8% 86% [80 ; 90[ % 98% [90 ; 00[ % 00% Ialt 00% Side 5

13 På det øverste diagram er der både tegnet et histogram og en sumkurve. Man kan sagtens lave en sumkurve uden at tegne et histogram, men det giver et fint billede, når man tegner dem sammen. Sumkurven viser de summerede frekvenser fra tabellen. Man starter med at afsætte punktet (Første intervals start-punkt, 0). Altså (0, 0). Derefter afsætter man punkter af typen (Interval-endepunkt, summeret frekvens). Altså (50, ), (60, ) osv. Man kan se at sumkurven er mest stejl i de intervaller, hvor histogrammet er højt, og der derfor er mange personer. Kurven viser, hvor mange af pigerne, der er op til en bestemt højde. F kan man se, at ca. 7% er op til 75 cm På det nederste diagram er histogrammet fjernet for ikke at få for mange streger med. I stedet er der lavet vandrette markeringer ud for 5%, 50% og 75%. Vha. disse markeringer kan man aflæse, at:. kvartil er ca. 6 cm median-højden er ca. 68 cm. kvartil er ca. 76 cm Brugen af sumkurver forudsætter, at fordelingen inden for de enkelte intervaller er nogenlunde jævn. F at de 7% af kvinderne, som er i intervallet [60 ; 70[, er nogenlunde jævnt fordelt på højderne imellem 60 cm og 70 cm Side 6

14 Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y y y 0,5 - y a og b a og b a 0,5 og b a og b Bemærk: Hvis b bliver b usynlig. Man skriver f sjældent Tallet a (potens-tallet) kaldes for eksponenten. y men kun y. Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne f() 0,5 og g(). Tabellen kan se således ud: g() g() ,5 0 0,5,5 8,5 8,5 0, Graferne ser ud som vist til højre. Da nogle af y-værdierne er ret store, er hele tabellen ikke vist på graferne. Man kan se på både tabellen og graferne: - at begge grafer starter i (0,0) - at begge grafer vokser hurtigere og hurtigere - at vokser hurtigst og hele tiden ligger over 0,5. Når a (eksponenten) er større end en (a > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større b (tallet man ganger med) er, jo mere vokser funktionen g() f() 0,5 Side

15 Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne Tabellen kan se således ud: f() og g() f() g() 0, Husk at man kan finder potenser ved at trykke ^ på regnemaskinen. Eller evt. y. Graferne ser ud som vist til højre. Da nogle af y-værdierne er meget store, er hele tabellen ikke vist på graferne. Man kan se på både tabellen og graferne: - at begge grafer starter i (0,0) - at begge grafer vokser hurtigere og hurtigere - at vokser hurtigere end. Når a (eksponenten) er større end en (a > ), gælder der: Funktionen vokser hurtigere og hurtigere. Jo større a er, jo hurtigere vokser funktionen g() Hvis man forstørrer den nederste venstre del af graferne op, ser de således ud: 0 0 f() 0 f() g() 0 Man kan se, at g() er mindre end f() i intervallet mellem 0 og. Tænk selv over hvorfor. Du kan evt. lave en tabel med mange små -værdier mellem 0 og Side 5

16 Rumfanget af en kugle kan beregnes med formlen V π r. V er rumfanget og r er radius. Vis at rumfanget er en potensfunktion af radius. Lav en tabel og en graf for funktionen. Hvad skal radius være, hvis kuglens rumfang skal være liter (.000 cm )? Formlen Altså: V,8879 r svarende til V π r svarer til en potensfunktion, hvor b π, y,8879 og a. Tabellen kan se således ud. Tallene er afrundede. r (cm) V (cm ) 0,9,5, 68, 5,6 90,8 7 5 Grafen ser ud som vist til højre. Man kan finde den radius, der giver et rumfang på.000 cm på flere måder. - Man kan aflæse på grafen, hvis man laver en pæn graf på mm-papir. - Hvis man tegner grafen vha. et computer-program, har programmet måske en aflæse-funktion. - Man kan prøve sig frem (simulering). Man kan se ud fra tabellen, at den rigtige radius må være mellem 6 cm og 7 cm og sikkert nærmest på 6 cm. - Man kan få det helt præcise svar ved at løse ligningen.000,8879 r Man får:,8879 r.000 r, r, ,7.. 6, cm V,8879 r Side 6

17 Hvad betyder eksponenten? Det lille tal kaldes eksponenten. Men hvad betyder de forskellige slags eksponenter? Eksponent Eksponenten er et helt tal og større end nul: betyder Bemærk:, betyder, betyder betyder. Men man skriver næsten aldrig Eksponenten er en brøk eller et decimal-tal: Du skal huske, at 0,5 betyder, osv.. 0,... betyder osv. Men det er meget svært at forklare, hvad potenser, der ikke er hele tal (f Du kan roligt trykke på ^ (eller evt. y ) uden at tænke over betydningen.,7 ), generelt betyder. Eksponenten er negativ: - betyder, - betyder, - betyder, -,5 betyder,5 osv. Lav for 0 tabeller og grafer for potensfunktionerne Tabellen kan se således ud. De fleste tal er afrundede. 0,5 f() og,5 g() 0, ,5 f() 0,,7,,5,65,8,6,5 g() 0,5 0 0,5,9,97,8,7,70 5,69 6,7 7,79 8,89 Graferne ser således ud.,5 Grafen for g() 0,5 buer kun ganske svagt opad. Grafen ligner næsten en ret linje, men den vokser faktisk mere og mere. 0,5 Grafen for f() buer den anden vej. Funktionsværdien vokser mindre og mindre. Men den kan vokse i det uendelige. Husk på at 0,5, og når er et stort tal, bliver også stor g() 0,5,5 0,5 f() Side 5 7

18 Lav tabel og graf for potensfunktionerne - f(). - Husk at betyder eller blot. - På regnemaskinen finder man f 5 ved at trykke 5 ^ (-). 0 kan ikke bruges som -værdi, men vi tager nogle små decimaltal med i tabellen. Tabellen kan se således. De fleste tal er afrundede. f() 0,5 0,5 0,75, ,556 0,889 0,5 0, 0,5 0,08 0,0 0,0 Grafen ser ud som vist til højre. Når vokser bliver f() mindre, men f() kan aldrig blive 0. Alle grafer for potensfunktioner med negativ eksponent vil ligne grafen til højre. Jo mere negativ eksponenten er, jo hurtigere falder funktionsværdien. Tænk på at omvendt proportionale funktioner også er potensfunktioner. y kan jo f skrives som y. Grafen til højre ligner også graferne for omvendt proportionale funktioner, men grafen er ikke symmetrisk på samme måde som en rigtig hyperbel Eksemplerne i dette afsnit viser, at potensfunktioner og deres grafer er meget forskellige. Der findes regler for, hvorledes grafernes form afhænger af eksponenten a, men de er indviklede. Du kan evt. læse mere andre steder. I eksemplerne med positiv eksponent blev der brugt både nul og positive tal som -værdier. I eksemplet på denne side kunne man ikke bruge nul som -værdi, fordi eksponenten er negativ. Men hvis eksponenten er et helt positivt tal (f y 0, eller y 7 ), kan man sagtens sætte negative tal ind som -værdier. Side 6 8

19 Lav tabel og graf for funktionen f(). Vi tager både negative og positive -værdier med. Vi får: f() Grafen ser ud som vist til højre. Den er symmetrisk og kaldes en parabel. (0,0) er toppunkt, og y-aksen er symmetriakse. Herunder er tegnet graferne for disse to funktioner: g() 0,5,5 h() + Funktionere er ikke rigtige potensfunktioner pga. forskrifternes form, men begge grafer er symmetriske buer ligesom grafen for y Alle funktioner, der kan skrives på formen y a + b + c, hvor a 0, har den slags symmetriske grafer g() 0,5 h(), Funktioner på formen y a + b + c, hvor a 0, kaldes andengrads-funktioner eller andengrads-polynomier. Graferne kaldes parabler. Hvis a > 0 vender parablen benene opad. Hvis a < 0 vender parablen benene nedad. Hvis (og kun hvis) b 0 og c 0, er funktionen også en potensfunktion. F y Men man bruger bogstaverne a og b forskelligt. Potensfunktionen med eksponenten skrives normalt y b Andengrads-funktionen skrives y a y Side 7 9

20 To lineære ligninger med to ubekendte Ligningen + y har to ubekendte: og y. Ligningens løsninger er de talpar (, y), som får lighedstegnet til at passe. F er (, 6) en løsning. Hvis man sætter og y 6 ind, så passer lighedstegnet. Man får nemlig: + y Men ligningen har mange andre løsninger. Kontroller selv at (0, ) og (, 8) f også er løsninger. Omskriv ligningen + y til en forskrift for en lineær funktion. Tegn også grafen for funktionen og beskriv løsningerne til ligningen Ved at bruge metoderne fra ligningsløsning kan ligningen omskrives til en funktionsforskrift: + y + y + + y + Ligningen betyder altså det samme som forskriften for den lineære funktion y +. Ud fra funktionsforskriften kan man lave en tabel: y Alle talpar i tabellen er løsning til ligningen. Ud fra tabellen kan man tegne grafen til højre. Alle punkter på linjen svarer til et talpar, som er løsning, så der er faktisk uendelig mange løsninger!! Ligninger med to ubekendte, der kan omskrives til en lineær funktion, kaldes lineære ligninger. Side 0

21 Hvis man har to lineære ligninger med to ubekendte, kan man: - omskrive hver ligning til en lineær funktion - tegne graferne for funktionerne i et koordinatsystem - aflæse linjernes skæringspunkt Skæringspunktet er løsning til begge ligninger To ligninger med to ubekendte kaldes ofte et ligningssystem. Find løsningen til ligningssystemet y 6 og + y De to ligninger omskrives hver for sig til lineære funktioner. Man får: y 6 + y y y 6 y 6 y + y y + y + y 0,5 + Der laves en tabel for begge funktioner. Man får f: y y 0,5 + 0 Ud fra tabellen kan man tegne graferne til højre. Ud fra både tabel og grafer kan man se, at skæringspunktet er (, ). Løsningen til ligningssystemet er og y Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til - den samme lineære funktion (linjerne ligger oven i hinanden), så er alle talpar på linjen løsninger. -6 Hvis to ligninger med to ubekendte kan omskrives til forskrifterne for to parallelle linjer, som ikke skærer hinanden, så er der ingen løsninger. -8 Side

22 Man kan godt løse to ligninger med to ubekendte uden at tegne grafer. Her er vist to metoder: Find løsningen til ligningssystemet + y og + y De to ligninger omskrives først således, at enten eller y står alene til venstre i begge ligninger. Her er valgt y: + y + y y + + y + y y + y + y 0,5 + Det er lige meget, om man får eller y til at stå alene i begge ligninger. Gør det, som ser ud til at være lettest. Derefter kan man sætte højresiderne lig med hinanden for at finde. Man får: + 0, ,5 + +,5,5,5,5 0, eller 0, Til sidst findes y ved at sætte 0, ind i en af de oprindelige ligninger: + y 0, + y, + y, + y,, Det er lige meget, hvilken ligning man bruger. Tag den, som ser ud til at være lettest at løse. Løsningen er altså 0, og y 0,8 y 0,8 Man kan let lave fejl, så det er en god ide at kontrollere sine udregninger ved at sætte løsningen ind i de oprindelige ligninger. Det kan gøres således: 0, + 0,8, + 0,8 0, + 0,8 0,8 +, Side

23 Ligningssystemet kan også løses således: Man ganger først en af ligningerne med et tal, således at der er enten det samme antal eller det samme antal y i begge ligninger. Her ganges den første ligning med for at få y begge steder: ( + y) + y 8 Derefter trækkes ligningerne fra hinanden. Venstre side fra venstre side. Højre side fra højre side. Man få en ny ligning med kun en ubekendt. Her er det : + y 8 + y 0 Derefter løses den nye ligning for at finde : , Nogle gange kan det være nødvendigt at gange begge ligninger med hvert sit tal for at få enten det samme antal eller det samme antal y. Resultatet bruges til sidst til at finde y på samme måde som på forrige side. Prøv selv! Lineære ligninger skrives ofte på formen a + by c. I eksemplet + y er a, b og c. Men lineære ligninger kan godt se anderledes ud. Her er et par eksempler: y y y 6 + Begge ligninger kan omskrives til både formen a + by c og til funktionsforskriften for en lineær funktion. Prøv selv. Det er ikke alle ligninger med to ubekendte, der lineære. Her er et par eksempler: Ligningen 5 y + kan omskrives til funktionsforskriften y 5. Det er en andengradsfunktion. Grafen kaldes en parabel og har form som en bue. Ligningens løsninger er alle de talpar, som er punkter på grafen. Ligningen y kan omskrives til funktionsforskriften y. Det er en omvendt proportional funktion. Grafen kaldes en hyperbel og består af to buer. Ligningens løsninger er alle de talpar, som er punkter på grafen. Side

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1

xxx xxx xxx Potensfunktioner Potensfunktioner... 2 Opgaver... 8 Side 1 Potensfunktioner Potensfunktioner... Opgaver... 8 Side Potensfunktioner Funktioner der kan skrives på formen y a = b kaldes potensfunktioner. Her er nogle eksempler på potensfunktioner: y = y = y = - y

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Statistik - supplerende eksempler

Statistik - supplerende eksempler - supplerende eksempler Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv... 82b Indekstal... 82c Median, kvartil, boksplot... 82e Sumkurver... 82h Side 82a Grupperede observationer: Middelværdi

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartil, boksplot og sumkurver... 2 Opgaver... 7 Side 1 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra opgaver. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra opgaver. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin 2 Xtra opgaver Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Opgaver 1: Til højre er tegnet en kvart enhedscirkel i et koordinatsystem.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller-

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- 1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- Vækstmodellerne: Lineær funktion: Forskrift: a er hældningskoefficient

Læs mere

Lektion 8s Geometri Opgaver

Lektion 8s Geometri Opgaver Matematik på Åbent VU Lektion 8s Geometri Indholdsfortegnelse Sammensatte figurer Kunstruktionsopgaver Trigonometri Lavet af Niels Jørgen ndreasen, VU Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVU Lektion 8s Side

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Bogstavregning. Formler...74 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86. Bogstavregning Side 73

Bogstavregning. Formler...74 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86. Bogstavregning Side 73 Bogstavregning Formler...7 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86 Bogstavregning Side 7 Formler 1: Regn disse opgaver med formler: a: Beregn: y = 5 + når: = b: Beregn: b = 15 a

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf Matematik

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Stx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2010 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik B Lærer(e) LSP ( Liselotte

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres.

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres. .01 Trekanter Trekanttypespil En retvinklet trekant med siderne,, og. Kan ikke konstrueres. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En ligesidet trekant med siden. En spidsvinklet trekant hvor den ene

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00 Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg hf Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 1mac16fs 0815 ma

Undervisningsbeskrivelse for: 1mac16fs 0815 ma Undervisningsbeskrivelse for: 1mac16fs 0815 ma Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: Matematik C fleks sommereksamen Termin: Juni 2016 Uddannelse: HF Lærer(e):

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Matematik B. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale. Uddannelse. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Matematik B. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale. Uddannelse. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Matematik B Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole HTX MATEMATIK B Katrine

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik C Kristian

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

Eksamensspørgsmål Mat C maj-juni 2016 1E. TWE

Eksamensspørgsmål Mat C maj-juni 2016 1E. TWE 1. Rentesregning.... 2 2. Procent- og rentesregning.... 2 3. Rentesregning... 2 4. Opsparingsannuitet... 2 5. Opsparing... 2 6. Geometri... 3 7. Geometri.... 3 8. Geometri... 3 9. Lineære funktioner...

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

Rentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet

Rentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet Rentesregning 1 Forklar begrebet fremskrivningsfaktor. Forklar kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen), og opstil/omskriv denne så du kan bestemme 1 af størrelserne, ud fra de 3 andre. Giv eksempler,

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere