1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?"

Transkript

1 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også fint langt hen ad vejen, men det er ikke nok, slet ikke når vi kommer op på et tilstrækkeligt højt niveau. Jeg vil nu forsøge at give en præcis definition af, hvad en funktion er: Lad A og B være to ikke-tomme mængder. Betragt mængden A B = { (a, b) a A, b B, dvs. mængden af alle ordnede par (a, b), hvorom det gælder, at a A og b B. En funktion eller afbildning f fra A til (eller ind i) B (skrives f : A B), er en delmængde f A B, som opfylder betingelserne og (x, y) f (x, z) f y = z (1.1) x A y B: (x, y) f. (1.2) Disse betingelser skal lige have en kommentar med på vejen. (1.1) sikrer, at hvis vi skriver f(x) for y, når (x, y) f, dvs. (x, y) = ( x, f(x) ), så bliver f(x) entydigt bestemt. (1.2) er lige så meget et krav på A, som det er på f, idet vi ved at vælge en anden (ikke-tom) mængde A, altid vil være i stand til at opfylde (1.2); i bund og grund kræver den blot, at A skal være lig f s definitionsmængde, og er blot med, for at gøre definitionen mindre kringlet. Mængden A kaldes f s domæne eller definitionsmængde. Mængden R = { y B x A: (x, y) f = { f(x) B x A kaldes f s billede, mens B er f s værdimængde. Generelt vil R B, men R = B gælder kun i specielle tilfælde. R skrives også ofte Im(f) eller f(a), jf. konventionen, at f(c) = { f(x) B x C, hvor C A. Her kaldes f(c) for billedet af C under f. Denne definition kan indrømmet se lidt langhåret ud, men det er samtidig den eneste rigtige definition på en funktion. Nogle af jer vil sandsynligvis være med på det hele, men i tilfældet at I ikke alle er, vil jeg her gennemgå de enkelte elementer for at forklare deres betydning. Lad altså f : A B være givet. Indholdet af dette er, at vi nu har et navn på funktionen, f, vi ved hvad funktionens domæne er; A, og vi ved hvad funktionens ko-domæne er; B. 1

2 Man kan sagtens have en funktion, der ikke har noget navn, eksempelvis er der i [LA] Opg. 3.3 en funktion, der spejler planen i y-aksen, som blot blev beskrevet ved R 2 R 2, (x, y) ( x, y). Om man giver sin funktion et navn, bestemmer man selv; nogle gange er det overflødigt, men oftest er det mest praktisk. A et i f : A B fortæller, at til ethvert element x A findes ét element f(x), som vi kalder funktionsværdien i x. B et i f : A B fortæller, at f(x) B for alle x A, altså at funktionsværdier er elementer i B. Dette er ikke det samme som, at alle elementer i B er funktionsværdier. En funktion f er ikke bestemt, før vi ved, hvad dens domæne og dens kodomæne er. Men den er heller ikke bestemt, før vi ved, hvordan f A B ser ud. Ofte gøres dette ved, at man giver en opskrift på hvordan man givet x A finder f(x) B. Dette kan gøres på flere måder, hvis det overhovedet er muligt. Der findes funktioner, som har nogle bestemte egenskaber, og som man kan bevise eksisterer, men hvor man ikke er i stand til at regne en eneste funktionsværdi ud. De funktioner, I kommer til at beskæftige jer med i Calculus 1 & 2, vil dog oftest om ikke altid være bestemt ud fra en funktionsforskrift. Hvis vi vender tilbage til eksemplet fra Opg. 3.3 i [LA], og kalder funktionen for f, domænet for A og ko-domænet for B, så kan samme indhold formuleres på følgende måde: Betragt afbildningen f : A = R 2 B = R 2, der består i spejling i y-aksen, altså f : (x, y) ( x, y). Her er funktionsforskriften givet ved f : (x, y) ( x, y). Dette kan læses: f sender (x, y) ind i ( x, y). Uden f : -delen kunne det læses: (x, y) sendes ind i ( x, y). I begge tilfælde er (x, y) A og ( x, y) B, hvor A og B tilfældigvis er ens. Derfor vil man sommetider også se det hele komprimeret til f : A (x, y) ( x, y) B, som både fortæller hvor f går fra og til, og hvad dens forskrift er. En anden måde at skrive funktionen på ville være f : A B, f(x, y) = ( x, y), hvor funktionsforskriften naturligvis er f(x, y) = ( x, y). 1.2 Hvorfor er domæne og ko-domæne vigtige? Umiddelbart kan det virke tåbeligt, at man nødvendigvis skal oplyse domæne og ko-domæne. I vil muligvis også indvende, at eksempelvis [S] da også oftest undlader denne del. Dette skyldes flere ting: En grund er, at ofte er 2

3 domæne og ko-domæne underforstået ud fra funktionsforskriften, og derfor overflødig. En anden grund er, at de egenskaber ved en funktion, der afhænger af domæne og ko-domæne, ikke altid er relevante for den specifikke opgave. En tredje grund er, at man af pædagogiske årsager vil vente med nogle af matematikkens mere formelle sider, og hellere vil starte blødt ud med en mere intuitiv forståelse for funktionsbegrebet. I har nu engang valgt at læse matematik, og min holdning er derfor, at I ligeså godt med det samme kan få præsenteret, hvad der er rigtigt. I kan så selv vælge, om I vil tage det til efterretning med det samme, eller om I vil vente, til jeres studium kræver det. Betragt det som et tilbud. Jeg har nævnt, at nogle egenskaber ved en funktion afhænger af domæne og ko-domæne. De tre vigtigste, som i muligvis også kender fra gymnasiet, er injektivitet, surjektivitet og bijektivitet. En funktion f : A B er injektiv (også kaldet én-til-én eller det mere gammeldags en-entydig) såfremt den opfylder følgende: x, y A: f(x) = f(y) x = y. (1.3) En funktion f : A B er surjektiv (eller på) såfremt den opfylder følgende: y B x A: y = f(x). (1.4) En funktion f : A B er bijektiv såfremt den er både injektiv og surjektiv. Da x, y A: f(x) = f(y) x = y x, y A: x y f(x) f(y) er en funktion altså injektiv, såfremt funktionsværdier for forskellige punkter er forskellige. Dette betyder, at givet b B har ligningen f(x) = b højst én løsning. (1.4) udtrykker, at til ethvert element y i ko-domænet B eksisterer (mindst) et element x i domænet A, så f(x) = y. Med andre ord: ko-domænet B er lig med billedmængden f(a). Dette betyder, at givet b B har ligningen f(x) = b mindst en løsning. At en funktion er bijektiv betyder dermed, at alle punkter rammes, og at funktionsværdier for forskellige punkter er forskellige, med andre ord, at der til ethvert element y i ko-domænet B eksisterer netop ét element x i 3

4 domænet A, således at y = f(x). I dette tilfælde er det muligt at definere en ny funktion g: B A, således at g f : A A er identiteten 1 på A, og f g: B B er identiteten på B. Vi kalder g for f s inverse, og skriver g = f 1. Til denne skrivemåde skal knyttes en advarsel! Generelt skriver man f 1 (D) for mængden { x A f(x) D, altså mængden af de punkter i A, som f sender ind i D, for alle delmængder D B, også selvom f ikke er surjektiv. Her kaldes f 1 (D) for ur-billedet af D under f. Er D en et-punkts-mængde, D = {y, driver dovenskaben ofte folk ud i at skrive f 1 (y) for f 1 (D). Dette er uheldigt af flere grunde. Antag først, at f er bijektiv. Så er f 1 (y) et element, mens f 1 (D) er et-punkts-mængden bestående af f 1 (y), nemlig {f 1 (y). Antag nu, at f : R R er givet ved f : x x 2. Så er f ikke bijektiv, og der eksisterer derfor ikke en invers funktion, f 1. Dette skal dog ikke forhindre os i at skrive f 1 (y), hvormed vi i virkeligheden mener f 1 ({y), hvor y R. Det betyder, at f 1 (0) ikke er 0, men {0, mens vi for y > 0 får f 1 (y) = { y, y, og for y < 0 får f 1 (y) =. Ændrer vi nu lidt på funktionen, idet vi bevarer forskriften, men ændrer både domæne og ko-domæne til R 0 = { x R x 0, er f pludselig bijektiv, og f 1 (0) er nu lig 0, f 1 (y) = y for y > 0, og f 1 (y) er udefineret for y < 0. Man skal altså være påpasselig med denne notation. Nogle vil måske spørge, hvorfor man ikke blot altid sætter ko-domænet til at være f(a), altså f : A f(a), så f bliver surjektiv. Det korte svar er: Vent og se! :-) Nogle gange er man interesseret i at tage en funktion f : A B og begrænse den til kun at være defineret på en delmængde C af A. Man får da en ny funktion, som man ofte betegner f C, som går fra C ind i B, og som stemmer overens med f der, hvor de begge er definerede, dvs. x C : f(x) = f C (x). Eksempelvis kan man, hvis man har en surjektiv funktion f : A B, altid lave en ny funktion f C : C B, som er bijektiv. Betragter vi for eksempel f : R R 0, x x 2, kan vi tage f R 0. Overvej selv, hvordan de inverse trigonometriske funktioner, arcsin, arctan og arccos, fremkommer. 1 Hvis nogen skulle være i tvivl om, hvad identiteten på X betyder, kan jeg oplyse at det blot er funktionen X X, x x, altså funktionen, der går fra X ind i X og sender elementer ind i sig selv. Identiteten på X skrives ofte Id X. 4

5 1.3 Forskellige egenskaber ved funktioner Sammensætning af funktioner er associativ. Lad nemlig f : A B, g: B C og h: C D. Så er det klart, at vi kan danne g f : A C og h g: B D. Men dermed er det også klart, at vi kan danne (h g) f : A D og h (g f): A D. I midlertid er begge disse afbildninger givet ved A x h(g(f(x))) D, og altså er (h g) f = h (g f), og funktionssammensætning er dermed associativ. En funktion har en venstreinvers 2 hvis og kun hvis den er injektiv. Lad f : A B være injektiv. Vi skal vise, at der findes en funktion v: B A, så v f = Id A. Da f er injektiv, er f : A f(a), x f(x) bijektiv, idet f stemmer overens med f, og derfor er injektiv, og da f(a) = f(a), og f dermed er surjektiv. Altså har den en invers, f 1 : f(a) A. Vælg nu et vilkårligt element a A, og sæt v(x) = a { f 1 (x) for x f(a) for x B \ f(a) (1.5) Det er nu klart, at v f = Id A. Lad nu f : A B være givet, og antag, at den har en venstreinvers v: B A. Vi skal vise, at f er injektiv. Antag for modstrid, at f ikke er injektiv, dvs. der findes x, y A: x y f(x) = f(y). Sæt b = f(x) = f(y). Da v f = Id A og x y må v(b) = v f(x) = Id A (x) = x y = Id A (y) = v f(y) = v(b), men dette er en modstrid. Altså må f være injektiv. En funktion har en højreinvers 3 hvis og kun hvis den er surjektiv. Lad f : A B være surjektiv. Vi skal vise, at der findes en funktion h: B A, så f h = Id B. Idet f er surjektiv findes for ethvert b B mindst én løsning a A til ligningen b = f(x). Sættes nu h(b) = c, hvor c { a A b = f(a), (1.6) altså h(b) defineres til at være én af løsningerne til b = f(x), så vil f h = Id B. Lad nu f : A B være givet, og antag, at den har en højreinvers. Vi skal vise, at så er f surjektiv. Antag for modstrid, at f ikke er surjektiv, dvs. 2 En venstreinvers til en funktion f : A B er en funktion v: B A som opfylder, at v f = Id A. 3 Hvis du bruger din sunde fornuft, og læser definitionen på en venstreinvers, skulle du være i stand til at definere en højreinvers. 5

6 f(a) B. Så vil B = Id B (B) = f h(b) = f(h(b)) f(a) B, idet h(b) A, altså modstrid. Ovenstående beviser viser, at venstreinverser hhv. højreinverser ikke nødvendigvis er entydigt bestemt, idet vi i (1.5) kunne have valgt et andet vilkårligt element a A i stedet for a, uden det havde ændret på konklusionen, og tilsvarende kunne vi i (1.6) have valgt en anden løsning c til ligningen b = f(x) (i hvert fald i de tilfælde hvor der var mere end én løsning, dvs. i tilfældet hvor f ikke også er injektiv, og dermed bijektiv.) Altså bør man tale om en venstreinvers hhv. en højreinvers, fremfor venstreinversen hhv. højreinversen. En bijektiv funktion har netop én funktion, som både er dens venstre- og højreinverse. Antag at f : A B er bijektiv. Så viser ovenstående, at f har en venstreog en højreinvers. Kald disse hhv. v og h. Associativiteten af funktionssammensætninger giver endvidere, at v = v Id B = v (f h) = (v f) h = Id A h = h. Antag, at v og h er andre venstre- hhv. højreinverse. Da giver tilsvarende udregninger, at v = h = v og h = v = h. Dermed er der netop én funktion, som både er den venstre- og den højreinverse, og denne funktion er lig den inverse. 2 Lineære afbildninger 2.1 Hvad er en lineær afbildning? En lineær afbildning f er en funktion fra et vektorrum V ind i et andet W, som opfylder, at (2.1) og (2.2) er ensbetydende med a R, u V : f(a u) = a f(u) og (2.1) u, v V : f(u + v) = f(u) + f(v) (2.2) a, b R, u, v V : f(a u + b v) = a f(u) + b f(v), (2.3) så om man bruger (2.1) og (2.2) eller (2.3) er ligegyldigt. Pointen med lineære afbildninger er, at de bevarer lineære operationer (dvs. addition og skalarmultiplikation). 6

7 2.2 Hvordan viser man, at noget er en lineær afbildning? Det er i grunden såre simpelt at vise, at noget er en lineær afbildning. Man skal blot tjekke, at enten (2.1) og (2.2) eller (2.3) er opfyldt. Jeg vil nu demonstrere ved hjælp af vores yndlingseksempel, Opg. 3.3 i [LA]: Lad f : R 2 R 2 være givet ved f : (x, y) ( x, y). Vi skal vise at f er lineær, og vælger at benytte (2.1) og (2.2). Lad derfor a R og u = (x 1, y 1 ) R 2 være givet. Vi skal så vise, at f ( a (x 1, y 1 ) ) = a f ( (x 1, y 1 ) ) : f ( a (x 1, y 1 ) ) = f ( (ax 1, ay 1 ) ) altså er f ( a (x 1, y 1 ) ) = a f ( (x 1, y 1 ) ). = ( ax 1, ay 1 ) = a ( x 1, y 1 ) = a f ( (x 1, y 1 ) ), Lad nu u = (x 1, y 1 ), v = (x 2, y 2 ) V være givet. Vi skal vise, at f ( (x 1, y 1 )+ (x 2, y 2 ) ) = f ( (x 1, y 1 ) ) + f ( (x 2, y 2 ) ) : f ( (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) ) = f ( (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) ) = ( (x 1 + x 2 ), y 1 + y 2 ) Altså er f lineær. = ( x 1 x 2, y 1 + y 2 ) = ( x 1, y 1 ) + ( x 2, y 2 ) = f ( (x 1, y 1 ) ) + f ( (x 2, y 2 ) ). 2.3 Lineære afbildninger og matricer Det er nemt at vise, at hvis V = R n, W = R m, og f : V W, så er f lineær hvis og kun hvis der findes en entydig matrix A Mat m,n (R), så f(u) = Au. Antag først at f : R n R m er lineær. Lad u R n være givet. Lad e i, i = 1,...,n være standardbasisvektorerne i R n. Så findes entydigt bestemte tal u 1, u 2,...,u n R, således at u = u 1 e 1 +u 2 e 2 + +u n e n. Da f er lineær, er f(u) = f(u 1 e 1 +u 2 e 2 + +u n e n ) = u 1 f(e 1 )+u 2 f(e 2 )+ +u n f(e n ). 7

8 Hvis vi nu definerer matricen A = f(e 1 ) f(e 2 ) f(e n ), (2.4) som ligger i Mat m,n (R), da den har n søjler, og f går ind i R m, og f(e i ) derfor er vektorer i R m, så er f(u) = Au jf. ovenstående udregninger. Vælger vi nu u, så u i = 0 for i j, u j = 1, ser vi, når j gennemløber tallene 1,...,n, at matricen A er den eneste, der opfylder f(u) = Au. Antag nu, at f : R n R m er på formen f(u) = Au, A Mat m,n (R). Vi skal vise, at f er lineær. Lad derfor a R og u R n være givet. Så skal vi vise, at f(a u) = a f(u), jf. (2.1): f(a u) = A(a u) = a Au = a f(u). Lad u, v R n være givet. Så skal vi vise, at f(u + v) = f(u) + f(v), jf. (2.2): Altså er f lineær. f(u + v) = A(u + v) = Au + Av = f(u) + f(v). Nogle af de regneregler jeg har brugt ovenfor, har jeg ikke umiddelbart kunnet finde i [LA]. De er ikke særligt svære at vise, og hvis I gider, ville det være en god øvelse selv at vise disse. En af pointerne med at vise ovenstående er, at den generelle metode til at finde matricen for en lineær afbildning fremkommer helt naturligt. Metoden kan nemlig ses i (2.4). Det (2.4) udtrykker, er lige præcis, at hvis man skal finde matricen for en lineær afbildning, så er det nok at tjekke hvad afbildningen gør på standardbasisvektorerne, og så skrive resultatet af dette op i en matrix. Som eksempel tager vi nu matricen A = [ a 11 a 12 ] a 21 a 22 fra Opg. 3.3 i [LA], yndlingseksemplet, I ved: Tag e 1 = (1, 0). Tjek hvad (x, y) ( x, y) gør ved e 1 : e 1 ( 1, 0) = (a 11, a 21 ). Altså er A = [ 1 a 12 ] 0 a 22, hvor a12 og a 22 endnu er ukendte. Tjek nu, hvad der sker med e 2 = (0, 1): e 2 (0, 1). Altså er (a 12, a 22 ) = (0, 1), og dermed er matricen for afbildningen A = [ ] Morten Grud Rasmussen 1. september 2005

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere