1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?"

Transkript

1 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også fint langt hen ad vejen, men det er ikke nok, slet ikke når vi kommer op på et tilstrækkeligt højt niveau. Jeg vil nu forsøge at give en præcis definition af, hvad en funktion er: Lad A og B være to ikke-tomme mængder. Betragt mængden A B = { (a, b) a A, b B, dvs. mængden af alle ordnede par (a, b), hvorom det gælder, at a A og b B. En funktion eller afbildning f fra A til (eller ind i) B (skrives f : A B), er en delmængde f A B, som opfylder betingelserne og (x, y) f (x, z) f y = z (1.1) x A y B: (x, y) f. (1.2) Disse betingelser skal lige have en kommentar med på vejen. (1.1) sikrer, at hvis vi skriver f(x) for y, når (x, y) f, dvs. (x, y) = ( x, f(x) ), så bliver f(x) entydigt bestemt. (1.2) er lige så meget et krav på A, som det er på f, idet vi ved at vælge en anden (ikke-tom) mængde A, altid vil være i stand til at opfylde (1.2); i bund og grund kræver den blot, at A skal være lig f s definitionsmængde, og er blot med, for at gøre definitionen mindre kringlet. Mængden A kaldes f s domæne eller definitionsmængde. Mængden R = { y B x A: (x, y) f = { f(x) B x A kaldes f s billede, mens B er f s værdimængde. Generelt vil R B, men R = B gælder kun i specielle tilfælde. R skrives også ofte Im(f) eller f(a), jf. konventionen, at f(c) = { f(x) B x C, hvor C A. Her kaldes f(c) for billedet af C under f. Denne definition kan indrømmet se lidt langhåret ud, men det er samtidig den eneste rigtige definition på en funktion. Nogle af jer vil sandsynligvis være med på det hele, men i tilfældet at I ikke alle er, vil jeg her gennemgå de enkelte elementer for at forklare deres betydning. Lad altså f : A B være givet. Indholdet af dette er, at vi nu har et navn på funktionen, f, vi ved hvad funktionens domæne er; A, og vi ved hvad funktionens ko-domæne er; B. 1

2 Man kan sagtens have en funktion, der ikke har noget navn, eksempelvis er der i [LA] Opg. 3.3 en funktion, der spejler planen i y-aksen, som blot blev beskrevet ved R 2 R 2, (x, y) ( x, y). Om man giver sin funktion et navn, bestemmer man selv; nogle gange er det overflødigt, men oftest er det mest praktisk. A et i f : A B fortæller, at til ethvert element x A findes ét element f(x), som vi kalder funktionsværdien i x. B et i f : A B fortæller, at f(x) B for alle x A, altså at funktionsværdier er elementer i B. Dette er ikke det samme som, at alle elementer i B er funktionsværdier. En funktion f er ikke bestemt, før vi ved, hvad dens domæne og dens kodomæne er. Men den er heller ikke bestemt, før vi ved, hvordan f A B ser ud. Ofte gøres dette ved, at man giver en opskrift på hvordan man givet x A finder f(x) B. Dette kan gøres på flere måder, hvis det overhovedet er muligt. Der findes funktioner, som har nogle bestemte egenskaber, og som man kan bevise eksisterer, men hvor man ikke er i stand til at regne en eneste funktionsværdi ud. De funktioner, I kommer til at beskæftige jer med i Calculus 1 & 2, vil dog oftest om ikke altid være bestemt ud fra en funktionsforskrift. Hvis vi vender tilbage til eksemplet fra Opg. 3.3 i [LA], og kalder funktionen for f, domænet for A og ko-domænet for B, så kan samme indhold formuleres på følgende måde: Betragt afbildningen f : A = R 2 B = R 2, der består i spejling i y-aksen, altså f : (x, y) ( x, y). Her er funktionsforskriften givet ved f : (x, y) ( x, y). Dette kan læses: f sender (x, y) ind i ( x, y). Uden f : -delen kunne det læses: (x, y) sendes ind i ( x, y). I begge tilfælde er (x, y) A og ( x, y) B, hvor A og B tilfældigvis er ens. Derfor vil man sommetider også se det hele komprimeret til f : A (x, y) ( x, y) B, som både fortæller hvor f går fra og til, og hvad dens forskrift er. En anden måde at skrive funktionen på ville være f : A B, f(x, y) = ( x, y), hvor funktionsforskriften naturligvis er f(x, y) = ( x, y). 1.2 Hvorfor er domæne og ko-domæne vigtige? Umiddelbart kan det virke tåbeligt, at man nødvendigvis skal oplyse domæne og ko-domæne. I vil muligvis også indvende, at eksempelvis [S] da også oftest undlader denne del. Dette skyldes flere ting: En grund er, at ofte er 2

3 domæne og ko-domæne underforstået ud fra funktionsforskriften, og derfor overflødig. En anden grund er, at de egenskaber ved en funktion, der afhænger af domæne og ko-domæne, ikke altid er relevante for den specifikke opgave. En tredje grund er, at man af pædagogiske årsager vil vente med nogle af matematikkens mere formelle sider, og hellere vil starte blødt ud med en mere intuitiv forståelse for funktionsbegrebet. I har nu engang valgt at læse matematik, og min holdning er derfor, at I ligeså godt med det samme kan få præsenteret, hvad der er rigtigt. I kan så selv vælge, om I vil tage det til efterretning med det samme, eller om I vil vente, til jeres studium kræver det. Betragt det som et tilbud. Jeg har nævnt, at nogle egenskaber ved en funktion afhænger af domæne og ko-domæne. De tre vigtigste, som i muligvis også kender fra gymnasiet, er injektivitet, surjektivitet og bijektivitet. En funktion f : A B er injektiv (også kaldet én-til-én eller det mere gammeldags en-entydig) såfremt den opfylder følgende: x, y A: f(x) = f(y) x = y. (1.3) En funktion f : A B er surjektiv (eller på) såfremt den opfylder følgende: y B x A: y = f(x). (1.4) En funktion f : A B er bijektiv såfremt den er både injektiv og surjektiv. Da x, y A: f(x) = f(y) x = y x, y A: x y f(x) f(y) er en funktion altså injektiv, såfremt funktionsværdier for forskellige punkter er forskellige. Dette betyder, at givet b B har ligningen f(x) = b højst én løsning. (1.4) udtrykker, at til ethvert element y i ko-domænet B eksisterer (mindst) et element x i domænet A, så f(x) = y. Med andre ord: ko-domænet B er lig med billedmængden f(a). Dette betyder, at givet b B har ligningen f(x) = b mindst en løsning. At en funktion er bijektiv betyder dermed, at alle punkter rammes, og at funktionsværdier for forskellige punkter er forskellige, med andre ord, at der til ethvert element y i ko-domænet B eksisterer netop ét element x i 3

4 domænet A, således at y = f(x). I dette tilfælde er det muligt at definere en ny funktion g: B A, således at g f : A A er identiteten 1 på A, og f g: B B er identiteten på B. Vi kalder g for f s inverse, og skriver g = f 1. Til denne skrivemåde skal knyttes en advarsel! Generelt skriver man f 1 (D) for mængden { x A f(x) D, altså mængden af de punkter i A, som f sender ind i D, for alle delmængder D B, også selvom f ikke er surjektiv. Her kaldes f 1 (D) for ur-billedet af D under f. Er D en et-punkts-mængde, D = {y, driver dovenskaben ofte folk ud i at skrive f 1 (y) for f 1 (D). Dette er uheldigt af flere grunde. Antag først, at f er bijektiv. Så er f 1 (y) et element, mens f 1 (D) er et-punkts-mængden bestående af f 1 (y), nemlig {f 1 (y). Antag nu, at f : R R er givet ved f : x x 2. Så er f ikke bijektiv, og der eksisterer derfor ikke en invers funktion, f 1. Dette skal dog ikke forhindre os i at skrive f 1 (y), hvormed vi i virkeligheden mener f 1 ({y), hvor y R. Det betyder, at f 1 (0) ikke er 0, men {0, mens vi for y > 0 får f 1 (y) = { y, y, og for y < 0 får f 1 (y) =. Ændrer vi nu lidt på funktionen, idet vi bevarer forskriften, men ændrer både domæne og ko-domæne til R 0 = { x R x 0, er f pludselig bijektiv, og f 1 (0) er nu lig 0, f 1 (y) = y for y > 0, og f 1 (y) er udefineret for y < 0. Man skal altså være påpasselig med denne notation. Nogle vil måske spørge, hvorfor man ikke blot altid sætter ko-domænet til at være f(a), altså f : A f(a), så f bliver surjektiv. Det korte svar er: Vent og se! :-) Nogle gange er man interesseret i at tage en funktion f : A B og begrænse den til kun at være defineret på en delmængde C af A. Man får da en ny funktion, som man ofte betegner f C, som går fra C ind i B, og som stemmer overens med f der, hvor de begge er definerede, dvs. x C : f(x) = f C (x). Eksempelvis kan man, hvis man har en surjektiv funktion f : A B, altid lave en ny funktion f C : C B, som er bijektiv. Betragter vi for eksempel f : R R 0, x x 2, kan vi tage f R 0. Overvej selv, hvordan de inverse trigonometriske funktioner, arcsin, arctan og arccos, fremkommer. 1 Hvis nogen skulle være i tvivl om, hvad identiteten på X betyder, kan jeg oplyse at det blot er funktionen X X, x x, altså funktionen, der går fra X ind i X og sender elementer ind i sig selv. Identiteten på X skrives ofte Id X. 4

5 1.3 Forskellige egenskaber ved funktioner Sammensætning af funktioner er associativ. Lad nemlig f : A B, g: B C og h: C D. Så er det klart, at vi kan danne g f : A C og h g: B D. Men dermed er det også klart, at vi kan danne (h g) f : A D og h (g f): A D. I midlertid er begge disse afbildninger givet ved A x h(g(f(x))) D, og altså er (h g) f = h (g f), og funktionssammensætning er dermed associativ. En funktion har en venstreinvers 2 hvis og kun hvis den er injektiv. Lad f : A B være injektiv. Vi skal vise, at der findes en funktion v: B A, så v f = Id A. Da f er injektiv, er f : A f(a), x f(x) bijektiv, idet f stemmer overens med f, og derfor er injektiv, og da f(a) = f(a), og f dermed er surjektiv. Altså har den en invers, f 1 : f(a) A. Vælg nu et vilkårligt element a A, og sæt v(x) = a { f 1 (x) for x f(a) for x B \ f(a) (1.5) Det er nu klart, at v f = Id A. Lad nu f : A B være givet, og antag, at den har en venstreinvers v: B A. Vi skal vise, at f er injektiv. Antag for modstrid, at f ikke er injektiv, dvs. der findes x, y A: x y f(x) = f(y). Sæt b = f(x) = f(y). Da v f = Id A og x y må v(b) = v f(x) = Id A (x) = x y = Id A (y) = v f(y) = v(b), men dette er en modstrid. Altså må f være injektiv. En funktion har en højreinvers 3 hvis og kun hvis den er surjektiv. Lad f : A B være surjektiv. Vi skal vise, at der findes en funktion h: B A, så f h = Id B. Idet f er surjektiv findes for ethvert b B mindst én løsning a A til ligningen b = f(x). Sættes nu h(b) = c, hvor c { a A b = f(a), (1.6) altså h(b) defineres til at være én af løsningerne til b = f(x), så vil f h = Id B. Lad nu f : A B være givet, og antag, at den har en højreinvers. Vi skal vise, at så er f surjektiv. Antag for modstrid, at f ikke er surjektiv, dvs. 2 En venstreinvers til en funktion f : A B er en funktion v: B A som opfylder, at v f = Id A. 3 Hvis du bruger din sunde fornuft, og læser definitionen på en venstreinvers, skulle du være i stand til at definere en højreinvers. 5

6 f(a) B. Så vil B = Id B (B) = f h(b) = f(h(b)) f(a) B, idet h(b) A, altså modstrid. Ovenstående beviser viser, at venstreinverser hhv. højreinverser ikke nødvendigvis er entydigt bestemt, idet vi i (1.5) kunne have valgt et andet vilkårligt element a A i stedet for a, uden det havde ændret på konklusionen, og tilsvarende kunne vi i (1.6) have valgt en anden løsning c til ligningen b = f(x) (i hvert fald i de tilfælde hvor der var mere end én løsning, dvs. i tilfældet hvor f ikke også er injektiv, og dermed bijektiv.) Altså bør man tale om en venstreinvers hhv. en højreinvers, fremfor venstreinversen hhv. højreinversen. En bijektiv funktion har netop én funktion, som både er dens venstre- og højreinverse. Antag at f : A B er bijektiv. Så viser ovenstående, at f har en venstreog en højreinvers. Kald disse hhv. v og h. Associativiteten af funktionssammensætninger giver endvidere, at v = v Id B = v (f h) = (v f) h = Id A h = h. Antag, at v og h er andre venstre- hhv. højreinverse. Da giver tilsvarende udregninger, at v = h = v og h = v = h. Dermed er der netop én funktion, som både er den venstre- og den højreinverse, og denne funktion er lig den inverse. 2 Lineære afbildninger 2.1 Hvad er en lineær afbildning? En lineær afbildning f er en funktion fra et vektorrum V ind i et andet W, som opfylder, at (2.1) og (2.2) er ensbetydende med a R, u V : f(a u) = a f(u) og (2.1) u, v V : f(u + v) = f(u) + f(v) (2.2) a, b R, u, v V : f(a u + b v) = a f(u) + b f(v), (2.3) så om man bruger (2.1) og (2.2) eller (2.3) er ligegyldigt. Pointen med lineære afbildninger er, at de bevarer lineære operationer (dvs. addition og skalarmultiplikation). 6

7 2.2 Hvordan viser man, at noget er en lineær afbildning? Det er i grunden såre simpelt at vise, at noget er en lineær afbildning. Man skal blot tjekke, at enten (2.1) og (2.2) eller (2.3) er opfyldt. Jeg vil nu demonstrere ved hjælp af vores yndlingseksempel, Opg. 3.3 i [LA]: Lad f : R 2 R 2 være givet ved f : (x, y) ( x, y). Vi skal vise at f er lineær, og vælger at benytte (2.1) og (2.2). Lad derfor a R og u = (x 1, y 1 ) R 2 være givet. Vi skal så vise, at f ( a (x 1, y 1 ) ) = a f ( (x 1, y 1 ) ) : f ( a (x 1, y 1 ) ) = f ( (ax 1, ay 1 ) ) altså er f ( a (x 1, y 1 ) ) = a f ( (x 1, y 1 ) ). = ( ax 1, ay 1 ) = a ( x 1, y 1 ) = a f ( (x 1, y 1 ) ), Lad nu u = (x 1, y 1 ), v = (x 2, y 2 ) V være givet. Vi skal vise, at f ( (x 1, y 1 )+ (x 2, y 2 ) ) = f ( (x 1, y 1 ) ) + f ( (x 2, y 2 ) ) : f ( (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) ) = f ( (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) ) = ( (x 1 + x 2 ), y 1 + y 2 ) Altså er f lineær. = ( x 1 x 2, y 1 + y 2 ) = ( x 1, y 1 ) + ( x 2, y 2 ) = f ( (x 1, y 1 ) ) + f ( (x 2, y 2 ) ). 2.3 Lineære afbildninger og matricer Det er nemt at vise, at hvis V = R n, W = R m, og f : V W, så er f lineær hvis og kun hvis der findes en entydig matrix A Mat m,n (R), så f(u) = Au. Antag først at f : R n R m er lineær. Lad u R n være givet. Lad e i, i = 1,...,n være standardbasisvektorerne i R n. Så findes entydigt bestemte tal u 1, u 2,...,u n R, således at u = u 1 e 1 +u 2 e 2 + +u n e n. Da f er lineær, er f(u) = f(u 1 e 1 +u 2 e 2 + +u n e n ) = u 1 f(e 1 )+u 2 f(e 2 )+ +u n f(e n ). 7

8 Hvis vi nu definerer matricen A = f(e 1 ) f(e 2 ) f(e n ), (2.4) som ligger i Mat m,n (R), da den har n søjler, og f går ind i R m, og f(e i ) derfor er vektorer i R m, så er f(u) = Au jf. ovenstående udregninger. Vælger vi nu u, så u i = 0 for i j, u j = 1, ser vi, når j gennemløber tallene 1,...,n, at matricen A er den eneste, der opfylder f(u) = Au. Antag nu, at f : R n R m er på formen f(u) = Au, A Mat m,n (R). Vi skal vise, at f er lineær. Lad derfor a R og u R n være givet. Så skal vi vise, at f(a u) = a f(u), jf. (2.1): f(a u) = A(a u) = a Au = a f(u). Lad u, v R n være givet. Så skal vi vise, at f(u + v) = f(u) + f(v), jf. (2.2): Altså er f lineær. f(u + v) = A(u + v) = Au + Av = f(u) + f(v). Nogle af de regneregler jeg har brugt ovenfor, har jeg ikke umiddelbart kunnet finde i [LA]. De er ikke særligt svære at vise, og hvis I gider, ville det være en god øvelse selv at vise disse. En af pointerne med at vise ovenstående er, at den generelle metode til at finde matricen for en lineær afbildning fremkommer helt naturligt. Metoden kan nemlig ses i (2.4). Det (2.4) udtrykker, er lige præcis, at hvis man skal finde matricen for en lineær afbildning, så er det nok at tjekke hvad afbildningen gør på standardbasisvektorerne, og så skrive resultatet af dette op i en matrix. Som eksempel tager vi nu matricen A = [ a 11 a 12 ] a 21 a 22 fra Opg. 3.3 i [LA], yndlingseksemplet, I ved: Tag e 1 = (1, 0). Tjek hvad (x, y) ( x, y) gør ved e 1 : e 1 ( 1, 0) = (a 11, a 21 ). Altså er A = [ 1 a 12 ] 0 a 22, hvor a12 og a 22 endnu er ukendte. Tjek nu, hvad der sker med e 2 = (0, 1): e 2 (0, 1). Altså er (a 12, a 22 ) = (0, 1), og dermed er matricen for afbildningen A = [ ] Morten Grud Rasmussen 1. september 2005

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

3. Differentialregning

3. Differentialregning 3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a) Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion

Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Matricer Program for de næste 3 1/4 dobbeltlektion Tirsdag 3. september 11.00 12.00: Afsnit 8.1, 8.2, 8.3 og 8.5 Torsdag 5. september 12.30 16.15 12.30 14.15: Opgaveregning lokale 261/409 14.30: Vi mødes

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2011-maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Skjern Htx Matematik A Ole Egelund

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Jacob Debel

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Regning med funktioner - TAVLENOTER

Regning med funktioner - TAVLENOTER Sammensat funktion [Elevsamtaler] Jens Thostrup, GUX Nuuk 1 FACIT b) 1 og 3 er de eneste løsninger, der optræder i tabellen Jens Thostrup, GUX Nuuk 2 Regningsarter for funktioner Sumfunktion: (f+g)(x)

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2012/2013 Institution Silkeborg Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik, niv

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. af Rasmus Axelsen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. af Rasmus Axelsen Matema10k Matema10k Matematik for hhx C-niveau af Rasmus Axelsen Matema10k. Matematik for hhx C-niveau 1. udgave, 1. oplag, 2013 Forfatteren og Bogforlaget Frydenlund ISBN 978-87-7118-253-8 Redaktion:

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/juni 2012 HTX Vibenhus

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010 Institution Handelsskolen Sjælland Syd, Campus Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 12/13 Institution International Business College Fredericia-Middelfart Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution IBC Fredericia Middelfart afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012. Institution ZBC Næstved. Uddannelse Hhx. Fag og niveau Matematik C. Lærer(e) Hold Lars Westermann

Læs mere

http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 1/6

http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 1/6 Fortællingen som tilgang til matematik Spørger man manden på gaden, eller vore elever for den sags skyld, vil de typisk opfatte mennesket som et fornuftsvæsen, dvs. mene, at vi i bund og grund er styret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C MIHY (Michael

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niv.c Ejner Husum

Læs mere