Borupgaard Gymnasium Studieretningsopgave 3g

Transkript

1 Borupgaard Gymnasium Studieretningsopgave 3g

2 Tim Emil Vejborg Bærende konstruktioner - SRP Borupgaard Gymnasium - 3.Y Dato: 20. december 2012 kl. 11:45 Forside Bærende konstruktioner SRP Fag: Matematik A og Fysik B Morten Pedersen og Peter Klint Jensen Forfatter: Tim Emil Vejborg Borupgaard Gymnasium 1

3 Abstract This paper examines the theory behind structural analysis in areas commonly exposed to earthquakes. Experiments that exhibit formulations of mathematical models are presented. Such experimental setups include, but are not limited to, a model that demonstrates the bending of a beam attached in one and both ends respectively. Concretely, we have verified the properties that constitute the effect of bending a wood beam, presented by the experiments 1 and 2. On the basis of the first and second experiment, we have derived a theoretical mathematical model which accurately describes the tensile strength (i.e. bending strength) law of a beam. In addition, a third and final experiment was carried out to determine the material- related parameters vital for the optimal construction of buildings, from which the results were the derivation of Young s modulus (also known as the tensile modulus or elastic modulus). Conclusively, we have combined all information regarding the project, and put rest to several considerations regarding construction of large buildings in areas commonly exposed to earthquakes. 2

4 Indholdsfortegnelse Forside... 1 Abstract... 2 Indholdsfortegnelse... 3 Indledning... 5 Jordskælv... 5 Jordskælvsbølger... 5 P- bølger... 6 S- bølger Overfladebølger... 8 Grundlæggende materialeparametre ved bygningskonstruktion... 9 Statik Moment Materialer Inertimomentet Elasticitetsmodulet Nedbøjning Forsøg 1: Undersøgelse af materialeparametre mht. nedbøjning Formål Opstilling og materialer Fremgangsmåde Målinger og resultatbehandling Diskussion Konklusion Løsning af bjælkens differentialligning Forsøg 2: Bestemmelse af en trælistes materialeparametre Formål Opstilling og materialer Fremgangsmåde Målinger og resultatbehandling Diskussion

5 Konklusion Matematisk model for nedbøjningen Forsøg 3 Bestemmelse af elasticitetsmodul Formål Opstilling og materialer Fremgangsmåde Målinger og resultatbehandling Diskussion Konklusion Store konstruktioner i områder med jordskælv Konklusion Litteraturliste Bilag 1 Wood strengths

6 Indledning Sammenstyrtede bygninger, hjemløse mennesker og tusindvis af døde. Det kan være de alvorlige konsekvenser af de rystelser, som jorden dagligt udsættes for. I Danmark og i hele verden arbejder ingeniører og forskere på at finde banebrydende opfindelser, som kan bremse jordskælvsrystelser i bygninger, så antallet af skader bliver formindsket. I dette projekt undersøges materiale parametre til bygningskonstruktion ved forsøg og der fremstilles matematiske modeller over nedbøjningen for en træliste. Ved forsøg bestemmes et vigtigt materialeparameter nemlig elasticitetsmoment for vores træliste. Derudover fortælles der også, om hvilke hensyn der skal tages, når man bygger store eller små konstruktioner i jordskælvsramte områder. Jordskælv Et jordskælv er en rystelse i jordens skorpe. Rystelsen skyldes bevægelserne imellem de tektoniske plader, som jordens skorpe er opdelt i. Jordskælv kan opstå på forskellige måder afhængig af, hvordan pladerne bevæger sig i forhold til hinanden. De tektoniske plader kan støde sammen, hvorved den ene plade vil blive skubbet opad eller nedad eller begge plader kan skubbes opad. Pladerne kan også trække sig fra hinanden eller forskubbe sig sideværts i forhold til hinanden. 1 Man måler et jordskælvs objektive styrke på Richter- skalaen, der ud fra seismiske registreringer kan måle, hvor kraftigt de givne jordskælv er. 2 Jordskælvsbølger Jordskælvsbølger og bølger i jordoverfladen fra alle typer af jordrystelser registreres med en seismograf. 3 Seismiske bølger er trykbølger og forskydningsbølger, som udbreder sig igennem jorden eller andre elastiske konstruktioner/legemer. 4 Dette er specielt interessant, fordi man som f.eks. bygningsingeniør bliver nød til at tage hensyn til jordskælvsbølger, når man skal bygge en bærende konstruktion. 1 om- jordskaelv Første afsnit l om- jordskaelv Andet afsnit l Finn Elvekjær & Torben Benoni: FysikABbogen s. 216 l l. 1 5

7 Jordskælvsbølger udbreder sig både ved longitudinale og transversale svingninger i jordoverfladen. De longitudinale svingninger kaldes P- bølger som står for Primary wave eller pressure wave. De transversale svingninger kaldes S- bølger som står for Secondary wave eller Shear wave. 5 P- bølger Et udsving fra en bølge der sker i bølgens udbredelsesretning, kaldes for en længdebølge eller en longitudinalbølge. Når man snakker om jordskælv og bølger, så betegnes længdebølger som P- bølger. Primary wave betegner, at det er den bølge som udbreder sig med den største fart og derfor er det også den bølge, som når først frem til de seismiske målestationer. 6 Figur 1 Udbredelsesretningen for en P- bølge. 7 På ovenstående figur skal vi forestille os, at et klippestykke er delt op i små skiver. Skiverne vil skiftevis blive udvidet og mast sammen, når en P- bølge passerer klippestykket. Vi forstiller os, nu at en træbjælke fra en bygning vil blive ramt af en P- bølge og følgende vil ske (jf. figur 2). På figur 2 ser vi at bjælken skiftevis presses sammen og strækkes. Normalt sker det, at når et materiale bliver ramt af en P- bølge, så vil materialet presses sammen og 5 Finn Elvekjær & Torben Benoni: FysikABbogen s. 216 l s.1 l s. 1 nederst. 6

8 strækkes parallelt med bevægelsesretningen. Figur 2- En træbjælke fra et hus rammes af trykbølger (P- bølge). 8 S- bølger. En tværbølge er en bølge, hvor udsvinget sker på tværs af bølgens udbredelsesretning. Når vi snakker om jordskælv, så anvendes betegnelsen S- bølger for tværbølger. Secondary wave betegner, at bølgen udbreder sig med en lavere fart end P- bølgen og derfor ankommer den senere end P- bølgen i de seismiske målinger. 9 Figur 3 - Udbredelsesretningen for en S- bølge. 10 På ovenstående figur skal vi forestille os, at et klippestykke som er delt op i små skiver. Vi ser her, at skiverne skiftevis bliver udvidet og mast sammen, når P- bølgen passerer klippestykket s. 1 l

9 Vi forstiller os nu at en træbjælke fra en bygning vil blive ramt af en S- bølge og følgende vil ske. På figur 4 ser vi, at bjælken svinger frem og tilbage på tværs af udbredelsesretningen. Når S- bølgen passerer bjælken. Figur 4 - En træbjælke fra et hus rammes af en forskydningsbølge (S- bølge). 11 Overfladebølger Når bølgebevægelserne fra P- og S- bølgerne når op til områder i jordens overflade, kan der skabes nogle andre typer bølge, som løber langs overfladen. De vigtigste af de bølger som skabes er Love- bølger (L- bølge) og Rayleigh- bølger (R- bølge). Det er især jordskælv i jordens øvre lag (dvs. højst 50 km nede), som skaber kraftige overfladebølger. 12 En L- bølge kan opfattes som en vandret polariseret S- bølge, som bevæger sig i overfladen af jorden. En L- bølge vil få jordoverfladen til at bevæge sig fra side til side i en vandret plan uden nogen lodret bevægelse, når den passerer et sted. Bevægelsen fra side til side sker vinkelret på bølgens udbredelsesretning. 13 (jf. figur 5) Peter Husby: Jordskælv - Jorden fra yderst til inderst s. 14 l Peter Husby: Jordskælv - Jorden fra yderst til inderst s. 14 l

10 Figur 5 L- og R- bølges udbredelse i overfladen. 14 En R- bølge er en blanding af en P- bølge og en S- bølger og man kan sige at den nærmest minder om en bølge i vandoverfladen, hvor de enkelte vandpartikler bevæger sig op og ned og samtidig frem og tilbage (jf. figur 5). R- bølgerne er overfladebølger ligesom L- bølgerne. 15 Grundlæggende materialeparametre ved bygningskonstruktion Når et jordskælv udløses og rammer bygninger, så vil fundamentet pludselig bevæge sig i vandret retning og huse vil strækkes og deformeres eller i værste tilfælde slippe fundamentet. Dette kan betyde, at nogle bygningselementer kan vælte. I større bygninger såsom højhuse kan der forekomme svingninger i konstruktionen. Er højhuset ikke dimensioneret til at skabe en modstandskræft (friktion) som kan bremse rystelserne fra jordskælvet, så vil den styrte sammen. 16 I udsendelsen Viden Om Ny Jordskælvsikring fra DR hører vi om en dansk jordskælvsdæmper med et helt nyt banebrydende koncept, som kan bremse rystelserne i bygningerne. Opfindelsen kan altså sikre bygninger verden over mod jordskælvskatastrofer. Opfindelsen virker på den måde, at jordskælvsdæmperen (jf. figur 6) består af 3 stålplader (de Peter Husby: Jordskælv - Jorden fra yderst til inderst s. 14 l s. 3 l

11 røde) og mellem dem spændes to bremseskiver (de blå). Dæmperne installeres i en bygnings stålwire og virker sådan at under en jordrystelse vil stålpladerne blive trykket fra side til side, og bremseskiverne vil med deres gnidningsmodstand optage energien fra bevægelsen. Den bremsende organisme vil på den måde holde bygningen i spænd og reducere påvirkningen fra de kraftige jordrystelser. Figur 6 - Den banebrydende jordskælvsdæmper 17 Har vi en bærende konstruktion, hvor vi ønsker at beskytte den imod jordskælv ved f.eks. at anvende den banebrydende jordskælvsdæmper fra udsendelsen Viden Om Ny Jordskælvsikring, skal vi tage hensyn til hvilket materiale bygningen er lavet af. Da alle jordskælvssikrede bygninger vil have svingninger i konstruktionen, betyder det også at man skal tage hensyn hvad bygningens elasticitetsmodul (E) er. Dette betyder, at man skal forstå, hvor stor bygningens evne er til at modstå elastisk deformation under påvirkning af kræfter. Er bygningen lavet af materialer, som har et højt elasticitetsmodul vil det betyde at den kun deformeres lidt under påvirkning og finder tilbage til den oprindelige form, når belastningen ophører. Betragter vi nu figur 7, kan vi se at vi på x- aksen har enheden! =!!, som er forholdet mellem deformationen Δ! og hvilelængden l. På y- aksen har vi enheden! =!, som er! normalspændingen. Normal spændingen har enheden pascal (Pa). Derfor må det gælde denne sammenhæng.! =!" =!!!!.! 17 Udsendelsen Viden Om Ny Jordskælvsikring 10

12 Figur 7 - Grafisk visning af det elastiske område, det flydende område og brudgrænsen. 18 Den lineraritet som der er mellem spænding og tøjning gælder kun op til det man kalder flydegrænsen (illustreret på figur 7). Sker der deformationer under flydegrænsen, så vil stoffet kunne vende tilbage til sin oprindelige længde, når kraften fjernes. Kommer stoffet til gengæld over flydeområdet, så vil den ikke kunne komme tilbage til sin oprindelige længde. I konstruktioner hvor materialet kan blive påvirket på elastisk facon, er det vigtigt at sikre sig at materialet ikke kommer i flydeområdet med diverse deformationer eller at der sker et brud, da bygningen ellers ville falde sammen. 19 Krummes en bjælke, så vil den opfører sig efter denne formel:! =!, hvor! er spændingen, F! er trækkræften og A er tværsnitsarealet. Udover det træk som skaber en spændingen i bjælken når den krummes, så vil den også blive længere. Man siger normalt at den relative forlængelse kan udtrykkes således: 20! =!!. Δ! er den relative forlængelse, l er startlængden! og! er tøjningen som måles i!!. Man kan tegne en arbejdskurve såsom figur 7 ved at! beregne! og!. Arbejdskurven vil vise os en model for, hvordan materialet opfører sig ved forskellige træk. 18 Erik Øhlenschlæger: Fysik for diplomingeniører s Erik Øhlenschlæger: Fysik for diplomingeniører s. 169 l Peder Gammel: Introduktion til statikken s

13 Ser vi igen på figur 7, så kan det linenære stykke på arbejdskurven før flydegrænsen beskrives således:! =!!. Indenfor bygning af konstruktioner skelner vi, mellem hvad materialet bidrager med og hvad formen bidrager med og hvad udformningen af det anvendte materiale bidrager med. Man kan sige, at alt som omhandler E (elasticitetsmodulet) har noget at gøre med materialets bidrag. Geometrien er sædvanligvis omhandlende I (inertimomentet). Synes man f.eks. at en nedbøjningen på en bjælke er for stor, så kan materialet ændres eller udformningen. Statik Den del af den mekaniske fysik, som omhandler kræfter og kræftsystemer, der holder i legemer i ligevægt kaldes statik eller ligevægtslære. Statik omhandler kræfter (F eller P), i ligevægt. Vi kan opstille kræften som værende produktet af massen (m) af en given last, og tyngdekraft (g). Dette kan opstilles således:! =!!. Moment Begrebet moment er den kraftvirkning til, at give et vrid eller en rotation i et legeme. Dette kan f.eks. være når man bøjer en plastic lineal. Momentet er givet ved en krafts moment om et punkt i planen, defineres som produktet af kraftens størrelse og dens vinkelrette afstand fra punktet (jf. figur 8.): 21! =!! Hvor M er momentet P er kraften og L er længden. Figur 8 Krafts moment om et punkt i planen Modstandsmomentet fortæller om et legemes evne til elastisk at optage et bøjningsmoment. Modstandsmomentet er givet ved: 22! = 1 6! h! 21 Willy Vandborg: Statik s inertimomenter- modstandsmomenter- RWN- GNB- revpc pdf s. 8 midt 12

14 Hvor W er mostandsmomentet, b er bredden og h er højden. Materialer Når man undersøger materialer til brug af bærende konstruktioner, betragtes materialerne som fjedre. Man kan ikke altid se fjeder egenskaberne med det blotte øje, hvilket skyldes at mange af materialerne ofte er hårde. Indenfor bygge branchen er der vedtaget nogle standarder, som fortæller os, hvor meget en bygning må bøje afhængigt af, om vi taler om broer, etagebyggerier, højhuse osv. Eksempelvis gælder at max nedbøjningen højst må være!!""!æ!"#$!. Grunden til at sådanne standarder eksisterer, er først at fremmest at konstruktionen skal kunne holde, men også at den skal se sikker ud. Tacoma Narrows- broen var en af de første hængebroer, der nogensinde blev lavet og man havde derfor ikke meget erfaring med sådan en brotype gik det galt og broen kollapsede. Grunden til den kollapsede var, at den pågældende dag var en høj vindhastighed og en kombination af vridninger og lodrette svingninger (flutter). I dag har mange brobyggere lært af denne hændelse og gjort broen mere end tilstrækkelig vridningsstabil broen l

15 Inertimomentet I fysikken beskrives inertimomentet som værende trægheden i et roterende legeme, dvs. dets modstand for at få ændret sin rotationsbevægelse. Inertimomentet for roterende legemer er det samme som massen for legemer, der kan forskydes lineært. Et eksempel på dette kan være togvogne. Det kræver en større kræft at få en tung vogn til at accelerere lige så hurtig som en let vogn. På samme måde gælder det, at et svinghjul med et stort inertimoment kræver et større drejningsmoment for at accelerere lige så hurtigt som et hjul med mindre inertimoment. 24 Inertimomentet for en firkant er defineret således: 25!!"#$%&' =!!!" I formlen står s for tværsnitsmålet som måles i m. Figur 9 - En linedanser som bruger inertimomentet af hans lange stang til at holde balancen. 22 Elasticitetsmodulet Elasticitetsmodulet også kendt som E- modul og Youngs modul er et udtryk for et materiales evne til at modstå elastisk deformation under påvirkning af krafter. Vi betragter et stykke fast stof i form af en stang med en længde l. Den udsættes nu for et aksialt træk med en kræft F. Kræften F er proportional med forlængelsen af emnet Δ! og med tværsnittet A af stangen. Derimod vil kraften F være omvendt proportional med længden l af emnet ved forlængelse under en vis grænse. E betegner elasticitetsmodulet. Den gældende formel er således, at 26! =!" Δl! 24 l (billede) 25 info/ei/notes/materials_notes.pdf s. 6 nederst. 26 Erik Øhlenschlæger: Fysik for diplomingeniører s. 168 nederst. 14

16 Nedbøjning Ved en dimensionering af bygningselementer indgår en undersøgelse af nedbøjningen (w) en særdeles vigtig faktor. Nedbøjningen beskriver, hvor meget en konstruktion bøjer ved en given belastning. For en stang fastgjort i den ene ende gælder følgende (jf. figur 10): 27 Figur 10 - Diagram over moment bøjningen!!!:!! =!!! (3!!) 6!" For en stang fastgjort i begge ender gælder følgende (jf. figur 11): 28 0!!! :!!"# =!!! 48!" Figur 11 Diagram over moment bøjningen for en indspændt bjælke I formlerne står P for kraften, L er længden af bjælken, E er elasticitets modulet, I er inertimomentet,!! og!!"# er den maksimale længde af den bøjning man får ved en given belastning. 27 Aslam Kassimali: Structural Analysis s. 1 (formel samlingen) 28 Aslam Kassimali: Structural Analysis s. 2 (formel samlingen) 15

17 Forsøg 1: Undersøgelse af materialeparametre mht. nedbøjning Formål Formålet med dette forsøg var, at bestemme de materialeparametre, som var vigtige for nedbøjningen af en træliste, som var fastgjort i den ene ende. Opstilling og materialer Til forsøget har jeg brugt en skruetvinge, et bord, fyrtræs træliste, let og uporøs snor, lodder med en vægt på hhv. 0,1kg, 0,2kg, 0,5kg, og 1kg, vaterpas og en lineal. (jf. opstilling 1): Fremgangsmåde Jeg startede med at måle højden og bredden på trælisten. Derefter spændte jeg trælisten fast på bordet med en skruetvinge, sådan så der var 1 meter fra enden af trælisten til bordkanten (jf. opstilling 1). Derefter målte jeg hvor højt der var fra gulvet til trælisten. Jeg spændt derefter en let og uporøs snor fast på enden af trælisten, sådan så jeg kunne Opstilling 1 - Stang fastgjort i den ene ende. sætte lodder på snoren. Derefter satte jeg vægt på snoren, sådan så stangen begyndte at bøje. Jeg målte derefter hvor langt der fra enden af trælisten og ned til jorden, mens der hang vægt på snoren. Dette gjorde jeg ved brug af en lineal og et vaterpas. Jeg lavede denne måling med vægte på hhv. 0,1kg 0,2kg 0,3kg og op til 1kg. Jeg udførte derefter samme forsøg med den ene ændring, at der i stedet for at være 1 meter fra enden af trælisten til bordkanten var der i stedet 0,5 meter. 16

18 Målinger og resultatbehandling Forsøg 1a: Længde fra bordkant til enden af stangen = 1 meter. Jeg starter med at lave regression og opstiller en graf for tabel 1. Længde (m) 0,0050 0,0000-0,0050-0,0100-0,0150-0,0200-0,0250-0,0300-0,0350-0,0400-0,0450-0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 påført masse (kg) Graf 1 - Regression af målinger fra forsøg 1a. Lavet udfra tabel 1. Bemærk at hældningen er negativ da det er en nedbøjning. y = - 0,0436x + 7E- 05 R² = 0,99881 Tabel 1 - Målinger fra forsøg 1a. På venstre side ser vi den påførte vægt i kg. På den højre side er hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt Den givne ligning for hældningen er (jf. graf 1):! = 0,0436! !! Jeg omskriver nu hældningen for grafen.! = 0,0436!!"! !!! Hvor x er målt i kg. Udfra hældningen kan jeg se, at for hvert kg som man sætter på enden af trælisten vil den bøje 0,0436 m eller 4,36 cm ned. Jeg laver nu en arbejdskurve udfra vores målte data. Dette gør jeg ved at udregne momentet og modstandsmomentet. Spændingen (!) beregnes ved brug af formlen! =!! =!!!!!!! 17

19 20 Spænding (MPa) R² = 0, ,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Graf 2 - Arbejdskurve for forsøg 1a. Lavet udfra tabel 2. Nedbøjning (m) Forsøg 1b: Længde fra bordkant til enden af stangen = 0,5 meter. Tabel 2 - Målinger fra forsøg 1a. På venstre side ser vi hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt. På højre side ser vi den udregnede spændingen. Jeg starter med at lave regression og opstiller en graf for tabel 3. 0,0010 Længde (m) 0,0000-0,0010-0,0020-0,0030-0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 y = - 0,0068x + 0,0003 R² = 0, ,0050-0,0060-0,0070 Påført masse (kg) Tabel 3 - Målinger fra forsøg 1b. På venstre side ser vi den påførte vægt i kg. På den højre side er hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt Graf 3 - Regression af målinger fra forsøg 1b. Lavet udfra tabel 3. Bemærk at hældningen er negativ da det er en nedbøjning. Den givne ligning for hældningen er (jf. graf 3):! = 0,0068! + 0,0003 Jeg omskriver nu hældningen for grafen.! = 0,0068!!"! + 0,0003! 18

20 Hvor x er målt i kg. Udfra hældningen kan jeg se, at for hvert kg man sætter på enden af trælisten vil den bøje 0,0068 m eller 0,68 cm ned. Jeg laver nu en arbejdskurve udfra vores målte data. Dette gør jeg ved at udregne momentet og modstandsmomentet. Spændingen (!) beregnes ved brug af formlen! =!! =!!!!!!! Spænding (MPa) Graf 4 Arbejdskurve for forsøg 1b. Lavet udfra tabel 4. R² = 0, ,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 Nedbøjning (m) Tabel 4 - Målinger fra forsøg 1b. På venstre side ser vi hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt. På højre side ser vi den udregnede spændingen. Diskussion Der var ikke mange fejlkilder. Den fejlkilde der kunne påvirke forsøget er, at det ikke var helt let at måle afstanden fra gulvet og op til trælisten under nedbøjningen. Man kunne have gjort forsøget bedre ved at f.eks. anvende en laser til måling af afstanden mellem trælisten og gulvet under nedbøjningen. Jeg mener dog ikke, at vores forsøg ville være mere præcist. Jeg har fået nogle gode resultater og vores målinger har en flot linenær sammenhæng på graf 1 og 3. Det betyder at der en tendens til, at vores udregninger for nedbøjningen er korrekte. På graf 2 og 4 ser vi også en rigtig pæn linenær sammenhæng. Det betyder at vores materiale har befundet sig indenfor et elastisk område. Når en vores trælister har befundet sig inde i et elastisk område betyder det, at de deformationer som sket under nedbøjningen ikke er permanente. Altså har vores træliste ikke ændret form efter nedbøjningen. Havde vi påført mere og mere vægt ville vi på et tidspunkt nå til den flydende grænse. Dette ville have betydet at efter vi tog vægten af, så ville trælisten ikke have samme form mere. 19

21 Udfra de to forsøg vi har udført, har vi også fundet ud af, at der skal være en større kræft/påført vægt for at nedbøjningen bliver lige så stor på en træliste, som har en længde på 0,5 meter i forhold til en på træliste på 1 meter. Det vil vi kunne se ved at sammenligne forsøg 1a og forsøg 1b. Vi fandt ud af i forsøg 1a at trælisten på 1 meter ville nedbøje 4,36 cm per påført kg hvorimod i forsøg 1b hvor trælisten var 0,5 meter ville den kunne bøje 0,68 cm per påført kg. Vi må altså bekræfte, at der en tendens til, at der er en proportionalitet imellem længden af trælisten og nedbøjningen. Konklusion Det var et godt forsøg, fordi jeg fandt frem til nogle gode nedbøjninger, som havde et lineært sammenhæng med den påførte kraft/vægt. Hvilket var hvad vi havde forventet. Vi fandt også ud af, at trælisten var relativ stærk, siden vi ikke kom i nærheden af den flydende grænse til trods for, at det ikke var den tykkeste træliste. Proportionalitet imellem trælisten og nedbøjningen blev også bekræftet ved at sammenligne forsøg 1a og 1b. Løsning af bjælkens differentialligning Vi har en bjælke der er fastspændt i den ene ende og en kraft i den anden. Momentet vil modvirke kræftens vridning af bjælken (jf. figur 12). Vores model som vi opstiller, følger samme princip som figur 10 med en lokal x- akse startende i understøtningen. En Bjælkes differentialligning er givet ved: 29!"!!! =!! =!"!!! Jeg starter med at integrerer ligningen to gange.!"!"!" =!!!!! +!!!"# = 1 6!!! +!!! +!! Figur 12 - Momentet modvirker kraften 29 C. Hartsuijker & J.W. Welleman: Engineering mechanics- volume 2 20

22 Tim Emil Vejborg Bærende konstruktioner - SRP Borupgaard Gymnasium - 3.Y Dato: 20. december 2012 kl. 11:45 Vi har nu to randbetingelser hvor det gælder at nedbøjningen og rotationen er nul i understøtningen.!" 1 0 = 0!" 0 =! 0! +!!!! = 0!" 2 1! 0 = 0!" 0 =! 0! +!! 0 +!!!! = 0 6 Jeg kan nu se, at udtrykket for nedbøjningen kan skrives således (jeg indfører minus foran ligningen da det er en nedbøjning):!! =!!! 6!" Jeg vil nu afprøve den matematiske model ved variationer af forsøget. Praktisk set har vi i forsøg 1a fundet ud af, at trælisten på 1 meter ville nedbøje 4,36 cm per påført kg. I forsøg 1b fandt vi ud af den ville at trælisten på 0,5 meter ville nedbøje 0,68 cm per påført kg. Jeg finder nu den teoretiske nedbøjning per påført kg for en træliste på hhv. 0,5 meter og 1 meter. Vi starter med at finde inertimomentet for vores træliste.!!"#$%&'!! (0,0147!)! =!!"#$%&' = = 3,89 10!!!! Ifølge bilag 1 så har vores træliste (red spruce) en elasticitetsmodul på 1,61 10!!"# hvilket svarer til 10,95!"#. Trælisten på 0,5 meter vejer 0,07325 kg og trælisten på 1 meter vejer 0,1465 kg. Nu indsætter vi de kendte størrelser!!!!! =! 1!" 6!"!,! 1!" 9,82!!! 0,5!! = = 0,004803! = 0,48!" 6 10,95!"# 3,89 10!!!!!! =!!!! 1!" 6!"!,! = 1!" 9,82!!! 1!! = 0, ! = 3,8!" 6 10,95!"# 3,89 10!!!! 21

23 Teoretisk set fortæller vores model for en træliste på 0,5 meter, at hvis der udføres forsøg 1b så vil trælisten nedbøje 2,8 cm per påført kg. Udfører vi forsøget 1a så skulle trælisten på 1 meter teoretisk set nedbøje 5,6 cm per påført kg. Jeg udregner nu afvigelsen.!!"#$%&'(& =!"#$%&æ!"#!!å!"!æ!"#!"#!"#æ!"# 100 %!!"#$%&'(!!,! =!!,!"!"!!!,!"!"!!.!"!" 100 % = 41, 7 %!!"#$%&'(& =!"#$%&æ!"#!!å!"!æ!"#!"#$%&æ!"# 100 %!!"#$%&'(!!,! =!!,!!"!!!,!!"!!,!!" 100 % = 15,8 % % Grunden til de høje afvigelser skyldes det opslået elasticitetsmodul. Når man ser på hvordan træer ser ud så ses det hurtigt, at alle træer af samme art ikke er homogene (ensartet). Det er derfor umuligt at generalisere elasticitetsmodulet for et træ. Alle de forskellige former på træet gør, at det ikke er homogent (jf. billede 1) f.eks. så kan et træ i en periode vokse rigtig godt, fordi den har fået god nærings, vand, ilt osv. Hvorimod den måske i andre tilfælde ikke har fået lov til at vokse særlig godt pga. mangel på sol og næring. Det er derfor uholdbart at anvende et generelt elasticitetsmodul for legemer, som ikke er homogene. Havde vi haft det akkurate elasticitetsmodul for trælisten, så ville modellen være meget mere præcis. Modellen ville blive meget mere præcis hvis man brugte hældningen fra graferne, isoleret E og brugte den værdi. Billede 1 knaster i træer skaber en ujævnhed som gør træet mere uholdbart. 22

24 Forsøg 2: Bestemmelse af en trælistes materialeparametre Formål Formålet med dette forsøg var, at bestemme materialeparametre for en træliste, som var fastgjort i begge ender. Opstilling og materialer Til forsøget har jeg brugt to stativer med skruetvinger, fyrtræs træliste, let og uporøs snor, lodder med en vægt på hhv. 0,25 kg, 0,50 kg, 1kg, 2kg. Jeg har også anvendt et vaterpas og en lineal. Fremgangsmåde Opstilling 2 - Trælisten er fastgjort i begge ender. Jeg startede med at måle længden af trælisten og satte derefter en mærke på midten af stangen. Derefter satte jeg to stativer op med skruetvinger på og spændte trælisten fast (jf. opstilling 2). Så målte jeg højden fra midtpunktet af trælisten og ned til gulvet uden belastning. Jeg spændte nu snoren fast på midten af trælisten og satte lodder på snoren, så trælisten begyndte at bøje. Jeg lavede målinger med en belastning på hhv. 0,25 kg, 0,5 kg 0,75 kg og op til 2,5 kg. På hver af de 11 forskellige belastninger målte jeg højden fra midtpunktet af bjælken og til gulvet. Dette gjorde jeg ved brug at et vaterpas og en lineal. Målinger og resultatbehandling Trælisten længde fra skruetvinge til skruetvinge = 1,92 meter. Jeg starter med at lave regression og opstiller en graf for tabel 3. 23

25 0,0050 Længde (m) 0,0000-0,0050-0,0100-0,0150-0,0200-0, ,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 y = - 0,0168x R² = 0,998-0,0300-0,0350-0,0400-0,0450 Påført masse (kg) Tabel 5 - Målinger fra forsøg 2. På venstre side ser vi den påførte vægt i kg. På den højre side er hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt Graf 5 - Regression af målinger fra forsøg 2. Lavet udfra tabel 5. Bemærk at hældningen er negativ da det er en nedbøjning. Den givne ligning for hældningen er! = 0,0168! + 0,0008 Jeg omskriver nu hældningen.! = 0,0168!!"! + 0,0008! Hvor x er målt i kg. Udfra hældningen kan jeg se, at for hvert kg man sætter på midten af stangen vil den nedbøje 0,00168 m eller 1,68 cm ned. Diskussion Forsøget gik godt uden nogen betydelige fejlkilder. På graf 5 har vi en rigtig god linenær sammenhæng med R 2 - værdi eller en determinationskoefficient på 0,998. Dette betyder, at vi med stor sikkerhed kan være sikker på, at den givne hældning stemmer overens med, hvor meget trælisten ville nedbøje, hvis man foresatte med at påfører vægt. Udfra graf 5 kan vi også se, at vi har en ligefrem proportionalitet mellem den påførte masse og nedbøjningen. Altså følger hældningen formen! =!". Forsøget ville være mere optimalt, hvis vi havde målt nedbøjningen med en laser fremfor at anvende en lineal og et vaterpas. 24

26 Tim Emil Vejborg Bærende konstruktioner - SRP Borupgaard Gymnasium - 3.Y Dato: 20. december 2012 kl. 11:45 Konklusion Det var et godt forsøg, da jeg fandt frem til nogle gode nedbøjninger som havde en ligefrem proportionalitet med den påførte masse. Matematisk model for nedbøjningen Jeg vil nu lave en matematisk model for nedbøjningen af vores træliste som er fastgjort i begge ender. Udregning af inertimomentet:!!"#$%&' =!! (0,0147!)!!!"#$%&' = = 3,89 10!!!! Ifølge bilag 1 så har vores træliste (red spruce) en elasticitetsmodul på 1,61 10!!"# hvilket svarer til 10,95!"#. Den givne ligning for nedbøjningen af en stang fastspændt i begge ender og med en kraft som trykker nedad på midten er (jf. figur 11 s. 14):!!"# =!!! 48!" Jeg opstiller nu en model for nedbøjningen for vores træliste som er fastspændt i begge ender:!! =!!!! 9,82!!! 1,92!!!! = 48!" 48 10,95!"# 3,89 10!!!! Vi kan nu teste hvor meget vores træbjælke teoretisk burde nedbøje for kg vi påfører.! 9,82!!! 1,92!!!! = 48 10,95!"# 3,89 10!!!!! 1!" = 1!" 9,82!!! 1,92!! = 0,034! 48 10,95!"# 3,89 10!!!! 25