Borupgaard Gymnasium Studieretningsopgave 3g

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Borupgaard Gymnasium Studieretningsopgave 3g 2012-2013"

Transkript

1 Borupgaard Gymnasium Studieretningsopgave 3g

2 Tim Emil Vejborg Bærende konstruktioner - SRP Borupgaard Gymnasium - 3.Y Dato: 20. december 2012 kl. 11:45 Forside Bærende konstruktioner SRP Fag: Matematik A og Fysik B Morten Pedersen og Peter Klint Jensen Forfatter: Tim Emil Vejborg Borupgaard Gymnasium 1

3 Abstract This paper examines the theory behind structural analysis in areas commonly exposed to earthquakes. Experiments that exhibit formulations of mathematical models are presented. Such experimental setups include, but are not limited to, a model that demonstrates the bending of a beam attached in one and both ends respectively. Concretely, we have verified the properties that constitute the effect of bending a wood beam, presented by the experiments 1 and 2. On the basis of the first and second experiment, we have derived a theoretical mathematical model which accurately describes the tensile strength (i.e. bending strength) law of a beam. In addition, a third and final experiment was carried out to determine the material- related parameters vital for the optimal construction of buildings, from which the results were the derivation of Young s modulus (also known as the tensile modulus or elastic modulus). Conclusively, we have combined all information regarding the project, and put rest to several considerations regarding construction of large buildings in areas commonly exposed to earthquakes. 2

4 Indholdsfortegnelse Forside... 1 Abstract... 2 Indholdsfortegnelse... 3 Indledning... 5 Jordskælv... 5 Jordskælvsbølger... 5 P- bølger... 6 S- bølger Overfladebølger... 8 Grundlæggende materialeparametre ved bygningskonstruktion... 9 Statik Moment Materialer Inertimomentet Elasticitetsmodulet Nedbøjning Forsøg 1: Undersøgelse af materialeparametre mht. nedbøjning Formål Opstilling og materialer Fremgangsmåde Målinger og resultatbehandling Diskussion Konklusion Løsning af bjælkens differentialligning Forsøg 2: Bestemmelse af en trælistes materialeparametre Formål Opstilling og materialer Fremgangsmåde Målinger og resultatbehandling Diskussion

5 Konklusion Matematisk model for nedbøjningen Forsøg 3 Bestemmelse af elasticitetsmodul Formål Opstilling og materialer Fremgangsmåde Målinger og resultatbehandling Diskussion Konklusion Store konstruktioner i områder med jordskælv Konklusion Litteraturliste Bilag 1 Wood strengths

6 Indledning Sammenstyrtede bygninger, hjemløse mennesker og tusindvis af døde. Det kan være de alvorlige konsekvenser af de rystelser, som jorden dagligt udsættes for. I Danmark og i hele verden arbejder ingeniører og forskere på at finde banebrydende opfindelser, som kan bremse jordskælvsrystelser i bygninger, så antallet af skader bliver formindsket. I dette projekt undersøges materiale parametre til bygningskonstruktion ved forsøg og der fremstilles matematiske modeller over nedbøjningen for en træliste. Ved forsøg bestemmes et vigtigt materialeparameter nemlig elasticitetsmoment for vores træliste. Derudover fortælles der også, om hvilke hensyn der skal tages, når man bygger store eller små konstruktioner i jordskælvsramte områder. Jordskælv Et jordskælv er en rystelse i jordens skorpe. Rystelsen skyldes bevægelserne imellem de tektoniske plader, som jordens skorpe er opdelt i. Jordskælv kan opstå på forskellige måder afhængig af, hvordan pladerne bevæger sig i forhold til hinanden. De tektoniske plader kan støde sammen, hvorved den ene plade vil blive skubbet opad eller nedad eller begge plader kan skubbes opad. Pladerne kan også trække sig fra hinanden eller forskubbe sig sideværts i forhold til hinanden. 1 Man måler et jordskælvs objektive styrke på Richter- skalaen, der ud fra seismiske registreringer kan måle, hvor kraftigt de givne jordskælv er. 2 Jordskælvsbølger Jordskælvsbølger og bølger i jordoverfladen fra alle typer af jordrystelser registreres med en seismograf. 3 Seismiske bølger er trykbølger og forskydningsbølger, som udbreder sig igennem jorden eller andre elastiske konstruktioner/legemer. 4 Dette er specielt interessant, fordi man som f.eks. bygningsingeniør bliver nød til at tage hensyn til jordskælvsbølger, når man skal bygge en bærende konstruktion. 1 om- jordskaelv Første afsnit l om- jordskaelv Andet afsnit l Finn Elvekjær & Torben Benoni: FysikABbogen s. 216 l l. 1 5

7 Jordskælvsbølger udbreder sig både ved longitudinale og transversale svingninger i jordoverfladen. De longitudinale svingninger kaldes P- bølger som står for Primary wave eller pressure wave. De transversale svingninger kaldes S- bølger som står for Secondary wave eller Shear wave. 5 P- bølger Et udsving fra en bølge der sker i bølgens udbredelsesretning, kaldes for en længdebølge eller en longitudinalbølge. Når man snakker om jordskælv og bølger, så betegnes længdebølger som P- bølger. Primary wave betegner, at det er den bølge som udbreder sig med den største fart og derfor er det også den bølge, som når først frem til de seismiske målestationer. 6 Figur 1 Udbredelsesretningen for en P- bølge. 7 På ovenstående figur skal vi forestille os, at et klippestykke er delt op i små skiver. Skiverne vil skiftevis blive udvidet og mast sammen, når en P- bølge passerer klippestykket. Vi forstiller os, nu at en træbjælke fra en bygning vil blive ramt af en P- bølge og følgende vil ske (jf. figur 2). På figur 2 ser vi at bjælken skiftevis presses sammen og strækkes. Normalt sker det, at når et materiale bliver ramt af en P- bølge, så vil materialet presses sammen og 5 Finn Elvekjær & Torben Benoni: FysikABbogen s. 216 l s.1 l s. 1 nederst. 6

8 strækkes parallelt med bevægelsesretningen. Figur 2- En træbjælke fra et hus rammes af trykbølger (P- bølge). 8 S- bølger. En tværbølge er en bølge, hvor udsvinget sker på tværs af bølgens udbredelsesretning. Når vi snakker om jordskælv, så anvendes betegnelsen S- bølger for tværbølger. Secondary wave betegner, at bølgen udbreder sig med en lavere fart end P- bølgen og derfor ankommer den senere end P- bølgen i de seismiske målinger. 9 Figur 3 - Udbredelsesretningen for en S- bølge. 10 På ovenstående figur skal vi forestille os, at et klippestykke som er delt op i små skiver. Vi ser her, at skiverne skiftevis bliver udvidet og mast sammen, når P- bølgen passerer klippestykket s. 1 l

9 Vi forstiller os nu at en træbjælke fra en bygning vil blive ramt af en S- bølge og følgende vil ske. På figur 4 ser vi, at bjælken svinger frem og tilbage på tværs af udbredelsesretningen. Når S- bølgen passerer bjælken. Figur 4 - En træbjælke fra et hus rammes af en forskydningsbølge (S- bølge). 11 Overfladebølger Når bølgebevægelserne fra P- og S- bølgerne når op til områder i jordens overflade, kan der skabes nogle andre typer bølge, som løber langs overfladen. De vigtigste af de bølger som skabes er Love- bølger (L- bølge) og Rayleigh- bølger (R- bølge). Det er især jordskælv i jordens øvre lag (dvs. højst 50 km nede), som skaber kraftige overfladebølger. 12 En L- bølge kan opfattes som en vandret polariseret S- bølge, som bevæger sig i overfladen af jorden. En L- bølge vil få jordoverfladen til at bevæge sig fra side til side i en vandret plan uden nogen lodret bevægelse, når den passerer et sted. Bevægelsen fra side til side sker vinkelret på bølgens udbredelsesretning. 13 (jf. figur 5) Peter Husby: Jordskælv - Jorden fra yderst til inderst s. 14 l Peter Husby: Jordskælv - Jorden fra yderst til inderst s. 14 l

10 Figur 5 L- og R- bølges udbredelse i overfladen. 14 En R- bølge er en blanding af en P- bølge og en S- bølger og man kan sige at den nærmest minder om en bølge i vandoverfladen, hvor de enkelte vandpartikler bevæger sig op og ned og samtidig frem og tilbage (jf. figur 5). R- bølgerne er overfladebølger ligesom L- bølgerne. 15 Grundlæggende materialeparametre ved bygningskonstruktion Når et jordskælv udløses og rammer bygninger, så vil fundamentet pludselig bevæge sig i vandret retning og huse vil strækkes og deformeres eller i værste tilfælde slippe fundamentet. Dette kan betyde, at nogle bygningselementer kan vælte. I større bygninger såsom højhuse kan der forekomme svingninger i konstruktionen. Er højhuset ikke dimensioneret til at skabe en modstandskræft (friktion) som kan bremse rystelserne fra jordskælvet, så vil den styrte sammen. 16 I udsendelsen Viden Om Ny Jordskælvsikring fra DR hører vi om en dansk jordskælvsdæmper med et helt nyt banebrydende koncept, som kan bremse rystelserne i bygningerne. Opfindelsen kan altså sikre bygninger verden over mod jordskælvskatastrofer. Opfindelsen virker på den måde, at jordskælvsdæmperen (jf. figur 6) består af 3 stålplader (de Peter Husby: Jordskælv - Jorden fra yderst til inderst s. 14 l s. 3 l

11 røde) og mellem dem spændes to bremseskiver (de blå). Dæmperne installeres i en bygnings stålwire og virker sådan at under en jordrystelse vil stålpladerne blive trykket fra side til side, og bremseskiverne vil med deres gnidningsmodstand optage energien fra bevægelsen. Den bremsende organisme vil på den måde holde bygningen i spænd og reducere påvirkningen fra de kraftige jordrystelser. Figur 6 - Den banebrydende jordskælvsdæmper 17 Har vi en bærende konstruktion, hvor vi ønsker at beskytte den imod jordskælv ved f.eks. at anvende den banebrydende jordskælvsdæmper fra udsendelsen Viden Om Ny Jordskælvsikring, skal vi tage hensyn til hvilket materiale bygningen er lavet af. Da alle jordskælvssikrede bygninger vil have svingninger i konstruktionen, betyder det også at man skal tage hensyn hvad bygningens elasticitetsmodul (E) er. Dette betyder, at man skal forstå, hvor stor bygningens evne er til at modstå elastisk deformation under påvirkning af kræfter. Er bygningen lavet af materialer, som har et højt elasticitetsmodul vil det betyde at den kun deformeres lidt under påvirkning og finder tilbage til den oprindelige form, når belastningen ophører. Betragter vi nu figur 7, kan vi se at vi på x- aksen har enheden! =!!, som er forholdet mellem deformationen Δ! og hvilelængden l. På y- aksen har vi enheden! =!, som er! normalspændingen. Normal spændingen har enheden pascal (Pa). Derfor må det gælde denne sammenhæng.! =!" =!!!!.! 17 Udsendelsen Viden Om Ny Jordskælvsikring 10

12 Figur 7 - Grafisk visning af det elastiske område, det flydende område og brudgrænsen. 18 Den lineraritet som der er mellem spænding og tøjning gælder kun op til det man kalder flydegrænsen (illustreret på figur 7). Sker der deformationer under flydegrænsen, så vil stoffet kunne vende tilbage til sin oprindelige længde, når kraften fjernes. Kommer stoffet til gengæld over flydeområdet, så vil den ikke kunne komme tilbage til sin oprindelige længde. I konstruktioner hvor materialet kan blive påvirket på elastisk facon, er det vigtigt at sikre sig at materialet ikke kommer i flydeområdet med diverse deformationer eller at der sker et brud, da bygningen ellers ville falde sammen. 19 Krummes en bjælke, så vil den opfører sig efter denne formel:! =!, hvor! er spændingen, F! er trækkræften og A er tværsnitsarealet. Udover det træk som skaber en spændingen i bjælken når den krummes, så vil den også blive længere. Man siger normalt at den relative forlængelse kan udtrykkes således: 20! =!!. Δ! er den relative forlængelse, l er startlængden! og! er tøjningen som måles i!!. Man kan tegne en arbejdskurve såsom figur 7 ved at! beregne! og!. Arbejdskurven vil vise os en model for, hvordan materialet opfører sig ved forskellige træk. 18 Erik Øhlenschlæger: Fysik for diplomingeniører s Erik Øhlenschlæger: Fysik for diplomingeniører s. 169 l Peder Gammel: Introduktion til statikken s

13 Ser vi igen på figur 7, så kan det linenære stykke på arbejdskurven før flydegrænsen beskrives således:! =!!. Indenfor bygning af konstruktioner skelner vi, mellem hvad materialet bidrager med og hvad formen bidrager med og hvad udformningen af det anvendte materiale bidrager med. Man kan sige, at alt som omhandler E (elasticitetsmodulet) har noget at gøre med materialets bidrag. Geometrien er sædvanligvis omhandlende I (inertimomentet). Synes man f.eks. at en nedbøjningen på en bjælke er for stor, så kan materialet ændres eller udformningen. Statik Den del af den mekaniske fysik, som omhandler kræfter og kræftsystemer, der holder i legemer i ligevægt kaldes statik eller ligevægtslære. Statik omhandler kræfter (F eller P), i ligevægt. Vi kan opstille kræften som værende produktet af massen (m) af en given last, og tyngdekraft (g). Dette kan opstilles således:! =!!. Moment Begrebet moment er den kraftvirkning til, at give et vrid eller en rotation i et legeme. Dette kan f.eks. være når man bøjer en plastic lineal. Momentet er givet ved en krafts moment om et punkt i planen, defineres som produktet af kraftens størrelse og dens vinkelrette afstand fra punktet (jf. figur 8.): 21! =!! Hvor M er momentet P er kraften og L er længden. Figur 8 Krafts moment om et punkt i planen Modstandsmomentet fortæller om et legemes evne til elastisk at optage et bøjningsmoment. Modstandsmomentet er givet ved: 22! = 1 6! h! 21 Willy Vandborg: Statik s inertimomenter- modstandsmomenter- RWN- GNB- revpc pdf s. 8 midt 12

14 Hvor W er mostandsmomentet, b er bredden og h er højden. Materialer Når man undersøger materialer til brug af bærende konstruktioner, betragtes materialerne som fjedre. Man kan ikke altid se fjeder egenskaberne med det blotte øje, hvilket skyldes at mange af materialerne ofte er hårde. Indenfor bygge branchen er der vedtaget nogle standarder, som fortæller os, hvor meget en bygning må bøje afhængigt af, om vi taler om broer, etagebyggerier, højhuse osv. Eksempelvis gælder at max nedbøjningen højst må være!!""!æ!"#$!. Grunden til at sådanne standarder eksisterer, er først at fremmest at konstruktionen skal kunne holde, men også at den skal se sikker ud. Tacoma Narrows- broen var en af de første hængebroer, der nogensinde blev lavet og man havde derfor ikke meget erfaring med sådan en brotype gik det galt og broen kollapsede. Grunden til den kollapsede var, at den pågældende dag var en høj vindhastighed og en kombination af vridninger og lodrette svingninger (flutter). I dag har mange brobyggere lært af denne hændelse og gjort broen mere end tilstrækkelig vridningsstabil broen l

15 Inertimomentet I fysikken beskrives inertimomentet som værende trægheden i et roterende legeme, dvs. dets modstand for at få ændret sin rotationsbevægelse. Inertimomentet for roterende legemer er det samme som massen for legemer, der kan forskydes lineært. Et eksempel på dette kan være togvogne. Det kræver en større kræft at få en tung vogn til at accelerere lige så hurtig som en let vogn. På samme måde gælder det, at et svinghjul med et stort inertimoment kræver et større drejningsmoment for at accelerere lige så hurtigt som et hjul med mindre inertimoment. 24 Inertimomentet for en firkant er defineret således: 25!!"#$%&' =!!!" I formlen står s for tværsnitsmålet som måles i m. Figur 9 - En linedanser som bruger inertimomentet af hans lange stang til at holde balancen. 22 Elasticitetsmodulet Elasticitetsmodulet også kendt som E- modul og Youngs modul er et udtryk for et materiales evne til at modstå elastisk deformation under påvirkning af krafter. Vi betragter et stykke fast stof i form af en stang med en længde l. Den udsættes nu for et aksialt træk med en kræft F. Kræften F er proportional med forlængelsen af emnet Δ! og med tværsnittet A af stangen. Derimod vil kraften F være omvendt proportional med længden l af emnet ved forlængelse under en vis grænse. E betegner elasticitetsmodulet. Den gældende formel er således, at 26! =!" Δl! 24 l (billede) 25 info/ei/notes/materials_notes.pdf s. 6 nederst. 26 Erik Øhlenschlæger: Fysik for diplomingeniører s. 168 nederst. 14

16 Nedbøjning Ved en dimensionering af bygningselementer indgår en undersøgelse af nedbøjningen (w) en særdeles vigtig faktor. Nedbøjningen beskriver, hvor meget en konstruktion bøjer ved en given belastning. For en stang fastgjort i den ene ende gælder følgende (jf. figur 10): 27 Figur 10 - Diagram over moment bøjningen!!!:!! =!!! (3!!) 6!" For en stang fastgjort i begge ender gælder følgende (jf. figur 11): 28 0!!! :!!"# =!!! 48!" Figur 11 Diagram over moment bøjningen for en indspændt bjælke I formlerne står P for kraften, L er længden af bjælken, E er elasticitets modulet, I er inertimomentet,!! og!!"# er den maksimale længde af den bøjning man får ved en given belastning. 27 Aslam Kassimali: Structural Analysis s. 1 (formel samlingen) 28 Aslam Kassimali: Structural Analysis s. 2 (formel samlingen) 15

17 Forsøg 1: Undersøgelse af materialeparametre mht. nedbøjning Formål Formålet med dette forsøg var, at bestemme de materialeparametre, som var vigtige for nedbøjningen af en træliste, som var fastgjort i den ene ende. Opstilling og materialer Til forsøget har jeg brugt en skruetvinge, et bord, fyrtræs træliste, let og uporøs snor, lodder med en vægt på hhv. 0,1kg, 0,2kg, 0,5kg, og 1kg, vaterpas og en lineal. (jf. opstilling 1): Fremgangsmåde Jeg startede med at måle højden og bredden på trælisten. Derefter spændte jeg trælisten fast på bordet med en skruetvinge, sådan så der var 1 meter fra enden af trælisten til bordkanten (jf. opstilling 1). Derefter målte jeg hvor højt der var fra gulvet til trælisten. Jeg spændt derefter en let og uporøs snor fast på enden af trælisten, sådan så jeg kunne Opstilling 1 - Stang fastgjort i den ene ende. sætte lodder på snoren. Derefter satte jeg vægt på snoren, sådan så stangen begyndte at bøje. Jeg målte derefter hvor langt der fra enden af trælisten og ned til jorden, mens der hang vægt på snoren. Dette gjorde jeg ved brug af en lineal og et vaterpas. Jeg lavede denne måling med vægte på hhv. 0,1kg 0,2kg 0,3kg og op til 1kg. Jeg udførte derefter samme forsøg med den ene ændring, at der i stedet for at være 1 meter fra enden af trælisten til bordkanten var der i stedet 0,5 meter. 16

18 Målinger og resultatbehandling Forsøg 1a: Længde fra bordkant til enden af stangen = 1 meter. Jeg starter med at lave regression og opstiller en graf for tabel 1. Længde (m) 0,0050 0,0000-0,0050-0,0100-0,0150-0,0200-0,0250-0,0300-0,0350-0,0400-0,0450-0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 påført masse (kg) Graf 1 - Regression af målinger fra forsøg 1a. Lavet udfra tabel 1. Bemærk at hældningen er negativ da det er en nedbøjning. y = - 0,0436x + 7E- 05 R² = 0,99881 Tabel 1 - Målinger fra forsøg 1a. På venstre side ser vi den påførte vægt i kg. På den højre side er hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt Den givne ligning for hældningen er (jf. graf 1):! = 0,0436! !! Jeg omskriver nu hældningen for grafen.! = 0,0436!!"! !!! Hvor x er målt i kg. Udfra hældningen kan jeg se, at for hvert kg som man sætter på enden af trælisten vil den bøje 0,0436 m eller 4,36 cm ned. Jeg laver nu en arbejdskurve udfra vores målte data. Dette gør jeg ved at udregne momentet og modstandsmomentet. Spændingen (!) beregnes ved brug af formlen! =!! =!!!!!!! 17

19 20 Spænding (MPa) R² = 0, ,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Graf 2 - Arbejdskurve for forsøg 1a. Lavet udfra tabel 2. Nedbøjning (m) Forsøg 1b: Længde fra bordkant til enden af stangen = 0,5 meter. Tabel 2 - Målinger fra forsøg 1a. På venstre side ser vi hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt. På højre side ser vi den udregnede spændingen. Jeg starter med at lave regression og opstiller en graf for tabel 3. 0,0010 Længde (m) 0,0000-0,0010-0,0020-0,0030-0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 y = - 0,0068x + 0,0003 R² = 0, ,0050-0,0060-0,0070 Påført masse (kg) Tabel 3 - Målinger fra forsøg 1b. På venstre side ser vi den påførte vægt i kg. På den højre side er hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt Graf 3 - Regression af målinger fra forsøg 1b. Lavet udfra tabel 3. Bemærk at hældningen er negativ da det er en nedbøjning. Den givne ligning for hældningen er (jf. graf 3):! = 0,0068! + 0,0003 Jeg omskriver nu hældningen for grafen.! = 0,0068!!"! + 0,0003! 18

20 Hvor x er målt i kg. Udfra hældningen kan jeg se, at for hvert kg man sætter på enden af trælisten vil den bøje 0,0068 m eller 0,68 cm ned. Jeg laver nu en arbejdskurve udfra vores målte data. Dette gør jeg ved at udregne momentet og modstandsmomentet. Spændingen (!) beregnes ved brug af formlen! =!! =!!!!!!! Spænding (MPa) Graf 4 Arbejdskurve for forsøg 1b. Lavet udfra tabel 4. R² = 0, ,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 Nedbøjning (m) Tabel 4 - Målinger fra forsøg 1b. På venstre side ser vi hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt. På højre side ser vi den udregnede spændingen. Diskussion Der var ikke mange fejlkilder. Den fejlkilde der kunne påvirke forsøget er, at det ikke var helt let at måle afstanden fra gulvet og op til trælisten under nedbøjningen. Man kunne have gjort forsøget bedre ved at f.eks. anvende en laser til måling af afstanden mellem trælisten og gulvet under nedbøjningen. Jeg mener dog ikke, at vores forsøg ville være mere præcist. Jeg har fået nogle gode resultater og vores målinger har en flot linenær sammenhæng på graf 1 og 3. Det betyder at der en tendens til, at vores udregninger for nedbøjningen er korrekte. På graf 2 og 4 ser vi også en rigtig pæn linenær sammenhæng. Det betyder at vores materiale har befundet sig indenfor et elastisk område. Når en vores trælister har befundet sig inde i et elastisk område betyder det, at de deformationer som sket under nedbøjningen ikke er permanente. Altså har vores træliste ikke ændret form efter nedbøjningen. Havde vi påført mere og mere vægt ville vi på et tidspunkt nå til den flydende grænse. Dette ville have betydet at efter vi tog vægten af, så ville trælisten ikke have samme form mere. 19

21 Udfra de to forsøg vi har udført, har vi også fundet ud af, at der skal være en større kræft/påført vægt for at nedbøjningen bliver lige så stor på en træliste, som har en længde på 0,5 meter i forhold til en på træliste på 1 meter. Det vil vi kunne se ved at sammenligne forsøg 1a og forsøg 1b. Vi fandt ud af i forsøg 1a at trælisten på 1 meter ville nedbøje 4,36 cm per påført kg hvorimod i forsøg 1b hvor trælisten var 0,5 meter ville den kunne bøje 0,68 cm per påført kg. Vi må altså bekræfte, at der en tendens til, at der er en proportionalitet imellem længden af trælisten og nedbøjningen. Konklusion Det var et godt forsøg, fordi jeg fandt frem til nogle gode nedbøjninger, som havde et lineært sammenhæng med den påførte kraft/vægt. Hvilket var hvad vi havde forventet. Vi fandt også ud af, at trælisten var relativ stærk, siden vi ikke kom i nærheden af den flydende grænse til trods for, at det ikke var den tykkeste træliste. Proportionalitet imellem trælisten og nedbøjningen blev også bekræftet ved at sammenligne forsøg 1a og 1b. Løsning af bjælkens differentialligning Vi har en bjælke der er fastspændt i den ene ende og en kraft i den anden. Momentet vil modvirke kræftens vridning af bjælken (jf. figur 12). Vores model som vi opstiller, følger samme princip som figur 10 med en lokal x- akse startende i understøtningen. En Bjælkes differentialligning er givet ved: 29!"!!! =!! =!"!!! Jeg starter med at integrerer ligningen to gange.!"!"!" =!!!!! +!!!"# = 1 6!!! +!!! +!! Figur 12 - Momentet modvirker kraften 29 C. Hartsuijker & J.W. Welleman: Engineering mechanics- volume 2 20

22 Tim Emil Vejborg Bærende konstruktioner - SRP Borupgaard Gymnasium - 3.Y Dato: 20. december 2012 kl. 11:45 Vi har nu to randbetingelser hvor det gælder at nedbøjningen og rotationen er nul i understøtningen.!" 1 0 = 0!" 0 =! 0! +!!!! = 0!" 2 1! 0 = 0!" 0 =! 0! +!! 0 +!!!! = 0 6 Jeg kan nu se, at udtrykket for nedbøjningen kan skrives således (jeg indfører minus foran ligningen da det er en nedbøjning):!! =!!! 6!" Jeg vil nu afprøve den matematiske model ved variationer af forsøget. Praktisk set har vi i forsøg 1a fundet ud af, at trælisten på 1 meter ville nedbøje 4,36 cm per påført kg. I forsøg 1b fandt vi ud af den ville at trælisten på 0,5 meter ville nedbøje 0,68 cm per påført kg. Jeg finder nu den teoretiske nedbøjning per påført kg for en træliste på hhv. 0,5 meter og 1 meter. Vi starter med at finde inertimomentet for vores træliste.!!"#$%&'!! (0,0147!)! =!!"#$%&' = = 3,89 10!!!! Ifølge bilag 1 så har vores træliste (red spruce) en elasticitetsmodul på 1,61 10!!"# hvilket svarer til 10,95!"#. Trælisten på 0,5 meter vejer 0,07325 kg og trælisten på 1 meter vejer 0,1465 kg. Nu indsætter vi de kendte størrelser!!!!! =! 1!" 6!"!,! 1!" 9,82!!! 0,5!! = = 0,004803! = 0,48!" 6 10,95!"# 3,89 10!!!!!! =!!!! 1!" 6!"!,! = 1!" 9,82!!! 1!! = 0, ! = 3,8!" 6 10,95!"# 3,89 10!!!! 21

23 Teoretisk set fortæller vores model for en træliste på 0,5 meter, at hvis der udføres forsøg 1b så vil trælisten nedbøje 2,8 cm per påført kg. Udfører vi forsøget 1a så skulle trælisten på 1 meter teoretisk set nedbøje 5,6 cm per påført kg. Jeg udregner nu afvigelsen.!!"#$%&'(& =!"#$%&æ!"#!!å!"!æ!"#!"#!"#æ!"# 100 %!!"#$%&'(!!,! =!!,!"!"!!!,!"!"!!.!"!" 100 % = 41, 7 %!!"#$%&'(& =!"#$%&æ!"#!!å!"!æ!"#!"#$%&æ!"# 100 %!!"#$%&'(!!,! =!!,!!"!!!,!!"!!,!!" 100 % = 15,8 % % Grunden til de høje afvigelser skyldes det opslået elasticitetsmodul. Når man ser på hvordan træer ser ud så ses det hurtigt, at alle træer af samme art ikke er homogene (ensartet). Det er derfor umuligt at generalisere elasticitetsmodulet for et træ. Alle de forskellige former på træet gør, at det ikke er homogent (jf. billede 1) f.eks. så kan et træ i en periode vokse rigtig godt, fordi den har fået god nærings, vand, ilt osv. Hvorimod den måske i andre tilfælde ikke har fået lov til at vokse særlig godt pga. mangel på sol og næring. Det er derfor uholdbart at anvende et generelt elasticitetsmodul for legemer, som ikke er homogene. Havde vi haft det akkurate elasticitetsmodul for trælisten, så ville modellen være meget mere præcis. Modellen ville blive meget mere præcis hvis man brugte hældningen fra graferne, isoleret E og brugte den værdi. Billede 1 knaster i træer skaber en ujævnhed som gør træet mere uholdbart. 22

24 Forsøg 2: Bestemmelse af en trælistes materialeparametre Formål Formålet med dette forsøg var, at bestemme materialeparametre for en træliste, som var fastgjort i begge ender. Opstilling og materialer Til forsøget har jeg brugt to stativer med skruetvinger, fyrtræs træliste, let og uporøs snor, lodder med en vægt på hhv. 0,25 kg, 0,50 kg, 1kg, 2kg. Jeg har også anvendt et vaterpas og en lineal. Fremgangsmåde Opstilling 2 - Trælisten er fastgjort i begge ender. Jeg startede med at måle længden af trælisten og satte derefter en mærke på midten af stangen. Derefter satte jeg to stativer op med skruetvinger på og spændte trælisten fast (jf. opstilling 2). Så målte jeg højden fra midtpunktet af trælisten og ned til gulvet uden belastning. Jeg spændte nu snoren fast på midten af trælisten og satte lodder på snoren, så trælisten begyndte at bøje. Jeg lavede målinger med en belastning på hhv. 0,25 kg, 0,5 kg 0,75 kg og op til 2,5 kg. På hver af de 11 forskellige belastninger målte jeg højden fra midtpunktet af bjælken og til gulvet. Dette gjorde jeg ved brug at et vaterpas og en lineal. Målinger og resultatbehandling Trælisten længde fra skruetvinge til skruetvinge = 1,92 meter. Jeg starter med at lave regression og opstiller en graf for tabel 3. 23

25 0,0050 Længde (m) 0,0000-0,0050-0,0100-0,0150-0,0200-0, ,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 y = - 0,0168x R² = 0,998-0,0300-0,0350-0,0400-0,0450 Påført masse (kg) Tabel 5 - Målinger fra forsøg 2. På venstre side ser vi den påførte vægt i kg. På den højre side er hvor meget trælisten nedbøjede med den givne vægt Graf 5 - Regression af målinger fra forsøg 2. Lavet udfra tabel 5. Bemærk at hældningen er negativ da det er en nedbøjning. Den givne ligning for hældningen er! = 0,0168! + 0,0008 Jeg omskriver nu hældningen.! = 0,0168!!"! + 0,0008! Hvor x er målt i kg. Udfra hældningen kan jeg se, at for hvert kg man sætter på midten af stangen vil den nedbøje 0,00168 m eller 1,68 cm ned. Diskussion Forsøget gik godt uden nogen betydelige fejlkilder. På graf 5 har vi en rigtig god linenær sammenhæng med R 2 - værdi eller en determinationskoefficient på 0,998. Dette betyder, at vi med stor sikkerhed kan være sikker på, at den givne hældning stemmer overens med, hvor meget trælisten ville nedbøje, hvis man foresatte med at påfører vægt. Udfra graf 5 kan vi også se, at vi har en ligefrem proportionalitet mellem den påførte masse og nedbøjningen. Altså følger hældningen formen! =!". Forsøget ville være mere optimalt, hvis vi havde målt nedbøjningen med en laser fremfor at anvende en lineal og et vaterpas. 24

26 Tim Emil Vejborg Bærende konstruktioner - SRP Borupgaard Gymnasium - 3.Y Dato: 20. december 2012 kl. 11:45 Konklusion Det var et godt forsøg, da jeg fandt frem til nogle gode nedbøjninger som havde en ligefrem proportionalitet med den påførte masse. Matematisk model for nedbøjningen Jeg vil nu lave en matematisk model for nedbøjningen af vores træliste som er fastgjort i begge ender. Udregning af inertimomentet:!!"#$%&' =!! (0,0147!)!!!"#$%&' = = 3,89 10!!!! Ifølge bilag 1 så har vores træliste (red spruce) en elasticitetsmodul på 1,61 10!!"# hvilket svarer til 10,95!"#. Den givne ligning for nedbøjningen af en stang fastspændt i begge ender og med en kraft som trykker nedad på midten er (jf. figur 11 s. 14):!!"# =!!! 48!" Jeg opstiller nu en model for nedbøjningen for vores træliste som er fastspændt i begge ender:!! =!!!! 9,82!!! 1,92!!!! = 48!" 48 10,95!"# 3,89 10!!!! Vi kan nu teste hvor meget vores træbjælke teoretisk burde nedbøje for kg vi påfører.! 9,82!!! 1,92!!!! = 48 10,95!"# 3,89 10!!!!! 1!" = 1!" 9,82!!! 1,92!! = 0,034! 48 10,95!"# 3,89 10!!!! 25

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Jordskælvs svingninger i bygninger.

Jordskælvs svingninger i bygninger. Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet

Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet Kulstofnanorør - småt gør stærk Side 20-23 i hæftet SMÅ FORSØG OG OPGAVER Lineal-lyd 1 Lineal-lyd 2 En lineal holdes med den ene hånd fast ud over en bordkant. Med den anden anslås linealen. Det sker ved

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

DS/EN 15512 DK NA:2011

DS/EN 15512 DK NA:2011 DS/EN 15512 DK NA:2011 Nationalt anneks til Stationære opbevaringssystemer af stål Justerbare pallereolsystemer Principper for dimensionering. Forord Dette nationale anneks (NA) er det første danske NA

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Faktaboks. En fjeders egenskaber, altså om den er stærk eller svag, definerer man med en størrelse, der kaldes Fjederkonstanten, k.

Faktaboks. En fjeders egenskaber, altså om den er stærk eller svag, definerer man med en størrelse, der kaldes Fjederkonstanten, k. Fjedervægten Baggrund En fjedervægt er en simpel vægt, der består af 3 dele; en fjeder, en skala og en vægtholder. Vægten kan enten være en tryk- eller en trækvægt. Trykfjeder Faktaboks En trykfjeder er

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. 25. August 2011 kl. 9 00-13 00

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. 25. August 2011 kl. 9 00-13 00 Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik 25. August 2011 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis), rigtigheden

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side af 7 Skriftlig prøve, tirsdag den 6. december, 008, kl. 9:00-3:00 Kursus navn: ysik Kursus nr. 00 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Optisk gitter og emissionsspektret

Optisk gitter og emissionsspektret Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................

Læs mere

1. Vibrationer og bølger

1. Vibrationer og bølger V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

Eksperimenter om gyroer og flyvning. Lav en cykelhjulsgyro EKSPERIMENTER FOR 7. - 10. KLASSE. Mere om Lav en cykelhjulsgyro

Eksperimenter om gyroer og flyvning. Lav en cykelhjulsgyro EKSPERIMENTER FOR 7. - 10. KLASSE. Mere om Lav en cykelhjulsgyro EKSPERIMENTER FOR 7. - 10. KLASSE Eksperimenter om gyroer og flyvning Lav en cykelhjulsgyro Du kan fremstille en gyro af et gammelt cykelhjul: Montér håndtag på begge sider af et cykelhjul. Sæt dig i en

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4 El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole

Noter om Bærende konstruktioner. Membraner. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Noter om Bærende konstruktioner Membraner Finn Bach, december 2009 Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Statisk virkemåde En membran er et fladedannende konstruktionselement, der i lighed

Læs mere

Tryk. Tryk i væsker. Arkimedes lov

Tryk. Tryk i væsker. Arkimedes lov Tryk. Tryk i væsker. rkimedes lov 1/6 Tryk. Tryk i væsker. rkimedes lov Indhold 1. Definition af tryk...2 2. Tryk i væsker...3 3. Enheder for tryk...4 4. rkimedes lov...5 Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Tryk.

Læs mere

Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner

Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner Indledning: Familien Jensen har netop købt nyt hus. Huset skal moderniseres, og familien ønsker i den forbindelse at ændre på nogle af de bærende

Læs mere

Broer. Hej med dig! God fornøjelse med emnet. Vi ses! I dette emne skal du blandt andet: Lære om broer Bygge en bro Deltage i en lille konkurrence

Broer. Hej med dig! God fornøjelse med emnet. Vi ses! I dette emne skal du blandt andet: Lære om broer Bygge en bro Deltage i en lille konkurrence Broer Hej med dig! Jeg er Thomas Tandstærk, og jeg ved en masse om teknik og natur. Jeg skal lære dig noget om at lave forsøg og undersøgelser. Når klassen er færdig får I et flot diplom! I dette emne

Læs mere

Jordens indre. Spg. 1: Hvad består jordens indre af?

Jordens indre. Spg. 1: Hvad består jordens indre af? Jordens indre Spg. 1: Hvad består jordens indre af? Skorpen: Skorpen er cirka ned til 10 km under jorden. Til jordens centrum er der cirka 6.400 km. Skorpen er meget tynd, og sammenlignes med en æggeskal.

Læs mere

Bærende konstruktion Vejledning i beregning af søjle i træ. Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint.

Bærende konstruktion Vejledning i beregning af søjle i træ. Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint. Bærende konstruktion Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint. Jens Sørensen 21-05-2010 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 FORORD... 3 BAGGRUND... 4 DET GENNEMGÅENDE EKSEMPEL...

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER FORSØG MED 37 BETONELEMENTER - CENTRALT, EXCENTRISK OG TVÆRBELASTEDE ELEMENTER SAMT TILHØRENDE TRYKCYLINDRE, BØJETRÆKEMNER OG ARMERINGSSTÆNGER Peter Ellegaard November Laboratoriet for Bærende Konstruktioner

Læs mere

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning. Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,

Læs mere

Murprojekteringsrapport

Murprojekteringsrapport Side 1 af 6 Dato: Specifikke forudsætninger Væggen er udført af: Murværk Væggens (regningsmæssige) dimensioner: Længde = 6,000 m Højde = 2,800 m Tykkelse = 108 mm Understøtningsforhold og evt. randmomenter

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Generel montagevejledning for opsætning af balkon.

Generel montagevejledning for opsætning af balkon. Generel montagevejledning for opsætning af balkon. Moduler, bolte og alle samledele tælles op før montage. Værktøj du skal bruge: Hammer Momentnøgler Skruetvinger Træbjælker (bruges som ben ) Beton- eller

Læs mere

Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler

Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler M. P. Nielsen Thomas Hansen Lars Z. Hansen Elementsamlinger med Pfeifer-boxe Beregningseksempler DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Rapport BYG DTU R-113 005 ISSN 1601-917 ISBN 87-7877-180-3 Forord Nærværende

Læs mere

C 08 Bindende norm Side 1 af 6. Kobling

C 08 Bindende norm Side 1 af 6. Kobling Bindende norm Side 1 af 6 Denne standard gælder kun for materiel, der også i virkeligheden er udstyret med puffere. Denne standard skal ses i sammenhæng med standard C 07 Puffere og standard B 09 Afkoblingsrampe

Læs mere

Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1. Armeringsstål Klasse A eller klasse B?

Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1. Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1 Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen 13. august 2007 Bjarne Chr. Jensen Side 2 Introduktion Nærværende lille notat er blevet til på initiativ af direktør

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Svømme position i floden

Svømme position i floden RAFTING SIKKERHED Svømme position i floden Svømme position i floden er som følgende: Lig dig på ryggen ansigtet skal være ned strøms ben og fødder op (tæerne skal være over vandet foran dig). Forsøg aldrig

Læs mere

Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Marianne Gudnor

Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Marianne Gudnor aug. 008 Udarbejdet af maskiningeniørstuderende Indholdsfortegnelse: Indledning...3 Formål...3 Manuelle beregninger...6 The radius of circular area of contact, a...6 The maximum compressive stress, σ...7

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Opsætningsvejledning. Galvaniseret Carport m/ Polycarbonate tag.

Opsætningsvejledning. Galvaniseret Carport m/ Polycarbonate tag. Opsætningsvejledning. Galvaniseret Carport m/ Polycarbonate tag. Før du går i gang. Har du undersøgt grunden for nedgravet ledning og rør? Har du det fornødne værktøj? Du skal bruge: En impact akkudrill,

Læs mere

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten.

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten. Perspektiv tegning Hjælp til perspektivtegning. Illustrationerne er købt fra Perspektivtegning - Matematik i Billedkunst, billedkunst i matematik. - en kopimappe som er lavet af Jørgen Skourup og Ole Stærkjær.

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

11. marts 2011. - et megajordskælv og en katastrofal tsunami

11. marts 2011. - et megajordskælv og en katastrofal tsunami 11. marts 2011 - et megajordskælv og en katastrofal tsunami Af Tine B. Larsen og Trine Dahl-Jensen, GEUS De kraftigste jordskælv, vi kender til i moderne jordskælvshistorie, har alle fundet sted langs

Læs mere

Brydningsindeks af vand

Brydningsindeks af vand Brydningsindeks af vand Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 15. marts 2012 Indhold 1 Indledning 2 2 Formål

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

MONTERINGSVEJLEDNING

MONTERINGSVEJLEDNING MONTERINGSVEJLEDNING JABO Type V J1003 Art.-nr 6502 Type V Medfølgende dele x2 x4 9x9 90 9x9 90 x2 505 210 9x9 90 x2 507 2x19,5 x2 600 x1 11,5x11,5 x6 2x19,5 604 80 x1 x4 2x19,5 596 4,5x16 x7 2x19,5 501

Læs mere

Videreudvikling af LDV til on-sitemåling

Videreudvikling af LDV til on-sitemåling Videreudvikling af LDV til on-sitemåling Sammenligning mellem LDV og gasnormal i naturgasanlæg 19-21. maj 2010 Rapportforfattere: Matthew Adams, Teknologisk Institut Kurt Rasmussen, Force Technology LDV

Læs mere

Micro-Trains #1021/#1022 Lav, kort kobling

Micro-Trains #1021/#1022 Lav, kort kobling Micro-Trains #1021/#1022 Lav, kort kobling Lav, kort kobling for lokomotiver og vogne med begrænset plads, 2 par til (1021) Life-Like E8A banerømmer eller Bachmann 4-8-4 banerømmer. #1021 til lokomotiver

Læs mere

Ekspedition: Erhvervsskolernes Forlag, +45 63 15 17 00

Ekspedition: Erhvervsskolernes Forlag, +45 63 15 17 00 Statik og styrkelære 2. udgave, 1. oplag 2013 Nyt Teknisk Forlag 2013 Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@ef.dk Omslag: Henrik Stig Møller Omslagsfoto: forestiller ARoS, Århus: Adam Mørk og schmidt/hammer/lassen/architects

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Monteringsvejledning

Monteringsvejledning Monteringsvejledning til dobbelt carport med fladt tag Forklaret trin for trin. www.sparet-er-tjent.dk Dobbelt carport tegninger - 00.1 - Forord Januar 2005 Kære kunde! Ved hjælp af vores udførlige monteringsvejledning

Læs mere

Opdrift i vand og luft

Opdrift i vand og luft Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Nivelleringsinstrument 8926 Betjeningsvejledning

Nivelleringsinstrument 8926 Betjeningsvejledning Nivelleringsinstrument 8926 Betjeningsvejledning - 1 - BESKRIVELSE (FIG. 1) 1. Bundplade 2. Vandret cirkel /gon-skala 3. Vandret cirkel referencemærke / gonskala-aflæsning 4. Kompensatorlås 5. Fokuseringsskruer

Læs mere

MINI SRP MAT-IT. Lavet af Adam Kjærum og Frederik Franklin klasse 2.4 på Rokilde Tekniske Gymnasium. Lavet på Rokilde Tekniske Gymnasium

MINI SRP MAT-IT. Lavet af Adam Kjærum og Frederik Franklin klasse 2.4 på Rokilde Tekniske Gymnasium. Lavet på Rokilde Tekniske Gymnasium MINI SRP MAT-IT Lavet af Adam Kjærum og Frederik Franklin klasse 2.4 på Rokilde Tekniske Gymnasium Lavet på Rokilde Tekniske Gymnasium Indhold Forord... 2 Indledning... 2 Model og differentielligning...

Læs mere

Skriftlig eksamen: 19. december 2005 Klokken 15.00 til 17.00

Skriftlig eksamen: 19. december 2005 Klokken 15.00 til 17.00 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig eksamen: 19. december 2005 Klokken 15.00 til 17.00 Hjælpemidler: Lommeregner Kursus: Kursus nr.: 41015 Vejledning og vægtning af opgaver: Dette er en multiple-choice

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Bygning af hul pagaj i fyrretræ. (vægt 850 til 950g). Pagajbyg - 1

Bygning af hul pagaj i fyrretræ. (vægt 850 til 950g). Pagajbyg - 1 Bygning af hul pagaj i fyrretræ. (vægt 850 til 950g). Pagajbyg - 1 Grøndlandspagajer laves normalt i cedertræ fordi det er en let træsort. En pagaj lavet i cedertræ kan normalt laves i en færdig vægt lidt

Læs mere

BEF Bulletin No 2 August 2013

BEF Bulletin No 2 August 2013 Betonelement- Foreningen BEF Bulletin No 2 August 2013 Wirebokse i elementsamlinger Rev. B, 2013-08-22 Udarbejdet af Civilingeniør Ph.D. Lars Z. Hansen ALECTIA A/S i samarbejde med Betonelement- Foreningen

Læs mere

Kuglen triller. Hej med dig!

Kuglen triller. Hej med dig! Kuglen triller Hej med dig! Jeg er Thomas Tandstærk, og jeg ved en masse om teknik og natur. Jeg skal lære dig noget om at lave forsøg og undersøgelser. Når klassen er færdig får I et flot diplom! I dette

Læs mere

Bærende konstruktion Vejledning i beregning af søjle i stål. Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint.

Bærende konstruktion Vejledning i beregning af søjle i stål. Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint. Bærende konstruktion Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint. Jens Sørensen 28-05-2010 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 FORORD... 3 BAGGRUND... 4 DET GENNEMGÅENDE EKSEMPEL...

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere