Regnemetoder til store tal

Transkript

1 Regnemetoder til store tal Navn: Studienr.: Fag: Faglig vejleder: Pædagogisk vejleder: Tea Therkelsen Christensen A Matematik Lars Reidar Salomonson Pia Susanne Frederiksen Antal sider i alt, inkl. forsiden 36 Titel på bacheloropgaven Regnemetoder til store tal (kommer til at stå på eksamensbevis) Min opgave må senere benyttes til undervisningsog/eller udviklingsformål Accept ved min underskrift Side 1 af 36

2 Regnemetoder til store tal Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemstilling Undervisningsforløb og praktikklasse Valg af empiriske metoder Opgavens opbygning Matematikfaglige teorier Additive situationer Regnestrategier indenfor addition Kardinalitet og ordinalitet Den lineære model - ordinalitet Grupperingsmodellen kardinalitet Analyse i forhold til det matematikfaglige Elevernes forståelse for additive situationer regnehistorier Elevernes forståelse for ordinalitet og kardinalitet Delkonklusion Læring Vygotsky Zonen for nærmeste udvikling Paul Cobb Niveau 2 (3-4) Niveau 3 (5-6) Analyse i forhold til læring Situation med centicubes Situation med addition på perlesnor, Delkonklusion Lærerrollen Kommunikation Analyse i forhold til lærerrollen og kommunikation Side 2 af 36

3 5.2.1 Situation med additionsstykket på tavlen Delkonklusion Konklusion Perspektivering Litteraturliste Artikler Bilag Bilag Side 3 af 36

4 1. Indledning Addition og subtraktion er nogle af de mest grundlæggende værktøjer til at kunne forstå og anvende matematik. Derfor er det vigtigt at eleverne finder en metode til at kunne addere på en måde der er effektiv, og som samtidig giver mening for den enkelte. I Fælles Mål (Undervisningsministeriet, 2009) vægtes det, at eleverne i de første år i skolen introduceres til at addere og subtrahere. På den måde indikerer Fælles Mål at det, at kunne addere og subtrahere er en væsentlig og vigtig del af matematik. Læreren skal udfordre den enkelte elevs nuværende forståelser, og skal dermed være en aktiv del af elevens udvikling. Dette kan gøres ved at lade elevernes foreløbige og intuitive forståelse af tallene og regnearterne være udgangspunkt for en videreudvikling af deres metoder og af deres forståelser af titalssystemet (Undervisningsministeriet, 2009, s. 20). Desuden kan der anvendes hjælp i form af konkrete tællematerialer, illustrationer og et mere formelt symbolsprog i et samspil (Fælles Mål, 2009, s. 52). Igennem kommunikation med eleverne kan læreren finde ud af, hvor eleverne befinder sig fagligt, samt kan eleverne få et indblik i, hvordan de andre elever regner og derved få sat deres egen metode i perspektiv. Både den russiske psykolog Lev Semjonovitj Vygotsky og professor i matematik Paul Cobb siger at læring og udvikling sker i samspil med andre, hvorfor kommunikation mellem lærer og elever og eleverne imellem får betydning for den enkeltes læring. Paul Cobb arbejder med forskellige begreber indenfor den kommunikation der kan forekomme i undervisningen refleksiv diskurs, metakognitive skift og antaget fælles forståelser. Disse begreber belyser, på hvilken måde læreren kan støtte eleverne i at udvikle deres matematiske tænkning (Skott, 2009). Af denne grund vil der i denne opgave blive arbejdet med, hvordan elevernes individuelle regnemetoder, indenfor additive situationer, kan udvikles, samt hvilken rolle kommunikationen har for denne udvikling. Dette gøres med udgangspunkt i Vygotskys og Paul Cobbs socialkonstruktivistiske tilgang til læring. Side 4 af 36

5 2. Problemstilling Hvordan kan jeg, som lærer, bruge Paul Cobbs teori om refleksiv diskurs, metakognitive skift og antaget fælles forståelse til at fremme den enkelte elevs egen forståelse for og valg af individuelle regnemetoder indenfor additive situationer? 2.1 Undervisningsforløb og praktikklasse Denne opgave tager udgangspunkt i den 2. klasse, jeg underviste i, i min 4. års praktik. Ugentligt havde jeg fem matematiklektioner i de syv uger praktikken strakte sig over, hvor de fem første uger gik med emnet Store tal. Klassen bestod i alt af 20 elever, hvoraf 12 var drenge og 8 var piger. Inden praktikkens start var jeg ude at observere klassen. Her bemærkede jeg at klassen havde det godt socialt, de fungerede godt sammen og det virkede til at konflikter mellem eleverne var sjældne. Fagligt var eleverne, ifølge deres daglige lærer, på middel eller derover. Dog synes jeg at kunne fornemme, at meget af deres viden var udenadslære, hvilket skulle vise sig at være korrekt, da vi kom i gang med forløbet om Store tal. Til dagligt arbejdede eleverne udelukkende i deres matematikbog, og kulturen i klassen blev derfor præget af at det gjaldt om at blive hurtigst færdig med opgaverne, og der var ikke et behov for at skulle forklare sig for hverken læreren eller andre elever. Dette førte generelt til sjusk fra mange af eleverne. Min mission med undervisningen blev derfor at se, hvordan jeg kunne fremme den enkelte elevs forståelse for og valg af individuelle regnemetoder, samt hvordan faglige samtaler på klassen kunne bidrage til denne forståelse. For at dette skulle lykkes måtte eleverne nu til at samarbejde, sætte ord på egene og andres måder at løse opgaver på og begynde at bruge konkrete materialer til at underbygge deres argumentation, fremfor blot at skrive deres endelige resultat ned i en bog. Ud fra Vygotsky og Paul Cobbs socialkonstruktivistiske syn på læring, kan netop disse undervisningstiltag væsentliggøres, idet de lægger op til at læring er en social og praktisk proces. Dette vil sige at individets psykologiske processer påvirker og påvirkes af de sociale processer individet indgår i. Det socialkonstruktivistiske læringssyn vil derfor være gennemgående i denne opgave, og danner dermed grundlag for de løbende empiriske analyser og delkonklusioner, samt den afsluttende konklusion mere herom under afsnittet om opgavens opbygning. Side 5 af 36

6 2.2 Valg af empiriske metoder Inden praktikstart vidste jeg hvilket matematisk emne jeg skulle undervise eleverne i. Desuden havde jeg en ide om hvilken problemstilling jeg ville undersøge Hvordan kan min undervisning og jeg, som lærer, fremme elevernes forståelse for individuelle regnemetoder indenfor additive situationer? Hvordan kan kommunikation eleverne imellem og mellem eleverne og mig medvirke hertil? Dette med udgangspunkt i en socialkonstruktivistisk tilgang. Min metodiske tilgang til denne opgave bliver dermed induktiv, idet jeg undersøger tilfældet i én klasse og slutteligt forsøger at komme med en generel besvarelse. Den socialkonstruktivistiske tilgang til læring bliver på denne måde en empirisk påstand om, at eleverne kan udvikle forståelse for additive situationer, som jeg her i opgaven foretager en generalisation af, til en almen hypotese. Idet jeg kun undersøger én klasse, bliver min empiriske indsamling kvalitativ. Det er derfor et forholdsvis lille grundlag min empiri har og der kan derfor være en modsætning i at jeg forsøger at sige noget generelt ud fra min problemstilling. Dog mener jeg, at mit empiri kan vise en helhedsforståelse for de sociale processer og sammenhænge der kom til udtryk i min undervisning, og dermed kunne sige noget generelt om dette i denne henseende. For at kunne se de sociale processer og sammenhænge valgte jeg at bruge videooptagelser som min primære empiriindsamlingsmetode. Min overbevisning var, at denne form for empiriindsamling, tydeligt ville kunne vise den kommunikation der forekom i klassen, især den kommunikation jeg enten ikke ville være til stede ved eller som jeg ville glemme efter kort tid. Dette bekræfter Cato R. P. Bjørndal ved at skrive..optagelsen formår at fastholde observationer fra et pædagogisk øjeblik... (Bjørndal, 2013, s. 82). Denne form for indsamling, kommer på den måde til at virke som et godt supplement til mine andenordens observationer 1, der i mange tilfælde vil være ufuldstændige, idet jeg ikke kan nå at se og høre alt, hvad der sker i undervisningen. Derudover kommer videooptagelserne til at danne et godt grundlag for selvrefleksion. Der er i flere optagelser, hændelser hvor jeg nu tænker, at jeg kunne have grebet situationen an på en anden og bedre måde, eller udnyttet nogle situationer anderledes, som eleverne måske kunne have fået mere ud af. Optagelserne af klassen er sorteret ud fra følgende kriterier: 1 Anden ordens observationer, er observationer der er foretaget samtidigt med den pædagogiske aktivitet. Første ordens observationer, er observationer der er foretaget af en person der har dette som sin primære opgave. (Bjørndal, 2013) Side 6 af 36

7 1. Hvordan får jeg eleverne til at reflektere over, hvordan de kommer frem til opgavens resultat? 2. I hvor høj grad lykkes det at få eleverne til at udfordre hinanden til at reflektere? 3. I hvilket omfang kan eleverne redegøre for deres måde at tænke og løse en opgave på? 4. Kan eleverne reflektere over forskellen mellem det de har gjort og det de andre har gjort? 5. På hvilken måde formår jeg at få eleverne til at reflektere videre? Kriterierne skal danne udgangspunkt for, hvilke sekvenser der giver særlig mening at se på i analytisk øjemed, i forhold til problemstillingen. Udover videooptagelser har jeg observationer, billeder af elevarbejde, samt indsamlede eksempler på elevernes skriftlige besvarelser. Især elevernes skriftlige besvarelser kommer til at have en betydning for analysen af elevernes matematisk faglige niveau. Observationerne og billeder af elevarbejde kommer derimod til at virke som et supplement til mine argumentationer for elevernes udvikling gennem forløbet, samt besvarelse af min problemformulering. På denne måde kommer dette til at virke som yderligere argumentation, hvor der i videomaterialet kan stilles spørgsmålstegn ved dets tydelighed. 2.3 Opgavens opbygning Opgaven består af skiftevis teori- og analyseafsnit. Analyseafsnittene kommer her til at bestå af en eller to situationer. Dette er for at tydeliggøre, hvordan teorierne enkeltvist kan anvendes i forskellige situationer. Efter hver afsluttet analysedel, vil jeg lave en delkonklusion, for på den måde at fastholde den røde tråd i forhold til min problemstilling. Den teori der er beskrevet, går igen i alle de efterfølgende analyseafsnit. Dette betyder at den matematik faglige teori om additive situationer, kardinalitet og ordinalitet, anvendes i alle opgavens analyser. Det første analyseafsnit indeholder, af denne grund, kun matematikfaglige overvejelser om elevernes forståelse for additive situationer og regnemetoder. Dette ud fra elevernes skriftlige besvarelser, hvor de skulle lave deres egne regnehistorier, samt en situation fra videooptagelserne, hvor eleverne skulle forklare et regnestykke ud fra en tallinje. Den viden jeg har fået gennem den teoretiske og analytiske gennemgang af det matematikfaglige kommer til at danne grundlag for at se på, hvordan læring finder sted, samt under hvilke betingelser dette sker. Læring bliver i denne opgave belyst ud fra Vygotskys og Paul Cobbs Side 7 af 36

8 socialkonstruktivistiske læringssyn. De efterfølgende analyser heraf indeholder dermed matematikfaglige overvejelser om elevernes matematiske forståelse og læring. Analysedelene består her af situationer fra videooptagelserne, hvor eleverne i den første del bruger centicubes til at finde ud af om de tæller op eller ned i forskellige situationer og i den anden del regner på en perlesnor. Situationerne fra denne analysedel danner videre grundlag for at se på hvilken rolle jeg har som lærer for at fremme elevernes læring mest muligt, samt hvordan jeg skal kommunikere med eleverne for at opnå dette. Lærerens rolle og kommunikation bliver derfor det sidste teoretiske afsnit, som igen efterfølges af et analytisk afsnit, hvori jeg tager udgangspunkt i alle de gennemgåede teoretiske afsnit. Den sidste analysedel er den samme situation, fra videooptagelserne, som bearbejdes i den anden del af første analyseafsnit eleverne forklarer et regnestykke ud fra en tallinje. Jeg vælger at dele opgaven op på denne måde for at fremhæve, hvordan de enkelte teorier analytisk kan bruges i forhold til problemstillingen. Afslutningsvis vil jeg på baggrund af mine delkonklusioner komme med en endelig konklusion, der besvarer min problemstilling. 3. Matematikfaglige teorier For at undgå misforståelser, skelner jeg i denne opgave mellem begreberne regnemetode og regnealgoritme. Begrebet regnemetoder dækker her over en række førformelle tilgangsmåder til forskellige regnesituationer, hvorimod en regnealgoritme er en generel måde at regne på. Heri indgår alle regnemetoder og passer derfor til alle situationer. Med andre ord er en regnealgoritme et formelt udtryk der kan tilpasses de forskellige situationer. Følgende afsnit, additive situationer, kardinalitet og ordinalitet, er udarbejdet på baggrund af Kristine Jess m.fl. fra bogen Epsilon, samt Ida Heiberg Solem m.fl. fra bogen Tal Och Tanke. 3.1 Additive situationer Dette afsnit belyser hvad additive situationer er, samt hvordan jeg bør forholde mig til disse i forhold til undervisningen. De additive situationer er vidt forskellige og kræver en udviklet talforståelse, herunder også en forståelse af additon og subtraktion som metode, for at kunne løse dem. På denne måde kan situationerne give et billede af elevernes matematiske udvikling af regnemetoder. Side 8 af 36

9 Situationerne lægger op til at blive løst med enten addition eller subtraktion. Situationer der lægger op til at blive løst med addition, kan ikke laves om til en subtraktionssituation og subtraktionsmetoden kan derfor ikke bruges i disse sammenhænge. Derimod kan subtraktionssituationer skrives additivt, hvilket gør at begge regnearter kan bruges i sådanne sammenhænge. Når der i de forskellige situationer kan bruges addition og/eller subtraktion, samt repræsenterer forskellige grader af abstraktionsniveau, er det nødvendigt at de kategoriseres. På den måde kan læreren få et indblik i, hvordan den enkelte elev griber forskellige opgavetyper an. Med denne kategorisering kan læreren hjælpe eleverne videre til forståelse af regnemetoderne, idet der kan arbejdes mere målrettet med deres måde at tænke matematik på. Særligt kan læren støtte elever der finder bestemte situationer sværere end andre. For eksempel kan læreren hjælpe en elev, der finder adskillelsessituationer, hvor der sker en ændring (jf. nedenstående tabel) svær fordi han har svært ved at gennemskue hvilken regnemetode han skal anvende, ved at tage udgangspunkt i den regnemetode eleven hidtidigt har haft lettest ved (addition eller subtraktion), da denne situation både kan løses additivt og subtraktivt. Her vil det kunne være væsentligt at inddrage konkrete materialer, for at tydeliggøre situationens handling for eleven. Når eleven har løst situationen ud fra enten additions- eller subtraktionsmetoden, kan eleven prøve den anden metode, for derved at kunne se sammenhængen mellem de to metoder. Dette vil hjælpe eleven i andre situationer hvor der både kan bruges addition og subtraktion. Læreren kan også hjælpe eleven ved at omformulere situationen, så den bliver mere håndgribelig. Carpenter og Franke (Jess, 2009, s ) har forsøgt at kategorisere de additive situationer. Til forskel fra den kategorisering af situationerne der findes i Tal och Tanke, deler Carpenter og Franke situationer mere op, idet de adskiller forenings- og adskillelsessituationer fra hinanden. Disse to situationer vælger Tal och Tanke at sammenlægge, idet abstraktionsniveauet og graden af handling tilsyneladende har haft betydning for deres måde at kategorisere på. I Carpenter og Franke s kategorisering har de to første situationer det tilfælles, at der er en handling, hvorimod der i de sidste to ikke er nogen handling. Situationerne har derfor noget tilfælles, men der er omvendt faktorer der adskiller dem. Situationerne ser ud som følger: Side 9 af 36

10 Problemtype Situation 1 Situation 2 Situation 3 Join/forenings situation (Handling) Seperate/adskillelses situation (Handling) Part-Part-Hole/deldel-helhed ( handling) Compare/sammenlig ningssituation ( handling) Ukendt slutning: Connie havde 5 glaskugler, Juan gav hende 8 mere. Hvor mange har Connie nu? Ukendt slutning: Connie har 13 glaskugler, men giver 5 til Juan. Hvor mange glaskugler har Connie tilbage? Ukendt helhed: Connie har 5 røde glaskugler og 8 blå. Hvor mange glaskugler har hun i alt? Ukendt difference: Connie har 13 glaskugler, Juan 5. Hvor mange flere glaskugler har Connie end Juan? Ændring: Connie har 5 glaskugler. Hvor mange flere skal hun have for at have 13? Ændring: Connie havde 13 glaskugler. Hun gav nogle til Juan. Nu har Connie 5 glaskugler tilbage. Hvor mange glaskugler fik Juan? Ukendt del: Connie har 13 glaskugler. 5 er røde og resten er blå. Hvor mange blå glaskugler har hun? Mængde sammenligning: Juan har 5 glaskugler, Connie har 8 mere end Juan. Hvor mange glaskugler har Connie? Egen oversættelse af skema i Epsilon, s.40 Ukendt start: Connie havde nogle glaskugler, Juan gav hende 5 mere. Nu har Connie 13 glaskugler. Men hvor mange havde hun til at starte med? Ukendt start: Connie havde nogle glaskugler. Hun gav 5 til Juan. Nu har Connie 8 glaskugler. Hvor mange glaskugler havde Connie i starten? Ukendt referent: Connie har 13 glaskugler. Det er 5 mere end Juan. Hvor mange glaskugler har Det kan være en udfordring at skelne mellem de forskellige situationer, og de skal derfor ses som værende guidende. Del-del-helheds situationer kan minde om foreningssituationen, idet de begge har to forskellige mængder, der har noget tilfælles og derfor skal ses som én mængde. Dog er det vigtigt at holde for øje, at forskellen for eleverne ofte ligger i om der er en handling eller en ikkehandling, i situationen. Forenings- og adskillelsessituationen er, ifølge Ida Heiberg Solem m.fl., de situationer eleverne har størst forståelse ved. Dette skyldes, at disse situationer har det mindste abstraktionsniveau og er derfor lettere at gå til for eleverne. De forskellige situationer skal tænkes ind i undervisningen, så eleverne vænnes til at sætte ord på deres forståelse af de forskellige situationer der kan kræve forskellige metoder, men i sidste ende er det samme regnestykke. Når eleverne arbejder med tekstopgaver der repræsenterer de forskellige situationer, er det vigtigt, at læreren så vidt muligt undgår, at eleverne associerer forskellige ord som signalord, så denne ved enkelte ord antager at der skal adderes eller subtraheres. Sådanne Juan? Side 10 af 36

11 signalord kunne være flere, færre. Derfor er det i denne sammenhæng vigtigt, at læreren bruger sit eget sprog til at udfordre elevernes brug af sprog, herunder begrundelser for valg af løsningsmetode Regnestrategier indenfor addition Nedenstående strategier kan komme i spil i de fire hovedgrupper af additive situationer, som er beskrevet ovenfor. Følgende opdeling skal ses som en niveaumæssig udvikling, hvor nederste punkt niveaumæssigt er det højeste. - Direkte modellering: Eleven bruger konkrete tællematerialer, til at finde frem til et resultat. - Tæl-alle-strategi: Eleven tæller først den ene mængde, så den anden og til sidst begge mængder for at finde frem til resultatet. - Tæl-videre-strategi: Eleven tæller videre fra den ene mængde, indtil han når antallet af den sidste mængde. - Derived number facts: Udledte talfacts som eleven selv og ofte enkelt kan komme frem til med udgangspunkt i resultater de i forvejen kender. Herunder optræder fordoblinger eller byg-10 ofte. (Jess, 2009, s ) I forhold til denne opgave, vil de to midterste punkter kunne blive relevante i forhold til at kunne få en fornemmelse af på hvilket niveau eleverne er på. 3.2 Kardinalitet og ordinalitet Ordinalitet og kardinalitet er en del af at kunne manøvre sig rundt i og forstå de additive situationer. Derfor vil der i det følgende blive belyst hvad kardinalitet og ordinalitet er, samt hvordan progressionen i undervisningen kan varetages i forhold hertil. Det er en forudsætning at eleverne har en god talforståelse for at kunne arbejde med additive situationer. Det er derfor nødvendigt at eleverne har nogle redskaber, der kan hjælpe dem til at sætte sig ind i, forstå og anvende metoder til at kunne regne situationerne ud. Sådanne redskaber, kan have en ordinal eller kardinal karakter. Den ordinale del kan repræsenteres ved perlesnoren og tallinjen, hvor den kardiale del referere til grupperinger af materialer eller tal. Med disse redskaber hjælpes eleverne til at forstå, hvordan tallene kan manipuleres, så det ønskede resultat fremkommer. Den ordinale tilgang bliver i det følgende karakteriseret som den lineære model, mens den kardinale Side 11 af 36

12 tilgang karakteriseres som grupperingsmodellen. (Solem, 2010, s. 43) De to tilgange skal ikke ses som enten eller, men som to komplementære elementer i undervisningen. Det den ene model ikke får med, får den anden. Den ordinale tilgang vægter især tallenes placering, i forhold til hinanden, men ikke hvordan tierovergangene fungerer. Dette har den kardinale tilgang til gengæld særligt fokus på Den lineære model - ordinalitet Ved den ordinale tilgang hjælpes elevernes forståelse for tallenes placering i forhold til hinanden, samt hovedregning på vej (Solem, 2010,s. 68). Perlesnoren er en mindre formel udgave af tallinjen, og kan derfor, i de første skoleår, hjælpe eleverne til at få en forståelse af tallenes ordinalitet. Forståelsen hjælpes især på vej, idet det er et konkret materiale (Jess, 2009). Perlesnoren kan desuden tilgodese elever der ser tallene fra en kardinal synsvinkel, idet perlerne rent fysisk kan skilles ad og dermed er det muligt at lave små grupperinger med dem. (Solem, 2010, s. 58) En forudsætning for at eleverne kan anvende perlesnoren optimalt er, ifølge Ida Heiberg Solem m.fl., betinget af at eleverne har udviklet en en tæl-videre-strategi (Solem, 2010, s. 55). Læreren må derfor på forhånd skabe grundlag for, at eleverne er i stand til at kunne anvende denne strategi. Dog mener jeg at elever med en tæl-alle-strategi også kan bruge perlesnoren, idet eleverne kan sige her har vi 1, 2, 3 perler og her har vi 1,2,3,4, det bliver 1,2,3,4,5,6,7 perler i alt. Det kommer dermed an på, hvordan elever og lærer vælger at bruge perlesnoren, som redskab, på. Når elevernes talforståelse er udviklet, så de finder perlesnoren let, kan undervisningen bevæge sig over til tallinjen. Ved tallinjen er det stadig tallenes ordinalitet der er i fokus, men muligheden for at involvere den kardinale tænkning, som ved perlesnoren, begrænses ved denne fremstilling af tallene, idet den netop går væk fra at være et konkret materiale. Når eleverne kommer endnu længere frem vil den tomme tallinje kunne introduceres. Side 12 af 36

13 3.2.2 Grupperingsmodellen kardinalitet Denne tilgang danner grundlag for standardalgoritmen, idet tiernes og enernes placering i forhold til hinanden fremhæves (Solem, 2010, s. 68). Ved brug af grupperingsmodellen vil konkrete materialer indgå i undervisningen, idet dette hjælper eleverne til, at kunne visualisere de mængder tallene beskriver. Ved grupperinger ses tallene oftest opdelt i tiere og enere hver for sig, hvilket de konkrete materialer er repræsentationsformer for. Denne måde at se tallene på giver eleverne forudsætning for at kunne regne med tocifrede tal (Solem, 2010, s. 52). Der er imidlertid to forskellige metoder til hvordan grupperinger kan anvendes; opdelings- og omgrupperingsmetoden. Opdelingsmetoden Ved opdelingsmetoden deles addenderne op i enere, tiere og hundrede. Derefter adderes delene sammen; hundrederne, tierne og enerne for sig. Ved denne metode bruger eleverne sine strategier for etcifrede tal, dog med en bagvedliggende forståelse for tallenes placeringer. (Jess, 2009, s. 98) Omgrupperingsmetoden Ved omgrupperingsmetoden, indgår fordobling og byg-10. Eleverne lægger addenderne sammen til nærmeste tier og lægger derefter rest mængden til. Fx laves om til 13+7 = 20 og = 30 og 30+1 = 31. (Jess, 2009, s. 99) Det at kunne visualisere og dele mængder op på disse måder, er grundlæggende for en god talforståelse og er derfor en vigtig del af matematikundervisningen i de første skoleår, idet det er medvirkede til udviklingen af den standardiserede algoritme (Solem, 2010, s. 43). Modellerne er medvirkende til at eleverne udvikler metoder, som de finder anvendelige i forhold til matematisk regning. Ikke alle af elevernes metoder er imidlertid lige anvendelige, hvorfor læren skal sortere i elevernes metoder, og at arbejde ud fra dem anses for at fremme udvikling af gennerelle regnestrategier (Solem, 2010, s. 154). 3.3 Analyse i forhold til det matematikfaglige I dette afsnit vil jeg analysere, i hvilket omfang eleverne viste deres forståelse for det matematikfaglige additive situationer, kardinalitet og ordinalitet. Samt hvordan eleverne formår at anvende deres forståelse i forhold til konkrete situationer. Side 13 af 36

14 3.3.1 Elevernes forståelse for additive situationer regnehistorier I det følgende analyserer jeg, hvordan elevernes regnehistorier kan afspejle deres forståelse for additive situationer i forhold til konkrete situationer. Denne situation kan give mig, som lærer, et indblik i hvor i deres udvikling eleverne er og give mig ideer til hvordan jeg kan arbejde videre med denne udvikling. Eleverne i 2.b fik til opgave at konstruere deres egne regnehistorier, som senere skulle løses af de andre elever i klassen. Det generelle billede der vises, når elevernes historier kategoriseres er, som Ida Heiberg Solem forudsiger, overvejende forenings- og adskillelsessituationer. I denne klasse ser det dog også ud til, at det også kun drejer sig om ukendte slutninger. Eksempler på sådanne historier ser ud som følger: Foreningssituation, med ukendt slutning: Oversættelse: Bo gik en tur i skoven, der kom 5 egn over stien og han så 5 træer, hvor meget så han i alt? Adskillelsessituation, med ukendt slutning: Oversættelse: Niels K havde 88 stykker slik, så kom en kat. Han skreg. Han tabte 8 stykker slik på vejen. Hvor meget slik har han tilbage? Side 14 af 36

15 Det kan tyde på, at elevernes forståelse indenfor dette område ikke er nær så varierede som det kunne ønskes, hvilket måske kan kobles sammen med at klassen udelukkende er vant til at arbejde ud fra en matematikbog. Dermed møder eleverne ikke så mange forskellige og varierende situationer, som ellers kunne være blevet introduceret. Faren herved er, at eleverne kan komme til at opfatte de to situationer som værende de eneste gældende, og de vil dermed have svært ved at gennemskue hvilken metode de skal anvende når de møder de andre situationer. Derudover tyder mine observationer på at eleverne allerede har kategoriseret foreningssituationen, som en additionssituation og adskillelsessituationen, som en subtraktionssituation. Sætninger som Hvor mange/meget er der tilbage?, ses i samtlige elevers regnehistorier der lægger op til en adskillelsessituation. Ved foreningssituationer er det derimod sætninger som Hvor meget har han/de i alt/tilsammen?, der er den foretrækkende ved eleverne. Disse ensformige sætninger stemmer imidlertid overens med mine observationer om, at eleverne allerede har kategoriseret forskellige signalord til bestemte situationer, hvor de enten bruger addition eller subtraktion som metode. Dette kan blive en udfordring når eleverne møder situationer som sammenligningssituationen, idet disse situationer både lægger op til addition og subtraktion. For at udfordre elevernes forståelser yderligere kunne jeg have bytte om på ord i de forskellige situationer, dog med fastholdelse af situationens mening, eller bruge alternative ord i stedet for de originale. Hvis eleverne for eksempel skulle arbejde med regnehistorien: Connie havde 13 glaskugler. Hun gav nogle til Juan. Nu har Connie 5 glaskugler tilbage. Hvor mange glaskugler fik Juan? Kunne jeg lave den om til: Juan fik nogle glaskugler af Connie. Connie startede med at have 13 glaskugler, men har nu 5. Hvor mange glaskugler fik Juan? På denne måde udfordres elevernes forståelse af hvilke metoder der kan anvendes ved at der er blevet byttet rundt på sætningerne, samt er ordet tilbage udeladt, som virker til at være et accepteret signalord for subtraktion, i denne klasse. Derudover kunne eleverne også have tegnet deres regnehistorie, da dette ville kunne have givet et bredere indblik i hvilken metode de egentlig tænkte i, i situationen, samt ville det kunne have givet historierne mere mening for eleverne. Der var imidlertid kun en elev i klassen der bevægede sig væk fra forenings- og adskillelsessituationerne og prøvede i stedet kræfter med den netop omtalte sammenligningssituation, hvor differencen var ukendt. Historien ser ud som følger: Side 15 af 36

16 Oversættelse. Liv havde 20 bamser og Selma havde 10 bamser. Hvor mange flere bamser havde Liv? Idet eleven formår at lave en sådan regnehistorie må eleven have en forståelse for, hvordan additions- og subtraktionsbegrebet kan manipuleres med, idet begge begreber her kan anvendes. Omvendt kan det ikke vides om eleven, i situationen, kun tænkte i det ene begreb og det dermed blev tilfældigt at det blev en sammenligningssituation. For at finde ud af dette skulle der enten have været en dialog mellem mig og eleven, eller været dannet grundlag for en klassediskussion, hvor forskellige typer af regnehistorier kunne have været inddraget Elevernes forståelse for ordinalitet og kardinalitet Følgende analyse er baseret på bilag 1. Her gennemgår jeg, som læreren, og mine elever to forskellige måder perlesnoren og tallinjen kan bruges på i forhold til det samme regnestykke. Situationen er valgt ud fra mit tredje kriterie i udvælgelsen af de empiriske videooptagelser. Den første elev virker til at have udviklet en tæl-videre-strategi, som han bruger til at kunne tælle videre fra det første tal, 23 og op til 40, samt at tælle videre fra 37 og op til 44. Det er imidlertid værd at bemærke, at eleven ikke lægger 44 direkte til 23, men derimod bruger tallinjen til at finde ud af hvornår han rammer 44. Idet han har talt op til 44 kan han aflæse på tallinjen, hvad resultatet på regnestykket må være. Denne måde at bruge tallinjen på vidner om, at eleven mest af alt bruger sin tæl-videre-strategi. Ud over tæl-videre-strategien bruger han også omgrupperingsmetoden, idet han deler tallet 44 op i Med dette viser han en talforståelse, som han senere vil kunne drage nytte af i udviklingen, af den standardiserede algoritme, idet han viser en forståelse for ti ernes og en ernes betydning og placering i forhold til hinanden (Solem, 2010). Side 16 af 36

17 Den anden elev benytter sig i stedet af en tæl-alle-strategi, idet hun siger Og så tog jeg de her (enerne). Så siger vi 1, 2, 3 og 1, 2, 3, 4 og så 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Denne strategi er imidlertid niveaumæssig lavere end den metode, den første elev benyttede sig af, idet eleven her først skal have overblikket over det ene antal og så det andet, før end hun kan sætte det hele sammen til et nyt tal. Udover denne strategi bruger eleven også opdelingsmetoden, idet hun deler addenderne op i tiere og enere. Ved denne metode bruger eleven sin viden om etcifrede tal, dog samtidigt med at hun er bevidst om at tallene har forskellige placeringer i forhold til hinanden. Opdelingsmetoden og tæl-alle-strategien hænger i dette tilfælde godt sammen, idet eleven i optællingen af tierne siger Det var 2, og så en, to, tre, fire. Denne måde at regne på adskiller sig fra den første elevs måde, på flere områder: de bruger forskellige tællestrategier og grupperingsmodeller, men de adskiller sig også fra hinanden ved den måde de bruger tallinjen som redskab. Den første elev bruger, som nævnt ovenfor, tallinjen som en linje hvor resultatet kan aflæses på, hvorimod den anden elev mere bruger linjen som en proces, hvor det ene tal efterfølges af det næste. Den første elev har overordnet en mere kardinal tilgang til tallinjen, idet han først tager det ene tal og derefter det andet. Derimod har den anden elev en mere ordinal tilgang til tallinjen, idet hun bruger begge tal på én gang, og dermed bruger tallinjen som en målestok for, hvornår hun har nået resultatet. 3.4 Delkonklusion Både elevernes regnehistorier og de to elevers løsningsforslag på additionsstykket 23+44, giver et indblik i, hvordan eleverne arbejder med de forskellige matematiske situationer, samt hvilken forståelse de har heraf. Elevernes regnehistorier viste at deres forståelse for og brug af de forskellige additive situationer var, som også Ida Heiberg Solem forudsagde, på et lavt abstraktionsniveau. Dette har imidlertid betydning for i hvilke situationer eleverne finder nødvendigheden i matematik, og hvordan matematikken kan anvendes. Jo mere abstrakt en situation er, eller jo mere situationen skjuler den åbenlyse matematiske tilgang, jo mere forståelse for matematik kræver det af eleven. Det vil derfor være min opgave at hjælpe eleverne med at udvikle deres horisont for, i hvilke situationer Side 17 af 36

18 matematikken kan anvendes, dette kan være igennem manipulation med sætningernes og ordenes sammensætninger, samt i hvilken kontekst historierne sættes ind i. I den anden del af analysen, viser eleverne hvordan de anvender matematikken i en bestemt situation. De to elever bruger matematikken vidt forskelligt den ene, omgrupperingsmetoden og tæl-videre-strategi, den anden, opdelingsmetoden og tæl-alle-strategi. Dette vidner om at eleverne, på daværende tidspunkt, var i gang med at udvikle deres individuelle regnemetode, idet de netop vælger de metoder de finder lettest og logiske for dem selv. Regnehistorierne og den konkrete opgave, at addere 23 med 44, repræsenterer på denne måde elevernes forståelse for og valg af individuelle regnemetoder. Regnehistorierne hjælper eleverne til at koble matematik og hverdag, hvilket er en del af forståelsen for additive situationer. Additionsstykket derimod, hjælper eleverne til at vælge hvilken måde de synes er lettest og logisk at anvende i forhold til en matematisk situation. Denne del giver endvidere mulighed for at eleverne kan hente inspiration fra de andre elever. Dette giver imidlertid anledning til at gå mere i dybden med, hvordan og hvornår der sker læring og derfor vil der i de følgende teoretiske afsnit blive redegjort for Vygotskys s og Paul Cobbs socialkonstruktivistiske tilgang hertil. 4. Læring De følgende afsnit omhandler Vygotskys og Paul Cobbs socialkonstruktivistiske syn på læring. Jeg vil derfor komme ind på hvordan læring udvikles ved eleverne, samt hvilken rolle de sociale og kulturelle omgivelser har på dette. 4.1 Vygotsky For at kunne belyse vigtigheden i at eleverne skal være aktive i forhold til egen læring, samt tydeliggøre hvordan elevernes forståelse for egen og andres måder at tænke additive situationer på udvikles, vælger jeg at tage udgangspunkt i Jeppe Skotts og Gunn Imsens belysning af Vygotskys syn på læring og begrebsdannelse, hertil vil hans begreb om social praksisteori og Zonen for nærmeste udvikling blive belyst. Ifølge Vygotsky besidder mennesker højere mentale funktioner. Disse funktioner består bl.a. af perception, tænkning, opmærksomhed og hukommelse. Dette gør at mennesker adskiller os fra andre levende væsener. Side 18 af 36

19 De mentale funktioner påvirker og påvirkes af det sociale og kulturelle. På den måde er de med til at forme og udvikle hinanden og dermed kommer det psykologiske og omverdenen til at hænge sammen. Måden de påvirker hinanden på sker, ifølge Vygotsky, især gennem sproget. Individuel handling og bevidsthed bliver derfor til ved, at vi overtager og benytter socialt udviklede redskaber. Det er vekselvirkningen mellem det psykologiske og sociale, der er med til at udvikle os og ikke blot lade os blive i det Vygotsky kalder den praktiske intelligens (Skott, 2009, s. 100). Sproget betyder imidlertid ikke kun noget for vores fysiske handlinger, men har indflydelse på vores højere mentale funktioner. Sproget kommer til at dominere vores mentale funktioner i sådan grad, at vi ikke længere er i stand til at kunne skille de forskellige funktioner fra hinanden, uden sproget spiller ind. Vores mentale funktioner bliver derfor medieret gennem vores sprog, hvilket kommer til at danne grundlag for vores begrebsdannelse (Skott, 2009, s. 101). Udvikling og læring er, hverken er to adskilte eller identiske processer og bliver på denne måde til en organiseret læringssituation der har til hensigt at sætte forskellige varianter af psykologiske udviklingsprocesser i gang. Denne udviklingsproces vil imidlertid ikke kunne lade sig gøre, hvis udviklingen var adskilt fra læring og de to processer påvirker og påvirkes derfor af hinanden. Læring sker, ifølge Vygotsky, således gennem sociale forbindelser, hvor en anden person påvirker den lærende til at tænke anderledes end hidtil. Dette samler Vygotsky i et begreb, som han kalder Zonen for nærmeste udvikling (ZPD) Zonen for nærmeste udvikling At udviklingen bevæger sig fra det sociale til det individuelle, betyder at eleverne i første omgang kan være i stand til at udføre en handling i et samspil med en anden, før de kan udføre handlingen på egen hånd. Med dette som hovedsætning for hvad ZPD indebærer, giver det, ud fra en pædagogisk synsvinkel, en positiv tilgang til vækstbegrebet, idet der lægges op til at alle elever har udviklingsmuligheder. Synet på elevernes muligheder for at udvikle sig og lære noget, bliver dermed ikke til noget fastlåst. Vygotsky beskriver det på følgende måde: Pædagogikken må orientere sig mod morgendagen i barnets udvikling og vende sig bort fra gårsdagen. Først da vil den kunne vække de udviklingsprocesser til live, som ligger i den nærmeste udviklingszone (Vygotsky, 1982, s. 290) (Imsen, 2008, s.225) Begrebet skal dog ikke forstås som læring i sig selv. Læring er derimod det der skaber et udviklingsrum for eleverne. Læring kommer på denne måde til, først at udvikle faglige forståelser Side 19 af 36

20 og først derefter og ved hjælp af disse forståelser kan de højere mentale funktioner udvikles. Først når de højere mentale funktioner udvikles befinder eleven sig i sin zone for nærmeste udvikling.(skott, 2009) Eleverne skal gennemgå forskellige udviklingstrin, der afhænger af biologisk modning. Disse afbrydes imidlertid af såkaldte kriseperioder, hvor forholdet mellem de højere mentale funktioner omformes. Dette betyder at elevernes evne til at forstå og udvikle begreber afgøres af det udviklingstrin de er på. I denne opgave vil eleverne befinde sig på det udviklingstrin, som Vygotsky kalder, skolealderen (7-13år). På dette trin er elevernes begrebsdannelse præget af førbegrebslige konstruktioner komplekser. Her hæfter eleverne sig især ved de umiddelbare og iagttagelige egenskaber og adskiller sig derved fra egentlige videnskabelige begreber hæfter sig ved sammenhængende og logisk opbyggede videns strukturer. Ifølge Vygotsky skal hjælperen til eleverne være en voksen, eller en anden som kan mere, der kan hjælpe eleverne videre i deres udvikling. Det at to elever på samme niveau, sidder og samarbejder om en opgave, er altså ikke det der menes med begrebet. Dog kan der ud fra Paul Cobb og socialkonstruktivismen, argumenteres for, at netop denne måde at arbejde på kan have en gavnende og udviklende effekt (Skott, 2009). 4.2 Paul Cobb Paul Cobb er inspireret af både den (radikale) konstruktivistiske og den kulturhistoriske skoles måde at se læring og læringspraksisser på, men adskiller alligevel sig fra de to måder, idet han mener, at de sociale og psykologiske processer gensidigt påvirker hinanden (Skott, 2009). På denne måde kan han karakteriseres under begrebet socialkonstruktivist, idet denne tilgang defineres som: det sociale og psykologiske er så fuldstændigt integreret i hinanden at ingen af dem kan forstås uden at medtænke den anden. Der er ikke tale om det ene perspektiv, det sociale eller det psykologiske, er rigtigere end det andet. Man kan ganske enkelt ikke forstå det ene uden at medtænke det andet (MONA, 2008) For at vise den gensidige påvirkning mellem det psykologiske og sociale, har Paul Cobb og Yackel lavet en model. Modellen viser tre niveauer, hvor elevernes faglige læring, forestillinger om undervisningen og læringsmuligheder er nogle af de centrale begreber. Modellen kan bruges til, at danne sig et overblik over, hvordan lærerens undervisningspraksis danner grundlag for gode normer og læringsmuligheder for eleverne. Det første niveau skitserer de generelt gældende normer der er i Side 20 af 36