Start med at beskriv det bagvedliggende stokastiske eksperiment med det tilhørende sandsynlighedsfelt.

Transkript

1 Hjælp til opgave 2 besvarelseseksempel Tip til de følgende opgaver tart med at beskriv det bagvedliggende stokastiske eksperiment med det tilhørende sandsynlighedsfelt. Definér derefter relevante hændelser og oversæt oplysningerne til sandsynligheder for diverse hændelser. Arbejdsprocessen kunne skitseres på følgende måde Virkelighed ituation Oplysninger pørgsmål Virkelighed var Oversættelse Tolkning Matematisk model tokastisk eksperiment Udfaldsrum andsynlighedsfunktion (dermed sandsynlighedsfelt) Hændelser med tilhørende sandsynligheder Hændelser Beregninger andsynligheder Matematisk resultat andsynligheder Opgave 2, starthjælp mat9 (JL) maj-juli 2006 s.

2 Opgave 2 En landmand har en kvægbestand med 98 malkekøer og 2 tyre. I området udbryder en epidemi. Fra dyrlægen ved landmanden, at det generelt er sådan, at 60 % af tyrene ikke er smittede, mens 75 % af alle dyr er smittede. a) Bestem sandsynligheden for, at en tilfældig udvalgt malkeko fra landmandens bestand er smittet. b) Bestem sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt smittet dyr fra bestanden er en malkeko. ituation tokastisk eksperiment Vi kan oversætte situationen til følgende stokastiske eksperiment: Vi udtager tilfældigt et dyr i landmandens bestand. ituation Udfaldsrum Hvis vi navn giver malkøerne u, u2, u3,..., u98 og tyrene u,u 99, har vi følgende udfaldsrum U { u, u, u,... u } 2 3, ituation andsynlighedsfunktion Det er rimeligt at antage, at hvert af dyrene har samme sandsynlighed for at blive udtaget. Vi har altså følgende sandsynlighedsfunktion: u U : ( u ), altså fx ( ) u 57 ituation andsynlighedsfelt andsynlighedsfeltet er altså som altid ( U, ), hvor U og er beskrevet ovenfor. andsynlighedsfeltet er symmetrisk. Opgave 2, starthjælp mat9 (JL) maj-juli 2006 s. 2

3 Oplysninger Hændelser med tilhørende sandsynligheder Der skelnes åbenbart mellem malkekøer og tyre samt mellem smittede og ikke smittede dyr. Det er derfor hensigtsmæssigt at definere følgende hændelser : det tilfældigt udvalgte dyr er en malkeko, altså { u, u, u,... u } : det tilfældigt udvalgte dyr er smittet 2 3, Vi behøver ikke at definere en hændelse for det tilfældigt udvalgte dyr er en tyr eller for det tilfældigt udvalgte dyr er ikke smittet, idet vi automatisk har følgende komplementær-hændelser (ikke-hændelser): 98 : det tilfældigt udvalgte dyr er ikke en malkeko, altså en tyr, altså { u, u } 99 : det tilfældigt udvalgte dyr er ikke smittet Bemærk, at der gælder U og U. Vi får følgende informationer Landmanden har 98 malkekøer og oversætter dem til sandsynligheder for hændelser ( ) 0, 98 og 2 tyre ,02 Generelt er 60 % af tyrene ikke smittede (hvis vi ved, at vi kigger på en tyr, så er der altså 60 % sandsynlighed for, at den er smittet) 0,6 75 % af alle dyr er smittede ( ) 75 0, Opgave 2, starthjælp mat9 (JL) maj-juli 2006 s. 3

4 pørgsmål Hændelser tillede spørgsmål Bestem sandsynligheden for, at en tilfældig udvalgt malkeko fra landmandens bestand er smittet (altså: hvis vi ved, at dyret er en ko, hvor sandsynligt er det så, at dyret/koen er smittet?) Bestem sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt smittet dyr fra bestanden er en malkeko (altså: hvis vi ved, at dyret er smittet, hvor sandsynligt er det så, at det er en ko?) oversættes til hændelser, som vi søger efter sandsynlighed for Find ( ) Find ( ) Opgave 2, starthjælp mat9 (JL) maj-juli 2006 s. 4

5 Hvad der nu mangler er bare : Beregninger andsynligheder Tolkning af disse til et virkelighedssvar a) Eftersom U er en klassedeling af udfaldsrummet, kan klassedelingssætningen (sætning 6, sslh-papir, s. 6) bruges: ( ) ( ) ( ) + ved omflytning af udtrykkene får vi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) og ved indsættelse af de kendte tal og (fra sætning 3, sslh-papir, s. 0) 0,6 0,4 0,75 0,4 0,02 0, ( ) 0, 757 En malkeko har altså en sandsynlighed på ca. 0,757 for at være smittet. b) ætningen om at vende en betingelse om (sætning 4, sslh-papir, s. 3) kan bruges og de kendte og fundne tal indsættes ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0, 9893 Hvis vi ved, at et dyr er smittet, er der altså en sandsynlighed på ca. 93 for at dyret er en malkeko. Opgave 2, starthjælp mat9 (JL) maj-juli 2006 s. 5